u e Consolidazione

1

• t = 0: drenaggio impedito u 0, ’ = - u 0 cedimento iniziale (immediato) w0

(u non equilibrate con le condizioni idrauliche al contorno)CONDIZIONI NON DRENATE (CND)

Fondazione (sovraccarico)

t

w

’

u

wcw0

w∞

• t → : drenaggio ‘libero’ u = 0, ’ = cedimento finale (totale) w = w0+wc

(u in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno)CONDIZIONI DRENATE

• t > 0: consolidazione u (t) → 0, ’= -u = f (t) cedimenti di consolidazione wc = w(t)PROCESSO DI CONSOLIDAZIONE

u

In un terreno saturo, soggetto ad una variazione di tensione totale istantanea e successivamente costante nel tempo, si verificano tre condizioni di drenaggio successive:

w∞

u/w

u e Consolidazione

2

In un terreno fine saturo soggetto ad una variazione di stato tensionale sono possibili variazioni di volume (v) solo per effetto di variazioni di massa (contenuto) d’acqua presente nei pori: w 0 v 0

All’istante iniziale (t = 0) del processo di variazione di tensioni totali (),il drenaggio (che implica variazioni di contenuto d’acqua) è impedito: w = 0 v 0

Per il calcolo degli incrementi di tensione totale = f(P,), e anche dei cedimenti w = f(, E,)il terreno saturo bifase è trattabile come mezzo elastico monofase (equivalente)incompressibile (v 0) ma capace di deformarsi per distorsione (s 0).

0

0v

t

=

=

,u uE

u

( )

( )

rigidezza volumetrica 3 1 2

rigidezza distorsionale 2 1 3

u

u

u u

u

EK

E EG

= = −

= = +

Ciò equivale ad assumere = u = 0.5 e pertanto:

z

u e Consolidazione

3

Le variazioni di pressioni interstiziali sono accoppiate a quelle di tensioni efficaci ( = ’ + u)e la ripartizione di tra le fasi è ottenibile imponendo la congruenza

Sono possibili quindi due diversi approcci per l’analisi degli stati tensionali e deformativi indotti da un processo di carico in condizioni non drenate (o ”di breve termine” o ”a t = 0”):

Approccio alle… tensioni totali tensioni efficaci

incrementi tensioni totali = f(P, u)

incrementi pressioni interstizialiIgnoti

u = f()

incrementi tensioni efficaci ’ = - u

caratterizzazione terreno monofase equivalente (Eu ; u = 0.5) scheletro solido (E ’ ; ’)

calcolo deformazioni = f(, Eu, u) = f( ’, E ’, ’)

L’approccio alle tensioni totali è più pratico, quello alle tensioni efficaci più rigoroso.In linea di principio, dovrebbero fornire risultati congruenti nell’ipotesi di validità della teoria elastica.

( ) ( )2 1 3 2 1u u

u

u

E E EG G

= = =

+ +In particolare se:

u e Consolidazione

4

La definizione dei ‘coefficienti di ripartizione’ esprime in genere u = f() separando i contributi di componente sferica e deviatorica della sollecitazione

Skempton (1954) definì i c.d. ‘parametri di pressione interstiziale’ A e Briferendosi a condizioni di compressione cilindrica (p. es. prove triassiali)

( ) ( )1 3 3 1 3,u f B A = = + −

3u B = ( )1 3u B A = − incremento (sferico) di 3 incremento di 1

1 3c = =

3

1

3

1

q

, ,p p u

q

, ,p p u

3B ( )1 3-B A

1 3q = −

3B

u e Consolidazione

5

Applicazione di compressione isotropa 1 2 3p = = = ad un terreno bifase

Variazioni di volume (infinitesime) per scheletro solido e fluido:

f f

f f

ss ss

ss ss

u uV V nV

K K

p pV V V

K K

= =

= =

( )f f

f ss

ss ss

K KV V u p p u

nK nK = = = −

3

1 1

1 1ss ss

f f

u pK K

n nK K

=

+ +

Imponendo la congruenza:

Riordinando: 3

1

1 ss

f

u uB

Kp nK

= = =

+

u e Consolidazione

6

Considerando che Kw ( 2000 MPa) Kss (1 ÷ 100 MPa) >> Kg ( 0), sarà:

• terreno saturo1

1

1 ss

w

BK

nK

=

+

( è tutto ‘a carico dell’acqua’)

• terreno asciutto 10

1 ss

g

BK

nK

=

+

( è tutto ‘a carico dello scheletro solido’)

• terreno non saturo( )

1

0,1

1 1ss ssr r

w g

BK K

nS n SK K

=

+ + −

( ripartito tra le fasi)

