Esercizi idraulica

7/27/2019 Esercizi idraulica

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Lezione del l1 Ottobre 2002

MANOMETRO SEMPLICE

a = 9806 N/m3

ah

d

AA

m

k= 8040 N/m3d = 2 m

Calcolare la differenza di quotadelle superfici libere dellacqua e

del kerosene.

dh =+

Dall equilibrio delle pressioni sul piano A A del menisco diseparazione, si deduce

dhp kaA ==

Quindi

mNm

Nmmdh

a

k 6,1][980680402

3

3==

=

da cui

mmmhd 4,06,12 ===


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MANOMETRO SEMPLICE

m

a

A

bhH

bA

AA

a = 9806 N/m3

m = 133300 N/m3

h = 5,6 cm

Di quanto varia h se lo

specchio libero dellacqua si

solleva di H = 1,5 m ?

Basta osservare che nella nuova configurazione il mercurio si sposterverso il ramo di destra, in modo che sia sempre verificata luguaglianzadella pressione nel mercurio alla stessa quota nei due bracci delmanometro, cio:

( ) ( bhbHH ma 2+=++ )

Dalla posizione di equilibrio iniziale immediato calcolare H:su A-A : hH ma =

mNm

NmmhH

a

m 76,0][9806

133300056.0

3

3

==

=

Perci:

su A A : ( ) ( bhbHH ma 2+=++ )

2314709256794

m

Nb

m

N=

mb 0572,0= e mbh 114,02 ==


3/98

MANOMETRO SEMPLICE

= 8825 N/m3m = 133300 N/m

3

h2

h1

z = z0

h1 = 18 mh2 = 13 m

Determinare le indicazioni del manometro semplice a

mercurio e n del manometro

metallico.

m

La pressione esercitata dal fluido sul piano orizzontale passante per ilmenisco inferiore del manometro semplice equilibrata da quellaesercitata nel ramo di destra dalla colonna di mercurio; ne segue:

= mh2

mNm

Nmmh

m

86,0][133300

882513

3

3

2 ==

=

Analogamente la pressione alla quota del baricentro del manometrometallico vale:

231158850][188825

mNm

mNhPn ===

bar1,588n =


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PIEZOMETRO

o = 7845N/m3

a = 9806N/m3

m = 133362N/m3

h3= 1m

h2= 1m

h1= 1m

mhp

= z0

mercurio

acqua

olio

ariahp = 1,2 m

Si determinino le quote

dei piani dei carichi

idrostatici dei tre liquidi

rispetto al riferimento z

=0 e si tracci ildiagramma delle

pressioni.

La pressione nellinterfaccia acqua mercurio vale:

( ) ( ) 233 2667212,1133362 mN

hhp pm ===

allinterfaccia olio acqua:

2232168661980626672

m

Nhpp a ===

allinterfaccia aria olio:

221902117845168661

m

Nhpp o ===

Le quote dei piani dei carichi idrostatici dei singoli fluidi si ottengono

dividendo i valori delle pressioni alle interfacce per i rispettivi pesispecifici.


5/98

Con riferimento alla quotaz= 0 risulta:

mhp

h

m

m 2,11

133362

266723

3 =+=+

=

mhhp

ha

a 72,3119806

1686623

2 =++=++

=

mhhhp

h

o

o 15,41117845

9021123

1 =+++=+++

=

hm

ha

hO


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MANOMETRO DIFFERENZIALE

p.c.i.2

p.c.i.1

hB

hA

B

A m

21

1= 9806 N/m3

Determinare la posizione del piano dei

carichi idrostatici del liquido di peso

specifico 2 e tracciare i diagrammi dellepressioni.

2= 7845 N/m3

m= 133362 N/m

3

hA = 2 m = 0,01 m

Conoscendo hA si pu calcolare la pressione in A:

23119612][29806

m

Nm

m

Nhp AA ===

e la pressione in B:

218278

m

Npp mAB == che anche pari a BB hp 2=

e quindi: mp

BB 33,22 ==h


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il dislivello del piano dei carichi idrostatici 2 rispetto al piano dei carichiidrostatici 1, vale:

mhh AB 34,0=+=

hB

hA

B

A m

21


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SPINTE IDROSTATICHE SU SUPERFICI PIANE

a = 9800 N/m3

o = 7840 N/m3

Cpatm

A

BX

h1

h2

oa

h1 = 3 mh2 = 1,5 m

l= 2 mDeterminare la forza X

orizzontale da applicare in

B per assicurare

lequilibrio alla ventola AB

(incernierata in A) nellaposizione verticale.

Il modulo della spinta esercitata dallacqua sulla ventola equivale alprodotto della pressione nel baricentro della ventola per la sua superficie:

( ) ( ) NmmmNAhS

aGaa 66150][5,1275,039800 23 ===

Analogamente si trova la spinta esercitata dallolio sulla ventola:

( ) Nmm

m

NAhS

oGoo 17640][5,1275,07840

23

===

oa SS > quindi la risultante avr il verso di aS


9/98

Calcolo dei punti di applicazione delle due spinte:

( )m

hCALh

Lh

hhs

66,075,05,15,12

125,1275,0

2

1222

3

22

32

221

=+

=

=

+

==

Nel secondo caso, essendo perfettamente triangolare la distribuzione dellepressioni, immediato il calcolo del punto di applicazione della spinta dalfondo:

mhs 5,032

2 ==

Sa

h2/3

So

s1

h2/2

h2/2

La forza incognita si trova dunque annullando i momenti delle due spinte

e della forza incognita stessa rispetto la cerniera A:

( ) ( )

NX

mNXmNmN

hXshSshS oa

25284

0][5,1][117640][84,066150

022212

=

=

=


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Segue: AGGIORNAMENTO CON APPUNTI DI LEZIONE relativoallo stesso esercizio, per la determinazione del centro di spinta.

AhSG

=

ao

h2

h1

patm

ahG ohG

hG

hG

h2/2

G

Disegno di riferimento per

valutare il valore della pressione

in corrispondenza del baricentro

G della ventola.

