Dispense di idraulica
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Università degli Studi di Palermo FACOLTA’ DI INGEGNERIA DISPENSE DI IDRAULICA Prof. Gerardo Bonvissuto
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Dispense di idraulica
Transcript of Dispense di idraulica
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Universit degli Studi di Palermo
FACOLTA DI INGEGNERIA
DISPENSE DI IDRAULICA
Prof. Gerardo Bonvissuto
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Prof. Gerardo Bonvissuto
S T A T I C A D E I F L U I D I : d i s t r i b u z i o n e d e l l e p r e s s i o n i8
SERBATOI A PELO LIBERO E IN PRESSIONE IL "PRINCIPIO DI PASCAL" IL"PARADOSSO IDROSTATICO"AERIFORMI CONTE-NUTI IN RECIPIENTI
Riprendiamo lo sche-ma del "serbatoio a pelo libero", e, con riferimento ad una verticale assunta co-me fondamenta le , tracciamo il diagram-ma delle pressioni.
Supponiamo ora di sopprimere la porzione di liquido al di sopra del piano A-A, e di porre ivi sul serbatoio un coperchio, trasformando cos un serbatoio a pelo libero in un "serbatoio in pressione", e di esercitare poi sulla massa di liquido sottostante la stessa pressione p
A che eserciterebbe la
Pertanto per conoscere il regime delle pressioni del liquido in un serbatoio basta posizionare il p.c.i. Ad es. nel caso di fig. dal valore del peso P che grava sul pistone si ricava quello della pressione p = P/A alla base del pistone, e quindi la posizione del p.c.i. che deve essere pi elevata su tale base
Connesso al "principio di Pascal" il cosiddetto "paradosso idrostatico", secondo cui sembrava inspiegabile come aggiungendo qualche chilogrammo di acqua nel sottile piezometro inserito in una botte, in modo da sollevare il pelo libero in esso di diversi centimetri, la botte finisce con lo scoppiare.
P A
P A
P
A
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PA
PA
PA
PA
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/A
Poich si ricavato
p = h, il diagramma il triangolo Ocd con angolo di apertura
= arctg .
Il piano della super-ficie libera si pu allora chiamare "piano dei carichi idrostatici" (p.c.i.), per definizione: "quel piano dal quale
dobbiamo valutare gli
affondamenti per rica-
vare le pressioni p".
Prec isamente la pressione p pari al prodotto del peso
spec i f ico per l 'a f fondamento h , sicch "sul p.c.i. la pressione nulla".
colonna di liquido di altezza hA.
Evidentemente il regime delle pressioni al di sotto del piano A-A il medesimo di quello di prima; e il diagramma relativo quello stesso limitato solamente alla parte trapezoidale abcd. Pertanto la generica pressione su un
piano orizzontale eguale a volte l'affondamento di tale piano sotto il "piano dei carichi idrostatici", che ha la stessa definizione gi data e che coinciderebbe con il pelo libero se il serbatoio anzich chiuso fosse aperto. Tale piano pu essere messo in evidenza con un piezometro, cio con un tubo trasparente nel quale appunto il livello liquido si porta sul p.c.i. qualunque sia il punto di attacco del tubo stesso.
In questa constatazione si riteneva di riconoscere un "principio" a se stante, quello "dei vasi comunicanti", mentre in realt esso una conseguenza della equazione locale della
idrostat ica: z + p/ = cost.
della quantit p/ = P/A. Il diagramma delle pressioni allora quello trapezoidale abcd e il p.c.i. si trova nella posizione 1.
Se si aggiunge un peso P, la pres-sione alla base del cilindro risulta
incrementata della quantit p = P/A; e perch ci sia possibile il p.c.i. si deve portare nella posizione 2, pi alta della
posizione 1 della quantit p/. Allora il diagramma delle pressioni nel
serbatoio il trapezio ab'cd': poich i due lati bd, b'd' sono paralleli
(essendo eguali gli angoli di apertura dei diagrammi), le pressioni in ogni punto sono aumentate della
quantit costante p. In ci si credette di riconoscere un
principio , detto di Pascal, secondo il quale l'aumento di pressione in un punto di una massa liquida si ritrova in tutti i punti della massa stessa: in realt anche questo risultato una conseguenza dell'equazione locale dell'idrostatica, e della definizione di piano dei carichi idrostatici.
