Corso Di Idraulica
298
A. Introduzione Notazioni e formule impiegate Grandezze e unità di misura Analisi dimensionale Equazione di stato A0
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Idraulica
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A. Introduzione
Notazioni e formule impiegate
Grandezze e unità di misura
Analisi dimensionale
Equazione di stato
A0
A1. Calcolo vettorialeCampo scalare : b(x,y,z,t) = b(x, t)
Campo vettoriale : b(x, t) = bx(x, t) i + by(x, t) j + bz(x, t) k ; b bx by bz ;
bi componenti; Esempio: velocità
Componente normale del campo : bn(x, t) = nx bx(x, t) + ny by(x, t) + nz bz(x, t) ;
n = nx i + ny j + nz k = versore normale
Tensore BZZZYZX
YZYYYX
XZXYXX
BBB
BBB
BBB
Quando risulta Bik = c ik
ik
100
010
001
il tensore è isotropo.A1
I100
010
001
|b| = b kb
k
2
1
3
= xb yb zb2 2 2
b c = k kb
k
c xb xc yb yc zb zc
1
3Prodotto scalare di vettori:
Prodotto vettoriale:
bc = bc)(i)(i)(i
iii
xyyxzzxxzyyzzyx
zyx
zyx
zyx
cbcbcbcbcbcb
ccc
bbb
A2
zz
yy
xx iii
bz
b
y
b
x
b
x
bgradb zyx
kkk
iiii3
1
bb3
1
z
b
y
b
x
b
x
bdiv zyx
k
kk
biii
iii
b
y
b
x
b
x
b
z
b
z
b
y
b
bbb
zyxrot xy
zzx
yyz
x
zyx
zyx
Biii
iib
B3
1
3
1
z
B
y
B
x
B
z
B
y
B
x
B
z
B
y
B
x
B
x
B
xdiv
zzyzxzz
zyyyxyy
zxyxxxx
i
ikkk
k
kk
A3
xxB xyB xzB
yxB yyB yzB
zxB zyB zzB
x y z[(div B)x (div B)y (div B)z] =
Sempre nell’ipotesi che i campi siano di classe C1, valgono le relazioni:
grad(cb) = c grad b + (grad c)bdiv (cb) = c div b + (grad c)•brot (cb) = c rot b + (grad c) b
ossia:
(cb) = cb + (c)b (cb) = c b + (c) b(cb) = cb + (c)b
A4
Se poi i campi sono di classe C2, si ha:
rot grad b = b = 0div rot b = (b) = 0
e si può impiegare il laplaciano, definito come:
2b
b
kxk
b
x
b
y
b
z
2
21
3 2
2
2
2
2
2
k
1
3ik
2bk = ix2bx + iy
2by + iz2bz
2b
Si vede subito che è
2b = div grad b = b
2b = grad div b – rot rot b =( b) - (b)
A5
Teorema di Gauss:
dAA
nibdVV xi
b
A (superficie)z
n
V
Teorema del gradiente: y
x
V A
dAbdVbgrad n
Teorema della divergenza:
AdAdV
Vdiv nbb
Formula di Kelvin:
A L
dxdArot bbn
A6
A2. Grandezze e unità di misura
Misura di una grandezza : rapporto tra essa ed un’altra della stessa specie scelta come unità
GRANDEZZE FONDAMENTALI GRANDEZZE DERIVATE
L Lunghezza
T Tempo
M Massa
Temperatura
Meccanica dei Continui Fluidi Classica
Nella pratica per una generica grandezza G:
][][
MTLG
( ANALISI DIMENSIONALE )
A7
Eq. fondamentale della dinamica:
dt
vdmamF
E le dimensioni di :F
][][ 2 MLTF
Altri esempi :
Area L2 m2
Volume L3 m3
Velocità LT-1 m/s
Portata volumica L3T-1 m3/s
Forza MLT-2 Kg x m/s2 = Newton
Tensione ML-1T-2 Kg/m/s = N/m2 = Pa
Lavoro ML+2T-2 Kg x m2/s2 = N x m = Joule
Potenza ML+2T-3 Kg x M2/s3 = Joule/s = Watt
Nel sistema tecnico la forza è grandezza fondamentaleA8
A3. Analisi dimensionale
È possibile esprimere le grandezze che intervengono nei fenomeni meccanici mediante tre sole di esseassunte come fondamentali, per esempio la Massa M, la Lunghezza L e il Tempo T (sono le grandezzefondamentali usate per il sistema internazionale delle unità di misura).
Se prendiamo ad esempio una velocità, essa è rappresentata dal rapporto tra una lunghezza e un tempo;scriveremo allora
][][ 1 LTV
e chiameremo questa uguaglianza l’equazione dimensionale della velocità, dicendo che la velocità hale dimensioni LT-1. Analogamente, se consideriamo una forza, essa per la legge di Newton è data dalprodotto di una massa per una accelerazione che a sua volta è una velocità divisa per un tempo;scriveremo allora
][][ 2 MLTF
A9
Il rapporto tra due grandezze aventi le stesse dimensioni si chiama Numero Puro e il suo valore nondipende dalle unità di misura usate: per esempio il rapporto tra una circonferenza e il suo diametro è ilnumero il cui valore non dipende dalla unità di misura delle lunghezze che si adotta.
L’equazione dimensionale di un numero puro N è evidentemente
][][ 000 TLMN
Tre grandezze A, B e C si dicono dimensionalmente indipendenti se è possibile scrivere con esse l’equazione dimensionale di un numero puro soltanto con esponenti tutti nulli, cioè
][ CBA è un numero puro solo quando = = = 0
Ad esempio la Velocità V, la Lunghezza L e il Tempo T non sono dimensionalmente indipendentiperché [VL-1T] è evidentemente un numero puro.
Date tre grandezze dimensionalmente indipendenti è possibile scrivere l’equazione dimensionale perqualsiasi altra grandezza, usando queste come fondamentali
A10
IL TEOREMA FONDAMENTALE DELLA ANALISI DIMENSIONALE (TEOREMA DI IL TEOREMA FONDAMENTALE DELLA ANALISI DIMENSIONALE (TEOREMA DI BUCKINGAM O TEOREMA II)BUCKINGAM O TEOREMA II)
Si consideri una grandezza G la cui equazione dimensionale sia ][][
TLMG e sia
),...,,,,( 4321 NQQQQQFG
dove le Qk (k = 1, 2,…, N) sono grandezze aventi le equazioni dimensionali
][][][ KKK TLMQQ kk
si supponga che tra le Qk vene siano tre dimensionalmente indipendenti, per esempio Q1, Q2 e Q3;assunte queste come fondamentali, potremo scrivere
][][ 321cba QQQG e per k = 4, 5,…, N][][ 321
KKK cba
K QQQQ
si potrà quindi scrivere
NNN cba
N
cba
cba
QQQ
Q
QQQ
QQQQQQQG
321321
4321321 ,...,,,,
444
e anche
NNN cba
N
cbacba QQQ
Q
QQQ
QQQQ
QQQ
G
321321
4321
321
,...,,,,444
A11
Il primo membro di questa espressione è un numero puro e quindi il suo valore numerico nondipende dalla unità di misura prescelta per le grandezze Q1,Q2 e Q3; se cambiamo l’unità di misuradi Q1 e quindi il valore numerico che figura all’interno della funzione , il primo membro non cambia: la funzione allora non dipende da Q1; lo stesso vale per Q2 e Q3.
Potremo quindi scrivere che risulta
NNN cba
N
cba
cba
QQQ
Q
QQQ
QQQQG
321321
4321 ,...,
444
La G è quindi esprimibile come funzione non più di N ma soltanto di N-3 variabili.
Questo può portare notevoli semplificazioni soprattutto se la funzione deve essere determinatasperimentalmente.
A12
Per esempio si supponga di dover determinare il periodo T0 di oscillazione di un pendolo costituito da un filo di lunghezza l a cui è appesa una massa puntiforme m che parte con una deviazione inizialedalla verticale 0, che oscilla nel campo della gravità; supponendo non influenti altre grandezze(elasticità del filo, dimensioni della massa m, resistenza dell’aria, ecc.) potremo scrivere
),,,( 00 gmlFT
l, m e g sono dimensionalmente indipendenti; 0 è un angolo quindi un numero puro; è immediatoverificare che risulta
][][ 2
1
2
1
0
glT
e quindi per il teorema II
)(1
00
gT
Se si fosse dovuta determinare sperimentalmente la F che dipende da quattro parametri,assegnando 10 diversi valori a ciascun parametro si sarebbero dovute eseguire 104 esperimenti.
Se invece di deve determinare la che dipende da un solo parametro, è sufficiente eseguire 10esperimenti
A13
A4. Equazioni di stato
La densità e il peso specifico di un fluido sono funzioni sia della pressione p che della temperatura t. Illegame
= ( p,t )
fra le tre grandezze viene detto equazione caratteristica o equazione di stato del fluido in esame. Si tratta spesso di legami molto complessi che portano a scegliere equazioni dotate di forma analiticasufficientemente maneggevole, ma che rappresentano i fatti solamente in campi limitati di escursionedelle variabili.Esempio : Equazione di stato dei gas perfetti
Tp
P pressione assoluta, T temperatura assoluta (°K), R costante dei gas perfetti il cui valore nel sistema pratico di misura è:
KmM
/848
con M peso molecolare del gas considerato
A14
B. Proprietà dei fluidi
I fluidi come sistemi continui
Sforzi nei sistemi continui
Densità e peso specifico
Comprimibilità
Legame sforzi-deformazioni
Viscosità
Tensione superficiale
Fenomeni di capillarità
B0
Sistemi continui - Sforzi nei sistemi continui
Particella fluida: volume
piccolo contenente un elevato
numero di molecole, cui sono
associate le grandezze fisiche
Sistemi continui : sistemi cui sono associabili proprietà caratteristiche variabili con continuità da punto a punto
Sforzi nei sistemi continui : nello studio dei sistemi continui si possono distinguere due tipi di forze
forze di massa Fm (tipicamente la forza di gravità)
forze di superficie Fs (le forze che vengono esercitate su una qualsiasi parte del sistema attraverso la sua
superficie di contorno)
Un sistema continuo è in equilibrio quandosistema in eq.
0FF sm
Per mantenere il sistema in eq. bisogna trasmettere
alla superficie di separazione un complesso di forze
tale per cui l’equilibrio sia ancora verificato.dA
d
n0dA dA
dlim
sforzo unitario
per ogni areola di superficie dA agisce una forza d
B1
22 m
N
L
Fn
sforzo unitario:n
n
dAd nspinta elementare su dA: NFdcon
Sull’intera superficie di separazione
per l’equilibrio dovrà agire una forza pari a : dAA
n
n è, in generale, comunque orientato rispetto a dAe dipende : dal dal punto di applicazione
dalla giacitura di dAil pedice n indica il versore della normale alla superficie dA
componente normale variazioni di volume
componente tangenziale variazioni di forma
tzyxf ,,,
tzyxf ,,,
In generale per i fluidi si devono distinguere 2 situazioni
fluidi in quiete fluidi in moto
0zf
Nota: in generale la componente normale può essere di compressione o di trazione.
La maggior parte dei fluidi in condizioni usuali non sopporta sforzi normali di trazione,
di norma in meccanica dei fluidi si fa sempre riferimento a sforzi normali di compressione. B2
Densità - Peso specifico
33
/ mKgL
MDensità : massa contenuta nell’unità di volume
g3
3/ mN
L
FPeso specifico : peso dell’unità di volume
Densità e peso specifico sono funzioni
della pressione e della temperatura.Eq. di stato di un fluido: ,p
Liquidi :
30
30
320
/9806
/10000
:
1
mN
mkgC
dove
cbaAcqua
0° < < 40°
,pGas :
TRp
Eq. di stato dei gas perfetti: con p (N/m2) e T (°K) pressione e temperatura assolute
R costante dei gas perfetti
B3
Comprimibilità
Comprimibilità : proprietà di un fluido di modificare il proprio volume (e quindi la propria densità)al variare della pressione alla quale esso è assoggettato
B4
W
p Per la conservazione della massa:
0
cos
dWdW
tWd
W
dW
dpd ( )
dall’esperienza +
definizione di modulo
elastico :
dpWdW
Liquidi : per molti problemi pratici = cost.
acqua =10°C) = 2.03 E+9 N/m2modulo di elasticità a compressionecubica [F/L2] (N/m2) = (Pa)
Gas : vale eq. di stato gas perfetti; = n·p con 1 n 1.67 (isoterma, adiabatica)
aria 9.806 E+4 1 E+5 N/m2
Malgrado i gas siano per definizione molto comprimibili il loro moto può essere studiato con l’ipotesi
di = cost. tutte le volte che non si ha una forte variazione di pressione e quindi di densità.
Viscosità
Viscosità : coefficiente fenomenologico che esprime il legame tra sforzi tangenziali e velocità di deformazione: si manifesta quando il fluido è in moto
V F Esperienza ideale
• Piastra di area A in moto a velocità V per effetto forza F• F è la forza tangenziale necessaria a mantenere in moto la
piastra superiorey
y
V
y
V
A
F
y
V
A
F
(y)
V = 0
sforzo tangenziale per y 0 passando a dimensioni infinitesime
dn
dvLEGGE di NEWTON dove n è la direzione perpendicolare al moto
,, non dipende dallo stato di sforzo [ML-1T-1] Viscosità dinamica
Liquidi ad esempio per l’acqua :12
0 1 ba
0= (0°C)= 1.773 E-5 [N·s/m2]
0= (0°C)= 1 ·E-6 [m2/s]= viscosità cinematica ][ 12TL
B5
Lo sforzo tangenziale si può legare alla deformazione angolare d della massa fluida
dn
(u + du) dt
dt
d
dn
dudt
dn
dud
u dt
FLUIDI NON NEWTONIANI
dt
dfEq. Reologica per fluidi con caratteristiche reologiche indipendenti dal tempo
dt
d
arctgNew
toniani
Dilatanti
tcos cost. Legge di Newton
Bingham (fanghi,
Pseudoplasti
ci(a
ltri polim
ervernici)
i)
B6
Tensione superficiale
La superficie di separazione un liquido e un altro fluido non miscibile si comporta come se fosse una
membrana elastica in stato di uniforme tensione: si definisce tensione superficiale questa proprietà.
La tensione superficiale è dovuta alle forze di attrazione molecolare non bilanciate
acqua
S = S (natura dei fluidi a contatto; [N/m]
S
r
Sppp ei
Componendo le forze derivanti dalla tensione superficiale e
considerando la risultante delle pressioni
S·l S·l
2·S·l ·sen /2
22
22 senlSplsenr
pe= p1 r•
•
p1 •
p2
• pe< p2 r=finito
In generale su una superficie qualunque : Eq. di LAPLACE
21
11
rrSp con r1 e r2 raggi orincipali di curvatura
pi
pe
S·lS·l
IP: tratto di superficie
cilindrica di raggio r e
profondità l
r
proiezione sul
piano orizzontale
B7
contatto liquido-solido-gas : Fenomeni di capillarità
la superficie di separazione liquido-gas, quando un liquido viene a contatto di una superficie solida, forma con
quest’ultima un angolo di contatto = 0° che dipende dalla natura dei tre elementi a contatto.
è sempre colpa delle forze di attrazione molecolare
< 90°
d
h
d
> 90°
h
Mercurio
r2h
rS
r2 h = r S cos
Hp: menisco assimilabile ad una
superficie sferica allora noti
p ; S ;
h = pr = d / (2 cos
dall’eq. di LAPLACE
d
Sh
cos4Acqua
equilibrio verticale:
B8
Esempi:Perché i laghi ghiacciano solo in superficie?I laghi gelano prima di tutto in superficie perché in inverno lo strato d'acqua superficiale si raffredda e, diventando più denso dello strato inferiore, scende sul fondo.Questo processo continua finché la temperatura dell'intera massa d'acqua non ha raggiunto la temperatura di 4°C : oltre questo punto il raffreddamento dello strato superficiale rende quest'ultimo meno denso di quelliinferiori ( appunto perché tra 0 e 4 °C la densità dell'acqua diminuisce ), perciò lo strato superficiale rimanefermo galleggiando sulla sommità del lago.Questo strato superficiale finisce per congelare diventando una lastra solida di ghiaccio mentre il resto dell'acqua del lago rimane a 4 °C. Il ghiaccio formatosi impedisce la perdita di calore del lago ed ogni altraperdita di calore causa soltanto un ispessimento della lastra senza perturbare gli strati più profondi che rimangono alla temperatura costante di 4 °C : le forme di vita che popolano il fondo del lago possono quindi sopravvivere.
Determinare il diametro che deve avere un tubo in vetro per avere una risalita capillare di 1.0 mm quando viene immerso in acqua a 20°.
= 9.789 [kN/m2] ; 0° ; S = 0.0728 [N/m]
Imponendo l’equilibrio verticale all’ipotetico volume di liquido all’interno del tubo si ottiene: r2h
rS
r2 h = r S r =2 S/(h D = 2.97 cm
Un olio rubrificante è posto tra due piatti piani e paralleli. Un piatto è fisso, l’altro si muove con velocità v = 3 m/s.Nota la distanza tra i due piatti h = 2.6 cm , determinare lo sforzo di taglio nel rubrificante. olio= 0.26 [kg/(m s)]
= dv/dn Ip. sforzo costante = v/h = 0.26 [kg/(m s)] *3 [m/s] / 0.026 [m] = 30 [kg/(m s2)] =30 [N/m2] = 30 [Pa]
nota: anche se si tratta di olio a viscosità elevata, lo sforzo di taglio è piuttosto modesto. La pressione atmosferica è 101.325 [Pa], più di 3000 volte più piccolo.
B9
C. Statica dei fluidi
Eq. indefinita della statica dei fluidi
Legge di Stevin - Distribuzione idrostatica delle pressioni
Pressioni relative ed assolute - Piano dei carichi idrostatici
Spinte idrostatiche su superfici piane
Equazione globale equilibrio statico
Spinte idrostatiche su superfici curve
Galleggianti
Fluidi piccolo peso specifico
Equazione Mariotte
C0
Pressione in un fluido in quiete
Non c’è moto relativo tra particelle adiacenti 0
Obiettivo: studiare il campo di pressione, p(x, y, z) nel fluido e gli effetti di p su superfici immerse.
Variazione della pressione in un punto con l’orientamento di un piano passante per il punto stesso - F = m a
zx
y
py x z
pz x y
ps x s
s
x y z
2
y
x
zLungo le direzioni z ed y
Dalla geometria:
y = s cos ; z = s sin
py – ps = ay ( y/2)
pz – ps = ( az + ) ( z/2)
Prendendo il limite per x, y, z 0 (mantenendo fisso ) py = ps; pz = ps py = pz = ps
La pressione in un punto di un fluido in quiete (o in moto) è indipendente dalla direzione finché gli sforzi tangenziali sono identicamente nulli.
C1
z
x
y
j
Equazione indefinita della statica dei fluidi
Forze di superficie risultanti in direzione x, z
Forza di superficie totale
pz
p
y
p
x
pkji
p = f
zxyy
ppzxpFy
zyxy
pFy
zyxx
pFx
zyxz
pFz
zxyy
pp
yxp
yxzz
pp
Campo di forze specifiche di massa f [F/M]
Espansione di p in serie di Taylorzxp
Bilancio di forze di massa e di superficie
Forza di superficie risultante in direzione yf x y z
k
i
Gradiente di pressione
(grad p o p)
F = ma = 0Seconda legge di Newton
F = Fs + f = 0
- p dxdydz + f dxdydz = 0
C2
Equazione globale dell’equilibrio staticoEquazione globale dell’equilibrio statico
Integrando l’equazione indefinita su un volume dicontrollo finito V di superficie A e applicando il lemma di GreenV
A
A
n pW
gradf dV p ndAdV
A
G + = 0
Risultante delle spinte elementari pn sugli elementini della superficie di contorno
Risultante delle forze di massa su W
L’equazione esprime l’equilibrio tra le forze di massa applicate ad un volume finito e le forze di superifice che agiscono sul contorno dello stesso
C3
Legge di Stevin
p + k = 01) In un fluido pesante = sottoposto sola azione gravità f = – gk
z
p0
y
p
x
povvero per componenti
La pressione decresce muovendoci verso l’alto in un fluido in quiete.
La legge di distribuzione delle pressioni nel fluido in quiete è determinata dalla soluzione delle1. Equazione indefinita p + k = 0
2. Equazione di stato = (p, temperatura)
3. Condizioni al contorno forniscono la soluzione particolare
2) = costante (z + p/ ; z + p / = costante
z + p / = quota piezometrica o carico piezometrico LEGGE DI STEVIN
quota geodetica altezza piezometricaC4
Distribuzione idrostatica delle pressioni
Dati due punti qualunque 1 e 2, di quota z1 e z2
rispetto a un riferimento
p2 – p1 = – (z2 – z1) p1 – p2 = (z2 – z1)
Superficie libera, atmosfera ( p = patm )
x
z
y
z2
z1
h = z2 – z1
p2
p1
La pressione varia linearmente con la profondità
Distribuzione idrostatica delle pressioni
p1 – p2 = h; p1 = h + p2
Se p = costante (superfici isobariche) z = costante Le superfici
isobariche sono dei piani orizzontali
La pressione aumenta col diminuire della quota Esiste piano orizzontale a quota z0 nel quale la pressione si annulla = piano dei carichi idrostatici assoluto
C5
Piano dei carichi idrostatici assoluto
p.c.i. assoluto (superficie libera del liquido)
Vuoto; p = 0
A
zA
z0
hA
p
pA
z = 0
La pressione in un punto A ad una profondità hA rispetto al p.c.i. è pA = hA
C6
Pressioni relative ed assolute – Piano dei carichi idrostatici relativi
La pressione vista sinora si indica come pressione assoluta pass = p*
Nei problemi applicativi, con recipienti in atmosfera, si utilizza la pressione relativa prel = pass – patmcon patm = pressione atmosferica; prel può anche essere negativa, pass no !
