Capitolo 3 - unina.it · 3.5 Non amplificazione delle tensioni e delle correnti 200. 170 3.1...

CAPITOLO 3

CIRCUITI DI RESISTORI

Pagina

3.1 Introduzione 1703.2 Connessione in serie e connessione in parallelo 170

3.2.1 Bipoli resistivi in serie 172 3.2.2 Bipoli resistivi in paralleli 177

3.3 Circuiti resistivi lineari e sovrapposizione degli effetti 184 3.3.1 Circuiti resistivi lineari con un solo generatore 184 3.3.2 Circuiti resistivi lineari più generatori 186

3.4 Generatore equivalente di Thévenin-Norton 1913.5 Non amplificazione delle tensioni e delle correnti 200

170

3.1 Introduzione

Nel presente Capitolo, verrà introdotto il concetto di equivalenza tra bipoliresistivi e verranno enunciati e dimostrati alcune proprietà generali sui circuiti diresistori. L’uso del concetto di equivalenza e delle proprietà, che verrannodescritte, spesso portano a una drastica semplificazione di problemi altrimentimolto difficili da risolvere. Essi rappresentano anche inestimabili strumentimediante i quali, in seguito, saranno dedotti un gran numero di risultati. Inparticolare, verranno proposti metodi che consentono di determinare la soluzionedi un circuito resistivo senza dovere scrivere esplicitamente le equazioni circuitali.Un concetto fondamentale nella teoria dei circuiti elettrici è quello diequivalenza. In generale, può accadere che, due bipoli, che rappresentanocomponenti di diversa costituzione fisica, hanno la stessa relazione caratteristica.

Definizione: bipoli equivalenti

Due bipoli si dicono equivalenti se e solo se le loro relazioni caratteristichecoincidono.

♦

Tramite l’equivalenza tra bipoli è possibile ridurre un circuito di resistori egeneratori ideali a un “circuito semplice” costituito da due soli bipoli, ungeneratore ideale e un resistore. Dopo avere risolto il circuito semplice, tutte legrandezze del circuito in esame possono essere ricostruite tramite delle sempliciregole.La prima fase della procedura (la riduzione al circuito semplice) corrispondeesattamente alla riduzione del sistema di equazioni circuitali a una sola equazionein una sola incognita tramite la procedura dell’eliminazione in avanti persostituzione nel metodo di Gauss e la seconda parte corrisponde alla proceduradella ricostruzione all’indietro.

3.2 Connessione in serie e connessione in parallelo

In questo paragrafo saranno esaminate le caratteristiche di bipoli “composti”costituiti da bipoli resistivi “elementari” - resistori lineari e generatori ideali -collegati in serie, in parallelo e in serie-parallelo.

G. Miano, Introduzione ai circuiti

171

Definizione: bipoli collegati in serie

I bipoli B1 e B2 sono collegati in serie se:

(i) sono connessi a uno stesso nodo (Figura 3.1);(ii) le correnti nei due bipoli sono uguali, se si scelgono dei riferimenti opportuni

per i versi, come, ad esempio, quelli mostrati in Figura 3.1.♦

Fig. 3.1 B1 e B2 sono collegati in serie, i1 = i2 (a); B3 e B4 non sono collegati in serie,

i1 ≠ i2 (b)

I due bipoli B1 e B2 nel circuito riportato in Figura 3.1b non sono collegati inserie; infatti, essendo in generale i3 ≠ 0, si ha che i1 ≠ i2 .

aaaa

B1 B2

+

−

v1

+

−

v2

i1 i2

i

B1 B2

+

−

v1

+

−

v2

i1 i2

i

B3

+ v3

(a) (b)Fig. 3.2 (a) I bipoli B1 e B2 sono collegati in parallelo, v1 = v2 ; (b) in generale, essendo

v3 ≠ 0 , si ha v1 ≠ v2 .

Definizione: bipoli collegati in parallelo

I bipoli B1 e B2 sono collegati in parallelo ai nodi “1” e “2”, se i loro terminali

sono connessi ai nodi “1” e “2”, così come è illustrato in Figura 3.2a. Le


172

tensioni di due bipoli in parallelo sono uguali, se si scelgono dei riferimentiopportuni per i versi, come, ad esempio, quelli mostrati in Figura 3.2.

♦

I due bipoli B1 e B2 nel circuito riportato in Figura 3.2b non sono collegati inparallelo; infatti, supponendo che v3 ≠ 0, si ha che v1 ≠ v2 .

aaaa

v1

+

−

v2

+

−

+

−

N

+

−

v

i

R eq

(a) (b)Fig. 3.3 Due bipoli connessi in serie, insieme col resto del circuito (a) e corrispondente

circuito equivalente (b)

3.2.1 Bipoli resistivi in serie

Si consideri il circuito illustrato in Figura 3.3, in cui i bipoli resistivi R 1 e R 2 sono

collegati in serie. Ai nodi “1” e “3” è connesso il resto del circuito, denotato con

N (esso potrebbe essere costituito anche da bipoli non lineari e dinamici). Sivuole ottenere la relazione caratteristica del bipolo equivalente alla serie dei duebipoli R 1 e R 2 .

Applicando la prima legge di Kirchhoff ai nodi “1” e “2” si ottiene:

i = i1 = i2 ; (1)

applicando la seconda legge di Kirchhoff, si ottiene

v = v1 + v2 . (2)

Si assuma, ora, che i due bipoli statici siano controllati in corrente, cioè:


173

v1 = r1 i1( ), v2 = r2 i2( ) . (3)

Sostituendo le (3) nella (2) e utilizzando la (1) si ottiene la relazione caratteristicadel bipolo equivalente serie:

v = req i( ) = r1 i( ) + r2 i( ). (4)

Per determinare la tensione v e la corrente i , nonché tutte le grandezze del restodel circuito N , basta risolve il circuito equivalente riportato in Figura 3.3b, doveal posto della serie R 1- R 2 c’è il bipolo resistivo equivalente definito

dall’equazione caratteristica (4). Il circuito equivalente ha un elemento in meno: inquesto modo abbiamo ridotto la complessità del problema. Una volta note latensione v e la corrente i è possibile determinare immediatamente tutte legrandezze che sono scomparse durante la riduzione (v1, v2, i1 e i2 ).

Sebbene qualsiasi connessione costituita da due resistori non lineari (controllati incorrente) in serie possa essere rappresenta tramite un opportuno bipoloequivalente, ora analizzeremo solo le connessioni in serie fondamentali che siincontrano nei circuiti costituiti da resistori lineari e generatori ideali; a questaclasse di circuiti si dà il nome di circuiti resistivi lineari.

