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Trigonometria
Facolta di Ingegneria - Universita della Calabria
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Lo scopo di questo lavoro e quello di fornire all’utente unostrumento per verificare il suo grado di preparazione relati-vamente all’argomento :Trigonometria.
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1 Trigonometria: primi elementi 3
2 Funzioni trigonometriche 8
Riferimenti teorici 18
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1. Trigonometria: primi elementi
In questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla cheriguardano i primi elementi di trigonometria.Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto e quella cor-retta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlocliccando su “Inizio Quiz” e dunque cliccare sulla casellina che siritiene corrisponda alla risposta corretta.Alla fine dell’esercizio, cliccando su “Fine Quiz” il programma pro-cedera ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventual-mente a correggere quelle errate.
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Inizio Quiz
1. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
(a) Un angolo e’ un segmento compreso tra due rette che siincontrano.
(b) Un angolo e’ la piu’ piccola delle due parti del piano incui esso e’ diviso da due semirette uscenti da uno stessopunto.
(c) Un angolo e’ la piu’ grande delle due parti del piano incui esso e’ diviso da due semirette uscenti da uno stessopunto.
(d) Un angolo e’ ciascuna delle due parti del piano in cui essoe’ diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto.
(e) Un angolo e’ il punto di incontro di due semirette uscentida uno stesso punto.
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2. Se un angolo misura 72◦, la sua misura in radianti e’ :
(a) π5
(b) 23π
(c) 25π
(d) 56π
(e) 3π
3. Se un angolo misura 216◦, la sua misura in radianti e’ :(a) maggiore di 2π
(b) compresa tra π2 e π
(c) compresa tra π e 32π
(d) compresa tra 32π e 2π
(e) compresa tra π4 e π
2
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4. Dati gli angoli α (a sinistra)e β (a destra)in figura.
Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?(a) α e’ positivo e β e’ negativo.(b) α e β sono entrambi negativi.(c) α e β sono entrambi positivi.(d) α e’ negativo e β e’ positivo.(e) β = α + 2π.
Fine Quiz
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Se hai risposto erroneamente alle domande puoi verificare la tuapreparazione consultando pagine teoriche relative agli argomentitrattati in questa sezione del Quiz.Per visualizzare le pagine teoriche clicca suRIFERIMENTI TEORICI
Riferimenti teorici 1. Vai alle pagine di teoria
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2. Funzioni trigonometriche
In questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla cheriguardano le funzioni trigonometriche.Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto e quella cor-retta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlocliccando su “Inizio Quiz” e dunque cliccare sulla casellina che siritiene corrisponda alla risposta corretta.Alla fine dell’esercizio, cliccando su “Fine Quiz” il programma pro-cedera ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventual-mente a correggere quelle errate.
Inizio Quiz
1. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?(a) Il seno e il coseno sono rispettivamente l’ascissa e
l’ordinata di un punto sulla circonferenza di centrol’origine degli assi e raggio 1.
(b) La tangente e’ il rapporto tra coseno e seno.(c) La cotangente e’ un’ordinata.(d) La tangente e’ un’ascissa.(e) La tangente e’ il rapporto tre seno e coseno.
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2. Quale delle seguenti relazioni e’ impossibile?(a) senx =
√3
(b) tgx = 10
(c) cosx = 37
(d) ctgx = −7
(e) sen23 + cos23 = 1
3. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?(a) ∃ un angolo α t.c.senα = 1 e cosα = 1
(b) cosα e’ positivo per 34π ≤ α ≤ 5
4π
(c) La funzione senα e’ periodica di periodo 4π
(d) ∃ la tangente di ogni angolo orientato
(e) senα e’ negativo per 43π ≤ α ≤ 5
3π
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4. Quale delle seguenti disuguaglianze e’ falsa?
