APPENDICE

A.1 Derivate notevoli

y k 0dy

dx y x 1

dy

dx

ny x 1ndynx

dx n

y f x 1n df xdyn f x

dx dx

y x 1

2

dy

dx x y f x

1

2

df xdy

dx dxf x

ny x 1

1n n

dy

dx n x ny f x

1

1nn

df xdy

dx dxn f x

n my x n n m

dy m

dx n x m

ny f x

n m

n

df xdy m

dx dxn f x

siny x cosdy

xdx

siny f x cos

df xdyf x

dx dx

cosy x sindy

xdx

cosy f x sin

df xdyf x

dx dx

tany x 2

1

cos

dy

dx x tany f x

2

1

cos

df xdy

dx f x dx

coty x 2

1

sin

dy

dx x coty f x

2

1

sin

df xdy

dx f x dx

arcsiny x 2

1

1

dy

dx x

arcsiny f x

2

1

1

df xdy

dx dxf x

arccosy x 2

1

1

dy

dx x

arccosy f x

2

1

1

df xdy

dx dxf x

arctany x 2

1

1

dy

dx x

arctany f x

2

1

1

df xdy

dx dxf x

arccoty x 2

1

1

dy

dx x

arccoty f x

2

1

1

df xdy

dx dxf x

logay x 1loga

dye

dx x logay f x

1

loga

df xdye

dx f x dx

lny x 1dy

dx x lny f x

1 df xdy

dx f x dx

xy a lnxdya a

dx f xy a

lnf x df xdya a

dx dx

xy e xdye

dx f xy e f x df xdy

edx dx

xy x 1 lnxdyx x

dx g x

y f x

ln

g x dg x g x df xdyf x f x

dx dx f x dx

A-2 Appendice

Appendice A-3

A.2 Integrali notevoli

0

0

x

x

d x x 0 0

x x

x x

k f d k f d

0

110 1

1 1

x nnn

x

xxd n

n n

0

1 1

0

1 1

n nx

n

x

f x f xdff d

d n n

0

0

1

2

x

x

d x x

0

0

1

2

x

x

dfd f x f x

df

0

0sin cos cosx

x

d x x 0

0sin cos cosx

x

dff d f x f x

d

0

0cos sin sinx

x

d x x 0

0cos sin sinx

x

dff d f x f x

d

0

02

1cot cot

sin

x

x

d x x

0

02

1cot cot

sin

x

x

dfd f x f x

f d

0

02

1tan tan

cos

x

x

d x x

0

02

1tan tan

cos

x

x

dfd f x f x

f d

0

02

1arcsin arcsin

1

x

x

d x x

0

02

1arcsin arcsin

1

x

x

dfd f x f x

df

0

02

1arctan arctan

1

x

x

d x x

0

02

1arctan arctan

1

x

x

dfd f x f x

df

0

0

1ln ln

x

x

d x x

0

0

1ln ln

x

x

dfd f x f x

f d

0

0

xxx

x

e d e e 0

0

xf xf f x

x

dfe d e e

d

0

0ln ln

x xx

x

a aa d

a a 0

0ln ln

x f xf xf

x

df a aa d

d a a

0

1 1

0

1 1

m mxm

x

x a x aa d

m m

0

02 2

1 1 1arctan arctan

x

x

xxd

a a a a a

0

1 1

0

1 1

n nxn

x

a bx a bxa b d

b n b n

0

02

0

11 1 1 1ln ln

1 2 1 2 1

x

x

xxd

x x

0

0tan ln cos ln cosx

x

d x x 0

0cot ln sin ln sinx

x

d x x

0

20 0 0

1 1sin sin cos sin cos

2 2

x

x

d x x x x x x 0

20 0 0

1 1cos sin cos sin cos

2 2

x

x

d x x x x x x

0

01ln tan ln tan

sin 2 2

x

x

xxd

0

0

0

1 sin1 1 1 sin 1ln ln

cos 2 1 sin 2 1 sin

x

x

xxd

x x

0

01tan tan

1 cos 2 2

x

x

xxd

0

01cot cot

1 cos 2 2

x

x

xxd

A-4 Appendice

Appendice A-5

A.3 Teorema fondamentale del calcolo

Consideriamo una funzione continua y f x e stabiliamo il tasso di accrescimento dell’area

sottesa dalla sua curva tra due punti. Sia y il valore assunto dalla funzione in corrispondenza di un punto x e consideriamo l’intervallo di ampiezza x compreso tra x e x x . In tale intervallo l’area a considerata risulterà aumentata di una quantità a così il corrispondente tasso di crescita sarà:

a

x

.

Possiamo considerare un valore y dell’ordinata y tale che l’area y x è uguale a a : y x a , allora il tasso di crescita dell’area può esprimersi come:

a y x

yx x

.

D’altra parte risulta (si veda la figura): f x y f x x ,

così, passando al limite per 0x si ha:

0 0

lim limx x

a day y f x

x dx

.

L’area sottesa dalla curva y f x a partire da un punto arbitrario 0x al punto x è pari all’integrale

di f x calcolato tra tali punti:

0

x

x

a f d ,

per cui, sostituendo nella relazione precedente, si ottiene:

0

x

x

df d f x

dx ,

quindi l’operazione di integrazione può essere riguardata come l’operazione inversa della derivazione; questo risultato prende il nome di teorema fondamentale del calcolo.

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A-6 Appendice

Appendice A-7

A.4 Sezioni coniche

Si definisce sezione conica la curva generata da un punto che si sposta in modo tale da mantenere costante il rapporto fra la distanza da un punto, detto fuoco, ed una retta, detta direttrice. Tale valore costante prende il nome di eccentricità; in particolare, con riferimento alla figura, l’eccentricità vale:

PF

PQ .

