1CM

STATI LIMITE DI ESERCIZIO – FESSURAZIONE, DEFORMABILITA’ E TENSIONE

Claudio MazzottiDISTART - Tecnica delle costruzioni

Università di Bologna

Forlì – Giugno 2004

Ingegneria sismica: la progettazione basata sul metodo semiprobabilistico agli stati limite

2CM

Sommario della lezione

1) Verifiche agli stati limite di esercizio

2) Verifiche SLE per strutture in c.a.

2.1) Stato limite di tensione2.2) Fessurazione degli elementi in c.a. 2.3) Deformabilità delle travi in c.a.

3) Verifiche SLE per strutture in acciaio (cenni)

3CM

VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO

Per assicurare il buon funzionamento delle strutture soggette a valori dei carichi che si presentano frequentemente durante la loro vita utile.

Sono previste tre possibili combinazioni di carico associate a valori crescenti di probabilità di presentarsi nella vita utile della struttura.

Coefficienti ψi variano a seconda della destinazione d’uso del fabbricato e del tipo di azione (variabile, neve, vento):

ψ0 = 0.70 .ψ1 = 0.70 – 0.20ψ2 = 0.60 – 0.00

- Combinazione rara

- Combinazione frequente

- Combinazione quasi permanente ∑

∑

∑

=

=

=

ψ++

ψ+ψ++

ψ+++

n

iikikk

n

iikikkk

n

iikikkk

QPG

QQPG

QQPG

1,2

2,211

2,01

Analogia

T.A.

4CM

VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO

Classi di esposizione ambientale

Norma Italiana: Ambiente poco, mediamente e molto aggressivo.

EC2 prevede 5 classi di esposizione definite in modo più analitico:

5CM

STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO

STATI LIMITE DI ESERCIZIO

6CM

VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO

Strutture in cemento armato

1) Limitazione dello stato tensionale (in esercizio)2) Controllo di formazione e di ampiezza delle fessure3) Verifiche di deformabilità

…) Controllo delle vibrazioni, del comportamento in presenza di carichi ciclici, etc. (per applicazioni particolari)

Rivestono particolare importanza in un calcolo agli stati limite, in quanto non sempre il superamento delle verifiche agli stati limite ultimi assicura il buon funzionamento sotto carichi di esercizio

7CM

1) Limitazione dello stato tensionale

E’ necessario assicurarsi che il dimensionamento effettuato agli stati limite ultimo non sia tale da avere valori troppo elevati delle tensioni in esercizio (nel calcestruzzo), in quanto:

1) Può causare, nel tempo, la formazione di (micro/macro) fessurazioniin direzione verticale (soprattutto nel copriferro che non è confinato) che può pregiudicare la durabilità

2) Può essere causa di deformazioni viscose anche ben superiori a quelle predette dalla teoria della viscoelasticità lineare;

- oltre questi livelli si deve tenere in conto un comportamento non lineare delle deformazioni viscose -

Combinazione Rara

Combinazione quasi permanente

8CM

1) Limitazione dello stato tensionale

Per il calcestruzzo impiegato nelle strutture in c.a.p. si devono rispettare limiti analoghi a quelli del calcestruzzo per strutture convenzionali inoltre:-All’atto della precompressione

Compressione: σc < 0.60 fckj

Trazione: σct < 0.10 fckj (obbligo di armatura lenta)

resistenza a j giorni di maturazione:

Per l’acciaio da armature ordinarie deve valere:

σs < 0.70 fyk Norma Italiana

σs < 0.80 fyk EC2

IMPORTANTE – EC2Se il dimensionamento della struttura agli s.l.u. è stato effettuato

utilizzando un coefficiente di redistribuzione inferiore a δ = 0.85, in genere non è necessario fare la verifica di limitazione dello stato tensionale

9CM

Criteri per il calcolo dello stato tensionale

Il calcolo deve essere per quanto possibile rispondente all’effettivo comportamento della struttura:

1) Tenere in conto l’eventuale fessurazione (in esercizio), gli effetti di viscosità, ritiro, variazioni termiche;

2) Nelle sezioni non fessurate, si effettua un calcolo lineare;

3) Nelle sezioni fessurate si esclude il contributo del calcestruzzo in trazione (cioè il cosiddetto tension stiffening) - a favore di sicurezza

3) Gli effetti di lungo termine (sullo stato tensionale) vanno tenuti in conto se almeno il 50% della tensione è originata da carichi quasi-permanenti, utilizzando n=15;

4) Particolare attenzione si deve porre alla limitazione delle tensioni quando ci siano incertezze sul modello di calcolo o alternanza del segno della sollecitazione.