M

I= 0==

M

Ixy

SISTEMA acqua - paratoia

d1

h2/2

o

h1/2

x0

Piano dei carichi

idrostatici (olio)

xC

G

Linea di sponda

y

Piano dei carichi

idrostatici (acqua)


11/98

per il teorema del trasporto del momento dinerzia ( teorema di Huygens) :

2

00AxII +=

12

3

2

0

LhI =

2

21

2

2

0 22

+=

hhLhAx

oAxM=

mhh

hhLh

Lh

xM

I

M

Io

33,222

22

12 21

21

2

3

2

0 =

++

+

=+==

mh

d 84,05,133,22

1

1===

SISTEMA olio - paratoiad2

Linea di sponday

x0Piano dei carichi

idrostatici olio

x

C

G

+==+=212

2

2

3

22

00

hLh

LhAxII

2

2

2

3

2

' 1

22

12 dmh

hLh

Lh

x

M

I

M

Io

==+

=+==


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NX

mNXmNmN

hXdSdSoa

25284

0][5,1][117640][84,066150

0221

=

=

=


13/98

SPINTE IDROSTATICHE EQUILIBRIO RELATIVO

a = 1 mb = 0,25 mD1 = 0,2 mD2 = 0,8 m

e = 1 m = 9806 N/m3|F| = 1000 N

ba

P

G

C1 C2

E e

D1

Ammessi trascurabili i pesi propri dei pistoni Ee G e della leva AB e laderenza dei pistoni,

determinare la forza P che deve essere

applicata al pistone G affinch il sistema sia in

condizioni di equilibrio.

(I cilindri C1 e C2 contengono entrambi acqua)

D2

BAD

F

La forza F agente nel punto B della leva ADB vale in modulo

0' =+ bFFa

Nb

aFF 4000

25,0

11000' ===

la pressione in corrispondenza del pistone E nel cilindro C1 vale:


14/98

( )Pa

D

F

A

Fp

EE 127324

2,0

40004

4

''22

1

=

=

==

in corrispondenza al pistone G la pressione pari a:

Pamm

NPahpp EG 11751819806127324 3 ===

Moltiplicandola per larea AG d il modulo della spinta sul pistone G equindi anche quello della forza P che deve essere applicata a G perch il

sistema sia in equilibrio:

NmD

m

NpApP GGG 590714

8,0117518][

4][

22

22

2====


15/98

d1 = 3.00 m

d2 = 5.50 mb = 2.50 m = largh = 60 gradi = 1000 kg/mc

Determinare la forza

superficie della lastspinta.

d2

d1dG

O

1

2

F = pGA = a

a = =d2-d1sin()

5.500

G

F

O

xF

xG

dF

Lezione del 8 ottobre 2002


16/98

=

A = a * b = 2.91 * 2.50 = 7.28 mq

pG= * g * dG = * dG con dG = d2 + d12 4.25 m

Indicando con x la coordinata di un punto della superficie A

alla retta intersezione tra il piano del pelo libero ed il pianocontiene la superficie, la distanza del punto di applicazioneda tale retta :

G

G2G

F

x*A

MIx*A

MS

MIx

+== con 4

0.86

m25.4

)sin(

dx GG ===

pG = 9806 N/mc * 4.25 m = 41675.5 N/mq

F = pG * A = 41675.5 N/mq * 7.28 mq = 303397.6 N


17/98

mmm

mm

xx*a*b

a*bx

x*A

MIxx

G

G

3

G

G

G

GF

14.094.494.4*12

)91.2(94.4

12/

2

=+=+=

+=+=+=

La profondit dal pelo libero del punto di applicazi

m37.40.86*5.08m)sin(xd FF ===


18/98

hG

h

x

y

G

Y = x2

Dati la geometria del sistemdi h e : determinare il della spinta sulla superfic

verticale piana e il centro di

( ) hhydyyAA

hh

bagnataarea 3

4

3

22

0

2

3

0

2

1

====

hhG

5

2=

hS =

Il centro di spinta si trova sullasse della parabola affondato sotto la supdistanza:

h

hh

hh

Ah

hh

MI

G74

15

8105

32

105

32

2

33

====


19/98

IDROSTATICA

SPINTE SU SUPERFICI GOBBE


20/98

IDROSTATICA


21/98

IDROSTATICA


22/98

R

Piano dei carichi idrostatici

Data la geome

valori di espinta del liqu

della semisfera

della semisf

sullintera supe

- calcolo della spinta Sasulla superficie della semisfera superiore

Per il teorema globale dellequilibrio isolando il volume di liquido conte

01 =++ aFFP

3

34

21

R=P Peso del volume di liquido isolato verticale verso il bass

RR 2=1

F Spinta esercitata SUL liquido dalla superficie ideale del cerchvolume verticale verso lalto

aaSFPF =+= 1da cui

aF Spinta esercitata SUL liquido dalla superficie della semisfera

333

31

64

RRRFSaa

=+== verticale verso lal


23/98

- calcolo della spinta Sbsulla superficie della semisfera superiore

Per il teorema globale dellequilibrio isolando il volume di liquido contenuto n

01 =++ bFFP bb SFPF =+= 1da cui3

34

21

R=P Peso del volume di liquido isolato verticale verso il basso

RR 2=1

F Spinta esercitata SUL liquido dalla superficie ideale del cerchichiusura del volume verticale verso il basso

bF Spinta esercitata SUL liquido dalla superficie della semisfera

333

3

5

6

4RRRFS

bb =+==

- calcolo della spinta S sullintera superficie sferica

La spinta uguale al peso del liquido contenuto nella sfera, cio:

3

3

4RS = ovviamente pari alla risultante delle precedenti aSS +=

verticale verso il basso


24/98

D

h

Data la geom

valori di , hmodulo S

semisfera (fo

cilindrico).

