Analisi matematica II

Claudio Canuto, Anita Tabacco

Analisi matematica IITeoria ed esercizicon complementi in rete

CLAUDIO CANUTO

Dipartimento di MatematicaPolitecnico di Torino

ANITA TABACCO

Dipartimento di MatematicaPolitecnico di Torino

ISBN 978-88-470-0873-1 Springer Milan Berlin Heidelberg New YorkISBN 978-88-470-0874-8 Springer Milan Berlin Heidelberg New York

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(eBook)

Prefazione

Questo volume costituisce il proseguimento della presentazione dei principali stru-menti di base dell’Analisi Matematica iniziata nel nostro libro Analisi Matematica I- anch’esso pubblicato da Springer - a cui faremo riferimento nel testo come Vol. I.Gli argomenti qui trattati vengono tradizionalmente demandati, nella maggiorparte delle sedi universitarie italiane, ad un secondo corso di Analisi Matematica.

La scelta dei contenuti e delle modalita di presentazione per un tale insegna-mento e assai piu variegata e flessibile rispetto a quella per un corso di AnalisiMatematica I, usualmente dedicato in massima parte alle funzioni reali di unavariabile reale. Per questo motivo, abbiamo cercato di coprire un ventaglio suffi-cientemente ampio di argomenti, ben sapendo che il numero di crediti assegnatidai nuovi ordinamenti didattici a un secondo corso di Analisi Matematica puo nonessere sufficiente a coprirli tutti. Al fine di facilitare un uso flessibile del testo ab-biamo cercato, ove possibile, di rendere non troppo rigida la concatenazione degliargomenti, anche a costo di qualche ripetizione.

L’ordine di presentazione e quello che ci e sembrato il piu naturale. Nei primitre capitoli si completa lo studio delle funzioni di una variabile con le successionie serie di funzioni, tra le quali le serie di potenze e di Fourier. Successivamentesi passa ad esaminare le funzioni di piu variabili ed a valori vettoriali, studiando-ne le proprieta di continuita e sviluppandone il calcolo differenziale ed integrale(dapprima sugli aperti misurabili di Rn e quindi sulle curve e superfici). Infinealcuni dei concetti visti trovano applicazione nello studio dei sistemi di equazionidifferenziali ordinarie.

Come per il primo volume, ci siamo posti l’obiettivo di raggiungere la massimachiarezza espositiva nella nostra presentazione. Ogni pagina del testo contiene dinorma uno, o al piu pochi, concetti essenziali, evitando una eccessiva ricchezza dimessaggi che potrebbe distrarre lo studente. Abbiamo scelto di presentare i teoremisotto ipotesi sufficientemente generali ma di immediata leggibilita. Alcuni passaggi,necessari da un punto di vista della completezza ma piu delicati dal punto di vistateorico, sono stati evidenziati e possono essere omessi in una lettura essenziale.Gli enunciati sono in genere immediatamente seguiti da numerosi esempi e, ovepossibile, da una loro illustrazione grafica; lo stesso vale anche per la descrizione

VI Prefazione

dei procedimenti di calcolo. Nel testo sono usate le seguenti convenzioni grafiche:le definizioni appaiono su sfondo grigio, mentre gli enunciati su sfondo ciano; gliesempi sono segnalati da una barra verticale in colore; gli esercizi di cui si forniscela soluzione sono indicati con un riquadro nel testo (ad esempio 12. ).

Ogni capitolo ha una controparte sul sito web, dove lo studente piu motivatoe interessato puo trovare la giustificazione di vari risultati solo enunciati nel testo,insieme a utili complementi. Abbiamo invece completamente omesso quelle dimo-strazioni in cui, a nostro avviso, gli aspetti tecnici sono prevalenti rispetto a quelliconcettuali. Esse possono essere reperite sui testi specialistici della materia.

Un significativo numero di esercizi viene fornito al termine di ogni capitolo,permettendo all’allievo di valutare immediatamente lo stato delle conoscenze ac-quisite; essi sono raccolti in gruppi che riprendono i principali argomenti. Di tuttigli esercizi viene fornita la soluzione; per la maggior parte di essi, si delinea ilprocedimento risolutivo.

La preparazione del materiale raccolto ha tratto beneficio dall’esperienza matu-rata nell’insegnamento degli argomenti qui trattati presso il Politecnico di Torino.E stata inoltre di grande aiuto la consultazione di testi relativi agli stessi temi,quali quelli di A. Bacciotti e F. Ricci, di C. Pagani e S. Salsa, e di G. Gilardi,oltreche di opere di impostazione anglosassone quali quelle di T. Apostol e di J.Stewart.

Tutte le figure sono state realizzate mediante il programma MATLABTM e rie-laborate attraverso le macroistruzioni contenute nel pacchetto psfrag reperibilenegli archivi internazionali; siamo riconoscenti a Giuseppe Ghibo per l’assistenzatecnica che ci ha fornito a tale riguardo. Desideriamo inoltre esprimere la nostrapiu viva gratitudine nei confronti di Francesco Longo che ha prodotto con mae-stria buona parte delle figure contenute nel volume, oltre a leggere e contribuirea migliorare una versione preliminare del testo. Siamo infine riconoscenti a Fran-cesca Bonadei, responsabile per la Matematica della Springer-Verlag Italia, per ilcostante incoraggiamento e la pazienza dimostrataci.

Ringraziamo fin da ora i colleghi e gli studenti che vorranno segnalarcigli inevitabili errori rimasti e suggerirci possibili miglioramenti nella qualitadell’esposizione.

