7. Proprietà dei circuiti lineari adinamici. Proprieta dei... · Reciprocità dei circuiti...

A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017

7. Proprietà dei circuiti lineari adinamici

Forma matriciale del sistema risolvente di un circuito lineare. Circuito inerte. Coefficientidi rete. Reciprocità dei circuiti lineari. Proprietà di sovrapposizione. Rappresentazione incorrente di bipoli lineari (Teorema di Thevenin). Rappresentazione in tensione di unarete bipolare lineare (Teorema di Norton). Rappresentazioni in corrente, in tensione eibride di doppi bipoli lineari.

1

Un circuito adinamico è lineare se contiene solo componenti adinamici lineari (bipoli, doppibipoli ….) e generatori indipendenti di corrente o tensione. Si consideri a titolo di esempio ilcircuito lineare di figura. Il sistema risolvente completo è di seguito riportato

R2 ig

+

R3

R1vgi2

i1 i4

i3i5

+

k i2

0

0

543

421

iii

iii

0

0

0

53

432

21

vv

vvv

vv

g

g

ii

ikv

iRv

iRv

viRv

5

14

333

222

111

0

0

0

R (N1) LKT

R relazioni costitutivedei componenti

N1 LKC

Alla destra del sistema compaiono, nel ruolo di termini noti, la corrente e la tensioneimpresse dai generatori indipendenti

2


Risolvendo analiticamente si ottiene

g

gg

gg

gg

gg

ii

iGkGGG

GGv

GkGGG

GkGGi

iGkGGG

GkGv

GkGGG

GkGGi

iGkGGG

Gv

GkGGG

GGi

iGkGGG

Gv

GkGGG

GGi

5

2321

21

2321

2134

2321

23

2321

2133

2321

2

2321

122

2321

1

2321

111

11

1

1

1

1

1

11

11

1

Ogni corrente ed ogni tensione del circuito è composta, in generale, da due contributi:uno dovuto al generatore di tensione indipendente ed uno dovuto al generatore dicorrente indipendente

gg

gg

gg

gg

gg

iGkGGG

Gkv

GkGGG

GkGv

iGkGGG

Gkv

GkGGG

GGkv

iGkGGG

Gkv

GkGGG

GkGv

iGkGGG

vGkGGG

Gv

iGkGGG

vGkGGG

Gv

2321

2

2321

215

2321

2

2321

214

2321

2

2321

213

23212321

12

23212321

11

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3

La relazione costitutiva di un bipolo lineare e di un generatore indipendente può essereespressa in termini generali nella seguente forma implicita

gv

givi

gg vhihvhih

;;0 viig

vg hRhhh

Si possono avere i seguenti casi

;1;0 vg

vig

i hhhh

i

v

R

;1;0 ig

ivg

v hhhh

iRv

i+

v

vg

ivv g vii g

i

v

ig

i1

v1

i2

v2

0

0

222121222121

212111212111

vhvhihih

vhvhihihvvii

vvii

Analogamente, qualunque sia la rappresentazione adottata, larelazione costitutiva di un doppio bipolo lineare può essereespressa in termini generali nella seguente forma implicita

2221212

2121111

irirv

irirv

;0;1

;;;;

21122211

2222212112121111

vvvv

iiii

hhhh

rhrhrhrh

esempio:

4


Si consideri un circuito lineare avente R rami ed N nodi nel quale agiscono Ngi generatoriindipendenti di corrente e Ngv generatori indipendenti di tensione. Assemblando in formamatriciale le relazioni costitutive di tutti i componenti il sistema risolvente completo si puòesprimere in forma compatta come segue

gvg

gig

vi

v

H

0

0

i

H

0

0

v

i

HH

L0

0T

gvgg

ig

vi vHiHvHiH

0vL

0iT

R (N1) LKT

R relazioni costitutive dei componenti

N1 LKC

Esprimendo la precedente in forma matriciale otteniamo

La matrice ( ) è una matrice diagonale di dimensione R Ngi (R Ngv) il cui genericoelemento in posizione h,h vale +1 se sul ramo h è presente un generatore di corrente (ditensione) e zero altrimenti

igH v

gH

5

gig

gvg

vi

i

H

0

0

v

H

0

0

v

i

HH

L0

0T

gg

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

3

2

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0000010000

010000000

001000000

000100000

000010000

1010000000

0111000000

0001100000

0000011100

0000001011

vi

v

v

v

v

v

i

i

i

i

i

k

R

R

R

\

Ad esempio con riferimento al circuito considerato si ottiene

6


Invertendo la matrice dei coefficienti (ciò è sempre possibile a condizione che il circuito sianon patologico) si ottiene la seguente espressione della soluzione

gvg

1

vig

ig

1

vi

v

H

0

0

HH

L0

0T

i

H

0

0

HH

L0

0T

v

i

Rh

virv

vgii

N

kkghk

N

kkghkh

N

kkghk

N

kkghkh

,...,1gvgi

gvgi

11

11

La corrente e la tensione in ciascun ramo di un circuito lineare sono esprimibili comecombinazione lineare della correnti e delle tensioni impresse dai generatori indipendenti

