1 Corso di Idraulica dei Sistemi Naturali Fonti: - Appunti del corso di Idraulica Fluviale del Prof....

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Corso di Idraulica dei Sistemi NaturaliCorso di Idraulica dei Sistemi Naturali

Fonti: - Appunti del corso di Idraulica Fluviale del Prof. Giovanni Seminara (Università di Genova)

IDRODINAMICA FLUVIALEIDRODINAMICA FLUVIALE

Prof. Enrico FotiProf. Enrico Foti

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PremessaPremessa

I processi di moto nei corsi d’acqua possono essere descritti attraverso modelli interpretativi caratterizzati da diversi gradi di complessità, a seconda del problema che si vuole affrontare.Esistono:-Modelli tridimensionali (es. moto in un’ansa fluviale)

-Modelli bidimensionali (es. propagazione della marea in un bacino confinato)

-Modelli unidimensionali (es. propagazione di una piena fluviale)-Modelli zero-dimensionali (es. riempimento/svuotamento di un serbatoio)

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Il modello unidimensionale: la correnteIl modello unidimensionale: la corrente

Nei corsi d’acqua, nei canali artificiali e nei canali lagunari, il campo di moto può essere descritto adottando il modello di corrente, individuando cioè una direzione prevalente del moto, che è in generale ad andamento curvilineo.

Definite quindi sezioni della corrente le intersezioni di essa con piani ortogonali alla linea coordinata x prescelta per rappresentare la direzione della corrente, si fa riferimento a grandezze dinamiche (velocità, quantità di moto, energia) mediate nel piano della sezione. Esse risultato funzioni delle sole coordinate spaziale x e temporale t.

x

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Il modello unidimensionale: la correnteIl modello unidimensionale: la corrente

Si noti che la scelta di x è in qualche misura arbitraria, non potendo essere in generale riferita all’assetto tridimensionale della corrente, parte del quale (es. superficie libera e fondo mobile) è a priori non noto.

Condizioni perché l’adozione dello schema di corrente sia giustificato:• le curvature della linea d’asse siano piccole (moti secondari modesti);• le variazioni spazio-temporali della forma della sezione siano sufficientemente lente (vincolo di quasi-unidirezionalità del moto).

Inoltre, adottando il modello unidimensionale si assume che:• la velocità verticale è più piccola di almeno un ordine di grandezza rispetto alla velocità orizzontale (vero nell’ipotesi di acque basse);• la velocità trasversale è un ordine di grandezza più piccola rispetto a quella nella direzione prevalente del moto;• la superficie libera è orizzontale nella direzione trasversale (ovvero si trascurano le variazioni trasversali del carico pieziometrico)

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Equazione di de Saint Venant (1871)Equazione di de Saint Venant (1871)

Sotto le citate ipotesi, si può derivare l’equazione unidimensionale che descrive il moto (=cost):

in cui:-U è la velocità media nella direzione del moto;- è l’area della sezione- è un coefficiente di forma- g è l’accelerazione di gravità- h è la profondità locale- B è il perimetro bagnato- b è la larghezza in supeficie

- è il valore medio della tensione tangenziale agente sul contorno bagnato

- è il valore medio della tensione tangenziale agente sulla superficie libera

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2 1

bBx

hgU

xU

tf

f0

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Equazione di continuitàEquazione di continuità

Il principio di conservazione della massa impone invece che (=cost)

in cui:- Q è la portata volumetrica che attraversa la sezione

0

x

Q

t

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Correnti uniformi e stazionarie a superfie liberaCorrenti uniformi e stazionarie a superfie libera

Una corrente a superficie libera si dice in moto stazionario uniforme se è:• unidirezionale• se le sue caratteristiche risultano indipendenti dal tempo e dalla coordinata spaziale che individua la direzione di moto.

Condizioni necessarie per un assetto stazionario uniforme del moto sono:• alveo cilindrico• moto pienamente sviluppato (non si risente di condizioni al contorno di monte o di valle)• condizioni stazionarie alle sezioni di estremità

Nota: Se la pendenza è modesta le sezioni possono essere considerate verticali

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Correnti uniformi e stazionarie a superfie liberaCorrenti uniformi e stazionarie a superfie libera

Nei moti stazionari uniformi, la linea piezomatrica risulta parallela al fondo e coincide con la linea del pelo libero.