Torino, luglio 2008 Claudio Canuto, Anita Tabacco

Indice

1 Serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Richiami sulle successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Serie a termini positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Serie a termini di segno alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Operazioni algebriche sulle serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Serie di funzioni e di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1 Successioni di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Proprieta delle successioni uniformemente convergenti . . . . . . . . . . . . 39

2.2.1 Passaggio al limite sotto segno di integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.2 Passaggio al limite sotto segno di derivata . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3 Serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4.1 Operazioni algebriche sulle serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . 532.4.2 Derivazione e integrazione di serie di potenze . . . . . . . . . . . . . 54

2.5 Funzioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.6 Serie di potenze in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.7.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.1 Polinomi trigonometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2 Coefficienti e serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3 Forma esponenziale della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4 Serie di Fourier e derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.5 Convergenza delle serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.5.1 Convergenza quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

VIII Indice

3.5.2 Convergenza puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.5.3 Convergenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.5.4 Decadimento dei coefficienti di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.6 Funzioni periodiche di periodo T > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.7.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4 Funzioni tra spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.1 Vettori in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.3 Insiemi in Rn e loro proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.4 Funzioni: definizioni e primi esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.5 Continuita e limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.5.1 Proprieta dei limiti e della continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.6 Curve in Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.7 Superfici in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.8.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5 Calcolo differenziale per funzioni scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.1 Derivate parziali prime e gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.2 Differenziabilita e differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.2.1 Teorema di Lagrange e funzioni lipschitziane . . . . . . . . . . . . . . 1695.3 Derivate parziali seconde e matrice hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.4 Derivate parziali di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.5 Sviluppi di Taylor; convessita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.5.1 Convessita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.6 Estremi di una funzione; punti stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.6.1 Punti di sella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.7.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6 Calcolo differenziale per funzioni vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.1 Derivate parziali e matrice jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.2 Differenziabilita e lipschitzianita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.3 Operatori differenziali notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.3.1 Operatori del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.3.2 Operatori del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.4 Derivazione di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.4.1 Un’applicazione: le funzioni definite mediante integrali . . . . . 221

6.5 Curve regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.5.1 Congruenza tra curve; orientazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266.5.2 Lunghezza di un arco e ascissa curvilinea . . . . . . . . . . . . . . . . . 2296.5.3 Elementi di geometria differenziale di una curva . . . . . . . . . . . 232

6.6 Cambiamenti di variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Indice IX

6.6.1 Cambiamenti di variabile notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2386.7 Superfici regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.7.1 Cambiamenti di parametrizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.7.2 Superfici orientabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2506.7.3 Bordo di una superficie; superfici chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.7.4 Superfici regolari a pezzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

6.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.8.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

7 Applicazioni del calcolo differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.1 Teorema della funzione implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

7.1.1 Invertibilita locale di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.2 Curve e superfici di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

7.2.1 Curve di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2777.2.2 Superfici di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

7.3 Estremi vincolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2837.3.1 Metodo parametrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2867.3.2 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

7.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2957.4.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

8 Calcolo integrale per funzioni in piu variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.1 Integrale doppio su rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088.2 Integrale doppio su insiemi misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

8.2.1 Proprieta dell’integrale doppio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3238.3 Cambiamento di variabili negli integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3278.4 Integrali multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

8.4.1 Cambiamenti di variabili negli integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . 3388.5 Applicazioni ed estensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

8.5.1 Massa, baricentro e momenti di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3418.5.2 Volume dei solidi di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3428.5.3 Integrali di funzioni vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3458.5.4 Integrali multipli impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

8.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3478.6.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

9 Calcolo integrale su curve e superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3779.1 Integrali curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

9.1.1 Baricentro e momenti di inerzia di una curva . . . . . . . . . . . . . . 3849.2 Integrali di linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3859.3 Integrali superficiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

9.3.1 Area di una calotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3929.3.2 Baricentro e momenti di inerzia di una superficie . . . . . . . . . . 394

9.4 Integrali di flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3949.5 I Teoremi di Gauss, Green e Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

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9.5.1 Aperti e superfici ammissibili e loro bordo . . . . . . . . . . . . . . . . 3979.5.2 Il Teorema della divergenza o di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4029.5.3 Il Teorema del rotore; Teorema di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 4059.5.4 Il Teorema di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

9.6 Campi conservativi e potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4099.6.1 Calcolo esplicito del potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

9.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4199.7.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

10 Equazioni differenziali ordinarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43510.1 Esempi introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43510.2 Definizioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43810.3 Equazioni scalari del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

10.3.1 Equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44510.3.2 Equazioni omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44710.3.3 Equazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44810.3.4 Equazioni di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45210.3.5 Equazioni di Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45210.3.6 Equazioni del secondo ordine riconducibili al primo . . . . . . . . 453

10.4 Esistenza e unicita del problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45510.4.1 Esistenza e unicita locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45510.4.2 Soluzione massimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45910.4.3 Esistenza globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46210.4.4 Esistenza globale unilaterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46410.4.5 Integrali primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

10.5 Sistemi di equazioni lineari del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47010.5.1 Sistema omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47210.5.2 Sistema non omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

10.6 Sistemi lineari con matrice A costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47810.6.1 Sistema omogeneo con A diagonalizzabile . . . . . . . . . . . . . . . . 47910.6.2 Sistema omogeneo con A non diagonalizzabile . . . . . . . . . . . . 48310.6.3 Sistema non omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

10.7 Equazioni lineari scalari di ordine n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49010.8 Stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

10.8.1 Sistemi lineari autonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49810.8.2 Sistemi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49910.8.3 Cenno alla stabilita non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

10.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50810.9.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

Definizioni e formule notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .539