Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende al limite finito l e si scrive :

0

( )limx x

f x l

Se per

Definizione (rigorosa) di limite

00 x x ( )f x l

Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende al limite finito l (converge) e si scrive :

0

( )limx x

f x l

Se per

Se x0 è arbitrariamente grande

00 xx ( )f x l

, 0x K K

+∞

+ ∞

Asintoto orizzontale

In questo caso la retta orizzontale di equazione

y=l si dice asintoto orizzontale

per la funzione f(x) per x→+ ∞

se 0 0 | :K x x K ( )lim

x

f x l

( )f x l

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Definizione (rigorosa) di limite

Si dice che per x tendente a - ∞ la funzione tende al limite finito l (converge) e si scrive :

( )limx

f x l

Se per

Se x0 è arbitrariamente grande e negativo

00 x x ( )f x l

, 0x K K

Asintoto orizzontale

In questo caso la retta orizzontale di equazione

y=l si dice asintoto orizzontale

per la funzione f(x) per x→- ∞

se 0 0 | :K x x K ( )lim

x

f x l

( )f x l

Definizione (rigorosa) di limite

Si dice che per x tendente a ∞

la funzione tende al limite finito l e si scrive :

( )limx

f x l

Se per

Se x0 è arbitrariamente grande o positivo o negativo

( )f x l , 0x K K

Equivale a

x>K se x>0 e x<-K se x<0

Asintoto orizzontale

In questo caso la retta orizzontale di equazione

y=l si dice asintoto orizzontale

per la funzione f(x) per x→ ∞

se 0 0 | :K x x K

( )limx

f x l

( )f x l

Definizione (rigorosa) di limite

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5101520

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Se l è arbitrariamente grande e positivo

Si dice che per x tendente a x0 la funzione (diverge positivamente) tende a + ∞ e si scrive :

0

( )limx x

f x

Se per 00 x x ( )f x l f(x)>M 00 Mx x

Asintoto verticale (p.154)

0se 0 0 | : 0M MM x x x 0

( )limx x

f x

( )f x M

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Se l è arbitrariamente grande e negativo

Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende a - ∞ (diverge negativamente) e si scrive :

0

( )limx x

f x

Se per 00 x x ( )f x l f(x)<-M 00 Mx x

Asintoto verticale (p.154)

0se 0 0 | : 0M MM x x x 0

( )limx x

f x

( )f x M

5101520

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Se l è arbitrariamente grande

Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende a ∞ (diverge) e si scrive :

0

( )limx x

f x

Se per 00 x x ( )f x l |f(x)|>M 00 Mx x

0se 0 0 | : 0M MM x x x 0

( )limx x

f x

( )f x M

Asintoto verticale (p.154)

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5101520

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5101520

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Se x0 e l sono arbitrariamente grande

Si dice che per x tendente a ∞ la funzione tende a ∞ e si scrive :

( )limx

f x

Se per 00 x x ( )f x l |f(x)|>M Mx K

Limite sinistro, destro (p.151)

Il limite sinistro si ottiene considerando l’avvicinamento solo da sinistra. Per ricordarlo si scrive

0 0se | :x x x x 0

( )limx x

f x

...

(0x 0x

Limite sinistro, destro (p.151)

Il limite destro si ottiene considerando l’avvicinamento solo da destra. Per ricordarlo si scrive

0 0se | :x x x x 0

( )limx x

f x

...

)0x 0x

Teorema: se il limite esiste, allora esistono anche il limite sinistro, il limite destro e coincidono.

Conseguenze:

Il limite non esiste se:

• il limite sinistro non esiste

• il limite destro non esiste

• esistono entrambe, ma hanno valori diversi.

Asintoti obliqui

Un asintoto obliquo è una retta non orizzontale e non verticale cui la funzione si avvicina indefinitivamente per x che tende

o a + ∞

o a –∞

o in entrambe i casi

Asintoti obliqui

• L’asintoto obliquo ha equazione

y=mx+n

La funzione f(x) ha un asintoto obliquo se risulta:

Possiamo trovare m ed n nel modo seguente

Asintoti obliqui

• Dal limite

Dividendo per x abbiamo

Portando n a destra abbiamo

N.B. il discorso vale anche per x→-∞

Proprietà dei limiti (p.155)

• Teorema della permanenza del segno

• In forma diretta

Se per x tendente a x0 la funzione tende ad un limite finito l diverso da zero, allora esiste un intorno di x0 nel quale la f(x) ha lo stesso segno di l

l

x0

Proprietà dei limiti (p.155)

• Teorema della permanenza del segno

• In forma inversa:

Se in tutti i punti vicini ad x0 la funzione è strettamente positiva allora il limite è non negativo

(esempio: parabola)

x0

Proprietà dei limiti (p.155)• Teorema carabinieri

Se due funzioni f(x) e g(x) per x tendente a x0 ammettono lo stesso limite l e se in un intorno di x0 si ha

f(x) h(x) g(x)

allora anche h(x) converge a l in x0

x0

Proprietà dei limiti (p.155)

• Il limite di somma, differenza, prodotto, quoziente di due funzioni

È dato da

• somma, differenza, prodotto, quoziente dei limiti

(eccetto il caso in cui il limite della funzione al denominatore è nullo)

Teorema del confronto

0

( )limx x

f x L

f(x)g(x), x in un intorno di x0

Sia f:A→R e g:B → R,

sia x0 punto di accumulazione per A.

Se esiste un intorno di x0 nel quale le funzioni sono entrambe definite tale che

ed esistono i limiti

0

( )limx x

g x M

Allora LM

Attenzione: nel teorema si chiede che esistano entrambi i limiti. L’esistenza del limite deve quindi essere nota a priori.

Osservazione: ci sono due casi in cui l’esistenza del limite segue dal teorema precedente:

Se L=+ ∞ allora g ha limite ed esso è + ∞

Se M=- ∞ allora g ha limite ed esso è - ∞

Metodi per il calcolo dei limiti

Funzioni continue

Definizione

0

0

( ) ( )limx x

f x f x

Una funzione f:A→R, con A R si dice continua in x0 punto di accumulazione di A se esiste

0

0

( ) ( )limx x

f x f x

Se x0 è un punto isolato (e quindi non è di accumulazione) allora, per convenzione, la funzione è continua.

0

0

( ) ( )limx x

f x f x

allora la funzione si dice continua da destra

allora la funzione si dice continua da sinistra

Se vale soltanto

Se vale soltanto

Le seguenti funzioni sono continue (p.136)

• Bisogna dimostrare che è verificata la definizione di funzione continua

f(x)=k

f(x)=2x-3 (p.135)

f(x)=mx+n (tutte le rette)

f(x)=x^2

Le potenze

I polinomi

Le funzioni razionali fratte con l’eccezione dei punti in cui il denominatore si annulla

Teorema di Weierstrass

• Se f(x) è continua un [a,b] allora è sempre dotata di minimo e di massimo ed assume tutti i valori compresi tra il minimo ed il massimo

• Osservazione: [a,b] è un intervallo chiuso e limitato. Tali intervalli prendono il nome di compatti.