(a) se π4 < α < π
2 allora senα > cosα
(b) se π2 < α < π allora senα > tgα
(c) se 0 < α < π2 e π < β < 3
2π allora cosα < cosβ
(d) se 0 < α < π4 allora tgα < 1
(e) se 0 < α < π4 allora ctgα > 1
5. Quali dei seguenti e il valore dell’espressione
sen0 + sec2π + csecπ2
cos0 tg0− senπ4 csecπ
4
(a) -2 (b) 1 (c) -1 (d) 2 (e) 0
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6. Quali dei seguenti e il valore dell’espressione
2√3cos
π
6−√
3cosπ
6+ 2
√2sen
π
4− ctg
32π
(a) 34 (b) 2
3 (c) 32 (d) 4
3 (e) 12
7. Quali dei seguenti e il valore dell’espressione
2senπ
3+ ctg
π
3− tg
π
6+ 5cos
π
4−√
22
tgπ
4− tg
π
3
(a) 3√
2 (b) 2√
3 (c) 3√
3 (d) 2√
2 (e) 1 +√
2
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8. L’espressione
3senπ − 5cosπ + 2tg32π − ctg
π
2+ 2sen
32π
(a) vale π (b) 0 (c) −2
(d) non ha senso perche’ la tg 32π non e’ definita
(e) non ha senso perche’ ctg π2 non e’ definita
9. Se senα = 35 con π
2 ≤ α ≤ π, cosα quanto vale?
(a)− 45 (b) 4
5 (c) 34 (d) − 3
4 (e) 35
10. Se tgα = 12 con π ≤ α < 3
2π, senα quanto vale?
(a) − 1√5
(b) 1√5
(c) − 12 (d) − 2√
5(e) 2√
5
11. Se cosα = − 513 con π
2 ≤ α < π, ctgα quanto vale?
(a) − 512 (b) 5
12 (c) 1213 (d) 12
5 (e) − 125
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12. Se tgα = 2 con 0 < α < π2 , ctgα quanto vale?
(a)√
2 (b) 2 (c) 12 (d) − 1
2 (e)√
22
13. Quale tra le seguenti uguaglianze non e’ un’identita’ ?
(a)senα secα− tgα = 0
(b)senα ctgα− cosα = 0
(c)
csecα tgα− 1cosα
= 0
(d)tgα cosα− senα = 0
(e)(1− sen2α) secα− 2cosα = 0
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14. Quale tra le seguenti uguaglianze non e’ un’identita’ ?
(a)
tgα +1
tgα= secα csecα
(b)
(tgα +1
ctgα)cos2α = 2senα
(c)senα cosα
1− sen2α= tgα
(d)
ctgα +1
ctgα= csecα secα
(e)1− cos2α
senα cosα= tgα
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15. Sia α = π6 e β = π − α. quale delle seguenti eguaglianze e’
vera?(a) senβ = − 1
2
(b) cosβ =√
32
(c) tgβ =√
33
(d) cosα + cosβ = 0
(e) tgα− tgβ = 0
16. Siano α e β due angoli legati dalla relazione β = 2π−α. Qualedelle seguenti affermazioni e’ vera?
(a)senα = cosβ
(b) cosβ = cosα
(c)ctgα = ctgβ
(d)tgβ = tgα
(e) senα = senβ
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17. Quale delle seguenti eguaglianze e’ falsa?
(a) tg 54π = 1
(b) cos 76π = −
√3
2
(c) sen 74π = −
√2
2
(d) ctg 23π = −
√3
3
(e) sen 56π = − 1
2
18. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
(a) cos(π2 + π
6 ) = 12
(b) tg(π2 + π
4 ) = 1
(c) sen(−α) + sen(π2 − α) + cos(α− π
2 )− cos(−α) = 0
(d) sen(π − α) tg(α + π) + sen(α + π) tg(π − α) = 0
(e) sen(π2 + α)− ctg(π
2 + α)− cosα− tg(π2 + α) = tg2α−1
tg(α)
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Fine Quiz
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Riferimenti teorici 2. Vai alle pagine di teoria
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Riferimenti teorici
Riferimenti teorici 1.
ANGOLI,ARCHI E LORO MISURA
ANGOLO: ciascuna delle due parti del piano in cui esso e’ divisoda due semirette uscenti da uno stesso punto.
Il punto O e’ detto vertice, mentre le semirette r ed s sono dettelati dell’angolo.
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Se le due semirette coincidono, cioe’ se r=s, allora una delle dueparti in cui e’ diviso il piano e’ vuota; in tal caso l’angolo nonvuoto e’ chiamato angolo giro.
La meta’ dell’angolo giro e’ chiamata angolo piatto, e corrispondea due semirette r, s allineate con versi opposti.
