LEZIONE 8

limx!+x0

f(x) = 0

limx!+x0

1

f(x)=?Cosa si puo’ dire su

SeUn’altra forma indeterminata

se f(x) > 0 per ogni x vicino a x0

allora lim

x!x01

f(x) = +1

In generale falso, si pensi a 1/x per x ! 0.

limx!x0

1

(x� x0)2k= +1

Per ogni k intero non negativo

Un altro limite importante:

• limx!+1

(sin x+5)

2

x

;

• limx!�1

(cos x)

2e

x

x

5 ;

• limx!+1 e

�x

2

(ln(x))5 +px

Si noti che

• lim

x!�1(cos x)

2e

x

x

5 = lim

x!+1 � (cos(�x))

2e

�x

x

5 ;

• lim

x!+1 e

�x

2

(ln(x))

5

+

px = lim

t!+1 e

�t

(ln(

pt))

5

+ t

1/4

Calcolare:

Esercizio

Abbiamo usato:

Se

• lim

x!+1 f(x) = +1

• lim

y!+1 g(y) = ↵

allora

lim

x!+1g(f(x)) = lim

y!+1g(y)

↵ puo anche essere +/�1.

Se

• lim

x!x0 f(x) = y0

• lim

y!y0 g(y) = ↵

allora

lim

x!x0

g(f(x)) = lim

y!y0

g(y)

↵ puo anche essere +/�1.

x0 puo essere +/�1.

Notate che

Esercizio

A)

B)

lim

x!0

log(1 +

1x

2 )

(1 +

1x

2 )3

=?

lim

x!0

log(1 +

1x

2 )

(1 +

1x

2 )3

= lim

y!+1

log(y)

y3

limx!+1

e�5x2+3x =?

sol. 0

sol. 0

Continuita’

Una funzione f e detta continua in un punto x0

del suo dominio se

lim

x!x0

f(x) = f(x0)

limx!x0 f(x) = f(x0)

Operazioni con funzioni continue

Continuita funzione composta

Siano f e g due funzioni tali che

• f(g(x)) e ben definita in un dominio D,

• g e continua in x0 2 D, con

limx!x0

g(x) = g(x0)

• f e continua nel punto y0 = g(x0)

alloralim

x!x0

f(g(x)) = f(y0) = f(g(x)).

Ossia la funzione composta e continua in x0.

x0

Esempi di funzioni continue

Esercizio

limx!+1

ln(2 + e�x) [ln(2)]

lim

x!+1cos

⇣3x+ 2

�x+ 4

⌘[cos(�3)]

lim

x!0cos

⇣3x+ 2

�x+ 4

⌘[cos(2/4)]

Determinare i seguenti limiti:Esercizio