La funzione primitiva

Può accadere di conoscere la derivata di una funzionef’(x) e di voler conoscere f(x). Ad esempio, conosciamo iltasso di accrescimento di una data popolazione evorremmo conoscere il numero di individui presenti nellapopolazione al tempo t. Conosciamo velocità oaccellerazione di un corpo e vorremmo conoscere lospazio percorso in un dato tempo.Supponiamo di conoscere che y’=2x allora sappiamo chey = x2 è una funzione la cui derivata è la funzioneassegnata, diremo che x2 è una funzione primitiva di2x.

La funzione primitiva

Poiché abbiamo già dimostrato che se due funzioniderivabili hanno la stessa derivata allora differiscono peruna costante c, possiamo dire che 2x non ha una solaprimitiva, ma infinite primitive, tutte le funzioni x2 +csono primitive e non possono essercene altre che queste.In generale, assegnata una funzione f’(x), esiste uninsieme infinito di primitive f(x)+c.

La funzione primitiva

Puoi scatenarti nel determinare le funzioni primitive delleprincipali funzioni che conosci essere derivata di una datafunzione, ad esempio:Se f’(x) = x2 chi è f(x)? f(x)= x3 ha per derivata 3 x2 e allora?Basterà dividere per 3…. f(x)= x3/3 è una primitiva di x2

Tutte le primitive di x2 sono dunque le funzioni f(x)=x3/3 +c

La funzione primitiva

Più in generale,se f’(x) = xn

Tutte le primitive di xn sono dunque le funzioni f(x)=xn+1/(n+1) + cAncor più in generale,se f’(x) = xα dove α è un numero reale ≠ -1Tutte le primitive di xα sono dunque le funzioni f(x)=xα+1/(α+1) + c

La funzione primitiva

Se f’(x) = 1/x ?Le primitive sono f(x) = log|x| +c

Se f’(x) = ex

Le primitive sono f(x)= ex + c

Se f’(x) = cosxLe primitive sono f(x)= sinx + c

Se f’(x)= sinxLe primitive sono f(x) = -cosx + c

Integrali

Sia N(t) il numero di individui di una data popolazione infunzione del tempo. Supponiamo di conoscere i tassimedi di accrescimento in n sottointervalli di un intervallodi tempo determinato [t0 , tz]. Siano g1=ΔN1/Δt1, g2=ΔN2/Δt2 ,…gn = ΔNn/ΔtnVogliamo calcolare l’incremento totale dell’ampiezzadella popolazione espressa in termini di gPoiché ΔN1= g1 Δt1, ΔN2= g2 Δt2, …. ecc. l’incrementototale sarà Σ ΔNi= Σ gi Δti

Integrali

Nel caso in cui il tasso di accrescimento cambi in modocontinuo nel tempo g=g(t), la soluzione al problema èmolto diversa. Possiamo sostituire nella formulaprecedente gi con g(ti), che ha però in generale valorediverso e quindi introduciamo un errore. E’ possibileridurre l’errore ed avere una precisione maggioreaumentando il numero dei sottointervalli. Possiamo anchefar tendere n all’infinito, l’ampiezza degli intervalli a 0 ecercare il limn→∞ Σ g(ti)Δti se tale limite esiste vienedetto integrale di g(t) su [t0 , tz] ed indicato con ∫t0

t1g(t)dt

IntegraliSia f(x) una funzione continua e consideriamo unintervallo [a, b] contenuto nel suo dominio. Supponiamoche f(x)>0 su questo intervallo, vogliamo calcolare l’areadella regione R delimitata dal grafico y=f(x), l’asse x e lerette parallele all’asse y nei punti estremi x=a ed x=b.La determinazione dell’area di una regione piana è moltoimportante in campo morfologicoPossiamo approssimare la regione R con un insieme direttangoli. A questo scopo suddividiamo l’intervallo [a, b]in n sottointervalli uguali xi-xi-1=(b-a)/n =Δx e suciascuno di questi intervalli dterminiamo il massino yMied il minimo ymidi f(x)

Integrali

IntegraliSia A l’area incognita di R. A può essere approssimataper difetto dalla somma delle aree degli n rettangoli dialtezza ymi, che sarà più piccola infatti di A, e cheindicheremo con Al; A può essere approssimata pereccesso dalla somma delle aree dei rettangolini conaltezza yMi, che indicheremo con AuAl= ym1Δx + ym2Δx +…..+ ymnΔxAu= yM1Δx + yM2Δx +….+ yMnΔx Al ≤ A ≤ AuProcediamo a suddivisioni sempre maggioridell’intervallo [a, b]. Facciamo tendere n all’infinito,Δx→0, si osserva che Au- Al→0

