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Corso di Idraulica Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale ed Idrologia Forestale

Docente: Prof. Santo Marcello Docente: Prof. Santo Marcello ZimboneZimbone

Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino -- Ing. Demetrio Ing. Demetrio ZemaZema

Anno Accademico 2008Anno Accademico 2008--20092009

Lezione n. 4: Idrostatica (parte III Lezione n. 4: Idrostatica (parte III -- equazione equazione globale globale -- legge di Archimede legge di Archimede –– calcolo della spinta)calcolo della spinta)

22

Equazione globaleEquazione globale

Legge di ArchimedeLegge di Archimede

Spinta su una superficie pianaSpinta su una superficie pianaAppendice: elementi di statica delle superfici piane Appendice: elementi di statica delle superfici piane

(momento statico, baricentro, momenti d(momento statico, baricentro, momenti d’’inerzia e centrifugo)inerzia e centrifugo)

Spinta su una superficie curvaSpinta su una superficie curvaapplicazione dellapplicazione dell’’equazione globaleequazione globalemetodo delle componentimetodo delle componenti

IndiceIndice

SlidesSlides delle lezioni frontalidelle lezioni frontali

CitriniCitrini--NosedaNoseda (pagg. 43(pagg. 43--52)52)

Materiale didatticoMateriale didattico

Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 4Lezione 4

33

Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrostaticaidrostatica

Forza di massa (G) e di superficie (Forza di massa (G) e di superficie (ΠΠ)) agentiagentisullsull’’elemento di elemento di volume Vvolume V occupato dal fluidooccupato dal fluido

G G + + ΠΠ = = 00Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrostaticaidrostatica


44


GG’’

Caso 1:Caso 1:

Il Il corpocorpo risalerisale in in superficiesuperficie

““un corpo immerso in un fluido riceve una spinta un corpo immerso in un fluido riceve una spinta ((ΠΠ ’’)) dal basso dal basso verso lverso l’’alto pari al peso del volume di fluido spostato alto pari al peso del volume di fluido spostato (G(G’’))””


55

ΠΠ’’++GG’’ = 0 = 0

EquazEquaz. globale applicata al . globale applicata al volume immerso che si volume immerso che si

immagina occupato dal fluidoimmagina occupato dal fluido

GG’’ = peso del volume = peso del volume immersoimmerso

GG’’

EquazEquaz. di equilibrio applicata . di equilibrio applicata al corpo interoal corpo intero



66

Legge di ArchimedeLegge di Archimede““un corpo immerso in un fluido riceve un corpo immerso in un fluido riceve una spinta una spinta ((ΠΠ ’’)) dal basso verso ldal basso verso l’’alto alto

pari al peso del volume di fluido spostato pari al peso del volume di fluido spostato (G(G’’))””

Ne deriva che:Ne deriva che:

ΠΠ’’= = --GG’’GG’’



77

Caso 2:Caso 2: PP = = GG

Peso proprio Peso proprio del corpo del corpo immersoimmerso

La spinta non dipende dalla profonditLa spinta non dipende dalla profonditàà di immersionedi immersioneCorso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 4Lezione 4


88

Caso 3:Caso 3:

Reazione del fondoReazione del fondoCorso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 4Lezione 4


99

Spinta su una superficie pianaSpinta su una superficie piana

Sia A una superficie immersa in un liquido e giacente su Sia A una superficie immersa in un liquido e giacente su un piano che forma un angolo un piano che forma un angolo αα con lcon l’’orizzontaleorizzontale

Retta (o linea) di sponda: Retta (o linea) di sponda: intersezione della intersezione della superficie A con il superficie A con il p.c.i.p.c.i.


