Idrologia Tecnica - Esercizi

Università degli Studi di Trieste Piazzale Europa 1, 34100 Trieste

Facoltà di INGEGNERIA

Corso di Laurea in

INGEGNERIA CIVILE ED AMBIENTALE – CURRICULUM TRASPORTI

Anno Accademico 2005/2006

Esercizi di

IDROLOGIA TECNICA

Studente: Marega Edoardo

Docente: prof. Elpidio Caroni

Edoardo Marega Esercizi di Idrologia Tecnica, A.A. 2005/2006

1

Esercizio 1: Data la sequenza di piogge orarie (mm): 12.8, 42.2, 21.6, 0.8, calcolare la sequenza delle piogge efficaci:

1. Secondo uno schema Hortoniano con intensità di infiltrazione pari a 16.5 mm/h costante; 2. Secondo uno schema ad area contribuente con coefficiente di afflusso 0.2 costante.

Dati:

f p 16.5 12.8 16.5 42.2 16.5 21.6 16.5 0.8

1. Approccio Hortoniano:

Considerando che per:

( ) 0 0p f p− < → = Otteniamo:

p 0

25.7 5.1 0


2

2. Approccio ad area contribuente:

ap p φ= ⋅

ap

2.56 8.44 4.32 0.16


3

Esercizio 2: Il dimensionamento di una fognatura è stato eseguito in riferimento ad un evento di progetto con Tr = 5 anni. Determinare la probabilità di non superamento dell’evento di progetto su un periodo di 10 anni. Svolgimento:

11 0.107 10.7%n

r

PT

⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Esercizio 3: Un piccolo bacino di drenaggio è caratterizzato da una superficie con area di 34 ha, e da un’asta principale con 0.85 Km di lunghezza. Si stima, inoltre, un coefficiente di afflusso pari a 0.4 e una curva di possibilità pluviometrica di frequenza ventennale 0.3725h t= ⋅ , con t in ore e h in mm. Calcolare la portata di piena dell’evento critico col metodo della corrivazione, considerando una velocità media di scorrimento dell’acqua nei canali par a 0.5 m/s. Dati:

20.340.850.4

bA kmL kmφ

=

==

2

0.37

0.5 /

25H Ov m s

h t

=

= ⋅

Svolgimento: Secondo il metodo della corrivazione lineare, la durata critt che rende massima la portata al colmo è il tempo di corrivazione lineare. Infatti l’IUH è fatto in questo modo:

2

310 0.4723600c

H O

LT orev

⋅= =

⋅


4

Di conseguenza la portata dell’evento critico vale:

1 31515

3.6

nb c

cA a T mQ s

φ −⋅ ⋅ ⋅= =

Esercizio 4: I dati di una stazione pluviografica hanno consentito di stimare i parametri della distribuzione di Gumbel per le piogge massime annue da 1 a 24 ore. I risultati sono riportati in tabella, bella quale

α e β rappresentano i coefficienti della relazione di Gumbel ( )hZ βα−

= .

Calcolare i parametri della curva di possibilità pluviometrica per il tempo di ritorno di 15 anni. Secondo questa curva, quale altezza di pioggia corrisponde alla durata di 8 ore?

Durate α β 1 14.2 42.7 3 28.4 72.4 6 49.2 103.8 12 73.8 146.1 24 90.9 203.4


5

Svolgimento:

ln ln 2.67381

rr

r

Ty mmT

⎛ ⎞⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

Definiamo le distribuzioni EV1 Di Gumbel per ogni durata:

1 0 0

3 3 3

6 6 6

12 12 12

24 24 24

( ) 80.667( ) 148.335( ) 235.349( ) 343.423( ) 446.444

r r

r r

r r

r r

r r

h y y mmh y y mmh y y mmh y y mmh y y mm

α βα βα βα βα β

= ⋅ + == ⋅ + == ⋅ + == ⋅ + == ⋅ + =

Ora, col metodo dei minimi quadrati non lineari cerchiamo una retta che interpoli le altezze:

ln h ln t 4.39 0 4.999 1.099 4.461 1.792 5.839 2.485 6.101 3.178


6

I coefficienti della retta di interpolazione saranno:

lnln

x ty h==

Quindi si troveranno i coefficienti m e q della retta:

0.5524.414

mq==

Ora si può tarare la Curva di Possibilità Pluviometrica:

( ) nH t a t= ⋅ 0.55282.571q

n ma e= =

= =

Risulta quindi:

0.552( ) 82.571H t t= ⋅ Per 8t ore= allora:

0.552(8) 82.571 8 260.305H mm= ⋅ =


7

Esercizio 5: Un bacino idrografico di 282km è caratterizzato da un ideogramma unitario istantaneo (IUH) a forma di triangolo, con base inferiore di 5 ore e valore massimo (vertice del triangolo)a 2 ore dall’origine temporale. Il bacino è interessato da una pioggia di intensità costante per una durata di ora e 45 minuti con altezza totale di 63 mm. Se il coefficiente di afflusso vale 0.48, trascurando il contributo del deflusso di base, quanto vale la portata al colmo e quanto tempo (ore e minuto) dopo la fine della pioggia transita per la sezione di chiusura del bacino? Dopo quante ore dall’inizio della pioggia ha fine il deflusso rapido? Dati:

2821.75

630.48

b

p

A Kmt h

h mmφ

==

==

Svolgimento: Calcoliamo l’altezza dell’IUH:

5 212 5

hh

x x⋅= ⇒ =

Definizione dell’IUH:

0.4 0 22( )0.4 0.4 5 2 53 3

x xu x

x x

⎧ ⎫⋅ ≤ ≤⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪− ⋅ + ⋅ ≤ ≤⎪ ⎪⎩ ⎭

Graficamente


8

Calcolo dell’intensità di pioggia:

36p

h mmjt h

= =

Ruscellamento:

17.28 mmr jh

φ= ⋅ =

Calcolo della portata affluente:

3

393.63.6b

aA r mQ

s⋅

= =

Ora, per individuare la portata massima critica bisogna massimizzare la funzione. Per questa operazione ci serviamo di Matcad, un programma che permette la risoluzione delle funzioni integrali. Successivamente verrà riportato il codice usato per il calcolo. La funzione da massimizzare è:

( ) ( )p

t

c a t tQ t Q u x dx

−= ⋅ ∫


9

Calcolo del massimo della funzione ( )cQ t con l’utilizzo di Matcad.

3testt = Given ( ) ( )test test pu t u t t= − ( )crit testt Find t=

3.05critt h= Facendo una semplice sostituzione si ricava la portata critica:

3

( ) 227.304c critmQ ts

=

La portata critica transita attraverso la sezione di chiusura dopo 3 ore e 3 minuti, mentre i deflusso rapido ha fine dopo 6 ore e 45 minuti dopo l’inizio della pioggia.


10

Esercizio 6:

in un canale rettangolare rettilineo largo con 1 1350sK m s−= K si ha un cambiamento di pendenza da

_ 0.012f mi = a monte a _ 0.0008f vi = a valle.

Definire il tipo (o i tipi) di profilo che vi si realizzano per una portata di 212m s . Nel caso si realizzi un risalto, indicarne le profondità coniugate. Dati:

1 13

2

_

_

50

120.012

0.0008

s

f m

f v

K m s

q m si

i

−=

==

=

Svolgimento: Per prima cosa si calcola, on la formula di Strikler, i tiranti di monte e di valle di moto uniforme:

350s fq k y i= ⋅ ⋅

35

0_ 0__

1.601m ms f m

qy y mk i

⎛ ⎞⎜ ⎟= → =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

35

0 _ 0 __

3.607v vs f v

qy y mk i

⎛ ⎞⎜ ⎟= → =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

Calcolo del tirante critico:

12 3

2.449c cqy y mg

⎛ ⎞= → =⎜ ⎟⎝ ⎠

Dunque:

0 _

0 _

m c

v c

y y

y y

<

>

Il tratto di monte è a forte pendenza mentre il tratto a valle è a debole pendenza. Siccome c’è un cambiamento di pendenza, verrà a generarsi un risalto. Calcolo delle spinte:


11

Spinta di monte:

2 20 _ 2

0 _

10.462

mm m

m

y qS S my g

= + → =⋅

Spinta di valle:

2 20 _ 2

0_

10.582

vv v

v

y qS S my g

= + → =⋅

Dato che la spinta di monte è minore di quella di valle, il profilo verrà ricacciato a monte ed il risalto avverrà a monte. Calcolo delle altezze coniugate:

1 0_

31

2 231

1 1 8 3.5582

m

c

y y

yyy y my

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ − + + ⋅ → =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦


12

Esercizio 7: Un fiume, assimilabile per geometria ad un canale rettangolare largo, porta in piena 220m s , con

1/3 145sk m s−= e 0.0005fi = . Se alla foce si ha una profondità d’acqua di 8m , a che distanza il profilo si discosta dal livello di moto uniforme di 20cm ? Svolgimento:

Per prima cosa andiamo a calcolare il tirante di moto uniforme dalla formula di Strikler:

35

0 6.012s f

qy mk i

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

Calcolo del Numero Di Froude:

0 0

0.433rqF

y g y= =

⋅ ⋅

Dato che il Numero di Froude è minore di 1 ci troviamo in condizioni subcritiche. Facendo alcune considerazioni trigonometriche, possiamo calcolare la distanza L:

( )08 0.20

3576.54

f

yi

L

L m

− +=

⇓=


13

Esercizio 8: Su una sezione idrometrica sono state eseguite le misure riportate in tabella. Stimare il valore della portata di piena eccezionale che ha fatto registrare il livello massimo strumentale a 8.74m .

N Z Q 1 1.22 125 2 1.58 292.8 3 2.34 373 4 2.95 551.4 5 3.34 680.4 6 3.17 623 7 3.65 791 8 3.91 889 9 4.32 1054 10 4.55 1151 11 4.73 1230 12 5.21 1460

Svolgimento: Utilizzo il metodo dei minimi quadrati non lineari:

N ( )logx z= ( )logy Q= 1 0.086 2.097 2 0.199 2.285 3 0.369 2.572 4 0.47 2.741 5 0.524 2.833 6 0.501 2.794 7 0.562 2.898 8 0.592 2.949 9 0.635 3.023 10 0.658 3.061 11 0.675 3.09 12 0.717 3.164


14

In seguito possiamo calcolare i parametri m e q della retta interpolatrice:

log( ) log( )Q q m Z= +

1.68861.95

mq==

È da notare che la retta approssima in maniera soddisfacente l’andamento dei punti. Curva interpolatrice:

( ) 10q mQ h h= ⋅ Dove:

1.6891.95

mq==

Successivamente viene stimato il valore della portata di piena eccezionale che ha fatto registrare il livello massimo strumentale a 8.74m :

1.95 1.689

3

(8.74) 10

(8.74) 3464.132 /

Q h

Q m s

= ⋅

⇓

=


15

Esercizio 9: La risposta idrologica di un bacino è rappresentabile mediante uno IUH triangolare isoscele. Il tempo di corrivazione sia di 8 ore e l’area contribuente sia il 35% di quella totale che assomma a

2410Km . Se la curva di possibilità pluviometrica (CPP) per un tempo di ritorno centennale è di 0.2040h t= , calcolare:

a. La durata dell’evento critico; b. La portata al colmo; c. Il tempo di transito, alla fine della pioggia, in cui la portata critica passa attraverso la sezione

di chiusura del bacino.

Dati: Area del bacino: 2410bA Km= Tempo di corrivazione 8Tc = ore Coefficiente di afflusso 0.35φ = Coefficiente a della CPP 40a = Coefficiente n della CPP 0.2n = CPP nh a t= ⋅

0 2 6 8=Tc4

0.25

IUHf(t)

t

(Tp)

Tc/2

tp

tp/2


16

Fattore di attenuazione del colmo

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

tp

e(tp

)

Procedimento: 1.1. Definizione del picco dell’IUH: Per trovare il picco dell’IUH si procede utilizzando le proprietà del triangolo. È da notare che l’area del triangolo sotteso dall’IUH è unitaria.

11 0.252 4

cT h h⋅= ⇒ = =

1.2. Funzioni dell’IUH: Conoscere le funzioni dell’IUH serve per imbastire l’integrale di convoluzione. Tratto AB: 0.0625 t⋅ Tratto BC: 0.5 0.0625 t− ⋅ 1.3. Calcolo del fattore di attenuazione del colmo: Per calcolare il fattore di attenuazione del colmo bisogna svolgere l’integrale di convoluzione. Siccome l’IUH è simmetrico allora moltiplico per 2 l’integrale.

