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$: Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale - unirc.it · (Microsoft PowerPoint - IDRAULICA - LEZIONE 8 $equazioni fondamentali dell\222idrodinamica$_2008-09.ppt) Author: Demetrio$
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Corso di Idraulica Corso di Idraulica

ed Idrologia Forestale ed Idrologia Forestale

Docente: Prof. Santo Marcello Docente: Prof. Santo Marcello ZimboneZimbone

Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino -- Ing. Demetrio Ing. Demetrio ZemaZema

Anno Accademico 2008Anno Accademico 2008--20092009

Lezione n. 8: Equazioni fondamentali Lezione n. 8: Equazioni fondamentali

delldell’’idrodinamicaidrodinamica

22Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 8Lezione 8

�� Equazione indefinita dellEquazione indefinita dell’’equilibrio idrodinamicoequilibrio idrodinamico

�� Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica

�� ApplicazioneApplicazione

IndiceIndice

SlidesSlides delle lezioni frontalidelle lezioni frontali

CitriniCitrini--NosedaNoseda (pagg. 90(pagg. 90--102)102)

Materiale didatticoMateriale didattico

33

Equazione indefinita dellEquazione indefinita dell’’equilibrio idrodinamicoequilibrio idrodinamico

Detta Detta RR la la risultante delle forzerisultante delle forze, , mm la la massamassa e e AA

ll’’accelerazioneaccelerazione, per la prima , per la prima equazione cardinale della equazione cardinale della

dinamicadinamica deve risultaredeve risultare

AR m=

Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 8Lezione 8

44

Detta Detta FF la la forza di massa per unitforza di massa per unitàà di massadi massa e e ΦΦΦΦΦΦΦΦxx, , ΦΦΦΦΦΦΦΦyy e e

ΦΦΦΦΦΦΦΦzz gli gli sforzi agenti sulle superficisforzi agenti sulle superfici, risulter, risulteràà::

AF dzdydxdzdydxzyx

dzdydx zyx ρρ =

∂

Φ∂+

∂

Φ∂+

∂

Φ∂−


da cui si ottiene:da cui si ottiene:

( )zyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=− zyx ΦΦΦ

AFρ

Equazione indefinita Equazione indefinita

delldell’’equilibrio idrodinamico equilibrio idrodinamico

o equazione di Euleroo equazione di Eulero


55

( ) pgrad=A-Fρ

pzzyyxx =Φ=Φ=Φ

kjiz

p

y

p

x

ppgrad

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

NellNell’’ipotesi che esistano solo ipotesi che esistano solo sforzi normalisforzi normali, le , le

particelle non subiscono azioni tangenziali (particelle non subiscono azioni tangenziali (fluido fluido

perfettoperfetto), per cui, essendo:), per cui, essendo:


si ha:si ha:


con:con:

66

Aρρ =−− pgradzgradg

dt

d

g

pzgrad

v1−=

+

γ

Nel Nel campo di gravitcampo di gravitàà, essendo , essendo FF == gg, si ha:, si ha:

e, se si considera il e, se si considera il fluido incomprimibilefluido incomprimibile, dividendo per , dividendo per

ρρρρρρρρ gg: :



zgradg−=g

ll’’equazione indefinita dellequazione indefinita dell’’equilibrio idrodinamico diventa:equilibrio idrodinamico diventa:

77

Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamicaidrodinamica

Consideriamo una massa Consideriamo una massa

fluida in moto, che in un fluida in moto, che in un

certo istante tcerto istante t1 1 occupi il occupi il

volume volume ΣΣΣΣΣΣΣΣ1 1 dsds11

Sia vSia v1 1 la velocitla velocitàà allall’’istante tistante t11; immaginiamo ora che, ; immaginiamo ora che,

allall’’istante tistante t22 = t= t11+dt, la massa considerata vada ad +dt, la massa considerata vada ad

occupare il volume occupare il volume ΣΣΣΣΣΣΣΣ22dsds22 e possegga la velocite possegga la velocitàà vv2. 2.