10CM

Esempio applicativo – Trave inflessa

Caso A: Sezione 30x50 As = 17.2 cm2, A’s = 9.4 cm2 (A’/A = 0.50)Combinazione rara Md = Mgk + Mqk = 185 kNm

σc = 11.84 MPa ≤ 0.6 fck=12.45 MPaσs = 265 MPaσs ≤ 0.7 fyk=301 MPa

Caso B: Sezione 30x50 As = 12.5 cm2, A’s = 4.6 cm2 (A’/A = 0.30)Dimensionata con redistribuzione del 30% [265⋅0.70 kNm]

Combinazione rara Md = Mgk + Mqk = 186 kNmσc = 14.6 MPa > 0.6 fck=12.45 MPaσs = 364 MPaσs > 0.7 fyk=301 MPa

Osservazioni: Sezioni con forti armature compresse o calcolate con significative redistribuzioni possono fornire problemi di verifica.

Dimensionata con Msd

SLU=265 kNm

11CM

2) Fessurazione degli elementi in c.a.

Finalità: - Assicurare la funzionalità dell’opera- Garantire la durabilità dei manufatti

Stati Limite di Fessurazione:1) S. L. di Decompressione: fibra tesa ha tensione nulla

2) S. L. di Formazione delle fessure: fibra tesa ha σ ≤ fctk

3) S. L. di Apertura delle fessure: controllo che l’ampiezza delle fessure sia compatibile con le condizioni di esercizio previste.

1 2fctk

Sezione interamente reagente

12CM

2) Fessurazione degli elementi in c.a. – segue

Caso di sollecitazione composta M-N

Sezione interamente reagente

13CM

Case study: Elemento teso di cls con barra di armatura

Fessurazione del cls avviene

quando:

εcr = fct / Ec ≈ 0.1%

Stadio 1 (non fessurato)

Stadio 2 (fessurato)

14CM

Rigidezza: andamento forza assiale - allungamento

Stadio 1Stadio

2Stadio

2

Stadio 1

Grande differenza di rigidezza tra Stadio 1 (cls ed acciaio) e Stadio 2 (solo acciaio)

15CM

Effetto della quantità di armatura (armatura minima)

16CM

Per passare da sezioni in Stadio 1 a Stadio 2 è necessario che vi sia scorrimento tra acciaio e calcestruzzo

17CM

Legge di aderenza acciaio-calcestruzzo

Legame tra scorrimento acciaio-calcestruzzo e corrispondente tensione tangenziale

Limite per carichi di servizio Crisi dell’interfaccia

18CM

Meccanismo di crisi dell’aderenza per barre ad aderenza migliorata

τu

(s1, τmax)

(s3, τf)

monotonic curve

( ),max 1s s ss s ατ = τ

τs

ss

(b)

Legge di interfaccia (anche carichi ciclici)

Meccanismo di crisi per “splitting”: importanza di un adeguato confinamento

del calcestruzzo ai fini dell’aderenza

α

τ=τ

maxmax)(

sss

ckf5.20.1max ÷=τ

19CM

cs uus −=

ANzz ssss d4

ddd)(2

σΦ

π=σ==Φπτ

)(4d

d1dd

dd

2

2z

EzEzzs

s

s

s

s τΦ

=σ

=ε

=

04dd

max

max2

2=

Φτ

− αα s

sEzs

s

Scorrimento

Equil. Traslazione orizzontale

zz s

dd

4)( σΦ=τ

Per sostituzione

20CM

04dd

max

max2

2=

Φτ

− αα s

sEzs

s

efftr kl

ρΦ

=41

Lunghezza di trasferimento dell’aderenza acciaio-calcestruzzo

ltr

ρeff = As / Ac,eff

Percentuale di armatura rispetto all’area di calcestruzzo efficace ai

fini dell’aderenza (si veda il seguito)

mediactfk τ= /

21CM

Lunghezza di trasferimento dell’aderenza acciaio-calcestruzzo

Distanza tra le fessure (teorica)