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La quarta parte dell’angolo giro e’ chiamata angolo retto.
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ARCO: la parte di una circonferenza inclusa in un angolo alcentro della circonferenza stessa.
Si scrive l’arco ABA e B sono detti estremi dell’arco. Si dice che l’angolo al centrosottende l’arco.MISURA DEGLI ANGOLIGRADO: la trecentosessantesima parte di un angolo giro. Cosı unangolo giro e’ 360 gradi, un angolo piatto 180 gradi e un angoloretto 90 gradi.RADIANTE: consideriamo la circonferenza di raggio 1 con cen-tro nel vertice dell’angolo. La misura in radianti e’ la lunghezzadell’arco di circonferenza intercettato dalle due semirette.
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Cosi un angolo giro misura 2π radianti, un angolo piatto π radiantie un angolo retto π
2 radianti.
PASSAGGIO DA UN SISTEMA DI MISURA ALL’ALTRO.Indicata con r la misura in radianti di un angolo e con g la misurain gradi dello stesso angolo, si ha:
360 : 2π = g : r
da cui:r =
π
180g , e g =
180π
r.
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Tali formule consentono di passare dalla misura in gradi alla misurain radianti di un angolo, o dalla misura in radianti a quella in gradi.
ESEMPI1)g = 45◦ =⇒ r = π
18045 = π4
2)g = 30◦ =⇒ r = π18030 = π
6
3)g = 60◦ =⇒ r = π18060 = π
3
4)g = 270◦ =⇒ r = π180270 = 3
2π
5)r = 54π =⇒ g = 180
π54π = 225
6)r = 710π =⇒ g = 180
π710π = 126
Nel calcolo differenziale si usa sempre il radiante come unita’ di
misura degli angoli.
ANGOLI ORIENTATI:consideriamo s come retta di riferimento fissata e pensiamo di per-correre la circonferenza di raggio 1 per passare da s ad r. L’angolominore formato da s, r e’ percorso in senso antiorario, mentrel’angolo maggiore in senso orario.
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Nel primo caso si dice che l’angolo e’ orientato positivamente, nelsecondo caso che e’ orientato negativamente.
MISURA DI UN ANGOLO ORIENTATO:
la misura dell’angolo presa rispettivamente con il segno positivoo negativo a seconda che l’angolo sia percorso da s a r in sensoantiorario o in senso orario.Allo stesso modo, nel movimento da s a r si puo’ percorrere piu’volte la circonferenza di raggio 1 con centro nel vertice dell’angolo.Ad esempio consideriamo la retta s fissata e percorriamo la circon-
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ferenza di raggio 1 fino a raggiungere la retta r. Se andiamo inverso antiorario e ci fermiamo al primo incontro di r, individuiamoun angolo la cui misura in radianti e’ un numero α positivo. Sepercorriamo in senso antiorario la circonferenza fino ad incontrarepiu’ volte r, individuiamo angoli le cui misure in radianti valgono
α + 2π, α + 4π, α + 6π, ..., α + 2kπ, ...
Se invece, a partire da s percorriamo la circonferenza in senso orariofino ad incontrare la semiretta r, in funzione del numero di giriotteniamo gli angoli le cui misure in radianti valgono
α− 2π, α− 4π, α− 6π, ..., α− 2kπ, ...
Per tornare alla simulazione del Quiz clicca suRIFERIMENTI TEORICI Riferimenti teorici 1
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Riferimenti teorici 2.
Funzioni trigonometriche
SENO E COSENO DI UN ANGOLO ORIENTATO: consideri-amo un riferimento cartesiano ortogonale di assi x, y e origine Oed assumiamo il semiasse positivo delle x come retta di riferimentoper misurare gli angoli. Consideriamo inoltre una circonferenzadi centro O e raggio 1, un punto P sulla circonferenza e l’angoloorientato che misura α radianti (α ∈ R) che il raggio congiungenteO e P forma con il semiasse positivo delle x.
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Il seno di α, indicato senα e il coseno di α, indicato cosαsono rispettivamente l’ordinata e l’ascissa del punto P sulla cir-conferenza che sottende l’angolo α;senα = APcosα = OASi noti che il seno e’ positivo nel I e nel II quadrante, negativoaltrimenti. Invece il coseno e’ positivo nel I e nel IV quadrante enegativo nel II e nel III.