Resistori lineari in serie

Si considerino due resistori lineari, con resistenze R1 e R2 , collegati in serie. In

questo caso si ha

v1 = r1 i1( ) = R1i1, v2 = r2 i2( ) = R2i2 , (5)

e la (4) diventa

v = R1 + R2( )i = Req i , (6)

cioè il resistore con resistenza

Req = R1 + R2( ) , (7)


174

è equivalente al bipolo costituito dal resistore con resistenza R1 in serie con ilresistore di resistenza R2 , Figura 3.4.

aaa

Req = R1 + R2

R1 R2

+

−

v+ +v1 v2

1 32

1

3

Fig. 3.4 Due resistori lineari collegati in serie e resistore equivalente.

Esiste una semplice relazione tra la tensione su ciascun resistore della serie (v1 ev2) e la tensione v della serie. È facile dimostrare che

v1 = vR1

R1 + R2

, v2 = vR2

R1 + R2

, (8)

i riferimenti per i versi delle tensioni sono quelli riportati in Figura 3.4. Questesono le formule del partitore di tensione. Quando le due resistenze R1 e R2

sono uguali, il valore della resistenza equivalente è due volte il valore delle singoleresistenze della serie, le tensioni v1 e v2 sono uguali e sono la metà della tensionedella serie, v1 = v2 = v / 2 .

Osservazione

La sostituzione di due resistori collegati in serie con il resistore equivalente,corrisponde alla riduzione del sistema di equazioni circuitali attraversol’eliminazione per sostituzione; la ricostruzione delle tensioni su ogni resistore,una volta nota la tensione sulla serie, attraverso le formule del partitore,corrisponde all’eliminazione all’indietro nell’algoritmo di Gauss.È immediato verificare che nel caso di m resistori in serie R1, R2 , ..., Rm , la

resistenza del bipolo serie equivalente vale

Req = R1 + R2 + ... + Rm = Rii=1

m

∑ . (9)


175

La tensione vi del i −esimo resistore è legata alla tensione v della serie tramite la

relazione

vi = ±( )v Ri

Rjj =1

m∑; (10)

nella (10) deve essere considerato il segno positivo se i riferimenti per i versi delledue tensioni sono concordi o, in caso contrario, il segno negativo.

♦

aaa

+ 1

3

2

−

v

e1

e2

eeq = e1 + e2

1

3

+

3

2

−

v

1

3j

e

1

j

(a) (b)

i

i

Fig. 3.5 Generatori collegati in serie

Generatori di tensione ideali in serie

Si considerino due generatori di tensione ideali, con tensioni e1 e e2 , collegati in

serie (Figura 3.5a). In questo caso si ha

v1 = e1, v2 = e2 , (11)

quindi la (4) diventa

v = e1 + e2 . (12)

Inoltre, la corrente i non dipende direttamente dalla tensione v . Pertanto il bipologeneratore di tensione ideale con tensione

eeq = e1 + e2 (13)


176

è equivalente al bipolo costituito dal generatore di tensione con tensione e1 inserie con il generatore di tensione e2 .

Non è significativo il caso di due generatori ideali di corrente in serie, perché daluogo a un modello incompatibile (a meno che le due correnti non siano eguali ein tal caso il bipolo equivalente è ancora un generatore di corrente con la stessacorrente dei due generatori).

Generatore ideale di tensione in serie con un generatore ideale di corrente

Si consideri un generatore di tensione ideale, con tensione e , connesso in seriecon un generatore ideale di corrente con corrente j , (Figura 3.5b).In questo caso la tensione della serie non è nota, e la corrente è uguale a J2 per

qualsiasi valore della tensione. Pertanto la serie tra un generatore di correnteideale e un generatore di tensione ideale è equivalente a un generatore ideale dicorrente.

aaa

+ 1

3

2

−

v

(a) (b)

i

R

e

v

i

e

−e / R

Fig. 3.6 Un resistore in serie con un generatore ideale di tensione.

Un resistore in serie con un generatore di tensione ideale

Si consideri un generatore di tensione ideale, con tensione e , connesso in seriecon un resistore lineare di resistenza R , (Figura 3.6). La caratteristica del bipolo èequivalente è

v = e + Ri . (14)


177

Essa è la caratteristica del generatore “reale” di tensione; i riferimenti sono quelliillustrati in Figura 3.6. Il generatore reale di tensione è un bipolo attivoInfine, un generatore di corrente ideale, che imprime la corrente J , collegato inserie a un resistore è equivalente a un generatore di corrente ideale che imprimela corrente J .

3.2.2 Bipoli resistivi in parallelo

Si consideri il circuito di Figura 3.7, in cui due bipoli statici R1 e R2 sono collegati

in parallelo, ai nodi “1” e “2”. Anche in questo caso la natura del circuito N èirrilevante se si vuole ottenere solo la caratteristica del bipolo equivalente alparallelo di R1 con R2 .

a

+

−

Fig. 3.7 (a) Due bipoli connessi in parallelo, insieme col resto del circuito e (b)corrispondente circuito equivalente.

Applicando la seconda legge di Kirchhoff, si ha che le tensioni v1 e v2 sono

eguali, cioèv = v1 = v2 ; (15)

applicando la prima legge di Kirchhoff, si ottiene

i = i1 + i2 . (16)

Si assuma, ora, che i due bipoli siano controllati in tensione, cioè:

i1 = g1 v1( ), i2 = g2 v2( ) . (17)

Sostituendo le (17) nella (16) e utilizzando la (15), si ottiene la relazionecaratteristica del bipolo equivalente al parallelo:


178

i = geq v( ) = g1 v( ) + g2 v( ). (18)

Per determinare la tensione v e la corrente i , nonché tutte le grandezze del restodel circuito N , si risolve il circuito equivalente riportato in Figura 3.7b, dove alposto del parallelo R 1- R 2 c’è il bipolo resistivo equivalente definito

dall’equazione caratteristica (4). Anche in questo caso il circuito equivalente ha unelemento in meno: in questo modo abbiamo ridotto la complessità del problema.Una volta note la tensione v e la corrente i è possibile determinareimmediatamente tutte le grandezze che sono scomparse durante la riduzione (v1,v2, i1 e i2 ). Sebbene il bipolo equivalente parallelo possa essere costruito da due

resistori non lineari (controllati in corrente), qui noi considereremo solo leconnessioni in parallelo fondamentali, che si incontrano nei circuiti resistivi lineari.

