Reti Logiche Combinatorie Fasi di Progettazione di Reti Combinatorie Progettazione di Reti Combinatorie: Esempi

Architettura degli Elaboratori

Modulo I: Reti Logiche e Combinatorie

Progettazione di Reti Logiche Combinatorie

Lezione 5

Ra↵aella Gentilini

November 3, 2020

Ra↵aella Gentilini Architettura degli Elaboratori 1 / 17

Reti Logiche Combinatorie Fasi di Progettazione di Reti Combinatorie Progettazione di Reti Combinatorie: Esempi

Reti Logiche Combinatorie

Fasi di Progettazione di Reti Combinatorie

Comprensione ed Analisi della Specifica Semi-FormaleFormalizzazione della SpecificaSintesiOttimizzazioneSintesi

Progettazione di Reti Combinatorie: Esempi

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Reti Logiche Combinatorie Fasi di Progettazione di Reti Combinatorie Progettazione di Reti Combinatorie: Esempi

Reti Logiche Combinatorie

• In questa lezione parleremo di reti logiche combinatorie,illustrandone la loro progettazione ed ottimizzazione

• Il comportamento delle reti logiche combinatorie dipende solodagli ingressi, perche’ sono prive di memoria

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Reti Logiche Combinatorie

• In questa lezione parleremo di reti logiche combinatorie,illustrandone la loro progettazione ed ottimizzazione

• Il comportamento delle reti logiche combinatorie dipende solodagli ingressi, perche’ sono prive di memoria

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Reti Logiche Combinatorie

• In questa lezione parleremo di reti logiche combinatorie,illustrandone la loro progettazione ed ottimizzazione

• Il comportamento delle reti logiche combinatorie dipende solodagli ingressi, perche’ sono prive di memoria

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Reti Logiche Combinatorie Fasi di Progettazione di Reti Combinatorie Progettazione di Reti Combinatorie: Esempi

Reti Combinatorie:

Fasi Progettazione

Progettare un circuito combinatorio comporta una serie di passi suc-cessivi:

1. Comprensione ed analisi della specifica semi-formale

2. Formalizzazione della specifica

3. Sintesi

4. Ottimizzazione

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Reti Combinatorie:

Fasi Progettazione

Progettare un circuito combinatorio comporta una serie di passi suc-cessivi:

1. Comprensione ed analisi della specifica semi-formale

2. Formalizzazione della specifica

3. Sintesi

4. Ottimizzazione

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Reti Combinatorie:

Fasi Progettazione

Progettare un circuito combinatorio comporta una serie di passi suc-cessivi:

1. Comprensione ed analisi della specifica semi-formale

2. Formalizzazione della specifica

3. Sintesi

4. Ottimizzazione

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Reti Combinatorie:

Fasi Progettazione

Progettare un circuito combinatorio comporta una serie di passi suc-cessivi:

1. Comprensione ed analisi della specifica semi-formale

2. Formalizzazione della specifica

3. Sintesi

4. Ottimizzazione

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Reti Combinatorie:

Fasi Progettazione

Progettare un circuito combinatorio comporta una serie di passi suc-cessivi:

1. Comprensione ed analisi della specifica semi-formale

2. Formalizzazione della specifica

3. Sintesi

4. Ottimizzazione

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Fase 1: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale

• Spesso la descrizione iniziale di un problema non e’ completa,ma richiede una parziale riscrittura per eliminare ogniambiguita’

• Casi tipici riguardano:

• gestione condizioni limite o casi di errore• analisi dell’ambiente in cui la rete e’ destinata ad operare• scelta codifica per le informazioni• . . .

• Terminata questa fase si ottiene ancora una specificasemi-formale ma completa.

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Fase 1: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale

• Spesso la descrizione iniziale di un problema non e’ completa,ma richiede una parziale riscrittura per eliminare ogniambiguita’

• Casi tipici riguardano:

• gestione condizioni limite o casi di errore• analisi dell’ambiente in cui la rete e’ destinata ad operare• scelta codifica per le informazioni• . . .

• Terminata questa fase si ottiene ancora una specificasemi-formale ma completa.

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Fase 1: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale

• Spesso la descrizione iniziale di un problema non e’ completa,ma richiede una parziale riscrittura per eliminare ogniambiguita’

• Casi tipici riguardano:

• gestione condizioni limite o casi di errore• analisi dell’ambiente in cui la rete e’ destinata ad operare• scelta codifica per le informazioni• . . .

• Terminata questa fase si ottiene ancora una specificasemi-formale ma completa.

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Fase 1: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale

• Spesso la descrizione iniziale di un problema non e’ completa,ma richiede una parziale riscrittura per eliminare ogniambiguita’

• Casi tipici riguardano:• gestione condizioni limite o casi di errore

• analisi dell’ambiente in cui la rete e’ destinata ad operare• scelta codifica per le informazioni• . . .

• Terminata questa fase si ottiene ancora una specificasemi-formale ma completa.