Come tutti i problemi riguardanti le spquesto esercizio pu essere risolto sia globale dellequilibrio, sia calcolancomponente verticale e quella orizzontale d

1) calcolo della spinta applicando la regola delle 2 componenti: si os

orizzontale della superficie del cerchio massimo , in questo caso ncomponente orizzontale della spinta. Quanto alla componente verticale, sidel volume di liquido costruito portando delle generatrici verticali dal cfino al piano dei carichi idrostatici relativi:

+==

83

4

2

1

4

32 Dh

DVS


25/98

2) calcolo della spinta applicando lequazione g lobale di equ ilibrio statico al semisfera e il suo piano diametrale principale:

01 =++ OG G =+= 103

23

2

=D

G Peso del volume liquido contenuto nella semisfera

4

2

1

Dh=

Spinta esercitata SUL liquido da lla superficie ideale d

chiusura del volume (da vedersi come la spinta del liqu

piano diametrale prin cipale ) rivolta verso il basso

+=+=

83

4

2

1

4

32

1

DDhGS

0 Spinta esercitata SUL liquido dalla superficie della semlalto


26/98

BA Chz

x

OG

Spinta idrostatica su una superficie cilindrica

R

R

o

G

Si vuole determina

parete convessa v

Simmagina di aggiungere una parete piana verticale CB pasparete curva e di riempire dacqua il nuovo spazio ABC. sottoposta a pressioni uguali e contrarie sulle due facce percalcuna pressione. La spinta cercata dunque di uguale intdi verso opposto, alla spinta esercitata dal volume liquidocurvaAB. Indicando con o la spinta esercitata dal liquido su

con G il peso del volume liquido ABC, per lequilibrio del aversi

0=+ Go Go +=


27/98

a

a

Ro

La paratoia a settore di rarotazione orizzontale perrettangolare di altezza a su cdi acqua a.

Determinare la spinta eserc

un metro lineare di paratoia.

1) metodo delle componenti verticali e orizzontali

a

a 2.sup. 23

2aa

aaAhS

proiettataGproiezo=

+==

( )

+==

28cos1

22 aRaRVS

totratteggiav

== 45cos Ra

22

voSSS +=

la risultante dovr passare per il centro del cerchio O e ha inclinazione ripari a:

vSStg 0=

R

S


28/98

a

a2) calcolo della spinta mediante il teorema globale dellequilibrio

01 =++ OG 1+=+= GS O

=

28

2 bhRG

/22

2cos2

3

22

21

=

+= RsenRRsen

aa

)5.67(11 seno = )5.67cos(11 = v

ooS 1= vv GS 1+=

22

voSSS +=


29/98

0,3 mKm1

1=0,05 m

1,0 m

0,8 m0,5 m2

3

SBC

SAB

1

2

m2 A

B

C

H P

1 = 9806 N 2 = 11767 Nm1 = 13336

m2 = 7845 N1=0,05 mL = 3 m

Determinare:

a) Posizioni dei carich

b) Indicazione 2 del

c) Posizione del carico

d) Spinta sulla parete

a) Indicando con 1 la quota del piano dei carichi idrostatici del lorizzontale di riferimento passante per P ho che la pressione allvale:

PP = -1*m1 = 1*1

da cui

1= -0,68 m

Lezione del 15 ottobre 2002


30/98

Pm = - 1*(1 0,3) = 2*2

da cui

2= -0,32 m

b) La pressione in H :

PH = PM1 * 0,5 = PKm2*2 = PM2*(0,5 - 2)

da cui

2 = 0,25 m

Conoscendo la pressione nel punto K dalla relazione precedente,dei carichi idrostatici del liquido m2 si calcola con la relazione:

m2*3 = PK

da cui

3 = - 0,85 m


31/98

c) La spinta SAB sulla parete AB vale in modulo:

SAB = 1* (1 0,3 + ) * 0,8 * L = 18357 N

ed diretta dallesterno verso linterno essendo il liquido a contattpressione relativa negativa.

La spinta SBC sulla parete BC pari in modulo a :

SBC = 2 ( - 2 ) * 1 * L = 6354 N

diretta verso lesterno.La spinta totale, diretta verso linterno vale dunque:

SABC = 12003 N

2

8,0

2

1


32/98

m1

1,0 m

0,8 m0,5 m2

3

SBC

SAB

1

2

m2A

B

C

H P

Diagramma delle pressioni


33/98

BLOCCO DI

CALCESTRUZZO

aD

D = 0,80 mL = 2 mP = 2650 N

a = 9806 N m-3c = 24515 N m-3Determinare:

a) Peso del blocper mantenerposizione imm

Spinta del fluido sul cilindro: S = a* ( (*D2) / 4) * L =

La risultante delle spinte verso lalto e vale: S = S P =


34/98

Dallequilibrio delle forze e dallannullarsi del momento angol

centro del cilindro ho che la tensione della fune pa

T = S / 2 = 3604 N

Per lequilibrio deve essere:

PC=CWC = T + a*WC

da cui

WC = 0,245 m3

PC = 6007 N


35/98

H

Z

2

1

P

Luce in parete sottile

Dati: H , D = DiametroP = Peso che grav

colpita dal getto

Determinare:a) la posizione Z di eq

Dimostrare:a) la stabilit dellequ

traslazioni verticali

= Area della luce = * (D2/4)

La velocit torricelliana del getto alluscita dalla luce sar

V = radq(2 * g * H)


36/98

La velocit reale (V1) :

V1 = cv * V con cv che vale 0,98

Siccome per la luce in parete sottile si ha che cc = 0,64 ho che la

Q = cc * cv * * radq (2 * g * H)

La forza (F) del getto sulla superficie inferiore di P v

F = * 2 * V22

dove le grandezze in gioco si riferiscono alla sezion

Per lequilibrio tale forza dovr uguagliare P e da tale relazionecalcolare V2. Infatti essendo:

2 = Q / V2 ho che la relazione P = * 2 * V22pu esse

P = * Q * V2 dalla quale si trae V2 = P / * Q


37/98

Lequazione di Bernoulli tra la sezione 1 e la sezione

z1 + p1/ + V12/2g = z2 + p2/ + V2

2/2g

Essendo z1 = 0 perch sul piano di riferimento ed entrambe le sezatmosferica lequazione sopra scritta diviene:

V12/2g = z2 + V2

2/2g dalla quale si trae z2 che laltezza richie

z2 = V12/2g - V2

2/2g

In tale posizione lequilibrio stabile alle traslazioni verticali. Ied avendo:

P = * Q * V2 = spinta del getto

deduco che la spinta varia con z perch con z vari

Con Bernoulli dal pelo libero del serbatoio fino alla sezione 2, trasc

H = z + V22/2g V2 = radq(2 * g * (H - z) ) F = *


38/98

H

c

Dati: , A = Area

, H

Determinare:a) Portata iniz

b) Tempo di sserbatoio

Q = m * * radq (2 * g * H) con m = cc * cv

Il tempo di svuotamento si ricava ossaervando che la diminuquota del pelo libero H rispetto alla luce in un tempo dt dat