Si definisce allora il p.c.i. relativo come quel piano su cui si annulla la pressione relativa; per recipienti a pelo libero, esso concide con la superficie libera
p.c.i. Assoluto; z0 = zM + p*M /
p.c.i. Relativo; za = zM + pM /
= zM + (p*M - patm ) /
z = 0
patm / h* = p*M /
hM
zMza z0
Il p.c.i. assoluto e relativo sono utili per trovare la p nei punti della massa fluida considerata
pM = (za – zM) = h p*M = (z0 – zM) = h*
patm= 101.330 Pa 10.33 m (altezza piezometrica della pressione atmosferica in m di colonnad’acqua)
C7
Piani dei carichi idrostatici assoluti e relativi
Vuoto; p* = 0
patm
z = 0
M
zM
hMz0
za
p
p*M
pM
patm
p.c.i. relativo
p.c.i. assoluto (superficie libera del liquido)
C8
A B
h
La pressione in un punto non dipende dalla forma del recipiente che contiene il fluido
F1 = p A1 F2 = p A2
Trasmissione della pressione fluida(torchio idraulico)
Una piccola forza può originare una forza più grande
p = F1 /A1 = F2 /A2
C9
MISURA DELLA PRESSIONEMISURA DELLA PRESSIONE
• M
h
p.c.i.Piezometro: consente di visualizare la quota del p.c.i.
pM = h
2 h’ = pA = 1 h1
h’ =2
1 h1
1
2
A arctan 2h’
arctan 1Aria (p = 0) p.c.i.(1)
h1 p.c.i.(2)
h2
C10
p.c.i.Manometro SempliceManometro Semplice
hp.c.i.
M N’
N
M
M M > pM = pN + M
MM hp
N’ N
M
p.c.i.M
M > pN =0 = pN’
MpM = M
hMM h
p
p.c.i.
C11
Manometro Differenziale Manometro Differenziale 1/21/2
pN = h
pM = (h – – )
pN = pM + M
M
M >
h –h
N
M
p.c.i.M
h
(h – )
arctgM
arctg
(h – – ) + M = h
C12
Manometro Differenziale Manometro Differenziale 2/22/2
M >
h –h
N
M
p.c.i.M
A
B
p.c.i.1
p.c.i.2
arctg2
arctg1
arctgM
2
12
2
2 hM
C13
Spinta Idrostatica su Superficie PianaSpinta Idrostatica su Superficie Piana
SR = p A ; p = h
Spinta superficie;
Spinta applicata nel baricentro
H
p
SR
p = patm
Superficie orizzontale
dA
dS
A
h
p.c.i.
ARRR ShdAS nS;
Spinta superficie (larga L);
Spinta appl. nel centro di spinta baricentro
Superficie verticale
H
SR
p = patm
h2H/3
A
H
GR ApHLHLHhLdhhdAS0
2 22
Spinta su superficie infinitesima dS = pndA = hdAn
Spinta su superficie finita
C14
Spinta Idrostatica su Superficie Piana Inclinata Spinta Idrostatica su Superficie Piana Inclinata (1)(1)
Modulo della spinta
yG
y
S
dShG
h
O
yCx
y
xGxC
x
G
C A
dA
p.c.i. Linea di sponda
AhAy
ydAdAyhdAS
ShdAdApd
GG
AAA
AAA
sen
sensen
nnnSS
SR = pG A
Punto di applicazione della spinta
M
I
Ay
I
Ay
I
S
Iy
dAyIIdAy
dAyhydApydASy
x
G
x
G
xxC
Axx
A
AAAC
sen
sensen
;sensen
sen
22
2
Ix: momento d’inerzia dell’area A rispetto all’asse x, formato dall’intersezione tra il piano contenente la superficie e la superficie libera
C15
Spinta Idrostatica su Superficie Piana Inclinata Spinta Idrostatica su Superficie Piana Inclinata (2)(2)
yG
y
S
dShG
h
O
yCx
y
xGxC
x
G
C A
dA
p.c.i. Linea di spondaPunto di applicazione della spinta
M
I
Ay
I
Ay
I
S
Ix
xydAIIxydA
dAxyhxdApxdASx
xy
G
xy
G
xyxy
C
Axyxy
A
AAAC
sen
sensen
;sensen
sen
Ixy: momento centrifugo dell’area Arispetto agli assi x e y
Le espressioni precedenti si trasformano ricordando che
Ix = IxG + A y2G, con IxG: momento d’inerzia dell’area rispetto un asse passante per il suo
baricentro G e parallelo all’asse x; analogamente Ixy = IxyG + A y2G, con IxyG: momento
centrifugo dell’area rispetto un asse passante per il suo baricentro G e parallelo all’asse x
M
Ixx
xyG
GCM
Iyy xG
GC
C16
b/2
b/2 s
S
B
C
A
h
Paratoia rettangolare verticale alta b e larga L incernierata in C.Determinare il modulo della spinta S sulla paratoia e il suo momento M rispetto C, nell’ipotesi che l’acqua a monte della paratoia abbiauna profondità h = 2b sulla cerniera stessa..
AhApS GG
2
12222
3
0
bABLb
Lbb
M
Ibbs
Spinta
braccio
sSM Momento
ESEMPI
A
C
B
L
H
Determinare la più piccola lunghezza L della base AB in modo che l’elemento non si ribalti e l’angolo per cui la lunghezza è minima.Affinché la struttura non si ribalti la spinta complessiva sull’elemento ABC deve passare al limite per B, ossia che sia nullo il momento rispetto B delle spinte su AB e BC.(Si considera un elemento di larghezza unitaria)
HLSAB2
1 21
2HL
LSM AB
sen
HHSBC 2
12
3
2 61
sen
HbraccioSM BC
21 MMsen
HL
3L è min per sen max ossia per = /2
C17
Spinte su superfici Spinte su superfici curve 1/4curve 1/4
In genere non riconducibile ad un’unica forza (2 forze: 1 orizzontale, 1 verticale)
A
dA
dAx
p
x
y
Ax
CPSx
z
dS = p n dA
dSx = p (cos [nx] dA) = p dAx
dSy = p (cos [ny] dA) = p dAy
dSz = p (cos [nz] dA) = p dAz
(ha per normale l’asse x)z
xox
A
x
A
x
A
xx AhdAhdApdSS
xxx
La superficie Ax è piana
h0x è il baricentro di Ax pianay
yoy
A
y
A
y
A
yy AhdAhdApdSS
yyy
1. Proiezione Ax, Ay
h0 = p0 baricentro
3. Applicata (Sx, Sy) nel centro di spintaC18
Spinte su superfici Spinte su superfici curve 2/4curve 2/4
Sz
Az
WdWdAhdApdSS
zzzz AA
zz
A
z
A
zz
1. Peso cilindro con generatici verticali poggiante sulla curva che forma il contorno di A
2. Applicata nel baricentro del cilindro
Sx, Sy non complanari - Sistema equivalente
Soriz. = ; Svert. = Sz
Svert. non passa più per il baricentro del volume della colonna sovrastante, a meno che Sx e Sy siano complanari (coppia = 0)
In generale si calcola così: Sx in Cx, Sy in Cy, Sz nelbaricentro di W.
22yx SS
C19
Spinte su superfici Spinte su superfici curve 3/4 : curve 3/4 : uso equazione globale dell’equilibrio staticouso equazione globale dell’equilibrio statico
C
A
(baricentro)
O
G
A
1
B
O
S= 0
B
2C C
B0
Si isola un volume finito W (volume di controllo): la sua scelta dipende dal tipo di problema che si affronta
G + = 0
G + 1 + 2 + 0 = 0 S = 0 = G + 1 + 2
La forza incognita (spinta su superficie curva) è determinata in funzione di forze note (peso e spinte su superfici piane)
C20
Spinte su superfici Spinte su superfici curve 4/4curve 4/4
p.c.i.
G + 0 + 1 = 0
S = 0 = – 1 – G
1 = h0 A (applicata nel centro di spinta)
G = W (peso; applicato nel baricentro)
h0
II )I )
1
1
0 V
- GI) Sup. concava:
S = – 0 = G + 1V
0
GII) Sup. convessa: riempio V di fluido
S = 0 = – G – 1
G
0 C21
Corpi immersi Corpi immersi oo galleggiantigalleggianti
G
S
G + = 0; = S;S = spinta liquido sul corpo;
S = -G
Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta verso l’alto pari al peso di un volume di liquido uguale a quello del corpo immerso; esso passa per il baricentro del volume di fluido (PRINCIPIO DI ARCHIMEDE).
G > S corpo affonda;
G = S eq. indifferente;
G < S corpo si innalza; GALLEGGIANTI (parzialmente immersi)
Caso della nave :
B = baricentro nave;
V = volume di carena;
C = centro di carena(baricentro di V)
C22
GVS
Applicata nel baricentro del volume immerso (CENTRO DI CARENA)
L’equilibrio è stabile per traslazioni verticali
G
B
C
S
V
EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE ATTORNO ASSE ORIZZONTALE
G = baricentro; C = centro di carena; C’ = centro di carena in posizione sbandata; M = metacentro = intersezione della verticale per C’ con GC
MG
C C’G C
MS
PS
C
M
G
P
C’
a) G sotto C; equilibrio sempre stabile (STABILITA’ DI PESO)Momento stabilizzante
b) G C; equilibrio sempre stabileMomento stabilizzante
c) G sopra CMomento stabilizzate
senGCMCVMssenGCMCVMs senMCVM s
Equilibrio stabile se
Equilibrio indifferente se
Equilibrio instabile se
GCMC
Per piccoli sbandamenti (sen tg ) si dimostra che
con J momento d’inerzia della superficie di
galleggiamento rispetto all’asse di rotazione scelto e V volume di carena.V
JMC
GCMC
GCMC
C23
Fluidi di Fluidi di piccolo peso piccolo peso specificospecifico,,
Anche fluidi sottoposti ad elevate pressioni in piccoli contenitori
1. Gas (modeste altezze); nei gas p costante
Aria 20 ºC
pA = 9.806 N/cm2 9.8 x 104 N/m2 [Pa]
= 23.24 N/m3 cost.
pB = pA + x 5 = pA + 116 (pB – pA) / pB x 100 1.2 ‰
D=
5 m
B
A
Spinta su superficie piana Spinta su superficie curva
S = p A
S A
p
Ax
pSx
SdSx = p dA cos = p dAx
Sx = p Ax
Sy = p Ay
Sz = p Az
C24
2 dT = S
S = p D dL
dT = e dL
e = dT / dL
Formula di Mariotte
dL
D ee
dT
p e
pD
2
2. Liquidi con p elevate
Come nei gas, p cost
dT
C25
D. Cinematica dei fluidi
Velocità
Approccio Euleriano e Lagrangiano
Accelerazione
Elementi caratteristici del moto
Tipi di movimento
D0
VELOCITA’; APPROCCIO LAGRANGIANO ED EULERIANO
Vettore velocità: v = v (x, t) = dx/dt; v (v1, v2, v3), vi = dxi /dt
tsvv
Dt
D
dt
d
Punto di vista Lagrangiano: il moto delfluido è descritto seguendo l’andamento della singola particella fluida, descrivendone le caratteristiche in funzione dello spostamento e del tempo; la relativa derivata è la derivata totale, o sostanziale, rispetto al tempo
s1, t1 s2, t2
t,xvv
Punto di vista Euleriano: il moto del fluidoè descritto descrivendo l’andamento delle variabili caratteristiche in punti fissi nello spazio al variare del tempo; la relativa derivata è la derivata parziale rispetto altempo
t
Volumefisso di controllo
D1
ACCELERAZIONE
Che relazione esiste tra i due punti di vista ? Esprimendo l’accelerazione nei due modi
Lagrangiano
a =dt
ttztytxd ,,,v
33
22
11
3
3
2
2
1
1
,,,x
vx
vx
vdtdt
dx
xdt
dx
xdt
dx
xdtdt
ttztytxd vvvvvvvvvEuleriano: per la regola di derivazione delle funzioni composte
a =
Derivata parziale (locale) Accelerazione convettiva
D2
ELEMENTI DEL MOTO
Traiettoria:curva luogo dei punti successivamente occupati da particella in moto
Linea di corrente: curva tangente al vettore velocità in ogni punto
Linee di emissione: curva luogo dei punti occupati da tutte le particelle transitate inprecedenza per punto prefissato
Traiettorie
t2t1
Linee di corrente
Traiettorie e linee di corrente coincidono permoto indipendente dal tempo
s
v
D3
TIPI DI MOVIMENTO
Esame vettore velocità: v = v (x, t)
Moto permanente: v = v (x); non dipende dal tempo;
Moto uniforme: v = cost; non dipende né dal tempo né dallo spazio
Moto vario (caso generale); v = v (x, t)
Moti piani: v1 = v1(x1, x2, t), v2 = v2(x1, x2, t), v3 = 0
00,dt
dG
t
GG
D4
E. Equazioni fondamentali della Dinamica dei fluidi
Problemi affrontati ed approccio
Equazione indefinita di continuità
Equazione globale di continuità
Portata volumetrica
Equazione indefinita di equilibrio dinamico
Equazione globale di equilibrio dinamico
Spinte dinamiche: esempi
E0
Problemi affrontati ed approccio
Temi: bilancio di massa e prima legge della dinamica (bilancio di quantità di moto) secondo
1) APPROCCIO LAGRANGIANO (esame comportamento singola particella fluida)
2) APPROCCIO EULERIANO (esame comportamento fluido entro volume di controllo fisso)
2.1) VOLUME INFINITESIMO APPROCCIO LOCALE forma indefinita (differenziale)
2.2) VOLUME FINITO APPROCCIO GLOBALE forma globale (integrale)
BILANCIO DI MASSA, APPROCCIO LAGRANGIANO
BILANCIO DI MASSA, APPROCCIO EULERIANO
Vue dmdmdm
Nell’intervallo dt
dme = massa entrante
dmu = massa uscente
dmV = massa accumulatain V
dme
dmu
V
(EQ. CARDINALE CONTINUITÀ)
t0
t0+dt
0)()( 00 dVdt
d
dt
dmdttmtm
E1
Equazione indefinita di continuità (Bilancio di massa Euleriano, forma locale)
dx3
dx1
dx2
2v
33
33 dx
x
vv
1v
1
1
11 dx
x
vv
2
2
22 dx
x
vv
3v
dtdxdxdxx
vdmdm ue 321
1
111
dtdxdxdxx
v
x
v
x
vdmdm ue 321
3
3
2
2
1
1
dtdxdxdxx
vdmdm ue 321
2
222
dtdxdxdxx
vdmdm ue 321
3
333
dtdxdxdxx
vvdtdxdxvdmdm ue 321
1
1132111
dtdxdxdxt
dmV 321
03
3
2
2
1
1
x
v
x
v
x
v
t0vdiv
t 0vdiv
Vue dmdmdm Espansione di vi
in serie di TaylorIn direzione x1 in dt
= costante
(v solenoidale moto isocoro)0vdiv
Dt
DEquazione indefinita di continuità
E2
Equazione globale di continuità (Bilancio di massa Euleriano, forma integrale)
AndAvdt
dtdVt
dtt
M
V
VVn V
tAv
Sia A = A0 + Ai + Au ,
A0 : vn = 0
Ai : vn > 0ingressoinmassainportata
iAnmi dAvQ
uscentemassainportatauA
nmu dAvQ
Vue dmdmdm
Vmumi V
tQQ
Au
v
Ai
vn
n
Vol. di controllo V
Massa in transito in dt, attraverso dA : vn dA t, vn = v n
Massa in transito in dt, attraverso A:
= variazione massa in dV in dt:
Au : vn < 0
mumi QQ(x,t) = (x)
entranteavolumetricportataAvQi
Ani
uscenteavolumetricportataAvQu
Anu
ui QQ0A
n Av= cost.
E3
Equazione di continuitàEquazione di continuità perper correnticorrenti (1(1--D)D)
Corrente: moto con traiettorie aventi la stessa direzione
Q = VA
Sezione trasversale A
s
Schema monodimensionale
0t
A
s
QBilancio di massa fra due sez. distanti s
0t
A
s
Q; Moto permanenteSe = cost. Q = AV =cost.
E4
Bilancio indefinito di quantità di moto, forma locale
dt
d
zyxzyx vttt
f
Volume di fluido dV con v e
al tempo t (Lagrangiano);
dR = adm, dR ris. forze; dm = dxdydz
dR = f. di massa + f. di superficie
F. di massa = fdxdydz, f = f. specifiche di massa
F. di superficie = ris. forze trasmesse da fluido est.
Risultante in direzione x:
dt
dva
dxdydzxxt
Risultanti nelle direzioni y, z
dxdydzz
dxdydzy
zy tt,
Risultante sul contorno dxdydzzyx
zyx ttt
PRIMA EQUAZIONE INDEFINITA DEL MOTO
(EQUAZIONE DI EQUILIBRIO DINAMICO)
= sforzo su faccia perp. a x
dx
dz
dy
j
i
k
xzt
xtxxt
xyt f
dxxx
x
tt
yzyyyxy ttt ,,t
zzzyzxz ttt ,,t
xzxyxxx ttt ,,t
= sforzo su faccia perp. a y
= sforzo su faccia perp. a z
E5
Tensore degli sforzi
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ttt
ttt
ttt
t
t
t
T
tD
Ddiv
vTf
Introdotto il tensore degli sforzi T, in cui l’elemento ij è la componente j-esima dello sforzo i-esimo, la prima equazione indefinita assume la forma
zzyzx
yzyyx
xzxyx
T
;;;
;;;
;;;
zzzzyzyzxzx
yzyzyyyyxyx
xzxzxyxyxxx
ttt
ttt
tttE’ d’uso porre
Per l’equilibrio dei momenti dell’elemento infinitesimo si dimostra inoltre (SECONDA EQUAZIONE INDEFINITA DEL MOTO)
ijji tt
Pertanto il tensore degli sforzi è simmetrico ed ha sei componenti signficative
E6
Equazioni globali di equilibrio dinamico (1/2)
Per un volume di fluido V vale la prima equazione cardinale delmoto, ovvero
forze applicate = derivata temporale q.d.m.
Se f forze specifiche di massa, forze specifiche di superficieV
VAV
dVdt
ddAdV vf
V
dVdt
dvG
AVAV
dAdVt
dAdV )()(
nvvv
fPer un volume finito V, grazie al teorema del trasporto
localiinerzie)(
e
uscita,eingressoinq.d.m.diportate
)(ˆ,)(ˆ
Posto
V
Auu
Aii
dVt
dAdAui
vI
nvvQnvvQ
iu QQIG ˆˆ
Equazione globale equilibrio dinamico
E7
Equazioni globali di equilibrio dinamico (2/2)
Analogamente per un volume di fluido V vale la seconda equazione cardinale del moto, ovvero
momenti forze applicate = derivata temporale del momento della q.d.m.
Se f forze specifiche di massa, forze specifiche di superficie, x0 posizione polo qualunque
VAV
dVdt
ddAdV vxxxxfxx 000
Vmm dV
dt
dvxxG 0
AV
AV
dAdVt
dAdV
)()(
00
00
nvvxxv
xx
xxfxxPer un volume finito V, grazie al
teorema del trasporto
localiegirotorichinerzie)(
)(e
uscita,eingressoinq.d.m.dimomentodiportate
)()(ˆ
,)()(ˆPosto
0
0
0
V
Aumu
Aimi
dVt
dA
dA
u
i
vxxI
nvvxxQ
nvvxxQ
mimummm QQIG ˆˆ
E8
v
v
Come primo esempio si considera il caso della vena a sezione circolare, con velocità uniformemente distribuite all’inizio e perciò coincidenti in modulo con la velocità media, U, che investe normalmente una parete piana molto ampia rispetto alla sezione della vena incidente. Il fluido abbandona la lastra con velocità a essa tangenti. Il teorema della quantità di moto, applicato al volume di controllo tratteggiato in figura e proiettato nella direzione e nel verso x dellavelocità d’arrivo, porge subito, per il modulo F della spinta complessiva esercitata dalla vena sulla parete, il valore:
QUUF 2
•Spinte dinamiche: esempiIpotesi:
1.moto di fluido ideale
2.Si trascurano le forze specifiche di massa
3.Densità del fluido costante
Di conseguenza la pressione ambiente è uniforme, la venain arrivo è rettilinea, il suo contorno libero, non a contattocon la parete solida investita, è costituito da traiettorie, e lungo ciascuna traiettoria il modulo della velocità èuniforme ( per T. di Bernoulli).
v
F
x
Infatti, poiché la pressione ambiente è uniforme, il risultante degli sforzi esterni di pressione si riduce al risultante degli sforzi trasmessi dalla lastra alla corrente, che vale –F. Nello stesso tempo la portata di quantità di moto uscente dal volume di controllo ha componente nulla in direzione x, e la componente nella direzione e nel verso xdella portata di quantità di moto entrante nello stesso volume vale QU. Per ragioni di simmetria, il risultante Fpassa per l’asse del getto incidente. E9
b
N
Q U
OPiastra quadrata di lato b e di peso P, incernierata in O, ad un asseorizzontale coincidente con un suo lato. Essa è investita da un getto di acqua orizzontale di portata Q e sezione , che dista “ a ”dall’asse O. Determinare quale portata deve avere il getto perché la piastra si sposti dalla verticale di un angolo assegnato.
Si scriva il teorema globale dell’equilibrio per il volume di liquido rappresentato dalla porzione di getto compresa fra una sezione verticale e la piastra. Ammessi: il liquido perfetto, trascurabile il peso di liquido nel volume isolato e nulla la risultante dellequantità di moto uscenti dal volume stesso, la spinta N esercitatasulla piastra dovrà eguagliare la componente, secondo la normalealla piastra stessa, della quantità di moto entrante.
coscos2Q
QUN
•Spinte dinamiche: esempi
a
P
Ossia:
La condizione di equilibrio della piastra impone che sia nullo il momento delle forze a essa applicate rispetto O, quindi:
cos2a
Nsenb
P aQ
senb
P2
2 a
senPbQ
2
E10
Il getto uscente dal bocchello di diametri D ed investe il tegolo che lo devia di un angolo
. Supponendo: nulle le perdite, uguali fraloro i moduli delle velocità e nulla la pressione nelle sezioni BB e CC, trascurabile il peso del liquido tra le sezioni BB e CC, e assunto pari a Cc il coefficiente di contrazione del getto, calcolare la spinta sul tegolo, note le indicazioni n del manometro metallico e la geometria del sistema.