2

2 2

2

( ) 2 0.0625

( ) 0.25 0.01562

c

pc

T

Tp T

p p p

t t dt

t t t

ε

ε

−= ⋅ ⋅ ⋅

⇓

= ⋅ −

∫

Tracciamento della curva per punti:

pt ( )ptε 0 0 4 0.75 8 1 16 0


17

A questo punto abbiamo gli elementi necessari per rispondere ad a), b) e c).

a) Calcolo del tempo critico: Per calcolare il tempo critico ( _p critt ) ci serve conoscere la curva delle portate cQ . La curva si trova mediante la seguente formula:

( ) ( ) ( )c p a p pQ t Q t tε= ⋅ Dove:

( )ptε ce la siamo calcolata al punto 1.3 ed in questo caso vale:

2( ) 0.25 0.01562p p pt t tε = ⋅ −

Invece:

1

0.8

( )3.6

( ) 1594.44

nb p

a p

a p p

A a tQ t

Q t t

φ −

−

⋅ ⋅ ⋅=

⇓

= ⋅

Sostituendo e svolgendo si ha che:

0.2 1.2

( ) ( ) ( )

( ) 398.61 24.9051

c p a p p

c p p p

Q t Q t t

Q t t t

ε= ⋅

⇓

= ⋅ − ⋅


18

Tracciamento della curva per punti:

Il tempo critico si ottiene con:

_

( )0 2.667c p

p critp

dQ tt

dt= ⇒ = ore

pt ( )c pQ t0 0 4 394 8 302 16 0

Curva delle portate

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

350,00

400,00

450,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00

tp

Qc(

tp)

Qc(tp)


19

b) Calcolo della portata critica La portata critica si ottiene con:

_ _

3

_

( )

405.30

c crit c p crit

c crit

Q Q t

mQs

=

⇓

=

c) Calcolo del tempo di transito della portata critica alla sezione di chiusura Probabilmente è la parte più difficile dell’esercizio. Il tempo di transito si ottiene semplicemente facendo:

_ 5.3332 2

p critc tT+ = ore dall’inizio della pioggia.


20

Esercizio 10: Date le misure di Z e Q riportate in tabella, si stimi un’espressione analitica della scala dei deflussi nella forma ( )1Q Q z βη= ⋅ −

Z Q -0.5 1.25 -0.32 7.74 -0.12 21 0.08 40.4 0.25 60.1 0.31 63.8 0.45 75.9 0.58 109 0.66 112 0.72 128 0.78 134 0.87 144 0.93 176 1.02 191 1.15 220

Per fare in modo di non avere delle altezze Z negative, si incrementa di un valore 1δ = tutti i valori.

Z Z δ= + I valori 1Q e β della funzione ( )1Q Q z βη= ⋅ − sono da stimare. A questo proposito usiamo il metodo dei minimi quadrati non lineari.

log( ) log( )Q q m Z= +

log( )x Z= log( )y Q= -0.301 0.097 -0.167 0.899 -0.056 1.322 0.033 1.606 0.097 1.779 0.117 1.805 0.161 1.88 0.199 2.037 0.22 2.049 0.236 2.107 0.25 2.127 0.272 2.158 0.286 2.246 0.305 2.281 0.332 2.342


21

Si trovano così i valori m e q:

3.24651.352

mq==

Si trova così la curva interpolatrice che approssima la scala delle portate:

( )1

1 10q

Q Q zm

Q

βηβη δ

= ⋅ −

== −

=


22

Esercizio 11: Con i dati mensili di temperatura riportati in tabella si calcoli l’evapotraspirazione potenziale secondo la formula di Thornthwaite per il maggio 1981. Si calcoli conseguentemente il volume d’evapotraspirazione potenziale per un bacino di 296Km di superficie. Ammesso che l’ evapotraspirazione effettiva abbia eguagliato quella potenziale e che non vi siano stati scambi idrici sotterranei apprezzabili con l’esterno del bacino, si calcoli la variazione nel contenuto di acqua al suolo (in mm e in 3m ) per il mese di maggio 1981, posto che la pioggia mensile sia stata di 248.44mm e che la portata media nel mese alla sezione di chiusura sia stata di

3 16.2m s− .