-dH = (Q / A) * dt

per cui sar

-dH = (m * * radq (2 * g * H) / A) * dt


39/98

La quantit

K = (m * * radq(2*g) / A)

risulta essere costante, per cui si pu scrivere, separando le

-dH/radq(H) = K * dt

Integrando si ottiene

-2 * radq(H) = K * t + cost

Per valutare il valore della costante utilizzo le condizioni

H = H0 per t = 0H = 0 per t = T = Tempo di

Da questo si ricava

cost = -2 * radq(H0) per cui h

T = 2 * (radq(H0) / K)


40/98

Lezione 22 ottobre 2002

Esercizio 1

Un tubo di Pitot viene immerso in un fluido che scorre convelocit v. Se tale fluido aria e il liquido monometrico contenutonel tubo acqua, determinare le velocit del fluido quando ladifferenza di altezza del liquido monometrico h = 0,65 cm.

Applicando lequazione di Bernoulli ai punti a e b, dove b sisuppone sia il punto di arresto del fluido e la sua densit :

40


41/98

ba

PvP =+ 2

2

1

Del resto se h la differenza di altezza del liquido nei 2 rami delmanometro e la sua densit, possiamo scrivere:

baPghP =+ '

confrontando le 2 equazioni, si ricava per la velocit dellarialespressione:

='2gh

v

per =1.29 kg/m3

smv /31,0=

41


42/98

Esercizio2

Uno scultore deverealizzare un balenotteroda porre al centro di unafontana. Nel corpo dellastatua verr immesso untubo di sezioneA nel qualeconfluir lacqua allavelocit v.

Sapendo che lacqua che fuoriuscir dalla bocca del balenottero

dovr raggiungere un punto della fontana distante d e adunaltezza di h al di sotto della bocca stessa, che diametro D

dovr dare a questa lo scultore?

Usando le equazioni della meccanica classica,

tvd '=

2

21gth =

si deduce che la velocit v, che deve avere il fluido alluscitadella bocca del balenottero per raggiungere il punto dovuto, deveessere

h

gdv

2'=

42


43/98

ora, applicando lequazione di continuit,

AvvA =''

si ricava la nuova sezione A in funzione di A, v, v

g

h

d

AvA

2'=

Da cui :

=

'4AD

43


44/98

Esercizio 3

In un recipiente riempito dacqua fino ad unaltezza H, viene

praticato un foro a unaltezza al di sotto della superficie libera

che permette al fiotto dacqua uscente di raggiungere la distanza

massima.

h

Trovare lespressione di questa distanza in funzione di H.

Per il teorema di Torricelli, lacqua che esce dal foro ha velocit:

ghv 2=

dove h laltezza del foro al di sotto della superficie libera.Sostituendo questespressione della velocit nel sistema

=

=

2

2

1gthH

vtd

ed eliminando la variabile temporale, si ottiene per la distanzalespressione:

44


45/98

( )hHhd = 2

la distanza massima quando il valore del radicando massimo; il

radicando, a sua volta, fissata H, massimo per

Hh2

1=

come si ottiene derivando il radicando in funzione di h e ponendola derivata uguale a zero.

Sostituendo questo valore dentro lespressione di d, si ottiene ilrelativo valore massimo:

Hd =max

.

45


46/98

Esercizio 4Determinare la portata fluente

attraverso il venturimetro, noto il dislivello del manometro differenziale a mercurio,ammettendo nulle le perdite fra le sezioni 1 e2, e uniforme la distribuzione della velocitnelle due sezioni.

m

d

D

Q

2

1Siano noti: D, , , m, d

Il manometro differenziale fornisce la differenza fra le quotepiezometriche delle sezioni 1 e 2

==

+

+ mp

zp

z 22

1

1

data la costanza del trinomio di Bernoulli, risulta quindi:

g

vvpz

pz

2

2

1

2

22

2

1

1

=

+

+=

essendo per la continuit Q = v1A1 = v2A2

la precedente si pu scrivere:

46


47/98

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

11

2 AA

AA

g

Q

AAg

Q =

=

e quindi

2

2

2

1

212AA

AAgQ

=

47


48/98

Esercizio 5

d

H

Calcolare la portata, la pressione e la potenza necessarie peralimentare un getto dacqua di diametro iniziale d, che si elevaverticalmente ad unaltezza H. Trascurare sia le perdite di cariconel getto e nel condotto, che la velocit dellacqua nel condotto diadduzione, e considerare rettilinei e paralleli i filetti nella sezioneiniziale del getto ( quindi pressione nulla in tutta la sezione).Dati: deH

Assunto come piano z = 0 quello passante per la sezione inizialedel getto, lapplicazione del teorema di Bernoulli fra la sezioneiniziale e la sommit del getto fornisce:

( )1Hg

v==

2

2

1

dal momento che alla quota H la velocit nulla e i filetti,separandosi, sono tutti alla pressione atmosferica.

48


49/98

Risulta quindi:

11 42 v

dQgHv

2

==

per trovare la pressione si applica il teorema di Bernoulli fra unasezione generica del condotto e la sezione iniziale del getto,ammettendo che esse si trovino alla stessa quota zero.

Con le ipotesi poste si ha:

g

vp

2

2

1=

cio Hp=

da cui Hp =

Per calcolare la potenza basta ricordare che

QHP =

49


50/98

Esercizio 6

Data la geometria, individuare aquale distanza h dal foro il gettoeffluente avr il diametro dassegnato. Considerare il liquidoperfetto e incomprimibile.

h

D

d

c

H

Dati :H,D e d.

Supponiamo che la sezione contratta si trovi allincirca alla

distanza di 0,5 D dal foro.In questa sezione la velocit :

( )DHgUc

5,02 +=

e larea

4

2Dc

cc= con Cc = 0,64 circa

quindi la portata Q:

( )DHgD

CUQccc

5,02

4

2

+==

50


51/98

essendo il liquido incomprimibile, la portata in volume costantein tutte le sezioni, quindi in quella con diametro d sar:

( )hHgdQ += 24

2

eguagliando le due espressioni di Q si ottiene:

( ) HDH

d

Dch

c+

= 5,04

2

51


52/98

Esercizio 7

Pa/2a

11

h

Data la geometria del sistema, noti gli affondamenti h eHrispettoalla luce libera e nota larea della luce, calcolare il peso Paffinch il sistema sia in equilibrio.