Resistori lineari in parallelo

Si considerino due resistori lineari, con resistenze R1 e R2 , collegati in parallelo. Siha

i =1

R1+

1

R2

v , (19)

cioè il resistore con conduttanza

Geq = G1 + G2 , (20)

è equivalente al bipolo costituito dal resistore con conduttanza G1 = 1/ R1 inparallelo al resistore di conduttanza G2 = 1/ R2 , Figura 3.8.

aaa

i

i1

i2

Fig. 3.8 Due resistori collegati in parallelo e corrispondente resistore equivalente


179

Se invece della conduttanza equivalente si considera la resistenza equivalente, siha

Req =R1R2

R1 + R2(21)

Esiste una semplice relazione tra la corrente in ogni resistore del parallelo (i1 e i2 )e la corrente i del parallelo. È facile dimostrare che

i1 = iG1

G1 + G2

, i2 = iG2

G1 + G2

; (22)

i riferimenti per i versi delle correnti sono quelli illustrati in Figura 3.8. Questesono le formule del partitore di corrente.Le relazioni (22) formulate attraverso le resistenze diventano:

i1 = iR2

R1 + R2, i2 = i

R1

R1 + R2. (23)

Quando le due resistenze R1 e R2 sono uguali, il valore della resistenzaequivalente è la metà del valore delle singole resistenze del parallelo, le correnti i1e i2 sono uguali e sono la metà della corrente del parallelo, i1 = i2 = i / 2 .

Osservazione

La sostituzione di due resistori in parallelo con il resistore equivalente,corrisponde di nuovo alla riduzione del sistema di equazioni circuitali attraversol’eliminazione per sostituzione; la ricostruzione delle correnti in ogni resistore, unavolta nota la corrente del parallelo, attraverso le formule del partitore,corrisponde all'eliminazione all'indietro nell’algoritmo di Gauss.È immediato verificare che nel caso di m resistori in parallelo R1, R2 , ..., Rm la

conduttanza del bipolo parallelo equivalente vale

Geq =1

R1+

1

R2+ .. .+

1

Rm=

1

Rii=1

m∑ . (24)

La corrente i j del j −esimo resistore è legata alla corrente totale del parallelo dalla

relazione


180

i j = (±)iG j

Ghh =1m∑

; (25)

nella (25) deve essere considerato il segno positivo se i versi di riferimento dellecorrenti i j e i sono discordi rispetto al nodo o, in caso contrario, il segno

negativo.♦

Generatori di corrente ideali in parallelo

Si consideri il caso in cui due generatori di correnti ideali, con correnti j1 e j2

sono collegati in parallelo. Il bipolo generatore di corrente ideale con corrente

jeq = j1 + j2 ; (26)

è equivalente al bipolo costituito dalla serie del generatore ideale di corrente concorrente j1 con il generatore di tensione j2 , Figura 3.9a.

aaa

(a) (b)

11

2

1

3

jeq = j1 + j2

1

3

j e j

Fig. 3.9 Generatori collegati in parallelo.

Generatore ideale di tensione in parallelo con un generatore ideale dicorrente

Si considerino un generatore di tensione ideale, con tensione e , connesso inparallelo con un generatore ideale di corrente con corrente j , (Figura 3.9b). Lacorrente del parallelo non è nota e la tensione è uguale a e per qualsiasi valore


181

della corrente. Pertanto questo bipolo è equivalente a un generatore di tensioneideale che imprime la tensione e .Non è significativo il caso di due generatori ideali di tensione in parallelo, perchéda luogo a un modello incompatibile (a meno che le due tensioni non siano egualie in tal caso il bipolo equivalente è ancora un generatore di tensione con la stessatensione dei due generatori).

Resistore in parallelo con un generatore di corrente ideale

Si consideri un generatore di corrente ideale, con corrente j , connesso inparallelo con un resistore lineare di resistenza R e quindi conduttanza G =1/ R .La caratteristica del bipolo equivalente è

i = j + Gv . (27)

Essa è la caratteristica del generatore “reale” di corrente; i riferimenti per i versisono quelli illustrati in Figura 3.10. Il generatore reale di corrente è un bipoloattivo.Infine, il parallelo tra un generatore di tensione ideale con tensione e e unresistore è equivalente a un generatore di tensione ideale con tensione e .

aaa

(a) (b)

Rj

+

−

i

v

−

i

i

j

− j /G

Fig. 3.10 (a) Circuito equivalente al generatore reale di corrente e (b) curvacaratteristica.

Osservazione

Il bipolo costituito da un resistore di resistenza R collegato in serie con ungeneratore indipendente di tensione, che imprime la tensione e , è equivalente albipolo costituito dallo stesso resistore collegato in parallelo con un generatore


182

indipendente di corrente che imprime la corrente j = e / R; i versi di riferimentoper le variabili circuitali sono quelli indicati nelle Figure 3.6 e 3.10. Ovviamentevale anche il viceversa; in questo caso abbiamo e = Rj . Il lettore dimostri questaproprietà di equivalenza.Questa equivalenza può essere molto utile nella soluzione di circuiti checontengono più generatori indipendenti. Come vedremo sostituire un resistorecollegato in serie con un generatore di tensione con l’equivalente parallelo in cuial posto del generatore di tensione c’è il generatore di corrente (o viceversa) puòridurre di molto la complessità del circuito.

♦

Esempio

Si consideri il circuito rappresentato in Figura 3.11. Esso può essere ridottoutilizzando le equivalenze serie e parallelo a un circuito “semplice” costituito dalgeneratore ideale di tensione e da un resistore lineare. Le regole del partitore ditensione e di corrente consentono, poi, di ricostruire tutte le tensioni e le correntidel circuito.Il generatore di tensione è in serie con il resistore di resistenza R1 e il resistore diresistenza R3 è in serie con il resistore di resistenza R4 . Se fosse nota la correntei1, attraverso le regole del partitore di corrente si potrebbero determinare le altre

due correnti e quindi, anche, le tensioni su ogni resistore.

+−

Fig. 3.11 Circuito resistivo lineare con un solo generatore.

La corrente i1 può essere determinata riducendo il circuito a un circuito

“semplice” costituito dal generatore e da un solo resistore. La procedura diriduzione è riportata in Figura 3.12. La corrente i1 vale


183

i1 = EReq

3( ) = 2 A. (28)

Utilizzando la formula del partitore di corrente è possibile calcolare le correnti i2

e i3 (i resistori con resistenze R2 e Req1( ) sono in parallelo nel circuito N

1( ) ). Si

ottiene

i2 =Req

1( )

R2 + Req1( ) = 1 A e i3 = R2

R2 + Req1( ) = 1 A. (29)

Infine, le tensioni dei resistori valgono

v1 = R1i1 = 2.5 V, v2 = R2i2 = 5 V, v3 = R3i3 = 3 V, v4 = R4i4 = 2 V. (30)

+−

+−

+−

+−

Fig. 3.12 Descrizione della procedura di riduzione.

