“FLUIDI”Carlo Bernardini

AIF - Modena - 2006

Continuità e granularità della materia.

Varietà dei fluidi.

Il ruolo dell’immaginazione:Leucippo, Democrito e la nascita dell’idea di CAOS

• E’ molto difficile ricostruire l’origine dell’idea di atomo. Un po’ perché di Leucippo si sa poco, se non

attraverso Democrito. Un po’ perché non si riesce a capire quale evidenza sensoriale ci fosse dietro

(salvo la “danza del pulviscolo” nei raggi di luce, di cui parla Lucrezio).

• Comunque, è evidente che in queste antiche concezioni vi fosse una fortissima componente di

immaginazione, che si manterrà attiva sino alla metà dell’800.

PROBLEMI CON GLI ATOMI

• I due problemi principali che nascono con gli atomi sono:

• 1 - Se gli atomi sono entità separate che costituiscono tutta la materia, allora devono

collocarsi nel Vuoto.• 2 - Se gli atomi possono muoversi nel vuoto, i

loro moti possono essere ordinati (solidi e liquidi) ma anche caotici.

VUOTO 1

• L’idea di vuoto genera qualche resistenza: dal punto di vista di Aristotele e della sua

dinamica, è paradossale.• Per Aristotele, la velocità v con cui un corpo

si muove potrebbe essere “causata” dall’azione di una Potenza P e contrastata da

una Resistenza R del mezzo continuo che pervade lo spazio. Con notazioni attuali:

• V = P/R

VUOTO 2

• E’ chiaro che se le cose stessero così, per R 0 si avrebbe paradossalmente

• v• Per Aristotele, una velocità infinita era

inconcepibile; perciò, tanto bastava a cartterizzare il fatto che “la natura ha

orrore del vuoto” (horror vacui)• L’idea perdura nella filosofia medievale

CAOS

• Ancora oggi l’idea di caos è imprecisa.

• Assomiglia, ma non è sinonimo, all’idea di disordine, di imprevedibilità; la

nozione è chiaramente legata a quella di “stato gassoso” della materia e, in quell’ambito, sembra acquistare un

significato opportunamente conveniente alla percezione sensoriale.

IL CONTINUO

• Vi sono molti motivi per apprezzare l’idea della continuità della materia:

• 1 - Eliminazione del vuoto (già detto)• 2 - Materializzazione dello spazio e del

pensiero geometrico ad esso relativo.• 3 - Apparente eleganza e semplicità della descrizione matematica; contiguità

con la meccanica classica.

ANCORA GLI ATOMI

• L’idea degli atomi tuttavia non muore:• Bernoulli ci fa la teoria cinetica dei gas• Galilei ne parla come di una congettura

utilissima.• Nicolas Lemery (farmacista del Re Sole) si

scatena con l’immaginazione: tutti gli atomi sono della stessa pasta ma negli acidi hanno le punte, negli zuccheri sono tondi.

NUOVI FLUIDI

• Il modello “a fluido” si estende: il calore è rappresentato come un fluido (il calorico),

però imponderabile.• L’elettricità è rappresentata come un fluido

imponderabile anch’essa.• Che cosa fa pensare a nuovi fluidi come

questi? La proprietà del “fluire”, cioè il trasferimento nello spazio per il tramite dei

corpi materiali

NUOVI ATOMI

• Ma anche le concezioni atomiche perdurano: il flogisto, costituito da particelle che sono

racchiuse negli atomi e liberate riscaldando.• Tutto ciò è assai pittoresco e descritto a parole; non c’è una vera teoria che riguardi la

natura degli atomi, ma solo cose che sono descritte mediante atomi.

STATO DELL’IMMAGINAZIONE 1

• Jean Baptiste Fourier enuncia il principio dell’infinita divisibilità della

materia. E’ basato sulla fenomenologia che ha costruito con l’equazione del calore. Parla infatti di “riproducibilità

matematica” dei fatti come prova della verità della sua rappresentazione

fenomenologica

STATO DELL’IMMAGINAZIONE 2

• E’ il grande momento dei chimici: Dalton, Proust, Gay Lussac.

• Sono ormai note le leggi dei gas e un modello semplice e utile è quello dei gas perfetti (con

buona approssimazione, quelli rarefatti).• La termometria si avvia verso la temperatura

assoluta e i gas perfetti aiutano.• Un argomento di Young e Laplace: se

esistono gli atomi, allora… (spiegazione del calore latente e della tensione superficiale)

STATO DELL’IMMAGINAZIONE 3

• Il vero colpo di genio è quello di Amedeo Avogadro: le molecole.

• Le leggi dei chimici vanno a posto in un colpo solo.

• Ma come ha fatto, Avogadro, a capire una cosa così?

• Avogadro versus Loschmidt.• L’ostica “mole”

• Come determinavano i pesi atomici?

I PESI ATOMICI

• La chiave di volta delle nuove idee sta nella determinazione dei pesi atomici.