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Fase 1: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale

• Spesso la descrizione iniziale di un problema non e’ completa,ma richiede una parziale riscrittura per eliminare ogniambiguita’

• Casi tipici riguardano:• gestione condizioni limite o casi di errore• analisi dell’ambiente in cui la rete e’ destinata ad operare

• scelta codifica per le informazioni• . . .

• Terminata questa fase si ottiene ancora una specificasemi-formale ma completa.

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Fase 1: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale

• Spesso la descrizione iniziale di un problema non e’ completa,ma richiede una parziale riscrittura per eliminare ogniambiguita’

• Casi tipici riguardano:• gestione condizioni limite o casi di errore• analisi dell’ambiente in cui la rete e’ destinata ad operare• scelta codifica per le informazioni• . . .

• Terminata questa fase si ottiene ancora una specificasemi-formale ma completa.

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Fase 1: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale

• Spesso la descrizione iniziale di un problema non e’ completa,ma richiede una parziale riscrittura per eliminare ogniambiguita’

• Casi tipici riguardano:• gestione condizioni limite o casi di errore• analisi dell’ambiente in cui la rete e’ destinata ad operare• scelta codifica per le informazioni• . . .

• Terminata questa fase si ottiene ancora una specificasemi-formale ma completa.

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Fase 2: Formalizzazione della Specifica

• Ha lo scopo di tradurre la specifica in un linguaggio formale,piu adatto alla successiva manipolazione

• La funzionalita’ delle reti e’ stata completamente speficatanella fase 1

• Si tratta ora di tradurre tale funzionalita’ utilizzando ilformalismo delle tabelle di verita’, specificando la relazionerichiesta tra ingressi ed uscite del circuito in esame.

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Fase 2: Formalizzazione della Specifica

• Ha lo scopo di tradurre la specifica in un linguaggio formale,piu adatto alla successiva manipolazione

• La funzionalita’ delle reti e’ stata completamente speficatanella fase 1

• Si tratta ora di tradurre tale funzionalita’ utilizzando ilformalismo delle tabelle di verita’, specificando la relazionerichiesta tra ingressi ed uscite del circuito in esame.

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Fase 2: Formalizzazione della Specifica

• Ha lo scopo di tradurre la specifica in un linguaggio formale,piu adatto alla successiva manipolazione

• La funzionalita’ delle reti e’ stata completamente speficatanella fase 1

• Si tratta ora di tradurre tale funzionalita’ utilizzando ilformalismo delle tabelle di verita’, specificando la relazionerichiesta tra ingressi ed uscite del circuito in esame.

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Fase 2: Formalizzazione della Specifica

• Ha lo scopo di tradurre la specifica in un linguaggio formale,piu adatto alla successiva manipolazione

• La funzionalita’ delle reti e’ stata completamente speficatanella fase 1

• Si tratta ora di tradurre tale funzionalita’ utilizzando ilformalismo delle tabelle di verita’, specificando la relazionerichiesta tra ingressi ed uscite del circuito in esame.

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Fase 3: Sintesi

• Ha lo scopo di arrivare ad una formulazione algebrica delproblema iniziale

• In questa fase viene trascurata qualsiasi considerazionerelativa alla qualita’

• Consiste nel passare da tabelle di verita’ ad espressionialgebriche booleane

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Fase 3: Sintesi

• Ha lo scopo di arrivare ad una formulazione algebrica delproblema iniziale

• In questa fase viene trascurata qualsiasi considerazionerelativa alla qualita’

• Consiste nel passare da tabelle di verita’ ad espressionialgebriche booleane

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Fase 3: Sintesi

• Ha lo scopo di arrivare ad una formulazione algebrica delproblema iniziale

• In questa fase viene trascurata qualsiasi considerazionerelativa alla qualita’

• Consiste nel passare da tabelle di verita’ ad espressionialgebriche booleane

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Fase 3: Sintesi

• Ha lo scopo di arrivare ad una formulazione algebrica delproblema iniziale

• In questa fase viene trascurata qualsiasi considerazionerelativa alla qualita’

• Consiste nel passare da tabelle di verita’ ad espressionialgebriche booleane

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Fase 4: Ottimizzazione

• Fissato un criterio di qualita’, le tecniche di ottimizzazionehanno lo scopo di manipolare l’espressione booleana definitanella fase di sintesi per ottenere un’espressione funzionalmenteequivalente ma con caratteristiche migliori

• Le caratteristiche da valutare per stabilire la qualita’ di unarete sono generalmente l’area della realizzazione fisica dellarete, il tempo necessario a produrre un dato risultato, lapotenza e l’energia assorbita, . . .

• Si parla pertanto di metriche d’area, metriche di tempo, . . .• Alcune metriche d’area comunemente utilizzate sono:

• numero di porte logiche generiche• numero di porte logiche a due ingressi• numero di implicanti/implicati (vedremo cosa sono!)• numero di letterali . . .

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Fase 4: Ottimizzazione

• Fissato un criterio di qualita’, le tecniche di ottimizzazionehanno lo scopo di manipolare l’espressione booleana definitanella fase di sintesi per ottenere un’espressione funzionalmenteequivalente ma con caratteristiche migliori

• Le caratteristiche da valutare per stabilire la qualita’ di unarete sono generalmente l’area della realizzazione fisica dellarete, il tempo necessario a produrre un dato risultato, lapotenza e l’energia assorbita, . . .