2 ltr

ltr

ltr < sr < 2 ltr

Esempio (1Φ12 per 10x10 cm2):

)(55.23.0 3/2 MPaff ckctm ==

MPafckmedia 74.32/5.12/max ==τ=τ

MPaf

MPaR

ck

ck

9.243083.0

30

=⋅=

=

68.0/ =τ= mediactfk

0113.0100

13.1/ , ===ρ effcseff AA

180.6 < sr < 361.2 (mm) Valore + attendibile sr = 1.3 ltr =235 mm

22CM

Distanza tra le fessure - valutazioni alternative (sulla base di risultanze sperimentali)

( ) mmxskmmls trrm 260)1005.150(3.15.1503.13.1 =+=+==

mmkkmmseff

rm 26210113.04

128.0504

50 21 =⋅⋅

⋅+=ρΦ

+=

Jaccoud (1987)

EC2 (1999)

Spazio tra le barre

Parametri che definiscono il tipo di barra e il tipo di

carico (trazione o flessione)

k1 = 0.8 se barre ad. migliorata, k2 =1 se trazione

Si utilizza per il calcolo tecnico dell’apertura di fessura

mmkkcseff

r 5100113.01218.0425.0444.3425.04.3 21max =⋅⋅⋅+⋅=

ρΦ

+=

EC2 (2002)

mmss rrm 300

7.1max ==

23CM

Distanza tra le fessure Valutazione Normativa Italiana

mmkkscseff

rm 1240113.01225.040.0

1050442

102 21 =⋅⋅+

+⋅=

ρΦ

+

+⋅=

D.M. ‘96

Parametri che definiscono il tipo di barra e il tipo di diagramma di

trazione

k1 = 0.4 se barre ad. migliorata, k2 =0.125 – 0.25 - …

Interasse tra le barreRicoprimento barre

effcseff AA ,/=ρ

Convenzionalità del calcolo

24CM

Calcolo della deformabilità - tension stiffening

L’allungamento del tirante si può ottenere per integrazione delle

deformazioni dell’acciaio:∫ ε=∆l

s dxL

Da un punto di vista tecnico, si valuta la deformazione media dell’acciaio (vedi poi), per cui:

LL smε=∆

25CM

Deformazione media dell’acciaio εsm

Viene valutata su una base di misura sufficientemente lunga in modo tale da poter essere descritta con una curva

Inizio fessurazione del cls

Snervamento dell’acciaio

Inizio fessura-zione stabilizzata

26CM

Deformazione media dell’acciaio εsm (segue)

PRESCRIZIONE NORMATIVA

sssm ε∆−ε=ε 2

Tutto il tirante in Stadio 2

Tutto il tirante in Stadio 1

Tension - Stiffening

Contributo di irrigidimento dovuto al calcestruzzo teso

27CM

sssm ε∆−ε=ε 2

Se si trascura la deformazione dell’acciaio in Stadio I

Deformazione media dell’acciaio εsm (segue)

21)1( sssm εγ+εγ−=ε

2

1

σσ

−=γs

sr

σσ

−σ

=

σσ

−ε=ε22

2 11s

sr

s

s

s

srssm E

LL smε=∆

σsr = Tensione nell’acciaio quando avviene la fessurazione del cls

Tale

esp

ress

ione

co

pre

i due

cas

i lim

ite

(Sta

dio

I e S

tadi

o II)

28CM

Deformazione media dell’acciaio εsm (segue)

CALCOLO TECNICO DELL’APERTURA DI FESSURA

Distanza tra le fessure

Differenza di deformaz. tra acciaio e cls

wk = β wm = 1.7 wm

Valore medio Valore caratteristico

Per fare le verifiche di ampiezza di fessura

2

211

σσ

ββ−=γs

srβ1 =1 Barre aderenza migliorata; β1 =0.5 Barre lisce

β2 =1 Carichi istantanei; β2 =0.5 Carichi lunga durata o ciclici

Differenza di deformazione tra acciaio e calcestruzzo

21)1( sssm εγ+εγ−=ε

Formule DM ‘96

2srmm sw εγ⋅=

ik ww ≤

29CM

Il Decreto prevede tre livelli di ampiezza di apertura delle fessure da porre in relazione alla condizioni ambientaliw1 = 0.1 mmw2 = 0.2 mmw3 = 0.4 mm

