Cinematica Dei Fluidi

8/10/2019 Cinematica Dei Fluidi

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Esercizi capitolo 3 - pag. i

CAPITOLO 3

CINEMATICA DEI FLUIDI

3.0.- RICHIAMI TEORICI

3.1.- PORTATA E VELOCIT MEDIA

3.2.- CONSERVAZIONE DELLA MASSA

3.3.- EQUAZIONE DI CONTINUIT

3.4.- DEFORMAZIONI

3.5.- VORTICIT


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Esercizi capitolo 3 - pag. ii

3.0.- RICHIAMI TEORICI

Portata massicaPer definizione la portata massica Gmrappresenta la massa m che in un intervallo di tempo t passa attraverso

una sezione normale al flusso

=

skg

tm

Gm . (3.1)

La portata massica dGmdi un filetto fluido diventa allora

=

s

kgSdudG m

dove la massa volumica in [kg/m3], u

la velocit in [m/s], Sd

la sezione del filetto fluido in [m2] e Sdu

rappresenta il prodotto scalare dei due vettori in modo che la normale a Sd

formi un angolo acuto con u

, men-tre la portata massica Gmdi un tubo di flusso diventa allora

== s

kgSdudGG

SSmm

dove S la sezione del tubo di flusso in [m2]. Se la massa volumica rimane costante su tutta la sezione S e seanche la velocit u

rimane costante su tutta la sezione S, assumendo il nome di velocit media, si ha

=

skg

SuGm (3.2)

dove S la sezione del tubo di flusso normale alla velocit media.

Portata volumetricaPer definizione la portata volumetrica Gvrappresenta il volume V che in un intervallo di tempo t passa attra-

verso una sezione normale al flusso

==

smG

tVG

3

mv . (3.3)

La portata volumetrica dGvdi un filetto fluido diventa allora

=

=

sm

SdudG

dG3

mv

mentre la portata volumetrica Gvdi un tubo di flusso diventa allora

== s

mSdudGG

3

SSvv

.

Se la velocit rimane costante su tutta la sezione S, assumendo il nome di velocit media, si ha

=

sm

SuG3

v . (3.4)

Velocit mediaPer definizione la velocit media quella velocit che, considerata costante su tutta la sezione normale, fa

passare la stessa portata massica o volumetrica di fluido (nel caso di portata massica, la massa volumica con-siderata costante su tutta la sezione S); dalla (3.2) e dalla (3.4) si ha

=

=

sm

S

G

SG

u vm . (3.5)

Conservazione della massaSe ci si riferisce ad un volume generico V delimitato da una superficie chiusa S, la conservazione della mas-


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Esercizi capitolo 3 - pag. iii

sa pu essere scritta

0SuG0dG iiimiS m === (3.6)

dove Si la i-esima superficie appartenente a S attraverso cui il fluido entra nel volume V con velocit u inega-tiva o esce dal volume V con velocit u ipositiva. Se il fluido incompressibile la (3.6) diventa

0SuG0dG iiviS v === . (3.7)

In un tubo di flusso dalla (3.6) si ricava

222111m2m1m2m1 SuSuGG0GG === (3.8)

dove la posizione 1, dalla quale entra fluido, a monte della posizione 2, dalla quale esce fluido. Se il fluido incompressibile (1= 2= = cost), dalla (3.4) e dalla (3.8) si ottiene che rimane costante anche la portata vo-lumetrica

v2v122112211 GGSuSuSuSu === . (3.9)

Equazione di continuitCon approccio di tipo euleriano, l'equazione di continuit data dalla relazione

( ) ( ) ( ) 0udivpgradutudivt =

++

=+

, (3.10)

mentre, con approccio di tipo lagrangiano, data dalla relazione

( ) ( ) ( ) 0udivpgradut

udivtD

D=

++

=+

. (3.11)

Se il fluido incompressibile (= cost) la (3.10) e la (3.11) diventano in coordinate cartesiane

( ) 0zw

yv

xu

udiv =

+

+

=

(3.12)

e in coordinate cilindriche

( ) ( )

0z

w

v

r

1

r

ru

r

1udiv =

+

+

=

. (3.13)

Come conseguenza si ottiene che la velocit un vettore "solenoidale", cio a divergenza nulla, solo in un fluidoincompressibile.

Deformazioni

In notazione tensoriale la generica deformazione ij data da

+

=

i

j

j

iij x

s

xs

21

(3.14)

dove s

il vettore spostamento di componenti (, , ), i la direzione della normale al piano su cui la de-formazione giace e j la direzione della deformazione, mentre la variazione di volume e data da

( )sdivzyx

e zzyyxx

=

+

+

=++= . (3.15)

In notazione tensoriale la generica velocit di deformazione ij data da

+

=

i

j

j

iij x

u

x

u

2

1 , (3.16)

mentre la velocit di variazione di volume e data da

( )udivzw

yv

xue zzyyxx

=

+

+

=++= . (3.17)


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Esercizi capitolo 3 - pag. iv

Vorticit

Per definizione la vorticit

data dal vettore

( )urot2

1

= (3.18)

avente in coordinate cartesiane le componenti

=

=

=

y

u

x

v

2

1

x

w

z

u

2

1

z

v

y

w

2

1 zyx (3.19)

e in coordinate cilindriche le componenti

( )

=

=

=

u

r

1

r

r v

r

1

2

1

r

w

z

u

2

1

z

v

w

r

1

2

1 zr . (3.20)

Se la vorticit (3.18) nulla, il moto si dice "irrotazionale" ed applicabile a fluidi non viscosi, mentre se differente da zero, il moto si dice "rotazionale" ed applicabile a fluidi viscosi.