• Si parla pertanto di metriche d’area, metriche di tempo, . . .• Alcune metriche d’area comunemente utilizzate sono:

• numero di porte logiche generiche• numero di porte logiche a due ingressi• numero di implicanti/implicati (vedremo cosa sono!)• numero di letterali . . .

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Fase 4: Ottimizzazione

• Fissato un criterio di qualita’, le tecniche di ottimizzazionehanno lo scopo di manipolare l’espressione booleana definitanella fase di sintesi per ottenere un’espressione funzionalmenteequivalente ma con caratteristiche migliori

• Le caratteristiche da valutare per stabilire la qualita’ di unarete sono generalmente l’area della realizzazione fisica dellarete, il tempo necessario a produrre un dato risultato, lapotenza e l’energia assorbita, . . .

• Si parla pertanto di metriche d’area, metriche di tempo, . . .• Alcune metriche d’area comunemente utilizzate sono:

• numero di porte logiche generiche• numero di porte logiche a due ingressi• numero di implicanti/implicati (vedremo cosa sono!)• numero di letterali . . .

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Fase 4: Ottimizzazione

• Fissato un criterio di qualita’, le tecniche di ottimizzazionehanno lo scopo di manipolare l’espressione booleana definitanella fase di sintesi per ottenere un’espressione funzionalmenteequivalente ma con caratteristiche migliori

• Le caratteristiche da valutare per stabilire la qualita’ di unarete sono generalmente l’area della realizzazione fisica dellarete, il tempo necessario a produrre un dato risultato, lapotenza e l’energia assorbita, . . .

• Si parla pertanto di metriche d’area, metriche di tempo, . . .

• Alcune metriche d’area comunemente utilizzate sono:

• numero di porte logiche generiche• numero di porte logiche a due ingressi• numero di implicanti/implicati (vedremo cosa sono!)• numero di letterali . . .

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Fase 4: Ottimizzazione

• Fissato un criterio di qualita’, le tecniche di ottimizzazionehanno lo scopo di manipolare l’espressione booleana definitanella fase di sintesi per ottenere un’espressione funzionalmenteequivalente ma con caratteristiche migliori

• Le caratteristiche da valutare per stabilire la qualita’ di unarete sono generalmente l’area della realizzazione fisica dellarete, il tempo necessario a produrre un dato risultato, lapotenza e l’energia assorbita, . . .

• Si parla pertanto di metriche d’area, metriche di tempo, . . .• Alcune metriche d’area comunemente utilizzate sono:

• numero di porte logiche generiche• numero di porte logiche a due ingressi• numero di implicanti/implicati (vedremo cosa sono!)• numero di letterali . . .

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Fase 4: Ottimizzazione

• Fissato un criterio di qualita’, le tecniche di ottimizzazionehanno lo scopo di manipolare l’espressione booleana definitanella fase di sintesi per ottenere un’espressione funzionalmenteequivalente ma con caratteristiche migliori

• Le caratteristiche da valutare per stabilire la qualita’ di unarete sono generalmente l’area della realizzazione fisica dellarete, il tempo necessario a produrre un dato risultato, lapotenza e l’energia assorbita, . . .

• Si parla pertanto di metriche d’area, metriche di tempo, . . .• Alcune metriche d’area comunemente utilizzate sono:

• numero di porte logiche generiche

• numero di porte logiche a due ingressi• numero di implicanti/implicati (vedremo cosa sono!)• numero di letterali . . .

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• Fissato un criterio di qualita’, le tecniche di ottimizzazionehanno lo scopo di manipolare l’espressione booleana definitanella fase di sintesi per ottenere un’espressione funzionalmenteequivalente ma con caratteristiche migliori

• Le caratteristiche da valutare per stabilire la qualita’ di unarete sono generalmente l’area della realizzazione fisica dellarete, il tempo necessario a produrre un dato risultato, lapotenza e l’energia assorbita, . . .

• Si parla pertanto di metriche d’area, metriche di tempo, . . .• Alcune metriche d’area comunemente utilizzate sono:

• numero di porte logiche generiche• numero di porte logiche a due ingressi

• numero di implicanti/implicati (vedremo cosa sono!)• numero di letterali . . .

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Fase 4: Ottimizzazione

• Fissato un criterio di qualita’, le tecniche di ottimizzazionehanno lo scopo di manipolare l’espressione booleana definitanella fase di sintesi per ottenere un’espressione funzionalmenteequivalente ma con caratteristiche migliori

• Le caratteristiche da valutare per stabilire la qualita’ di unarete sono generalmente l’area della realizzazione fisica dellarete, il tempo necessario a produrre un dato risultato, lapotenza e l’energia assorbita, . . .

• Si parla pertanto di metriche d’area, metriche di tempo, . . .• Alcune metriche d’area comunemente utilizzate sono:

• numero di porte logiche generiche• numero di porte logiche a due ingressi• numero di implicanti/implicati (vedremo cosa sono!)

• numero di letterali . . .