Lequilibrio della bilancia permette di scrivere

P = 2F con F : spinta esercitata dal getto che effluisce dalla luce

Applicando il teorema globale dellequilibrio dinamico al volumecompreso tra le sezioni 1-1 e 2-2 si ha:

021=+++ MMIFG

c

Analizzando le forze si avr:

1MF

c=

quindi

52


53/98

11QUMFF

c===

essendo ghm 2=Q e gH21=U si ha

gHghmP 222 =

53


54/98

Esercizio 8

Si deve costruire una paratoia cheassicuri il contenimento di una dataportata dacqua allinterno di un canalecon altezza pari a:H .La struttura sar realizzata con due settiverticali .Determinare quale altezza devono

presentare tali setti affinch la spinta idrostatica agente su di essisia identica. Ipotizzando una profondit unitaria .

H

H

S2

S1

H - x

x

xx

S21

= ( )xHxH

HS

=

22

21SS =

2

2HX= e ( )

2

2HHxH =

54


55/98

Esercizio 9

Calcolare la pressione

necessaria a valledella pompa perassicurare la velocitin uscita vj. Calcolarela potenza installata seil rendimento dellapompa del 70%.

( si trascurino in questa fase di programma, le perdite di caricolungo la condottaJL).

][2

1202

mJLg

vmHHH

j

MVp

++==

Vj /2g

Hp

JL

]/[ 2mNHpp

=

][1000kWQHP p

= oppure ][WQHP p

= con = 0,7

55


56/98

Esercizio 10

z=0

z2

z1

2

1Du

h

b

a

P

zattera

una pompa fissata a una zattera

deve produrre un getto che

raggiunga una quota h sopra lasezione terminale del boccaglio

di uscita ad asse verticale.

Ammesse trascurabili tutte le

perdite di carico, determinare la

portata Q e la potenza P dellapompa avente un rendimento del

75%. Dati: h, a ,b, Du.

applicando il teorema di Bernoulli fra la sezione di uscita delboccaglio e il punto dove il getto comincia a ricadere ( e quindi

lacqua ha velocit nulla), si ottiene:

g

vpz

g

vpz

22

2

22

2

2

11

1+

+=+

+

g

vzzh

2

2

1

12==

ghv 21=

Nota v1 si ottiene la portata:

4

2

111

DvAvQ

==

56


57/98

ammesse trascurabili le perdite di carico nelle condotte di

aspirazione e di mandata, la prevalenza della pompa pari a:

bahHp ++=

e quindi la potenza installata :

].[1000

kWQH

Pp

=

57


58/98

Esercizio 11

Determinare la portata Q e lapotenza P sullasse della turbina,trascurando le perdite di caricolungo il diffusore. La turbina ha unrendimento dell80%. Valutareinoltre la spinta sul diffusore.

Z= 0

M

3

T

D1

M

3

2 2

n

h

z3

z2

D2

D3

Dati : D1, D2, D3, z2, h, n,, , m.

Per trovare la portata sufficiente applicare il teorema diBernoulli fra la sezione di uscita della turbine (2-2) e la sezione disbocco nel serbatoio (3-3):

g

vpz

g

vpz

22

2

33

3

2

22

2+

+=+

+

ma:

==

+

+g

v

g

vpz

pz

22

2

3

2

22

2

3

3

e

=m

58


59/98

ed essendo

tAvAvQ cos3322===

2

3

2

22

1

2

1

gAgA

Q

=

il salto disponibile H risulta:

+

+

+

+==

g

vpz

g

vpzHHH VV

V

MM

MVM 22

22

con

2

1

25

2

10

gA

QnzH

MM+

+=

2

2

2

2gA

QH

V+=

e quindi

][1000

kWHQ

P

=

59


60/98

la spinta Si sulla parete interna del diffusore viene determinataapplicando il teorema globale dellequilibrio dinamico al volumeliquido compreso fra le sezioni 2-2 e 3-3; si ricava:

3232MMGS

i+++=

dove tutte le forze sono verticali e valgono:

222Ap

WG

=

=

333Ap=

22QVM =

33QVM =

La spinta Se esercitata dal liquido in quiete del serbatoio sullasuperficie esterna del diffusore diretta verticalmente verso ilbasso e ha modulo pari al peso G del volume liquido compresofra la parete esterna del diffusore e la superficie libera delserbatoio. In definitiva la spinta totale sul diffusore pari a:

eiSSS +=

60


61/98

LEZIONE DEL 4 NOVEMBRE 2002

ESERCIZIO 1

Calcolare la portata effluente allaria, in moto permanente, dalla

condotta AB, a imbocco raccordato, alimentata da un serbatoio alivello costante.

Dati: L, D, z1, z2, c (Gaukler Strickler)

Applicando lequazione di Bernoulli tra la sezione iniziale e finaledel condotto si ha:

iLg

Vzz ++=

2

2

21

supponendo il moto turbolento e quindi pu esseretrascurato.

1

Nel caso in esame non esistono perdite concentrate, perchnellimbocco raccordato esse si considerano nulle. Per esprimere

61


62/98

la pendenza motrice i, essendo noto il coefficiente di Gaukler .Strickler, si user la formula di Chezy:

iU = dove il raggio idraulico che per condotticircolari vale D/4.