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Esercizi capitolo 3 - pag. v

3.1.- PORTATA E VELOCIT MEDIA

Esercizio 3.1.1Per contenere le perdite continue, all'interno di un tubo di diametro D = 5 cm viene fatta circolare acqua ad

una velocit media u 2 m/s. Calcolare: a) la portata massica Gmmassima; b) la portata volumetrica Gvmassi-ma.

a) Dalla legge della portata massica (3.2) si ha

( )s

kg3.927

4105

210004D

uSuG22-2

m =

=

== .

b) Dalla relazione fra portate volumetrica e massica (3.3) e dalla legge della portata volumetrica (3.4) siha

slitri

3.93s

m103.93

10003.927

G

G3

3-mv ===

=

( )s

m103.93

4105

24D

uSuG3

3-22-2

v =

=

== .

Esercizio 3.1.2Un volume V = 60 litri di acqua sono scaricati da un contenitore in un tempo t = 25 s attraverso un'apertura

circolare di diametro D = 40 mm. Calcolare: a) la portata volumetrica Gv; b) la velocit media di scarico u.

Il volume in unit fondamentali vale

33-3 m0.060m1060litri60V === .

a) Dalla definizione di portata volumetrica (3.3) si ha

sm

102.4025

1060

tV

G3

3--3

v =

== .

b) Dalla definizione di velocit media (3.5) si ha

( ) sm

1.911040

102.404

D

G4

S

Gu

23-

-3

2vv =

=

== .

Esercizio 3.1.3Un pistone di diametro Dp= 65 mm scorre coassialmente all'interno di un cilindro di diametro Dc= 70 mm

alla velocit up= 50 mm/s. Il cilindro riempito di acqua che, quando il pistone si muove, esce dall'intercapedi-ne fra cilindro e pistone. Calcolare la velocit media u di uscita dell'acqua.

Il volume Vpche nel tempo t il pistone occupa all'interno del cilindro uguale al volume V di fluido che nel-lo stesso tempo t esce attraverso l'intercapedine; allora dalla legge della portata volumetrica (3.4) si ha

( ) === SSuSuGGt

V

t

Vpcppvvp

p

sm

0.3136570

651050

DD

Du

SS

Suu

22

23-

2p

2c

2p

ppc

pp =

=

=

= .

Esercizio 3.1.4Un fluido incompressibile scorre dentro un tubo convergente, che in una lunghezza L = 3 m varia linearmen-

te il diametro da D1= 0.40 m all'entrata a D2= 0.20 m all'uscita. Il moto stazionario e la portata volumetrica

che circola Gv= 0.03 m3/s. Calcolare la accelerazione a del fluido.

Dalla legge della portata volumetrica (3.4) si ha


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Esercizi capitolo 3 - pag. vi

sm

0.95490.20

0.034

D

G4

S

Gu

s

m0.2387

0.40

0.034

D

G4

S

Gu

SuG

222

v

2

v2

221

v

1

v1

v=

=

==

=

=

==

= .

Poich la velocit varia linearmente da u1all'entrata a u2all'uscita, l'accelerazione a costante e di conseguenzal'intervallo di tempo t impiegato dal fluido a percorrere il tratto lungo L con accelerazione a costante uguale a

quello impiegato a percorrerlo con la velocit u costante; la velocit u data da

sm

0.59682

0.95490.2387

2uu

u 21 =+

=+

= ,

l'intervallo di tempo t impiegato a percorrere il tubo dato da

s5.0270.5968

3

uL

t ===

e in definitiva l'accelerazione a data da

212

s

m0.143

5.0270.23870.9549

tuu

tu

a =

=

=

= .

Esercizio 3.1.5Una portata massica di aria pari a Gm= 2.5 10-3kg/s alla pressione p = 2.5 bar e alla temperatura T = 50 C

circola all'interno di una tubo di diametro D = 10 mm. Calcolare la velocit media u.

Dall'equazione di stato (1.10) e dalla tab. T.3, in cui viene letto il valore della costante caratteristica R dell'a-ria, si ha

( ) 3

5

m

kg2.696

5015.273287102.5

TR

p =

+

==

e dalla definizione di velocit media (3.5) si ha

( ) sm11.8

1010696.2

102.54D

G4S

Gu23-

-3

2mm =

=

=

= .

Esercizio 3.1.6Una tubazione, attraverso cui circola con moto permanente una portata massica di acqua pari a G m= 100

kg/s, presenta un tratto tronco - conico lungo L = 2 m che restringe il diametro da D 1= 0.5 m a D2= 0.3 m. Cal-colare: a) le caratteristiche del moto; b) l'accelerazione media a nel tratto tronco - conico.

a) Dalla relazione fra portata massica e portata volumetrica (3.3) si ha

sm

0.101000100

G

G

3m

v ===

e poich la portata volumetrica rimane costante, dalla definizione di velocit media (3.5), si ha

sm

1.4150.3

0.104

D

G4

SG

u,sm

0.50930.5

0.104

D

G4

SG

u22

2

v

2

v222

1

v

1

v1 =

=

===

=

== .

b) L'accelerazione media pu essere ottenuta dalle due equazioni valide nella cinematica per un moto u-niformemente accelerato

+=

+=

+=

+=

ta0.5t0.50932

ta0.5093415.1

ta21

tus

tauu

221

12


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Esercizi capitolo 3 - pag. vii

2

2

s

m0.4357

20.8714

a

s2.0790.43570.9057

t

a

0.8714

a

0.90570.5

a

0.90570.50932

a

0.9057

a

0.50931.415t

==

==

=

+

=

=

= .