7

I coefficienti di proporzionalità sono detti coefficienti di rete

jv

kjikg

hhk

jg

jgi

i

0

0

guadagno di corrente

kjv

jikg

hhk

jg

jgv

ig

0

0

conduttanza di ingresso (k=h)conduttanza di trasferimento (kh)

jv

kjikg

hhk

jg

jgi

vr

0

0

resistenza di ingresso (k=h)resistenza di trasferimento (kh)

kjv

jikg

hhk

jg

jgv

v

0

0

guadagno di tensione

Il generico coefficiente xhk può essere calcolato/misurato spegnendo tutti i generatoriindipendenti all’interno del circuito fuorché quello agente sul ramo k, calcolando/misurandola grandezza (corrente o tensione) di interesse sul ramo h e facendone il rapporto. Data laproporzionalità tra tale grandezza e quella impressa sul ramo k e dovendone considerare ilrapporto risulta che ciascun coefficiente è indipendente dal valore delle grandezzeimpresse. 8


Un circuito lineare nel quale siano spenti tutti i generatori indipendenti si dice inerte (talecircuito contiene solo resistori, generatori pilotati e doppi bipoli resistivi)

Un generatore di tensione spento ( i.e. con tensione impressa vg = 0 ) è equivalente ad uncorto circuito. Un generatore di corrente spento (i.e. con corrente impressa ig = 0 ) èequivalente ad un circuito aperto. Si può allora assumere che in ogni ramo della rete siapresente un generatore di tensione spento e tra ogni coppia di nodi sia presente ungeneratore di corrente spento.

Ciò comporta che, in termini generali, un coefficiente di rete possa essere definitorelativamente ad una qualunque combinazione di rami e/o coppie di nodi di un circuito inerte

Esempio: conduttanza di trasferimento tra le porte h e k

k

hhk v

ig

ihvk

+

+

Circuito inerte

Circuito lineare inerte

9

Un circuito inerte costituito da bipoli lineari è necessariamente reciproco rispetto a qualsiasipaio di rami e rispetto a qualunque paio di coppie di nodi

Proprietà di reciprocità dei circuiti lineari

Dimostrazione: Si consideri un circuito a R rami. Si introduca in serie al ramo h un generatore di tensione la cuitensione impressa è vg. Sia i'i la corrente imposta da tale generatore nell’i-esimo ramo. La tensione del i-esimo ramosarà v'i = ri i'i se i h e v'i = vg + ri i'i se i = h. Si introduca ora il medesimo generatore in serie al ramo k. Sia i''i lacorrente imposta da tale generatore nell’i-esimo ramo. La tensione dell’i-esimo ramo sarà v''i = ri i''i se i k e v''i =vg + ri i''i se i = k. Entrambi gli insiemi di corrente di ramo i' e i'' rispettano le LKC. Entrambi gli insiemi di tensioni diramo v' e v'' rispettano le LKT. È possibile dunque applicare il teorema di Tellegen ai prodotti incrociati v'i i''i e v'i i''i .Si ottiene quindi

0'''0'''11

R

iii

R

iii iviv

R

iiiikg

R

iiiihg iiriviiriv

11

'''''''''

da cui

Data l’arbitrarietà di vg si ottiene quindi i''h = i'k, il che prova la reciprocità del circuito rispetto ai due generici rami h ek. Con considerazioni analoghe è possibile dimostrare la reciprocità del circuito rispetto a qualunque paio di coppie dinodi.

10


Un circuito inerte costituito da bipoli lineari e doppi bipoli (o m-porte) lineari è reciprocorispetto a qualsiasi paio di rami e rispetto a qualunque paio di coppie di nodi se è solo se idoppi bipoli (o m-porte) in esso presenti sono reciproci

Dimostrazione: Si consideri un circuito a R rami in cui è presente un doppio bipolo caratterizzato dall matrice R.Siano p e q i rami corrispondenti alle sue porte. Si introduca in serie al ramo h un generatore di tensione la cuitensione impressa è vg. Sia i'i la corrente imposta da tale generatore nell’i-esimo ramo. Sia i' il vettore delle correntiimposte nel doppio bipolo ( i't = [i'p , i'q] ). La tensione dell’i-esimo ramo sarà v'i = ri i'i se i h,p,q e v'i = vg + ri i'i sei = h. Il vettore delle tensioni dei rami p e q sarà v'=Ri'. Si introduca ora il medesimo generatore in serie al ramo k.Sia i''i la corrente imposta da tale generatore nell’i-esimo ramo. La tensione dell’i-esimo ramo sarà v''i = ri i''i se i k,p, q e v''i = vg + ri i''i se i = k. Sia i'' il vettore delle correnti del doppio bipolo. Il vettore delle tensioni dei rami p e qsarà v''=Ri''. Entrambi gli insiemi di corrente di ramo i' e i'' rispettano le LKC. Entrambi gli insiemi di tensioni di ramov' e v'' rispettano le LKT. È possibile dunque applicare il teorema di Tellegen ai prodotti incrociati v'i i''i e v'i i''i . Siottiene quindi