Il carico totale è

Poiché la portata Q, e quindi la velocità U, è costante si può ricavare che la linea dei carichi totali è parallela al fondo e alla linea piezometrica

g

UhH

2

2

cost fidx

dHj tanfi

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Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di ChezyCorrenti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di Chezy

Nel caso di moto uniforme si ricava che gli sforzi tangenziali al fondo possono essere espressi come

in cui è il raggio idraulico, oppure utilizzando il coefficiente di conduttanza C

E quindi la velocità risulta

o nella forma originale proposta da Chezy

fif igR 0

BRi /

2

2

0 C

Uf

fiigRCU

fiiRU

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Il coefficiente di conduttanza C , o il coefficiente di Chezy , dipende dalla distribuzione di velocità all’interno della sezione

Per esempio, per sezioni di forma regolare, a partire da un profilo logaritimico di velocità, Marchi (1961) ha ricavato

con • numero di Reynolds della corrente

• f coefficiente di forma

• scabrezza relativa

fRfR

CC

ie 3.13ln5.2

UR

R ie

4

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In condizioni di moto puramente turbolento, nella pratica professionale si usano le seguenti formule empiriche:

• Gauckler (1868)- Strickler (1923)

•Bazin (1865)

•Ganguillet e Kutter (1869)

6/1is Rk

i

B

R

1

87

i

k

R

m

1

100

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Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei

naturalinaturaliSpesso si deve affrontare lo studio di alvei in cui le sezioni trasversali hanno forma irregolare, costituite da porzioni caratterizzate da profondità e scabrezze diverse.Spesso si deve per esempio distinguere tra un letto di magra e aree golenali.

Un semplice approccio, in questi casi, è quello di suddividere la sezione in porzioni distinte caratterizzate da velocità medie diverse ma pendenza del fondo costante.Si noti che il raggio idraulico di ciascuna porzione è determinato dalla porzione di contorno solido in essa presente.Alle diverse porzioni si applicano le considerazioni sul moto uniforme, per esempio la portata complessiva si sommano i contributi delle singole porzioni.

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Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali

Lo studio delle correnti stazionarie a superficie libera, fondato sul modello 1-D, è finalizzato principalmente al tracciamento dei cosiddetti profili di rigurgito, cioè dell’andamento della superficie libera in tronchi quasi-cilindrici del corso d’acqua.

Si definisce carico specifico rispetto al fondo alveo

Nel caso di portata costante, esiste un tirante critico tale che l’energia sia minima, ovvero

Per determinarlo deve essere soddisfatta la relazione

2

22

22

g

QY

g

UYE

0cost

QdY

dE

g

Q

bYcY

23

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Nel caso di sezione rettangolare, l’altezza critica è

Nel caso di carico costante, si ha invece:

Si evince che esiste un massimo della portata in corrispondenza della profondità critica:

3/1

2

2

gb

QYc

YEg

Q 2

Eb

YcYY

c

2

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YEg

Q 2

2

2

2

g

QYE

Portata Energia

Portata

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Definita la velocità critica come

o in termini della profondità media Ym =/b

- U>Uc -> corrente veloce - U<Uc -> corrente lenta

cc YYYY

c b

gQU

cYYmc Yg

U

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Definito il numero di Froude come

Segue che a meno del coefficiente correttivo , si ha F>1 per le correnti veloci e F<1 per le correnti lente.

Si noti che assegnata la portata Q e le caratteristiche dell’alveo, a ogni pendenza del fondo if è associata una profondità di moto uniforme Yu e una profondità critica Yc..Esiste una pendenza critica tale che Yu e Yc coincidono.

Gli alvei con pendenza inferiore a quella critica vengono detti a debole pendenza o fluviali mentre quelli con pendenza maggiore di quella critica si dicono a forte pendenza o torrentizi. Le correnti uniformi sono veloci negli alvei a forte pendenza e lente negli alvei a debole pendenza.

Si noti che tale condizione dipende dalla portata assegnata.

mgY

UF



Profili stazionari in alvei cilindrici

Nel caso di alvei cilindrici e moto stazionario, le equazioni di continutià e del moto diventano

In particolare, per come è stato assunto il sistema di riferimento h=zf

+Y per cui l’equazione del moto diventa

con j pendenza dei carichi totali, nell’ipotesi che il moto sia una successione di moti uniformi per cui si può scrivere

i

f

gRg

Uh

dx

d

U

0

2

2

cost

jdx

dH

g

UYz

dx

df

2

2

iRgC

Uj

2

2



Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza costante

Nel caso di alvei cilindrici a pendenza costante l’equazione del moto diventa

Ovvero

che è l’equazione dei profili stazionari (di rigurgito) in alvei cilindrici.

jidx

dEf

dYdE

ji

dx

dY f




L’equazione

Presenta alcuni casi limite:

- se Y Yu allora j if e il profilo tende a disporsi parallelo al fondo;

- se Y Yc allora jdE/dY0 e il profilo tende a disporsi ortogonlae al fondo;

- se Y h allora j 0 e E Y (dE/dY1) e il profilo tende a un asintoto orizzontale.

dYdE

ji

dx

dY f

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Alvei a debole pendenza

D1

D2

D3

23




Alvei a forte pendenzaF1

F2

F3

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Alvei a pendenza critica

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Alvei orizzontali o acclivi

Non hanno profondità di moto uniforme: questa tende ad assumere valori infinitamente grandi al tendere di if a zero.