Niente di paradossale perch le pressioni non dipendono dal volume d'acqua, ma dalla posizione del p.c.i., sollevandosi il quale, la pressione cresce: ad es. se il p.c.i. si porta dalla posizione 1 alla posizione 2 pi alta di 1 m, le pressioni
in ogni punto crescono di p = x 1 = 1000 kg/m2, e pertanto si spiega perch la botte non resiste alle corrispondenti spinte idrostatiche.
Allo stesso modo le spinte che sollecitano una diga di sbarramento sono le medesime, a pari posizione del p.c.i. (cio quota del pelo libero), qualunque sia il volume d'acqua a monte della diga; cio sia che il fondo del serbatoio si trovi nella pozione 1 o nella posizione 2 o nella posizione 3.
Il peso specifico degli aeriformi molto piccolo; per
l'aria = 1,29 kg/m3 ( 1/800 del dell'acqua). Per gli aeriformi in quiete contenuti in recipienti di modesta altezza (quindi per volumi non estesi) il mode- sto peso specifico comporta differenze di pressione assai piccole tra punto e punto per cui la pressione pu assu-mersi la stessa in tutti i punti, indipendentemente dalla lo-ro quota (come si riconosce dall'esempio che segue).
Si considerino due recipienti chiusi, uno contenente acqua e l'altro aria, entrambialti 10 m ed aventi in sommi-t pressione pari alla pressione atmosferica ( ps*=
10.000 kg/m2). Al fondo del serbatoio pieno d'acqua la pressione assolu-
ta varr pf* = 20.000 kg/m2
con un incremento del 100%rispetto alla ps*, mentre al fondo di quello contenente l'aria (ammesso costante il peso specifico dell'aria) varr
pf*=10.013 kg/m2, con un incremento solo dello 0,13%, del tutto trascurabile.
Per volumi estesi (in pratica solo per l'atmosfera terre-stre) non vale la legge:
z + p/ = costanteche presuppone un
costante (che invece negli aeriformi, comprimibili, varia con la pressione stessa).
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Prof. Gerardo Bonvissuto
M I S U R A D E L L E P R E S S I O N I Dalla misura della pressione in un punto si deduce il p.c.i. e quindi la distribuzione delle pressioni.
SPINTA SU UNA SUPERFICIE PIANA DI FORMA QUALSIASI
9
Manometro differenziale: E' costituito di un tubo ad U, contenente una massa
liquida 3 o 4 di peso specifico m diverso da quelli, 1 e 2, delle masse 1 e 2a cui sono applicate le due estremit del tubo.
Le sp inte e lementar i Sd (vedi f igura) , d i modulo dS = pdA = hdA = x sendA , sono parallele essendo le aree elementari dA porzioni della stessa superficie piana.
caso 1 = 2 = m >
(per es.: acqua - mercurio)
Per l'eguaglianza delle pressioni lungo il pia-
no (o lungo ): h = m + h1
e poich
h = + h1 + , risulta:
+h1 + = m +h1cio :
=m
La loro risultante sar pertanto diretta normal-mente alla superficie, e di modulo:
dA xsen=dS=SA
L'ultimo integrale rappre-senta il momento statico M della superficie A ri-spetto alla linea di
sponda, definita come la retta di intersezione del piano contenente la superficie con il piano dei carichi idrostatici .
Indicando con xo la distan-za del baricentro dalla li
caso 1 = 2 = m <
(per es.: acqua - toluolo)
Analogamente al caso prece-
dente, per l'equilibrio lungo si ha: h = m + h1 e poich h + = + h1 ,si ha in definitiva:
m
=
linea di sponda e con ho l'affondamento del baricentro G
stesso, si ha: S = sen M = sen xo A = ho A = po A cio " il modulo della spinta uguale al prodotto della pressione nel baricentro per l'area della superficie". Il verso ovviamente contro la superficie.