La spinta si calcola con il teorema globale dell’equilibrio dinamico applicato al volume liquido compreso tra le sezioni BB e CC, tenendo conto che le spinte sulle facce BB e CC sono nulle (Patm).
Considerando uguali le velocità nelle sezioni BB eCC, risultano uguali le quantità di moto entrante e uscente:
ue MQUM
dD
D
A
A
M
B
BC
C
R
Me
- Mu
n
•Spinte dinamiche: esempi
La portata si calcola applicando il teorema di Bernoulli fra le sezioni A e B essendo B = cc ( d2)/4
22
2
BA
ABA
pQ
2
2
2
2
22 BA
A
g
Q
g
Qp
g
U
g
Up BAA
22
22
La pressione pA, nel centro della sezione A, è ricavabile dalla lettura del manometro pA = n ·9,8 · 104 – D [N/M2].Infine la velocità del getto è calcolabile, note la portata e l’area della sezione contratta. La differenza vettoriale Me – Mu fornisce la –Fx, cioè la R cercata, il cui modulo risulta quindi
22 QUsenR
2e l’inclinazione sull’orizzontale
E11
E12
•Spinte dinamiche: esempiFra le applicazioni tecniche dei fenomeni d’urto merita una descrizione particolare quella della turbina Pelton. In queste macchine un gettod’acqua cilindrico, animato da velocità media U, è fornito da un ugello, la cui sezione è parzializzata da una spina centrale, l’ago Doble, per la regolazione della portata. Il getto investe successivamente le palea doppio cucchiaio, sistemate sulla periferia di una ruota e ne viene deviato fino all’annullamento dellavelocità nella direzione iniziale: resta solo una piccola velocità parallela all’asse della ruota, necessaria per allontanare e scaricare la portata.
La spinta esercitata dal getto su ciascuna pala, che è ora in moto con velocità v uniforme, può essere stimata da un osservatore solidale con la pala, che vede in arrivo un getto di sezione e velocità (U – v ): è perciò
21 2 vUF
La spinta totale va calcolata in base alla portata assoluta U anziché a quella relativa (U-v): vUUF 2
La potenza meccanica ceduta alla ruota vale: e assume valore massimo per v = U/2 .vvUUFv 2Quest’ultima è la velocità periferica prevista per la ruota: il passo di posizionamento delle pale sulla ruota è tale che ciascuna pala abbia tempo di deviare del tutto in direzione parallela all’asse di rotazione della macchina il troncone di getto isolato dalla pala successiva prima di allontanarsi, per effetto della rotazione, dalla traiettoria rettilinea del getto indisturbato. Se la velocità periferica della ruota è proprio pari alla metà della velocità dell’acqua nel getto, l’energia cinetica per unità di peso effluente dall’ugello eguaglia la potenza che viene ceduta alla ruota.
2
2
2
121
UgUg
UU vvUgUg
vvUUg
Ug
Fv 22=
In tal caso il
rendimento della
macchina sarebbe
unitario.
F. Fluidi ideali e reali
Fluidi reali
Fluidi ideali e equazione di Eulero
Equazioni costitutive
Equazione di Navier-Stokes
F0
Fluidi reali: equazioni disponibili
),( TpEquazione di stato 1 equazione scalare
0vdivt
Equazione indefinita di continuità 1 equazione scalare
3 equazioni scalari
Equazione indefinita di equilibrio dinamicoDt
Ddiv
zyxzyx v
Tfttt
f
Ricordando che le incognite sono
, v (3), T (6) Ci sono 10 incognite per 5 equazioni
Totale: 5 equazioni scalari
;;;
;;;
;;;
zzzzyzyzxzx
yzyzyyyyxyx
xzxzxyxyxxx
ttt
ttt
ttt
zzyzx
yzyyx
xzxyx
T
Il problema è indeterminato: sono necessarie altre 5 equazioni,ricavabili dalle modalità di deformazione del fluido !
F1
Fluido perfetto (o ideale)
p
p
p
00
00
00
TVediamo un caso particolare: un fluido che abbia, in moto, uno stato di sforzo identico a quello dei fluidi in quiete p pressione
kt
jt
it
z
p
zy
p
yx
p
xzyx ,, pgraddivT
tp
D
Dgrad
vf EQUAZIONE DI EULERO
o DEI FLUIDI IDEALIPrima equazione indefinita del moto diventa
Ora le incognite sono , v (3), p 5 incognite per 5 equazioni
F2
Fluidi reali (viscosi) 1/2
Tensore degli sforzi nei fluidi viscosi
Dt
DvTf divPrima equazione indefinita del moto
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
TTT
TTT
TTT
t
t
t
T
ijji TTSeconda equazione indefinita del moto
Fluidi senza memoria
Legame sforzi-deformazioni T=T(D), D tensore di deformazione
T= pI se in quiete
Serve equazione costitutiva
z
v
y
v
z
v
x
v
z
v
z
v
y
v
y
v
x
v
y
v
z
v
x
v
y
v
x
v
x
v
yxyzy
yzyyx
xzxyx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
D
FLUIDO STOKESIANO
F3
Fluidi reali (viscosi) 2/2
Il legame sforzi-deformazioni più semplice è quello lineare, o legame costitutivo newtoniano, che vale per fluido incomprimibile
DIT 2p
Dt
DvTf divIntroducendolo nella equazione indefinita di
equilibrio
Dt
Dp
vvf 2grad EQUAZIONE DI NAVIER-STOKES
F4
G. Teorema di Bernoulli
Teorema di Bernoulli
Interpretazione fisica
Applicazioni: foronomia, venturimetro
Estensione a corrente finita
Estensione ai fluidi reali
Estensione alla presenza di macchine
G0
Fluidi ideali – Il Teorema di Bernoulli (1/2)
Fluido ideale (non-viscoso): si assume che il fluido abbia zero - viscosità ( = 0)
Vale eq. Eulero:t
pD
Dgrad
vf a
vf
tp
D
Dgrad
1
se f ammette pot. a ammette pot. se e solo se ammette pot.
ammette pot.se: o p = cost, o , p legate f( , p, t) = 0 = moto barotropico
un potenziale di è
Identità vettoriale:
Sostituendo a nella eq. Eulero:
CASO 1
Moto irrotazionale: rot v = 0 v = grad ed a ammette potenziale
Se a ammette pot. e f( , p, t) = 0 (moto barotropico)
Moto permanente :
gradf pgrad1-
pgrad1-
dpp gradgrad1-
2gradrot
DD 2v
ttvv
vva
vvv
f rot2
gradgrad1 2
t
vp
gradf
02
grad2
t
vdp
pgrad1- dp
0t
vdominioneluniforme
2
2vdp
dominioneluniforme2
2
t
vdp
G1
Fluidi ideali – Il Teorema di Bernoulli (2/2)
CASO 2
Moto rotazionale : rot v 0
Moto permanente :
Moltiplico scalarmente per v o rot v
lungo le traiettorie o le linee di v
Analogamente se esistono f. specifiche di massa di tipo Coriolis fc = -2 v
Il trinomio è anche immutabile nel tempo
per = costante e geopotenziale = -gz
0t
vvv
vrot
2gradgrad
1grad
2
t
vp
vvvv rot2
grad2vdp
costante2
2vdp
costante2
2Vpzg costante
2
2
g
VpzH TRINOMIO DI TRINOMIO DI
BERNOULLIBERNOULLI
costante2
effettivoo totalecarico2
g
VhH
Altezza generatrice Altezza generatrice della velocitàdella velocità
G2
Fluidi ideali – Il Teorema di Bernoulli (2^ dimostrazione)
dxdx
dvdx
x
vdv
t
quindi
dtt
vdx
t
vdv
xt
(moto permanente, Hp. 3)
vdx
dv
dt
dx
dx
dv
dt
dv
Il teorema di Bernoulli esprime il principio di conservazione dell’energia meccanica di un fluido ideale e a densità costante, in moto permanente nel campo gravitazionale.Le ipotesi su cui si basa sono dunque:
1) Fluido perfetto
2) Campo gravitazionale
3) Moto permanente ( stazionario ) 0...t x
r
px
p
Applico al tronchetto di fluido x, r proiettato nel verso del motoamF
dt
dvxrxsenrgrpp
22221
Per un tratto infinitesimo dzdxsendpppdxx 1 2
dt
dvdxrdzrgrdp
222
Divido per r2 e porto tutto a II membro
0vdx
dvdxgdz
dp0vdvgdz
dp
tvvdp
zzg cos2
21
22
2
112
ovvero se è incomprimibile
tvp
gz cos2
2
2
1
e integrando tra 1 e 2
G3
Interpretazione fisicaInterpretazione fisica
szA zB
zC
pA pBpC
2gV2
B
2gV2
C
2g
Linea dei Linea dei Carichi TotaliCarichi Totali
LineaLineaPiezometricaPiezometrica
z = 0
A
B
C
V2A
Il lavoro compiuto su una particella dalle forze che su questa agiscono è uguale alla variazione dell’energia cinetica della particella stessa
H = energia specifica (per unità di peso) = CARICO TOTALECARICO TOTALE
z : energia posizionale (peso = 1) : lavoro dell’unità di pesoALTEZZA GEODETICAALTEZZA GEODETICA
V2/2g : energia cinetica (peso = 1) : lavoro dell’unità di peso [(1/2 m V2)/mg]ALTEZZA CINETICA ALTEZZA CINETICA (altezza di caduta libera per raggiungere v)
p/ : energia di pressione (peso = 1) : lavoro dell’unità di pesoALTEZZA DI PRESSIONEALTEZZA DI PRESSIONE (altezza di colonna di fluido per produrre la pressione p)
z +p
QUOTA PIEZOMETRICAQUOTA PIEZOMETRICA
G4
DEFINIZIONE.:Quando i raggi di curvatura delle singole traiettorie sono molto grandi, la variazione dellaquota piezometrica lungo la normale principale e quindi in tutto il piano normale risulta molto piccola e praticamente trascurabile: la distribuzione della pressione nelle singole sezioni traversali della corrente risulta cioè sensibilmente idrostatica. Tali correnti si dicono correnti gradualmente variate o correnti lineari.
Pressione staticaPressione statica,, dinamicadinamica,, totaletotale –– punto di ristagnopunto di ristagno
costante2
1 2 zVp
v
(1) (2)
(3)
(4)
h3-1
h4-3h
H
v1 = v v2 = 0
Ciascun termine può essere interpretato come una forma di pressione [N/m2]
pp:: pressione termodinamica pressione termodinamica ((pressione staticapressione statica))
p1 = h3-1 + p3 = h (come se il fluido fosse fermo)
zz:: pressione idrostatica pressione idrostatica -- Variazione di pressione possibile per variazioni di energia potenziale del fluido, a seguito di cambiamenti di quota
vv22:: pressione dinamicapressione dinamica –– Visualizzabile in (2), punto di ristagno
pp22 == pp11 + (1/2) + (1/2) vv2211
La pressione nel punto di ristagno è maggiore della pressione statica p1
della quantità (1/2) v21, pressione
dinamicaPunto di ristagno
Pressione totalePressione totale
pT = p + (1/2) v2 + z
G5
Misura delle velocità Misura delle velocità –– TUBO DI PITOTTUBO DI PITOT
Presa dinamica(punto di ristagno)
Prese statiche
VA2 / 2g
A B C
HB = zB + pB/ = HA = zA + pA/ + VA2 /2g
Informazione in uscita
V
t
Abbinando al Pitot unacella di pressione è più facile acquisire l’andamento temporale delle velocità
/)(2 AB ppV
G6
PROCESSI DI EFFLUSSOPROCESSI DI EFFLUSSO
g
vpz
g
vpz
22
222
2
211
1
Tra due punti su di una traiettoria
(1)
(2) (3)
(5)
(4)(2)
h
e
dH
z
v
v = 0
FisicamenteFisicamente: dal momento che non c’è componente della forza peso (o accelerazione) in direzione normale, la p è costante in quella direzione
Pressione uguale a patm: traiettorie rettilinee – p2 p4
Tra (1) e (2): h = v2 / 2g TORRICELLITORRICELLIhgv 2
ottenibile anche scrivendo lottenibile anche scrivendo l’’equazione diequazione di BernoulliBernoulli frafra ii puntipunti (3) e (4): (3) e (4): v3 = 0; p3 = (h – e)
Tra (2) e (5) il fluido accelera:
Tutta l’energia potenziale di una particella è convertita in energia cinetica
)(25 Hhgv
G7
(1)
(3)d
(2)
h
(0)
z
z = 0
d << h la velocità del baricentro della vena è una ragionevole velocità media (distribuzione parabolica)
g
vpz
g
vpz
22
222
2
200
0 hgzzgv 2)(2 202
ve = 0.98 – 0.99 v = Cv effettiva
Q = Ac ve = Ac Cv = A Cc Cv
hg2
hg2 hg2
Ac = Cc A;
CcCc == coefficiente di contrazionecoefficiente di contrazione
Q = A = Cc Cv
coefficiente di efflussocoefficiente di efflusso
hg2
(2)
(3)
(1)
dcd
Vena contratta
Cc = 0.61
dcd
Cc = 0.61
dcd
Cc = 0.50
G8
VenaVena sommersasommersa
dcd
zB
pB/
B
A
zA
pA/
z = 0
H1
H2
p
v
g
vh
2
2
hgHHgvv t 2)(2 21g
vpz
g
vpz BB
BAA
A 22
22
G9
Efflusso da paratoiaEfflusso da paratoia
(B)
zB
(A)
a
ac = Cc a 0.61 a
pB/z
pA/
zA
p v
H
In (B): corrente gradualmente variata z + p/ = costante
g
vpz
g
vpz BB
BAA
A 22
22
)(2 aCHgv ct
b
a Sezionerettangolare
)(2 aCHgbaQ c
G10
Teorema di Teorema di Bernoulli per Bernoulli per correnticorrenti
Potenza di una correntePotenza di una corrente
dA
dQ = v dA
Tubo di flussodP = ( dQ) H; H = carico totale (energia meccanica)
AAQ
dAvg
vpzdAvHdQHP
2
2
LaLa potenzapotenza,, PP,, di una corrente di fluido idealedi una corrente di fluido ideale,, incomprimibileincomprimibile,,inin condizioni di moto permanentecondizioni di moto permanente,, si mantiene costantesi mantiene costante,, cioècioè
assume lo assume lo stesso valore su tutte stesso valore su tutte le successive le successive sezioni trasversalisezioni trasversali..
Per ogni tubo di flusso, fluido ideale:H = costante
dQ = costantedP = costante
Fino a qui è tutto vero per qualunque tipo di corrente. Adesso, vediamo cosa succede per correnti lineari
G11
Corrente lineare Corrente lineare ((gradualmente variatagradualmente variata):): zz ++ pp // == costantecostante
c
AA
PQp
zdAvg
vdAv
pzP
2
2In generale, v costante su di una sezione trasversale
Potenza cinetica
Coefficiente di ragguaglio, , della potenza cinetica (coefficiente di Coriolis)
Moto uniforme turbolentoMoto uniforme turbolento:: 1 (1.06 1 (1.06 –– 1.08)1.08)
Moto uniforme laminareMoto uniforme laminare :: = 2= 2 Ag
v
dAvg
V
media
A
2
23
2
vmedia
v
Qg
VP media
c 2
2
QHQg
VpzP medio
media
2
2
Per una corrente lineare di fluidoideale:
P = costante
Q = costanteHmedio = costante
= costante
Hmedio = energia specifica media
G12
VenturimetroVenturimetro
1. Teorema di Bernoulli esteso a corrente lineare con 1(vmedia v)
2. Corrente linearepiezometrica unica, convenzionalmenteriferita all’asse, L.C.T. unica
zA
pA/
V2A/2g
zB
pB/
V2B/2g
D1
D2
m
Linea dei carichi totali
Linea piezometrica
Perdita di carico trascurabile nel convergente
A
B
VA AA = VB AB = Q = costante
m
BA
BA gAA
AAQ 2
22
mABBB
AA
g
VVpz
pz
2
22
z = 0
G13
BoccaglioDiaframma
Taratura(laboratorio)
v21/2g v2
1/2g
v22/2g
Linea dei Carichi Totali
Linea Piezometrica
Venturimetro
KQ
: lettura manometro differenziale tra monte e valle
N.B.: In generale, un aumento di velocità è accompagnato da una diminuzione di pressione (cavitazione)
G14
Linea piezometrica Linea piezometrica ee linea dei carichi totalilinea dei carichi totali
(2)
(1)
p2/
z2
H = z1
(3)z3
p3 = 0
LPLP
LCTLCTV1 = p1 = 0
V22/2g
V23/2g
LCTLCT
LPLP
p < 0
p > 0
Q
G15
Fluidi realiFluidi reali
HH costantecostante
Viscosità
Sforzitangenziali
calore
Fluido realeFluido reale (dissipazioni di energia meccanica)
LCT: (AE) = LP + LCT: (AE) = LP + V2/2g
LP : (FD)LP : (FD)
CADENTECADENTE JJ == -- HH// ss
Cadente Piezometrica Cadente Piezometrica JJ == -- // ss ((zz ++ pp// ))
Perdita di energiaper unità di peso e
di persorso, adimensionale
L JY
(B)
(E)
(C)
(F)(D)
L
s
(A)
V2/2g
Fluido idealeFluido ideale (velocità in condotta costante per tutte le traiettorie)
LCT: (AB)LCT: (AB)
LP : (CD)LP : (CD)
G16
s
HJ EquazioneEquazione deldel motomoto
ss
dssJdH
00
)(
Moto uniformeMoto uniforme
JJ == costantecostante (LP(LP LCT)LCT)
H(s) – H0 = –J s
s
dssJHsH
00 )()(
g
VLJY
2
2
L’intera energia disponibile si L’intera energia disponibile si trasformatrasforma solo in solo in parteparte inin energiaenergiacineticacinetica aa causa delle dissipazionicausa delle dissipazioni
Continue
J L
Localizzate
(proporzionali a V2 / 2g)
Perdite di carico
g
VdssJHsH i
ii
s
2)()(
2
00
EquazioneEquazione deldel motomoto((teorema di teorema di BernoulliBernoulli generalizzatogeneralizzato))
G17
Teorema di Teorema di Bernoulli in Bernoulli in presenza di macchinepresenza di macchine
TTeorema di Bernoulli0)( HsH
g
VdssJHsH i
ii
s
2)()(
2
00
TTeorema di Bernoulli generalizzato, fluido reale
0 sM
Hm
g
VdssJHHsH i
ii
s
m 2)()(
2
00
(pompe)operatricimacchine0
(turbine)motricimacchine0
);macchine()( 0
m
m
m
H
H
HHsHTTeorema di Bernoulli generalizzato in
presenza di macchine, fluido ideale
TTeorema di Bernoulli generalizzato inpresenza di macchine, fluido reale
G18
Macchine Motrici Macchine Motrici (Turbine) e (Turbine) e OperatriciOperatrici ((PompePompe))
V22/2g)
T
(A) (B)L1
V21/2g)
L2
HA
HB
HM
Q
L1 J1 La portata Q nondipende solo da Y ma
anche dalla regolazione della macchina
H L2 J2
YY == salto disponibilesalto disponibiledislivello peli liberidislivello peli liberi
HH == saltosalto utile = utile = HHMM HHVVHV
z = 0
HHMM == HHAA –– JJ11 LL11
HHVV == HHBB ++ VV2222/2/2gg) + ) + JJ22 LL22
PPtt == QQ HH potenza cedutapotenza ceduta
PPdd == QQ YY potenza disponibilepotenza disponibile
Energia ceduta dalla corrente alla macchina
nell’unità di tempo
G19
YY
11
22
pz
pzh
prevalenza manometricaprevalenza manometrica
L1
z = 0HA
A
B
HB
L2
HM
HV
HH
hh
PQ
Y
SchemaSchema didiimpianto di impianto di
sollevamentosollevamento
Condotta di aspirazione
Condotta di mandata
HH == HHVV HHMM
prevalenza totaleprevalenza totale
prevalenza geodeticaprevalenza geodetica
Potenza ceduta Potenza ceduta alal fluidofluido
PPtt == QQ HH
Potenza cedutaPotenza cedutaalla pompaalla pompa
PPee = (= ( QQ HH) / ) / Y = 0 circuito chiuso
Y < 0 voglio convogliare più portata di quella che passerebbe naturalmente
(la pompa deve vincere solo le resistenze distribuite e concentrate)
G20
H. Moto permanente in tubi cilindrici
Moto permanente
Formula di Poiseuille
Raggio idraulico
H0
MOTO PERMANENTE IN TUBI CILINDRICIMOTO PERMANENTE IN TUBI CILINDRICI z
yx
vx
Per :• moto permanente• uniformi e stazionarie•Traiettorie rettilinee e parallele•Campo geopotenziale = - gz
Eq. di continuità: 0vdiv 0x
vx ),( zyvv xx
Dt
Dgradp
vvf 2
dt
dv)( gzgradgf
02xvgzp
x
0gzpy
0gzpz
g
pzh E’ uniforme sui piani ortogonali a x, ovvero: la pressione
varia idrostaticamente sulle sezioni trasversali
02xv
pz
x
Come vx anche 2vx è dipendente da x:la variazione di carico piezometrico è
uniforme con xPosto
pz
xi Cadente piezometrica
ivx2
Eq. Navier - Stokes:
Proiettando sugli assi e ricordando che (moto permanente) e che0
Dalla prima equazione si deduce
EQUAZIONE DI POISSONSi ha :
H1
Per l’integrazione dell’equazione di Poisson sono necessarie:
forma sezione trasversale
condizioni cinematiche al contorno
Tubo cilindrico a sezione circolare:
Passando alle coordinate cilindriche ( r, )
iv
rr
vr
rrz
v
y
vv xxxx
x 2
2
22
2
2
22 11
Da cui integrando con vx(r = r0) = 0,
2204
rri
rvx20max 4
0 ri
vv x VProfilo parabolico di velocitàInoltre integrando si ottiene la portata
440
0 1288)(2
0
Di
ri
drrrvQr
xFORMULA DI POISEUILLE
r
z
y
D = 2ro0)0(rdrdvx
vmax
e la velocità media ( ascissa di compenso del diagramma delle velocità)
max22
0 2
1
328vD
ir
i
A
QV
Infine, la tensione tangenziale
ri
dr
dvT x
rx 202
max ri
Trx(alla parete)
H2
Si valuti ora il rotore:
iri
ir
vi
v
rivrot x
rx
xx 2
1
Dunque il moto è rotazionale e il rotore cresce linearmente con r, dal valore 0 in asse al massimo ( r = r0 )presso la parete
z = 0
z2
z1
Li
2
1
G
g
V
2
2
1p
L
1Q
2Q
V
Tubo cilindrico a sezione circolare: azione di trascinamento corrente
Moto uniforme a velocità media V intubo cilindrico a sez. circolare ( inclinato sull’orizzontale di ) con raggio r0. Si applica il teorema della quantità di moto al cilindro lungo L e di raggio generico r (0 r r0). Indicando con A = r 2 lasua sezione , B = 2 r il perimetro della sezione ( perimetro bagnato ) trasversale,si ha che l’azione esercitata dal fluido circostante vale , conipotizzando tensioni distribuite uniformemente.Il teorema della q.d.m. porge allora
0 BL0
12021ˆˆ QQG
Proiettando nella direzione del moto e evidenziando l’azione di trascinamento notando che0T
A
VQQ
2
21ˆˆ si ha ALihhAGsenT 2121
L
hhi 21 Cadente piezometrica (= in moto uniforme alla cadente del carico effettivo j =(H1 H2) / L )
H3
Dunque la tensione tangenziale al raggio r vale:
ir
jB
Ai
B
A
BL
Tr
2
come ricavato in precedenza con l’equazione di Navier ( = T rx)
Infine lo sforzo tangenziale (massimo) alla parete vale
jr
ir
ir
r
22200
0
20
0max
Il ragionamento può essere esteso a sezioni diverse dalla circolare, nel qual caso alla parete
RiiB
A0 con RAGGIO IDRAULICOR
B
A
Tornando alla sezione circolare e al raggio generico r, unendo alla l’espressione dovuta
all’equazione costitutiva separando le variabili e integrando, si ottiene la
distribuzione di velocità parabolica derivata in precedenza.
ir
r2
dr
dvTr x
rx
H4
I. Moto turbolento
Esperienza di Reynolds
Moto medio
Aspetti del moto turbolento
I0
MOTO TURBOLENTOMOTO TURBOLENTORegimi di moto:
ESPERIENZA DI REYNOLDS ( 1883 )
Aumento gradatamente la portata in ingressoMoto laminare: moto per filettifluidi paralleli alle pareti delcondotto, colorante immessomantiene traiettoria senzamescolarsi; non si verifica scambio di massa tra filettiadiacenti.