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PROPRIETA’ DEL SENO E DEL COSENO.Molte proprieta’ importanti di cosα e senα sono una conseguenzadel fatto che sono le coordinate di un punto P sulla circonferenzadi equazione x2 + y2 = 1.1) Per ogni valore reale α,
−1 ≤ cosα ≤ 1, e − 1 ≤ senα ≤ 1.
Pertanto le relazioni
senα = 5, senα = −√
153
, cosα = −2, cosα > 1, senα < −3
sono assurde.2)Relazione fondamentale della trigonometria. Le coordinate
di Px = cosα e y = senα devono soddisfare l’equazione della circon-ferenza di centro O e raggio 1. Pertanto, per ogni valore reale α,si ha :
cos2α + sen2α = 1
Ne segue che
senα = ±√
1− cos2α, cosα = ±√
1− sen2α
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CASI NOTEVOLI.Dalla definizione di seno e coseno, si hanno immediatamente i
seguenti casi notevoli.a) se α = 0 allora senα = 0 e cosα = 1
b) se α = π2 allora senα = 1 e cosα = 0
c) se α = π allora senα = 0 e cosα = −1
d) se α = 32π allora senα = −1 e cosα = 0
e) se α = 2π allora senα = 0 e cosα = 1
SENO E COSENO DI ALCUNI ANGOLI PARTICOLARI
a)se α = π6 allora senα = 1
2 e cosα =√
32
b)se α = π3 allora senα =
√3
2 e cosα = 12
c)se α = π4 allora senα =
√2
2 e cosα =√
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PERIODICITA’ DEL SENO E DEL COSENO.
Il seno e il coseno sono funzioni dell’angolo, vale a dire ad ogniα ∈ R associano un numero reale appartenente a [−1, 1]. Siccomela circonferenza e’ lunga 2π, sommando 2π a α si fa compiere aP un giro completo lungo la circonferenza e si giunge nello stessopunto di partenza. Quindi, per ogni α,
sen(α + 2kπ) = senα e cos(α + 2kπ) = cosα, k ∈ Z
ESEMPI
1) senα = 1 per α = π2 + 2kπ, k ∈ Z
2)cosα = 1 per α = 2kπ, k ∈ Z
ATTENZIONE!!
senα = 0 per α = kπ e cosα = 0 per α = π2 + kπ, k ∈ Z
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GRAFICI DELLE FUNZIONI SENO E COSENO
sinusoide
sen : R → [−1, 1]
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cosinusoide
cos : R → [−1, 1]
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TANGENTE E COTANGENTE DI UN ANGOLO ORIENTATO.
Consideriamo di nuovo la circonferenza di centro O e raggio 1,il punto P e l’angolo α. Sia Q il punto di intersezione tra la tan-gente alla circonferenza nel punto A=(1,0) e la retta passante perO e P.Si definisce tangente di α, e si scrive tgα l’ordinata del punto Q.
tgα = AQ
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Dalla definizione segue che per α = π2 e α = 3
2π la tangente none’ definita. La tangente e’ positiva nel I e III quadrante e negativanel II e IV quadrante.Per α = 0, α = π e α = 2π si ha tgα = 0. La tangente e’ periodica
di periodo π, cioe’ per ogni α per cui e’ definita, risulta
tg(α + kπ) = tgα, k ∈ Z.
Ne segue che la tangente e’ definita per α 6= π2 + kπ, k ∈ Z.
La tangente puo’ assumere qualunque valore positivo, negativo o
nullo. Si esprime questo fatto dicendo che la tangente varia da−∞ a +∞.
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GRAFICO DELLA TANGENTE
tg :{
x ∈ R∣∣x 6= π
2+ kπ, k ∈ Z
}→ (−∞,+∞)
tangentoide
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La cotangente di α , che si indica con ctgα e’ l’ascissa del punto Nintersezione tra la tangente alla circonferenza nel punto B=(0,1) ela retta passante per O e P.
ctgα = BN
Dalla definizione segue che per α = 0, α = π e α = 2π la cotangentenon e’ definita.La cotangente e’ positiva nel I e III quadrante e negativa nel II eIV quadrante.Per α = π
2 e α = 32π si ha ctgα = 0.