Il centro di spinta C: le sue coordinate e , riferite agli assi x e y, si ottengono uguagliando il momento della risultante con il risultante dei momenti elementari rispetto ai due assi:
xyAA
2
AA
Isen = ydAxsen =dAsenx =dSy =S
Isen =dAxsen =dAsenx x=dSx =S
y
Piezometro: E' un tubo superiormente aperto, applicato a un recipiente contenen-te un liquido; qualunque sia il punto di applicazione del tubo, il livello del liquido in esso si porta alla quota del p.c.i. relativo. In ci si riteneva di riconoscere un principio a s stante, quello "dei vasi comunicanti". Se la pressione elevata, il piezometro risulterebbe troppo alto.
Manometro semplice a mercurio:
liquido manometrico
(ad es. mercurio)
di peso specifico
Lungo il
m
Lungo il piano ,
orizzontalee condottoper il meni-sco 1 che
separa i due liquidi, la pressione costante,
quindi la pressione in 1, uguale a h, la stessa di quella in 2, uguale a m ; cio h = m da cui, dato h si ricava o viceversa. L'indicazione non dipende dal punto di applicazione, ma dall'affondamento h del menisco inferiore del mercurio.
Manometro metallico o di Bourdon:
E' del tipo indicato in figura: un tubo defor-mabile a sezione ellittica curvato a spirale.
caso
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:( , vale a dire la corrente accelera;
daltra parte per lequazione di continuit (VA = cost) essendo V2 > V1, A2 < A1; il getto quindi si restringe sem-pre pi e la sezione contratta non di area minima (ma per definizione la prima sezione nella quale i filetti sono sensibilmente rettilinei e paralleli).
Getto inizialmente orizzontale: la traiet-toria parabolica; la vena scende e pertanto si restringe sempre pi. Al crescere del carico h cresce la velocit iniziale nella sezione contratta, e i getti sono parabole sempre pi tese.
Getto inizialmente inclinato: la traiettoria parabolica con gittata massima d = V0
2/g,
essendo V0 la velocit iniziale (nella sezione contratta). In teoria essa si
avrebbe per = 45, ma a causa della resistenza
dellaria si ha per 35. z cresce, V decresce: il moto ritardato, la sezione si allarga
z decresce, V cresce: il moto accelerato, la sezione si restringe
>
N.B.- Il luogo degli estremi dei segmenti z+V2/2g una retta oriz-
zontale che dista H dal piano di riferimento: si chiama linea dei ca-richi totali (l.c.t.) e passa evidentemente per il pelo libero a monte.
Getto verticale verso lalto: il getto arriverebbe in teoria fino alla l.c.t., cio a distanza dalla sezione contratta pari a V0
2/2g (come nel
moto di un grave lanciato verticalmente verso lalto con velocit iniziale V0)
Energia di posizione (quota geometrica)
> < < >
Energia di pressione (altezza piezometrica)
Le traiettorie non cambiano direzione e quindi non c sezione contratta allo sbocco
Perch il moto sia a V costante occorre che sia A = cost (essendo il moto permanente e quindi Q=VA=cost); cio il tubo deve essere cilindrico. Per calcolare la portata noto il livello (invariabile) nel bacino, si applica il teorema di Bernoulli nella forma generale, fra 1 (nel bacino ove lacqua ferma) e 2 (nella sezione di sbocco ove la p = 0).
Si ha cos: z1+p1/+0=z2+0+V22/2g , da cui: ( )[ ] 2gh z-/pz2g 2112V =+= . Quindi la portata Q = V2A2
definita dalla quota della sezione di sbocco, cio dal suo affondamento h sotto la l.c.t. (il pelo liquido nel bacino); contrariamente a quanto avviene nellefflusso, la quota della sezione di imbocco 0 non ha alcuna influenza. Si ritrova la velocit torricelliana perch si arriva alla stessa pressione da cui si partiti. Poich c ora il gioco dellenergia di pressione, la corrente non decelera pur essendo il tubo in salita (come non accelererebbe se il tubo fosse in discesa) ma uniforme;
cio tra 3 e 4 si ha: z3 + p3/ = z4 + p4/; essendo z3 < z4 quindi p3 > p4. Il luogo degli estremi dei segmenti z + p/ una retta che dista dalla l.c.t. del valore V
2/2g e si chiama
piezometrica: orizzontale e passa per il baricentro della sezione di sbocco (ove appunto la p = 0).