V1 molto bassa
V2 > V1
V3 > V2 ( di poco )
Moto di transizione: moto per filetti fluidi che divengonoinstabili all’aumentare della portata. Esistono velocitàtrasversali e scambio di massa tra filetti adiacenti.
Moto turbolento: dopo breve tratto di condotta il getto di colorante si disintegra e sidisperde nella massa fluida colorandola uniformemente.Velocità trasversali incisive.
Immissionecolorante
Immissionecolorante
Immissionecolorante
I1
Se V velocità media
D diametro condotta
proprietà del fluido (densità , viscosità )
Il moto è laminare o turbolento a seconda che
VDRe NUMERO DI REYNOLDS [Re] = [ 0 ]
sia minore o maggiore di circa 2500
Il passaggio al moto turbolento avviene per instabilità del moto laminare di partenza
I2
MOTO MEDIOMOTO MEDIO
Nel moto turbolento i valori locali e istantanei delle varie grandezze fisiche subiscono fluttuazioni continue e disordinate. Di norma è sufficiente considerare solo le medie temporali dei valori locali e istantanei e prescindere dalle oscillazioni sovrapposte. Tale operazione è concettualmente analoga alla media spazialeeffettuata per ottenere lo schema di mezzo continuo.
Da un punto di vista Euleriano, la velocità in un punto fluttua e assume valori nell’intervallotemporale t0
ni vvv ,...,,,...1
Il valor medio temporale è
0
00
1 tm dtv
tv
1v iv Nv
Al crescere di t0 , fluttua sempre meno sino a raggiungere un valore pressoché costante per t0 = T; si definisce allora
mv
dtvT
vT
m
0
1VELOCITA’ MEDIA TEMPORALE
Ove T, durata, è sufficientemente lunga da ottenere valori che non dipendono più dalle fluttuazioni turbolente; è invece breve rispetto ai tempi di evoluzione del fenomeno nel suo complesso.
tt1 ti tN
T : Secondi o frazioni ( piccoli vortici )
Ore ( turbolenza a grande scala : cicloni )
I3
'vvv m
0'1
0dtv
T
T
M
T
M vvT 0
1
Tali operazioni di media vengono effettuate anche sugli altri parametri locali e istantanei.
'M 'M 'TTT M
v’ fluttuazionePertanto:
L’insieme dei valori medi fornisce la descrizione del moto medio; ad esso si trasferiscono tutte le caratteristiche definite per il moto individuato dai valori locali e istantanei ( es. moto permanente, irrotazionale, isocoro) .
EQUAZIONI DEL MOTO MEDIO
0MMM vdivt
dt
vdTdivTdiv
M
MRMMM
Eq. di continuità
1^ eq. indefinita del moto medio ( eq. di Reynolds)
jiRMijRM TTTT 2^ eq. indefinita del moto medio
Mentre l’eq. di continuità è formalmente inalterata rispetto a quella valida per il moto effettivo, nelle eq. indefinite del moto medio compare in aggiunta:
MzMyzMxz
MzyMyMxy
MzxMyxMx
R
vvvvv
vvvvv
vvvvv
T2'''''
''2'''
''''2'
TENSORE DEGLI SFORZIDI REYNOLDS
I4
ASPETTI DEL MOTO TURBOLENTO
Al crescere della distanza dal contorno della zona interessata al moto, la turbolenza tende a divenire isotropa;oscillazioni turbolente diventano indipendenti dalla direzione
MzMyMx vvv 2'2'2'Pressioni di Reynolds
Inoltre diventano evanescenti le correlazioni fra componenti di oscillazione lungo direzioni diverse
0''''''MxzMzyMyx vvvvvv
TR diviene tensore isotropo
r
Jr
r2
MrxxM vv
dr
dvJ
rr ''
2
Sforzo tang. viscoso
Sforzo tang. turbolento
Si evidenzia lo STRATO LIMITE VISCOSO
Quindi nelle zone lontane dai contorni , poiché l’intensa agitazione dovuta alla turbolenza opera una cancellazione delle disuniformità del moto medio, quest’ultimo è solenoidale ( div v =0 ) , irrotazionale
(rot v = 0) e privo degli sforzi tangenziali legati alla viscosità vale lo schema di fluido ideale ( eq. di Eulero), sommando però la pressione di Reynolds a quella media; vale anche il teorema di Bernoulli.Avvicinandosi alle pareti solide, le velocità calano ( alla parete, per la condizione di aderenza, v = 0 ), sia le fluttuanti che le medie: calano anche gli sforzi di Reynolds locali. Invece gli sforzi legati alla viscosità assumono maggiore importanza.
r
I5Asse condotto circolare
L. Moto uniforme e permanente nelle condotte
Moto uniforme nelle condotte in pressione
Esperienza di Nikuradse
Tubi commerciali: diagramma di Moody
Formule pratiche per acquedotti
Perdite localizzate
Moto permanente nelle condotte
L0
MOTO UNIFORME NELLE CONDOTTE IN PRESSIONEMOTO UNIFORME NELLE CONDOTTE IN PRESSIONE
Moto uniforme entro un condotto cilindrico: valori e distribuzione velocità sono gli stessi contemporaneamente in ogni sezione. Se il moto è turbolento, si intendono le velocità medie. In moto uniforme Q = cost lungo il condotto, ma può essere Q = Q(t). Se il moto è anche permanente laportata è costante nel tempo e nello spazio.
0...
t
MOTO UNIFORME E PERMANENTE IN CONDOTTO CILINDRICO
g
V
2
2
LJ
1p
2p
Lz1z2
g
V
2
2
H
h
V
r0
A
RJ0 L
HHJ 21
B
AR
• sezione circolare20rA
02 rB 420 Dr
RN.B.: per la sezione circolareil raggio idraulico è la metàdi quello geometrico
• sezione rettangolare
a
bA= ab
B = 2 (a+b) )(2 ba
abR Se a >> b , R b / 2
A parità di area, la sezione circolare ha il massimo Raggio Idraulico; pertanto a parità di 0 e , J è minimo, come da
RJ 0 Come esprimere 0 (e quindi J) in funzione delle altre grandezze ? ? ?
L1
Raggio idraulico
A : area sezione trasversale
B : perimetro bagnato
Esempi di calcolo Raggio Idraulico :
MOTO UNIFORME TURBOLENTOMOTO UNIFORME TURBOLENTO
In generale
per condotto circolare
,,,,0 VD
per condotto di forma qualunque
formadicoeffVD .,,,,,0
Per moto laminare non conta, non c’è trasferimento di quantità di moto
,,10 VDD
Vk0
Ma poiché dal bilancio di quantità di moto (*) si ottieneJD
40 VD
VkJ
24
Per altro integrando l’eq. di Navier avevamo ottenuto in perfetta analogia con la precedente; dal confronto si vede che k = 8 e quindi
232
D
VJ
D
V80
ma dall’analisi dimensionale con [ k ] = [0 ]
Per moto puramente turbolento in tubi lisci ( non conta ) ; dall’analisi dimensionale,,20 VD
210 V 2
2
1
21 44 V
gD
V
D
VJ
g
V
DJ
2
2
facendo si ha Si noti inoltre che : 1) moto laminare
2) moto turbolento
D
VkL0
210 VT )1
)2 Re10 VDVD
koL
T
Indice del grado di turbolenza
con 1 da derivarsi con esperienze;confrontandola con la (*) si ricava
Più comunemente si definisce = 8 1 fattore d’attrito da cui
L2
Si noti che volendo usare la
g
V
DJ
2
2anche in moto laminare, in cui si ricava
232
D
VJ
Re
6464
VD
Per moto turbolento di transizione in tubi lisci
,,,30 VD Re12
0 V
La relazione 1(Re) si ricava sperimentalmente. La formula più nota è quella di Blasius25.01
Re
316,08
che confrontata con fornisce che dimostra che ci si trova in moto turbolento di transizione. g
V
DJ
2
2
25,1
75,1
D
VJ
dall’analisi dimensionale si ricava
Altra formula è quella di Prandtl – KarmanRe
51,2log2
1
Moto nei tubi scabri 0
Difficile quantificare la scabrezza conun’unica grandezza. Si usa pertanto unadefinizione basata sulle conseguenze,cioè la resistenzaofferta dal moto.
Esperienza di Nikuradse: scabrezza artificiale facilmente misurabile. Incollò a tubo liscio straterello disabbia con diametro costante d = scabrezza.
L3
Nikuradse effettuò quindi delle prove in un tubo con un fluido, per diverse portate e quindi diversi Re
noti: in ciascuna prova, misurò J ; dalla si ottiene la relazione = Re ( ) per via
sperimentale, questo per ogni valore della scabrezza.
In termini di analisi dimensionale, ciò corrisponde a determinare:
g
v
DJ
2
2
,,,,40 VDD
V Re,12
0
Ciò consentì a Nikuradse la redazione dell’omonimo diagramma (v. diagramma) ove è presente l’arpa di
Nikuradse ; il limite tra moto turbolento di transizione e moto puramente turbolento è data da
70*
*Redu 0*u
In moto puramente turbolento si ha la formula di Prandtl – Karman per tubi scabri:
Velocità d’attritocon
D71,3
1log2
1
Moto turbolento in tubi commercialiLa scabrezza non è uniforme: i diagrammi sperimentali non presentano più il tratto ascendente con concavità verso il basso (diagramma di Moody). Una formula interpolare che interpreta tutti i risultati sperimentali è la formula di Colebrook:
D71,3
1
Re
51,2log2
1La formula di Colebrook o il diagramma di Moody consentono di risolvere il problema di verifica:( ,Q, , D, ) Re, /D (Re, /D)
g
V
DJ
2
2
E in maniera iterativa il problema ( ,J, , D, ) Q
L4
Andamento del coefficiente in funzione del numero di Reynolds: in tubi con scabrezza artificiale omogenea, curve (a), e in tubi commerciali, curve (b).
L5
Diagramma di Moody: curve = (Re, /D) ottenute dalla formula di Colebrook con diversi valori costanti della scabrezza relativa /D
L6
Formule pratiche per gli acquedotti
5
2
D
QJMoto assolutamente turbolento : formula di Darcy ove ] = [ L-1 T2 ] , = ( D )
Formula di Chezy con [ ] = [L ½ T-1 ] R = D/4 RAGGIO IDRAULICO JR
V2
2
gD 2
2 g8confronto con e ottengo V
J
infine per determinare “ ” su Marchi – Rubatta “ C ” su Citrini)
i) Formula di Bazin : indice di scabrezza, tabellato
R1
87
ii) Formula di Kutter : m indice di scabrezza, tabellatom2
D1
100
13
1
TLkc s
6
1
6
1 1R
ncRiii) Formula di Gauckler – Strickler : c( anche ks ) coeff. di Gauckler – Strickler
n = 1/c coeff. di Manningtabellati
Introducendo la iii) nella formula di Chèzy si ha :
c scabrezza cala
c scabrezza cresce34
2
2
Rc
VJ che consente il calcolo di progetto per via diretta.
L7
PERDITE DI CARICO LOCALIZZATE
Di norma le correnti fluide in pressione si muovono entro condotte cilindriche. Fanno eccezione alcune situazioni particolari, riguardanti raccordi fra tratti. Queste situazioni sono associate a intense dissipazioni energetiche, causate dal distacco della vena fluida dalla parete accompagnato dalla formazione di vortici. Tali dissipazioni vengono designate perdite di carico localizzate. Trattandosi di dissipazioni legate a fatti turbolenti, si esprimono come
g
VkH
2
2
V1
1
2
2
1A1
A2
H
Dall’applicazione del bilancio della q. di moto al tronco 1-2 in moto permanente
2
1
22
22
21 122 A
A
g
V
g
VVH
2
1
2 1A
A
g
VH
2
2
da cui 1k
• imbocco in una condotta da un serbatoio
A spigolo vivo k = 0,5Tubo addizionale interno k = 1
1
• brusco allargamento
V2
da cui k
• sbocco in un serbatoio
• convergenti normalmente nei condotti gradualmente convergenti si hanno perdite trascurabili, poiché non si ha distacco della vena.
L8
• divergenti2
21
2g
VVmH con m = m ( )
a) b)
b) è meglio di a), il distacco avviene più a valle
• curve, saracinesche, dispositivi di strozzamento, griglie k = k (geometria)
Si noti che alle perdite che avvengono in saracinesche, rubinetti, valvole di riduzione della pressione è spesso affidata la funzione della regolazione
L9
2
V1
V2
2
A2
1
1
A1
L
z1
z2
Ipotesi:moto permanente, densità costante , pressione distribuita in modo idrostatico sulla sezione terminaledella condotta di monte, A1, sulla sezione di raccordo e sulla sezione terminale del volume di controllo, A2, infine si assume che sulla parete laterale del volume di controllo gli sforzi tangenziali siano trascurabili.Componente nella direzione e verso del moto delle forze esterne agenti sul volume di controllo:
2122122 )( hhgAppALsengA
essendo Lsen = z1 – z2
Ma la portata netta di quantità di moto uscente dal volume ha componente nel verso del deflusso: 12 VVQ
Per il teorema della quantità di moto dovrà essere: 12212 VVQhhgA
1
22
221 1
A
A
g
Vhh
Il carico
piezometrico
aumenta nel
verso del moto!!!
Il carico effettivo
cala nel verso del
moto!!!
2
1
22
221
21
22
22
1
22
22
22
1
1
22
22
22
21
121
12
12
122
122
A
A
g
VHH
A
A
g
V
A
A
g
V
g
V
g
V
A
A
g
V
g
Vh
g
VhHH
k
Se A2 >> A1 (sbocco di una condotta in un serbatoio) il carico piezometrico resta invariato, mentre convienecalcolare H mettendo in evidenza V1 e si ottiene:
g
V
g
V
A
AH
221
21
21
2
2
1
p1/ p2/
g
V
2
21
g
V
2
22
L10
Brusco allargamento di sezione della corrente
Se il moto è permanente e = cost : e quindi2211 VAVAQ
MOTO PERMANENTE NELLE CONDOTTEMOTO PERMANENTE NELLE CONDOTTE
Si esaminano i moti permanenti, non uniformi, dovuti a:
•Variazioni graduali o brusche di sezione o direzione;
•Variazioni di portata lungo il percorso;
•Variazioni di densità del fluido;
Condotte con variazione graduale di sezione
Perdite di carico distribuite si valutano conespressioni formalmente identiche a quelleutilizzate per condotte cilindriche. Per = cost
tUQ cos
g
U
Rds
dHj
24
2
Forma generale per condotte non circolariR = raggio idraulico
per condotte circolari
5
2
2
8
D
Q
gds
dHj
Tali equazioni si integrano conoscendo o D = D(s) utilizzando per le formule già viste)(s
ds
dhi
ds
dHJ
U2
g
U
2
21
g
U
2
22
U1
L11
ESEMPIO: CONDOTTA TRA DUE SERBATOI
L
z
p/
g
V
25.0
2
g
V
2
2
g
V
2
2
H1
H2
z = 0
Dati: H1 = cost.; H2 = cost.; = cost.; D = diametro condotta; L = lunghezza condotta; = scabrezza assoluta condotta. Calcolare la portata in transito in moto permanente.
Si applica il teorema di Bernoulli generalizzato tra il serbatoio 1 e il serbatoio 2, considerando perditedistribuite e concentrate
2
222
1 2225,0 H
g
VL
g
V
Dg
VH
Perditaconcentrata
sbocco(k=1)
Carico di monte
livello serb.1
Perditaconcentrata
imbocco(k=0,5)
Carico di valle
livello serb.2
Perditedistribuite
jL
L12
Inoltre sussiste l’equazione di continuità Q = VA , A = ( D2)/4 da cui, generalizzando al caso di N perdite concentrate descritte dai coefficienti k1 … ki … kn si ha
2
2
121 2gA
QL
DkHH
N
i
i
da cui si ricava Q noti gli altri coefficienti.
Peraltro a seconda del regime di moto che si instaura VD
Re
Re
64
2.2. TURBOLENTOTURBOLENTO = (Re, /D) diagramma di Moody, formula di Colebrook
1.1. LAMINARELAMINARE = (Re )
3.3. ASSOLUTAMENTE TURBOLENTOASSOLUTAMENTE TURBOLENTO = ( /D ) Diagramma di Moody
Formula di Colebrook
Nei casi 1) e 2) è funzione di cioè funzione della portata Q incognita.ReA
QDVD
Nel caso 3) è invece noto a partire dalla scabrezza relativa /D. Peraltro il regime di moto è incognito a priori. Una soluzione è ipotizzare il regime di moto e quindi la legge di resistenza, calcolare
, calcolare Re e verificare. Se la verifica è soddisfatta, il risultato è corretto; se no, va modificata la legge di resistenza, eventualmente innescando un procedimento iterativo.Esempio: per il deflusso di acqua, normalmente il moto è turbolento ( 2 o 3 ); allora si determina un 0di primo tentativo da /D con l’ipotesi 3 e, in base a esso, si calcola una portata Q0 , da cui Re0.
Verifica: Re0 , /D 3) OK
Re0 , /D 2) 1 Q1 Re1
Re0 /D 2) 2 Q2 Re2
Sino a convergenza del procedimento.Applicando le formule pratiche 3) èscontata, il calcolo di Q è immediato
L13
M. Impianti di sollevamento
Scelta della pompa
Curva di impianto
Altezza di aspirazione
Punto di funzionamento
Pompe in serie e in parallelo
M0
H1
H2
L1,D1
L2,D2
P
Hp/
z
g
V
25,0
21
g
V
2
21
g
V
2
22
g
V
2
22IMPIANTO DI POMPAGGIO : IMPIANTO DI POMPAGGIO :
scelta della pompascelta della pompa
Dati H1 = cost, H2= cost, = cost, L1,L2,D1,,D2 lunghezze e diametri condotte, 1, 2 scabrezzeassolute, calcolare la portata in transito in moto permanente. È necessario procedere alla scelta dellapompa.Bernoulli applicato tra 1 e 2 fornisce
2
22
2211
21
1 225.0 H
g
VLjHLj
g
VH
M1
Applicando l’equazione di continuità Q = V1A1 = V2A2 si ha
22
2
22
2
12
1
2
11
1
112 22
21
gA
QL
Dk
gA
QL
DkHHH
N
i
i
N
i
i
Ipotizzando per semplicità che il moto sia assolutamente turbolento, 1 e 2 sono noti a partire da 1/D1 e2/D2 . Allora la relazione precedente può porsi come
212 KQHHH
Prevalenzapompa
Dislivellogeodetico
Somma delleperdite di carico
Q
H
H2 – H1
Curva impianto
Per H2 – H1 < 0 : pompe
di spinta (aumenta la Qottenibile a gravità )
M2
M
JL
V2M / 2g
P
A
L
Per pompa alimentata dacondotta di aspirazione, partedi quest’ultima è in depressione; il valoremassimo della depressione èin M.
Bernoulli fra A e M fornisce:
g
VpzjLz
MMMA 2
2
da cui, evidenziando la pressione assoluta p*M
g
VjLzz
pp M
AMatmM
2)(
2*
Per evitare la cavitazione (moto bifase con aria in condotta) deve essere
Con pv tensione di vapore del liquido. Perciò:
vM pp*
g
VjL
ppzz Mvatm
AM 2)(
2
MASSIMA ALTEZZA DI ASPIRAZIONE
QALTEZZA DI ASPIRAZIONE
Negli impianti di sollevamento per acqua raramente si ha zM – zA > 6 – 7 mM3
Peraltro ogni pompa presenta una relazione caratteristica tra la prevalenza H = Hv – HM e laportata Q defluente.