INDIVIDUAZIONE DELLO STATO LIMITE DI CONFRONTO

Formule DM ‘96

ik ww ≤

30CM

Calcolo tecnico dell’apertura di fessura (segue)

I limiti per l’ampiezza delle fessure dipendono dalle classi di esposizione secondo cui sono classificate le strutture

Formule EC2-2002

( )

s

effeff

effctts

cmsm E

nf

k ρ+ρ

−σ=ε−ε

1,

( ) ircmsmk wsw ≤⋅ε−ε= max

kt = 0.6 C. istantaneo0.4 C. permanente

σs = tensione acciaio in sezione fessurata

n = Es / Ecm

Confronto EC2-DM96Deformazioni analoghe.Distanza tra le fessure

maggiori.

Limiti EC2 meno restrittivi

31CM

Calcolo tecnico dell’apertura di fessura (segue) Formula dell’EC2

Etc.

32CM

Calcolo tecnico dell’apertura di fessura (segue)

Secondo Favre (Norm. Svizzera)

33CM

Area di calcestruzzo teso efficace nel caso di flessione (sia ai fini del calcolo dell’apertura delle fessure che per valutare il

contributo del tension stiffening nella valutazione della curvatura in condizioni fessurate)

E’ equivalente al tirante in cls descritto prima

Ac,eff

EC2-2002

34CM

Quando non è necessario calcolare l’apertura delle fessure (EC2) ?

A) Se viene disposta una armatura superiore all’armatura minima;

Per travi di notevole altezza, è necessario utilizzare un’armatura “di pelle” longitudinale distribuita lungo l’altezza, disposta all’interno delle staffe

2

,min,

)()(

s

efctctcs

fkAkA

σ=

• Act = Area tesa della sez. interamente reagente (per flessione bh/2);

• kc = tipo si sollecitazione – 1= trazione; 0.4= flessione;

• fct,eff = 3 MPa;

• k = variabilità delle deformazioni impresse 1-0.5:

• σs2 = 0.90 fyk

Per evitare l’espulsione del copriferro o quando si impieghino barre di grande diametro è necessario, inoltre, utilizzare armatura di pelle esterna alle staffe

Evitare lo snervamento dell’acciaio all’atto della fessurazione → As > 1.6‰ Ac

35CM

Quando non è necessario calcolare l’apertura delle fessure (EC2) ?

B) 1) Per fessurazione dovuta a vincolamento (es. ritiro impedito) si soddisfano i requisiti della Tab. 7.3;

2) Per fessurazione dovuta principalmente ai carichi si soddisfano i requisiti della Tab. 7.3 o della Tab. 7.4;

5.2)(105.2,*,* effct

screffct

ssf

dhhf

φ≥−

φ=φ

h=80cm; d=77cm; hcr=40cm

1.33

E’ possibile usare diametri diversi secondo l’espressione

36CM

Quando non è necessario calcolare l’apertura delle fessure (EC2) ?

ESEMPIO

Sezione rettangolareb= 30 cm ; h= 50 cm ; c= 4 cm ; d= 46 cm

As= 12.5 cm2; As’= 7.8 cm2; Mes= 80.6 kNm

con Act = bh/2, fct = 3 MPa, fyk = 374 MPa

ottengo As,min= 2.60 cm2 << As

Calcolo l’effettiva tensione nelle barre in condizione di carico semi-permanente.

Dalle formule lineari x= 12.7 cm.

ξ = x/d = 0.277, ζ = 0.908, z = 41.8 cm

Calcolo della tensione nell’acciaio:

≥ c ct,cls cts

yk

k k f AA

0.9 f

MPa3.1545.128.41

106.80 3=

⋅⋅

==σs

s AzM

Indicazioni tabulate

Si impiegano 4φ20 (As=12.5 cm2) distanziati di 80 mm.

Non è necessario procedere ad altre verifiche di apertura fessure.

37CM

FESSURAZIONE DOVUTA A CARICHI O A DEFORMAZIONE IMPEDITA

38CM

FESSURAZIONE DOVUTA A DEFORMAZIONE IMPEDITA NELLE PRIME FASI DI COSTRUZIONE

39CM

GETTO IN FASI SUCCESSIVE: NECESSITA’ DI UN’ARMATURA IN DIREZIONE LONGITUDINALE PER LIMITARE LA FESSURAZIONE

2

,min,

)()(

s

efctctcs

fkAkA

σ=

Nel caso di fessurazione dovuta a deformazione impedita (es. per ritiro o forti variazioni termiche), l’armatura minima è definita come l’armatura necessaria ad assorbire, all’atto della fessurazione e

senza snervarsi, lo sforzo di trazione che precedentemente era assorbito dal

calcestruzzo

ARMATURA MINIMA (EC2)

40CM

41CM

3) Deformabilità degli elementi in c.a.