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La cotangente e’ periodica di periodo π, cioe’ per ogni α per cui e’definita, risulta
ctg(α + kπ) = ctgα, k ∈ Z.
Ne segue che la cotangente e’ definita per α 6= kπ, k ∈ Z.Anche la cotangente varia da−∞ a +∞.GRAFICO DELLA COTANGENTE
ctg : {x ∈ R|x 6= kπ, k ∈ Z} → (−∞,+∞)
cotangentoide
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SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL COEFFICIENTE ANGO-LARE DI UNA RETTA.
Consideriamo la circonferenza di centro O e raggio 1, il punto Psu di essa,il punto Q intersezione della tangente in A con la rettaOP, il punto N intersezione della tangente in B con la retta OP ,e l’angolo α. Si ha:
P = (cosα, senα), Q = (1, tgα), N = (ctgα, 1).
La retta OP ha equazione r : y = mx dove m e’ il coefficienteangolare.Ne segue che m = y
x .
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Si ha:Q ∈ r =⇒ m = tgα; P ∈ r =⇒ m = senα
cosα =⇒ tgα = senαcosα
con α 6= π2 + kπ, k ∈ Z;
N ∈ r =⇒ m = 1ctgα =⇒ tgα = 1
ctgα
con α 6= k π2 , k ∈ Z e ctgα = 1
tgα = cosαsenα , α 6= kπ, k ∈ Z;
Pertantose α = π
6 allora tgα =√
33 e ctgα =
√3
se α = π4 allora tgα = 1 e ctgα = 1
se α = π3 allora tgα =
√3 e ctgα =
√3
3 .
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SECANTE E COSECANTE DI UN ANGOLO ORIENTATO.
Si definiscono infine altre due funzioni trigonometriche di minoreimportanza: la secante e la cosecante.La secante e la cosecante di un angolo orientato sono rispettiva-mente il reciproco del coseno e del seno e si scrive:
secα =1
cosα
definita per α 6= π2 + kπ e
cosecα =1
senα
definita perα 6= kπ
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ESERCIZI
1) Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?A) Il seno e il coseno sono rispettivamente l’ascissa e l’ordinata diun punto sulla circonferenza di centro l’origine degli assi e raggio 1.
B) La tangente e’ il rapporto tra coseno e seno.C) La cotangente e’ un’ordinata.
D) La tangente e’ un’ascissa.
E) la tangente e’ il rapporto tre seno e coseno.
Soluzione: E)
2)Quale delle seguenti relazioni e’ impossibile?
A)senx =√
3B)tgx = 10
C)cosx = 37
D) ctgx = −7
E) sen23 + cos23 = 1
Soluzione: A)
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3) Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
A) ∃ un angolo α t.c.senα = 1 e cosα = 1B) cosα e’ positivo per 3
4π ≤ α ≤ 54π
C) La funzione senα e’ periodica di periodo 4π
D) ∃ la tangente di ogni angolo orientato
E) senα e’ negativo per 43π ≤ α ≤ 5
3π
Soluzione:E) perche’ siamo nel III e IV quadrante dove il seno e’
negativo.
La A) e’ falsa perche’ senα = 1 per α = π2 + 2kπ, e cosα = 1
per α = 2kπ;la B) e’ falsa perche’ siamo nel II e III quadrante dove il coseno e’
negativo;la C)e’ falsa perche’il seno e’ periodico di periodo 2π;
la D) e’ falsa perche’ la tgα non esiste per α = π2 + kπ;
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4) Quale delle seguenti disuguaglianze e’ falsa?A)se π
4 < α < π2 allora senα > cosα
B)se π2 < α < π allora senα > tgα
C)se 0 < x < π2 e π < β < 3
2π allora cosα < cosβ
D)se0 < α < π4 allora tgα < 1
E)se0 < α < π4 allora ctgα > 1
Soluzione:la C)
perche’ cosα e’ positivo, mentre cosβ e’ negativo;
la A) e’ vera:per π4 < α < π
2 il punto corrispondente sulla cir-conferenza goniometrica ha ordinata maggiore dell’ascissa;la B)e’ vera perche’ senα e’ positivo, mentre tgα e’ negativa;
la D) e’ vera:ricordare la definizione di tangente
la E) e’ vera: ricordare la definizione di cotangente
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5)Il valore dell’espressione sen0+sec2π+csec π2
cos0 tg0−sen π4 csec π
4e’
A)-2B)1
C)-1
D)2
E)0
Soluzione:A).Infatti sen0+sec2π+csec π2
cos0 tg0−sen π4 csec π
4= 0+1+1
0−1 = −2
6)Il valore dell’espressione 2√3cosπ
6−√
3cosπ6 +2
√2senπ
4−ctg 32π e’
A) 34
B) 23
C) 32
D) 43
E)12
Soluzione: la C). Infatti 2√3cosπ
6 −√
3cosπ6 + 2
√2senπ
4 − ctg 32π =
2√3
√3
2 −√
3√
32 + 2
√2√
22 − 0 = 1− 3
2 + 2 = 3− 32 = 3
2 .