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Fase 4: Ottimizzazione

• Fissato un criterio di qualita’, le tecniche di ottimizzazionehanno lo scopo di manipolare l’espressione booleana definitanella fase di sintesi per ottenere un’espressione funzionalmenteequivalente ma con caratteristiche migliori

• Le caratteristiche da valutare per stabilire la qualita’ di unarete sono generalmente l’area della realizzazione fisica dellarete, il tempo necessario a produrre un dato risultato, lapotenza e l’energia assorbita, . . .

• Si parla pertanto di metriche d’area, metriche di tempo, . . .• Alcune metriche d’area comunemente utilizzate sono:

• numero di porte logiche generiche• numero di porte logiche a due ingressi• numero di implicanti/implicati (vedremo cosa sono!)• numero di letterali . . .

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Esempio

• Vediamo ora un esempio di progettazione di rete combinatoria.

• Abbiamo sin’ora gli strumenti per per a↵rontare le prime trefasi della progettazione di reti logiche.

• Nelle prossime lezioni analizzeremo nel dettaglio le tecnichepreposte alla fase di ottimizzazione.

Si progetti una rete combinatoria ingrado di discriminare i numeri pari dainumeri dispari

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Esempio

• Vediamo ora un esempio di progettazione di rete combinatoria.

• Abbiamo sin’ora gli strumenti per per a↵rontare le prime trefasi della progettazione di reti logiche.

• Nelle prossime lezioni analizzeremo nel dettaglio le tecnichepreposte alla fase di ottimizzazione.

Si progetti una rete combinatoria ingrado di discriminare i numeri pari dainumeri dispari

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Esempio

• Vediamo ora un esempio di progettazione di rete combinatoria.

• Abbiamo sin’ora gli strumenti per per a↵rontare le prime trefasi della progettazione di reti logiche.

• Nelle prossime lezioni analizzeremo nel dettaglio le tecnichepreposte alla fase di ottimizzazione.

Si progetti una rete combinatoria ingrado di discriminare i numeri pari dainumeri dispari

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Esempio

• Vediamo ora un esempio di progettazione di rete combinatoria.

• Abbiamo sin’ora gli strumenti per per a↵rontare le prime trefasi della progettazione di reti logiche.

• Nelle prossime lezioni analizzeremo nel dettaglio le tecnichepreposte alla fase di ottimizzazione.

Si progetti una rete combinatoria ingrado di discriminare i numeri pari dainumeri dispari

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Esempio

• Vediamo ora un esempio di progettazione di rete combinatoria.

• Abbiamo sin’ora gli strumenti per per a↵rontare le prime trefasi della progettazione di reti logiche.

• Nelle prossime lezioni analizzeremo nel dettaglio le tecnichepreposte alla fase di ottimizzazione.

Si progetti una rete combinatoria ingrado di discriminare i numeri pari dainumeri dispari

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Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale

• Esplicitiamo innanzitutto che ci interessano i numeri interi edecidiamone l’intervallo di analisi, in base all’applicazione della rete(i numeri indicano i giorni di un anno, un mese, una settimana?)

• Ad esempio,supponiamo per semplicita’ di lavorare con i giorni dellasettimana e quindi con l’ intervallo numerico [0; 6]

• L’ intervallo scelto copre 7 valori, sono dunque necessaridlog2(7)e = 3 bit per rappresentarlo

• le considerazioni sopra portano alla riformulazione che segue

Si realizzi una rete combinatoria dotata di un ingresso a tre bit X =

{x0, x1, x2} che rappresenta un numero intero nell’intervallo [0; 6] in codi-

fica binaria naturale. La rete deve essere in grado di discriminare i numeri

pari dai numeri dispari.

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Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale

• Esplicitiamo innanzitutto che ci interessano i numeri interi edecidiamone l’intervallo di analisi, in base all’applicazione della rete(i numeri indicano i giorni di un anno, un mese, una settimana?)

• Ad esempio,supponiamo per semplicita’ di lavorare con i giorni dellasettimana e quindi con l’ intervallo numerico [0; 6]

• L’ intervallo scelto copre 7 valori, sono dunque necessaridlog2(7)e = 3 bit per rappresentarlo

• le considerazioni sopra portano alla riformulazione che segue

Si realizzi una rete combinatoria dotata di un ingresso a tre bit X =

{x0, x1, x2} che rappresenta un numero intero nell’intervallo [0; 6] in codi-

fica binaria naturale. La rete deve essere in grado di discriminare i numeri

pari dai numeri dispari.

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Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale

• Esplicitiamo innanzitutto che ci interessano i numeri interi edecidiamone l’intervallo di analisi, in base all’applicazione della rete(i numeri indicano i giorni di un anno, un mese, una settimana?)

• Ad esempio,supponiamo per semplicita’ di lavorare con i giorni dellasettimana e quindi con l’ intervallo numerico [0; 6]

• L’ intervallo scelto copre 7 valori, sono dunque necessaridlog2(7)e = 3 bit per rappresentarlo

• le considerazioni sopra portano alla riformulazione che segue

Si realizzi una rete combinatoria dotata di un ingresso a tre bit X =

{x0, x1, x2} che rappresenta un numero intero nell’intervallo [0; 6] in codi-

fica binaria naturale. La rete deve essere in grado di discriminare i numeri

pari dai numeri dispari.