''''''''

''''''''

0''''''

tt

,1

t

,1

t

,1

iRi

iiR

iv

R

qpii

iiihg

R

qpii

iiihg

R

qpii

ii

iiriv

iiriv

iv

Data l’arbitrarietà di vg si ottiene quindi che i''h = i'k (i.e. il circuito è reciproco rispetto ai due generici rami h e k) se esolo se R=Rt , ossia se è solo se il doppio bipolo è reciproco (r12 = r21 ). Con considerazioni analoghe è possibiledimostrare che la reciprocità del doppio bipolo è condizione necessaria e sufficiente anche per la reciprocità delcircuito rispetto a qualunque paio di coppie di nodi.

R

qpii

iiikg

R

qpii

iiikg

R

qpii

ii

iiriv

iiriv

iv

,1

t

,1

t

t

,1

'''''''

'''''''

0''''''

iRi

iiR

iv

11

Per un circuito lineare è possibile enunciare la seguente proprietà di sovrapposizione

La corrente (tensione) che si stabilisce in un ramo del circuito a causa della presenzacontemporanea di più generatori indipendenti è ottenibile come somma dei contributidovuti a ciascun generatore considerato agente singolarmente

Ciò comporta che in un circuito all’interno del quale sono presenti Ngi e Ngv generatoriindipendenti di corrente e di tensione rispettivamente sia scomponibile in Ngi + Ngv circuitidistinti all’interno dei quali agisce un solo generatore

Proprietà di sovrapposizione

La proprietà di sovrapposizione può essere sfruttata per risolvere rapidamente circuiti chenon contengono generatori pilotati. Infatti in tal caso ciascuno dei sotto circuiti contiene,oltre ai resistori, un solo generatore (indipendente) e può essere quindi ridotto ad una solamaglia elementare attraverso equivalenze serie/parallelo e/o trasformazioni stella-triangolo.In questo modo è possibile calcolare rapidamente il contributo di ciascun generatore allacorrente e alla tensione di ciascun ramo. La corrente e le tensioni complessive possonoessere ottenute sommando infine i diversi contributi. Questa procedura è mostrata nelseguente esempio.

12


R2 ig

+

R3

R1vgi2

i1= i1+ i1i2= i2+ i2i3= i3+ i3i4= i4+ i4i5= i5+ i5

i4

i3i5

R4

432

4321

1 )(RRR

RRRR

v'i g

'i

RRR

RR'i 1

432

432

i5

R2

+

R3

R1vgi2

i4

i3R4

i1

i5

R2 R3

R1 i2

i4

i3R4

ig

i1

+

gi

RR

RRRR

RR

RRR

''i

21

2143

21

214

3

gi

RR

RRRR

R''i

21

2143

34

'i

RRR

R'i'i 1

432

243 05 'i

''iRR

R''i 4

21

12

''iRR

R''i 4

21

21

gi''i 5

i1

13

R2

+

R3

R1vgi2 i3

+

+

i4i1

i1= i1+ i1+ i1i2= i2 + i2 + i2i3= i3 + i3 + i3i4= i4 + i4 + i4i5= i5 + i5 + i5

La proprietà di sovrapposizione può esseresfruttata anche per risolvere circuiti in cuisiano presenti generatori dipendentiattraverso i seguenti passaggi:

1. Si suddivide il circuito in tantisottocircuiti quanti sono i generatori,sia indipendenti che pilotati. In ciascunsottocircuito agisce un solo generatore,indipendente oppure pilotato.

i5

R2

+

R3

R1

vg

i2 i4 i3i1 i5

R2 R3

R1i2 i4 i3

ig

i1

R2 R3

R1i2 i4 i3

i1 i5+

vgp+

14

ki2


)( 323211 RRRRR

v'i g

)( 32312 RRR'i'i

05 'i

giRRRRR

RRRR''i

)(

)(

21213

21213

gi''i 5

)( 21142 RRR''i''i

)( 322143 RRR'i'i'i

giRRRRR

R''i

)( 21213

34 )( 21241 RRR''i''i

)( 21213

gp34 RRRRR

v'''i'''i

05 '''i)( 21142 RRR'''i'''i

)( 21241 RRR'''i'''i

2. Si determina il contributo di ciascun generatore alla corrente e alla tensione di ogni ramo.Per quanto riguarda il generatore pilotato lo si tratta come se fosse un generatoreindipendente la cui grandezza impressa però non è nota. Si ottiene così un relazione diproporzionalità tra le grandezze di ramo (corrente, tensione) e la grandezza impressa. Inparticolare si ottiene una relazione di proporzionalità tra la grandezza di pilotaggio e quellaimpressa dal generatore pilotato.

