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Corso di Idraulica Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale ed Idrologia Forestale

Docente: Prof. Santo Marcello Docente: Prof. Santo Marcello ZimboneZimbone

Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino -- Ing. Demetrio Ing. Demetrio ZemaZema

Anno Accademico 2008Anno Accademico 2008--20092009

Lezione n. 1: Cenni al calcolo vettorialeLezione n. 1: Cenni al calcolo vettoriale

22Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 1Lezione 1

Grandezze scalari e grandezze vettorialiGrandezze scalari e grandezze vettoriali

Nozione di vettoreNozione di vettore

Definizione di vettoreDefinizione di vettore

Operazioni sui vettori (somma, differenza, opposto di un vettorOperazioni sui vettori (somma, differenza, opposto di un vettore, e, prodotto per uno scalare, scomposizione di vettori e componenti prodotto per uno scalare, scomposizione di vettori e componenti vettoriali)vettoriali)

Sistemi di riferimento e scomposizione di vettori nei Sistemi di riferimento e scomposizione di vettori nei s.d.rs.d.r..

VersoriVersori

Operazioni sui vettori nei Operazioni sui vettori nei s.d.rs.d.r..

Prodotto scalare e prodotto vettorialeProdotto scalare e prodotto vettoriale

IndiceIndice


SlidesSlides delle lezioni frontalidelle lezioni frontaliDispensa Dispensa ““Sistemi di misuraSistemi di misura”” (pagg. 1(pagg. 1--9 e 149 e 14--20)20)

Materiale didatticoMateriale didattico

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Chiameremo Chiameremo grandezze scalarigrandezze scalari (o, pi(o, piùùsemplicemente, semplicemente, scalariscalari) quelle grandezze fisiche, ) quelle grandezze fisiche, come la temperatura oppure il tempo, che risultano come la temperatura oppure il tempo, che risultano completamente descritte da un numero (reale) che completamente descritte da un numero (reale) che ne individua lne individua l’’entitentitàà

Per definire univocamente una grandezza scalare Per definire univocamente una grandezza scalare èè pertanto necessario indicare un valore numerico pertanto necessario indicare un valore numerico accompagnato dalla relativa unitaccompagnato dalla relativa unitàà di misura: ad di misura: ad esempio, la durata di un certo fenomeno esempio, la durata di un certo fenomeno èè di 5 s, la di 5 s, la massa di un determinato oggetto massa di un determinato oggetto èè 3 kg, la 3 kg, la temperatura della stanza in cui lavoriamo temperatura della stanza in cui lavoriamo èè 20 20 °°CC


Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 1Lezione 1

55

Sono dette Sono dette grandezze vettoriali grandezze vettoriali (o pi(o piùùsemplicemente semplicemente vettorivettori) quelle grandezze fisiche che, ) quelle grandezze fisiche che, per essere definite completamente, necessitano, per essere definite completamente, necessitano, oltre che di unoltre che di un’’intensitintensitàà, anche di una direzione e di , anche di una direzione e di un versoun verso



66

Quando, ad esempio, una nave, che effettui servizio di Quando, ad esempio, una nave, che effettui servizio di linea tra due localitlinea tra due localitàà, debba andare dal punto A fino al , debba andare dal punto A fino al punto B, essa compie uno spostamento, definito dal punto B, essa compie uno spostamento, definito dal valorevalore della distanza AB, dalla della distanza AB, dalla direzione direzione della retta della retta passante per i punti A e B e dal passante per i punti A e B e dal verso verso che va da A verso che va da A verso BB



77

Questi tre attributi di un qualsiasi spostamento (distanza, Questi tre attributi di un qualsiasi spostamento (distanza, direzione e verso) sono completamente determinati se si direzione e verso) sono completamente determinati se si rappresenta uno spostamento per mezzo di un rappresenta uno spostamento per mezzo di un segmento segmento orientatoorientato applicato nel punto A applicato nel punto A (vettore)(vettore), cio, cioèè per mezzo per mezzo di una freccia, la cui lunghezza rappresenti il di una freccia, la cui lunghezza rappresenti il valorevalore della della distanza AB, la cui distanza AB, la cui direzionedirezione ed il cui ed il cui versoverso siano, siano, rispettivamente, la direzione ed il verso dello rispettivamente, la direzione ed il verso dello spostamentospostamento