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Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale

• Esplicitiamo innanzitutto che ci interessano i numeri interi edecidiamone l’intervallo di analisi, in base all’applicazione della rete(i numeri indicano i giorni di un anno, un mese, una settimana?)

• Ad esempio,supponiamo per semplicita’ di lavorare con i giorni dellasettimana e quindi con l’ intervallo numerico [0; 6]

• L’ intervallo scelto copre 7 valori, sono dunque necessaridlog2(7)e = 3 bit per rappresentarlo

• le considerazioni sopra portano alla riformulazione che segue

Si realizzi una rete combinatoria dotata di un ingresso a tre bit X =

{x0, x1, x2} che rappresenta un numero intero nell’intervallo [0; 6] in codi-

fica binaria naturale. La rete deve essere in grado di discriminare i numeri

pari dai numeri dispari.

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Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale

• Esplicitiamo innanzitutto che ci interessano i numeri interi edecidiamone l’intervallo di analisi, in base all’applicazione della rete(i numeri indicano i giorni di un anno, un mese, una settimana?)

• Ad esempio,supponiamo per semplicita’ di lavorare con i giorni dellasettimana e quindi con l’ intervallo numerico [0; 6]

• L’ intervallo scelto copre 7 valori, sono dunque necessaridlog2(7)e = 3 bit per rappresentarlo

• le considerazioni sopra portano alla riformulazione che segue

Si realizzi una rete combinatoria dotata di un ingresso a tre bit X =

{x0, x1, x2} che rappresenta un numero intero nell’intervallo [0; 6] in codi-

fica binaria naturale. La rete deve essere in grado di discriminare i numeri

pari dai numeri dispari.

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Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale

• Esplicitiamo innanzitutto che ci interessano i numeri interi edecidiamone l’intervallo di analisi, in base all’applicazione della rete(i numeri indicano i giorni di un anno, un mese, una settimana?)

• Ad esempio,supponiamo per semplicita’ di lavorare con i giorni dellasettimana e quindi con l’ intervallo numerico [0; 6]

• L’ intervallo scelto copre 7 valori, sono dunque necessaridlog2(7)e = 3 bit per rappresentarlo

• le considerazioni sopra portano alla riformulazione che segue

Si realizzi una rete combinatoria dotata di un ingresso a tre bit X =

{x0, x1, x2} che rappresenta un numero intero nell’intervallo [0; 6] in codi-

fica binaria naturale. La rete deve essere in grado di discriminare i numeri

pari dai numeri dispari.

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Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale (continua)

• procediamo formalizzando la parte di specifica che riguarda l’output

• il risultato che la rete deve produrre e’ binario (pari o dispari) ed e’dunque su�ciente un bit per rappresentarlo

• fissando arbitrariamente la codifica (ad esempio 1 = pari e0 = dispari) si definisce completamente l’output

• rimangono da analizzare gli eventuali casi limite o le potenzialicondizioni di errore

• avendo fissato l’intervallo [0; 6] per gli ingressi, l’ input 111(corrispondente alla codifica binaria del numero 7) non e’ valido

• per trattare il caso sopra possiamo ad esempio introdurre un secondobit di uscita che ci specifichi se gli ingressi sono validi oppure meno

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Reti Logiche Combinatorie Fasi di Progettazione di Reti Combinatorie Progettazione di Reti Combinatorie: Esempi

Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale (continua)

• procediamo formalizzando la parte di specifica che riguarda l’output

• il risultato che la rete deve produrre e’ binario (pari o dispari) ed e’dunque su�ciente un bit per rappresentarlo

• fissando arbitrariamente la codifica (ad esempio 1 = pari e0 = dispari) si definisce completamente l’output

• rimangono da analizzare gli eventuali casi limite o le potenzialicondizioni di errore

• avendo fissato l’intervallo [0; 6] per gli ingressi, l’ input 111(corrispondente alla codifica binaria del numero 7) non e’ valido

• per trattare il caso sopra possiamo ad esempio introdurre un secondobit di uscita che ci specifichi se gli ingressi sono validi oppure meno

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Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale (continua)

• procediamo formalizzando la parte di specifica che riguarda l’output

• il risultato che la rete deve produrre e’ binario (pari o dispari) ed e’dunque su�ciente un bit per rappresentarlo

• fissando arbitrariamente la codifica (ad esempio 1 = pari e0 = dispari) si definisce completamente l’output

• rimangono da analizzare gli eventuali casi limite o le potenzialicondizioni di errore

• avendo fissato l’intervallo [0; 6] per gli ingressi, l’ input 111(corrispondente alla codifica binaria del numero 7) non e’ valido

• per trattare il caso sopra possiamo ad esempio introdurre un secondobit di uscita che ci specifichi se gli ingressi sono validi oppure meno

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Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale (continua)

• procediamo formalizzando la parte di specifica che riguarda l’output

• il risultato che la rete deve produrre e’ binario (pari o dispari) ed e’dunque su�ciente un bit per rappresentarlo