La deformazione di un elemento strutturale deve essere tale da non alterare né il suo corretto funzionamento, né l’aspetto estetico;

1) Nel caso di soli problemi di tipo estetico (e di funzionalità), la freccia (rispetto agli spostamenti delle estremità) di una traveo di un solaio soggetto ai carichi quasi-permanenti deve essere:

2) Se possono essere causati danni a tramezzature e finiture, lefrecce (a struttura e finiture ultimate) devono essere:

(a volte tale limite può essere rilassato)

f / l < 1/250

f / l < 1/500

42CM

3) Deformabilità degli elementi in c.a. (segue)

A) La freccia può essere calcolata secondo i criteri descritti nel seguito;

B) Il calcolo delle frecce può essere evitato se il rapporto luce/altezza utile non è superiore ai valori sotto riportati (valida per lunghezza < 7 metri):

Travi in spessore di solaio sono più soggette a problemi di elevata deformabilità

Der

iva

da u

na s

erie

di s

tudi

di t

ipo

para

me-

tric

o (p

er s

trut

ture

dim

ensi

onat

e co

n σ s

=310

MPa

) ed

è tu

ttora

sog

getta

a re

visi

one

ρ < 0.5 %

ρ = 1.5 %

Indicazioni D.M. ‘96

( 7 )

43CM

Calcolo della deformabilità delle travi in c.a.

εc

εsmAc,effdr

smc

m

ε+ε=

1

CURVATURA MEDIA - a partire dalla deformazione del cls compresso e la def. media dell’acciaio (come se fosse un tirante in c.a.)

MM cr

s

sr ≅σσ

2

21

11)1(1rrrm

γ+γ−=

2

211

−=

s

sr

σσββγ

44CM

Curvatura media (EC2)

21

11)1(1rrrm

γ+γ−=

11

1IE

Mr c

=

22

1IE

Mr c

=

M

Mcr

2

211

ββ−=γ

MM cr

Curvatura in Stadio I (Sezione completamente

reagente)Curvatura in Stadio II

(Sezione parzializzata)

Coefficienti definiti in funzione del tipo di

barra e di carico

10 ≤γ≤

Formulazione ACI

2)1( III ge γ−+γ=4

=γ

MM cr

Momenti di inerzia efficace

45CM

MMcr

CALCOLO DELLE FRECCE (STR. ISOSTATICHE)

Cioè nei casi in cui è noto il diagramma dei momenti M(x)

∑∫=

∆⋅

⋅′=⋅′=⋅

Ni imi

l m

xr

Mxxr

xMf,..,1

1d)(1)(1

M(x)

Curvatura media del concio

∆φ

f

F=1

M’ x( )

Sistema fittizio

Sistema reale

1/rm(x)

46CM

Calcolo delle frecce (segue)

∫∫∫ −

−+=

22

dd11d2121 l

tscl ccl c

c zFIEMMzMM

IEIEz

IEMMf

fc = f1 + ∆f2 − ∆ fts

Dopo alcuni passaggi analitici:

l : Lunghezza della travel2 : Lunghezza della trave in Stadio II (cioè fessurata)

Freccia trave non fessurata Incremento come se tutta la porzione centrale fosse in Stadio II

Irrigidimento dovuto al “tension stiffening” nel tratto centrale

γ+γ−= 21 )1( fffc

Altra forma:

10 ≤γ≤f1 : Freccia in Stadio If2 : Freccia in Stadio II

47CM

Calcolo delle frecce (segue)

γ+γ−= 21 )1( fffc 10 ≤γ≤f1 : Freccia in Stadio If2 : Freccia in Stadio II

Il diagramma dipende dal vincolamento e dal tipo di carico (es. carico uniforme) - è un calcolo esatto

Funzione del rapporto tra Momento di prima

fessurazione e Momento massimo

48CM

Calcolo delle frecce (segue)

Metodo approssimato (Proposta CEB)