15

gp

21213

211

21213

2131

32321

323gp )(

)(

)(

)(

)(

)(v

RRRRR

RRRi

RRRRR

RRRRv

RRRRR

RRRkv gg

gg iGkGGG

Gkv

GkGGG

GGkv

2321

2

2321

21gp 11

'''i''i'ikikv 2222gp

3. Si considera la relazione di definizione del generatore pilotato. La grandezza impressasarà composta da tanti contributi noti dovuti ai generatori indipendenti, nonché da uncontributo proporzionale ad essa stessa. Si ottiene quindi un’equazione in cui l’unicaincognita è la grandezza impressa che può esser quindi determinata (nel caso sianopresenti Ngp generatori pilotati è possibile ottenere un insieme di Ngp equazioni in cui leincognite sono le Ngp grandezze impresse)

16


Risolvere il circuito di figura adoperando la proprietà di sovrapposiozne degli effettti

Esercizio 7.1

R1 = 2

R2 = 2 R3 = 1

R4 = 2

vg = 24 V

ig = 16 A

17

R2

R3

vg

ig

R1

R4

+

Risolvere il circuito di figura adoperando la proprietà di sovrapposiozne degli effettti

Esercizio 7.2

R1 =1

R2 = 2 R3 = 2

vg = 12 V

k = 2

18

vg +ki3R2R1

R3i3


Rappresentazioni una rete bipolare lineare (Teoremi di Thevenin e Norton)Si consideri un circuito adinamico lineare, comunque complesso, accessibile attraverso dueterminali. Tale circuito costituisce un bipolo. Ci proponiamo di valutare la tensione v che sistabilisce ai suoi capi quando nei suoi terminali circola una generica corrente i. In altritermini ci proponiamo di trovare la rappresentazione in corrente del bipolo, ossia larelazione che esiste tra la tensione v ai suoi capi e la corrente i che lo attraversa.

bipolo lineare composto

A tal fine colleghiamo al bipolo un generatore dicorrente che impone la corrente i. Assumiamo chetale collegamento sia possibile, ossia che il circuitocosì costruito non sia patologico.

ivb

iv

i

va

Si noti che la proprietà di sostituzione assicura che, assegnata la corrente i, la tensione aicapi del bipolo è la medesima qualunque sia il bipolo esterno ad esso collegato, purchéquesto eroghi la corrente i

L’utilizzo del generatore di corrente nonlede quindi la generalità delle conclusioni.La relazione v-i è indipendente dal tipo dibipolo esterno

vb = va 19

Utilizzando la proprietà di sovrapposizione possiamo scomporre il circuito così ottenuto indue circuiti distinti: un primo circuito nel quale agiscono solo i generatori indipendentipresenti all’interno del bipolo ed un secondo circuito in cui agisce solo il generatore dicorrente esterno. La tensione v sarà ottenibile dalla somma dei due contributi v' e v'' indicatiin figura

La tensione v' coincide con la tensione a vuoto ai capi del bipolo ed è indipendente dallacorrente i che circola nel bipolo in condizioni di carico. È consuetudine indicare taletensione con veq. Indicando con Ngi e Ngv rispettivamente il numero di generatoriindipendenti di corrente e di tensione presenti all’interno del bipolo essa può essereespressa come

iv v'

iv''+

gvgi

11eq '

N

kkgk

N

kkgk virvv

''' vvv

20


La tensione v'' è dovuta esclusivamente al generatore di corrente esterno. Essa èproporzionale alla corrente impressa i attraverso la resistenza di ingresso del bipolo inerteassociato. È consuetudine indicare tale resistenza di ingresso con req. La sue espressione è

kvkieq

kg

kgi

v

i

vr

00

''

Si ottiene quindiirvvvv eqeq '''

Qualunque bipolo lineare che ammetta la rappresentazione in corrente è equivalente ad unbipolo costituito da un generatore indipendente di tensione e da una resistenza in serie. Latensione veq impressa dal generatore è quella che si stabilisce a vuoto ai capi del bipolo e laresistenza req è la resistenza del bipolo vista dai terminali di ingresso quando i generatoriindipendenti al suo interno sono spenti.