Mesi Temperatura media Maggio 1980 14.7 Giugno 1980 18.2 Luglio 1980 20 Agosto 1980 22.9

Settembre 1980 19 Ottobre 1980 13.3

Novembre 1980 6.2 Dicembre 1980 3.8 Gennaio 1981 3 Febbraio 1981 4.6 Marzo 1981 9 Aprile 1981 12.9

Maggio 1981 15.7


23

Dati:

2

3 1

96248.46.2

bA Kmh mmQ m s−

==

=

Svolgimento:

Calcolo dell’evapotraspirazione potenziale con la formula di Thornthwaite:

1016a

mTETP kθ⋅⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

Dove: a: polinomio in θ . 7 5 2 26.75 10 7.71 10 1.79 10 0.492a θ θ θ− − −= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ;

1.514

5i

i

Tθ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ;

mT = temperatura media del mese in questione; k= fattore stagionale che tiene conto dell’insolazione, viene ricavato dalla seguente tabella.

1.514

45.7915

i

i

Tθ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

1.215210 15.7116 1.28 91.5445.791

ETP mm⋅⎛ ⎞= ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Il volume di evapotraspirazione per il mese di maggio 1981 sarà pari a:

3 6 310 8.788 10bETPV A ETP m= ⋅ ⋅ = ⋅


24

A questo punto si deve calcolare la variazione nel contenuto di acqua al suolo, in mm ed in 3m per il mese di maggio 1981. Il volume di acqua scaricato nel mese di maggio presso la sezione di chiusura è pari a:

7 31.6606 10scar maggioV Q s m= ⋅ = ⋅ Dove 660 60 24 31 2.678 10maggios s= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ sono i secondi nel mese di maggio. In millimetri:

3 172.9810

scarmm

b

VQ mmA

= =⋅

Facciamo il bilancio complessivo per il mese di maggio:

16.12mmBilancio h ETP Q mm= − − = − Paro a:

3 310 1547491.673bbilancio A m⋅ ⋅ = −


25

Esercizio 12: La serie di portate al colmo massime annue della tabella è stata interpretata con una distribuzione di Gumbel (EV1). I parametri sono stati stimati:

255.7273.9

ba==

Essendo gQ b a z= + ⋅ , eseguire il test 2χ di adattamento della distribuzione usando le tavole statistiche allegate.

Anni Portate (Q) 1966 1630 1958 1600 2000 973 1965 966 1960 808 1957 660 1959 653 1990 652 1963 641 1996 552 1962 542 1999 540 1984 520 1978 513 1961 472 1954 465 1972 450 1993 422 1980 405 1987 370 1998 367 1968 360 1979 345 1967 325 1975 290 1977 245 1976 220 1997 177 1988 152 1956 140 1964 126 1989 124 1982 120 1992 94 1955 91 1970 73 1973 72


26

1985 64 1971 56 1991 43 1995 34 1974 28

Svolgimento: Per procedere correttamente il campione deve essere composto da almeno 20 elementi. Nella tabella precedente sono riportati 42 elementi, più che sufficienti per procedere. Scegliamo un numero di classi 4 5m m≥ → = Calcolo della frequenza teorica kE che deve essere 5kE ≥ :

8.4kNEm

= =

Calcolo delle porte caratterizzanti le classi:

20%

40%

60%

80%

100%

1ln ln0.2

1ln ln0.4

1ln ln0.6

1ln ln0.8

g

g

g

g

g

Z

Z

Z

Z

Z

⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= ∞

3 120%

3 140%

3 160%

3 180%

125.355

279.645

439.686

666.534

g

g

g

g

Q b a z m s

Q b a z m s

Q b a z m s

Q b a z m s

Q

−

−

−

−

= + ⋅ =

= + ⋅ =

= + ⋅ =

= + ⋅ =

= ∞

Frequenze osservate:

Classi kO 1 11 2 6 3 8 4 12 5 5


27

Calcolo del parametro 2C :

( )2

2 4.429k k

i k

O EC

E−

= =∑

Adesso, per completare il test bisogna calcolare i gradi di libertà della funzione: a e b sono due parametri, quindi:

1 pv m n= − − Dove:

1m − sono i gradi di libertà; pn numero dei parametri stimati.

2v =

Scegliamo come livello di significatività:

0.05α = Dalle seguenti tavole statistiche si ricava il valore 2χ da confrontare con 2C :


28

2 5.99χ = Siccome:

24.429 χ< Si può concludere che l’adattamento della distribuzione ai dati è buono.

Idrologia Tecnica - Esercizi

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