γ+γ−= 21 )1( fffc

ββ−=γ

max211

MMcr

CEB

5.1

max211

ββ−=γ

MMcr

appr

CEB:

Altre proposte (da indagini parametriche)

β1 =1 Barre aderenza migliorata; β1 =0.5 Barre lisce;

β2 =1 Carichi istantanei; β2 =0.5 Carichi di lunga durata o ciclici

49CM

Calcolo delle frecce (segue) ESEMPIO NUMERICO - 1

Trave appoggiata L=6.00 mB = 25 cm – Rck 250 – FeB44kqes=40 kN/m

Progetto: pongo ξ=0.35 da cui

µ=0.80⋅ξ⋅ (1-0.40⋅ξ)=0.24 (campo 3)

Uso quindi h=64 cm + h’=3 cm

Definisco anche l’armatura tesa:

Adotto 4φ20 (As = 12.57 cm2)

Per i calcoli successivi si considerano:fctd=2.76 MPa – n = 7.37

cm6.63100112524.0

8/6004005.1 2=

⋅⋅⋅⋅⋅

=µ

=cd

u

fBMh

2cm98.1280.080.0 =ξ⋅=→ξ⋅=ρyd

cdsm f

BhfA

Calcolo deformataSTADIO I (sez. non fessurata)

Asse neutro x1=35.1 cmM. Inerzia I1=708252 cm4

Freccia in mezzeria:

STADIO II (sez. parzializzata)Asse neutro x2=18.4 cmM. Inerzia I2=244546 cm4

Freccia in mezzeria:

Momento di fessurazione:

cm334.03845

1

4==

IElqf

c

esI

cm968.03845

2

4==

IElqf

c

esII

kNmxHIfM ctd

cr 3.611

1 =−

=

50CM

Calcolo delle frecce (segue) ESEMPIO NUMERICO - 2

Calcolo esattoTratto non fessurato:

Calcolo le funzioni adimensionaliF1 = 0.99 note ancheF2 = 0.166 da abachi

Valuto i contributi di freccia:

Sommando ottengo il valore finale:

( ) cm4.56/112 max =−−= MMld cr

Calcolo approssimatoValutazione del coefficiente CEB

Calcolo della freccia approssimata:

Usando invece il coefficiente cm628.01 11

222 =

−=∆ F

IIff

cm105.01 21

2212 =

−ββ=∆ F

IIffts

cm857.021 =∆−∆+= tsffff

66.01max

21 =

ββ−=γ

MMcr

CEB

%12Err752.0)1( 21 =→=γ+γ−= cmfffc

801.015.1

max21 =

ββ−=γ

MMcr

app

%2Err842.0)1( 21 =→=γ+γ−= cmfffc

51CM

Influenza delle modalità di progettazione

Freccia aumenta al crescere di ξ causa la diminuzione dell’altezza della sezione (h=f (ξ-1)).

Contributo irrigidente della parte non fessurata è trascurabile tranne che per bassi valori di ξ

Effetto del tension stiffening èsempre rilevante;

Particolarmente per bassi livelli di ξ (diminuzione della freccia del15−20%).

52CM

CALCOLO DELLE FRECCE (STR. IPERSTATICHE)

Il calcolo delle frecce in strutture iperstatiche è reso più complesso dal fatto che l’andamento delle sollecitazioni dipende dalla deformabilità della struttura, la quale a sua volta si modifica quando alcuni tratti di trave sono fessurati. La soluzione richiede quindi l’uso di tecniche numeriche iterative.

Valutato nei vari tratti della trave

53CM

Freccie in S. Iperstatiche – Segue Redistribuzione dei momenti a causa della fessurazione

Progetto con ξ = 0.259

Redistribuzione limitata quando M+/M-≈ Mcr

+/Mcr-

Fessure quasi contemporanee

Fase con molta redistribuzione

54CM

Influenza del Modulo Elastico e del Momento di Fessurazione

Modulo Elastico

•Stadio I: Non altera significativamente il Momento di inerzia quindi la variazione di rigidezza è circa proporzionale alla propria variazione:

E ±20% → EJ ±20%

• Stadio II: Modifica n e quindi anche il Momento di inerzia in modo sensibile. La variazione di J e di E, però, vanno in senso opposto quindi:

E ±20% → EJ ±5%

•Variazione della freccia:∆f = 15÷20% per carichi prossimi a quello di prima fessurazione.∆f = 2÷5% per carichi elevati.