• fissando arbitrariamente la codifica (ad esempio 1 = pari e0 = dispari) si definisce completamente l’output

• rimangono da analizzare gli eventuali casi limite o le potenzialicondizioni di errore

• avendo fissato l’intervallo [0; 6] per gli ingressi, l’ input 111(corrispondente alla codifica binaria del numero 7) non e’ valido

• per trattare il caso sopra possiamo ad esempio introdurre un secondobit di uscita che ci specifichi se gli ingressi sono validi oppure meno

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Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale (continua)

• procediamo formalizzando la parte di specifica che riguarda l’output

• il risultato che la rete deve produrre e’ binario (pari o dispari) ed e’dunque su�ciente un bit per rappresentarlo

• fissando arbitrariamente la codifica (ad esempio 1 = pari e0 = dispari) si definisce completamente l’output

• rimangono da analizzare gli eventuali casi limite o le potenzialicondizioni di errore

• avendo fissato l’intervallo [0; 6] per gli ingressi, l’ input 111(corrispondente alla codifica binaria del numero 7) non e’ valido

• per trattare il caso sopra possiamo ad esempio introdurre un secondobit di uscita che ci specifichi se gli ingressi sono validi oppure meno

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Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale (continua)

• procediamo formalizzando la parte di specifica che riguarda l’output

• il risultato che la rete deve produrre e’ binario (pari o dispari) ed e’dunque su�ciente un bit per rappresentarlo

• fissando arbitrariamente la codifica (ad esempio 1 = pari e0 = dispari) si definisce completamente l’output

• rimangono da analizzare gli eventuali casi limite o le potenzialicondizioni di errore

• avendo fissato l’intervallo [0; 6] per gli ingressi, l’ input 111(corrispondente alla codifica binaria del numero 7) non e’ valido

• per trattare il caso sopra possiamo ad esempio introdurre un secondobit di uscita che ci specifichi se gli ingressi sono validi oppure meno

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Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale (continua)

• procediamo formalizzando la parte di specifica che riguarda l’output

• il risultato che la rete deve produrre e’ binario (pari o dispari) ed e’dunque su�ciente un bit per rappresentarlo

• fissando arbitrariamente la codifica (ad esempio 1 = pari e0 = dispari) si definisce completamente l’output

• rimangono da analizzare gli eventuali casi limite o le potenzialicondizioni di errore

• avendo fissato l’intervallo [0; 6] per gli ingressi, l’ input 111(corrispondente alla codifica binaria del numero 7) non e’ valido

• per trattare il caso sopra possiamo ad esempio introdurre un secondobit di uscita che ci specifichi se gli ingressi sono validi oppure meno

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Esempio: Comprensione ed Analisi della Specifica

Semi-Formale (continua)

Arriviamo dunque ad una specifica semi-formale completa:

Si realizzi una rete combinatoria dotata di un ingresso a tre bitX = {x0, x1, x2} che rappresenta un numero intero nell’intervallo[0; 6] in codifica binaria naturale. La rete e’ dotata di due uscitez ed e di un bit ciascuna. L’uscita z indica se il valore di ingressoe’ pari (z = 1) oppure dispari (z = 0), mentre l’uscita e indica unerrore (e = 1) oppure il funzionamento corretto e = 0

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Esempio: Formalizzazione della specifica

Siamo ora in grado di definire una specifica formale del nostro prob-lema (fase due), mediante il formalismo delle tabelle di verita’. Inparticolare, la nostra rete combinatoria deve relizzare le funzionispecificate dalle seguenti tabelle di verita’:

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Xo X, Xz'Z Xo X

, Xz E- -

O O O I 0 00 0

001 O

% :/ : oooo :/ :I 00 I I 00

1 Oh 0 I 01 0

110 0110 1

I111 0 111

I

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Esempio: Sintesi

• Possiamo ora utilizzare le tabelle di verita’ per rapresentare lenostre funzioni (ovvero le funzioni z(x0, x1, x2) ede(x0, x1, x2)) medianti espressioni booleane, da cui dedurre lanostra rete logica combinatoria.

• In particolare, dalla teoria svolta sin’ora sappiamo comericavare espressioni booleane in prima (oppure seconda) formacanonica dalle tabelle di verita’ delle funzioni z(x0, x1, x2) ede(x0, x1, x2) !

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Esempio: Sintesi

• Possiamo ora utilizzare le tabelle di verita’ per rapresentare lenostre funzioni (ovvero le funzioni z(x0, x1, x2) ede(x0, x1, x2)) medianti espressioni booleane, da cui dedurre lanostra rete logica combinatoria.

• In particolare, dalla teoria svolta sin’ora sappiamo comericavare espressioni booleane in prima (oppure seconda) formacanonica dalle tabelle di verita’ delle funzioni z(x0, x1, x2) ede(x0, x1, x2) !

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Esempio: Sintesi

• Possiamo ora utilizzare le tabelle di verita’ per rapresentare lenostre funzioni (ovvero le funzioni z(x0, x1, x2) ede(x0, x1, x2)) medianti espressioni booleane, da cui dedurre lanostra rete logica combinatoria.