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7)Il valore dell’espressione 2senπ3 + ctg π
3 − tg π6 +5cosπ
4 −√
22 tg π
4 −tg π
3 e’
A)3√
2B)2
√3
C)3√
3
D)2√
2
E)1 +√
2
Soluzione: la D).Infatti 2senπ3 +ctg π
3−tg π6 +5cosπ
4−√
22 tg π
4−tg π3 =
2√
32 +
√3
3 −√
33 + 5
√2
2 −√
22 −
√3 = 2
√2.
8)L’espressione 3senπ − 5cosπ + 2tg 32π − ctg π
2 + 2sen 32π
A)vale π
B)non ha senso perche’ la tg 32π non e’ definita
C)0
D)non ha senso perche’ ctg π2 non e’ definita
E)-2
Soluzione: B).
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RELAZIONI TRA LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHENoto il senα si ha
cosα = ±√
1− sen2α, tgα =±senα√1− sen2α
, ctgα =±√
1− sen2α
senα;
noto il cosα si ha
senα = ±√
1− cos2α, tgα =±√
1− cos2α
cosα, ctgα =
±cosα√1− cos2α
;
nota la tgα si ha
senα =±tgα√1 + tg2α
, cosα = ± 1√1 + tg2α
, ctgα =1
tgα;
infine nota la ctgα si ha
senα = ± 1√1 + ctg2α
, cosα =±ctgα√1 + ctg2α
, tgα =1
ctgα.
Il segno ± dipende dal quadrante di appartenenza della funzionein questione.
ESEMPIOTrovare il seno e la tangente dell’angolo α appartenente all’intervallo[π, 3
2π] per cui cosα = − 13 .
Soluzione.
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Nell’intervallo in questione il seno e’ negativo e la tangente e’ pos-itiva. Pertanto
senα = −√
1− cos2α = −√
1− 19
= −√
89
= −2√
22
mentre
tgα =senα
cosα=− 2
√2
3−13
= 2√
2
ESERCIZI
1. Se senα = 35 con π
2 ≤ α ≤ π, cosα quanto vale?
A)− 45
B) 45
C) 34
D)− 34
E)35
Soluzione :A)
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Nell’intervallo in questione il coseno e’ negativo.
Pertanto cosα = −√
1− sen2α = −√
1− 925 = −
√1625 =
− 45 ;
2. Se tgα = 12 con π ≤ α < 3
2π, senα quanto vale?
A)− 1√5
B) 1√5
C)− 12
D)− 2√5
E) 2√5
Soluzione: A)
Nell’intervallo in questione il seno e’ negativo.
Pertanto senα = − tgα√1+tg2α
= −12√1+ 1
4
= −12√54
= − 1√5,
3. Se cosα = − 513 con π
2 ≤ α < π, ctgα quanto vale?
A)− 512
B) 512
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C) 1213
D) 125
E)− 125
Soluzione: A)
Nell’intervallo in questione la cotangente e’ negativa.
Pertanto ctgα = cosα√1−cos2α
= −513√
1− 25169
= −5131213
= − 512 ;
4. Se tgα = 2 con 0 < α < π2 , ctgα quanto vale?
A)√
2
B)2
C) 12
D)− 12
E)√
22
Soluzione: C)
ctgα = 1tgα = 1
2 ;
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IDENTITA’ TRIGONOMETRICA: uguaglianza tra espressioni checontengono funzioni trigonometriche di uno o piu’ angoli, che e’verificata qualunque siano i valori che si attibuiscono alle misuredegli angoli contenuti (esclusi quei valori per i quali almeno unadelle due espressioni perde significato).