88

Grandezza fisicaGrandezza fisica caratterizzata da 3 diversi elementi:caratterizzata da 3 diversi elementi:

modulo:modulo: valore ed unitvalore ed unitàà di misura che esprimono di misura che esprimono ll’’entitentitàà

direzione:direzione: giacitura della retta lungo cui agisce il giacitura della retta lungo cui agisce il vettorevettore

verso:verso: orientamento nella direzione del vettoreorientamento nella direzione del vettore

aa ;r

aa rr−≠

Definizione di vettoreDefinizione di vettore


99

Il punto A si chiama Il punto A si chiama origine o punto di origine o punto di applicazioneapplicazione del vettore; il punto B viene chiamato del vettore; il punto B viene chiamato estremo liberoestremo libero; la retta (r), lungo la quale giace il ; la retta (r), lungo la quale giace il vettore, viene detta vettore, viene detta retta di azioneretta di azione

Oltre allo spostamento, molte altre grandezze Oltre allo spostamento, molte altre grandezze fisiche sono rappresentate per mezzo di vettori: fisiche sono rappresentate per mezzo di vettori: le le velocitvelocitàà, le accelerazioni, le forze, ecc., le accelerazioni, le forze, ecc.



1010

Due vettori sono Due vettori sono ugualiuguali se, rappresentando grandezze se, rappresentando grandezze fisiche omogenee (due velocitfisiche omogenee (due velocitàà, due forze, due , due forze, due spostamenti, ecc.), hanno lo stesso modulo, la stessa spostamenti, ecc.), hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso versodirezione e lo stesso verso



1111

Due (o piDue (o piùù) vettori sono diversi se differiscono in una ) vettori sono diversi se differiscono in una delle loro caratteristiche: possono differire nel delle loro caratteristiche: possono differire nel modulo, nella direzione e nel versomodulo, nella direzione e nel verso



1212

SommaSomma

La somma di due o piLa somma di due o piùù vettori vettori èè quel vettore che si quel vettore che si ottiene riportando i vettori uno di seguito allottiene riportando i vettori uno di seguito all’’altro (con altro (con la regola di far coincidere un punto di applicazione con la regola di far coincidere un punto di applicazione con un estremo libero) e congiungendo, poi, il punto di un estremo libero) e congiungendo, poi, il punto di applicazione del primo con lapplicazione del primo con l’’estremo libero dellestremo libero dell’’ultimoultimo

Il vettore somma viene detto Il vettore somma viene detto vettore risultantevettore risultante o, pio, piùùsemplicemente, semplicemente, risultanterisultante

Operazioni sui vettoriOperazioni sui vettori


1313

SommaSomma

In modo perfettamente equivalente, la somma si può In modo perfettamente equivalente, la somma si può ottenere secondo la cosiddetta ottenere secondo la cosiddetta regola del regola del parallelogrammaparallelogramma, valida per due vettori, valida per due vettori



1414

SommaSomma

Se i due vettori sono Se i due vettori sono uguali ed oppostiuguali ed opposti, la loro , la loro risultante coincide con il risultante coincide con il vettore nullovettore nullo 00

QuestQuest’’ultimo ultimo èè un vettore di modulo nullo, che si un vettore di modulo nullo, che si riduce ad un puntoriduce ad un punto



1515

SommaSomma

La somma gode della La somma gode della proprietproprietàà commutativacommutativa

e della e della proprietproprietàà associativaassociativa



1616

Moltiplicazione per un scalareMoltiplicazione per un scalare

Consideriamo un vettore a ed uno scalare k. La Consideriamo un vettore a ed uno scalare k. La grandezzagrandezza

rappresenta un nuovo vettore che ha la stessa rappresenta un nuovo vettore che ha la stessa direzione di a; il suo modulo direzione di a; il suo modulo èè proporzionale, secondo proporzionale, secondo il fattore |k|, a quello di a, cioil fattore |k|, a quello di a, cioèè b = |k| a, ed il verso b = |k| a, ed il verso èèconcorde oppure discorde con quello di a, a seconda concorde oppure discorde con quello di a, a seconda che il numero reale k sia positivo oppure negativoche il numero reale k sia positivo oppure negativo



1717

Moltiplicazione per un scalareMoltiplicazione per un scalare

Consideriamo il caso particolare k = Consideriamo il caso particolare k = -- 1: risulta b = a 1: risulta b = a ed il verso di b ed il verso di b èè discorde rispetto a quello di adiscorde rispetto a quello di a