Nei terreni non saturi, il coefficiente Bdipende quindi dalla combinazione di:

• porosità n• grado di saturazione Sr

• rigidezza Kss dello scheletro solido

q

, ,p p u

0 0rS u= =

1rS u p= =

u e Consolidazione

7

Applicazione di un incremento di deviatore 1 3 − ad un terreno bifase

Dalla condizione 1 31 1

31 1ss ss

f f

u pK K

n nK K

− =

+ +

risulta:1 3

1 1

31 ss

f

uAB

Kn

K

= =

− +

Se il terreno è saturo, risulta e poiché B = 1,

Per ‘percorsi di estensione’ (q < 0)

1

3AB

1

3A =

2

3A =

In realtà, i coefficienti A sono tutt’altro che conformi a questi valori teorici!

Argilla sensitiva 0.7 – 1.5

Argilla molle 0.5 – 1.0

Argilla di media consistenza 0.0 – 0.5

Argilla molto consistente -0.5 – 0.0

Valori sperimentali tipici di A:

q

, ,p p u

3

qu

=

qsi dimostra invece che

qIn ogni caso, in ipotesi di elasticità,il percorso di tensioni efficaci è verticale

2

3u q =

u e Consolidazione

8

Condizione di continuità di terreno saturo, caso monodimensionale (vx = vy = 0):

zv ndz dAdt dzdA dt

z t

− =

Indicando con ū il solo incremento di pressione interstiziale (sovrappressione),

0z

w

u uhv k k

z z

+ = − = − +

1 1zv z

ed ed

udn dt dt

E t E t

− = = = = −

uguagliando la ① alla ② e introducendo la ③,la condizione di continuità è esprimibile in funzione della sola ū(z,t):

2

2

1

w ed

k u u

z E t

=

dz

dx

dy

zz

vv dz

z

+

zv

zv n

z t

− =

2

2z

w

v k u

z z

− =

1

ed

n u

t E t

=

①

②

③

Ipotizzando costante nel tempo la tensione orizzontale

0z z zu u

t t t t t

= + = = + =

n.b.: incremento di tensione totale;

incremento di pressione interstiziale;

incremento di tensione efficace

u

u

=

=

= − =

u e Consolidazione

9

2

2v

u uc

t z

=

2 1 edv

w

k Ec L T

− =

L’equazione reggente la consolidazione monodimensionale è in definitiva :

avendo definito il coefficiente di consolidazione verticale

ed è integrabile purché siano assegnate:

• condizioni di drenaggio al contorno

• distribuzione iniziale di sovrappressioni ū0(z)

(dall’analisi in condizioni non drenate)

La soluzione è rappresentabile mediante curve ūt(z) dette isocrone (distribuzioni di ū(z), fissato t).

u e Consolidazione

10

La soluzione analitica è:

( ) ( ) ( )2

0

0

2, sin 2 1

2n T

i

uu z t n Z e n i

n

−

=

= = +

2e vc tz

Z TH H

= =dove si è posto (fattore tempo)

(H = massimo percorso della particella d’acqua ½ altezza strato)

ū0

ū

z

2H

wū

z

ū(z,t)

t

n.b.: incremento di tensione totale;

incremento di pressione interstiziale;

incremento di tensione efficace

u

u

=

=

= − =

Nel caso più elementare (riprodotto ad es. nell’edometro), si ha:• sovraccarico uniforme ( isocrona iniziale rettangolare, ) • drenaggio da entrambe le superfici ( )

(0, ) (2 , ) 0u t u H t = =0u =

u e Consolidazione

11

n.b.: incremento di tensione totale;

incremento di pressione interstiziale;

incremento di tensione efficace

u

u

=

=

= − =

u

U =

Rappresentazione grafica in termini di isocrone adimensionali ū (Z, T)/

u e Consolidazione

12

In generale, conviene esprimere l’andamento del fenomeno mediante:

• grado di consolidazione in termini di cedimento, Uw

• grado di consolidazione medio in termini di tensione, Uσ

( )w

c

w tU

w=

( )2

0

1,

2

H

t z dzH

U

=

( ) ( )22

0 0

1 1

2 21-

HH

u t dz u t dzH H

U

− = =

area sottesa dall'isocrona ( ) area campita1 =

area rettangolo 2H area totale

TU

= −

n.b.: incremento di tensione totale;

incremento di pressione interstiziale;

incremento di tensione efficace

u

u

=

=

= − =

u e Consolidazione

13

( ) ( )2

0

1,

H

ed

w t t z dzE

= ( ) 00, 0 0z w = = 2

c

ed

Hw

E

=Nel caso elementare, e

Pertanto si verifica che Uw Uσ = U (il grado di consolidazione è unico)e la soluzione è esprimibile da un’unica curva U(T):