• Il perido 1750-1850 è denso di “scoperte” sulla chimica e di scienziati fantastici:

• Antoine LaurentLavoisier (1743 - 1794)• Martin Heinrich Klaproth (1743 - 1817)• Joseph Louis Proust (1754 - 1826)• Claude Louis Berthollet (1748 - 1822)• John Dalton (1748 - 1828)

I PERSONAGGI (segue)

• William Hyde Wollaston (1766 - 1828)• William Prout (1785 - 1850)• Alessandro Volta (1745 -1827)• Joseph Louis Gay Lussac (1778 - 1850)• Alexander von Humboldt ( 1769 - 1859)• Amedeo Avogadro (1776 - 1856)• André Marie Ampère (1775 - 1836)• Jöns Jacob Berzelius (1779 - 1848)

SCOPERTE

• La scoperta principale è basata sull’idea di Lavoisier che la materia sia indistruttibile e si conservi nelle reazioni chimiche (E=mc2 e Einstein sono lontani). Le tecniche (bilance e barometri) permettono di verificare rapporti in peso e volume dei reagenti)

• I rapporti interi piccoli sono suggestivi.

CONGETTURE ECONOMICHE

• L’idea “economica” di Avogadro, che volumi uguali di gas in condizioni uguali di temperatura e di pressione contengano lo stesso numero di molecole si rivela risolutiva; i pesi atomici e molecolari vengono ricostruiti ordinatamente; i pesi atomici messi in successione crescente mostrano regolarità sorprendenti Mendeleev

MATEMATICA DEI FLUIDI

• Intanto, nasce l’idrodinamica. Proprietà rilevanti: 1) fluidi elastici = gas equazione di stato, 2) fluidi incomprimibili densità costante.

• Irrotazionali non fanno vortici

• C’è un “campo di velocità”

€

rv (

r x , t)

EQUAZIONI DEL MOTO DI “FLUIDI CHE NON

BAGNANO”

∇ ⋅r v (

r x ,t) =0

∇ ×r v (r x ,t) =0

CASO IN DUE DIMENSIONI (x,y)

∂xvx +∂ yvy =0

∂xvy −∂ yvx =0

SOLUZIONE GENERALE

• Sono le condizioni di Cauchy-Riemann:

w=vx(x,y)+ivy(x,y) =F(x+iy)≡F(z)

∇ 2vj =0 ; j =x,y

CONDIZIONI AL CONTORNO

• Ogni funzione di una variabile complessa è soluzione. L’ operatore di Laplace 2 non cambia sotto trasformazioni

• zZ = (z)• Se si sceglie una soluzione che soddisfa

certe condizioni al contorno, la trasformazione la adatta a un altro contorno e questo è un trucco per trovare soluzioni a problemi difficilissimi.

ESEMPIO

• Facciamo l’esempio di un letto di fiume piatto con una paratìa di altezza h:

y=ih

• ___________________________x<0 x>0

Nel piano Z il profiloCon la paratìa diventa

L’asse X !

EQUAZIONE DEL PROFILO DI VELOCITA’

• Allora, siccome nel piano trasformato la soluzione evidente è

• VX = costante, nel piano originario questa corrisponde a:

• Re (z) = costante, cioè

h2 +x2 −y2[ ]1/ 4

cos12

artg2xy

h2 +x2 −y2

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ =c

QUANDO FLUIDO CONTINUO E QUANDO

ATOMI?

• Il criterio di Martin Knudsen:• Il numero di Knudsen (Kn), adimensionale,

utilizzato in diversi campi della chimica e della fisica, è definito come il rapporto tra il cammino libero medio molecolare e una lunghezza caratteristica (L) del problema fisico: Kn = /L. Può inoltre essere ricavato come rapporto dei numeri di Mach e Reynolds.

SEGUE KNUDSEN

• Il numero di Knudsen viene usato, in particolare in fluidodinamica, per definire il campo di validità dell'ipotesi del continuo nel fluido e quindi l'applicabilità delle equazioni di Navier-Stokes. Problemi per cui tale numero risulta essere di ordine di grandezza unitario o superiore non possono essere studiati con queste leggi. Il suo nome deriva da quello del fisico danese Martin Knudsen (1871 - 1949).

DIFFUSIONE

• Il colpo di grazia al continuo viene dallo stesso Fourier con la teoria della diffusione, primo esempio matematizzato di processo irreversibile.

• La base dell’equazione di Fourier, per il calore, è nell’idea che il calorico diffonda come un fluido conservato di densità proporzionale alla temperatura assoluta e con corrente fluida proporzionale al gradiente di temperatura.

JEAN BAPTISTE FOURIER1768 - 1830

• Che cosa ha fatto?• 1- La teoria della diffusione, come caso di

PDE di tipo parabolico• 2 - Ha introdotto fenomenologicamente la

conducibilità e il coefficiente di diffusione• 3 - Ha inventato sia le serie che l’integrale di

Fourier, preludio alle funzioni generalizzate e alle sollecitazioni impulsive.

• 4 - Ha introdotto l’omogeneità dimensionale