Questo esempio mostra come si può risolvere un circuito con un solo generatoresenza utilizzare esplicitamente le equazioni circuitali (le equazioni di Kirchhoff e leequazioni costitutive). La procedura descritta è equivalente alla soluzione delsistema di equazioni circuitali con il metodo di Gauss: la riduzione del circuitoavviene per ispezione ed è guidata dalle proprietà del grafo.


184

+−

Fig. 3.13 Esempio di circuito che non può essere risolto con la sola riduzione serie eparallelo

Tutti i circuiti resistivi con un solo generatore possono essere risolti in questomodo? Purtroppo la risposta è no. Si consideri, ad esempio, il circuito illustrato inFigura 3.13. In questo caso non è possibile individuare né collegamenti inparallelo né collegamenti in serie. È ancora possibile determinare un resistoreequivalente al bipolo di resistori N . La resistenza del resistore equivalente puòessere determinata attraverso degli strumenti di analisi che saranno introdotti inseguito. Per ora il lettore calcoli la corrente i che circola nel resistore conresistenza R usando il metodo dei potenziali di nodo.

3.3 Circuiti resistivi lineari e sovrapposizione degli effetti

In questo paragrafo, saranno enunciate e dimostrate alcune proprietà generali deicircuiti resistivi lineari, ovvero il teorema della sovrapposizione degli effetti e ilteorema di Thévenin-Norton. Essi costituiscono utili strumenti di analisi per icircuiti resistivi lineari.

3.3.1 Circuiti resistivi lineari con un solo generatore

Si consideri un circuito costituito da elementi resistivi lineari e un solo generatoreideale, ad esempio, un generatore ideale di tensione (Figura 3.14). Sianoi = i1,i2 ,...,il( )T

le correnti e v = v1,v2, ..., vl( )T le tensioni del circuito. I lati sono

stati ordinati in modo tale che il generatore di tensione ideale corrisponda al lato“l ”. Gli altri l − 1 lati sono resistori lineari; la resistenza del k − esimo resistore èindicata con Rk , con 1 ≤ k ≤ l − 1.


185

aaaa

(a) (b)

e

+

−il

1

n

Reqvl

i+

−

vk

L

e

ik+

−il

1

n

Rkvl

i

Fig. 3.14 (a) Circuito resistivo lineare con un solo generatore; (b) circuito equivalente.

Le equazioni circuitali sono

Ai = 0, (31)

Bv = 0, (32)vk − Rk ik = 0 per k = 1,2,...,l −1, (33)

vl = e, (34)

dove A e B sono, rispettivamente, una matrice di incidenza ridotta e una matricedi maglia fondamentale del circuito. Il sistema di equazioni (31) e (32) sono leequazioni di interconnessione del circuito (equazioni di Kirchhoff per le correnti eper le tensioni); le equazioni (33) sono le equazioni caratteristiche dei resistori;infine, l’equazione (34) è l’equazione caratteristica del generatore ideale ditensione. Tutte queste equazioni sono algebriche lineari; inoltre, ad eccezionedell’ultima equazione, tutte le equazioni sono anche omogenee.A causa della linearità ogni corrente e ogni tensione è direttamente proporzionalealla tensione del generatore ideale di tensione (oppure alla corrente del generatoredi corrente nel caso in cui nel circuito vi fosse un solo generatore di correnteindipendente). Siano

˜ i j = H j ⋅1 V, v j = K j ⋅1 V per 1 ≤ j ≤ b (35)

le correnti e le tensioni del circuito per e = 1 V ; le grandezze H j sonoomogenee, dimensionalmente, con una conduttanza e le grandezze K j sono


186

adimensionali. Siccome il sistema di equazioni (31)-(34) è lineare, la soluzione delcircuito per un generico valore di e è

i j = H je, v j = K je per 1 ≤ j ≤ b. (36)

La verifica di questa proprietà può essere effettuata sostituendo le espressioni (36)nelle equazioni circuitali. Il lettore la esegua. In particolare, la corrente i nelterminale “1” del bipolo N vale

i = e/Req (37)

dove Req = −1/ Hb . Dunque un qualsiasi bipolo N costituito da soli resistori

lineari (senza generatori) può essere sempre rappresentato da un bipolo resistoreequivalente con resistenza Req . Se i resistori che costituiscono il bipolo N sonotutti passivi, cioè Rk > 0 k = 1,2,...,l −1, allora per Req vale la relazione

Req ≥ 0; (38)

(questa relazione può essere dimostrata utilizzando la conservazione delle potenzeelettriche).

3.3.2 Circuiti resistivi lineari con più generatori

Si consideri, ora, un circuito costituito da resistori lineari e da più generatoriideali, ad esempio, un circuito con un generatore ideale di tensione e uno dicorrente (Figura 3.15). La proprietà che verrà dimostrata è indipendente dalnumero e dal tipo di generatori ideali presenti; soltanto per semplificare lanotazione ne sono stati considerati solo due.Siano i = i1,i2 ,...,il( )T

le correnti e v = v1,v2, ..., vl( )T le tensioni del circuito. I lati

sono stati ordinati in modo tale che: al generatore di tensione ideale corrisponda illato “l ” e al generatore di corrente ideale il lato “l − 1”. Gli altri l − 2 lati sonoresistori lineari e la resistenza del k − esimo resistore è indicata con Rk

1 ≤ k ≤ l − 2. Le equazioni circuitali sono

Ai = 0, (39)

Bv = 0, (40)vk − Rk ik = 0 per k = 1,2,...,l − 2, (41)


187

il−1 = j, (42)vl = e . (43)

aaaa

+

−

vk

L

e

ik+

−il

1

n

Rk

+

−

2

n−1

jvl −1

il −1

vl

Fig. 3.15 Circuito resistivo lineare con due generatori indipendenti.