Appendice: elementi sulla statica delle superfici pianeAppendice: elementi sulla statica delle superfici piane

1010

∫

∫

∫

⋅⋅

=

==

==

A

A

A

dAxnsen

dAnsenx

dAnpS

senxhp

r

r

r

αγ

αγ

αγγ



1111

∫

∫

=

=

A0

A0

dAxxA

dAxA1x

ApAhxAS 000sen === γαγ

Detta Detta xx00 la la distanza del baricentro dalldistanza del baricentro dall’’asse yasse y

pp00 = = γγ xx00 sen sen αα = = γγ hh00 = pressione nel baricentro= pressione nel baricentro

Il Il modulo della spintamodulo della spinta (S) (S) èè quindi uguale al prodotto quindi uguale al prodotto tra la tra la pressione nel baricentro (ppressione nel baricentro (p00) e l) e l’’area della area della superficie piana (A)superficie piana (A)



1212

La spinta La spinta èè un vettore normale alla superficieun vettore normale alla superficie

Coordinate del suo punto di applicazione o Coordinate del suo punto di applicazione o centro di spintacentro di spinta: :

ξ η,

Si applicano le equazioni di equilibrio dei momentiSi applicano le equazioni di equilibrio dei momenti attorno attorno agli assi y ed xagli assi y ed x

Per Per ll’’ascissa (ascissa (ξξ)) del centro di spintadel centro di spinta

∫ ∫ ∫∫ ====⋅A A AA

dAxdAxxdAxhdAxpS 2sensen αγαγγξ



1313

ξ =IMy

y

0sen xAS αγ=

yAIdAx =∫ 2

yMxA =0

essendo:essendo:

si ha:si ha:

LL’’ascissa del centro di spintaascissa del centro di spinta èè data dal data dal rapportorapporto tra il tra il momento dmomento d’’inerziainerzia ed il ed il momento statico della superficiemomento statico della superficiesu cui si esercita la spinta, su cui si esercita la spinta, entrambi calcolati rispetto entrambi calcolati rispetto alla retta di sponda alla retta di sponda



1414

0

0

0000

0000

<<+=

>>+=

xperxxMI

xperxxMI

y

y

ξ

ξ

A p.c.i.x

0ξ A

p.c.i.

x0

ξ

Il centro di spinta Il centro di spinta èè posto inferiormente al baricentro, se posto inferiormente al baricentro, se xx00 èè positivo, superiormente ad esso, se xpositivo, superiormente ad esso, se x00 èè negativo negativo



1515

∫ ∫ ∫∫ ====⋅A A AA

dAyxdAyxdAyhdAypS αγαγγη sensen

y

xy

MI

=η

Per Per ll’’ordinataordinata ((ηη) ) del centro di spinta, si ha:del centro di spinta, si ha:

LL’’ordinata del centro di spintaordinata del centro di spinta èè data dal data dal rapporto rapporto tra il tra il prodotto dprodotto d’’inerziainerzia ed il ed il momento staticomomento statico della superficie della superficie A rispetto alla retta di sponda A rispetto alla retta di sponda



1616

Equazione globale Equazione globale ((G + G + ΠΠ = 0) = 0) applicata al volume ABCapplicata al volume ABC :

ΠΠ = = ΠΠABC ABC + + ΠΠACAC

G + G + ΠΠABC ABC + + ΠΠACAC = 0= 0

Spinta esercitata dal fluido su Spinta esercitata dal fluido su ABC: ABC:

-- ΠΠABCABC

S = S = -- ΠΠABC ABC = G + = G + ΠΠACAC

Spinta su una superficie curvaSpinta su una superficie curva(con applicazione dell(con applicazione dell’’equazione globale)equazione globale)


1717

Spinta su una superficie curvaSpinta su una superficie curva(con il metodo delle componenti)(con il metodo delle componenti)

La La spinta agente su una qualunque superficie curvaspinta agente su una qualunque superficie curva èènota se si conoscono le sue nota se si conoscono le sue componenti secondo un componenti secondo un piano orizzontale e secondo un asse verticalepiano orizzontale e secondo un asse verticale

In questo caso la spinta In questo caso la spinta èè data dalla data dalla somma vettoriale somma vettoriale delle due componentidelle due componenti


1818

θcosndApdS x =

∫= Ax dApS θcosn

Componente orizzontale Componente orizzontale della spinta elementare della spinta elementare