Esercizio 3.1.7In una tubazione, costituita da un tratta di diametro D1= 20 cm e da una tratta di diametro D2= 10 cm, scor-

re una portata volumetrica d'acqua pari a Gv= 900 litri/min. Calcolare le velocit medie u1e u2nelle due tratte.

La portata volumetrica in unit fondamentali vale

sm

1015.0s

m

6010900

minlitri

900G3

3-3-3

v === ;

perci dalla definizione di velocit media (3.5) si ha

( ) ( ) sm

19.11010

1015.04

D

G4

S

Gu,

s

m4.77

1020

10154

D

G4

S

Gu

22-

-3

22

v

2

v222-

-3

21

v

1

v1 =

=

===

=

== .

Esercizio 3.1.8Nella tubazione dell'esercizio 3.1.7 circola, in condizioni ambiente, la portata massica di aria Gm= 36 kg/h

che, tra la sezione S1e la sezione S2, subisce una compressione fino a p2= 4 bar oppure una espansione fino a p2= 0.8 bar. Calcolare le velocit medie u1e u2.

Dalla legge della trasformazione adiabatica (1.17), dalla tab. T.2, in cui viene letto il valore della massa vo-lumica dell'aria in condizioni ambiente (p1= 101325 Pa e T1= 20 C) e dalla tab. T.4, in cui viene letto il va-lore dell'esponente della trasformazione adiabatica , per la compressione e per l'espansione si ha

3

1/1.402

2

3

1/1.402

2

1

1/

122

22

11

m

kg1.2081.206

1.0

0.8

m

kg3.2461.206

1.04.0

pp

p

p

=

=

=

=

==

.

La portata massica in unit fondamentali vale

skg

1010s

kg

103.6

36

hkg

36G 3-3m

=

==

e dalla legge di conservazione della massa per un fluido compressibile (3.8) si ha

m2m1 GG = .

Dalla definizione di velocit media (3.5) si ha

( ) sm

4.2210501.206

10104

D

G4

SG

u23-

-3

211

m

11

m1 =

=

=

=

e quindi, per la compressione e per l'espansione, si ha

( )

( ) sm

7.7410401.028

10104u

sm

2.4510403.246

10104u

D

G4

SG

u

23-

3-

2

23-

-3

2

222

m

22

m2

=

=

=

=

=

= .

Per un fluido compressibile si ha la certezza che, al diminuire della sezione, la velocit aumenta solo in caso

di espansione perch in caso di compressione, se la massa volumica aumenta percentualmente pi della diminu-zione della sezione, la velocit diminuisce; infatti, se la compressione avesse portato la pressione solo a p 2= 1.2bar, si sarebbe ottenuta una velocit superiore a quella di partenza


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Esercizi capitolo 3 - pag. viii

( ) sm

5.1910401.534

10104u,

m

kg1.5341.206

1.0

1.2

23-

-3

23

1/1.402

2 =

==

= .

In realt il problema dell'espansione non cos semplice, perch subentrano i concetti di "portata specifica mas-sima" e di "pressione critica" ad essa associata; essi vengono affrontati nello studio della gasdinamica e delleturbine a vapore.

Al contrario si ha la certezza che, all'aumentare della sezione, la velocit diminuisce solo in caso di compres-sione perch in caso di espansione, se la massa volumica diminuisce percentualmente pi dell'aumento della se-

zione, la velocit aumenta.


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Esercizi capitolo 3 - pag. ix

3.2.- CONSERVAZIONE DELLA MASSA

Esercizio 3.2.1La velocit di un fluido considerato incompressibile in un tubo di diametro D1= 20 cm vale u1= 1 m/s. Cal-

colare la velocit u2in un ugello di diametro D2= 5 cm inserito nel tubo.

Dalla legge di conservazione della massa per un fluido incompressibile (3.9) si ha

s

m161161

5

20u

D

Du

S

SuSuSu

2

1

2

2

11

2

122211 ==

=

=== .

Esercizio 3.2.2Una turbina idraulica viene alimentata da una condotta che trasporta una portata volumetrica d'acqua pari a

Gv= 2 m3/s alla velocit media u1= 2 m/s; allo scopo di utilizzare in turbina quanta pi energia possibile, si sca-rica l'acqua ad una velocit media u2= 0.2 m/s. Calcolare: a) il diametro della condotta D1; b) la sezione di pas-saggio S2.

a) Dalla legge della portata volumetrica (3.4) si ha

m1.131.04

S4

Dm1.02.0

2.0

u

GSSuG 11

2

1

v1v =

=

===== .

b) Dalla legge di conservazione della massa per un fluido incompressibile (3.9) si ha

21

2

122211 m101.00.2

2.0S

u

uSSuSu ==== .