v

i

+veq

req

irvv eqeq

v

i

kvki

v

N

kkgk

N

kkgki

kg

kgi

v

i

vr

virvv

00

0eq

110eq

eq

gvgi

da cui discende la seguente proprietà generale nota come Teorema di Thevenin:

21

Si vuol determinare, a titolo di esempio, la rappresentazione di Thevenin del bipolo difigura

1. Determinazione di veq

g21

22 v

RR

Rv

+vg

R1

R2

R3

v2

k v2

g21

3223333 v

RR

RRkvkRiRv

g21

2332eq 1 v

RR

RRkvvv

+vg

R1

R2

R3

v2

k v2

i3

v3veq

22


2. Determinazione di req iRR

Ri

21

12

iRR

RRkRRRivkRiRv

21

2121323333 )(

iRR

RRRkRRRRRRvvv

21

32132312132

iRR

RRiRv

21

21222

21

321323121eq RR

RRRkRRRRRR

i

vr

Per la determinazione di req è necessario risolvere il circuito in forma simbolica. In alternativaè possibile assegnare un valore arbitrario alla corrente i, calcolare il corrispondente valorenumerico della tensione v e farne il rapporto. Si ottiene quindi

R1

R2

R3v2

k v2

i3

i1

i2

i

iv

v3

+vg

R1

R2

R3

v2

k v2

v

i

+veq

req

Si noti che sia la tensione che la resistenza equivalente possono risultare positive, nulle onegative a seconda del valore del parametro k. In assenza di generatori pilotati la resistenza ènecessariamente positiva.

21

321323121eq

g21

23eq 1

RR

RRRkRRRRRRr

vRR

RRkv

i

v

23

iv

La rappresentazione di Thevenin di un bipolo èpossibile se e solo se la LKC non risulta violataqualunque sia il valore di corrente nei suoiterminali. In altri termini la rappresentazione diThevenin è possibile se e solo se il circuitoottenuto collegando ad esso un generatore dicorrente non è patologico circuito non patologicoSi consideri il seguente circuito costituito da un bipolo generico in serie ad un generatore dicorrente. Ad esso non è possibile applicare nessuna corrente diversa da ig (neppure i = 0 èammessa, quindi esso non può operare a vuoto) pertanto non è possibile determinare latensione che si stabilisce ai suoi capi in funzione della corrente. Il bipolo non ammettequindi la rappresentazione in corrente (di Thevenin).

iv

circuito patologico

ig

Si noti che ai fini del circuito esterno tale bipolo èequivalente al solo generatore di corrente ig. Lanon esistenza della rappresentazione di Theveninè il semplice riflesso del fatto che non è possibilerappresentare un generatore di correnteindipendente mediante un generatore di tensione

Si noti che in alcuni casi la non esistenza della rappresentazione di Thevenin può nonessere evidente (in presenza di generatori pilotati). In ogni caso se essa non esiste entrambii circuiti per la determinazione di veq e req risultano impossibili o indeterminati 24


bipolo lineare composto

A tal fine colleghiamo al bipolo un generatore ditensione che impone la tensione v. Assumiamo chetale collegamento sia possibile, ossia che il circuitocosì costruito non sia patologico.

v

La proprietà di sostituzione assicura che, assegnata la tensione v, la corrente ai capi delbipolo è la medesima qualunque sia il bipolo esterno ad esso collegato, purché questoimponga la tensione v

L’utilizzo del generatore di tensione nonlede quindi la generalità delle conclusioni.La relazione i-v è indipendente dal tipo dibipolo esterno

ib = ia

Si consideri ancora un bipolo adinamico lineare la cui struttura interna può esserecomunque complessa. Ci proponiamo ora di valutare la corrente i che circola nei suoiterminali quando ai suoi capi si stabilisce una generica tensione v. In altri termini ciproponiamo di trovare la rappresentazione in tensione del bipolo, ossia la relazione cheesiste tra la corrente i che lo attraversa e la tensione v ai suoi capi.

i+

v

ia

+v

ib

25

Utilizzando la proprietà di sovrapposizione possiamo scomporre il circuito ottenuto in duecircuiti distinti: un primo circuito nel quale agiscono solo i generatori indipendenti presentiall’interno del bipolo ed un secondo circuito in cui agisce solo il generatore di tensioneesterno. La corrente i sarà ottenibile dalla somma dei due contributi i' e i'' indicati in figura

La corrente i' coincide con la corrente di corto circuito del bipolo ed è indipendente dallatensione v che si stabilisce ai sui capi in condizioni di carico. È consuetudine indicare talecorrente con ieq. Indicando con Ngi e Ngv rispettivamente il numero di generatoriindipendenti di corrente e di tensione presenti all’interno del bipolo essa può essereespressa come

i

v +

gvgi

11eq '