Questa relazione, ricavata sperimentalmente, prende il nome di curva caratteristica e ha carattere diproporzionalità inversa.
Poiché la portata defluente e la prevalenza sono le stesse, esse saranno determinate dal punto diintersezione tra la curva dell’impianto e la curva
caratteristica della pompa = punto di
funzionamento ( )
HM HV
PQ
Q
H
H
Q
H
H2 – H1
Q
In corrispondenza del punto di funzionamento si leggono l’effettiva portata defluente e la effettivaprevalenza.
M4
Q
Q
H
IMPIANTO CON DUE POMPE IN PARALLELOQ/2
Q/2
Q Q
Q
Q
H
A
B
Q
H
A
B
La curva caratteristica siottiene dalle singole curvecaratteristiche sommando le portate a parità di prevalenza.Con una pompa il punto di funzionamento è A, con due pompe il punto sarà B conportata non doppia.
Q/2 Q
Se le pompesono uguali
La curva caratteristica del gruppo si ottiene sommando le prevalenze a paritàdi portata. Il punto A corrisponde al funzionamento con una sola pompa e il punto B con due in serie. Mentre lepompe in parallelo sono necessariamenteubicate nello stesso luogo, può talvolta convenire ubicare le pompe in serie a distanza lungo la condotta.
Se
le p
ompe
sono
ugu
ali
Valvola di non ritorno ( Clapet )
Valvole per la regolazione della Q
M5
SINGOLA POMPA
Q
IMPIANTO CON DUE POMPE IN SERIE
Q
N. Moto vario nelle condotte in pressione
Oscillazioni elastiche di massa
Pozzo piezometrico
Casse d’aria
Celerità
Colpo d’ariete
N0
MOTO VARIO NELLE CONDOTTE IN PRESSIONEEquazioni moto vario di una corrente Equazioni moto vario di una corrente monodimensionalemonodimensionale::
0)()(
t
A
s
Q Eq. di continuità
Rj 0
jt
V
gg
Vdpz
s
1
2
2
Oscillazioni elastiche e di massaOscillazioni elastiche e di massa
Eq. del moto
IMPIANTOIDROELETTRICO
Galleria in pressione
diga
t2 >> t1
Pozzo
piezometrico
Condotta
forzata
TurbinaT
Oscillazioni di massa(t1 t t2)
Oscillazioni elastiche(0 t t1)
serbatoio
N1
Le equazioni di moto vario sono utilizzate per studiare 2 tipi di oscillazioni che si presentano nei transitori degli impianti idraulici:
i) Oscillazioni elastiche: onde di pressione che si propagano con elevata celerità (1000m/s) per effetto della comprimibilità del fluido e dell’elasticità della condotta. Le oscillazioni sono causate da variazioni di velocità provocate da manovre idrauliche (apertura o chiusura valvole, attacco o stacco pompa);
ii) Oscillazioni di massa: spostamenti quasi-rigidi che subisce una colonna liquida collegante 2 serbatoi a pelo libero, se il livello di uno di questi varia nel tempo.
V
AG
APDG
Q[Q(t=0) = Q0]
H1H2
L G1 2
OSCILLAZIONI DI MASSA: POZZO PIEZOMETRICO
Si prescinde dalla presenza della condotta forzata e si considera l’organo di manovra inserito all’uscita del pozzo. Variando la portata defluente (al limite riducendola a zero) si generano delle oscillazioni di massa, per cui : fluido incomprimibile = cost
condotta infinitamente rigida 0dt
dAGL’equazione di continuità si riduce a:
0s
Q)(0 tQQ
GA
tQtV
)()( Moto uniforme NON permanente
L’equazione del moto diventa:
g
VV
Ddt
dV
gs
H
G 2
1V|V| : il termine tiene conto di un eventuale
cambio di segno di V, per avere sempre
resistenze al moto contrarie a VPoiché
V=V(t)N2
Si integra in s tra (1) e (2) trascurando le perdite concentrate
G
G
G Lg
VV
DL
dt
dV
gHH
2
121
(1)
L’equazione non è
integrabile
analiticamente a causa
della presenza del
termine che
rappresenta le
resistenze idrauliche.
La soluzione numerica
(es. con differenze
finite) conduce a
oscillazioni smorzate.
E si pone z = H2 – H1 (2)
Compaiono le variabili z e V: esse sono legate dalla equazione di continuità all’imbocco del pozzo:
dzAdtVA PGVolume che attraversa
la galleria in dt
Volume immagazzinato nel
pozzo in dt
dt
dz
A
AV
G
p
2
2
dt
zd
A
A
dt
dV
G
p
Sostituendo (2),(3),(4) in (1) si ha
022
2
zAL
gA
dt
dz
dt
dz
A
A
Ddt
zd
pG
G
G
p
G
Che si risolve con le condizioni iniziali:
0)0( zz Perdite distribuite in moto permanente
0)0( VA
A
dt
dz
p
G
Da cui (3) (4)
V0 velocità in moto permanenteN3
OSCILLAZIONI SENZA RESISTENZE
Considerando le resistenze nulle l’equazione del moto si ricuce a:
02
2
zAL
gA
t
z
PG
G02
2
2
zt
z
Equazione di un moto armonico
pulsazionepulsazionePG
G
AL
gA
periodoperiodoG
PG
gA
ALT 2
2
Con le medesime condizioni iniziali
0)0(z (perdite nulle)
0)0( VA
A
dt
dz
P
G
tCtsenCz cos21L’integrale generale
tsenzz maxfornisce:
conP
GG
gA
ALVz 0max
AMPIEZZADELLEOSCILLAZIONI !
N4
P
U
*ap
ZmaxZCARICO ASSOLUTO STATICO
CARICHI ASSOLUTI A REGIME
Zmin
CASSE D’ARIA Z
Y0
0t
HHS
– +V
A V,Q
L
La condotta alimenta un serbatoio a livello costante; il collegamento tra la cassa d’aria, posta a valle della pompa, e la condotta avviene attraverso una strozzatura che determina una perdita di carico localizzata
Hs : Carico statico assoluto sulla condotta
Y0 : perdite di carico distribuite
Zmax : massimo sovraccarico che non si intende superareN5
2QY Perdite di carico nella condotta
2QK Perdite di carico nella strozzatura
02QZdt
dv
g
LEquazione del moto
Qdt
dU Equazione di continuità
tUHHU ssn cos Equazione di stato del gas nella cassa d’aria
Dove :
H , Hs sono i carichi assoluti misurati in colonna d’acqua in corrispondenza della cassa d’aria: rispettivamente in condizioni di motovario e in condizioni statiche.
Us è il volume di gas della cassa d’aria corrispondente al carico Hs
n è un esponente dipendente dal tipo di trasformazione termodinamica subita dal gas: può assumere un valore numerico variabile tra 1 (trasformazione isoterma) e 1,4 (trasformazione adiabatica). A favore di sicurezza conviene adottare il valore 1,4.
Essendo H = Hs + Z l’equazione di stato diviene
ZH
HUU
n
s
s
1
N6
Posto:
;sH
Zz ;
0V
Vv ;
sU
Uu ;
s
s
LU
gAHt ;0
0sH
Yh ;0
0sH
Kk .
2
20
g
V
UH
AL
ss
*
Dove:
A
QV 0
0Velocità media della corrente nella condotta nelle condizioni di moto permanente precedenti la manovra, quando nella condotta defluisce la portata Q0
20
200 QKeQY 0 Perdite di carico rispettivamente nella condotta e nella strozzatura
per la portata di regime Q0
Posto Y = K = 0 e sostituendo i parametri adimensionali il sistema assume la forma:*
02 zdt
dv
2vdu
nz
u 11
1dt con opportune trasformazioni
2111
11ln v
zz
Esprime il legame esistente durante tutto il moto vario fra la velocità in condotta e la variazione di carico nella cassa d’aria e quindi subito a valle della pompa. In praticainteressa conoscere i valori zmax e zmin che si verificano quando la v è nulla; le equazioni determinatrici di tali valorisi ricavano ponendo v = 0 ; esse ammettono 2 sole radici reali l’una positiva zmax e l’altra negativa zmin
N7
Sistema integrabile in modo completo solo per differenze finite!
Per ogni tipo di trasformazione termodinamica, ossia per ogni valore di n, i valori di zmax e di zmin
sono funzioni dell’unica variabile ; il grafico seguente fornisce i valori di zmax e di zmin
corrispondenti ai due casi estremi n = 1 e n = 1,4.
Osservazioni:
1) A parità di , almeno nel caso di perdite nulle, si hanno sovrapressioni maggiori in valore assoluto delle corrispondenti depressioni;
2) Per qualunque valore di , le oscillazioni sono più grandi per l’adiabatica che per l’isoterma;
3) Poiché alle oscillazioni maggiori corrispondono i maggiori volumi, è evidente che nei casi pratici è opportuno attenersi alla trasformazione adiabatica.
N8
Dimensionamento delle casse d’ariaStrozzatura ottima: è la strozzatura che produce, per una velocità pari a quella V0 di regime, una perdita di carico tale da provocare nell’istante iniziale la stessa depressione Zmin che si realizza al termine della fase di moto vario. Deve perciò essere:
min0200 ZYQK oppure min00 zhk
Nelle pratiche applicazioni è sufficiente limitarsi ad alcuni valori particolari di n e di k0 . Per k0 si considera la situazione senza strozzatura (k0 = 0) e con strozzatura ottima, per n si considera il valore n = 1,4.
Senza strozzatura (k0 = 0) Con strozzatura ottima
Noto h0 in base alle resistenze della condotta, si fissa Zmax in relazione alle massime pressioni accettabili, è così noto zmax.Scelto il grafico, i due valori di h0 e zmax definiscono (dal grafico) quelli di e di zmin dai quali è immediato il calcolo del volume statico:
g
V
H
ALU
ss 2
20
e poi quello massimo n
sz
UU
1
minmax 1
1
min2
20
0
20
022
zgA
Qk
g
Vk m
pzHH a
s 33.10*
minmin N9
OSCILLAZIONI ELASTICHE: CELERITA’ DI UN’ONDA
F = F(s,t) funzione che rappresenta una perturbazione che si propaga inalterata in direzione s.
F(s+ds,t+dt) = F(s,t)
Il rapporto ds/dt rappresenta la celerità di propagazione della perturbazione rappresentata da F.
Ma se:
0,, dtt
Fds
s
FdFtsFdttdssF
s s + ds
tt + dt
s
F
celerità
s
Ft
F
dt
dsc Ciò implica:
s
FV
t
F
V
c
N10
OSCILLAZIONI ELASTICHE: COLPO D’ARIETE
si utilizzano le equazioni del moto vario e di continuità con le seguenti ipotesi semplificative:
a) U << c
b) J = 0 (resistenze nulle, fluido ideale)
c)
d) h = z + p/
t
F
s
FU
0z
s
p
s
z
s
h 1
, F
t
p
t
h 1e
Ora:
i) Equazione del moto
jt
V
gs
H 1j
t
V
gg
Vh
s
1
2
2
jt
V
gs
V
g
V
s
h 1
mat
V
s
VV per a) e j = 0 per b)
t
V
gs
h 1L’equazione del moto si riduce a
ii) Equazione di continuità
0)()()()(
t
A
s
VA
t
A
s
QN11
sviluppando le derivate si ha
0T
AT
A
sVA
s
AV
s
VA
t
A
s
AV
per a)
tSV
per a) e c)Da cui
0t
At
A
s
vA
2 1
t
t
p
dp
d
t
Ma essendod
dpt
p
tcon
2D2
DdDdA
t
A: sfruttando il comportamento elastico
lineare della condotta, ad una variazionedp corrisponde una variazione di tensioned data dalla Legge di Mariotte:
s
pD
2da cui
s
Ddpd
2Ma essendo per l’elasticità lineare
E
d
D
dD
E modulo di elasticità, si ha:
sE
Ddp
D
dD
2
D
dD
A
dA 2
sE
Ddp
Ainfine essendo
dtt
pdp dt
t
AdA
t
p
sE
AD
t
A
= p
s
D
A
N12
1 : se il fluido è barotropico,
= ( p ) da cui:2
modulo di comprimibilità ma essendo A
e sostituendo dA
,
Infine, sostituendo nelle equazioni di continuità
t
p
tt
p
sE
AD
t
A
0t
At
A
s
vA
0t
p
sE
ADA
s
VA
t
h
E dividendo per A l’equazione di continuità è
s
V
gt
h
sE
D 1 ovvero, posto ,sE
D
a2
1s
V
g
a
t
h 2
Es
Da
1
Celerità delle onde di pressione in un fluido con entro
una condotta con D, E, s tutte uniformi [a] =[LT-1]dove
N13
Riassumendo, le equazioni del moto e di continuità semplificate sono:
t
V
gs
h 1
s
V
g
a
t
h2
Equazione del moto
Equazione di continuità
Serbatoio a livello costante
B
AL x
Per lo studio del moto nel sistema di figura, provocato da manovre di chiusura o apertura in A (sezione di sbocco) si assume:
x = - s + costUho
N14
Sistema di equazioni differenziali
semplificate:Condizioni iniziali:
h= h0
V = V0
ES
Da
1
Per E (condotta infinitamente rigida)
0Ca Celerità onde piane di
pressione (vel. suono)
C0 Acqua~1450 m/s
t
V
gx
h 1
x
V
g
a
t
h2
INTEGRALE GENERALEINTEGRALE GENERALE
xt
V
gx
h 12
2
tx
V
g
a
t
h 2
2
2
01
2
2
22
2
t
h
ax
h
Eq. D’Alembert o delle corde vibrantiLa cui soluzione è:
a
xt
a
xtFhh 0
Analogamente si ricava:
a
xt
a
xtF
a
gVV 0
Derivando la 1^ equazione rispetto a x e la seconda rispetto a t si ricava:
N15
Le funzioni F e rappresentano onde che si propagano con le celerità cF = + a , c = - a .
Entrambe le funzioni sono nulle nel regime permanente che precede la manovra (t < 0).
All’istante t = 0 avviene nella sezione A una manovra e ivi si origina l’onda F che si propaga verso B con celerità + a, raggiungendo la sezione B al tempo t = L / a .
In quel momento si origina in B la che che, procedendo con celerità – a, si dirige verso A cheraggiunge al tempo :
a
L2Durata di fase: è un tempo caratteristico della condotta
Sia inoltre Tempo di completamento manovra organo di intercettazione
MANOVRA BRUSCA
MANOVRA LENTA
N16
V0t = 0t = 4L/a = 2
0 < t < L/a V= 0
V=V0
+ a0V
g
aMANOVREMANOVREISTANTANEEISTANTANEE
( = 0)
+ a
t = L/aV= 0
V = - V0
V= 0
L/a < t < 2L/a
- a
t = 2L/a =
V = - V0
2L/a < t < 3L/a
+ a
V = - V0 V= 0
t = 3L/a
+ a
V= 0
3L/a < t < 4L/a
V= 0V = V0
- a
N17
Sovraccarico in A per chiusura istantanea totale
t
h
h0
h0 + hm
h0 - hm
2L/a = 6L/a = 34L/a = 2
Fenomeno periodico di periodo
4L/a = 2
In assenza di resistenze
( j = 0 )
Chiusura brusca ma non istantanea ( > 0 )
Normalmente si ipotizza una legge di chiusura lineare:t
VV 10
V
V0
t
Per chiusura brusca ( < ) viene comunque attinto il valore di sovraccarico massimo ;
i fronti di sovrapressione non sono però più ad onda quadra ma:
0Vg
a
N18
+ ag
Va 0
V0
V<V0t =
V0
0 < t <
0Vg
ah
V0
V<V0
V = 0< t <L/a
+ a
t = L/a V<V0
V = 0
N19
Sovraccarico in A per chiusura brusca non istantanea (0< < )
h
h0
h0 + hm
h0 - hm
2L/a + 4L/a + t2L/a = 4L/a = 2 6L/a = 3
Sovraccarico in A per chiusura lenta ( > )
t
h
h0
h0 + hm
h0 - hm
2L/a = 6L/a = 34L/a = 2
Il massimo sovraccarico è raggiunto al termine della prima fase (o) t = s =2L/a ;per valutarlo dalla similitudine dei triangoli rettangoli
l
m
h
h
h0 + hl
a
LV
g
ahh ml
20
g
LVhh lenta
00)max(
2g
LVhl
02 ; pertanto per chiusura lenta
FORMULA DI ALLIEVI MICHAUDN20
O. Correnti a pelo libero
⇒ Ipotesi di teoria monodimensionale
⇒ Carico specifico, velocità e profondità critica
⇒ Moto uniforme
⇒ Pendenza critica
⇒ Scala di deflusso
⇒ Moto permanente
⇒ Profili di corrente
⇒ Risalto idraulico
⇒ Soglia di fondo, passaggio fra le pile di un ponte,stramazzi
O0
CORRENTI A PELO LIBEROCORRENTI A PELO LIBERO
Sono correnti che hanno parte del contorno a contatto con l’atmosfera. Defluiscono in condotti aperti naturali (fiumi, torrenti) o artificiali (canali navigabili, di bonifica o irrigazione), ovvero in condotti chiusi con solo parte del condotto occupata (fognature e impianti idroelettrici).Teoria monodimensionale ( s )
Per alveo cilindrico, la più bassa delle generatrici è la linea di fondo e if = sen θ = pendenza di fondo, con θ inclinazione sull’orizzontale della linea di fondo. Per alveo non cilindrico, la pendenza può essere definita localmente.Ipotesi: 1) ρ = cost
2) if piccola if =senθ ~ θ cosθ ~ 1
33) moto turbolento 4) correnti lineari (cilindriche) h uniforme sulla sezione ⊥ alle traiettorie
Carico piezometrico uniforme sulle sezioni normali per 4). Male sezioni normali ~sezioni verticali per la 2)
yzyzh ff cos
g
Vyz
g
VhH f 22
22
θ B
syA
R= A/BzF + y
zFuniforme sulla sezione
Carico totale effettivo (α ~1 per la 3) ) O1
CARICO SPECIFICO: carico totale misurato rispetto al punto più basso della sezione
2
22
22 gA
Qy
g
VyE
b
yy
V2/2g
b = larghezza del pelo libero
B = perimetro bagnatoB
ycE = cost
y
Q
Q = Q(y)
yc Q = cost
y
E
E = E(y)
O2
Dato E, esiste almeno un valore yc cui corrisponde un massimo di portata; dato Q, esiste almeno un valore yc cui corrisponde un minimo di carico specifico
PROFONDITA’ CRITICHE yC
by
A02
2cosy
AyEg
yEg
Ag
y
Q
tE
013
2
cosy
A
gA
Q
y
E
tQ
Poiché1)
b
ydy
A2)
Eb
Ay
cyy
c 2La 1) fornisce
g
Q
b
A
cyy
23
E la 2)
O3
Per alveo rettangolare A = b0y
b = b0yB = b0+2y
b0Si ottiene nei due casi precedenti rispettivamente
3
2
320
2
g
q
gb
Qyc
Eyc 3
2
Velocità critica; correnti lente e velociQuando y = yc V = Vc velocità critica per data Q :
mc gyA
gQ
Vyyyy bA
cc
Con ym profondità mediay ym
Con sezione rettangolare ym= y
lente
veloci
Q = cost
ylente
veloci
Se V < Vc correnti lente
( y > yc ) Fr < 1
m
rgy
VF
y
ycE = costyc
Se V > Vc correnti veloci
( y < yc ) Fr > 1
EQ
Numero di FroudeO4
MOTO UNIFORME NEI CANALINel moto uniforme la velocità non cambia al variare della sezione : l’alveo deve essere cilindrico e la superficie libera parallela al fondo. Se il moto è anche permanente
Q = VAInoltre:
ds
dHj
ds
dhi
ds
dzi
f
f
Pendenza del fondo
Cadenteeffettiva
Cadentepiezometricae anche
y = cost
A = cost g
V
Dj
2
2
Nella quale D = 4R , R = raggio idraulico
EQUAZIONE DEL MOTO UNIFORME
Adottando invece la Formula di Chezy (più comune) si ha ( ip= j) [c ≡ ks = 1/n]
8
gC fgRiC
2
13
2
ff icARgRiCAQ
2
1
3
2
ff icRRiV 12
1
TL 13
1
TLc 0C; ;
Ovvero si può valutare χ con le altre formule valide. Solo per moto assolutamente turbolento:
61
cR
R
B1
87Bazin
R
mk1
100Kutter
O5
è un coefficiente di resistenza adimensionale VOvvero se
da cui l’espressione della portata
UTILIZZO DELLA FORMULA DEL MOTO UNIFORME
• Verifica 1) c, y A, R Q
• Verifica 2) c, Q y siccome A=A(y) , R=R(y) PROBLEMA IMPLICITO
1. Es. Sezione TRAPEZIA
tgybyA 2
cos
2ybB
B
AR
b
yθ 2
1
3
2
3
52
cos2
fi
yb
tgybycQ
Da cui si può ricavare y pertentativi, viene denominata yu
PROFONDITA’ DI MOTO UNIFORME2. Es. Alveo RETTANGOLARE
b0
yybA 0
ybB 20 yb
ybR
20
0
Se l’alveo è rettangolare larghissimo b0 >> y ; allora R~ y e l’equazione del moto diviene esplicita in y:
2
13
5
0 fiycbQO6
• PROGETTO CANALI
2
13
5
0 fiycbQSEZIONE CANALE
È un problema indeterminato, salvo considerare altri fattori ( es. COSTO)
max R a pari A : sez. semicircolare o trapezia
Golene
Letto di magra
1
2
c (materiale di rivestimento)
Q ( portata da recapitare )
if ( pendenza fondo )
• SEZIONI COMPOSTE
Si calcola la portata come somma di 2 contributi: quello dell’alveo di magra e quello delleespansioni, secondo la divisione riportata in figura ( ). Ai diversi tratti del contorno bagnato competono diversi indici di scabrezza ( scabrezza golene > scabrezza letto )
O7
PENDENZA CRITICA
Alveo cilindrico declive; data if , Q sono determinabili:
yu PROFONDITA’ DI MOTO UNIFORME
yC PROFONDITA’ CRITICA
In generale yu ≠ yc; si dice pendenza critica ic per data portata Q la pendenza di fondo per cui yu = yc .