Esercizio 3.2.3Una tubazione, attraverso cui circola una portata volumetrica di acqua Gv= 3600 litri/h, presenta una stroz-

zatura che porta il diametro da D1= 50 mm a D2= 40 mm. Calcolare le velocit medie u1e u2.


sm

101.0s

litri1

slitri

36003600

h

litri3600G

33-

v ==== ;

allora dalla legge di conservazione della massa per un fluido incompressibile (3.9) si ha

( )

( ) s

m0.796

1040

1014

D

G4

S

Gu

sm

0.5091050

1014

D

G4

S

Gu

SuSuG

2

3-

3-

2

2

v

2

v2

23-

-3

21

v

1

v1

2211v

=

=

==

=

=

==

== .

Per un fluido incompressibile si ha la certezza che, al diminuire della sezione, la velocit aumenta e al con-trario che, all'aumentare della sezione, la velocit diminuisce.

Esercizio 3.2.4Nel nodo a tre imbocchi di una rete idrica si sa che dall'imbocco 1 entra (quindi da indicarsi con il segno ne-

gativo) una portata volumetrica Gv1= - 0.2 m3/s, mentre dall'imbocco 3 esce (quindi da indicarsi con il segno

positivo) una portata Gv3= 0.5 m3/s. Calcolare la portata che deve passare nell'imbocco 2.

1

2

3


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Esercizi capitolo 3 - pag. x

Dalla legge di conservazione della massa per un fluido incompressibile (3.7) si ha

s

m0.30.50.2GGG0GGG

3

v3v1v2v3v2v1 ====++ .

Poich il segno negativo, per l'equilibrio necessario che dall'imbocco 2 entri una portata volumetrica pari aGv2= 0.3 m

3/s. Se si vuole che la velocit rimanga costante nei tre rami, per esempio u = 2 m/s, i diametri del-le tubazioni devono assumere i valori seguenti (a patto di trovarli in commercio)

m0.5642

0.54D

m0.4372

0.34D

m0.3572

0.24D

u

G4D

4D

uSuG

3

2

1

i

vii

2i

iiivi

=

=

=

=

=

=

=

== ,

mentre se si vuole che i diametri rimangano costanti nei tre rami, per esempio D = 0.45 m, le velocit medieall'interno delle tubazioni assumono i valori seguenti

sm

3.140.45

0.54u

sm

1.860.45

0.34u

s

m1.26

0.45

0.24u

D

G4u

4D

uSuG

23

22

21

2i

vii

2i

iiivi

=

=

=

=

=

=

=

== .

Esercizio 3.2.5Un tubo di diametro D = 20 mm si biforca in due rami con diametri rispettivamente D1= 10 mm e D2= 15

mm. La velocit media nel tratto (1) um1= 0.3 m/s e quella nel tratto (2) um2= 0.6 m/s. Calcolare nel tratto amonte: a) la portata volumetrica Gv; b) la velocit u.


( )s

m1023.56

4

10100.3

4

DuSuG

36-

23-21

111v1 =

=

==

( )s

m10106.0

41015

0.64D

uSuG3

6-23-2

2222v2 =

=

==

a) Dalla legge di conservazione della massa per un fluido incompressibile (3.7) si ha

( )s

m10129.610106.023.56GGG0GGG

36-6-

v2v1vv2v1v =+=+==++

dove il segno negativo dovuto al fatto che il fluido entra nel sistema e i segni positivi al fatto che il fluido esce

dal sistema.b) Dalla legge della portata volumetrica (3.4) si ha

( ) sm

0.4131020

10129.64

D

G4

S

GuSuG

23-

-6

2vv

v =

=

=== .

Esercizio 3.2.6Olio scorre all'interno di una tubazione che si restringe da un diametro DA= 450 mm nel punto A fino a un

diametro DB= 300 mm nel punto B, dove di dipartono due rami, il primo dei quali arriva nel punto C con undiametro DC= 150 mm e il secondo arriva nel punto D con un diametro DD= 225 mm. La velocit media di en-trata nel punto A uA= 1.8 m/s e quella di uscita nel punto D uD= 3.6 m/s. Calcolare: a) la velocit media uB

nel punto B; b) la velocit media uCnel punto C.


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Esercizi capitolo 3 - pag. xi

AB

C

D

u A u B

u C

u D


( )s

m0.2863

4

104501.8

4

DuSuG

323-2A

AAAvA =

=

==

e dalla legge di conservazione della massa per un fluido incompressibile (3.9) si hanno due modi per ottenere lavelocit media uB

( ) sm

4.0510300

0.28634

D

G4

SG

uSuG

sm

4.051.8300450

uDD

uSS

uSuSu

sm

0.2863GG

23-2B

vB

B

vBBBBvB

2

mA

2

B

AA

B

ABBBAA3

vAvB

=

=

===

=

=

===

==

b) Dalla legge della portata volumetrica (3.4) si ha

( )s

m0.1431

4

102253.6

4

DuSuG

32-32D

DDDvD =

=

==

e dalla legge di conservazione della massa per un fluido incompressibile (3.7), applicata al nodo B, si ha

s

m0.14310.14310.2862GGG0GGG

3

vDvBvCvDvCvB ====++ ;

la portata GvB negativa perch l'olio entra, mentre il segno positivo ottenuto per la portata G vCindica che l'olioesce.


( ) sm

8.1010150

0.14314

D

G4u

4

DuSuG

23-2C

vCC

2C

CCCvC =

=

=

== .