IntegraliQuindi Au ed Al tendono ad uno stesso limite A=limn→∞ Al=limn→∞ AuQuesto limite comune viene scritto col segno di integrale A= ∫ab f(x)dx

Possiamo rimuovere l’ipotesi f(x)>0 introducendo l’areaorientata (o con segno) di un rettangolo R A( R) =(x-x0)(y-y0)L’area orientata è positiva se x> x0 e y> y0 oppure x< x0 ey< y0 ; ed è negativa se x> x0 e y< y0 oppure x< x0 e y>y0

Integrali

In sintesi, l’area orientata è positiva se i quattro vertici(x0, y0 ), (x, y0), (x,y), (x0,y) così come sono elencativengono percorsi in senso antiorario, mentre è negativa sevengono percorsi in senso antiorario.

IntegraliProprietà degli integrali:Sia f:[a, b]→R una funzione integrabile• ∀x∈ [a, b] si ha ∫ab f(t)dt=∫ax f(t)dt +∫xb f(t)dt• ∫ab f(t)dt = -∫ba f(t)dt• ∫ab cf(t)dt =c ∫ab f(t)dt per ogni costante c• ∫ab (f(t)+g(t))dt = ∫ab f(t)dt + ∫ab g(t)dt• se f(x)≤g(x) ∀x∈ [a, b] allora ∫ab f(t)dt ≤ ∫ab g(t)dt

Integrali e primitiveSia f:[a, b]→R una funzione continuaIndichiamo con F:[a, b]→R la funzione F(x)= ∫ax f(t)dtDimostriamo che F(x) è derivabile e la sua derivataF’(x)=f(x)Dim:[F(x+h)-F(x)]/h =[∫ax+h f(t)dt - ∫ax f(t)dt ]/h ==[∫ax+h f(t)dt + ∫xa f(t)dt ]/h =[ ∫xx+h f(t)dt ]/hIndichiamo con M(h) e con m(h) rispettivamente ilmassimo ed il minimo valore di f nell’intervallo diestremi x ed x+h. Essendo f continua si ha limh→0M(h)=limh→0 m(h)=f(x)

Integrali e primitiveSupponiamo h>0, si ha hm(h)≤ ∫xx+h f(t)dt ≤ hM(h), dunquelimh→0m(h)=f(x)≤limh→0[∫xx+hf(t)dt ]/h≤ limh→0 M(h)=f(x)Analogamente per h<0Dunque abbiamo dimostrato che la funzione integraleF(x) è una primitiva della funzione f(x).Poiché sappiamo che tutte le primitive di una stessafunzione differiscono tra loro per una costante, avremoche una qualunque primitiva di f(x) si esprimerà come ∫ax f(t)dt + csi indica anche con ∫f(t)dt e si chiama integrale indefinito,l’insieme di tutte le primitive di f(x)

Integrali e primitiveSia f:[a, b]→R una funzione derivabile∀x∈[a, b] si ha ∫ax f’(t)dt =f(x)-f(a)

Infatti sia F(x)= ∫ax f’(t)dt per il teorema precedente,sappiamo che F è derivabile ed F’(x)=f’(x), dunque F(x)ed f(x) differiscono tra loro per costante F(x)=f(x)+c .Dal momento che F(a)=0=f(a)+c, si ricava c=-f(a), quindiF(x)=f(x)-f(a) e si ha perciò ∫ax f’(t)dt =f(x)-f(a)

Integrali e primitiveESEMPIO 1 Calcolare ∫12( 4x2 -3x + 2)dx∫1

2( 4x2 -3x + 2)dx= ∫12 4x2dx + ∫12-3xdx + ∫122dx=4 ∫12 x2dx -3 ∫12 xdx +2 ∫12dx =4(23/3 - 1/3) -3(22/2 - 1/2) +2(2-1)=28/3 -9/2 +2 =41/6