Posto:

,

,

r PF

d FD

allora risulta:

cosPQ FD FB d r .

Poiché la lunghezza PQ può esprimersi attraverso l’eccentricità come:

PF r

PQ

,

sostituendo nella relazione precedente, si trova:

cosr

d r ,

da cui segue:

1 cos

dr

,

espressione che prende il nome di equazione polare della sezione conica. Se 1 la curva è un’ellisse, se 1 è un’iperbole e de 1 è una parabola; in particolare, per un’ellisse, in A si ha

0 e in A si ha , per cui le corrispondenti lunghezze 1r e 2r del segmento PF valgono:

1

2

, 01

;1

dr

dr

posto quindi:

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� � � �

���

�

�

A-8 Appendice

1 2

1

2a r r ,

che prende il nome di semiasse maggiore, si ha:

2 2

1 2 2 2

1 1 1.

2 2 1 1 2 1 1

d d d d d d da r r

Si prova inoltre che il semiasse minore b , pari alla lunghezza del segmento GC vale:

21b a . Infine l’area dell’ellisse risulta:

2 21A ab a , e per 0 l’ellisse coincide con un cerchio.

Appendice A-9

A.5 Sistemi di coordinate

In molteplici circostanze non risulta efficace l’impiego dei sistemi di coordinate cartesiani, sia nel piano che nello spazio. Ciò accade in particolare quando risulta più conveniente esprimere le posizioni dei punti attraverso degli angoli e delle distanze.

Nel piano l’identificazione della posizione di un punto P attraverso un raggio ed un angolo è detta polare: la coordinata radiale rappresenta la distanza di P da un’origine O detta polo; la coordinata angolare è l’angolo che la retta posta in corrispondenza di 0 deve descrivere per sovrapporsi alla retta passante per P e per O. In figura sono confrontate le coordinate cartesiane del punto P con le corrispondenti coordinate polari. Note le coordinate cartesiane x e y di P è possibile dedurre le corrispondenti coordinate polari e attraverso le relazioni:

2 2 ,

tan ;

x y

y

x

viceversa, risulta:

cos ,

sin ;

x

y

La naturale estensione del sistema di coordinate polari nelle tre

dimensioni è rappresentata dal sistema cilindrico. In questo caso la posizione del punto P è rappresentata attraverso le coordinate polari e della proiezione P di P sul piano xy e dalla distanza z di P da tale piano (si veda la figura). Le coordinate cilindriche , e z del punto P possono essere dedotte da quelle cartesiane attraverso le relazioni:

2 2 ,

tan ,

;

x y

y

xz z

viceversa:

cos ,

sin ,

.

x

y

z z

Il sistema di coordinate sferiche identifica un punto nello spazio attraverso una distanza e due

angoli. In particolare è la distanza del punto P dall’origine O, è l’angolo compreso tra l’asse z e il segmento OP e è l’angolo compreso tra l’asse x e la proiezione OP del segmento OP sul

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A-10 Appendice

piano xy (si veda la figura). Le coordinate sferiche , e del punto P possono essere dedotte da quelle cartesiane attraverso le relazioni:

2 2 2

2 2 2

,

tan ,

cos ;

x y z

y

xz

x y z

viceversa, risulta:

sin cos ,

sin sin ,

cos .

x

y

z

Spesso la necessità di un cambiamento di sistema di coordinate si ha nel calcolo di integrali; ciò

accade, ad esempio, qualora il dominio di integrazione è caratterizzato da simmetrie tali da rendere inadeguato l’uso delle coordinate cartesiane. Supponiamo di dover integrare la funzione

1 2, , nf x x x su un dominio V. Siano

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

, , ,

, , ,

, , ,

n

n

n n n

x T

x T

x T

le formule di trasformazione nelle coordinate 1 2, , n , risulta allora:

1 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2

1 2

, ,, , , ,

, ,n

n n n n nnV

x x xf x x x dx dx dx f T T T d d d

dove è il dominio V trasformato attraverso T e

1 1 1

1 2

2 2 21 2

1 2

1 2

1 2

, ,

, ,

n

nn

n

n n n

n

x x x

x x xx x x

x x x

è detta matrice jacobiana della trasformazione T. Esempio: Supponiamo di voler integrare la funzione ( , )f x y su un domino S e che risulti opportuno il cambiamento di

variabile da cartesiane a polari; la matrice jacobiana della trasformazione è:

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�

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���

�

�

�

��

�

Appendice A-11

cos coscos sin,

;sin cos,

sin sin

x y

ne segue che l’integrale di tale funzione nel domino specificato può esprimersi come:

,

, cos , sin cos , sin ,,S

x yf x y dxdy f d d f d d

in cui rappresenta il nuovo dominio di integrazione.

Il risultato conseguito attraverso l’esempio precedente si presta ad un’utile interpretazione geometrica. Il cambiamento di variabile richiede che si stabilisca l’espressione dell’elemento di area dxdy nelle coordinate specificate, in questo caso le coordinate polari. Dalla figura

mostrata si può osservare che l’elemento infinitesimo di area può esprimersi attraverso queste coordinate come un rettangolo infinitesimo di lati d e d ; l’elemento d’area vale pertanto d d , così come dedotto in maniera analitica. Analogamente, nello spazio, come è mostrato dalla figura, l’elemento infinitesimo di volume in coordinate sferiche è il parallelepipedo di lati

d , d e sin d , pertanto il volume di tale elemento vale 2 sin d d d ; infatti la matrice jacobiana della trasformazione da

coordinate cartesiane a coordinate sferiche vale

2

sin cos cos cos sin sin, ,

sin sin cos sin sin cos sin ., ,

cos sin 0

x y z

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A-12 Appendice