Lo stesso se landamento del tubo tale che fino ad una sezione CC esso sovrasta la piezometrica, cio in depressione (la
corrente ha una p*< pa*, cio una p< 0) ed
oltre CC in pressione (cio al solito la corrente ha una p> 0).
La depressione in valore assoluto non pu essere > pa* cio deve essere
a< pa*/ (per lacqua a< 10,33 m) perch altrimenti sarebbe p*< 0 e la corrente si interromperebbe, i liquidi non resistendo a sforzi di trazione.
-
Prof. Gerardo Bonvissuto
ULTERIORI APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI BERNOULLI A CORRENTI DI LIQUIDO PERFETTO 21
MOTO A QUOTA GEOMETRICA COSTANTE ESEMPI DEL CASO GENERALE corrente orizzontale tubo di Pitot Tubazione comunque inclinata sboccante nellatmosfera o collegante due serbatoi
Se z1 = z2 il teorema di Bernoulli si scrive:
2g
Vp
2g
Vp2
22
2
11 +=+ cio cost 2gV
p
2
=+
Si tratta di un tubicino sagomato ad L con la sezione iniziale rivolta contro corrente nel quale il livello del liquido fermo al suo interno si pone alla quota del carico totale.
Applicando il teorema di Bernoulli tra il punto 1 a monte del tubo ed il punto 2 adiacente alla sua sezione iniziale in cui v = 0(punto di ristagno) si ha:
0p
z 2g
vp 22
211 ++=++ 1z
da cui:
+
+= 12
2
21 ppz
2g
v1z
Quindi la differenza fra la quota piezometrica in 2, cio della massa liquida nel tubo, denunciata dal livello in esso, e la quota piezometrica in 1, cio nella corrente, denunciata dal pelo libero (o da un piezometro se si tratta di corrente in pressione), misura laltezza cinetica v
2/2g della corrente, da cui
immediato ricavare la velocit v. Occorrono forti velocit per avere un v
2/2g apprez-
zabile; ad esempio: con v = 1 m/s r isu l ta v
2/2g = 5 cm.
Se z, p/, V2/2g variano tutti nel modo pi generale il teorema di Bernoulli si scrive:
cost2g
V
p z H
2
=+
+=
Con riferimento alle successive figure si osserva che la piezometrica si pu materializzare inserendo dei piezometri in varie sezioni e collegando idealmente i menischi; analogamente la l.c.t. si materializza inserendo contro corrente dei tubi di Pitot nei quali il livello liquido denuncia appunto la quota del carico totale.
Attenzione ai piezometri storti che indicano la quota piezometrica della sezione di attacco.
Applicando il teorema di Bernoulli fra 1 e 2 (sezione contratta) si trova la
velocit torricelliana 2gh 2V = e
quindi la Q = CcAu 2gh .
La portata dipende dalla h che pi corretto interpretare come il dislivello piezometrico fra il p.c.i. del serbatoio e la sezione contratta.
Essendo A3 < A4 e A4 > A5 , laltezza
cinetica decresce da 3 a 4 e cresce da 4 a 5, mentre inversamente la quota
piezometrica z+p/ cresce da 3 a 4 e decresce da 4 a 5.
Applicando il teorema di Bernoulli fra 1 e la sezione di sbocco 2
(non c sezione contratta)si ha: z1 +p1/ + 0 = z2 +p2/ + V22/2gda cui: 2g 2V = e Q = V2 A2 2g A2 = . La portata non dipende n dalla quota geometrica dellimbocco
n da quella dello sbocco, ma dal dislivello piezometrico fra i due serbatoi. Nella sezione di sbocco 2 la corrente animata dalla velocit V2. Solo nel bacino, cio pi a valle, si ha V = 0; lenergia cinetica V2
2/2g lenergia che ogni unit di peso di liquido perfetto
porterebbe con s (il condizionale perch in realt intervengono le perdite di energia ad annullare la V). La piezometrica termina alla quota del livello liquido nel serbatoio di valle. Poich le indicazioni dei manometri metallici sono le pressioni alle quote dei loro baricentri, si ha che lindicazione n4 < 0 pur
essendo positive le pressioni relative nella sezione 4 ove il manometro inserito. Se allo sbocco si avesse un diffusore, sicch la sezione terminale fosse A2>A2, la V2 sarebbe la
stessa ma la portata avrebbe il valore Q=V2A2 (> Q) e pertanto
tutta la piezometrica sarebbe pi discosta dalla l.c.t. (caso b).