Si considerino ora i due circuiti ausiliari ′ L e ′ ′ L rappresentati in Figura 3.16: ilcircuito ′ L , rappresentato in Figura 3.16a, è stato ottenuto a partire dal circuito inesame spegnendo il generatore di tensione; il circuito ′ ′ L , rappresentato in Figura3.16b, è stato ottenuto a partire dal circuito in esame spegnendo il generatore dicorrente. Ricordiamo che spegnere un generatore ideale di tensione equivale asostituirlo con un corto circuito, mentre spegnere un generatore ideale di correnteequivale a sostituirlo con un circuito aperto. Denotiamo con un apice tutte legrandezze relativo al circuito ausiliario ′ L e con due apici tutte le grandezzerelative al circuito ausiliario ′ ′ L .

aaaa

+

−

e

+

−

1

n

Rk

+

−

2

n−1

′vl −1

′il −1 = 0

′il

′vl′vk

′ik+

−

+

−

1

n

Rk

+

−

2

n−1

j′′vl = 0

′′il

′′il −1

′′ik

′′vl −1′′vk

′L ′′L

(a) (b)Fig. 16 Circuiti ausiliari del circuito rappresentato in Figura 3.15.

Le equazioni dei due circuiti ausiliari sono


188

circuito ausiliario ′ N circuito ausiliario ′ ′ N

A ′ i = 0, A ′ ′ i = 0, (44)

B ′ v = 0, B ′ ′ v = 0, (45)′ v k − Rk ′ i k = 0, k = 1,2,...,l − 2 ′ ′ v k − Rk ′ ′ i k = 0, k = 1,2,...,l − 2 (46)

′ i l−1 = J, ′ ′ i l−1 = 0, (47)′ v l = 0. ′ ′ v l = E. (48)

Essendo il sistema (39)-(43) lineare la sua soluzione può essere sempre espressacome sovrapposizione lineare delle soluzioni dei due circuiti ausiliari, cioè

i = ′ i + ′ ′ i ,

v = ′ v + ′ ′ v .(49)

La verifica di questa proprietà può essere effettuata sostituendo le espressioni (49)nelle equazioni circuitali del circuito in esame. Il lettore la esegua. Le relazioni(49) si prestano a questa interpretazione.

Proprietà della sovrapposizione degli effetti

La generica corrente (o tensione) in un circuito di resistori lineari e di generatoriideali, è la somma delle correnti (o tensioni) che ciascuno dei generatoriindipendenti produrrebbe se agisse da solo con tutti gli altri generatoriindipendenti “spenti”.

♦

Una immediata conseguenza della proprietà della sovrapposizione e delle (36) èche qualsiasi corrente i j (1 ≤ j ≤ l ) del circuito in esame è data da una

combinazione lineare delle sorgenti del tipo

i j = H j E + Q j J (50)

e qualsiasi tensione v j (1 ≤ j ≤ l ) è data da una combinazione lineare delle

sorgenti del tipo

v j = K j E + Pj J (51)


189

dove i fattori H j , K j , Pj , Q j sono costanti dipendenti unicamente dai parametri

circuitali e non dai generatori indipendenti.

Esempio

Si consideri il circuito rappresentato in Figura 3.17 e si determini la potenzaelettrica assorbita dal resistore R1. L’espressione della potenza assorbita da R1 è

p1 = R1i12 = i1

2 . (52)

Per determinare la corrente i1 si può usare la sovrapposizione degli effetti, le

equivalenze serie e parallelo e le regole del partitore di tensione e di corrente.

+−

Fig. 3.17 Circuito resistivo lineare con due generatori indipendenti.

Applicando la sovrapposizione degli effetti, la corrente i può essere espressa come

i1 = ′ i 1 + ′ ′ i 1 (53)

dove ′ i 1 è la corrente del resistore R1 quando è spento il generatore di corrente edè acceso quello di tensione e ′ ′ i 1 è la corrente nel resistore R1 quando è spento il

generatore di tensione ed è acceso quello di corrente. I due circuiti ausiliari sonorappresentati, rispettivamente, in Figura 3.18 e in Figura 3.19. Si osservi che,,essendo

p1 = R1 ′ i 1 + ′ ′ i 1( )2 = R1 ′ i 12 + 2R1 ′ i 1 ′ ′ i 1 + R1 ′ ′ i 1

2 (54)

per la potenza non vale la proprietà della sovrapposizione. Ciò è semplicementeconseguenza del fatto che la potenza è un’espressione quadratica della corrente (odella tensione).


190

Calcolo di ′ i 1 .

Il generatore di tensione è in serie con il resistore di resistenza R1 e il resistore diresistenza R3 è in serie con il resistore di resistenza R4 (Figura 3.18); inoltre laserie R3-R4 è in parallelo con R2 . La corrente ′ i 1 può essere determinata

riducendo il circuito ′ L a un circuito “semplice” costituito dal generatore ditensione e da un solo resistore. La procedura di riduzione è descritta in Figura3.18. Allora la corrente ′ i 1 vale

′ i 1 = EReq

3( ) = 10 A. (55)

+−

+−

+−

+−

Fig. 3.18 Circuito ausiliario ′ L e procedura di riduzione

Fig. 3.19 Circuito ausiliario ′ ′ L e procedura di riduzione


191

Calcolo di ′ i 2 .

La corrente ′ ′ i 3 nel circuito ′ ′ L (Figura 3.19) può essere calcolata usando la

formula del partitore di corrente ( R4 e Req2( ) sono in parallelo); applicandola si

ottiene

′ ′ i 3 = JR4

R4 + Req2( ) = 12.5 A. (56)

A questo punto, essendo nota la corrente ′ ′ i 3 , la corrente ′ ′ i 1 nel circuito ′ ′ L

(Figura 3.19) può essere calcolata usando, ancora, la formula del partitore dicorrente ( R1 e R2 sono in parallelo); applicandola si ottiene

′ ′ i 1 = ′ ′ i 3R2

R1 + R2

= 6.25 A. (57)

Allora corrente la corrente i1 vale i1 = ′ i 1 + ′ ′ i 1 = 16.25 A e, quindi, la potenzaassorbita dal resistore di resistenza R1 vale p1 ≅ 264.1 W.

3.4 Generatore equivalente di Thévenin-Norton

Nella prima parte di questo paragrafo è stato dimostrato che un qualsiasi bipolo

N costituito da soli resistori lineari, quindi senza generatori indipendenti, puòessere sempre rappresentato da un bipolo resistore equivalente con resistenzaReq . Si consideri, ora, un bipolo N L composto da resistori lineari e generatori

indipendenti, Figura 3.20a. Vogliamo determinare la caratteristica i − v di questobipolo.Per determinare la curva caratteristica i − v di N L e, quindi, il bipolo equivalente,bisogna determinare la relazione tra la corrente i e la tensione v per tutti i valoridi corrente e di tensione ammissibili. Ciò può essere fatto attraverso unesperimento concettuale in cui si impone la corrente i attraverso un generatoredi corrente indipendente e si determina la tensione v (Figura 3.20b,caratterizzazione su base corrente del bipolo), oppure si impone la tensione v

attraverso un generatore indipendente di tensione e si determina la corrente i

(Figura 3.20c, caratterizzazione su base tensione del bipolo). Le duecaratterizzazioni sono equivalenti, fatta eccezione per due casi molto particolari.