Calcolato il cedimento di consolidazione wc per uno strato con H e cv noti,la curva di consolidazione (relazione cedimenti-tempi w : t) si ottiene:

1. fissando t → determinando il corrispondente

2. calcolando il valore U(T) → w(t) = U(T)wc

2vc t

TH

=

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

Fattore tempo, T

Gra

do

di co

nso

lid

azio

ne, U

2

2 ed

v v

w

kEu uc c

t z

= =

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.001 0.01 0.1 1 10

Fattore tempo, T

Gra

do

di

co

ns

oli

da

zio

ne

, U

u e Consolidazione

14

Equazione della consolidazione monodimensionale

La funzione U(T) è approssimabile con la formula di Sivaram & Swamee (1977)

0.5

0.1792.8

4

41

T

U

T

=

+

( ) 2

0.3575.6

/ 4

1v

UT

U

=

−

0.5 0.197UT = =

0.9 0.848UT = =

( ) ( )( ) 2

/ 1

c vw t w U T c t

Tu U T H

= = = −

n.b.: incremento di tensione totale;

incremento di pressione interstiziale;

incremento di tensione efficace

u

u

=

=

= − =

u e Consolidazione

15

Il caso dell’isocrona iniziale rettangolare è valido per la condizione di carico indefinito su strati semplicemente o doppiamente drenati.

Altre soluzioni del problema 1D sono di interesse applicativo per l’analisi della consolidazione indotta da sovraccarichi o da variazioni delle condizioni idrauliche

1. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato da entrambi i lati

Soluzione ③ = combinazione di ① e ②

u e Consolidazione

16

• stavolta le U(T) sono diverse caso per caso

• per un fissato T, risulta: U③ > U① > U②

Sia la ③ che la ② presentano:

isocrone asimmetriche rispetto a metà strato

2. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato solo da un lato

NB: la velocità di consolidazione è proporzionale ai gradienti idraulici in prossimità dell’unica superficie drenante

U(T) identiche al caso ①

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.1 1 10 100 1000 10000

log t (min)

w (

mm

)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

/

u/

w1

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.1 1 10 100 1000 10000

log t (min)

w (

mm

)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

/

u/

w2

Cedimento

immediato

Cedimento da consolidazione primaria

Cedimento secondario

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.1 1 10 100 1000 10000

log t (min)

w (

mm

)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

/

u/

w1+w2

u 0

w w2

+ =

Curva di consolidazione sperimentale

da ’depurare’ per ottenere il

coefficiente di consolidazione verticale cv

Consolidazione primaria: deformazioni di volume associate a dissipazioni di u

Consolidazione secondaria: deformazioni viscose dello scheletro solido a ’=cost.

(si manifestano visibilmente quando u → 0)

u e Consolidazione

17

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,1 1 10 100 1000 10000

Log(t) (min)

w (

mm

)

wŪ = 0.0

t50

Ū = 0.5

Ū = 1.0

tangente al punto di flesso

w

t 4.t

asintoto obliquo

cedimento di consolidazione

primaria

Metodo di Casagrande

Principio: depurare la w(t) sperimentale della ‘testa’ e della ‘coda’ per estrarne

- cedimento di consolidazione primaria, wc

- coefficiente di consolidazione primaria, cv

- coefficiente di consolidazione secondaria, c

2

50

0.197v

Hc

t

=

tan

o

ch

=

h0 = 2H

u e Consolidazione

18

per t ridotti, vale approssimativamente( )( )

42

w tw t

w t =

intersezione tra la tangente nel punto di flesso e l’asintoto obliquo

250

250

0.197: 0.50 0.197

2c v

v v

w c t Hc U T c

H t = = = =

,

/ tan:

log logs o

o

w hc c

t t h

−−= = =

oppure

1. Cedimento immediato w0

2. Cedimento secondario ws

(ribaltamento estrapolazione a t = 0)

3. Cedimento di consolidazione wc→ 0–c f sw w w w= −

4. Coefficiente di consolidazione cv→

5. Coefficiente di consolidazione secondaria c →

log

ec

t

−=

u e Consolidazione

19

per t ridotti: w t

estrapolazione a t = 0 della retta :w t

w90 = intersezione della curva con la retta inclinata 1.15 volte la tangente iniziale

90 0

0.9c

w ww

−=

290

290

0.848: 0.90 0.848v

v v

c t Hc U T c

H t= = = =

1. Cedimento immediato w0

NB: cedimento secondario ws

e coefficiente di consolidazione secondaria c

non determinabili

2. Cedimento di consolidazione wc

3. Coefficiente di consolidazione cv

u e Consolidazione

20