88


Ricordando che nella Meccanica la quantitRicordando che nella Meccanica la quantitàà di moto di di moto di

un corpo un corpo èè un vettore dato dal un vettore dato dal prodotto della massa del prodotto della massa del

corpo per la sua velocitcorpo per la sua velocitàà, poich, poichéé ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ1 1 dsds11 èè la la massa massa

fluida interessatafluida interessata, potremo dire che la, potremo dire che la quantitquantitàà di moto di moto

inizialeiniziale èè::

ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ1 1 dsds

1 1 vv1 1 Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 8Lezione 8

99


La La quantitquantitàà di moto finaledi moto finale èè allo stesso modo: allo stesso modo:

ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ2 2 dsds

2 2 vv22


1010


Le forze che agiscono sulla massa fluida sono le Le forze che agiscono sulla massa fluida sono le forze forze

di massa, Gdi massa, G, e le , e le forze di superficie, forze di superficie, ΠΠΠΠΠΠΠΠ

La La risultanterisultante èè::

G + G + ΠΠΠΠΠΠΠΠ


1111


LL’’impulso della forza risultante (pari al prodotto fra la impulso della forza risultante (pari al prodotto fra la

forza e lforza e l’’intervallo temporale durante cui essa viene intervallo temporale durante cui essa viene

applicata, applicata, dtdt) ) èè::

((G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ)) dtdt


1212


Per il teorema dellPer il teorema dell’’impulso, limpulso, l’’impulso di una forza che impulso di una forza che

durante un intervallo durante un intervallo dtdt agisce su un corpo agisce su un corpo èè uguale alla uguale alla

variazione della variazione della quantitaquantita di moto del corpo stesso; di moto del corpo stesso;

pertanto:pertanto:

((G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ)) dtdt = = ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ22 dsds22 vv22 -- ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ11 dsds1 1 vv11


1313


Dividendo ambo i membri per Dividendo ambo i membri per dtdt::

G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ = = ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ22 vv2 2 vv22 -- ρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣρΣ11 vv11 vv11


1414


Ricordando la definizione di portata si ottiene:Ricordando la definizione di portata si ottiene:

G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ = = ρρρρρρρρQQvv22 -- ρρρρρρρρQQvv11


1515


LL’’uguaglianza dei vettori uguaglianza dei vettori G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ e e ρρρρρρρρQ(Q(vv22 -- vv11) ) èè mostrata mostrata

dalla figuradalla figura

Poniamo:Poniamo:

ρρρρρρρρQQvv11 = M= M11

ρρρρρρρρQQvv22 = M= M22Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale -- Lezione 8Lezione 8

1616


Pertanto risulta:Pertanto risulta:

G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ + M+ M11-- MM22 = 0= 0 Equazione globale Equazione globale

delldell’’idrodinamicaidrodinamica


1717


Si noti che MSi noti che M1 1 e Me M22, che in idraulica chiamiamo , che in idraulica chiamiamo ““quantitquantitàà

di motodi moto””,, hanno le dimensioni di una forza; esse sono in hanno le dimensioni di una forza; esse sono in

effetti una quantiteffetti una quantitàà di moto nelldi moto nell’’unitunitàà di tempo (di tempo (flusso flusso

della quantitdella quantitàà di motodi moto):):

vdt

dsΣM ρ=


1818


ΠΠΠΠΠΠΠΠ èè la risultante delle forze di superficie, quindi tiene la risultante delle forze di superficie, quindi tiene

conto sia di quelle che agiscono sulla superficie della conto sia di quelle che agiscono sulla superficie della

tubazione, sia di quelle che agiscono sulle superfici tubazione, sia di quelle che agiscono sulle superfici ΣΣΣΣΣΣΣΣ1 1 e e

ΣΣΣΣΣΣΣΣ2 2 da cui il fluido rispettivamente entra ed esceda cui il fluido rispettivamente entra ed esce