N

kkgk

N

kkgk vgiii

''' iii

+i' i''

v+

26


La corrente i'' è dovuta esclusivamente al generatore di tensione esterno. Essa èproporzionale alla tensione impressa v attraverso la conduttanza di ingresso del bipoloinerte associato. È consuetudine indicare tale conduttanza di ingresso con geq. La suaespressione è

kvkieq

kg

kgv

i

v

ig

00

''

Si ottiene quindivgiiii eqeq '''

Qualunque bipolo lineare che ammetta la rappresentazione in tensione è equivalente ad unbipolo costituito da un generatore indipendente di corrente e da una conduttanza inparallelo. La corrente ieq impressa dal generatore è quella che si stabilisce nel bipolo incondizioni di corto circuito e la conduttanza geq è la conduttanza del bipolo vista daiterminali di ingresso quando i generatori indipendenti al suo interno sono spenti.

v

i

ieqgeq

vgii eqeq

v

i

kvki

i

N

kkgk

N

kkgkv

kg

kgv

i

v

ig

vgiii

00

0eq

110eq

eq

gvgi

da cui discende la seguente proprietà generale nota come Teorema di Norton:

27

v

iLa rappresentazione di Norton di un bipolo èpossibile se e solo se la LKT non risulta violataqualunque sia il valore di tensione nei suoiterminali. In altri termini la rappresentazione diNorton è possibile se e solo se il circuito ottenutocollegando ad esso un generatore di tensione nonè patologico circuito non patologicoSi consideri il seguente bipolo costituito da un bipolo generico in parallelo ad un generatoredi tensione. Ad esso non è possibile applicare nessuna tensione diversa da vg (neppure v= 0è ammessa, quindi esso non può operare in corto circuito) pertanto non è possibiledeterminare la corrente che si stabilisce nei suoi terminali in funzione della tensione. Ilbipolo non ammette quindi la rappresentazione in tensione (di Norton).

circuito patologico Si noti che ai fini del circuito esterno tale bipolo èequivalente al solo generatore di tensione vg. Lanon esistenza della rappresentazione di Norton è ilsemplice riflesso del fatto che non è possibilerappresentare un generatore di tensioneindipendente mediante un generatore di corrente.

Si noti che in alcuni casi la non esistenza della rappresentazione di Norton può non essereevidente (in presenza di generatori pilotati). In ogni caso se essa non esiste entrambi icircuiti per la determinazione di veq e req risultano impossibili o indeterminati

+

+vg v

i+

28


Si consideri un bipolo che ammettela rappresentazione di Thevenin i+veq

i

+ v

v+

irvv eqeq

i+veq v+

Se la resistenza equivalente req è non nulla allora il circuito ottenuto collegando il bipolo adun generico generatore di tensione è necessariamente non patologico, pertanto il bipoloammette anche la rappresentazione di Norton. Al contrario se req è nulla allora il suddettocircuito è patologico e il bipolo non ammette la rappresentazione di Norton.

Ciò è il riflesso del fatto che se req = 0è allora il bipolo è equivalente ad ungeneratore di tensione indipendente(v = vg i) e non può essererappresentato mediante ungeneratore di corrente.

vg+ + veq = vg

req = 0

req 0

Non patologico

req = 0

Patologico

29

Parametri del bipolo di Norton

eq

eq

0eq r

vii

v

ieq

+veq

req ireq

v+

eq000eq

1

eqrv

i

v

ig

vkvki

kg

kg

v

i

+veq

irvv eqeq

v

i

ieqgeq

vgii eqeq eqeq

eq

eqeq

1

rg

r

vi

0eq r

Se la resistenza equivalente req è non nulla la rappresentazione di Norton esiste e i suoiparametri possono essere determinati sulla base dei parametri della rappresentazione diThevenin

30


Analogamente si consideri un bipolo cheammette la rappresentazione di Norton

i

+ virvv eqeq

Se la conduttanza equivalente geq è non nulla allora il circuito ottenuto collegando il bipoload un generico generatore di corrente è necessariamente non patologico, pertanto il bipoloammette anche la rappresentazione di Thevenin. Al contrario se geq è nulla allora il suddettocircuito è patologico e il bipolo non ammette la rappresentazione di Thevenin.

geq 0

Non patologico

Ciò è il riflesso del fatto che se geq = 0è allora il bipolo è equivalente ad ungeneratore di corrente indipendente(i = ig v) e non può essererappresentato mediante ungeneratore di tensione.