• In particolare, dalla teoria svolta sin’ora sappiamo comericavare espressioni booleane in prima (oppure seconda) formacanonica dalle tabelle di verita’ delle funzioni z(x0, x1, x2) ede(x0, x1, x2) !

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Esempio: Sintesi

• Sceglienda ad esempio la prima forma canonica, si avra’

• Alla funzione z(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleanain prima forma canonica: x 00x

01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02

• Alla funzione e(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleana inprima forma canonica: x0x1x2.

• Dalle espressioni algebriche sopra potremmo derivare direttamenteun circuito logico che risolve il nostro problema.

• Tuttavia, ci accorgiamo che, utilizzando le proprieta’ dell’algebraboolena, e’ possibile ottimizzare (in termini di numero di letterali) lenostre espressioni algebriche (e le reti logiche sintetizzate da esse).

• Infatti l’espressione algebrica x 00x01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02 e’

equivalente all’espressione algebrica x 02 (esercizio per casa!)

• Nelle prossime lezioni ci occuperemo proprio di introdurre dei metodiper automatizzare il processo di ottimizzazione delle reti logiche.

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Esempio: Sintesi

• Sceglienda ad esempio la prima forma canonica, si avra’

• Alla funzione z(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleanain prima forma canonica: x 00x

01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02

• Alla funzione e(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleana inprima forma canonica: x0x1x2.

• Dalle espressioni algebriche sopra potremmo derivare direttamenteun circuito logico che risolve il nostro problema.

• Tuttavia, ci accorgiamo che, utilizzando le proprieta’ dell’algebraboolena, e’ possibile ottimizzare (in termini di numero di letterali) lenostre espressioni algebriche (e le reti logiche sintetizzate da esse).

• Infatti l’espressione algebrica x 00x01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02 e’

equivalente all’espressione algebrica x 02 (esercizio per casa!)

• Nelle prossime lezioni ci occuperemo proprio di introdurre dei metodiper automatizzare il processo di ottimizzazione delle reti logiche.

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Esempio: Sintesi

• Sceglienda ad esempio la prima forma canonica, si avra’

• Alla funzione z(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleanain prima forma canonica: x 00x

01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02

• Alla funzione e(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleana inprima forma canonica: x0x1x2.

• Dalle espressioni algebriche sopra potremmo derivare direttamenteun circuito logico che risolve il nostro problema.

• Tuttavia, ci accorgiamo che, utilizzando le proprieta’ dell’algebraboolena, e’ possibile ottimizzare (in termini di numero di letterali) lenostre espressioni algebriche (e le reti logiche sintetizzate da esse).

• Infatti l’espressione algebrica x 00x01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02 e’

equivalente all’espressione algebrica x 02 (esercizio per casa!)

• Nelle prossime lezioni ci occuperemo proprio di introdurre dei metodiper automatizzare il processo di ottimizzazione delle reti logiche.

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Esempio: Sintesi

• Sceglienda ad esempio la prima forma canonica, si avra’

• Alla funzione z(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleanain prima forma canonica: x 00x

01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02

• Alla funzione e(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleana inprima forma canonica: x0x1x2.

• Dalle espressioni algebriche sopra potremmo derivare direttamenteun circuito logico che risolve il nostro problema.

• Tuttavia, ci accorgiamo che, utilizzando le proprieta’ dell’algebraboolena, e’ possibile ottimizzare (in termini di numero di letterali) lenostre espressioni algebriche (e le reti logiche sintetizzate da esse).

• Infatti l’espressione algebrica x 00x01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02 e’

equivalente all’espressione algebrica x 02 (esercizio per casa!)

• Nelle prossime lezioni ci occuperemo proprio di introdurre dei metodiper automatizzare il processo di ottimizzazione delle reti logiche.

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Esempio: Sintesi

• Sceglienda ad esempio la prima forma canonica, si avra’

• Alla funzione z(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleanain prima forma canonica: x 00x

01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02

• Alla funzione e(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleana inprima forma canonica: x0x1x2.

• Dalle espressioni algebriche sopra potremmo derivare direttamenteun circuito logico che risolve il nostro problema.

• Tuttavia, ci accorgiamo che, utilizzando le proprieta’ dell’algebraboolena, e’ possibile ottimizzare (in termini di numero di letterali) lenostre espressioni algebriche (e le reti logiche sintetizzate da esse).

• Infatti l’espressione algebrica x 00x01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02 e’

equivalente all’espressione algebrica x 02 (esercizio per casa!)

• Nelle prossime lezioni ci occuperemo proprio di introdurre dei metodiper automatizzare il processo di ottimizzazione delle reti logiche.

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Esempio: Sintesi

• Sceglienda ad esempio la prima forma canonica, si avra’

• Alla funzione z(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleanain prima forma canonica: x 00x

01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02

• Alla funzione e(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleana inprima forma canonica: x0x1x2.

• Dalle espressioni algebriche sopra potremmo derivare direttamenteun circuito logico che risolve il nostro problema.