ESEMPIO 2 Calcolare ∫0πsintdt∫0πsintdt =-cos(π)-(-cos(0))=2

ESEMPIO 3 Calcolare ∫13(1/t)dt∫1

3(1/t)dt = log3 -log1 = log3

Alcune tecniche di integrazioneIntegrazione per parti:Sappiamo che (fg)’=f’g+fg’, per cuifg= ∫(fg)’(t)dt=∫f’(t)g(t)dt + ∫f(t)g’(t)dtPossiamo quindi scrivere∫f(t)g’(t)dt = fg - ∫f’(t)g(t)dtLa formula permette di ricondurre l’integrale di fg’all’integrale di f’g, nella speranza che quest’ultimo sia piùfacile da calcolareESEMPIO 1 Determinare l’integrale indefinito ∫ tetdtConsideriamo f(t)=t e g(t)= et, applichiamo il metodo diintegrazione per parti, si ha ∫ tetdt =tet - ∫ 1·etdt = tet - et

+c

Alcune tecniche di integrazioneIntegrazione per parti:ESEMPIO 2 Determinare ∫ sin2x dx ∫sin2x dx = ∫ (sinx)(sinx) dx, indichiamo con f(x)=sinx econ g’(x)=sinx, per cui g(x)=-cosx, si ha∫sin2x dx =sinx(-cosx)- ∫(cosx)(-cosx)dx= -sinxcosx+∫cos2x dx=-sinxcosx+∫(1-sin2x )dx =-sinxcosx+x-∫sin2x dxAbbiamo quindi2 ∫sin2x dx = -sinxcosx +x +c, da cui∫sin2x dx = (-sinxcosx +x)/2 + c

Alcune tecniche di integrazioneIntegrazione per parti:ESEMPIO 3 Determinare ∫ logx dxConsideriamo f(x)=logx e g’(x)=1, quindi g(x)=x, si ha∫ logx dx = xlogx - ∫ x(1/x)dx = xlogx - ∫ dx=xlogx -x + c

Alcune tecniche di integrazioneIntegrazione per sostituzione:Dalla formula di derivazione di una funzione composta,ed indicando con F una primitiva di f(F(g(t)))’=f(g(t)g’(t), otteniamo ∫F(g(t))’dt = F(g(t)) +c =∫f(g(t))g’(t)dt

Per l’integrale definito si ha g(b)

∫ab f(g(t))g’(t)dt =F(g(b))-F(g(a)) =∫ f(x)dx

g(a)

Dove si è posto x=g(t)

Alcune tecniche di integrazioneIntegrazione per sostituzione:ESEMPIO 1 Determinare ∫tcos(t2)dtConsideriamo g(t)=t2 ed f(x)=cosx, applicando la tecnicadi sostituzione otteniamo, moltiplicando e dividendo per2 l’integrale assegnato∫tcos(t2)dt= (1/2)∫2tcos(t2)dt = (1/2)∫cosxdx= (1/2)sinx + c=(1/2) sin(t2)+c , essendo x=g(t)

Alcune tecniche di integrazioneIntegrazione per sostituzione:ESEMPIO 2 Determinare ∫2te-t2dtConsideriamo g(t)=-t2 ed f(x)=exp(x), applicando latecnica di sostituzione otteniamo, moltiplicando edividendo per -1 l’integrale assegnato-∫-2te-t2dt=- ∫exdx= -ex+c= -e-t2 + c , essendo x=g(t)

Se fosse stato richiesto il calcolo di ∫12 2te-t2dt∫1

2 2te-t2dt = - ∫-1-4 exdx= -e-4- (-e-1)= e-1-e-4

Integrali impropri

Sia f:[a, +∞)→R, diremo che f è integrabile su [a, +∞) seesiste finito il limb→+∞ ∫ab f(t)dt

∫a+∞ f(t)dt = limb→+∞ ∫ab f(t)dt

Chiameremo ∫a+∞ f(t)dt integrale improprio di f su [a,+∞)

Integrali impropri

ESEMPIO Sia f(t)=t-α su [1, +∞)Se α=1 limb→+∞ ∫ab t-1 dt = limb→+∞logb=+∞Quindi l’integrale improprio di f(t)=1/t non esiste

Se α>1 limb→+∞ ∫1b t-α dt = limb→+∞ (b-α+1- 1)/(-α+1) = 1/(α-1)Quindi in questo caso l’integrale improprio esiste

Se α<1limb→+∞ ∫1b t-α dt = limb→+∞ (b-α+1- 1)/(-α+1)=+∞Quindi l’integrale improprio in questo caso non esiste