Esercizio 3.2.7Un fluido scorre nel tubo (1) di diametro D1= 15 mm con una portata volumetrica Gv1= 15 litri/s. Il tubo nel

punto P si riparte in tre tubi aventi i seguenti diametri: D2= D3= 25 mm e D4= 50 mm; la velocit media neltratto (3) u3= 4 m/s, mentre la portata nel tratto (2) il triplo di quella circolante nel tratto (4) (Gv2= 3 Gv4).Calcolare: a) le portate volumetriche Gv2, Gv3, Gv4; b) le velocit medie u1, u2, u4.

1

2

3

4

P


( )s

m101.963

4

10254

4

DuSuG

33-

23-23

333v3 =

=

== ;

dalla legge di conservazione della massa per un fluido incompressibile (3.7) si ha=+++ 0GGGG 4vv3v2v1

+=++=++= G4GGGG3GGGG v4v3v4v3v4v4v3v2v1


12/20

Esercizi capitolo 3 - pag. xii

( )s

m103.259

4101.96315.0

4

GGG

33-

-3v3v1

v4 =

=+

= ;

dai dati del problema si ha

s

m109.777103.2593G3G

33-3-

v4v2 === .

b) Dalla legge della portata volumetrica (3.4) si ha

( )

( )

( ) sm

1.661050

103.2594u

sm

19.91025

109.7774u

sm

1.9110100

10154u

D

G4

S

GuSuG

23-

3-

4

23-

3-

2

23-

-3

1

2i

vi

i

viiiivi

=

=

=

=

=

=

=== .

Esercizio 3.2.8

Aria di massa volumica 1= 1.35 kg/m3entra in un compressore attraverso un tubo di diametro D1= 4.5 cm

alla velocit media u1= 3.5 m/s ed esce dal compressore ad una velocit media u2= 2 m/s attraverso una con-dotta quadrata di lato L2= 2.2 cm. Calcolare all'uscita: a) la portata massica Gm; b) la massa volumica 2.

Dalla legge di conservazione della massa per un fluido compressibile (3.8) si ha

m2m1m GGG ==

a) Dalla legge della portata massica (3.2) si ha

( )s

kg102.392

4

104.53.51.35

4

DuSuGG 3-

22-21

11111m1m =

=

=== .

b) Dalla legge della portata massica (3.2) si ha

( ) 322-3

222

m

22

m2211m2m

m

kg2.47

102.22

10392.2

Lu

G

Su

GSuGG =

=====

.

Esercizio 3.2.9Una portata di aria Gv1= 30 m3/min entra in un compressore in condizioni ambiente e ne esce alla pressione

p2= 800 kPa e alla temperatura T2= 60 C. La velocit nella tubazione di distribuzione dell'aria compressa deveavere un valore massimo u2= 20 m/s. Calcolare il diametro D2della tubazione.

Dall'equazione di stato (1.10) e dalla tab. T.3, in cui viene letto il valore della costante caratteristica R dell'a-ria, si ha

( ) 3

5

1

11

m

kg1.189

20273.15287

101

TR

p =

+

==

( ) 3

3

2

22

m

kg8.367

60273.1528710800

TR

p =

+

== .


s

m0.50

s

m

60

30

min

m30G

333

v1 === ;

allora dalla relazione fra portata massica e portata volumetrica (3.3) si ha

skg0.59450.501.189GG v11m1 ===



13/20

Esercizi capitolo 3 - pag. xiii

=== 4

DuSuGGG

22

22222m1m2m1

mm67m0.067220371.8

0.59454

u

G4D

22

m12 =

=

= .

Esercizio 3.2.10

Attraverso la sezione a monte di una tubazione di diametro D = 5 cm, in cui vige la pressione p 1= 2 bar e latemperatura T1= 20 C, passa azoto alla velocit u1= 6 m/s, mentre attraverso la sezione a valle della stessa tu-bazione vige la pressione p2= 1.5 bar e la temperatura T2= 40 C. Calcolare: a) la velocit nella sezione a valleu2; b) le portate massiche Gm1e Gm2; c) le portate volumetriche Gv1e Gv2.

Dall'equazione di stato (1.10) e dalla tab. T.3, in cui viene letto il valore della costante caratteristica Rdell'azoto, nelle due sezioni si ha

( ) ( ) 3

5

2

223

5

1

11

m

kg1.613

40273.15297101.5

TR

p,

m

kg2.297

20273.15297102

TR

p =

+

===

+

== .

a) Poich la sezione del tubo rimane costante

( ) 33-22-2

21 m101.9634105

4D

SS =

=

== ,

dalla legge di conservazione della massa per un fluido compressibile (3.8) si ha

s

m8.544

1.613

2.2976uuSuSu

2

112222111 ==

== .

b) Dalla legge della portata massica (3.2) si ha

s

kg0.0271101.9636.0002.297SuG 3-111m1 ===

s

kg0.0271108.5446.0001.613SuG 3-222m2 === .

c) Dalla legge della portata volumetrica (3.4) si ha

s

m1011.8101.9636.000SuG

33-3-

11v1 ===

sm

1016.8101.9638.544SuG3

-3-322v2 === .