Il vettore b Il vettore b èè ll’’opposto opposto di adi a



1818

DifferenzaDifferenza

La differenza di due vettori può, ricondursi ad una La differenza di due vettori può, ricondursi ad una somma: eseguire la differenzasomma: eseguire la differenza

vuol dire sommare al vettore a il vettore vuol dire sommare al vettore a il vettore -- bb



1919


La somma e la differenza di due vettori La somma e la differenza di due vettori rappresentano le due diagonali del parallelogramma rappresentano le due diagonali del parallelogramma avente per lati i due vettori stessiavente per lati i due vettori stessi



2020

Scomposizione e componenti vettorialiScomposizione e componenti vettoriali

UnUn’’altra importante operazione altra importante operazione èè la la scomposizione di un scomposizione di un dato vettore secondo direzioni assegnatedato vettore secondo direzioni assegnate, determinate , determinate da due rette (non parallele) giacenti nello stesso pianoda due rette (non parallele) giacenti nello stesso piano

I vettori derivanti dalla scomposizione vengono detti I vettori derivanti dalla scomposizione vengono detti vettori componentivettori componenti::



2121

Nel caso bidimensionale un sistema di riferimento Nel caso bidimensionale un sistema di riferimento èècostituito da due assi ortogonali, chiamati costituito da due assi ortogonali, chiamati assi assi cartesianicartesiani, ai quali viene attribuito un verso ed una scala , ai quali viene attribuito un verso ed una scala di misuradi misura

Di solito questo sistema di assi cartesiani viene Di solito questo sistema di assi cartesiani viene disegnato con un asse orizzontale, detto disegnato con un asse orizzontale, detto asse delle asse delle ascisse o delle xascisse o delle x, e con un asse verticale, detto , e con un asse verticale, detto asse asse delle ordinate o delle ydelle ordinate o delle y

Il punto di intersezione tra i dueIl punto di intersezione tra i dueassi viene detto assi viene detto origine del sistema origine del sistema di riferimentodi riferimento

Sistemi di riferimentoSistemi di riferimento


2222

Per individuare un vettore su un piano con un Per individuare un vettore su un piano con un sistema di riferimento, basta specificare le coordinate sistema di riferimento, basta specificare le coordinate del punto P di applicazione del vettore e delldel punto P di applicazione del vettore e dell’’estremo estremo libero Elibero E

Vale pure il viceversa: assegnato un vettore, Vale pure il viceversa: assegnato un vettore, possiamo determinare le coordinate dei suoi estremipossiamo determinare le coordinate dei suoi estremi



2323

Le componenti vettoriali saranno:Le componenti vettoriali saranno:

Il modulo del vettore si calcola facilmente a partire Il modulo del vettore si calcola facilmente a partire dalle componenti del vettore in forza del teorema di dalle componenti del vettore in forza del teorema di PitagoraPitagora



2424

Il generico vettore si può scrivere come:Il generico vettore si può scrivere come:

in cui rappresenta un versore, cioin cui rappresenta un versore, cioèè un un vettore di vettore di modulo unitariomodulo unitario, nella direzione di , nella direzione di

vr

vrv̂


VersoriVersori

2525

ÈÈ conveniente tracciare i versori degli assi coordinati conveniente tracciare i versori degli assi coordinati sceltiscelti


VersoriVersori

2626

Il Il teorema di scomposizione teorema di scomposizione ci consente di scrivere ci consente di scrivere un generico vettore in funzione delle componenti e un generico vettore in funzione delle componenti e dei versori degli assi, comedei versori degli assi, come

I vettori I vettori

sono chiamati sono chiamati componenti vettorialicomponenti vettoriali, o pi, o piùù semplicemente semplicemente i componenti, di vi componenti, di v


Operazioni sui vettori nei s.d.r.Operazioni sui vettori nei s.d.r.

2828

La risultante di due vettori può, in termini di La risultante di due vettori può, in termini di componenti, scriversi come:componenti, scriversi come:

SommaSomma

Dato che due vettori come R e a + b sono uguali solo Dato che due vettori come R e a + b sono uguali solo se lo sono le corrispondenti componenti, si può se lo sono le corrispondenti componenti, si può scriverescrivere



2929

Posto:Posto:

Moltiplicazione per uno scalareMoltiplicazione per uno scalare

risulta:risulta:




3030

Prodotto scalareProdotto scalare


3131

Prodotto vettorialeProdotto vettoriale


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