192

aaaa

v

(a) (b) (c)

1

2

+

−v

i

L

1

2

+

−vi

L L

1

2

i

Fig. 3.20 Bipolo costituito da resistori e generatori indipendenti (a); circuito per lacaratterizzazione di su base corrente (b) e su base tensione (c)

Si consideri la caratterizzazione su base corrente. Bisogna determinare larelazione che lega la tensione v alla corrente impressa i . Si assuma che il circuitodi Figura 3.20b abbia una e una sola soluzione per ogni valore di i . Siccome ilcircuito è lineare, la relazione cercata può essere determinata attraverso lasovrapposizione degli effetti. A tale scopo si considerino i due circuiti ausiliarirappresentati in Figura 3.21. Il primo è stato ottenuto spegnendo nel circuito diFigura 3.21b tutti i generatori indipendenti di L , mentre il secondo è statoottenuto spegnendo solo il generatore di corrente “ausiliario” che imprime lacorrente i .

aaaa

(a) (b)

1

2

+

−i

L

1

2

+

−L

′v

′L

′′v

′′L

′′i = 0

Fig. 3.21 Circuiti ausiliari associati al circuito di Figura 3.20b

Il bipolo ′ L è costituito da soli resistori lineari, circuiti aperti (corrispondenti aigeneratori di correnti spenti) e corto circuiti (corrispondenti ai generatori ditensione spenti). Esso può essere rappresentato tramite un resistore equivalente.Sia Req la resistenza equivalente di ′ L ; allora la tensione ′ v vale

′ v = Req i . (58)


193

Nel circuito illustrato in Figura 3.21b le sorgenti sono solo quelle interne alcircuito L ( ′ ′ i = 0 ). Si indichi con E0

la tensione di L quando la corrente i è

uguale a zero, la cosiddetta tensione a circuito aperto o a vuoto. La tensione avuoto è indipendente dalla corrente i , dipende solo dalla struttura interna delbipolo resistivo L . Applicando la sovrapposizione degli effetti si ha

v = ′ v + ′ ′ v ; (59)

utilizzando l’equazione (58) dalla (59) abbiamo

v = Reqi + E0 . (60)

La (60) è la caratteristica del bipolo L. Essa coincide con la caratteristica delgeneratore “reale” di tensione. Di conseguenza, il comportamento ai terminali diun qualsiasi bipolo costituito da resistori lineari e generatori indipendenti èequivalente a un generatore reale di tensione. Questo risultato notevole va sotto ilnome di Teorema di Thévenin.

aaaa

1

2

+

−v

i

L2

1

v

i

E0

Req

Fig. 3.22 Generatore equivalente di Thévenin.

Teorema di Thévenin

Si consideri un bipolo L costituito da resistori lineari e generatori indipendenti. Siassuma che il circuito ottenuto collegando il bipolo resistivo “lineare” L a ungeneratore ideale di corrente ammetta una e una sola soluzione. Allora ilcomportamento ai terminali di L è equivalente al generatore equivalente diThévenin riportato in Figura 3.22, dove:

Req , detta resistenza equivalente di Thévenin, è la resistenza equivalente del

bipolo L , dopo avere spento tutti i generatori ideali all’interno di L;


194

E0 , detta tensione di circuito aperto (o tensione a vuoto), è la tensione fra i

terminali “1” e “2” di L quando esso è collegato a un circuito aperto.♦

Si consideri ora la caratterizzazione su base tensione e si assuma che il circuito diFigura 3.20c ammetta una e una sola soluzione per ogni valore di v . Il lettoredimostri, applicando la sovrapposizione degli effetti, che la relazione tra lacorrente i e la tensione v vale

i = Geq v + Jcc . (61)

dove Geq è la conduttanza equivalente del bipolo L quando tutti i generatori sonospenti e Jcc è la corrente nel terminale “1” quando il bipolo L è collegato a un

corto circuito. La relazione (61) è la relazione caratteristica di un generatore“reale” di corrente. Di conseguenza, il comportamento ai terminali di un qualsiasibipolo costituito da resistori lineari e generatori indipendenti è equivalente a ungeneratore reale di tensione. Questo risultato notevole va sotto il nome diTeorema di Norton.

aaaa

1

2

+

−v

i

L2

1

v

i

Req Jcc

Fig. 3.23 Generatore equivalente di Norton.

Teorema di Norton

Si consideri un bipolo L costituito da resistori lineari e generatori indipendenti. Siassuma che il circuito ottenuto collegando il bipolo resistivo “lineare” L a ungeneratore ideale di tensione ammetta una e una sola soluzione. Allora L puòessere rappresentato attraverso il generatore equivalente di Norton riportato inFigura 3.22, dove:

Geq , detta conduttanza equivalente di Norton, è la conduttanza equivalente

del bipolo N L , dopo avere spento tutti i generatori all'interno di L;


195

Jcc , detta corrente di corto circuito, è la corrente nel terminale “1” di L

quando esso è collegato a un corto circuito.♦

Quando Req ≠ 0 e Geq ≠ 0 le relazioni (60) e (61) sono invertibili e, quindi, il

comportamento ai terminali del bipolo L può essere rappresentato sia dalgeneratore equivalente di Thévenin che dal generatore equivalente di Norton.Valgono, allora, le relazioni

Req = 1Geq

, Jcc = − E0

Req

. (62)

Queste relazioni consentono di determinare i parametri del generatore equivalentedi Norton del bipolo L a partire dai parametri del generatore equivalente diThévenin, e viceversa. Utilizzando la seconda delle (62) è possibile determinare laresistenza equivalente di Thévenin nota la tensione a vuoto E0 e la corrente dicorto circuito Jcc . Questo è un risultato assai interessante dal punto di vista

pratico, perché consente di determinare la relazione caratteristica di un sistemaelettrico assimilabile a un bipolo di resistori e generatori indipendenti attraversodue misure: la misura della tensione a vuoto e la misura della corrente di cortocircuito. Il lettore provi a individuare dei casi in cui Req = 0 o Geq = 0 ; può anche

accadere che E0 = 0 e/o Jcc = 0 , pur essendovi dei generatori.

aaaa

2

1

v E0

Req

N

i1

2

+

−v

i

LN

(a) (b)

Fig. 3.24 (a) Circuito costituito da un bipolo resistivo lineare con generatori indipendentie un bipolo non necessariamente lineare o resistivo; (b) circuito equivalenteottenuto applicando Thévenin.