Il bilancio energetico si scrive quindi:

( ) ( )g

UL

DDc

U

g

UL

Uzz

24/4/

2

2

6

22

22

2

2

21+=+

=

essendo, per un liquido incomprimibile, UQ =

( ) ( ) ( )22

2

223

42

2

214/24/4/ Dg

QL

DDc

Qzz

+

=

quindi:

( ) gDc

L

zzDQ

2

1

4/

4

3

42

21

2

+

=

ESERCIZIO 2

62


63/98

Determinare lindice di scabrezza m di Kutter di una tubazione,note la portata fluente Q e lindicazione di un manometrodifferenziale a mercurio collegato come in figura.Dati: D, Q, l, , m,

Il manometro differenziale fornisce la differenza di quotapiezometrica agli estremi del tronco di lunghezza l, ossia:

= mil da cui

= ml

i

la velocit vale

4/2D

QU

=

dalla relazione i=U si ricava

iU

=

63


64/98

di conseguenza m si calcola dallespressione:

+

=+=

mm 1100100

i valori medi sperimentali di m risultano:

0,15 0,17 per tubi in ghisa nuovi0,275 per tubi in ghisa usati0,45 per tubi in ghisa con incrostazioni

ESERCIZIO 3

64


65/98

Determinare la portata fluente dal serbatoio A al serbatoio B,collegati mediante due tronchi di tubazione di ghisa,rispettivamente di diametri D1 e D2, lunghezze L1 e L2 e scabrezze1 e 2, noto il dislivello y.

Il bilancio energetico tra i due serbatoi A e B si scrive:

g

ULi

g

ULi

g

Uy

222

2

2

22

2

2

11

2

1

1++++=

essendo:

2

1

1

4

D

QU

=

2

2

2

4

D

Q

=U

5,01 perdita di imbocco

65


66/98

2

2

1

2

2

2

1

2 11

=

=D

Dperdita localizzata per il brusco allargamento

5

1

2

11D

Qi = ; 5

2

2

22D

Q=i (espressione di Darcy)

eseguite le debite sostituzioni si ottiene una equazione in Q2 di

semplice soluzione (si considera la radice positiva, perch unaportata negativa in questo caso non fisicamente possibile).

ESERCIZIO 4

66


67/98

La condotta di diametro D, scabrezza (di Bazin) e lunghezza L, collegata ai due serbatoi alle sue estremit. Noto il dislivello y frale superfici libere dei due serbatoi, calcolare la portata che fluisce

dalluno allaltro e dedurre lindicazione di un manometrodifferenziale a mercurio inserito nella condotta con le presedistanti l.

Dati: D, L, , y, l

La perdita di imbocco assimilabile in questo caso ad un tubo di

Borda e vale quindi lintero termine cinetico.

Il bilancio energetico risulta:

LU

g

U

g

UiL

g

Uy

+=++=

2

222

22

dove

67


68/98

+=

/1

87e

4

D=

da questa equazione si ricava U e quindi Q = U

il manometro differenziale fornisce la differenza di quotapiezometrica fra le due sezioni cui collegato; in questo caso valequindi il.

Si ha allora:

=m

il da cui si ricava .

68


69/98

ESERCIZIO 5

Calcolare il diametro teorico occorrente perch un tubo di ghisanuovo (coefficiente di Strickler c=90 m1/3 s-1), di lunghezza L, adimbocco raccordato, convogli una portata Q fra due serbatoi tra iquali esiste una differenza di carico costante H.Dati: L, Q, H,

Il bilancio energetico si scrive:

g

UiLH

2

2

+=

dove

=

2

2

U

i

6

1

= c

69


70/98

4

D=

per cui

433,542

22

3

1242

3

122

2

4444

D

B

D

A

Dg

QL

DDcD

QH +=+=

equazione risolvibile numericamente rispettoD.

70


71/98

ESERCIZIO 6

La condotta AB di diametro D, lunghezza L e scabrezza m diKutter, alimentata dal serbatoio S, termina con una valvola

regolabile, la cui luce pu assumere tutti i valori 4

2D

= con, posta H metri al di sotto della superficie libera del

serbatoio.

10


72/98

la potenza del getto vale

BQHW =

in cui, essendo z = 0, 0=p

( ) =

=

22

2

2

2

2 LQ

Hg

QH

B

il massimo di W:

03 222

=

= QL

HdQ

dW

da cui

HLQ

3

122

2

=

quindi la portata che rende massima la potenza :

L

HQ

3* =

introdotto questo valore nellequazione di bilancio iniziale si trovail valore di richiesto.

72


73/98

ESERCIZIO 7

Due serbatoi sono collegati mediante una tubazione liscia dilunghezza L e diametro D, in cui inserita una pompa.Trascurando eventuali perdite localizzate, determinare la potenzadella pompa ( rendimento ) per sollevare una portata Q di nafta.Dati: L, D, y, Q, ,,

La pompa deve fornire una prevalenza H pari al dislivello fra i

due serbatoi aumentato delle perdite e del carico cinetico:

g

UiLyH

2

2

++=

dove2

4

D

Q

A

QU

==

73


74/98

essendo noto si pu calcolare il numero di Reynolds e verificareche :

510Re2000


75/98

ESERCIZIO 8

H1L2L1 H2

H1 = 55 m

H2 = 40 mL1 = 10 mL2 = 2.500 mD = 0,25 mC = 100 m1/3s-1

curva caratteristica della pompa 212540 QHp

=Calcolare la portata elaborata CON e SENZA pompa.

SENZA POMPA

2

2

2

2211

2

1

1225,0 Hg

VLiLig

VH =

VVV =21

e VA Q=

( ) 22133,52

2

42

2

21

29,1085,1 KQLL

Dc

Q

Dg

QHHH =++==

75


76/98

( ) ( ) ( ) ( )slsm

k

HQ

/5,59/0595,025,0100

29,102510

25,014,381,9

85,115

3

33,5242

==

=

+

=

=

CON POMPA

2

2

2

2211

2

1

122

5,0 Hg

VLiHLi

g

VH

p=+

2kQHHp

+=

( ) ( ) ( ) ( )727,4210

25,0100251029,10

25,014,381,985,1 33,5242 =+ =

K

2727,421415 QHp

+= curva di impianto

212540 QHp = curva caratteristica della pompa

dal sistema si trova Q = 0,1127 m3/s = 112,7 l/s

76


77/98

-15

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15

Q

H

77


78/98

z

H1

H2

Lezione del 12 Novembre

Dati: H1= 100 m ; H2 = 30 m ; L = 3000 m ; D = 0,250 m

Determinare : Portata passante e disegnare le linee dei carichipiezometrico ed effettivo.