1919

Equazione globale dellEquazione globale dell’’idrodinamica: applicazioneidrodinamica: applicazione

Tratto di tubazione curva in un Tratto di tubazione curva in un piano orizzontalepiano orizzontale, in cui , in cui

defluisca, in defluisca, in moto permanentemoto permanente, un , un fluido incomprimibilefluido incomprimibile

Determinare la Determinare la spintaspinta che il liquido esercita sulla parete che il liquido esercita sulla parete

della curva stessadella curva stessa


2020

Applichiamo lApplichiamo l’’equazione globale al volume contenuto equazione globale al volume contenuto

nella curva. Risulta:nella curva. Risulta:

G+G+ΠΠΠΠΠΠΠΠ + M+ M11-- MM22 = 0= 0



2121

La La spinta spinta ΠΠΠΠΠΠΠΠ che la superficie che la superficie

di contorno esercita sul fluido di contorno esercita sul fluido

allall’’interno della curva si può interno della curva si può

scomporre come segue:scomporre come segue:

ΠΠΠΠΠΠΠΠ = = ΠΠΠΠΠΠΠΠ11 + + ΠΠΠΠΠΠΠΠ22 ++ΠΠΠΠΠΠΠΠLL

dove dove ΠΠΠΠΠΠΠΠ11 èè la spinta applicata la spinta applicata

dalla superficie dalla superficie ΣΣΣΣΣΣΣΣ11, , ΠΠΠΠΠΠΠΠ22 quella quella

applicata dalla superficie applicata dalla superficie ΣΣΣΣΣΣΣΣ22, ,

ΠΠΠΠΠΠΠΠLL quella applicata dalla quella applicata dalla superficie laterale Lsuperficie laterale L



2222

LL’’equazione globale si scrive quindi come:equazione globale si scrive quindi come:

G + G + ΠΠΠΠΠΠΠΠ11 + + ΠΠΠΠΠΠΠΠ22 + + ΠΠΠΠΠΠΠΠLL + M+ M11-- MM22 = 0= 0



2323

La spinta S che si vuole determinare La spinta S che si vuole determinare èè uguale e contraria uguale e contraria

a quella esercitata dalla parete della curva, quindi: a quella esercitata dalla parete della curva, quindi:

S = S = -- ΠΠΠΠΠΠΠΠLL = G + = G + ΠΠΠΠΠΠΠΠ11 + + ΠΠΠΠΠΠΠΠ22 + M+ M11-- MM22



2424

Consideriamo le forze che agiscono sul Consideriamo le forze che agiscono sul piano piano

orizzontaleorizzontale; l; l’’equazione precedente diventa:equazione precedente diventa:

SSo o = = ΠΠΠΠΠΠΠΠ11 + + ΠΠΠΠΠΠΠΠ22 + M+ M11-- MM22



2525

I moduli dei vettori che compaiono nella precedente I moduli dei vettori che compaiono nella precedente

equazione risultano:equazione risultano:

ρρρρρρρρQvQv1 1 = M= M

11; ; ρρρρρρρρQvQv2 2 == MM22; ; ΠΠΠΠΠΠΠΠ11 = p = p ΣΣΣΣΣΣΣΣ11; ; ΠΠΠΠΠΠΠΠ22 = p = p ΣΣΣΣΣΣΣΣ22



2626

Effettuando la composizione dei vettori, si evince che la Effettuando la composizione dei vettori, si evince che la

componente orizzontale della spintacomponente orizzontale della spinta esercitata dal fluido esercitata dal fluido

sulla superficie del tubo (sulla superficie del tubo (SSoo) ) èè diretta verso ldiretta verso l’’esterno esterno

della curvadella curva



2727

Per tale motivo, nelle condotte in pressione, si Per tale motivo, nelle condotte in pressione, si

dispongono dei blocchi ddispongono dei blocchi d’’ancoraggio allancoraggio all’’esterno delle esterno delle

curvecurve



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