Energia potenziale (quota piezometrica)
>
Energia cinetica (altezza cinetica)
Energia di pressione (altezza piezometrica)
> < < >
Energia cinetica (altezza cinetica)
Per ricavare la portata applichiamo il teorema di Bernoulli fra 1 (V =0) e la sezione contratta 2 (p = 0); si
ha: z1+p1/+0 = z2+0+V22/2g da cui: 2gh 2V = e Q = V2 A2 = CcAV2. Poich A3 > A4 anche V3 < V4 (per lequazione di continuit) e quindi p3 >p4; inoltre essendo A4 > A2 V4 < V2 e p4 > p2 (p2 = 0): la piezometrica si mantiene parallela alla l.c.t. (e quindi orizzontale) nel tubo cilindrico, ove il moto uniforme, ed una curva concava verso il basso nel convergente (boccaglio), ove la corrente accelera: essa termina nella sezione contratta A2 dove la p2 = 0.
Lo stesso se c un convergente seguito da un divergente: la velo-cit cresce da 3 a 4 (la piezometrica si allonta-na dalla l.c.t.) e decre-sce nel divergente da 4
a 5 (la piezometrica si avvicina alla l.c.t.).La piezometrica potrebbe scendere sotto lasse della condotta, che per un tratto sarebbe allora in depressio-ne, se la strozzatura 4 fosse piccola (caso B); la porta-ta Q non sarebbe allora alterata (dipendendo al solito dallaffondamento h della sezione di sbocco), purch la massima altezza piezometrica negativa (a) si manten-
ga in valore assoluto minore di pa*/, cio per lacqua minore di 10,33 m.
Conviene allora considerare nel suo insieme la somma (z + p/) che geometricamente la quota piezometrica, costante in ogni sezione trasversale di una corrente lineare, e dal punto di vista energetico misura lenergia potenziale. Cos viene evidenziato lo scambio mutevole tra questa energia potenziale e lenergia cinetica della corrente, in analogia al caso di un corpo che si muove senza attrito.
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Prof. Gerardo Bonvissuto
DINAMICA DEI FLUIDI REALI NEWTONIANI: LE EQUAZIONI COSTITUTIVE 28
Nellimpostare il problema dinamico (vedi Tav. 17) si visto che per un fluido reale le incognite da determinare in ogni punto del campo di moto sono 10 mentre le equazioni disponibili erano 5. Per rendere il problema analiticamente determinato occorre trovare pertanto delle equazioni aggiuntive che esprimano il comportamento reologico proprio del fluido, cos come le equazioni della teoria dellelasticit esprimono il comportamento elastico dei solidi e consentono di risolvere i problemi iperstatici.
Come abbiamo visto (vedi Tav. 2), in ogni punto di un fluido reale in moto lo stato di sforzo
definito dalle tre componenti normali x, y, z e dalle tre componenti tangenziali x, y, z.
Si allora esteso il concetto di pressione, definendo 3
pzyx ++
= che sola sussiste-
rebbe nel fluido in quiete. Infatti, al cessare del movimento si ritorna, pressoch istanta-neamente, alle condizioni isotropiche nelle quali gli sforzi sono normali ad ogni elemento di
superficie passante per il punto, mentre x = y = z = 0 e x = y = z = p. Pertanto, si pu scomporre il tensore degli sforzi nella somma di una parte che possiamo chiamare statica e di una parte non statica che si manife-sta durante il movimento per effetto della viscosit e che viene indicata come deviatore degli sforzi:
Per definire le ricercate equazioni aggiuntive occorre stabilire i legami
tra le sei componenti del deviatore, la viscosit e le componenti , e della velocit, alle quali connessa la deformazione che subisce il fluido in movimento.