Lequazione dellimpianto :

2

25,3322

2

2

2

2

2

Q*kH2-H1

H2Q*D*c L*29,10**2 Q*1,5-H1

H2**2

Q-L*i

**2

Q*0,5-H1

=

=

=

g

gg

78


79/98

dove c il coefficiente che compare nella formula di Gauckler-Strickler:

61

R*cC =

Essendo il tubo in acciaio saldato si adotter il valore c = 90

Risulta quindi:

k = 1,558 + 6166,395 = 6168

sec/17,2Q

U:risultavelocitLa

sec/5,106k

HQ:portataLa

m

l

=

=

=

=

metri70,00H

24,0

*2

U

metri69,64L*i

12,0*2

U*0,5

:ripartitacosmetri70HacomplessivperditalacherisultaNe

2

2

=

=

=

=

=

metri

g

metrig

Ci che ne risulta che le perdite concentrate sono lo 0,5 % delleperdite totali e quindi, per condotte molto lunghe consuetudinetenere conto delle sole perdite distribuite.

79


80/98

P1 P2

z1z2

Saracinesca

Dati:Serbatoio 1: z1 = 40,00 m

Pressione relativa del gas = 10 barCondotta 1: L1 = 12,00 m

D = 1000 mmmateriale = acciaio

Condotta 2 : L2 = 15,00 mD = 1000 mmmateriale = acciaio

Serbatoio 2 : z2 = 38,00 m

Pressione relativa del gas = 2,5 bar

Determinare: Portata passante e disegnare le linee dei carichi effettivinelle seguenti condizioni della saracinesca:

10,50,1

= = =

80


81/98

Il carico effettivo nel serbatoio 1 sar :

m5,167806,9*800

100000000,40g*

pz1H1 1 =+=+=

Analogamente nel serbatoio 2 sar:

m87,699,806*800

25000000,38

g*

pz2H2 2 =+=+=

La curva caratteristica dellimpianto sar:

90cacciaiol'perassuntoavendo

1582,0

**2

1

D*c

L2)L1(*29,10

*g*2

0,5k

25,3322

=

=

++

+

=

g

I Caso: = 1

Essendo H = 167,5 69,87 = 97,63 m ho che la portata vale:

m/sec31,6U

:risultavelocitLa

sec/84,24k

HQ

=

=

= mc

81


82/98

Per disegnare la linea dei arichi effettivi si calcolano le singole perdite:

97,63mHovviamentedannosommateche

98,50*2

U

11,75mL2*

40,91L*

49,25*2

U*5,0

2

2

=

=

=

=

=

mg

i

mi

mg

II Caso: = 0,5

La perdita di carico prodotta dalla saracinesca con grado di chiusuradiverso da 1 una perdita di carico concentrata dovuta al bruscoallargamento di sezione tra larea lasciata libera dalla saracinesca e latubazione successiva. Tale perdita di carico pu esprimersi:

piena.sezionelaedridottasezionelaessendo

1cong*2

U*H

21

2

1

22

==

Siccome (grado di chiusura della saracinesca) il rapporto tralarea lasciata libera dalla saracinesca stessa e larea di apertura totale,ho :

1risulta0,5divaloreilPer

11

2

==

=

82


83/98

25,63m/secU

:risultavelocitLa

mc/sec20,14Q

:casoquestoinsarportataLa

0,2408k

:cuiper*g*2

1

:apariun terminevaloreprecedentealsommandootterrsikdivalorenuovoIl

2

=

=

=

Per disegnare la linea dei carichi effettivi si calcolano le singoleperdite:

97,63mHovviamentedannosommateche49,33*2

U

7,72mL2*

49,33*2

U*

18,61L*

75,16

*2

U*5,0

2

2

2

==

=

=

=

=

mg

i

mg

mi

m

g

83


84/98

III Caso: = 0,1

18risulta0,1divaloreilPer

11

2

==

=

4,808m/secU

:risultavelocitLa

mc/sec3,777Q

:casoquestoinsarportataLa

6,8488k

:cuiper

*g*2

81

:apariun terminevaloreprecedentealsommandootterrsikdivalorenuovoIl

2

=

=

=

Per disegnare la linea dei carichi effettivi si calcolano le singoleperdite:

97,63mHovviamentedannosommateche

18,1*2

U

0,27mL2*

37,95*2

U*

22,01L*

59,0*2

U*5,0

2

2

2

=

=

=

=

=

=

mg

i

mg

mi

mg

84


85/98

L1

L2

ZpZ2

Z=0

P

Dati: z2 = 20,00 m ;L1 = 10,00 m ;L2 = 0,25 m ;c = 90,00 (acciaio)zp = 6,00 m;Curva caratteristica della pompa

Determinare:Portata teorica della pompa;impossibilit di funzionaredet. la portata massimaammissibile ed individuaregli accorgimenti perch essa

si stabilisca.

Il fluido alluscita dalla tubazione avr carico effettivo pari a:

zero.comepresaoraaatmosfericpressioneallasfociando

*2

UzH

2

22g

+=

Poich laltezza rappresentatrice della velocit anchessa funzionedella portata al quadrato, opportuno conglobarla in k per cuilequazione dellimpianto diviene:

Hp = z2 H1 + k * Q2

85


86/98

Siccome allingresso del fluido nella tubazione posta una sugheruola,questa provoca una dissipazione di energia aggiuntiva, per cui in tale

punto si terr conto di un valore totale:

= 3

90,207D*c

L*29,10

*g*2

4k

:sarkdivaloreIl

5,3322=+

=

Dalla curva caratteristica della pompa e dalla curva caratteristicadellimpianto si valuta il valore di portata che realizza lo stesso valoredi Hp e quel valore di Q identifica il valore di regime. Tale valorecorrisponde a Q = 0,170 mc / sec.Con tale valore le perdite saranno:

26,01mHp

61,0**2

Q2,97mL2*i

0,59mL1*i

sugheruola(84,1**2

Q*3

m20,00H

2

2

2

2

=

=

=

=

=

=

mg

mg

)

86


87/98

E per ora necessario valutare il carico piezometrico allingressodella pompa onde accertare che la depressione rispetto al valore

esterno dato pressione atmosferica sia tale da consentire ilpassaggio della portata prevista.

mgg

04,3**2

Q-L1*i

**2

3Q-H1h

2

2

2

2

=

=

Il carico piezometrico alla pompa sar:

Laltezza rappresentatice della pressione relativa nello stesso punto :

-9,04mzp-hp

==

Essendo = 1000 kg/mc ne risulta che la pressione relativa :

p = - 88673 N/mq

Poich la pressione atmosferica, ammesso di non essere a quoteElevate, il che peggiorerebbe la situazione, si assume:

patm = 101300 N/mq

Ne risulta un valore della pressione assoluta, nella pompa, pari a :

pass = 12626,94 N/mq

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Considerazioni:- tale valore troppo basso;

- la condotta resiste alla depressione ma inevitabile la formazionedi sacche di vapore e bolle daria che portano al disinnesco dellapompa;- necessario riempire prima pompa e condotta aspirante con acquaperch si crei la prevalenza prevista; se capita del gas la prevalenzava a zero e la colonna di fluido nella condotta scende verso ilserbatoio pi basso.