ESEMPIO
tgα = senαcosα con α 6= π
2 + kπ
ESEMPIO
Verificare la seguente identita’ :
tg2α− sen2α = sen2α tg2α
Soluzione:
Trasformando l’espressione al primo membro dell’eguaglianza, siottiene:
tg2α − sen2α = sen2αcos2α − sen2α = sen2α(1−cos2α)
cos2α = sen2α sen2αcos2α =
sen2α tg2α
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ESERCIZI
1. Quale tra le seguenti uguaglianze non e’ un’identita’ ?
A) senα secα− tgα = 0
B) senα ctgα− cosα = 0
C) csecα tgα− 1cosα = 0
D) tgα cosα− senα = 0
E) (1− sen2α) secα− 2cosα = 0
Soluzione:E)
La A) e’ un’identita’ : senα secα− tgα = senα 1cosα − tgα =
tgα− tgα = 0
La B) e’ un’identita’ : senα ctgα−cosα = senα cosαsenα−cosα =
0
La C) e’ un’identita’ : csecα tgα− 1cosα = 1
senαsenαcosα . 1
cosα = 0
La D) e’ un’identita’ : tgα cosα−senα = senαcosα cosα−senα =
0
La E) non e’ un’identita’ : (1 − sen2α) secα − 2cosα =cos2α 1
cosα − 2cosα = −cosα.
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2. Quale tra le seguenti uguaglianze non e’ un’identita’ ?
A) tgα + 1tgα = secα csecα
B) (tgα + 1ctgα )cos2α = 2senα
C) senα cosα1−sen2α = tgα
D) ctgα + 1ctgα = csecα secα
E) 1−cos2αsenα cosα = tgα.
Soluzione: B)
La A) e’ un’identita’ :tgα+ 1tgα = senα
cosα + cosαsenα = sen2α+cos2α
senα cosα =1
senα cosα = secα csecα
La B) non e’ un’identita’ : (tgα+ 1ctgα )cos2α = 2tgα cos2α =
2senα cosα
La C) e’ un’identita’ : senα cosα1−sen2α = senα cosα
cos2α = tgα
La D) e’ un’identita’ : ctgα+ 1ctgα = cosα
senα+ senαcosα = cos2α+sen2α
senα cosα =1
senα cosα = secα csecα
La E) e’ un’identita’ : 1−cos2αsenα cosα = sen2α
senα cosα = tgα.
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ANGOLI ASSOCIATI. Una volta che una funzione trigonometricasia nota nel primo quadrante essa viene calcolata per gli altri valoriin base alle formule seguenti:
1. IDENTITA’ DEGLI ANGOLI SUPPLEMENTARI.
Si dicono supplementari due angoli la cui somma e’ π, vale adire α e π − α. Si ha:
sen(π − α) = senα
cos(π − α) = −cosα
tg(π − α) = −tgα
ctg(π − α) = −ctgα
2. IDENTITA’ DEGLI ANGOLI OPPOSTI.
Due angoli si dicono opposti quando sono uguali in valoreassoluto ma di segno contrario, vale a dire α e −α. Si ha:
sen(−α) = −senα
cos(−α) = cosα
tg(−α) = −tgα
ctg(−α) = −ctgα
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Queste formule esprimono il fatto che senα , tgα e ctgαsono funzioni dispari (ossia il grafico e’ simmetrico rispettoall’origine); invece cosα e’ una funzione pari (ossia il graficoe’ simmetrico rispeto all’asse y).
3. IDENTITA’ DEGLI ANGOLI COMPLEMENTARI:Si dicono complementari due angoli la cui somma e’ π
2 , valea dire α e π
2 − α.Si ha:sen(π
2 − α) = cosα
cos(π2 − α) = senα
tg(π2 − α) = ctgα
ctg(π2 − α) = tgα
4. IDENTITA’ DEGLI ANGOLI ANTISUPPLEMENTARI.Si dicono antisupplementari due angoli che differiscono di π,vale a dire α e π + α. Si ha:sen(π + α) = −senα
cos(π + α) = −cosα
tg(π + α) = tgα
ctg(π + α) = ctgα
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5. IDENTITA’ DEGLI ANGOLI ANTICOMPLEMENTARI.