I circuiti equivalenti di Thévenin-Norton hanno una grande importanza nell’analisidei circuiti. Attraverso di essi è possibile ridurre notevolmente la complessità delleparti di un circuito costituite da resistori lineari e generatori indipendenti. Si


196

consideri, ad esempio, il circuito costituito da un bipolo L , composto da resistorilineari e generatori indipendenti, e da un bipolo N non necessariamente lineare oresistivo (esso può essere anche di tipo dinamico), Figura 3.24a. Se si è interessatialla tensione v e/o alla corrente i conviene rappresentare il bipolo L attraverso ilcircuito equivalente di Thévenin (o Norton), e quindi studiare il circuitorappresentato in Figura 3.24b, che è più semplice di quello di partenza. Inconclusione possiamo sostituire qualsiasi parte di un circuito, assimilabile a unbipolo resistivo lineare con generatori indipendenti, con due soli elementicircuitali, o un generatore reale di tensione oppure un generatore reale dicorrente, senza, così, influenzare il funzionamento della restante parte del circuito.

Esercizio

Si determini nel circuito illustrato in Figura 3.25 la potenza assorbita dal resistoreR4 , p4 = R4i4

2 . In questo caso la corrente i4 non può essere determinata solo

attraverso le equivalenze serie e parallelo e le formule dei partitori, perché vi sonodelle connessioni tipo “triangolo” o tipo “stella”.

a

+−

+−0

Fig. 3.25 (a) Circuito in esame e (b) circuito equivalente ottenuto applicando Thévenin.

Il calcolo di i4 può essere semplificato notevolmente se si usa il generatore

equivalente di tensione per rappresentare la parte del circuito racchiusa dalla lineatratteggiata in Figura 3.26a. In Figura 3.26b è rappresentato il circuitoequivalente ottenuto applicando Thévenin. Bisogna determinare i parametri E0 eReq .


197

aaa

0

+− 0

L −

+

Fig. 3.26 Bipolo resistivo “lineare” L (a) e bipolo resistivo “lineare” L con ilgeneratore spento (b).

Calcolo di E0

Per calcolare E0 bisogna risolvere il circuito di Figura 3.26a. Questo circuito può

essere risolto utilizzando l’equivalenza serie e parallelo e le formule dei partitori. Ilresistore R3 è in serie con R5 ; la serie R3 − R5 è a sua volta in parallelo con R1;questo parallelo è, infine, in serie con R2 . Quindi la resistenza equivalente R , che

vede il generatore E , vale

R = R1(R3 + R5 )R1 + R3 + R5 )

+ R2 = 6.4 Ω (63)

La corrente i è data da i = E / R = 1.5625. Per determinare E* basta conoscerela corrente i5. Infatti applicando la seconda legge di Kirchhoff si ottieneE* = E − R5i5 . La corrente i5 può essere determinata utilizzando il partitore di

corrente. Si ottiene

i5 = iR1

R1 + R3 + R5

= 0.625 A (64)

Quindi abbiamo E* = E − R5i5 = 7.5 V .

Calcolo di Req .

Per calcolare Req si possono applicare le equivalenze serie e parallelo al bipolo

illustrato in Figura 3.26b. Il resistore R1 è in parallelo con R2 ; il parallelo R1 R2 è


198

a sua volta in serie con R3; questa serie è, infine, in parallelo con R5 . Quindi laresistenza equivalente Req vale

Req =R5

R1R2

R1 + R2

+ R3

R5 + R1 R2

R1 + R2

+ R3

= 2 Ω (65)

Ora è possibile calcolare la corrente i4 . Si ha

i4 = E *

Req + R4

1.875 A (66)

La potenza assorbita dal resistore R4 vale p4 = R4i42 ≅ 7.0 W.

Il lettore determini la potenza erogata dal generatore di tensione del circuito inesame, rappresentato in Figura 3.25a. Essa non coincide con quella erogata dalgeneratore di tensione del circuito equivalente rappresentato in Figura 3.25b.Perché?

Esempio

Si determini nel circuito illustrato in Figura 3.27 la tensione del diodo.

aaa

00+−+

−L

+

−

+

−

Fig. 3.27 (a) Circuito con un elemento non lineare; (b) circuito equivalente ottenutoapplicando Thévenin.

Il calcolo di v può essere semplificato notevolmente se si usa di nuovo ilgeneratore equivalente di tensione per rappresentare la parte del circuito


199

racchiusa dalla linea tratteggiata in Figura 3.27a. In Figura 3.27b è rappresentatoil circuito equivalente ottenuto applicando Thévenin.

aaa

+− 0

+

−L

Fig. 3.28

La tensione a vuoto e la resistenza equivalente valgono E* = 3 V e Req = 20 Ω .

Pertanto la tensione v deve verificare l’equazione non lineare

v + 20g(v) = 3; (67)

si assuma per il diodo la caratteristica (diodo esponenziale)

g v( ) = 10−9 exp v/0.05( ) − 1[ ]. (68)

L’equazione non lineare può essere risolta per via grafica (Figura 3.29):

y = 3 − v( )/20. (69)

è la caratteristica del bipolo resistivo lineare, la cosiddetta retta di carico, e

y = g v( ) (70)

è l’equazione costitutiva del diodo. Una soluzione approssimata è v ≅ 0.9, i ≅ 0.1.Il lettore risolva l’equazione non lineare (70) utilizzando, anche, il metodo diNewton-Raphson.


200

0

0,05

0,10

0,15

0,20

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

(A)

v (V)

Fig. 3.29 Soluzione grafica dell’equazione non lineare (67)

Il generatore equivalente di Thévenin-Norton può essere applicato anche nellasoluzione di circuiti dinamici lineari del primo ordine (cioè, con un solo elementodinamico) per ridurre la complessità della parte resistiva del circuito.Affronteremo questo argomento nel Capitolo successivo, dove studieremo icircuiti dinamici.

