Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 1 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

Trigonometria:

equazioni riconducibili alle elementari

Facolta di Ingegneria - Universita della Calabria

Abstract

Lo scopo di questo lavoro e quello di fornire all’utente unostrumento per verificare il suo grado di preparazione rel-ativamente all’argomento ”Trigonometria:equazioni ricon-ducibili alle elementari”.

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 2 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

Contenuti

1 Trigonometria:equazioni riconducibili alle elementari 3

Riferimenti teorici 8

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 3 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

1. Trigonometria:equazioni riconducibili alle elemen-tari

In questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla cheriguardano l’argomento: “Trigonometria:equazioni riconducibili alleelementari”.Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto e quella cor-retta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlocliccando su “Inizio Quiz” e dunque cliccare sulla casellina che siritiene corrisponda alla risposta corretta.Alla fine dell’esercizio, cliccando su “Fine Quiz” il programma pro-cedera ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventual-mente a correggere quelle errate.

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 4 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

Inizio Quiz

1. La condizione cui deve soddisfare il parametro kaffinche l’equazione 4senx = 3k abbia soluzione e’

(a) non c’e’ nessuna limitazione ai valori di k(b) k ≥ −4

3(c) k ≤ 4

3(d) k = ± 4

3(e) − 4

3 ≤ k ≤ 43

2. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?

(a) L’equazione tgx = senx e’ equivalente asenx = senx cosx

(b) L’equazione cosx =√

72 ha infinite soluzioni

(c) L’equazione senx = −1 in [0, 2π) ha due soluzione(d) L’equazione cosx

3 = 12 non ha soluzione

(e) L’equazione 4cos2x− 3 = 0 ha nove soluzioni in [0, 2π)

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 5 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

3. L’equazione senx + cosx = 2

(a) Non ha soluzioni(b) E’ vera per x = π

2 + 2kπ(c)E’ vera per ogni valore di x(d) E’ vera per x ≥ π

3(e) E’ vera per x 6= π

4. L’equazione 2− 2cos2x +√

2 senx = 0

(a) Non ha soluzione(b) E’ soddisfatta per x = kπ, x = 5

4π, x = 74π + 2kπ

(c) E’ soddisfatta perx = π

2 + kπ, x = 34π + 2kπ, x = 5

4π + 2kπ(d) E’ soddisfatta per ogni x(e)E’ soddisfatta per x = π

2 + kπ, x = π4 + 2kπ, x = 7

4π + 2kπ

5. L’equazione sen(cosx) = 0

(a) Non ha soluzione(b) E’ vera per ogni x(c) Ha soluzione π

2 + kπ(d) E’ vera per x > π

2(e) E’ vera per x = 2kπ

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 6 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

6. L’equazione 2sen2x = 3cosx

(a) Non ha soluzione(b) E’ soddisfatta per x = π

3 + 2kπ, x = 53π + 2kπ

(c) E’ soddisfatta per x = π3 + 2kπ

(d) E’ vera per ogni x(e) E’ soddisfatta per x = π + 2kπ

7. L’equazione ex = cosx− 1

(a) E’ impossibile(b) Ha soluzione x = 2kπ(c) Ha l’unica soluzione x = 0(d) Ha infinite soluzioni(e) Ha soluzione x > 0

Fine Quiz

Se hai risposto erroneamente alle domande puoi verificare la tuapreparazione consultando pagine teoriche relative agli argomentitrattati in questa sezione del Quiz.

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 7 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

Per visualizzare le pagine teoriche clicca suRIFERIMENTI TEORICI

Riferimenti teorici 1. Vai alle pagine di teoria

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 8 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

Riferimenti teorici

Riferimenti teorici 1.

EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE

Un’equazione trigonometrica e’ un’equazione in cui compaiono fun-zioni trigonometriche.

La risoluzione di un’equazione trigonometrica si riconduce allarisoluzione di un’equazione del tipo:

senx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a, a ∈ R,

dove x e’ la misura dell’angolo incognito.Percio’ tali equazioni trigonometriche si dicono elementari.Risolviamo separatamente tali equazioni.

1. Risolvere l’equazione:

senx = a,

significa trovare tutti i valori degli angoli, il cui seno vale a.Intanto e’ evidente che deve essere −1 ≤ a ≤ 1, altrimenti

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 9 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

l’equazione non ha soluzione.ESEMPIO

L’equazione senx = 2 e’ impossibile.

Sappiamo che esiste sempre un angolo orientato positivo α

che soddisfa l’equazione senx = a. Ma se α soddisfa l’equazioneanche l’angolo supplementare π−α, soddisfa la stessa equazione,perche’ sappiamo che e’ :

sen(π − α) = senα = a.