Esercizio 3.2.11Una portata massica d'aria Gm= 0.1 kg/s, alla pressione p1= 1 bar e alla temperatura ambiente T1= 20 C,

entra all'interno di una macchina alla velocit u1= 5 m/s, subisce una trasformazione isoterma che la porta allapressione p2= 4 bar ed esce alla stessa velocit u2= 5 m/s. Calcolare: a) il diametro della tubazione di entrataD1; b) il diametro della tubazione di uscita D2.

a) Dall'equazione di stato (1.10) e dalla tab. T.3, in cui viene letto il valore della costante caratteristica Rdell'aria, si ha

( ) 3

5

1

1

m

kg1.189

2015.273287101

TR

p =

+

==

e dalla legge della portata massica (3.2) si ha

m0.146

0.016824

S4

Dm0.0168251.189

0.1

u

G

SSuG12

11

m1m =

====== .

b) Dall'equazione della trasformazione isoterma (1.15) si ha


14/20

Esercizi capitolo 3 - pag. xiv

311

22

2

2

1

1

m

kg4.7561.189

14

pp

p

p

===

=


==

== m0.0042050.01682

55

4.7561.189

Suu

SSuSu 212

1

2

12222111

m0.07320.0042054

S4

D 22 =

=

= .

A pari velocit, se la massa volumica diventa quattro volte pi grande, il diametro della tubazione diventadue volte (radice quadrata di quattro) pi piccolo.

Esercizio 3.2.12L'aria, con gli stessi dati iniziali dell'esercizio 3.2.11, subisce una trasformazione adiabatica. Calcolare il

diametro della tubazione di uscita D2.

Dall'equazione della trasformazione adiabatica (1.17) e dalla tab. T.4, in cui viene letto il valore dell'espo-nente della trasformazione adiabatica , si ha

3

1/1.402

1

1/

1

22

2

2

1

1

mkg3.1961.189

14

pppp =

=

=

=


==

== m0.0062580.01682

55

3.1961.189

Suu

SSuSu 212

1

2

12222111

m0.08930.0062584

S4

D 22 =

=

= .

Rispetto alla trasformazione isoterma, quella adiabatica richiede per la tubazione di uscita un diametromaggiore per il fatto che l'aumento della temperatura ottenuto con la (1.19)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K43620273.1514

Tpp

TpTpT402.1/1-1.402

1

/1-

1

22

/1-22

/1-11 =+

=

==

produce un aumento di massa volumica pi contenuto (fino a 3.20 kg/m3invece che fino a 4.76 kg/m3). Per que-sta ragione nella pratica applicativa si effettuano raffreddamenti fra gli stadi successivi di compressione; gli aeri-formi infatti durante la compressione seguono una legge vicina a quella adiabatica.


15/20

Esercizi capitolo 3 - pag. xv

3.3.- EQUAZIONE DI CONTINUIT

Esercizio 3.3.1Integrare l'equazione di continuit di un fluido incompressibile su un campo a forma di parallelepipedo.

Questo tipo di operazione molto frequente nei metodi numerici delle "differenze finite" e dei "volumi di con-trollo".

xy

z

u 1u 2v 2

v 1 w 1

w 2

x

yz

x1 x2y 1

y 2

z1

z2

L'integrazione dell'equazione di continuit (3.12) sul parallelepipedo rappresentato in figura porta a

=++=

+

+

dzdzdwdydxdzdydydvdxdzdydxdxdudVzwyvxu

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

xV

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )=++= yyxxwwxxzzvvzzyyuu 121212121212121212

( ) ( ) ( ) =++= yxwwxzvvzyuu 121212

( ) ( ) ( ) 0SwSvSuSwwSvvSuu zyxz12y12x12 =++=++= . (3.3.1.1)

dove Sx, Sye Szsono le sezioni normali rispettivamente agli assi x, y e z. Se il flusso bidimensionale, cio sew1= w2= 0, la relazione (3.3.1.1) diventa

( ) ( ) ( ) ( ) 0SvvSuuxzvvzyuu y12x121212 =+=+ (3.3.1.2)

e infine se il flusso monodimensionale, cio se v1= v2= w1= w2= 0, diventa

( ) ( ) 0Suuzyuu x1212 == . (3.3.1.3)

Nella relazione (3.3.1.3) la sezione Sxproveniente dal parallelepipedo di partenza porta alla conclusione cheu1= u2. Se invece viene identificata nelle due posizioni x1e x2con valori generici S1e S2, la (3.3.1.3) diventa laconservazione della massa per un fluido incompressibile lungo un tubo di flusso (3.9); infatti

22111122 SuSu0SuSu ==

con u1e u2velocit medie nelle due sezioni.

Esercizio 3.3.2

In un flusso bidimensionale largo z = 30 mm la componente della velocit in x passa da u1

= 0.5 m/s a u2

=

0.6 m/s su una distanza x = 8 mm. Calcolare la variazione della componente della velocit in y su una distanzay = 5 mm.

Dalla relazione (3.3.1.2) si ha

( ) ( ) ( ) ( )s

m0.0625

0.008

0.0050.50.6

x

yuu

x

z

z

yuuvvv 121212 ==

=

== .

La portata volumetrica per unit di lunghezza GvEuscente dal lato 'est'

sm

10900.030.0050.6zyuG3

6-2vE ===

superiore a quella GvOentrante dal lato 'ovest'


16/20

Esercizi capitolo 3 - pag. xvi

sm

10750.030.0050.5zyuG3

6-1vO === ;

questa diminuzione, per soddisfare l'equazione di continuit, deve essere compensata dalla maggiore portata GvDentrante dal lato 'davanti' rispetto a quella GvRuscente dal lato 'retro'

( )s

m10150.0080.030.0625xzvvGG

36-

21vRvO === .