Allora dall’equazione del moto uniforme:
uyy
fRCAg
Q
RgC
Vi
22
2
2
2
si ricava :
ccc yyyyyy
cb
B
CbRC
A
RCAg
Qi
2222
2 1
Essendo per la profondità critica e
cyyb
A
g
Q 32
B
AR
Nel caso particolare di alveo rettangolare larghissimo B~b e quindi 008.00015.01
2Cic
[1,5 ‰ ÷ 8 ‰](poiché tipicamente C = 11÷25) ovvero anche 12
ggic
PENDENZA CRITICA
32RcRelativamente a una data portata Q:yu> yc corrente uniforme = corr. lenta if < ic ALVEO FLUVIALE O A DEBOLE PENDENZA
yu < yc corrente uniforme = corr. veloce if >ic ALVEO TORRENTIZIO O A FORTE PENDENZA
L’equivalenza si verifica facendo il rapporto ic / if O8
Riprendendo la si nota che la pendenza critica è funzione della11ic
3232 Rk
g
Rc
g
s
Scabrezza dell’alveo, ma anche del raggio idraulico e quindi della portata per dato alveo (if).Poiché Q R si ha che la relazione tra ic e Q è del tipo:
Q
torrentizio
fluviale
if
ic
Ne segue che un alveo di assegnata if può comportarsi comefluviale per assegnate Q, come torrentizio per Q maggiori
SCALA DI DEFLUSSOmkAQ '' mykQ
Utilizzata per la determinazione delle portate fluviali tramite misurazione dei livelli idrometrici, kvaria poco se if ~ j ( moto uniforme ); e m ?
A
QmmkA
dA
dQ m 1
A
Q
dA
dQm
Assumendo per Q l’equazione del moto uniforme nella forma 2
13
2
3
5
fiBcAQ
e sostituendo nell’espressione di m si ha dA
dB
B
Am
3
2
3
5da cui
Sezione rettangolare 2
1
0b
y
0b
y0 ( rettangolare larghissima)………..
3
4m ...
2
3m ...
3
5m
Sezione triangolare, semicircolare3
4m
Sezione trapezia2
3m
Si definisce scala di deflusso una relazione del tipo ovvero
da cui
O9
MOTO PERMANENTE CORRENTI A PELO LIBERO
Moto permanente correnti a pelo libero ≡ moto gradualmente variato variazioni di forma e/o direzione lente linee di corrente ~ rettilinee e parallele.
h = cost su sezioni normali ~ sezioni verticali per piccole pendenze.
Per ρ = cost.:
0t
A
s
QEq. di continuità Q = VA = cost ma V = V(s) e A = A(s) !
Eq. moto: nota if ≠ j , graficamente si vede che:
Q
ifds
V2/2g jds
dsds
dEE
dsds
dyy
jdsdsds
dEEEdsif ji
ds
dEf
da cui E
Ovvero: l’energia specifica totale rispetto al fondo aumenta per l’abbassamento del fondo stesso (riferimento) e diminuisce per effetto delle resistenze. Intermini di carico totale o effettivo H si ha
ds
dzi
ff
Rj
ds
dH 0 essendo
Nelle formule, le resistenze si valutano come in moto uniforme
RAgC
Q
Rc
V
R
V
g
V
Rj
22
2
3
42
2
2
22
24O10
2
2
2gA
QyEFacendo l’ipotesi di alveo cilindrico, A = A[ y(s) ] ( non A[y(s),s] ) ma essendo
)(syEE
jids
dy
dy
dE
ds
dEf
da cuiIn questo caso, l’equazione del moto permanente
dy
dE
ji
ds
dy fEquazione dei profili di corrente in alveo cilindrico
RAgC
Qj
22
2< 0 per y < yc
> 0 per y > yc
3
2
1gA
bQ
dy
dE)(sii ffDove:
Sostituendo per i profili di corrente in alveo cilindrico declive
D
Ni
gA
bQ
RAgCi
Q
i
dy
dE
ji
ds
dyf
f
f
f
3
2
22
2
1
1
0ds
dyty cos
e nel caso di profondità critica il denominatore D 0 g
Q
b
A
cyy
23
ds
dy
Profilo // al fondoSi noti che per il moto uniforme if = j
Profilo ⊥ alfondo ???
NO, va intesa come tendenza. Crescono pendenza e curvatura, la corrente non è quasi cilindrica.O11
POSSIBILI TIPI DI PROFILI
D
Ni
gA
bQ
RAgCi
Q
ids
dyf
f
f
3
2
22
2
1
1----------------------------++++++
yu
Segno N
-----------------+++++++++++++
yc
Segno D
++++++++++----------++++++++
yu
Segno N/D
yc1f
2f
3f
Profilo longitudinaleper y ∞
yu
yc
----------------------------++++++
yc
Segno N-----------------+++++++++++++
yu
Segno D
++++++++++----------+++++++
yc
Segno N/D
yu
D
Ni
ds
dyf
2 correnti ritardate : 1t, 3t0ds
dy
1 corrente accelerata : 2t0ds
dy
yc
yu
1t
3t
2t
2 correnti ritardate : 1f, 3f0ds
dy
1 corrente accelerata : 2f0ds
dy
O12
1) ALVEO FLUVIALE yu> yc (if < ic)
2) ALVEO TORRENTIZIO yu< yc (if > ic)
TRACCIAMENTO DEI PROFILI DI CORRENTE
Si riscrive l’equazione dei profili alle differenze finite
s1
1
3
2
22
2
gA
bQ
RAgCi
Q
iyf
f
C0
A0
R0
b0
fissata ∆syyssyy 001
A partire dalla y0 nota a s0 : y0
La y0 nota in s0 ( dovuta a cause perturbatrici)influenza :
Monte per correnti lente ( y > yc )
Valle per correnti veloci ( y < yc )
Le correnti lente sono determinate da valle
Le correnti veloci sono determinate da monte
O13
•• RISALTO IDRAULICORISALTO IDRAULICOÈ un fenomeno di tipo ondoso stazionario che raccorda una corrente veloce di monte e una corrente lenta di valle. Ha diverse forme a seconda del valore del numero di Froude di monte
1
1
1
m
rgy
vF
a) Risalto ondulato: 1 < Fr21 < 2
yu1yu2
b) Risalto ondulato con frangimento: 2 < Fr21 < 3
yu1yu2
c) Risalto diretto ( risalto idraulico o “salto di Bidone” ): Fr21 > 3
FENOMENOFORTEMENTEDISSIPATIVO !
Vortice ad asse orizzontale
yu1yu2
O14
STUDIO DEL RISALTO DIRETTO
1 2
G
1
1Q
2
R
fitg
Q
2Q
Si individua un volume di controllo compreso tra le sezioni e in cui la distribuzione delle pressioni sia idrostatica. A tale volume si applica l’equazione globale della quantità di moto:
21
1221ˆˆ QQRG
proiettando nella direzione del moto
1221ˆˆ QQRG
fi
E trascurando R e Gif perché piccoli rispetto agli altri termini e di segno opposto
2211ˆˆ QQ
S1 S2= S quantità di moto totale: SI CONSERVA !
O15
Per distribuzione idrostatica delle pressioni e velocità parallele tra loro
QVAS G
Con ζg affondamento del baricentro di A rispetto al pelo liberoy
dy
A
dA
GζG
y
A
A
QA
yy
SG 2
2
2
2
A
bQA
y
S
AAy
G
by
A
da cui per 0s
y g
Q
b
A 23
10
2CS
S
CE
E
S(y1) = S(y2) y1 , y2 PROFONDITA’ CONIUGATE
Si vede nel grafico adimensionale che E2< E1 ; allora E1-E2 èla perdita di carico specifico dovuta al risalto idraulico, che,avendo nell’applicazione della eq. globale trascurato l’effetto della pendenza del fondo, è pari a H1-H2
y1< y2 H2< H1 il risalto può essere solo da veloce a lenta
Cy
y
O16
ovvero S ha un estremante per y = yc
2
y2
1
y1
1.5E2 E1
• Risalto in alveo rettangolare
b=b0
y
2
222
21
221
1 22 by
Qb
yS
by
Qb
yS
da cui
22
222
21
221
22 bgy
Qy
bgy
Qy
1 2y
2
2
2121
2
gb
Qyyyy
1
11
gy
VFr
che fornisce
la cui soluzione è ;21
2 8111
Fry
ovvero, considerando noto y2
22
2
1 8112
1Fr
y
y
2
22
gy
VFr;
Ora applicando la definizione di E, si ricava la associata perdita di carico specifico
21
21
22
2
2
21222
2
2221
2
121 222 yy
yy
gb
Qyy
bgy
Qy
bgy
QyEE
da cui
21
312
21 4 yy
yyEE
•deve essere y2 > y1 per avere E1 > E2
• E1-E2 ∝ ( y2 –y1 )3
LUNGHEZZA DEL RISALTO
y1y2
L
da osservazioni sperimentali
L ≅ 6(y2-y1)O17
O18
O19
O20
O21
O22
O23
O24
O25
STRAMAZZISTRAMAZZI
Risalto localizzato del fondo = soglia
Per sopraelevazione ∼ spessore lama d’acqua sulla soglia STRAMAZZO
H ≅ h hc
hf
1
Sezione rettangolare di larghezza b
Se in la distribuzione delle pressioni è idrostatica e il carico cinetico in è trascurabile, in assenza di perdite tra e , detta y laprofondità in
2
22
1
1
g
vyhH
2
2
da cui
yhgV 2 e yhgbyVbyVAQ 2
•• StramazzoStramazzo BelangerBelanger ( in parete grossa )( in parete grossa )
Diagrammapressioni
2
Il massimo valore di Q, per dato h, si realizza quando y=2/3 h , ma poiché per una sezione rettangolareyc= 2/3E si ha che sullo stramazzo si realizza la profondità critica. Allora
ghbhghbhQ 2385.0233
2
CQ coefficiente di portata (µ)
Allo sbocco yf = 0.715 yc
Si misura yf e si ricava Q: precisione 3 – 4%O26
•• StramazzoStramazzo BazinBazin ( in parete sottile )( in parete sottile )
ghbhCQ Q 2
dhCdh
h
hC QQ ,55.01
003.0405.0
2
h
d
O27
P. Moti di filtrazione
⇒ Legge di Darcy
⇒ Falde in pressione
⇒ Reticoli di filtrazione
P0
MOTIMOTI DIDI FILTRAZIONEFILTRAZIONE
02vgradpg
Tuttavia la descrizione puntuale del campo di moto comporterebbedifficoltà notevoli; inoltre non sarebbe utile, interessando di norma solo le portate in transito. Si definisce allora il vettore velocità apparente (oportata specifica di filtrazione) diretto come la velocità media e aessa legato da:
q v
vnq porositàtotalevolume
vuotivolumencon
A moti lenti entro un mezzo poroso è applicabile l’eq. ridotta di Navier nel campo del geopotenziale:
Analogamente per le altre grandezze ( carico,…) H ~ h
LEGGE DI DARCY ( sperimentale ) h1
h2
L
AQ
Q
Q
A
L
hhi 21
Kiq
Kg
k
K conduttività idraulica[K] = [LT-1]dipende dal mezzo poroso e dal fluido
Permeabilità; [k] = [L2]dipende dal solo mezzo poroso
KgradhhkqPiù in generale per moto bi – o tri- dimensionale in mezzo isotropo:
P1
h0
Per moto bi- o tri- dimensionale in mezzo anisotropo ( le caratteristiche dipendono dalla direzione considerata):
hKq
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
KKK
KKK
KKK
KTensore di conduttività idraulica
Simmetrico: 6 elementi significativi
Esempio :x
zKx > Kz
S
Hh
z = 0K
D
r
q
Falda artesiana in strato omogeneo permeabile orizzontale di spessore s, estensione infinita. La superficie piezometrica indisturbata ( ) ha quota H sul riferimento. In moto permanente, col prelievo di una portata Q da un pozzo cilindrico di diametro D, si ha un moto a simmetria assiale:
Eq. continuità: rsqQ 2
Eq. moto ( Darcy ):dr
dhKq
dhQ
sK
r
dr 2
Si integra tra D/2 (parete pozzo) e il generico r :0
2
2
ln hhQ
sK
D
r
D
r
hhsKQ
2ln
)(2 0
Q
• MOTO DI FILTRAZIONE IN FALDA
superficicilindricheequipotenziali( a uguale caricopiezometrico)Da cui:
P2
Conclusioni:• Misurando h0 (nel pozzo) e h (con una canna piezometrica) può essere calcolata Q, nota K• Misurando h0 e Q si può determinare K
)(2
2ln
0hhs
D
rQ
K
• per r abbastanza elevato h~H r = R ( raggio di influenza del pozzo)
RETICOLI DI RETICOLI DI FILTRAZIONEFILTRAZIONE
• Equazione di Laplace
• Suolo omogeneo e saturo• Assenza di fenomeni di consolidamento e / o espansione• Fluido filtrante e matrice del terreno incomprimibili• Moto laminare e validità legge di Darcy
Per :
Si ha che:
hKq
0q
( moto )
( continuità )02hK 02h Equazione
di Laplace
P3
In particolare in 2D l’equazione di Laplace può essere rappresentata da 2 famiglie di curve che si intersecano ad angolo retto: - linee di corrente
- linee equipotenziali
02
2
2
2
y
h
x
h Eq. di Laplace nel 2D
Linee di corrente ( o linee di flusso) ≡ traiettorie per moto permanente
Linee equipotenziali: linee a eguale carico piezometrico
L
hhK
L
hhKq 2112
In totale:
L
hhKAqAQ 21
Linee di corrente Linee equipotenziali
P4
Q
∆ La
Q
h=h1
h=
h 1-
hh=
h 1-2
h
h=
h 1-3
h
hh1
h = h1 – h2 = hh2 = 0
H
Rete idrodinamica: regole di tracciamento-linee di flusso ed equipotenziali si intersecano ad angolo retto formando aree quadrate (∆L = a )-Equipotenziali adiacenti hanno le stesse perdite di carico-Tra coppie di linee di flusso adiacenti scorre la stessa portata ( tubo di flusso )
nf = tubi di flusso (5 in figura )nd = numero di lineeequipotenziali (16 in figura )δ h = salti di potenziale ∆ Q = portata in ogni tubo diflussoQ = portata totale [L2T-1]
Ovunque nel reticolo ; pertanto in ogni quadrato ; ma essendo in un reticolo di
filtrazione , da cui
Ma per definizione e poiché
l
hi a
l
hKKiaQ
al hKaa
hKQ
dn
hh
dn
hKQ QnQQ f
d
f
n
nhKQ
cond.
idraulica
diff. di carico
Fattore di forma del
reticolo
Con metodi numerici di risoluzione della eq. diLaplace + cond. al contorno si ottengono analoghirisultati. Noto il carico piezometrico h in ognipunto e la sua quota z, si può valutare la pressione
p=γ (h-z) e quindi, ad esempio, la distribuzione di
pressione su qualunque struttura che consente lavalutazione della sottospinta idraulica. P5
MANOMETRO SEMPLICE
a = 9806 N/m3
k = 8040 N/m3
d = 2 m
Calcolare la differenza di quota
delle superfici libere dell’acqua e
del kerosene.
dh
Dall’ equilibrio delle pressioni sul piano A – A del menisco di separazione, si deduce
dhp kaA
Quindi
mNm
Nmmdh
a
k 6,1][98068040
23
3
da cui
mmmhd 4,06,12
mA A
dh
a
Lezione 1
MANOMETRO SEMPLICE
a = 9806 N/m3
m = 133300 N/m3
h = 5,6 cm
Di quanto varia h se lo
specchio libero dell’acqua si
solleva di H = 1,5 m ?
Basta osservare che nella nuova configurazione il mercurio si sposterà verso il ramo di destra, in modo che sia sempre verificata l’uguaglianza della pressione nel mercurio alla stessa quota nei due bracci del manometro, cioè:
bhbHH ma 2
Dalla posizione di equilibrio iniziale è immediato calcolare H:
su A-A : hH ma
mNm
NmmhH
a
m 76,0][9806
133300056.0
3
3
Perciò:
su A’ – A’ : bhbHH ma 2
2314709256794
m
Nb
m
N
mb 0572,0 e mbh 114,02
AAb
H h
A’
b
A’
a
m
MANOMETRO SEMPLICE
= 8825 N/m3
m = 133300 N/m3
h1 = 18 m h2 = 13 m
Determinare le indicazioni
del manometro semplice a
mercurio e n del manometro
metallico.
La pressione esercitata dal fluido sul piano orizzontale passante per il menisco inferiore del manometro semplice è equilibrata da quella esercitata nel ramo di destra dalla colonna di mercurio; ne segue:
mh2
mNm
Nmmh
m
86,0][133300
882513
3
3
2
Analogamente la pressione alla quota del baricentro del manometro metallico vale:
231 158850][188825m
Nm
m
NhPn
bar1,588n
m
z = z0
n
h1
h2
PIEZOMETRO
o = 7845N/m3
a = 9806N/m3
m = 133362N/m3
hp = 1,2 m
Si determinino le quote
dei piani dei carichi
idrostatici dei tre liquidi
rispetto al riferimento z
=0 e si tracci il
diagramma delle
pressioni.
La pressione nell’interfaccia acqua – mercurio vale:
233 2667212,1133362m
Nhhp pm
all’interfaccia olio – acqua:
2232 168661980626672m
Nhpp a
all’interfaccia aria – olio:
221 902117845168661m
Nhpp o
Le quote dei piani dei carichi idrostatici dei singoli fluidi si ottengono dividendo i valori delle pressioni alle interfacce per i rispettivi pesi specifici.
aria
olio
acqua
mercurio
z = z0
hp
m
h1= 1m
h2= 1m
h3= 1m
Con riferimento alla quota z = 0 risulta:
mhp
hm
m 2,1113336226672
33
mhhp
ha
a 72,3119806
1686623
2
mhhhp
ho
o 15,411178459021
1231
hm
hO
ha
MANOMETRO DIFFERENZIALE
1= 9806 N/m3
2= 7845 N/m3
m= 133362 N/m3
hA = 2 m = 0,01 m
Conoscendo hA si può calcolare la pressione in A:
231 19612][29806m
Nm
m
Nhp AA
e la pressione in B:
218278
m
Npp mAB che è anche pari a BB hp 2
e quindi: mp
h BB 33,2
2
1 2
mA
B
hA
hB
p.c.i.2
p.c.i.1
Determinare la posizione del piano dei
carichi idrostatici del liquido di peso
specifico 2 e tracciare i diagrammi delle
pressioni.
il dislivello del piano dei carichi idrostatici 2 rispetto al piano dei carichi idrostatici 1, vale:
mhh AB 34,0
1 2
mA
B
hA
hB
SPINTE IDROSTATICHE SU SUPERFICI PIANE
a = 9800 N/m3
o = 7840 N/m3
h1 = 3 m h2 = 1,5 m
l = 2 m Determinare la forza X
orizzontale da applicare in
B per assicurare
l’equilibrio alla ventola AB
(incernierata in A) nella
posizione verticale.
Il modulo della spinta esercitata dall’acqua sulla ventola equivale al prodotto della pressione nel baricentro della ventola per la sua superficie:
Nmmm
NAhS
aGaa 66150][5,1275,039800 2
3
Analogamente si trova la spinta esercitata dall’olio sulla ventola:
Nmmm
NAhS
oGoo 17640][5,1275,07840 2
3
oa SS quindi la risultante avrà il verso di aS
a
o
h2
h1
B
A
patm C
X
Calcolo dei punti di applicazione delle due spinte:
m
hCALh
Lh
hhs
66,075,05,15,12
125,12
75,0
2
1222
3
22
32
221
Nel secondo caso, essendo perfettamente triangolare la distribuzione delle pressioni, è immediato il calcolo del punto di applicazione della spinta dal fondo:
mh
s 5,032
2
La forza incognita si trova dunque annullando i momenti delle due spinte e della forza incognita stessa rispetto la cerniera A:
NX
mNXmNmN
hXshSshS oa
25284
0][5,1][117640][84,066150
022212
h2/2
h2/2 s1Sa
So
h2/3
Segue: AGGIORNAMENTO CON APPUNTI DI LEZIONE relativo allo stesso esercizio, per la determinazione del centro di spinta.
AhSG
M
I0
M
Ixy
a
o
h2
h1
patm
ahG
ohG
hG
hG
h2/2G
SISTEMA acqua - paratoia
Piano dei carichi
idrostatici (acqua)
Linea di sponda
G
Cx
Piano dei carichi idrostatici (olio)
x0
h1/2
y
o
h2/2
d1
Disegno di riferimento per
valutare il valore della pressione
in corrispondenza del baricentro
G della ventola.
per il teorema del trasporto del momento d’inerzia ( teorema di Huygens) :
2
00 AxII12
3
2
0
LhI
2
21
2
2
0 22
hhLhAx
oAxM
mhh
hhLh
Lh
xM
I
M
Io
33,222
22
12 21
21
2
3
2
0
mh
d 84,05,133,22
1
1
212
2
2
3
22
00
hLh
LhAxII
2
2
2
3
2
' 12
2
12 dmh
hLh
Lh
xM
I
M
Io
G
Cx
Piano dei carichi
idrostatici (olio)x0
d2SISTEMA olio - paratoia
Linea di sponda
y
NX
mNXmNmN
hXdSdSoa
25284
0][5,1][117640][84,066150
0221
SPINTE IDROSTATICHE – EQUILIBRIO RELATIVO
a = 1 m b = 0,25 m D1 = 0,2 m D2 = 0,8 m e = 1 m = 9806 N/m3
|F| = 1000 N
La forza F’ agente nel punto B della leva ADB vale in modulo
0'bFFa
Nb
aFF 4000
25,01
1000'
la pressione in corrispondenza del pistone E nel cilindro C1 vale:
F
P
GA B
D
C1 C2
E
a b
e
D1
D2
Ammessi trascurabili i pesi propri dei pistoni E
e G e della leva AB e l’aderenza dei pistoni,
determinare la forza P che deve essere
applicata al pistone G affinché il sistema sia in
condizioni di equilibrio.