Questi due angoli sono evidentemente gli unici angoli, mi-nori di 2π, che soddisfano l’equazione in questione. Infine,sappiamo che tutti gli angoli che differiscono da questi, permultipli interi di 2π radianti, soddisfano pure l’equazione.Possiamo, quindi dire che le misure in radianti di tutti gliangoli che soddisfano l’equazione, sono date dalle due for-mule:

x = α + 2kπ

ex = (π − α) + 2kπ

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 10 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

con k ∈ ZESEMPIO

Trovare le soluzioni dell’equazione senx =√

22 .

Soluzione

I due angoli positivi, minori di 2π, che, soddisfano l’equazione

data sono:π4 e π − π

4 = 34π.

Tutte le soluzioni sono quindi date dalle formule:

x =π

4+ 2kπ e x =

34π + 2kπ con k ∈ Z.

Risolvere l’equazione:

cosx = a,

significa determinare tutti i valori degli angoli, il cui cosenovale a.Anche in questo caso dobbiamo supporre che sia:−1 ≤ a ≤ 1, altrimenti l’equazione e’ impossibile. Esiste

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 11 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

sempre un angolo orientato positivo α, minore di 2π, che sod-disfa l’equazione cosx = a. Ma se α soddisfa l’equazione, an-che l’angolo opposto−α, soddisfa la stessa equazione perche’come sappiamo risulta:

cos(−α) = cosα.

Ne segue che le misure, in radianti, di tutti gli angoli cheverificano l’equazione, sono date dalla formula:

x = ±α + 2kπ

con k ∈ Z.ESEMPI

(a) Risolvere l’equazione cosx =√

32 .

Soluzione

Siccome sappiamo che e’ cosπ6 =

√3

2 , allora le soluzionidell’equazione sono date dalla formula x = ±π

6 + 2kπcon k ∈ Z.

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 12 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

(b) Risolvere l’equazione cosx = − 12 .

Soluzione

Siccome sappiamo che cosπ3 = 1

2 , il piu’ piccolo an-golo positivo che soddisfa l’equazione e’ π − π

3 = 23π.

Tutte le soluzioni dell’equazione sono date dalla formulax = ± 2

3π + 2kπ con k ∈ Z.

2. Risolvere l’equazione:

tgx = a,

significa determinare tutti i valori degli angoli, la cui tan-gente vale a, con a numero reale qualunque.

Esiste sempre un angolo orientato positivo α, minore di π,che soddisfa l’equazione tgx = a. Sappiamo che angoli chedifferiscono di π hanno la stessa tangente; quindi turre lesoluzioni in radianti dell’equazione sono date dalla formula:

x = α + kπ,

con k ∈ Z.

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 13 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

ESEMPIO

Risolvere l’equazione tgx = −√

33 .

Soluzione

Essendo tg π6 =

√3

3 , il piu’ piccolo angolo positivo che soddisfal’equazione data e’ π−

√3

3 = 56π; quindi tutte le soluzioni dell’equazione

data si ottengono dalla formula x = 56π + kπ con k ∈ Z.

Per la risoluzione dell’equazione ctgx = a il procedimento e’ anal-ogo a quello dell’equazione tgx = a.

Le equazioni cosecx = a e secx = a si riconducono ad equazionielementari in seno e coseno.

In modo analogo a quanto fatto precedentemente , si risolvonoanche le equazioni del tipo:

sen(mx) = sen(nx), cos(mx) = cos(nx),

tg(mx) = tg(nx), ctg(mx) = ctg(nx),

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 14 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

dove m e n sono due numeri reali qualunque, diversi fra di loro.Infatti, perche’ sia ad esempio.

sen(mx) = sen(nx)

bisogna che l’angolo mx sia uguale all’angolo nx, oppure ne dif-ferisca per multipli interi di 2π od anche sia eguale al supple-mentare di nx, cioe’ π−nx, oppure differisca da questo per multipliinteri di 2π.

Deve quindi risultare

mx = nx + 2kπ, oppure mx = π − nx + 2kπ,da cui si ricava

x = 2kπm−n e x = (2k+1)π

m+n ,con k ∈ Z.In modo analogo si ragiona per le altre tre equazioni.

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 15 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

ESEMPI

1. Risolvere l’equazione sen3x = sen2x.

Soluzione

Deve quindi risultare

3x = 2x + 2kπ, oppure 3x = π − 2x + 2kπ,di qui si ricava

x = 2kπ, x = (2k + 1)π

5,

con k ∈ Z.

2. Risolvere l’equazione cos(2x− π4 ) = cos(x + π

6 ).

Soluzione

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 16 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

Deve essere (2x− π

4

)= ±

(x +

π

6

)+ 2kπ,

da cui si ricava

x =512

π + 2kπ, x =π

36+

2kπ

3,

con k ∈ Z

3. Risolvere l’equazione tg9x = tg4x.

Soluzione

In questo caso deve risultare

9x = 4x + kπ,

da cui si ricavax = k

π

5,

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 17 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

con k ∈ Z.