3.5 Non amplificazione delle tensioni e delle correnti

L’ultimo argomento che tratteremo in questo Capitolo riguarda una notevoleproprietà dei circuiti resistivi che contengono un solo elemento attivo.Può accadere che in un circuito di elementi statici, quindi senza condensatori einduttori, e con un solo elemento attivo (ad esempio, con un solo generatore) latensione (corrente) di un elemento passivo possa essere più grande, in valoreassoluto, del valore assoluto della tensione (corrente) dell’unico elemento attivo?In altre parole, la tensione (corrente) dell’unico elemento attivo può essereamplificata ? La risposta è no.


201

Teorema di non amplificazione delle tensioni

Si consideri un circuito costituito da un solo bipolo attivo e da resistori passivi (iresistori possono essere non lineari). La tensione dell’unico bipolo attivo è, invalore assoluto, la più grande tra tutte le tensioni del circuito.

Dimostrazione

Innanzi tutto si scelga il riferimento per la tensione va dell’unico bipolo attivo in

modo tale che essa sia positiva e si indichino i nodi ai quali esso è collegato cosìcome è indicato in Figura 3.30a (questa è solo un’ipotesi di lavoro). Si consideriun generico nodo del circuito (diverso dai nodi “1” e “n ”) e lo si indichi con“s”; è utile riferirsi al caso riportato in Figura 3.30b. Si scelgano i riferimenti peri versi delle correnti dei bipoli collegati con il nodo “s” come quelli illustrati inFigura 3.30b: il riferimento per il verso della generica corrente ik (k = l,m, p,q ) è

quello che va dal nodo “k ” al nodo “s”. La scelta di questi versi di riferimentoper le correnti è anche essa un’ipotesi di lavoro (la tesi del teorema non dipendedai riferimenti scelti; se si scelgono i riferimenti in questo modo è più semplicedimostrarla).

aaaaa

bipolipassivi“statici”

bipoloattivo“statico”

1

n

e1

en

ia

+

−

va

l

m

q

p

s

ip

iqil

im

(a) (b)Fig. 3.30 (a) Circuito di bipoli statici con un solo elemento attivo; (b) il nodo “s” è un

nodo interno.

Applicando la prima legge di Kirchhoff al nodo “s” si ha

im + il + ip + iq = 0 . (71)


202

Dalla (70) segue necessariamente che:(i) o le correnti im , il , ip e iq sono tutte nulle;

(ii) oppure alcune sono positive, altre sono negative e altre nulle.Escludiamo la prima possibilità perché poco significativa. Allora si ha almeno unacorrente positiva e un’altra negativa con i riferimenti scelti per i versi dellecorrenti; si assuma

ils > 0, (72)ims < 0 , (73)

Siccome tutti i bipoli collegati al nodo “s” sono statici e passivi, si ha

pls = ilsv ls > 0, (74)pms = vmsims > 0 . (75)

Stiamo escludendo che la potenza assorbita possa essere uguale a zero quando lacorrente è diversa da zero. Ciò, in realtà, non è sempre vero. Basti pensare aicorto circuiti. Comunque escludiamo questa possibilità.Dalle (72)-(55) si ottiene

vls = el − es > 0, (76)vms = em − es < 0 , (77)

dove em , es e el sono i potenziali dei nodi “ m”, “s” e “l ”. Le relazioni (76) e

(77) implicano che il potenziale del nodo “s” non è né il più grande e né il piùpiccolo dell’insieme dei potenziali nodali e1,e2, ..., en del circuito. Se invece tutte le

correnti che interessano il nodo “s” fossero nulle, essendo i bipoli strettamentepassivi, avremmo che tutte le tensioni sarebbero nulle. Anche in questo caso ilpotenziale del nodo “s” non è né il più grande e né il più piccolo dell’insieme deipotenziali nodali e1,e2, ..., en del circuito. Ciò vale per ogni nodo interno al

circuito di resistori passivi.L’insieme dei potenziali e1,e2, ..., en è un insieme finito e limitato. Pertanto esso

deve ammettere necessariamente un massimo e un minimo. Siccome il potenzialedi qualsiasi nodo diverso da “1” e “n ” non può essere né il massimo e né ilminimo, allora e1 è il potenziale massimo ed en è il potenziale minimo (perché si èassunto e1 − en = va ≥ 0). Quindi è possibile ordinare i nodi in modo tale da avere

per i potenziali la relazione d’ordine


203

e1 ≥ e2 ≥ ... ≥ en -1 ≥ en . (78)

Dunque la tensione dell’unico bipolo attivo è la più grande, in valore assoluto, tratutte quelle del circuito.

Una proprietà analoga esiste anche per le correnti. Noi qui la enunceremo senzadimostrarla.

Teorema di non amplificazione delle correnti

Si consideri un circuito costituito da un solo bipolo attivo e da resistoristrettamente passivi (i resistori possono essere non lineari). Allora, la correntedell’unico bipolo attivo è, in valore assoluto, la più grande tra le correnti delcircuito.

♦Questo teorema può essere dimostrato semplicemente se si usa il concetto diinsieme di taglio e si scelgono i versi di riferimento per le correnti in modo taleche esse non siano negative. Una volta stabilito quale corrente confrontare con lacorrente dell’unico elemento attivo, bisogna individuare un insieme di taglio chele contiene entrambe. Comunque questi sono solo dei suggerimenti, rivolti allettore curioso e volenteroso.

Osservazione

La proprietà di non amplificazione non vale se il circuito contiene almeno dueelementi attivi, ad esempio, due generatori. In questo caso la tensione o lacorrente di un resistore può essere, in modulo, più grande del modulo dellatensione o della corrente di uno dei due generatori.La proprietà di non amplificazione non vale neanche nei circuiti che contengonobipoli dinamici passivi. Ciò è conseguenza del fatto che la potenza assorbita da uncondensatore o da un induttore può essere in alcuni istanti positiva e in altri istantinegativa a seconda se sta aumentando o diminuendo l’energia in essiimmagazzinata. I condensatori e gli induttori, pur essendo elementi passivi, nondissipano l’energia che assorbono in calore, ma la immagazzinano. L’energiaimmagazzinata può essere successivamente restituita al circuito, e quando ciòaccade la potenza da essi assorbita è negativa.


204

La proprietà di non amplificazione per le tensioni (correnti) non vale quando auno stesso nodo sono collegati solo circuiti aperti (corto circuiti). In questo caso letensioni (correnti) dei circuiti aperti (corto circuiti) sono, in valore assoluto, piùgrandi di quella dell’unico bipolo attivo. L’esempio più semplice è costituito dadue condensatori (induttori) in serie (parallelo) in funzionamento stazionario(ricordiamo che il condensatore in regime stazionario si comporta come uncircuito aperto e l’induttore come un corto circuito).


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