(I cilindri C1 e C2 contengono entrambi acqua)
PaD
F
A
Fp
EE 127324
2,0
40004
4
''22
1
in corrispondenza al pistone G la pressione è pari a:
Pamm
NPahpp EG 11751819806127324
3
Moltiplicandola per l’area AG dà il modulo della spinta sul pistone G e quindi anche quello della forza P che deve essere applicata a G perché il sistema sia in equilibrio:
NmD
m
NpApP GGG 59071
48,0
117518][4
][2
222
2
1
d1 = 3.00 md2 = 5.50 mb = 2.50 m = larghezza della lastra
= 60 gradi= 1000 kg/mc = 9806 N/mc
Determinare la forza F agente sulla
superficie della lastra e il centro di
spinta.
d2
d1dG
O
1
2
F = pG * AA = a * b con
a = =d2-d1sin( )
5.50-3.000.86
= 2.91 m
GF •
O
xFxG
dF
Lezione 2
2
=
A = a * b = 2.91 * 2.50 = 7.28 mq
pG= * g * dG = * dG con dG = d2 + d12
4.25 m
Indicando con x la coordinata di un punto della superficie A rispettoalla retta intersezione tra il piano del pelo libero ed il piano che contiene la superficie, la distanza del punto di applicazione della forzada tale retta è:
G
G2G
F x*A
MI x*A
MS
MIx con m94.4
0.86
m25.4
)sin(
dx G
G
pG = 9806 N/mc * 4.25 m = 41675.5 N/mq
F = pG * A = 41675.5 N/mq * 7.28 mq = 303397.6 N
3
mmmm
mm
x
ax
x*a*b
a*bx
x*A
MIxx
G
2
G
G
3
G
G
G
GF
08.514.094.494.4*12
)91.2(94.4
*12
12/
2
La profondità dal pelo libero del punto di applicazione della forza è:
m37.40.86*5.08m)sin(xd FF
4
hG
h
x
y
G
Y = x2
Dati la geometria del sistema e i valori di h e : determinare il modulo S
della spinta sulla superficie estrema
verticale piana e il centro di spinta.
hhydyyAA
hh
bagnataarea 3
4
3
22
0
2
3
0
2
1
hhG 5
2hhAhS
G
2
15
8
Il centro di spinta si trova sull’asse della parabola affondato sotto la superficie libera della distanza:
h
hh
hh
Ah
hh
M
I
G7
4
158
10532
10532
2
33
IDROSTATICA 1
SPINTE SU SUPERFICI GOBBE
IDROSTATICA 2
IDROSTATICA 3
5
R
Piano dei carichi idrostatici
Data la geometria del sistema e i
valori di e R, determinare la
spinta del liquido sulla superficie
della semisfera superiore, su quella
della semisfera inferiore e
sull’intera superficie sferica.
- calcolo della spinta Sa sulla superficie della semisfera superiore
Per il teorema globale dell’equilibrio isolando il volume di liquido contenuto nella semisfera
01 aFFP
3
3
4
2
1RP Peso del volume di liquido isolato verticale verso il basso
RR 2
1F Spinta esercitata SUL liquido dalla superficie ideale del cerchio massimo di chiusura del
volume verticale verso l’alto
aaSFPF 1da cui
aF Spinta esercitata SUL liquido dalla superficie della semisfera
333
3
1
6
4RRRFS
aa
verticale verso l’alto essendo F1>P
6
- calcolo della spinta Sb sulla superficie della semisfera superiore
Per il teorema globale dell’equilibrio isolando il volume di liquido contenuto nella semisfera
01 bFFP
bbSFPF 1
da cui
3
3
4
2
1RP Peso del volume di liquido isolato verticale verso il basso
RR2
1F Spinta esercitata SUL liquido dalla superficie ideale del cerchio massimo di
chiusura del volume verticale verso il basso
bF Spinta esercitata SUL liquido dalla superficie della semisfera
333
3
5
6
4RRRFS
bb
- calcolo della spinta S sull’intera superficie sferica
La spinta è uguale al peso del liquido contenuto nella sfera, cioè:
3
34
RS ovviamente pari alla risultante delle precedentiba
SSS
verticale verso il basso
7
Dh
Data la geometria del sistema e i
valori di , h e D, determinare il
modulo S della spinta sulla
semisfera (fondo del serbatoio
cilindrico).
Come tutti i problemi riguardanti le spinte su superfici curve, questo esercizio può essere risolto sia applicando il teorema globale dell’equilibrio, sia calcolando separatamente la componente verticale e quella orizzontale della spinta.
1) calcolo della spinta applicando la regola delle 2 componenti: si osserva che la proiezione orizzontale della superficie del cerchio massimo è, in questo caso nulla, non esiste quindi componente orizzontale della spinta. Quanto alla componente verticale, si tratta di valutare il peso del volume di liquido costruito portando delle generatrici verticali dal contorno della superficie, fino al piano dei carichi idrostatici relativi:
834
21
4
32 Dh
DVS
8
2) calcolo della spinta applicando l’equazione globale di equilibrio statico al volume compreso tra la semisfera e il suo piano diametrale principale:
01OG SG 10
3
23
2 DG Peso del volume liquido contenuto nella semisfera rivolto verso il basso
4
2
1
Dh
Spinta esercitata SUL liquido dalla superficie ideale del cerchio massimo di
chiusura del volume (da vedersi come la spinta del liquido che insiste sul
piano diametrale principale) rivolta verso il basso
83
4
2
1
4
32
1
DDhGS
0Spinta esercitata SUL liquido dalla superficie della semisfera verticale verso l’alto
9
B
AC
h
z
x
OG
Spinta idrostatica su una superficie cilindrica
R
R
o
G
Si vuole determinare la spinta sulla
parete convessa verso l’acqua AB:
S’immagina di aggiungere una parete piana verticale CB passante per il piede della parete curva e di riempire d’acqua il nuovo spazio ABC. La parete curva è ora sottoposta a pressioni uguali e contrarie sulle due facce perciò non assume su di sé alcuna pressione. La spinta cercata è dunque di uguale intensità e direzione, ma di verso opposto, alla spinta esercitata dal volume liquido ABC sulla superficie curva AB. Indicando con o la spinta esercitata dal liquido sulla parete verticale BC,con G il peso del volume liquido ABC, per l’equilibrio del suddetto volume deve aversi
0GoGo
10
a
aR
o
La paratoia a settore di raggio R e asse di rotazione orizzontale per o chiude la luce rettangolare di altezza a su cui esiste un battente di acqua a.
Determinare la spinta esercitata dall’acqua su
un metro lineare di paratoia.
1) metodo delle componenti verticali e orizzontali
So
Sv
1
1
a
a
o
2
.sup. 23
2aa
aaAhS
proiettataGproiezo
28cos1
22 aRaRVS
totratteggiav
45cosRa
22
voSSS
la risultante dovrà passare per il centro del cerchio O e ha inclinazione rispetto l’orizzontale pari a:
vS
Stg 0
R
12
a
aR
o
2) calcolo della spinta mediante il teorema globale dell’equilibrio
G
01OG
28
2 bhRG
b
h
/2
22Rsenb
2cosRh
)5.67(11 seno
)5.67cos(11v
22
voSSS
1
1
S = G –
So = Sv = - G – v
1= (Rsen45+Rsen(45/2)sen67,5)(2Rsen(45/2))
0,3 mK
m1
1=0,05 m
1,0 m
0,8 m 0,5 m2
3
1
2
m2
H P
1 = 9806 N m-3
2 = 11767 N m-3
m1 = 133362 N m-3
m2 = 7845 N m-3
1=0,05 mL = 3 m
a) Indicando con 1 la quota del piano dei carichi idrostatici del liquido 1 rispetto l’orizzontale di riferimento passante per P ho che la pressione alla quota del punto P vale:
PP = - 1* m1 = 1* 1
da cui
!"#$%&
Pm = - 1*( 1 – 0,3) = 2* 2
da cui
!"#$'
b) La pressione in H è :
PH = PM – 1 * 0,5 = PK – m2* 2 = PM – 2*(0,5 - 2) – m2* 2
da cui
!#$(
Conoscendo la pressione nel punto K dalla relazione precedente, ho che il piano dei carichi idrostatici del liquido m2 si calcola con la relazione:
m2* '!PK
da cui
'!" #$&(
c) La spinta sulla parete AB vale in modulo:
! 1* ( 1 – 0,3 + ) * 0,8 * L = &'()*
ed è diretta dall’esterno verso l’interno essendo il liquido a contatto con la parete a pressione relativa negativa.
La spinta sulla parete BC è pari in modulo a :
! 2 ( - 2 ) * 1 * L = %'(+*
diretta verso l’esterno.La spinta totale, diretta verso l’interno vale dunque:
!##'*
2
8,0
2
1
m1
1,0 m
0,8 m 0,5 m2
3
1
2
m2
H P
21
m2
,
-..-/01233.
a
D
D = 0,80 mL = 2 mP = 2650 N
a = 9806 N m-3
c = 24515 N m-3
Determinare:a) Peso del blocco di calcestruzzo
per mantenere il cilindro inposizione immersa.
Spinta del fluido sul cilindro: S’ = a* ( ( *D2) / 4) * L = 9858 N
La risultante delle spinte è verso l’alto e vale: S = S’ – P = 7208 N
Dall’equilibrio delle forze e dall’annullarsi del momento angolare rispetto il centro del cilindro ho che la tensione della fune è pari a:
T = S / 2 = 3604 N
Per l’equilibrio deve essere:
PC= CWC = T + a*WC
da cui
WC = 0,245 m3
!%##)*
H
Z
2
1
-Dati: H , D = Diametro della luce
P = Peso che grava sulla superficie colpita dal getto
Determinare:a) la posizione Z di equilibrio.
Dimostrare:a) la stabilità dell’equilibrio alle
traslazioni verticali.
= Area della luce = * (D2/4)
La velocità torricelliana del getto all’uscita dalla luce sarà:
4 = radq(2 * g * H)
La velocità reale (V1) è :
V1 = cv * V con cv che vale 0,98
Siccome per la luce in parete sottile si ha che cc = 0,64 ho che la portata Q vale:
Q = cc * cv * * radq (2 * g * H)
La forza (F) del getto sulla superficie inferiore di P vale:
F = * 2 * V22
dove le grandezze in gioco si riferiscono alla sezione 2.
Per l’equilibrio tale forza dovrà uguagliare P e da tale relazione è poi possibilecalcolare V2. Infatti essendo:
2 = Q / V2 ho che la relazione P = * 2 * V22 può essere scritta:
P = * Q * V2 dalla quale si trae V2 = P / * Q
L’equazione di Bernoulli tra la sezione 1 e la sezione 2 vale:
z1 + p1/ + V12/2g = z2 + p2/ + V2
2/2g
Essendo z1 = 0 perché sul piano di riferimento ed entrambe le sezioni alla pressione atmosferica l’equazione sopra scritta diviene:
V12/2g = z2 + V2
2/2g dalla quale si trae z2 che è l’altezza richiesta dal problema:
z2 = V12/2g - V2
2/2g
In tale posizione l’equilibrio è stabile alle traslazioni verticali. Infatti P è costanteed avendo:
P = * Q * V2 = spinta del getto
deduco che la spinta varia con z perché con z varia V2
Con Bernoulli dal pelo libero del serbatoio fino alla sezione 2, trascurando le perdite, ho
H = z + V22/2g ⇒ V2 = radq(2 * g * (H - z) ) ⇒ F’ = * Q * V2 - P
H
c
Dati:, A = Area del serbatoio, H
Determinare:a) Portata inizialeb) Tempo di svuotamento del
serbatoio
Q = m * * radq (2 * g * H) con m = cc * cv
Il tempo di svuotamento si ricava ossaervando che la diminuzione della quota del pelo libero H rispetto alla luce in un tempo dt è data dalla:
-dH = (Q / A) * dt
per cui sarà
-dH = (m * * radq (2 * g * H) / A) * dt
La quantità
K = (m * * radq(2*g) / A)
risulta essere costante, per cui si può scrivere, separando le variabili,
-dH/radq(H) = K * dt
Integrando si ottiene
-2 * radq(H) = K * t + cost
Per valutare il valore della costante utilizzo le condizioni iniziali:
H = H0 per t = 0H = 0 per t = T = Tempo di svuotamento
Da questo si ricava
cost = -2 * radq(H0) per cui ho
T = 2 * (radq(H0) / K)
41
Un tubo di Pitot viene immerso in un fluido che scorre convelocità . Se tale fluido è aria e il liquido monometrico contenutonel tubo è acqua, determinare le velocità del fluido quando ladifferenza di altezza del liquido monometrico è
Applicando l’equazione di Bernoulli ai punti a e b, dove b sisuppone sia il punto di arresto del fluido e ρ la sua densità :
42
=ρ+ 2
21
Del resto se h è la differenza di altezza del liquido nei 2 rami delmanometro e ρ’ la sua densità, possiamo scrivere:
=ρ+ ’
confrontando le 2 equazioni, si ricava per la velocità dell’arial’espressione:
ρρ= ’2
per ρ’ =1.29 kg/m3
/31,0=
43
Uno scultore deverealizzare un balenotteroda porre al centro di unafontana. Nel corpo dellastatua verrà immesso untubo di sezione nel qualeconfluirà l’acqua allavelocità .
!! " #
Usando le equazioni della meccanica classica,
’=
2
21
=
si deduce che la velocità v’, che deve avere il fluido all’uscitadella bocca del balenottero per raggiungere il punto dovuto, deveessere
2
’=
44
ora, applicando l’equazione di continuità,
=’’
si ricava la nuova sezione A’ in funzione di A, v, v’
2
’=
Da cui :
π= ’4
"
45
$ !! % !! !
& ! !%
Per il teorema di Torricelli, l’acqua che esce dal foro ha velocità:
2=
' !! Sostituendo quest’espressione della velocità nel sistema
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=
2
21
%
ed eliminando la variabile temporale, si ottiene per la distanzal’espressione:
46
( )% −= 2
la distanza è massima quando il valore del radicando è massimo; ilradicando, a sua volta, fissata H, è massimo per
%21=
come si ottiene derivando il radicando in funzione di h e ponendola derivata uguale a zero.Sostituendo questo valore dentro l’espressione di d, si ottiene ilrelativo valore massimo:
% =max
.
47
Determinare la portata fluente
attraverso il venturimetro, noto il dislivello ∆del manometro differenziale a mercurio,ammettendo nulle le perdite fra le sezioni 1 e2, e uniforme la distribuzione della velocitànelle due sezioni.
Siano noti: D, ∆, γ, γm, d
Il manometro differenziale fornisce la differenza δ fra le quotepiezometriche delle sezioni 1 e 2
γγ−γ∆=δ=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
γ+−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
γ+
!
! 22
11
data la costanza del trinomio di Bernoulli, risulta quindi:
!
!2
2
1
2
222
11
−=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
γ+−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
γ+=δ
essendo per la continuità ())**
la precedente si può scrivere:
1
2
(
D
d∆
γ
γm
48
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
11
2
(
( −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=δ
e quindi
2
2
2
1
212
(
−δ=
49
Calcolare la portata, la pressione e la potenza necessarie peralimentare un getto d’acqua di diametro iniziale d, che si elevaverticalmente ad un’altezza H. Trascurare sia le perdite di cariconel getto e nel condotto, che la velocità dell’acqua nel condotto diadduzione, e considerare rettilinei e paralleli i filetti nella sezioneiniziale del getto ( quindi pressione nulla in tutta la sezione).Dati: e %
Assunto come piano z = 0 quello passante per la sezione inizialedel getto, l’applicazione del teorema di Bernoulli fra la sezioneiniziale e la sommità del getto fornisce:
( ))%
=α=α2
2
1
dal momento che alla quota H la velocità è nulla e i filetti,separandosi, sono tutti alla pressione atmosferica.
H
d
50
Risulta quindi:
11 42
(%
π==
per trovare la pressione si applica il teorema di Bernoulli fra unasezione generica del condotto e la sezione iniziale del getto,ammettendo che esse si trovino alla stessa quota zero.
Con le ipotesi poste si ha:
2
2
1=γ
cioè % =γ
da cui % γ=
Per calcolare la potenza basta ricordare che è
(% γ=
51
Data la geometria, individuare aquale distanza dal foro il gettoeffluente avrà il diametro assegnato. Considerare il liquidoperfetto e incomprimibile.Dati : %, " e .
Supponiamo che la sezione contratta si trovi all’incirca alladistanza di 0,5 D dal foro.In questa sezione la velocità è :
( )"%+
5,02 +=
e l’area è
4
2"
π=ϖ con Cc = 0,64 circa
quindi la portata Q:
( )"%"
,+(
5,024
2
+π=ϖ=
ω
52
essendo il liquido incomprimibile, la portata in volume è costantein tutte le sezioni, quindi in quella con diametro d sarà:
( )%
( +π= 24
2
eguagliando le due espressioni di Q si ottiene:
( ) %"%"
−+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= 5,0
4
2
53
Data la geometria del sistema, noti gli affondamenti e % rispettoalla luce libera e nota l’area Ω della luce, calcolare il peso affinché il sistema sia in equilibrio.
L’equilibrio della bilancia permette di scrivere
P = 2F con F : spinta esercitata dal getto che effluisce dalla luce
Applicando il teorema globale dell’equilibrio dinamico al volumecompreso tra le sezioni 1-1 e 2-2 si ha:
021
=−+++ --$./
Analizzando le forze si avrà:
1-. −=
quindi
0*
11
Ω
%
54
11(+-.. ρ==−=
essendo ( 2Ω= e %+ 21
= si ha
% 222 Ωρ=
55
Si deve costruire una paratoia cheassicuri il contenimento di una dataportata d’acqua all’interno di un canalecon altezza pari a: % .La struttura sarà realizzata con due settiverticali .Determinare quale altezza devono
presentare tali setti affinché la spinta idrostatica agente su di essisia identica. Ipotizzando una profondità unitaria .
11
21
γ= ( )1%1%
% −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−γ=
22
21 =
2
2%2 = e ( )
2
2%%1% −=−
x
H - x
S1
S2
56
Calcolare la pressionenecessaria a valledella pompa perassicurare la velocitàin uscita vj. Calcolarela potenza installata seil rendimento dellapompa è del 70%.
( si trascurino in questa fase di programma, le perdite di caricolungo la condotta 34).
][2
1202
34
%%%
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++=−=
]/[ 25% γ=
][1000
67(%
ηγ
= oppure ][7(%
ηγ
= con η = 0,7
Vj2/2g
Hp
57
! h ! Q ! P 89" :habD
; ! < = :
!
!
22
2
22
2
2
11
1 +γ
+=+γ
+
!!2
2
1
12 =−=
21
=
5 ) :
4
2
111
"(
π==
zattera
a
b
h
Du
58
! ! ' :
% ++=
! ':
].[1000
67(%
ηγ
=
59
Determinare la portata Q e lapotenza P sull’asse della turbina,trascurando le perdite di caricolungo il diffusore. La turbina ha unrendimento dell’80%. Valutareinoltre la spinta sul diffusore.Dati : D1, D2, D3, z2, h, n,∆, γ, γm.
Per trovare la portata è sufficiente applicare il teorema diBernoulli fra la sezione di uscita della turbine (2-2) e la sezione disbocco nel serbatoio (3-3):
!
!
22
2
33
3
2
22
2 +γ
+−=+γ
+
ma:
δ=−=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
γ+−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
γ+−
!
!22
2
3
2
22
2
3
3
e
γγ−γ∆=δ
M
3
D3
M
3
2 2
n
D1
D2
∆
z2
z3
h
Z = 0
60
ed essendo
( cos3322
===
2
3
2
2 21
21
(−
δ=
il salto disponibile ∆H risulta:
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
γ+−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
γ+=−=∆
!
!%%% >>
>--
->- 22
22
con
2
1
25
210
(
!% -- +γ
⋅+=
2
2
2
2
(%> +δ=
e quindi
][1000
67%(
∆γη=
61
la spinta Si sulla parete interna del diffusore viene determinataapplicando il teorema globale dell’equilibrio dinamico al volumeliquido compreso fra le sezioni 2-2 e 3-3; si ricava:
3232--/ −+Π+Π+=
dove tutte le forze sono verticali e valgono:
222
7/
=Πγ=
333 =Π
22 (>- ρ=
33(>- ρ=
La spinta Se esercitata dal liquido in quiete del serbatoio sullasuperficie esterna del diffusore è diretta verticalmente verso ilbasso e ha modulo pari al peso G’ del volume liquido compresofra la parete esterna del diffusore e la superficie libera delserbatoio. In definitiva la spinta totale sul diffusore è pari a:
+=
62
!"#
$ #%
Calcolare la portata effluente all’aria, in moto permanente, dallacondotta AB, a imbocco raccordato, alimentata da un serbatoio alivello costante.
Dati: L, D, z1, z2, c (Gaukler – Strickler)
Applicando l’equazione di Bernoulli tra la sezione iniziale e finaledel condotto si ha:
4
>!! +α+=
2
2
21
supponendo il moto turbolento 1≅α e quindi può esseretrascurato.Nel caso in esame non esistono perdite concentrate, perchénell’imbocco raccordato esse si considerano nulle. Per esprimere
63
la pendenza motrice i, essendo noto il coefficiente di Gaukler .Strickler, si userà la formula di Chezy:
+ ℜχ= dove ℜ è il raggio idraulico che per condotticircolari vale D/4.
Il bilancio energetico si scrive quindi:
( ) ( ) +
4""
+
+4
+!!
24/4/2
2
6
22
22
2
2
21 +=+ℜχ
=−
essendo, per un liquido incomprimibile, +( Ω=
( ) ( ) ( )22
2
223
42
2
21 4/24/4/ "(
4""
(!!