4. Risolvere l’equazione sen7x = cos5x.

si puo’ scrivere

sen7x = sen(π

2− 5x

),

da cui risulta

7x = π2 − 5x + 2kπ, oppure 7x = π − (π

2 − 5x) + 2kπ,e dunque

x =π

24+ k

π

6, x =

π

4+ kπ,

con k ∈ Z.

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 18 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

EQUAZIONI LINEARI IN sen(x) E cos(x).Un equazione trigonometrica si dice lineare in senx e cosx quando

e’ del tipo:

asenx + bcosx = c, con a, b 6= 0.

Per risolvere le equazioni lineari si procede come nei seguenti:

ESEMPI

1. Risolvere l’equazione√

3 senx− 3cosx = 0.

Dividendo ambo i membri di questa equazione per cosx, siottiene: √

3 tgx− 3 = 0, ossia tgx =√

3.Le soluzioni di questa equazione sono date da

x =π

3+ kπ,

con k ∈ Z.

Nel risolvere l’equazione abbiamo diviso per cosx; nel fare

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 19 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

cio’ non abbiamo perso ulteriori soluzioni perche’ cosx = 0per x = π

2 +kπ, ma questi valori non soddisfano l’equazione.

2. Risolvere l’equazione senx + cosx = 1.

Si osservi inanzi tutto, che l’equazione non e’ soddisfatta perx = π + 2kπ, perche’ per tali valori il seno vale zero e ilcoseno -1, e si avrebbe: -1=1, il che e’ assurdo. Possiamoquindi supporre x 6= π + 2kπ e trasformare l’equazione datamediante le formule di razionalizzazione:

senx =2t

1 + t2, cosx =

1− t2

1 + t2,

dove t = tg x2 .

Si ottiene l’equazione equivalente:

2t1+t2 + 1−t2

1+t2 = 1, ossia 2t2 − 2t = 0da cui segue

2t(t− 1) = 0 =⇒ t = 0 oppure t = 1;e dunque

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 20 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

tg x2 = 0 e tg x

2 = 1.Dalla prima si ricava

x2 = kπ, ossia x = 2kπ,

e dalla seconda

x2 = π

4 + kπ, ossia x = π2 + 2kπ.

Le soluzioni delll’equazione proposta sono quindi date dalleformule

x = 2kπ, x =π

2+ 2kπ,

con k ∈ Z.

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 21 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

ESEMPI DI EQUAZIONI RICONDUCIBILI ALLE ELEMEN-TARIRisolvere le seguenti equazioni:

a) senx cosx = 14

b) senx− cosx = 0

c) cos2x + 3senx− 3 = 0

d) tgx + ctgx + 2 = 0

e) senx + sen2x + sen3x = 0

Soluzione:

a) Moltiplicando ambo i membri per 2 e ricordando la formuladi duplicazione del seno, possiamo scrivere:sen2x = 1

2 =⇒ 2x = π6 + 2kπ e 2x = 5

6π + 2kπ, da cui seguex = π

12 + kπ, x = 512π + kπ con k ∈ Z

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 22 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

b) Dividendo ambo i membri per cosx ( i valori che annullanoil coseno non soddisfano l’equazione) si hatgx− 1 = 0 =⇒ tgx = 1 =⇒ x = π

4 + kπ, con k ∈ Z.

c) Utilizzando la formula fondamentale della trigonometria siha:

1− sen2x + 3senx− 3 = 0 =⇒ sen2x− 3senx + 2 = 0.Posto senx = t si ha t2−3t+2 = 0 da cui segue t = 1 e t = 2.Pertanto abbiamo le due equazioni elementari: senx = 2 chee’ impossibile, e senx = 1 da cui segue x = π

2 + 2kπ conk ∈ Z.

d) Ricordando che la ctgx = 1tgx , possiamo riscrivere l’equazione

nella formatgx + 1

tgx + 2 = 0 =⇒ tg2x + 2tgx + 1 = 0 =⇒ (tgx + 1)2 =0 =⇒ tgx = −1 =⇒ x = 3

4π + kπ con k ∈ Z.

c) Applicando le formule di prostaferesi, al primo e terzo ad-dendo, si ha:

senx + sen2x + sen3x = 2sen2x cosx + sen2x =

= sen2x(1 + 2cosx) = 0,

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 23 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

da cui:

sen2x = 0 e 1 + 2cosx = 0,e quindi:

2x = kπ, cioe’ : x = k π2 ; e x = ± 2

3π + 2kπ, con k ∈ Z.