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Il risalto idraulico

Il passaggio da corrente veloce a corrente lenta avviene attraverso la formazione di un risalto idraulico.hydraulic jump

Fr > 1Fr < 1

Siano Yu, Uu, Yd e Ud i valori di profondità e velocità a monte e a valle del risalto rispettivamente.Si consideri l’equazione di bilancio della quantità di moto del volume

di controllo (assunto il fondo orizzontale).

control volume

QQ

HuHdYu Yd

U

F>1F<1

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Assunto il canale rettangolare, di larghezza B, il volume di controllo si assume abbastanza piccolo da trascurare gli effetti degli sforzi tangenziali al fondo. Il flusso della quantità di moto (spinta dinamica) e la spinta idrostatica possono essere espressi come

La conservazione del flusso di quantità di moto nel caso di moto permanente implica che

control volume

QQ

HuHdYu Yd

2

1 22 B ρgYSYBUS ID

0 SSSSvalleImonteIvalleDmonteD

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Da tale relazione si ricava

Poiché la portata è Q=UYB=qwB in cui qw è la portata per unità di larghezza.Indicando = Yd/Yu e Fu

2 = Uu2/(gYu) = qw

2/(gYu3), si può scrivere

Le cui uniche radici fisicamente basate sono =1 (stato critico non si realizza il risalto) e la relazione delle altezze coniugate del risalto idraulico

02

1

2

1 2222 BρgYBρgYBYUBYU dudduu

0)2)(1(2)21( 22223 uuu FFF

28112

1u

u

d FY

Y

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Considerando l’equazione di continuità qw=UY e il numero di Froude F = U2/(gY) = qw

2/(gY3), la relazione delle altezze coniugate può essere utilizzata per trovare le velocità (coniugate) a monte e a valle del risalto, nonchè i rispettivi numeri di Froude.

2/32811

2

1

u

u

d FF

F

28112

1u

u

d FY

Y

12811

2

1

u

u

d FU

U

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Fru

Hd/H

u, F

r d

Hd/HuFrd

Yd/Y

u, F d

FuIl risalto idraulico quindi induce un aumento della profondità e una diminuzione della velocità quando il moto da supercritico (Fu>1) diventa subcritico (Fu<1)

Yd/Yu

Fd

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Condizioni al contorno per il tracciamento dei profili

Il tracciamento dei profili di rigurgito richiede che all’equazione del moto vengano associate opportune condizioni al contorno. Poiché si tratta di un’equazione del I ordine, una sola condizione è sufficiente a determinare la soluzione.

Lo stato veloce di una corrente uniforme rende il profilo condizionabile solo da monte, mentre lo stato lento di una corrente rende il profilo condizionabile solo da valle.

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Soluzione numerica dell’equazione dei profili di rigurgito

L’equazione dei profili di rigurgito

può essere risolta nota una condizione al contorno a monte (correnti veloci) o a valle (correnti lente). Facendo riferimento a un sistema di riferimento orizzontale, si può usare la profondità h invece di quella locale Y. Inoltre notando che tutte le grandezze al secondo membro sono funzioni di x e h , l’equazione del profilo di rigurgito può essere scritta in generale come posssono essere

),( hxfdx

dh

dYdE

ji

dx

dY f

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Correnti stazionarie a superficie libera: il caso degli alvei naturaliCorrenti stazionarie a superficie libera: il caso degli alvei naturali

Soluzione numerica dell’equazione dei profili di rigurgito

La soluzione numerica è ricavata passo passo in ogni sezione a partire da un assegnato valore della quota della superficie libera (condizione al contorno). Gli schemi più utilizzati sono il metodo di Eulero e più frequentemente il metodo di Eulero-Cauchy (standard-step method).Nel caso subcritico l’integrazione procede da valle verso monte, dunque adottando lo schema di Eulero (metodo esplicito)

ovvero, secondo lo schema di Eulero-Cauchy (metodo implicito)

E’ importante porre correttamente le condizioni al contorno, al fine di avere la corretta e stabile integrazione del profilo. Attenzione: in alvei a forte pendenza la soluzione risulta fortemente condizionata dalla scelta di xn, che deve essere sufficientemente piccolo!

111 , nnnnn hxfxhh

111 ,,2

1 nnnnnnn hxfhxfxhh

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