Si dicono anticomplementari due angoli che differiscono di π2 ,
vale a dire α e π2 + α. Si ha:
sen(π2 + α) = cosα
cos(π2 + α) = −senα
tg(π2 + α) = −ctgα
ctg(π2 + α) = −tgα
6. IDENTITA’ DEGLI ANGOLI ESPLEMENTARI.
Si dicono esplementari due angoli la cui somma e’ 2π, vale adire α e 2π − α. Si ha:
sen(2π − α) = −senα
cos(2π − α) = cosα
tg(2π − α) = −tgα
ctg(2π − α) = −ctgα
ESEMPIO
Trovare: a)sen 34π, b)cos 4
3π, c)tg 74π, d)ctg(−π
4 ).
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Soluzione:
a) sen 34π = sen(π − π
4 ) = senπ4 =
√2
2 ;
b) cos 43π = cos(π + π
3 ) = −cosπ3 = − 1
2 ;
c) tg 74π = tg(2π − π
4 ) = −tg π4 = −1;
d) ctg(−π4 ) = −ctg π
4 = −1;
ESERCIZI
1. Sia α = π6 e β = π − α. quale delle seguenti eguaglianze e’
vera?
A)senβ = − 12
B)cosβ =√
32
C)tgβ =√
33
D)cosα + cosβ = 0
E)tgα− tgβ = 0
Soluzione:D)
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2. Siano α e β due angoli legati dalla relazione β = 2π − α.Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?
A)senα = cosβ
B)cosβ = cosα
C)ctgα = ctgβ
D)tgβ = tgα
E)senα = senβ
Soluzione:B)
3. Quale delle seguenti eguaglianze e’ falsa?
A)tg 54π = 1
B)cos 76π = −
√3
2
C)sen 74π = −
√2
2
D)ctg 23π = −
√3
3
E)sen 56π = − 1
2
Soluzione:E)
La A)e’ vera: tg 54π = tg(π + π
4 ) = tg π4 = 1;
La B) e’ vera: cos 76π = cos(π + π
6 ) = −cosπ6 = −
√3
2 ;
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La C) e’ vera: sen 74π = sen(2π − π
4 ) = −senπ4 = −
√2
2 ;
La D) e’ vera: ctg 23π = ctg(π − π
3 ) = −ctg π3 = −
√3
3 ;La E) e’ falsa: sen 5
6π = sen(π − π6 ) = senπ
6 = 12 .
4. Quale delle seguenti affermazioni e’ vera?A) cos(π
2 + π6 ) = 1
2
B) tg(π2 + π
4 ) = 1C) sen(−α) + sen(π
2 − α) + cos(α− π2 )− cos(−α) = 0
D) sen(π − α) tg(α + π) + sen(α + π) tg(π − α) = 0
E) sen(π2 + α)− ctg(π
2 + α)− cosα− tg(π2 + α) = tg2α−1
tg(α)
Soluzione: C)La A) e’ falsa: cos(π
2 + π6 ) = −senπ
6 = − 12 ;
La B) e’ falsa: tg(π2 + π
4 ) = −ctg π4 = −1;
La C) e’ vera: sen(−α)+sen(π2−α)+cos(α− π
2 )−cos(−α) =−senα + cosα + cos(π
2 − α)− cosα = −senα + senα = 0;La D) e’ falsa: sen(π−α) tg(α+π)+ sen(α+π) tg(π−α) =senα tgα− senα (−tgα) = 2senα tgα;La E) e’ falsa: sen(π
2 +α)− ctg(π2 +α)− cosα− tg(π
2 +α) =cosα + tgα− cosα + ctgα = tgα + 1
tgα = tg2α+1tgα ;
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Riferimenti teorici 2
![TISOle~JJ (])IIlm - biblioteca.corteconti.itbiblioteca.corteconti.it/export/sites/bibliotecacdc/_documenti/alert/2016/2016_27/... · 42 28 Ottobre 2016 In evidenza ' ~ ILPUNTO Rito](https://static.fdocumenti.com/doc/165x107/5d02d7a388c993ac088d06b2/tisolejj-iilm-42-28-ottobre-2016-in-evidenza-ilpunto-rito-fomero-gli.jpg)