Accorgimenti:- si dispone la pompa pi in basso;- si utilizza una condottadi maggior diametro;- si limita la portata e quindi le perdite prima della pompa provocandoa valle della pompa una dissipazione aggiuntiva (es. saracinesca).

Si fissa un valore dellaltezza rappresentativa della pressione nella

pompa :

m50,7p

=

Ricavo il valore del carico piezometrico nello stesso punto con laRelazione :

m50,1p

zph =+=

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Dovr anche essere:

mgg

50,1**2

Q-L1*i**2

3Q-H1h2

2

2

2

=

=

Che pu sinteticamente anche essere scritta:

H1 k1*Q2 = -1,50 m

Introducendo i valori numerici si ottiene:

k1 = 105,37

Poich H1 = 0 m dalla

k1hQ = si trae Q = 0,12 mc/sec

Se si far si che l impianto funzioni con tale portata, la depressionesar quella imposta, quindi accettabile. La portata, in base alla curvadella pompa, impone a sua volta la prevalenza, che risulta essere:

Hp = 27,84 m

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Per determinare lentit della resistenza aggiuntiva si impongono qualesoluzione dellequazione dellimpianto i valori della portata e del caricoprecedentemente individuati. Si ha:

Hp = z2 H1 + k * Q2 + ka * Q2

Il valore di ka lunica incognita. Quindi dalla:

2

2

2

**2Q*Q*ka

=

g

342,83kQ

H1z2-Hpka

2=

+=

Volendo utilizzare tale resistenza aggiuntiva mediante una saracinescaparzialmente chiusa, cio con una perdita concentrata, sar:

ka

*g*2 2=

90


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Si ricaver il grado di chiusura della saracinesca dalla relazione:

20,0

1ka

*2*

1

1ka

*2*

1

ka

*2*1

1

ka

**21

1

cuiper

11

22

2

=

+

=

+=

=

=

=

g

g

g

g

E quindi necessario operare una chiusura pari all80% medianteapposita saracinesca affinch limpianto possa funzionare. In talicondizioni la caratteristica dellimpianto :

Ktot= k + ka = 550

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mg

mg

mg

30,0**2

Q

88,4**2

Q*

28,74mHp

1,46mL2*i;0,29mL1*i

90,0**2

Q*3

m20,00H

2

2

2

2

2

2

=

=

=

==

=

=

Le perdite sono:

(sugheruola)

(saracinesca)

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Q D

L1 2

Dati:D ; L ; ; ; ;moto laminare

Determinare:- Portata;- Azione di trascinamento

unitaria () e totale (F)

La differenza tra le quote piezometriche delle due sezioni 1 e 2si ricava sfruttando le informazioni che derivano dal manometrodifferenziale:

-m*L*i = da cui calcolabile i

Verificato che il numero di Reinolds nel campo di moto laminare, lapendenza motrice ha l espressione:

D**

Q**128i

=

; m

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Da questa espressione si ricava Q, che vale:

*128

D***iQ

4

=

Lazione di trascinamento unitaria vale:

= * R * i dove R = D / 4 il raggio idraulico

Lazione di trascinamento totale vale:

F = * V * i dove V = * L * D2 / 4 il volume deltronco di condotto

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TURBINAY

Dati:D , , L , c , (8) , (10)

Determinare:Portata Q; Potenza dellimpianto (8 ore + 10 ore)

Il carico allimbocco dellugello vale:

H = Y i * L

Dove i, la cadente, viene calcolata con la formula di Strickler:

3

42

2

R*c

Vi =

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Ritenute trascurabili le perdite di carico lungo lugello, applicando ilteorema di Bernoulli fra la sezione di entrata e quella di uscita si ha :

g*2

VL*i-YH

2u==

essendo Vu la velocit di uscita allugello.

Associando lequazione di continuit:

== *V4

D**VQ u

2

si ricava il valore della Portata Q e quindi anche il valore del caricototale H della corrente alluscita dallugello. La Potenza dellimpiantovale :

1000

H*Q**P

=

Quando la portata dimezzata, essendo la cadente proporzionale alquadrato della velocit e quindi della portata, il carico vale .

H'*2Q*1000'*P'4L*i-YH' ==

[kW]

[kW]

Lenergia giornaliera prodotta dallimpianto equivale a:

E = 8 * P + 10 * P

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Dati :Q , k , m , L , D1 , D2 , D3 , Hm , H ,

Determinare:- Potenza sullasse della turbina;- Indicazione del manometro metallico;- Indicazione del manometro differenziale

T

D3

L

D1n H

Hm

D2

Per il calcolo della potenza della turbina necessario valutare H:

( ) g*2V*2 VV*m-L1*ig*2V*0,5-HH2

3

2

32

2

1 =g

con m che il coefficiente da utilizzare nella formula di Gibson peril diffusore e

D1*C

V*4i

2

21= con

6

1

4

D1*kC

=

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La Potenza sullasse della turbina vale:

1000H*Q**P = [kW]

Laltezza piezometrica nel baricentro del manometro metallico sipu valutare nel seguente modo:

g*2V*0,5L1*ig*2VpmHm

2

1

2

1 +++=

Ricavando pm/ ho:

n = pm * 10-5 [bar]

Lindicazione del manometro differenziale legata alla differenza fra le quote piezometriche delle sezioni estreme del diffusore dallarelazione :

m-*

=

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