Momento di fessurazione

•Non induce alcuna modifica delle frecce di stadio I e II.•Provoca una sensibile variazione negli effetti della fessurazione, del tension stiffening e della freccia effettiva.•Parametro significativo è il rapporto

Mcr / Mmax

•Per bassi valori c’è poca sensibilitàalla variaizone di Mcr.•Per rapporti elevati la sensibilitàcresce significativamente.

ES: Mcr / Mmax = 0.34 → ∆f = 4÷5% Mcr / Mmax = 0.50 → ∆f = 9% Mcr / Mmax = 0.66 → ∆f = 15%

55CM

INCERTEZZE NEL CALCOLO DELLA DEFORMABILITA’ DELLE TRAVI IN C.A.

20 30 40 50

20000

24000

28000

32000

36000

40000Norm. Italiana

CEB MC90

EC2

ACI (USA)

fc (MPa)

Ec (MPa)

20 30 40 50

0

2

4

6

8

Norm. ItalianaCEB MC90

EC2

ACI (USA)

fc (MPa)

fctf (MPa)

Modulo Elastico Resistenza a trazione (rottura a flessione)

56CM

CONFRONTO CON RISULTATI SPERIMENTALI

Modulo Elastico

Prove con Moduli E e Momenti di fessurazione Mcr noti

Prove con Moduli E e Momenti di fessurazione Mcr valutati

mediante indicazioni normative:Valore medio = 0.97C. Variazione = 0.31

Metodo approssimato

57CM

CONFRONTO CON RISULTATI SPERIMENTALI

Modulo Elastico

•Previsione del valore medio analoga al caso precedente.•Coefficiente di variazione molto più piccolo.•Superiore attendibilità del metodo rigoroso

Metodo rigorosoValore medio = 0.95C. Variazione = 0.14

Metodo rigoroso

58CM

CALCOLO DELLE FRECCE DIFFERITE

Il calcolo della deformazione flessionale si effettua, se del caso, tenendo conto degli effetti del ritiro e della viscosità.

Ponte stradale demolito per eccesso di deformazione dopo 20 anni.

59CM

IL PROBLEMA DELLA VISCOSITA’ DEI CALCESTRUZZI

Modulo efficace

( ) ( ) ( )1 0 . 0 1 0, ,ist vt t t t tε = ε + ε

( ) ( ) ( )1 0 1 00

, ,cv

ct t t t

E tσ

ε = φ( ) ( ). 00

cist

ct

E tσ

ε =

( ) ( ) ( )1 0 1 00

, 1 ,c

ct t t t

E tσ

ε = + φ

0, 0

0

( )( )1 ( , )

cc eff

E tE tt t

=+ φ

( ) ( )0,01,

tEtt

effc

cσ=ε

Carico applicato costante nel tempo

60CM

IL PROBLEMA DELLA VISCOSITA’ DEI CALCESTRUZZI

METODO DEL MODULO EFFICACE SEMPLIFICATO (EMs) – EC2

•Si considerano le sezioni in c.a. con le loro armature;•Si pensa indipendente il contributo della viscosità da quello del ritiro.•Si calcola la curvatura dovuta al ritiro e quella legata alla viscosità per la sezione fessurata e non fessurata secondo le espressioni:

Il calcolo tecnico delle deformazioni differite

•La descrizione della redistribuzione nel tempo delle sollecitazioni in membrature in c.a. fessurate è estremamente complessa.

•Ricorso a metodi semplificati validi per strutture ISOSTATICHE oIPERSTATICHE a vincoli fissi nel tempo (forte semplificazione).

•Si valutano gli effetti della viscosità e del ritiro sulla curvatura del generico concio di trave.