Attraverso i lati 'sud' e 'nord', dato che w1= w2= 0, le portate volumetriche sono nulle.

Esercizio 3.3.3Integrare l'equazione di continuit di un fluido compressibile sul campo a forma di parallelepipedo riportato

nella figura dell'esercizio 3.3.1. Questo tipo di operazione molto frequente nei metodi numerici delle "diffe-renze finite" e dei "volumi di controllo".

L'integrazione dell'equazione di continuit (3.10) sul parallelepipedo rappresentato nella figura dell'esercizio3.3.1, in caso di moto stazionario /t = 0, porta a

( ) ( ) ( )=

+

+

dVz

w

yv

xu

V

( ) ( ) ( )=

+

+

= dzdz

wddydxdzdy

dyvd

dxdzdydxdx

ud

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) =++= 121211z22z121211y22y121211x22x yyxxwwxxzzvvzzyyuu

( ) ( ) =++= yxwwxzvvzyuu 11z22z11y22y11x22x

( ) ( ) 0SwwSvvSuu z11z22zy11y22yx11x22x =++= . (3.3.3.1)

dove x, ye zrappresentano le masse volumiche corrispondenti alle facce del parallelepipedo normali agli assix, y e z. Se il flusso bidimensionale, cio se w1= w2= 0, la relazione (3.3.3.1) diventa

( ) ( ) 0SvvSuuxzvvzyuu y11y22yx11x22x11y22y11x22x =+=+

e infine se il flusso monodimensionale, cio se v1= v2= w1= w2= 0, diventa

( ) ( ) 0Suuzyuu x11x22x11x22x == (3.3.3.2)

dove la massa volumica varia solamente lungo l'asse x.Con le modalit viste nell'esercizio 3.3.1 la (3.3.3.2) diventa la conservazione della massa per un fluido com-

pressibile lungo un tubo di flusso (3.8)

222111111222 SuSu0SuSu ==

con u1e u2velocit medie nelle due sezioni.


17/20

Esercizi capitolo 3 - pag. xvii

3.4.- DEFORMAZIONI

Esercizio 3.4.1Determinare le deformazioni assiali della faccia (x,y) del cubo di lato unitario i cui vertici cambiano la loro

posizione nel modo seguenteA (0; 1) A' (0.0006; 1.0004) B (1; 1) B' (1.0007; 1.0003)C (0; 0) C' (0.0004; 0.0002) D (1; 0) D' (1.0003; 0.0003)

con spostamenti piccoli rispetto alla lunghezza del lato, ma esagerati nella figura.

A(0;1)

A'(0.0006;1.0004)B'(1.0007;1.0003)

D'(1.0003;0.0003)

B(1;1)

C(0;0) D(1;0)

C'(0.0004;0.0002)

E F

G

H

Le componenti degli spostamenti dei vertici assumono i valori

A (A= 0.0006; A= 0.0004) B (B= 0.0007; B= 0.0003)C (C= 0.0004; C= 0.0002) D (D= 0.0003; D= 0.0003)

mentre le componenti degli spostamenti dei punti intermedi assumono i valori

E ( 0.00052

0.00060.0004

2

ACE =

+=

+= ; 0.0003

2

0.00040.0002

2

ACE =

+=

+= )

F ( 0.00052

0.00070.0003

2

BDF =

+=

+= ; 0.0003

2

0.00030.0003

2

BDF =

+=

+= )

G ( 0.00035

2

0.00030.0004

2

DCG =

+=

+= ; 0.00025

2

0.00030.0002

2

DCG =

+=

+= )

H ( 0.000652

0.00070.0006

2 BA

H =+

=+

= ; 0.000352

0.00030.0004

2 BA

H =+

=+

= ) .

Di conseguenza il valore medio della deformazione assiale in x, che corrisponde all'allungamento in x delsegmento EF posizionato lungo la x sulla mezzeria della faccia, ottenuto dalla relazione (3.14)

01

0.00050.0005

x

xEF

EFxx =

=

=

=

e il valore medio della deformazione assiale in y, che corrisponde all'allungamento in y del segmento GH posi-zionato lungo la y sulla mezzeria della faccia, ottenuto dalla relazione (3.14)

0.000110.000250.00035

y

y EFGH

yy =

=

=

= .

La variazione di superficie invece ottenuta dalla relazione (3.15)

0.00010.00010e yyxx =+=+= .

Esercizio 3.4.2Determinare la deformazione angolare della faccia (x,y) del cubo riportato nella figura dell'esercizio 3.4.1.

Utilizzando le componenti degli spostamenti dei punti intermedi ricavati nell'esercizio 3.4.1, il valore mediodella deformazione angolare ottenuto dalla relazione (3.14)


18/20

Esercizi capitolo 3 - pag. xviii

=

+

=

+

x

y

21

xy2

1 EFGH

EFGHxy

( ) 0.000150.0003021

1

0003.00003.0

100035.000065.0

21

=+=

+

= .