igieq = ig

geq = 0

geq = 0

Patologico

i

vieq

geq

i

vieq

31

Parametri del bipolo di Thevenin

eq

eq

0eq g

ivv

i

eq000eq

1

eqgi

v

i

vr

ikvki

kg

kg

v

i

+veq

irvv eqeq

v

i

ieqgeq

vgii eqeq eqeq

eq

eqeq

1

gr

g

iv

0eq g

Se la conduttanza equivalente geq è non nulla la rappresentazione di Thevenin esiste e i suoiparametri possono essere determinati sulla base dei parametri della rappresentazione diNorton

veq

ieqgeq geq i

v

32


Determinare la rappresentazione di Norton del bipolo di figura

Esercizio 7.3

R1 = 2

R2 = 1 R3 = 3

R4 = 0.5

vg = 12 V

Determinare, se esistono, le rappresentazioni di Thevenin e Norton del bipolo di figura

Esercizio 7.4

33

R1

R2

R4

R3

+ vg

R1

R2

R4

R3

R1 = 2

R2 = 1 R3 = 3

R4 = 0.5

ig = 6 Aig

Esercizio 7.5Determinare le rappresentazione di Thevenin e Norton del bipolo di figura

R1

34

R1 = 1 R2 = 0.5

R3 = 1 R4 = 1

R5 = 1.5

R6 = 1.5

vg = 10 V

R2

R3 R4

R5

R6

+ vg


Determinare la rappresentazione di Thevenin del bipolo di figura

Esercizio 7.6

i4

k i4


Esercizio 7.7

i1

k i1

35

R1 = 2

R2 = 1 k = 0.5

vg = 8 V

R1 = 1

R2 = 2 R3 = 2

R4 = 0.5

k = 0.5

vg = 8 V

R1 R2

R3

R4

+ vg

R1 R2

+ vg


Esercizio 7.8

k i2

i2

Determinare la rappresentazione di Thevenin del bipolo di figura

Esercizio 7.9

k i1

i1

36

R1 = 1

R2 = 1

R2 = 3 k = 0.5

R1 = 10

R2 = 2 R3 = 0.5

k = 2

ig = 8 A

R1R2

R3

+

R2 R1

R3

ig

+


Esercizio 7.10Determinare la corrente che attraversa il resistore R nei seguenti casi:

a. R = 0.1 b. R = 1 c. R = 10

k i1

R

37

R2R1

R3

i1

ig

+

+

R1 = 2

R2 = 1 R3 = 2.5

k = 1.5

ig = 6 A

Rappresentazione in corrente di un doppio bipolo lineare non inerte

Si consideri un circuito adinamico lineare, comunque complesso, accessibile attraverso dueporte (i.e. due coppie di terminali). Tale circuito costituisce un doppio bipolo. Ci proponiamodi valutare le tensioni v1 e v2 che si stabiliscono ai capi delle due porte quando in essecircolano le generiche correnti i1 e i2 .

A tal fine colleghiamo al doppio bipolo duegeneratori di corrente che impongono lecorrenti i1 e i2 . Assumiamo che talecollegamento sia possibile, ossia che ilcircuito così costruito non sia patologico.

La proprietà di sostituzione assicura che, assegnate le correnti i1 e i2 alle porte, le tensionisiano le medesime qualunque siano i bipoli esterni ad esso collegati (purché questi sianointeressati dalle correnti i1 e i2 )

i2

v2

i1

v1

38


Utilizzando la proprietà di sovrapposizione possiamo scomporre il circuito così ottenuto indue circuiti distinti: un primo circuito nel quale agiscono solo i generatori indipendentipresenti all’interno del doppio bipolo, un secondo circuito in cui agiscono solo i generatori dicorrente esterni i1 e i2. Ciascuna tensione di porta sarà ottenibile dalla somma dei contributiv' , v '' indicati in figura

i2

v2

i1

v1

v2'v1' v2''

i1

v1''

'''

'''

222

111

vvv

vvv

+

39

i2

La tensione v1' (v2') coincide con la tensione a vuoto ai capi della porta 1 (2) ed èindipendente dalle correnti che circolano in entrambe le porte in condizione di carico. Èconsuetudine indicare tale tensione con v1eq (v2eq). Indicando con Ngi e Ngv rispettivamente ilnumero di generatori indipendenti di corrente e di tensione presenti all’interno del bipoloessa può essere espressa come

gvgi

gvgi

12

1222eq

11

1111eq

'

'

N

kkgk

N

kkgk

N

kkgk

N

kkgk

virvv

virvv

r1k e 1k (r1k e 1k ): resistenze ditrasferimento e guadagni di tensione delcircuito inerte associato

Le tensioni v1'' e v2'' sono dovute esclusivamente ai generatori di corrente esterno i1 e i2.Esse sono proporzionali alle correnti impresse i1 e i2 attraverso la resistenza di ingresso e laresistenza di trasferimento del doppio bipolo inerte associato.