•Per il calcolo della freccia è, quindi, necessario usare il P.L.V. (come illustrato in precedenza per carichi istantanei).

tot

s

effc

scs

cs JS

EE

r ,

1ε=

toteffccv JEM

r ,

1= γ

+γ−

=

21

1)1(11

cicici rrr

61CM

IL PROBLEMA DELLA VISCOSITA’ DEI CALCESTRUZZI

Indicazioni Norma Italiana DM96Ritiro – εcs

Coefficiente di viscosità – φ

0

50

100

150

10 100 1000

log(t)

J(t,t

o) x

106 (1

/Mpa

)

dati sperimentaliCEBACI h(2)ACIh(1)B3

CONFRONTI SPERIMENTALI

Variabilità risultati sperimentali

62CM

STRUTTURE IN ACCIAIO

STATI LIMITE DI SERVIZIO

63CM

STATI LIMITE DI ESERCIZIOLimiti di deformabilità (norma italiana)

• Si assumono la combinazione rara per gli stati limite di esercizio (simile alla combinazione adottata con il metodo delle tensioni ammissibili)

• Le freccie degli elementi delle strutture edilizie devono essere contenute quanto ènecessario quanto è necessario perché non ne derivino danni alle opere complementari in genere e in particolare alle murature di tamponamento e ai relativi intonaci.

NOTA: Data la deformabilità delle strutture in acciaio, i limiti degli spostamenti sono spesso più gravosi dei limiti di resistenza

Esempio per una trave appoggiata:diagramma del rapporto freccia/lunghezza in funzione del rapporto lunghezza/altezza della sezione (in genere tra 15 e 30) per un prefissato livello di tensione massima.

64CM

Limiti di deformabilità (norma italiana)

1) Travi di solai 1400qf L< fq = freccia dovuta al

carico variabile

4) Arcarecci e elementi secondari di copertura

1500g qf L+ <

3) Sbalzi: come travi ma con luce pari al doppio della lunghezza dello sbalzo

2) Travi caricate direttamente da muri, pilastri o tramezzi

1200g qf L+ <

5) Spostamento massimo orizzontale di edifici multipiani alti dovuto al vento

1500w Hδ <

Nota: per le travi a sostegno di tamponamenti in strutture intelaiate si può ridurre il peso del muro contando sul comportamento ad arco del muro

Limiti agli spostamenti

Scorrimento delle unioniNelle unioni in cui lo sforzo è affidato all’attrito la massima sollecitazione non deve superare la massima forza trasmissibile

65CM

Stati limite di esercizio (Eurocodice 3)

Stati limite di servizio da verificare:1. deformazioni che possono compromettere l’uso della struttura;2. vibrazioni che possono dare fastidio o danno;3. danni agli elementi non strutturali.

•Ad eccezione dei casi in cui valori limite specifici siano concordati tra cliente, progettista e Autorità competenti, si considerano i limiti raccomandati.

•Si applicano la combinazione di carico rara prevista allo SLE.

•Nel calcolo degli spostamenti si deve tenere conto degli eventuali effetti del secondo ordine, della effettiva rigidezza rotazionale delle unioni semirigide, e della possibile presenza di deformazioni plastiche che intervengano allo SLE (qualora si adotti una analisi plastica globale allo SLU).

Controllo degli spostamenti

66CM

Spostamenti verticali

1) Solai in generale

2) Solai con tramezzi

L2501

max <δ

L2501

max <δ

21

300Lδ <

21

350Lδ <

δmax = spostamento dovuto ai carichi totali

δ2 = spostamento dovuto ai carichi variabili

3) Solai che sopportano colonne max1

400Lδ < 2

1500

Lδ <

67CM

Spostamenti verticali: osservazioneNel calcolo delle frecce occorre tenere conto delle deformazioni indotte da scorrimenti nei collegamenti bullonati. Ad esempio per una travatura reticolare si hanno ulteriori frecce dovuta agli scorrimenti nei correnti (δc) e nelle diagonali (δd) che possono essere valutate con le espressioni:

)(6 0 dd

hLn

c −=δ )( 0 ddhL

pLd

d −=δn = numero di giunti nei correntiLd = lunghezza delle aste diagonalip = passo delle aste diagonalid0-d = gioco foro-bullone

Dove:

Spostamenti orizzontali

1300

hδ <

0 01

250hδ <

In ciascunpiano

Per l’interastruttura

00 5001 h≤δ

68CM

Controllo delle vibrazioniPersone che camminano inducono vibrazioni con frequenza di circa 2 cicli/s ⇒ la frequenza naturale del solaio deve essere maggiore di 3 cicli/s per evitare risonanza.

In caso di solai sui quali si salta o si balla in modo ritmico, la frequenza naturale del solaio deve essere maggiore di 5 cicli/s.

δ=

5f

Relazione tra frequenza naturale e freccia (in cm)

Limitazione della freccia totale per la combinazione di carico frequente

69CM