Se gli spostamenti fossero confrontabili con le dimensioni della faccia del cubo, per esempio 5000 volte pigrandi, si sarebbe ottenuto

0.75010

11.5

21xy =

+ ;

in realt, per, il vero valore medio della deformazione tangenziale dato da

0.39301

0arctg

.5015.1

arctg21

1

arctg

1

arctg

21

GH

GH

GH

GHxy =

++

+=

+

+

+

=

e l'errore percentuale che si compirebbe usando la semplificazione per piccole deformazioni sarebbe

%90.80.9080.393

0.7500.393==

.

Esercizio 3.4.3Determinare le velocit di deformazione della faccia (x,y) del cubo riportato nella figura dell'esercizio 3.4.1

sapendo che gli spostamenti dei vertici avvengono in un tempo pari a t = 0.001 s.

Le componenti della velocit nei vertici della faccia del cubo diventano

A (uA= 0.6; vA= 0.4) B (uB= 0.7; vB= 0.3)C (uC= 0.4; vC= 0.2) D (uD= 0.3; vD= 0.3)

e le componenti della velocit nei punti intermedi diventano

E (uE= 0.5; vE= 0.3) F (uF= 0.5; vF= 0.3)G (uG= 0.35; vG= 0.25) H (uH= 0.65; vH= 0.35)

per cui le velocit di deformazione assiale, riferendo i valori medi ai segmenti EF e GH (vedi figura dell'eserci-zio 3.5) che si trovano sulla mezzeria della faccia, sono ottenute dalla relazione (3.16)

01

0.50.5

xuu

xu

EF

EFxx =

=

=

=

0.11

0.250.35

y

vv

yv

GH

GHyy =

=

=

= ,

la velocit di deformazione angolare ottenuta dalla relazione (3.16)

( ) 0.150.30

2

1

1

3.03.0

1

35.065.0

2

1

x

vv

y

uu

2

1

x

v

y

u

2

1 EFGH

EFGHxy =+=

+

=

+

=

+

e la velocit di deformazione della superficie ottenuta dalla relazione (3.17)

0.10.10e yyxx =+=+= .

Pi semplicemente queste quantit possono essere ricavate come rapporto fra la deformazione stessa e iltempo trascorso affinch essa si verifichi

0.150.001

0.00015

t,0.1

0.001

0.0001

t,0

0.001

0

txy

xyyy

yyxx

xx ==

===

===

=

0.10.001

0.0001

t

ee ==

= .


19/20

Esercizi capitolo 3 - pag. xix

3.5.- VORTICIT

Esercizio 3.5.1Determinare la vorticit dovuta ad una corrente fluida costituita da un moto con una velocit uniforme, con-

corde all'asse x, pari a U = 3 m/s.

Nel caso in esame le componenti della velocit sono costanti (v = w = 0 e u = U = 3 m/s) e le loro derivatespaziali diventano tutte nulle; di conseguenza diventano identicamente nulli il rotore del vettore velocit e le

componenti del vettore vorticit (3.19); il moto esaminato quindi "irrotazionale".

Esercizio 3.5.2Determinare la vorticit dovuta ad una corrente fluida costituita da una sorgente e da un pozzo puntiformi sul

piano (r,) con portata volumetrica pari a Gv= 6m3/s.

Una sorgente puntiforme un modello matematico che simula l'immissione di fluido in direzione radiale conportata volumetrica costante, mentre invece un pozzo lo assorbe; le loro velocit radiali sono quindi date da

r Z2

Gu

r Z2

Gu vpozzo

vsorgente

=

=

(per la sorgente concorde con la r e per il pozzo discorde con la r), mentre quelle circonferenziale e assiale sononulle. Il punto in cui la sorgente o il pozzo situato costituisce una singolarit, perch al tendere di r a zero lavelocit radiale u tende all'infinito.

Nel caso in esame v e w sono nulle e u funzione della sola r e perci le derivate spaziali che interessano ladeterminazione del rotore sono tutte nulle; di conseguenza diventano identicamente nulli il rotore del vettore ve-locit e le componenti del vettore vorticit

(3.19) . Il moto esaminato quindi "irrotazionale".

Esercizio 3.5.3

Determinare la vorticit dovuta ad una corrente fluida costituita da un moto rotatorio sul piano (r,) con unavelocit tale che risulti v.r = C = 3 m2/s in ogni punto a distanza r dall'asse.

Il moto descritto viene anche chiamato vortice potenziale o filetto vorticoso ed un modello matematico che

simula il moto di corpo rigido di ogni particella di fluido attorno ad un asse.Nel caso in esame u e w sono nulle e il prodotto v.r costante e perci le derivate spaziali che interessano la

determinazione del rotore sono tutte nulle; di conseguenza diventano identicamente nulli il rotore del vettore ve-locit e le componenti del vettore vorticit

(3.19). Il moto esaminato quindi "irrotazionale".

Esercizio 3.5.4Determinare la vorticit della faccia (x,y) del cubo riportato nella figura dell'esercizio 3.4.1 in base alle velo-

cit di deformazione calcolate nell'esercizio 3.4.3.

Dalla definizione di vorticit (3.19) si pu scrivere

( ) s

1

0.15.3002

1

y

u

x

v

2

1

GHEFz ==

e dalla figura si nota che la bisettrice della faccia ruota in senso orario, negativo rispetto alla convenzione deisegni usata.

E F

G

H


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La vorticit un valore puntuale, anche se in questo esercizio si trovato il suo valore medio sulla faccia(x,y) del cubo e lo si riferito al baricentro intersezione dei due segmenti EF e GH.

Cinematica Dei Fluidi

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