DEDUZIONE DELLE COMPONENTI TANGENZIALI DEDUZIONE DELLE COMPONENTI NORMALI
A tale scopo in un primo tempo si supponga, come fatto in Tav.4, che il moto sia piano, cio si svolga identicamente in tutti i piani x, z
normali allasse y, e che in tali piani la velocit v abbia lunica componente , nella direzione x, che risulta funzione della sola z.
Nel tempo dt lelemento fluido OO1, inizialmente lungo dz e parallelo allasse z, si porter in OO1 e di conseguenza loriginario angolo
retto y subir la variazione: dtdz
d
dz
dtdtdzdz
d
d- y
=
+= che si attua con la velocit di
deformazione angolare dz
d
dt
d y =
. Quindi lo sforzo tangenziale (negativo perch contrario al
moto) che nasce sullo strato OO per effetto del gradiente di velocit dz
d, in base alla legge di
Newton vale dt
d
dz
d yy
== ; che mostra proporzionalit diretta fra lo sforzo tangenziale e la velocit di deformazione angolare.
La stessa ipotesi di proporzionalit, dedotta per il caso semplice del moto piano per strati paralleli, viene estesa, in modo arbitrario ma con esiti sostanzialmente non smentiti dalle constatazioni sperimentali, anche al caso generale di un moto qualsiasi in cui la
velocit v ha componenti , , diverse da zero e funzioni di x, y e z.
Poich con riferimento al parallelepipedo elementare di figura, la velocit di defor-
mazione angolare dellangolo y= AOC , inizialmente retto, risulta per la sovrappo-
sizione degli effetti:
+
=
xzdt
d y , lammessa ipotesi di proporzionalit con-
duce alla seconda delle equazioni scritte a lato.
Analogamente si ottengono la prima e la terza, che si possono scrivere direttamente per rotazione.
Tali equazioni hanno unevidente analogia con le espressioni che la teoria dellelasticit fornisce per gli sforzi tangenziali in un solido deformato; da queste esse potrebbero essere dedotte semplicemente sostituendo le componenti della velocit di deformazione angolare alle componenti della deformazione angolare (il che
equivale a sostituire le tre componenti , , della velocit al posto di quelle dello spostamento) e la
viscosit al modulo di elasticit trasversale G. Pi in generale pu dirsi che nei solidi le componenti degli sforzi sono proporzionali alle componenti di deformazione, valutate a partire dalla loro configurazione iniziale, nella quale le deformazioni e gli sforzi sono nulli. Invece nei fluidi newtoniani, nei quali manca una configurazione iniziale di riferimento, le componenti degli sforzi sono proporzionali alle componenti della velocit di deforma-zione, coerentemente alla propriet che essi hanno di reagire in modo diverso a seconda della rapidit con cui sono deformati.
In analogia a quanto fatto nei riguardi delle componenti tangenziali, si arriva a stabilire le espressioni delle
componenti normali x - p, ecc. degli sforzi di origine viscosa associando tali componenti alle velocit di deformazione lineare nelle direzioni dei tre assi. Circa tali velocit, basta notare ad esempio che nellintervallo di tempo dt il lato dx del parallelepipedo subisce lallun-
gamento: dtdx x
dtdtdxx
=
+ e quindi lallunga-
mento unitario dt x
. Pertanto, la velocit di deforma-
zione lineare in direzione x risulta x
. Analogamente
nelle direzioni y e z. Ci precisato, poich per il solido elastico sussiste la
relazione: )zyxxzyx
x ( G32G2
3
++=
++ ,
sostituendo in essa, come detto, al posto di G e le velocit di deformazione lineare al posto delle
deformazioni unitarie e tenendo conto della diversa convenzione sui segni delle componenti normali degli sforzi, si ottiene la prima delle seguenti equazioni:
Analogamente si ottengono le altre due, che si possono scrive-re direttamente per rotazione.
Le espressioni trovate per le componenti tangenziali e normali del deviatore degli sforzi costituiscono le equazioni costitutive dei fluidi viscosi newtoniani.
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yzx
staticacomponente
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