2221212

2121111

''

''

irirv

irirv

40


Possiamo enunciare quindi la seguente proprietà generale: qualunque doppio bipololineare che ammetta la rappresentazione in corrente è equivalente ad un doppio bipolocostituito dal doppio bipolo inerte associato (rappresentato mediante la matrice R) e dadue generatori indipendenti di tensione posti in serie a ciascuna porta.

2

1

2221

1211

2

1

2

1

i

i

rr

rr

v

v

v

v

eq

eq

v1

i1

v2

i2 +

v1

i1

v2

i2

v1eq

+

v2eq

Tensioni a vuoto sulle due porte

Matrice della resistenze del doppiobipolo inerte associato

41

Le tensioni v1eq e v1eq impresse dai generatori sono quelle che si stabiliscono sulle porte 1e 2 rispettivamente quando entrambe lavorano a vuoto

I coefficienti sono r11, r12 , r21 e r22 sono gli elementi della matrice della resistenze delbipolo inerte associato.

0022

0011

2

1

2

1

iieq

iieq

vv

vv

kvki

i

kvki

i

kvki

i

kvki

i

kg

kg

kg

kg

kg

kg

kg

kg

i

vr

i

vr

i

vr

i

vr

00

02

112

00

02

222

00

01

221

00

01

111

11

22

Procedendo in modo del tutto analogo quanto fatto per la rappresentazione in corrente èpossibile introdurre le rappresentazioni in tensione, ibrida diretta e ibrida inversa doppibipoli non inerti. Tali rappresentazioni sono esposte nel seguito. 42


Qualunque doppio bipolo lineare che ammetta la rappresentazione in tensione èequivalente ad un doppio bipolo costituito dal doppio bipolo inerte associato (rappresentatomediante la matrice G) e da due generatori indipendenti di corrente posti in parallelo aciascuna porta.

2

1

2221

1211

2

1

2

1

v

v

gg

gg

i

i

i

i

eq

eq

v1

i1

v2

i2

v1

i1

i1eq

Correnti di cortocircuito sulle due porte

Matrice della conduttanze deldoppio bipolo inerte associato

v2

i2

i2eq

Rappresentazione in tensione di un doppio bipolo lineare non inerte

43

Qualunque doppio bipolo lineare che ammetta la rappresentazione ibrida diretta èequivalente ad un doppio bipolo costituito dal doppio bipolo inerte associato (rappresentatomediante la matrice H), da un generatore indipendente di tensione posto in serie alla primaporta e da un generatore indipendente di corrente posto in parallelo alla seconda porta.

2

1

2221

1211

2

1

2

1

v

i

hh

hh

i

v

i

v

eq

eq

v1

i1

v2

i2

Correnti di cortocircuito sulla porta 2 (porta 1 a vuoto)

Matrice ibrida diretta del doppiobipolo inerte associato

v2

i2

i2eq

Rappresentazione ibrida diretta di un doppio bipolo lineare non inerte

+

v1

i1

v1eq

Tensione a vuoto sulla porta 1 (porta 2 in corto circuito)

44


Qualunque doppio bipolo lineare che ammetta la rappresentazione ibrida diretta èequivalente ad un doppio bipolo costituito dal doppio bipolo inerte associato (rappresentatomediante la matrice H'), da un generatore indipendente di corrente posto in parallelo allaprima porta e da un generatore indipendente di tensione posto in serie alla seconda porta.

2

1

2221

1211

2

1

2

1

''

''

i

v

hh

hh

v

i

v

i

eq

eq

v1

i1

v2

i2

Tensione a vuoto sulla porta 2 (porta 1 in corto circuito)

Matrice ibrida inversa deldoppio bipolo inerte associato

Rappresentazione ibrida inversa di un doppio bipolo lineare non inerte

v1

i1

i2eq

+

v2

i2

v2eq

Correnti di cortocircuito sulla porta 1 (porta 2 a vuoto)

45

Rappresentazioni di m-porte adinamici lineari non inerti

Tutto quanto esposto fino ad ora relativamente ai doppi bipoli lineari non inerti ègeneralizzabile ai componenti a m-porte

Per gli m-porte lineari non inerti sono definibilila rappresentazione in corrente: v = veq R ila rappresentazione in tensione: i = ieq G vle rappresentazioni ibride

i1

v1

i2

v2

in

vn

46


Determinare la rappresentazione ibrida diretta del doppio bipolo non inerte di figura

Esercizio 7.11

+

Determinare la rappresentazione in tensione del doppio bipolo non inerte di figura

Esercizio 7.12

ic

47

Ra = 1

Rb = 1

Rc = 1 k = 1.5

ig = 3 A

Ra Rcig

Ra = 2

Rb = 4

Rc = 1

Rd = 2 vg = 5 V

Rd

RbRa

vg

Rc

Rb

7. Proprietà dei circuiti lineari adinamici. Proprieta dei... · Reciprocità dei circuiti...

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