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DAL GRAFICO DI UNA FUNZIONE A QUELLO DELLA SUA DERIVATA

Per passare dal grafico di 𝑓 𝑥 al grafico di 𝑓′ 𝑥 basta tenere presenti alcune considerazioni:

1. Dove 𝑓 𝑥 è crescente ↗, si avrà 𝑓′ 𝑥 > 0 (il grafico di 𝑓′ 𝑥 è sopra l’asse delle x) 2. Dove 𝑓 𝑥 è decrescente ↘, si avrà 𝑓′ 𝑥 < 0 (il grafico di 𝑓′ 𝑥 è sotto l’asse delle x) 3. Dove 𝑓 𝑥 ha un punto a tangente orizzontale (max/min/flesso tg oriz), si avrà 𝑓′ 𝑥 = 0, cioè il grafico di

𝑓′ 𝑥 taglia l’asse delle x.

4. Dove 𝑓 𝑥 è concava verso l’alto ∪ (cioè 𝑓′′ 𝑥 >0), si avrà 𝑓′ 𝑥 crescente; 5. Dove 𝑓 𝑥 è concava verso il basso ∩ (cioè 𝑓!! 𝑥 < 0), si avrà 𝑓′ 𝑥 decrescente; 6. Dove 𝑓 𝑥 ha punti di flesso (cioè 𝑓′′ 𝑥 = 0), si avrà che 𝑓′ 𝑥 ha punti a tangente orizzontale

(max/min/flesso tg orizz). Inoltre si può tener conto che:

• se una funzione 𝑓 𝑥 è pari (cioè presenta una simmetria rispetto all’asse y), allora la funzione derivata 𝑓′ 𝑥 è dispari (e risulterà simmetrica rispetto all’origine);

• se una funzione 𝑓 𝑥 è dispari (cioè presenta una simmetria rispetto all’origine), allora la funzione derivata 𝑓′ 𝑥 è pari (e risulterà simmetrica rispetto all’asse y).

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DAL GRAFICO DELLA DERIVATA A QUELLO DELLA SUA FUNZIONE PRIMITIVA Supponiamo ora di conoscere il grafico di 𝑓′ 𝑥 e di voler trovare il grafico di 𝑓 𝑥 . Si può anche considerare che sia noto il grafico di una funzione 𝑓 𝑥 e si sia interessati a trovare il grafico di una funzione 𝐹 𝑥 tale che sia 𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 , cioè il grafico della funzione 𝐹 𝑥 che è una primitiva di 𝑓 𝑥 . In ogni caso, noto il grafico di 𝑓′ 𝑥 , non si può univocamente determinare il grafico di 𝑓 𝑥 : i grafici che si ottengono sono fra loro tutti traslati verticalmente. Per costruire il grafico di una primitiva della funzione data si può osservare che: 1. Dove 𝑓′ 𝑥 è positiva, segue che 𝑓 𝑥 è crescente; Dove 𝑓 𝑥 è positiva, segue che 𝐹 𝑥 è crescente 2. Dove 𝑓′ 𝑥 è negativa, segue che 𝑓 𝑥 è decrescente; Dove 𝑓 𝑥 è negativa, segue che 𝐹 𝑥 è decrescente 3. Dove 𝑓′ 𝑥 è nulla, segue che 𝑓 𝑥 ha punti a tangente orizzontale (max/min/flessi a tg orizz).

Dove 𝑓 𝑥 =0, segue che 𝐹 𝑥 ha un punto stazionario 4. Dove 𝑓′ 𝑥 è crescente, si ha che 𝑓 𝑥 ha la concavità verso l’alto; Dove 𝑓 𝑥 è ↗, segue che 𝐹 𝑥 è ∪ 5. Dove 𝑓′ 𝑥 è decrescente, si ha che 𝑓 𝑥 ha la concavità verso il basso; Dove 𝑓 𝑥 è ↘, segue che 𝐹 𝑥 è ∩ 6. Dove 𝑓′ 𝑥 ha punti a tangente orizzontale (max/min/flessi a tg orizz), segue che 𝑓 𝑥 ha punti di flesso.

Dove 𝑓 𝑥 ha un punto stazionario, segue che 𝐹 𝑥 ha un punto di flesso

Fra le infinite funzioni che si possono rappresentare, basta stabilire il valore della primitiva per un particolare valore di x; per esempio, scelto x=0, basta imporre che la funzione primitiva passi per il punto (0;y0) dove y0 è un valore a nostra scelta.