π+
π=−
quindi:
( ) "
4!!"
(
21
4/
43
42
21
2
+
−π=
64
$ #%
Determinare l’indice di scabrezza “” di Kutter di una tubazione,note la portata fluente Q e l’indicazione ∆ di un manometrodifferenziale a mercurio collegato come in figura.Dati: D, Q, l, ∆, γm, γ
Il manometro differenziale fornisce la differenza di quotapiezometrica agli estremi del tronco di lunghezza , ossia:
γγ−γ∆= da cui
γγ−γ∆=
la velocità vale
4/2"(
+π
=
dalla relazione + ℜχ= si ricava χ
65
+ℜ
=χ
di conseguenza si calcola dall’espressione:
ℜ+
=ℜ+ℜ=χ
1
100100
i valori medi sperimentali di risultano:
0,15 – 0,17 per tubi in ghisa nuovi0,275 per tubi in ghisa usati0,45 per tubi in ghisa con incrostazioni
66
$ #%
Determinare la portata fluente dal serbatoio A al serbatoio B,collegati mediante due tronchi di tubazione di ghisa,rispettivamente di diametri D1 e D2, lunghezze L1 e L2 e scabrezzeβ1 e β2, noto il dislivello y.
Il bilancio energetico tra i due serbatoi A e B si scrive:
+
4
+4
+
?222
2
2
22
2
2
11
2
1
1 ++ξ++ξ=
essendo:
2
1
1
4"(
+π
= 2
2
2
4"(
+π
=
67
5,01 ≅ξ perdita di imbocco
2
2
1
2
2
2
1
2 11 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −ΩΩ=ξ
""
perdita localizzata per il brusco allargamento
5
1
2
11 "(
β= ; 5
2
2
22 "(
β= (espressione di Darcy)
eseguite le debite sostituzioni si ottiene una equazione in Q2 disemplice soluzione (si considera la radice positiva, perché unaportata negativa in questo caso non è fisicamente possibile).
68
$ #%
4 " !! γ<; !=!! 4' 5 ? ! ∆ ! Dati: D, L, γ, y, l
La perdita di imbocco è assimilabile in questo caso ad un tubo diBorda e vale quindi l’intero termine cinetico.
Il bilancio energetico risulta:
4+
+
+
4
+?
ℜχ+=++=
2
222
22
69
dove
ℜγ+=χ
/187
e 4"=ℜ
da questa equazione si ricava U e quindi Q = UΩ
il manometro differenziale fornisce la differenza di quotapiezometrica fra le due sezioni cui è collegato; in questo caso valequindi
Si ha allora: γ
γ−γ∆= da cui si ricava ∆.
70
$ #%
Calcolare il diametro teorico occorrente perché un tubo di ghisanuovo (coefficiente di Strickler c=90 m1/3 s-1), di lunghezza L, adimbocco raccordato, convogli una portata Q fra due serbatoi tra iquali esiste una differenza di carico costante ∆H.Dati: L, Q, ∆H, γ
Il bilancio energetico si scrive:
+4%
2
2
+=∆
dove
ℜ=
2
2
χ+
6
1
ℜ= χ
71
4
"=ℜ
per cui
433,542
22
3
1242
3
122
2
4444
";
"
"(
4"""
(% +=+=∆
ππ
equazione risolvibile numericamente rispetto "
72
$ #%
La condotta AB di diametro D, lunghezza L e scabrezza diKutter, alimentata dal serbatoio S, termina con una valvola
regolabile, la cui luce può assumere tutti i valori 4
2"ηπω = con
10 << η , posta H metri al di sotto della superficie libera delserbatoio.Determinare la portata massima e il valore di η per cui si ha lamassima potenza del getto.Dati: H, L, D,
Assunto come piano di riferimento quello per B, posto 4
2"π=Ω ,
il bilancio energetico si scrive:
22
2
22
2
2 Ω+
ℜΩ=
ηχ (
4(
% ( 1permax
=η( )
73
la potenza del getto vale
(%7 γ=
in cui, essendo z = 0, 0=γ
è
( ) ℜΩ−=
Ω=
22
2
2
2
2 χη4(
%
(% ;
7:
03 2
22=
ℜΩ−= (
4%
(7
χγγ
da cui
%4(
3
122
2
=ℜΩχ
! ':
4%
(3
* ℜΩ= χ
introdotto questo valore nell’equazione di bilancio iniziale si trovail valore di η richiesto.
74
$ #%
Due serbatoi sono collegati mediante una tubazione liscia dilunghezza L e diametro D, in cui è inserita una pompa.Trascurando eventuali perdite localizzate, determinare la potenzadella pompa ( rendimento η ) per sollevare una portata Q di nafta.Dati: L, D, y, Q, γην ,,
La pompa deve fornire una prevalenza ∆H pari al dislivello fra idue serbatoi aumentato delle perdite e del carico cinetico:
+
4?%2
2
++=∆
dove 2
4
"(
(
+π
==
75
essendo noto ν si può calcolare il numero di Reynolds e verificareche è:
510Re2000 << (fuori dal campo laminare)
si potrà quindi usare la formula monomia di Blasius per il calcolodi λ e quindi di i e in definitiva ∆H.
25,0Re316,0 −=λ e
+"
2
2λ=
la potenza da fornire alla pompa risulta:
ηγ %(
7∆=
76
$ #%
H1 = 55 mH2 = 40 mL1 = 10 mL2 = 2.500 mD = 0,25 mC = 100 m1/3s-1
curva caratteristica della pompa 212540 (% −=
Calcolare la portata elaborata CON e SENZA pompa.
SENZA POMPA
2
2
22211
2
11 22
5,0 %
>44
>
% =−−−−
>>> ≡= 21 e (> =
( ) 2
2133,52
2
42
2
21
29,1085,1 @(44
"(
"(
%%% =++=∆=−π
L1 L2
H1
H2
77
( ) ( ) ( ) ( )
6%
(
/5,59/0595,0
25,0100
29,102510
25,014,381,9
85,115
3
33,5242
==
=⋅+
⋅⋅
=∆=
CON POMPA
2
2
22211
2
11 22
5,0 %
>4%4
>
% =−−+−−
26(%% +∆=
( ) ( ) ( ) ( ) 727,421025,0100
251029,10
25,014,381,9
85,133,5242 =⋅+
⋅⋅=@
2727,421415 (% +−= curva di impianto
212540 (% −= curva caratteristica della pompa
dal sistema si trova Q = 0,1127 m3/s = 112,7 l/s
78
-15
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15
Lezione del 19 Novembre 2002ESERCIZIO 1
N
HF
E
CB
A
x
I 3 serbatoi A,B e C aventi le superfici libere rispettivamente allequote HA, HB = HC sono collegati al sistema di condotte (EN, NF, NH) aventi in comune il nodo N. le lunghezze delle tre tubazionisono rispettivamente l1, l2, l3 e i diametri d1, d2,d3.
Determinare le portate Q1, Q2, Q3 che percorrono le tre tubazioni,per le quali si ritiene applicabile la formula di Darcy per tubi usati:
5
2
5
2
2d
q
d
ba
d
qi
con a = 0,00164; b = 0,000042
e la quota piezometrica x del nodo N. Dati: HA,HB = HC,d1,d2,d3,l1,l2,l3.
Le 4 incognite si ricavano risolvendo il sistema costituito dalleequazioni del moto nei 3 condotti e dall’equazione di continuità alnodo N.
321
35
3
2
3
3
25
2
2
22
15
1
11
QQQ
ld
Qx
ld
Qx
ld
QxH
A
2
225
2
22
3215
1
1
2
335
3
32
225
2
2 0
Qld
QQld
H
Qld
Qld
A
dalla prima si ottiene:
2
2
22
3QAQ dove
5
333
5
2222
/
/
dl
dlA
e sostituendo nella seconda:
25
2
22
15
1
1
2
21 ld
AAld
HQ A
calcolato Q2 si trovano immediatamente le altre incognite.
ESERCIZIO 2
a
1 2
CA
H
Z = 0
Uno stramazzo rettangolare a larga soglia, di larghezza: L = 3.00 m, e lo scivolo che lo segue, convogliano dell’acquadal serbatoio A al canale C (anch’esso largo L).
Posto che la soglia dello stramazzo sia alta: a = 1.00 m, sidetermini:a) quale carico H deve essere presente sulla soglia dello
stramazzo affinché la portata convogliata sia pari a: Q = 0.8 m
3/s;
b) l’altezza d’acqua y1 nella sezione 1 al piede dello scivolonell’ipotesi che fra il serbatoio e la sezione stessa sianotrascurabili tutte le perdite di carico;
c) l’altezza y2 coniugata di y1 nel risalto idraulico chesegue l’ingresso della corrente veloce nel canale.
a) gHLH 2385,0Q
da cui:
32
2385,0
gL
QH = 0,29 m
b) Altezza d’acqua nella sezione 1(y1)
2
1
2
12
1
2
1
2
11 222 Lyg
Qy
g
Qy
g
vyaH
2
1
2
1 981,92
8,0129,0
yy
064,07882,22758,176 2
1
3
1 yy
Risolvendo per tentativi, pongo
64,07882,22758,176 2
1
3
1 Tyy
1) y1 = 0,1 m T = -2,101 ;
2) y1 = 0,05 m T = -0,5473 ;
3) y1 = 0,04 m T = -0,35316 ;
4) y1 = 0,06 m T = -0,78189.
c) coniugata nel risalto G(y2) G(y1)
2
2
22
1
2
11
22
g
Qy
g
Qy
Lgy
QLy
y
Lgy
QLy
y
2
2
22
1
2
11
22
2
22
2
2
381,9
8,05,1
30542,081,9
8,030542,0
2
0542,0
yy
0021746517,0405633713,05,1 2
3
2 yy
pongo 1 021746517,0405633713,05, 2
3
2 Syy
1) y2 = 0,1 m S = -0,039063371 ;
2) y2 = 0,05 m S = -0,02009418 ;
3) y2 = 0,08 m S = -0,03168269 ;
4) y2 = 0,06 m S = -0,024014022 .
ESERCIZIO 3
Lb0
h2
h1
Una portata d’acqua pari a: Q = (53) m3/s scorre in un
canale interamente rivestito in calcestruzzo (ks = 70 m1/3
s-1
)con pendenza del fondo costantemente pari a: if = 0.001. Lasezione del canale è costituita da un alveo di magracentrale rettangolare, di altezza: h1 = 0.5 m, e da due golene laterali larghe ciascuna: L = 4.0 m e dotate di spondeverticali.
a)Si valuti la larghezza minima b0 con la quale ènecessario progettare l’alveo di magra affinché lasuddetta portata sia convogliata in condizioni dimoto uniforme con livello idrico sul piano golenalenon superiore a: h2 = 1.0 m (si consideri invariabilela larghezza delle golene).
b) Si calcoli, inoltre, quale portata attraverserebbe ilcanale, sempre in condizioni di moto uniforme e conlivello idrico complessivo: (h1 + h2) e larghezza b0
pari a quelli considerati nel punto precedente,qualora le golene fossero rivestite non incalcestruzzo (come al punto a)), ma in terra conerba sul fondo (ks = 40 m
1/3 s
-1).
a)f
RiQ
essendo:
h1 = 0,5 m e h2 = 1 m
2
22121 85,114215,022 mbbLhhhb
6
1
Rks
mb
b
b
b
pR
11
85,1
145,05,041
85,1
3
2
RikQfs
quindi 3
2
Rik
Q
fs
Tb
b
b
bb
3
2
3
53
2
11
85,1
11
85,185,1
001,070
53
ossia
T = 23,94296
1) b = 1m T = 8,1299
2) b = 2m T = 9,8406
3) b = 3m T = 11,59039
4) b = 4m T = 13,37065
5) b = 10m T = 24,43807
6) b = 9,7m T = 23,8743
b)
i siisifiisif
RkRkiRki 3
2
2223
2
3
2
2Q
smks
/70 3
1
1 ;
2
211 55,14 mhhb
mp
R 360,11
11
smks
/40 3
1
2 ; 2
22 4mLh
mp
R 8,02
22
quindi
smQ /256,488,0440236,155,1470001,0 33
2
3
2
ESERCIZIO 4
3
1
L
Assegnati, per un canale con rivestimento in cemento, la sezione el’indice di scabrezza c di Strickler, tracciare le scale di deflusso inmoto uniforme per le due pendenze date e in moto critico. Trovare
i valori di yu e yc per la portata Q fissata per i due casi esaminati.
Tracciare inoltre il diagramma del carico specifico:g
UyH
2
2
a Q cost: su quale ramo della curva si trova e quali caratteristiche
possiede la corrente uniforme corrispondente alla pendenza if1?
Da quale punto è rappresentata e quali caratteristiche possiede
una corrente in condizioni critiche?
Dati:
c = 70 m1/3/sif 1 = 2‰ if 2 = 10‰ Q = 10 m3/s
Le scale di moto uniforme e di moto critico sono date dalle relazioni:
fRiQ e
b
gc
Q
con
area della sezione bagnata yLytg
è l’indice di resistenza 6
1
cR
BR
è il raggio idraulico
in cui
B è il contorno bagnato
cos
2yLB
if è la pendenza del fondo b è la larghezza del pelo libero b Lytg 2g è l’accelerazione di gravità.
y[m]
Qu [m3/s] Qc
[m3/s]if1 if2
0,2 0,82 1,84 1,130,4 2,53 5,65 3,220,6 4,83 10,79 5,970,8 7,6 16,99 9,281 10,79 24,12 13,08
if1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 2 4 6 8 10 12 14
Q [mc/s]
y
[m]
Qu
Qc
if2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10 15 20 25 30
Q [mc/s]
y [
m]
Qu
Qc
Le altezze di moto uniforme e critico si possono leggere anchesulle scale di deflusso di figura. Per Q = 10 m3/s si ha:
per if1 yu = 0,95 m yc = 0,84 m
per if2 yu = 0,57 m yc = 0,84 m
osservazioni :
1)b
gc
Q
2) se if = ic
cfuQ
b
g
b
gB
Bb
RgB
b
RgBRiQ
2
la curva (H,y) a Q = cost. È data dalla relazione:
2
22
22
g
Qy
g
UyH
con Q = 10 m3/s si ricava:
y Q2/2g2 H0.1 0.403 31.331 31.4310.2 0.813 7.711 7.9110.3 1.23 3.369 3.6690.4 1.653 1.865 2.2650.5 2.083 1.174 1.6740.6 2.520 0.803 1.4030.7 2.963 0.580 1.2800.8 3.413 0.437 1.2370.9 3.87 0.340 1.2401 4.333 0.271 1.271
1.1 4.803 0.221 1.3211.2 5.28 0.183 1.3831.3 5.763 0.153 1.4531.4 6.253 0.130 1.5301.5 6.75 0.112 1.6121.6 7.253 0.097 1.691
Esercizio 5
Data un'autoclave (vedi figura) determinare la prevalenza p e la potenza P della pompa che mantenga una portata in massa di acqua costante e pari a:
M = 3s
kg .
Figura 1: Autoclave
Dati:
Tubo:- D = 0,05 m - L = 8 m-
D = 00,1
Scrivo l'equazione di Bernoulli adeguata e apporto le dovute semplificazioni:
lzzgWW
Rpp
12
2
1
2
212
2
plR
pp12
Dalla portata in massa, ricaviamo la velocità del fluido:
4
2DWAWM
sm
D
MW 52,1
05,01000
43422
Ora possiamo calcolarci il numero di Reynolds:
DWRe
76500101
05,053,16
DW (Moto turbolento)
N.B. A temperatura ambiente, per l'acquas
m 26101
Con il numero di Reynolds e la scabrezza relativa andiamo aleggere sul diagramma di Moody il valore del coefficiente d'attrito.
0,0385
Ora non rimane altro che trovare le perdita di carico concentrate.
Utilizziamo il Nomogramma:
Colleghiamo l'ordinata del diametro del nostro tubo (50 mm)con l'ordinata delle due accidentalità incontrate: imbocco (14) esbrusco allargamento di sezione (17).
Leggiamo sull'ordinata centrale il valore della lunghezza equivalente nei due casi:
Imbocco ;mLeq
1Sbrusco allargamento di sezione mL
eq7,1
Siamo in grado di calcolarci le perdite di carico totali:
2
2W
D
LLR
eq
=
2
22
64,92
53,1
0385,0
7,1180385,0
sm
Riscrivo l'equazione di Bernoulli:
PappRp 15964015000064,91000)( 12
Concludo l'esercizio calcolando la potenza della pompa:
WVpP 9,478 (ricordo che
MV )
Esercizio 6
Si consideri la sezione di un corso d’acqua avente la pendenzalongitudinale del fondo e delle golene pari all’1‰ e coefficiente di Strickler della scabrezza equivalente c = 32 m1/3/s.Tracciare la scala di deflusso in moto uniforme e determinare laportata corrispondente all’altezza di 1,5 m sulle golene.
La Q risulterà somma di una Q1 e di una Q2 intendendo con questoi contributi della zona centrale e della zona golenale della sezionedata.In particolare risulta:
a) zona centrale
a1) per 0< y yM
yytgl 1
cos
21
ylB
a2) per yM y ymax
MM
yyytgly 21
cos
21
My
lB
essendo1
11
BR
e 6
1
11 cR
fiRQ 1111
b) zona laterale
per yM < y ymax
MM
yytgyyl 112 2
1
12 cos2 M
yylB
ed essendo 2
2
2B
R
e 6
1
22 cR
fiRQ 2222
Risultati del calcolo:
Y[m]
Q1
[mc/s]Q2
[mc/s]Q
[mc/s]0.5 9.51 - 9.511 30.19 - 30.19
1.5 59.33 - 59.332 95.84 - 95.84
2.5 139.09 - 139.093 188.67 - 188.67
3.5 249.39 12.69 262.084 316.71 40.29 357.00
4.5 390.33 79.19 469.52
scala di deflusso
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Q [mc/s]
yu
[m
]
469.52
Esercizio 7
Tracciamento qualitativo di profili
A) corrente lenta : cambio di scabrezza
D2
le scale di deflusso in moto uniforme hanno l’andamento
da cui risulta yu1 > yu2
la yc è la stessa sia a monte che a valle della sez. A in quanto la Qc
è funzione soltanto di grandezze geometriche.
- nessun effetto a valle della sezione A. - unico profilo possibile D2
B) corrente veloce : cambio di scabrezza
F2
Le scale di deflusso in moto uniforme e critico sono:
Da cui risulta: yu1 > yu2 e yc > yu1 > yu2 .
- nessun effetto a monte della sezione A - unico profilo possibile F2
C) corrente lenta a monte e veloce più a valleLe scale di deflusso in moto uniforme e critico hanno il seguente
andamento:
F2
D2
Da cui risulta per la portata assegnata: yu1> yc ; yc < yu2 e yu1 > yu2.
A monte della sez. A si creerà un profilo del tipo M2, a valle ilprofilo sarà del tipo S2.
D) corrente lenta con 2 cambi di scabrezza
M1 M2
E) corrente veloce con 2 cambi di scabrezza
F3
F2
Lezione del 27 Novembre 2002
Dati:b=larghezza alveo=50 mQ=500 mc/secym=1,50 m
Determinare:Profondità a valle del risalto e la dissipazione di energia
Q
Hm
ymyc yv Hv
La profondità critica è:
m17,2b*g
Qy 3
2
2
c
La funzione G(y) ha l’espressione:
*g
Qy*G(y)
2
g
e per la profondità di monte essa assume il valore
G(ym) = 396,2 mc
Ponendo
G (ym) = G (yv)
sarà
mcg
2,396y*b*
Q
2
y*b
v
22v
⇓yv = 3,04 m
E’ inoltre possibile rappresentare graficamente la funzione G(y)mediante un foglio matematico ed individuare il valore yv graficamente.Infatti, dato l’andamento della funzione, si entra nel grafico con il valore Ym, si intercetta la curva in corrispondenza di G(ym),indi si traccia la Retta a G(y) costante che a sua volta intercetta la curva nel punto G(yv),Individuando così il valore di yv.
Per il calcolo dell’energia dissipata si procede valutando la differenzatra Hm e Hv. Sarà dunque:
mg
766,3y*b**2
QyHm
2m
2
2
m
e
m592,3y*b*g*2
QyHv
2v
2
2
v
per cui ne risulta che
H= Hm – Hv = 0,174 m
Dati:b = 3,00 mQ = 5,00 ma = 0,30 mDeterminare profondità a monte nelle condizioni:- Deflusso della luce a vena
libera, cioè con yv = a;- Deflusso a vena rigurgitata
con profondità yv = 1,50 m
Si possono trascurare le perdite di carico nel passaggio dalla sezione dimonte alla sezione immediatamente a valle della paratoia trattandosi direstringimento di sezione. Allora sarà :
Hm = Hv
2v
2
v2
2
m *g*2
Qy
**2
Qy
mg
1) Nella prima condizione è nota la profondità di valle essendoyv = a , per cui disegnata la curva
2
2
s **2
QyH
g
si entra con yv = a, ed a parità di Hs si ricava il corrispondentevalore di ym.
Analiticamente:
2m
2
2
m
22
2
s
y*3*806,9*2
5y566,2
566,23,0*3*806,9*2
53,0H m
⇓ym = 2,535 m
2) Nel caso la luce di fondo sia rigurgitata il carico piezometrico delliquido che esce dalla luce di fondo della paratoia è sempre dato dalla effettiva profondità presente a valle della yv, mentre la velocità è datadalla
QU v
con
= a * b
quindi l’altezza rappresentatrice della velocità resta la medesima delcaso precedente. Il presente caso si verifica quando la profondità yvimposta dalle condizioni di valle è superiore alla profondità corrispondente alla y = a attraverso la funzione G (y).Fino alla sezione immediatamente a valle della paratoia non si registranodissipazioni di energia; le perdite saranno da questa sezione verso valle a causa degli urti della vena a velocità Uv con fluido a minor velocità.Possiamo scrivere:
2m
2
2
m
2m
2
m22
2
v
y*3*806,9*2
5y266,250,1
**2
Qy
b*a*g*2
Qy
g
⇓ym = 3,756 m