Componente orizzontale Componente orizzontale della spintadella spinta

SSxx èè la la somma vettorialesomma vettoriale delle delle spinte agenti sugli spinte agenti sugli elementi di superficie elementi di superficie dAdA coscosθθ, proiezione degli elementi , proiezione degli elementi dAdA su un piano verticale su un piano verticale



1919

n

n

h

p.c.i.

dA

A

α

dA

n α

α

dA cosα

Su un elemento di superficie Su un elemento di superficie dAdA il modulo della il modulo della spinta spinta elementare elementare dSdS èè pari a pari a p p dAdA = = γγ h h dAdA



2020

n

n

h

p.c.i.

dA

A

α

dA

n α

α

dA cosα

La La componente verticale della spinta elementarecomponente verticale della spinta elementare risultarisulta

dSdSVV = = γγ h cosh cosαα dAdA

dAdA coscosαα èè la la proiezione della superficie proiezione della superficie dAdA su un su un piano piano orizzontaleorizzontale; quindi; quindi dAdA coscosαα hh èè il il volume del prisma volume del prisma elementareelementare di di base base dAdA coscosαα e e altezza h altezza h (rispetto al piano (rispetto al piano dei carichi idrostatici) dei carichi idrostatici)



2121

n

n

h

p.c.i.

dA

A

α

dA

n α

α

dA cosα

La La componente verticale della spinta su componente verticale della spinta su AA èè data data dalldall’’integrale delle componenti delle forze elementariintegrale delle componenti delle forze elementari

ed ed èè quindi pari al quindi pari al peso del volume liquidopeso del volume liquido WW compreso compreso tra tra la superficie Ala superficie A ed il ed il piano dei carichi idrostaticipiano dei carichi idrostatici

WdAcoshSAV γαγ == ∫



2222

Elementi di statica delle superfici pianeElementi di statica delle superfici piane

Momento del primo ordine o momento staticoMomento del primo ordine o momento statico

∫= AX dAyM ∫= Ay dAxM


2323

BaricentroBaricentro

La retta parallela allLa retta parallela all’’asse asse yy per cui risulta per cui risulta MMKK=0=0 èè detta detta baricentricabaricentrica

( )∫ −=AK dAKxM



2424

BaricentroBaricentro

Detta Detta xx00 ll’’ascissa della retta ascissa della retta baricentricabaricentrica, poich, poichéé deve deve essere: essere:

00 =− AxM y

∫==A

y dAxAA

Mx 1

0

si ha:si ha:



( )∫ −=A 0y dAxxM

e:e:

x0

2525

Momento del secondo ordine o momento di inerziaMomento del secondo ordine o momento di inerzia

∫=A

y dAxI 2 I y dAxA

= ∫ 2



2626

Momento del secondo ordine o momento di inerziaMomento del secondo ordine o momento di inerzia

( )

AxIAxAxx2I

dAxdAxx2IdAxdAxx2dAx

dAxxI

20y

2000y

A

20

A0y

A A

200

A

2

A

20c

−=+−=

=+−=+−=

=−=

∫∫∫ ∫∫

∫

AxII cy20+=

Teorema del trasporto: il Teorema del trasporto: il momento di inerzia rispetto ad momento di inerzia rispetto ad un asse y (un asse y (IIyy)) èè dato dalla somma del dato dalla somma del momento centrale momento centrale ((IIcc)) -- ossia calcolato rispetto allossia calcolato rispetto all’’asse asse baricentricobaricentrico –– e del e del prodotto dellprodotto dell’’area A per il quadrato della distanza area A per il quadrato della distanza dalldall’’asse asse baricentricobaricentrico xx00



2727

Prodotto di inerzia o momento centrifugoProdotto di inerzia o momento centrifugo

∫=A

xy dAyxI



2828

Calcolo dei momenti del primo e del secondo Calcolo dei momenti del primo e del secondo ordine delle figure geometriche piordine delle figure geometriche piùù comunicomuni

Momento statico S = A a

cm3

2H 3

2H)hH( 22 −

BH2H)BH(

2H)bhBH( −


2929

Calcolo dei momenti del primo e del secondo Calcolo dei momenti del primo e del secondo ordine delle figure geometriche piordine delle figure geometriche piùù comunicomuni



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