ESERCIZI

1. La condizione cui deve soddisfare il parametro k affinche’l’equazione

4senx = 3k

abbia soluzione e’

A)non c’e’ nessuna limitazione ai valori di k

B)k ≥ − 43

C)k ≤ 43

D)k = ± 43

E)− 43 ≤ k ≤ 4

3

Soluzione: E)

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 24 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

4senx = 3k =⇒ senx = 34k con −1 ≤ 3

4k ≤ 1 =⇒=⇒ −4

3 ≤ k ≤ 43

2. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?

A)L’equazione tgx = senx e’ equivalente a senx = senx cosx

B)L’equazione cosx =√

72 ha infinite soluzioni

C)L’equazione senx = −1 in [0, 2π) ha due soluzione

D)L’equazione cosx3 = 1

2 non ha soluzione

E)L’equazione 4cos2x− 3 = 0 ha nove soluzioni in [0, 2π)

Soluzione:A)

A)tgx = senx =⇒ senxcosx = senx =⇒ senx−senx cosx

cosx = 0 =⇒senx = senx cosx, poiche’ cosx 6= 0 sempre altrimenti la tgxnon e’ definita;

B)cosx =√

72 non ha soluzione perche’

√7

2 e’ maggiore di 1;

C) senx = −1 ha una soluzione in [0, 2π), vale a dire x = 32π;

D)cosx3 = 1

2 ha soluzione: x3 = ±π

3 +2kπ =⇒ x = ±π +6kπ;

E)4cos2x − 3 = 0 =⇒ cosx =√

32 e cosx = −

√3

2 =⇒ x =π6 , 11

6 π, 56π, 7

6π;

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 25 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

3. L’equazione senx + cosx = 2

A)Non ha soluzioni

B)E’ vera per x = π2 + 2kπ

C)E’ vera per ogni valore di x

D)E’ vera per x ≥ π3

E)E’ vera per x 6= π

Soluzione: A)

Il valore piu grande che possono assumere seno e coseno e’ 1,ma tale valore non puo’ essere assunto contemporaneamentedalle due funzioni.

4. L’equazione 2− 2cos2x +√

2 senx = 0

A)Non ha soluzione

B)E’ soddisfatta per x = kπ, x = 54π, x = 7

4π + 2kπ

C)E’ soddisfatta per x = π2 +kπ, x = 3

4π+2kπ, x = 54π+2kπ

D)E’ soddisfatta per ogni x

E)E’ soddisfatta per x = π2 + kπ, x = π

4 +2kπ, x = 74π +2kπ

Soluzione:B)

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 26 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

2− 2cos2x +√

2 senx = 0 =⇒

=⇒ 2−2+2sen2x+√

2 senx = 0 =⇒ senx(2senx+√

2) = 0

=⇒ senx = 0 =⇒ x = kπ

e

2senx +√

2 = 0 =⇒ senx = −√

22

=⇒

=⇒ x =54π e x =

74π;

5. L’equazione sen(cosx) = 0

A)Non ha soluzione

B)E’ vera per ogni x

C)Ha soluzione π2 + kπ

D)E’ vera per x > π2

E)E’ vera per x = 2kπ

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 27 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

Soluzione:C)

sen(cosx) = 0 =⇒ cosx = kπ

bisogna distinguere i due casi:

k = 0 =⇒ cosx = 0 =⇒ x =π

2+ kπ

e

k 6= 0 =⇒ cosx = kπ non ha soluzione poiche’ −1 ≤ cosx ≤ 1;

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 28 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

6. L’equazione 2sen2x = 3cosx

A)Non ha soluzione

B)E’ soddisfatta per x = π3 + 2kπ, x = 5

3π + 2kπ

C)E’ soddisfatta per x = π3 + 2kπ

D)E’ vera per ogni x

E)E’ soddisfatta per x = π + 2kπ

Soluzione:B)

2sen2x = 3cosx =⇒ 2− 2cos2x− 3cosx = 0 =⇒

=⇒ 2cos2x + 3cosx− 2 = 0 =⇒ cosx = −2

che e’ impossibile, e

cosx = 12 =⇒ x = π

3 + 2kπ e x = 53π + 2kπ;

Home Page

Titolo della Pagina

Contenuti

JJ II

J I

Pagine 29 di 7

Indietro

Pieno Schermo

Chiudi

Esci

7. L’equazione ex = cosx− 1

A)E’ impossibile

B)Ha soluzione x = 2kπ

C)Ha l’unica soluzione x = 0

D)Ha infinite soluzioni

E)Ha soluzione x > 0

Soluzione:A)

ex > 0 ∀x =⇒ cosx− 1 > 0 =⇒ cosx > 1 che e’ assurdo.

Per tornare alla simulazione del Quiz clicca suRIFERIMENTI TEORICI

Riferimenti teorici 1