• Tuttavia, ci accorgiamo che, utilizzando le proprieta’ dell’algebraboolena, e’ possibile ottimizzare (in termini di numero di letterali) lenostre espressioni algebriche (e le reti logiche sintetizzate da esse).

• Infatti l’espressione algebrica x 00x01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02 e’

equivalente all’espressione algebrica x 02 (esercizio per casa!)

• Nelle prossime lezioni ci occuperemo proprio di introdurre dei metodiper automatizzare il processo di ottimizzazione delle reti logiche.

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Esempio: Sintesi

• Sceglienda ad esempio la prima forma canonica, si avra’

• Alla funzione z(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleanain prima forma canonica: x 00x

01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02

• Alla funzione e(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleana inprima forma canonica: x0x1x2.

• Dalle espressioni algebriche sopra potremmo derivare direttamenteun circuito logico che risolve il nostro problema.

• Tuttavia, ci accorgiamo che, utilizzando le proprieta’ dell’algebraboolena, e’ possibile ottimizzare (in termini di numero di letterali) lenostre espressioni algebriche (e le reti logiche sintetizzate da esse).

• Infatti l’espressione algebrica x 00x01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02 e’

equivalente all’espressione algebrica x 02 (esercizio per casa!)

• Nelle prossime lezioni ci occuperemo proprio di introdurre dei metodiper automatizzare il processo di ottimizzazione delle reti logiche.

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Esempio: Sintesi

• Sceglienda ad esempio la prima forma canonica, si avra’

• Alla funzione z(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleanain prima forma canonica: x 00x

01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02

• Alla funzione e(x0, x1, x2) corrisponde l’espressione booleana inprima forma canonica: x0x1x2.

• Dalle espressioni algebriche sopra potremmo derivare direttamenteun circuito logico che risolve il nostro problema.

• Tuttavia, ci accorgiamo che, utilizzando le proprieta’ dell’algebraboolena, e’ possibile ottimizzare (in termini di numero di letterali) lenostre espressioni algebriche (e le reti logiche sintetizzate da esse).

• Infatti l’espressione algebrica x 00x01x

02 + x 00x1x

02 + x0x 01x

02 + x0x1x 02 e’

equivalente all’espressione algebrica x 02 (esercizio per casa!)

• Nelle prossime lezioni ci occuperemo proprio di introdurre dei metodiper automatizzare il processo di ottimizzazione delle reti logiche.Ra↵aella Gentilini Architettura degli Elaboratori 15 / 17

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Esempio 2

• Vediamo ora un altro esempio di progettazione di retecombinatoria, derivante dal problema che segue

Un display a 7 segmenti e’ costituito da 7segmenti luminosi che possono essere accesio spenti a formare il simbolo corrispondentealla cifra. Per controllarlo sono necessari 7segnali binari. La figura a sinistra mostra untale display ed i nomi dei segnali di controllo.

Si progetti una rete combinatoria in gradodi gestire un display a sette segmenti di unacifra decimale nell’intervallo [0 . . . 7] rappre-sentata in codifica binaria naturale.

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Esempio 2

• Vediamo ora un altro esempio di progettazione di retecombinatoria, derivante dal problema che segue

Un display a 7 segmenti e’ costituito da 7segmenti luminosi che possono essere accesio spenti a formare il simbolo corrispondentealla cifra. Per controllarlo sono necessari 7segnali binari. La figura a sinistra mostra untale display ed i nomi dei segnali di controllo.

Si progetti una rete combinatoria in gradodi gestire un display a sette segmenti di unacifra decimale nell’intervallo [0 . . . 7] rappre-sentata in codifica binaria naturale.

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Esempio 2

• Vediamo ora un altro esempio di progettazione di retecombinatoria, derivante dal problema che segue

Un display a 7 segmenti e’ costituito da 7segmenti luminosi che possono essere accesio spenti a formare il simbolo corrispondentealla cifra. Per controllarlo sono necessari 7segnali binari. La figura a sinistra mostra untale display ed i nomi dei segnali di controllo.

Si progetti una rete combinatoria in gradodi gestire un display a sette segmenti di unacifra decimale nell’intervallo [0 . . . 7] rappre-sentata in codifica binaria naturale.

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Ou

d b

C

c g

f-

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• Vediamo ora un altro esempio di progettazione di retecombinatoria, derivante dal problema che segue

Un display a 7 segmenti e’ costituito da 7segmenti luminosi che possono essere accesio spenti a formare il simbolo corrispondentealla cifra. Per controllarlo sono necessari 7segnali binari. La figura a sinistra mostra untale display ed i nomi dei segnali di controllo.Si progetti una rete combinatoria in gradodi gestire un display a sette segmenti di unacifra decimale nell’intervallo [0 . . . 7] rappre-sentata in codifica binaria naturale.

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Riferimenti ed Esercizi per Casa

Riferimenti

Capitolo 4 del libro di testo: C. Bolchini et al. Reti Logiche MaggioliEditore.

• Sottosezioni 4.1, 4.2, 4.3.

Esercizi per Casa

• Esercizi 4.1, 4.2, 4.5, 4.6, 4.7, 4.9 del libro di testo (lesoluzioni sono sul libro di testo).

• Buon lavoro!

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