Algebra e Topologia Per La Fisica(Canuto,Rizzo)

5/24/2018 Algebra e Topologia Per La Fisica(Canuto,Rizzo)

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Dipartimento di matematicaUniversit di Milano

Algebra e topologia

per la fisica

(versione preliminare)

Giuseppe Canuto Ottavio G. Rizzo

marzo


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by Giuseppe Canuto and Ottavio G. Rizzo


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Indice

Prerequisiti 1

I Algebra 5

1 Gruppi 7

. Gruppi di sostituzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriet e definizioni di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Tabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sottogruppi e gruppi ciclici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Gruppiquozienti e sottogruppi normali 19

. Classi Laterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quozienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sottogruppi Normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lisomorfismo canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prodotti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generatori e relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abelianizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Azione di gruppi 41

. Classi di coniugio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Azione di gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I teoremi di Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppi di ordine trenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Gruppi finiti di trasformazioni 49. Gruppo Simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppo Alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppo Diedrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Gruppi Abeliani 59


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Indice

. Somma diretta di gruppi abeliani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppi abeliani finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppi abeliani finitamente generati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 SU() ed SO() 69

. SU()ed SO() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omomorfismo da SU()a SO() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Rappresentazioni 73

. Rappresentazione di un gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rappresentazioni irriducibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caratteri di gruppi finiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rappresentazioni irriducibili di SU() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Topologia 93

8 Spazi topologici 95

. Aperti e chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chiusura ed interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Spazi Quozienti 105

. Quozienti e sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Azione di gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Separazione 111

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 Compattezza 115

. Funzioni continue su compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compattezza in spazi metrici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 Connessione 123. Criteri di connessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Componenti Connesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connessione per archi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 Variet Topologiche 129


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Indice

. Spazi proiettivi reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connessione dei gruppi classici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerabilit e paracompattezza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 Gruppi Topologici 135

. Azione di gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connessione dei gruppi classici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SU()ed SO() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Decomposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III Topologia Algebrica 147

15 Gruppo Fondamentale 149

. Omotopia di cammini e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tipo di omotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppo fondamentale diS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppo fondamentale diS n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema di Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppo fondamentale di superfici compatte orientabili . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppo fondamentale di gruppi topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 Rivestimenti 163

. Topologia dei rivestimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Sollevamenti di applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Azione di(B)sulla fibra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppo fondamentale dei gruppi classici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Automorfismi di un rivestimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rivestimento Universale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morfismi di rivestimenti e rivestimenti equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Azioni di gruppi e rivestimenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV VarietDifferenziabili 177

17 VarietDifferenziabili 179

. Nozione di variet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spazio Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applicazione lineare tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema delle funzioni implicite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esponenziale di matrici e gruppi a -parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indice analitico 195


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Indice


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Prerequisiti

Insiemi

SianoU e V due insiemi,uun elemento di U evdi V. Allora

Lunione U V linsieme{x x U ox V} Lintersezione U V linsieme{x x U ex V}; diciamo che U disgiuntoda V seU V =

{Ui} unapartizionedi U se gli Uisono sottoinsiemi disgiunti di U ei Ui = U Ladifferenza U V linsieme{x x U ex V} Ilprodotto U V linsieme delle coppie ordinate(u, v)doveu U ev V UnapplicazioneU V iniettivase(u) = (u)implicau = u UnapplicazioneU V suriettivase per ogniv V esisteu U tale che f(u)= v LimmagineIm()diU V {v V v= f(u), per qualcheu U} Se U ha numero finito di elementi, indichiamo cono(U)la sua cardinalit

Un sottoinsieme R di U U definisce unarelazione di equivalenzase

R(x, x) R, per ognix UR(x,y) R implica(y, x) RR(x,y) R e(y, z) R implicano(x, z) RDiciamo chea in relazione conbe scriviamoa Rboa bse (a, b) R. Con questa convenzionela definizione precedente diventa:

unarelazione di equivalenzaseR xx

R xyimplicay xR xyed y zimplicanoxz

Data una relazione di equivalenza su un insieme U, definiamo per ogni x Ula classe diequivalenzadixcome[x]={y U yx}. Allora le classi di equivalenza distinte formano unapartizione di U.

Anelli

Unanello un insiemeAdotato di due applicazioni

somma A A A

(x,y) x+ yprodotto A A A

(x,y) x ytali che , per ognix,y, z A,

La definizione usuale di anello richiede solo le prime sei propriet. La settima definisce quello che tecnicamente

chiamatoanello con unit.


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Prerequisiti

A(x+ y) + z= x+ (y+ z)A esiste Gtale che + x =x+ = xA esiste x G, dettooppostodix, tale chex+ (x)= x+ x =A x+ y= y+ x

A(x y) z= x (y z)A x (y+ z) = x y+ x ze(y+ z) x=y x+ z xA esiste Gtale che x=x = xper ognixA

A detto unanello commutativose vale anche

A x y= y x

Campi

Uncampo un anello commutativoKin cui vale la propriet aggiuntiva:

K per ognix esistex K, detto linversodix, tale chex x =x x=.

Fissato un campoK, lanello dei polinomiK[X]in una indeterminata X linsieme dei simbolif(X)= anXn + anXn + + aX+ a, doven un intero non negativo detto ilgradodi f(X),i coefficientia i Kper ognii , ean . La somma ed il prodotto di due polinomi sono definitinel modo usuale.

Teorema .

Un polinomio f(X) K[X]di grado n > ha al pi n radici distinte su K.Numeri complessi

Il campoC dei numeri complessi linsieme dei simboli z = a + bicon a , b Rsui cui sono

definite le operazioni

(a + bi) + (a + bi)=(a + a) + (b + b)i (a + bi) (a + b i)=(aa bb) + (ab + ab)iLinverso dia + bi (a + bi) =a(a + b) b(a + b)i. Posto

ez = n

zn

n! sen(z)=

n

()nzn+(n + )! cos(z)= n

()nzn(n)!

abbiamo eiz =cos(z) + isen(z). In particolare ea+bi =eaeib =ea cos(b) + isen(b) il numerocomplesso di coordinate polari = ea e=b. Segue che il prodotto pu essere anche scritto come

(ei)(ei

) = ei(+). Il modulodizz = a + b =. Quindiz = se e solo se zdella formaz= ei. Nel seguito indicheremo con S linsieme dei numeri complessi di modulo .

Matrici

Fissato un campoK, consideriamo lanelloMn(K) delle matricin n. Definiamo nel modo usualelapplicazione detMn(K) K. Allora


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Teorema . (di Binet)

SeP, Q Mn(K)alloradet(P Q) = det(P) det(Q), dove il prodotto a sinistra quello diMn(K)e quello a destra quello di K.

Indichiamo conIla matrice identica di Mn(K)e definiamoGLn(K)={PMn(K)det(P)} SLn(K)={PMn(K)det(P)=}

O(n)={PGLn(R) PtP= I} U(n)={Q GLn(C) Q tQ =I}SO(n)=O(n) SLn(R) SU(n)=U(n) SLn(C)

Propriet degli interi

Dati due interimedn, diciamo chemdividense esistek Ztale chen = mk. Un intero positivop dettoprimose i suoi unici divisori sono e p.

Teorema . (Fattorizzazione degli interi)

Ogni interon Z {}si scrive in modo unico nella forman = pk pk . . .pkss dove = , iprimi pisono tutti distinti e gli esponenti kisono interi strettamente positivi.

Poston = pk pk . . .p

kss edm =

pl pl . . .p

lss (dove gli esponenti sono eventualmente uguali a

zero), definiamo

(m, n) = si=

pmin{k i ,li}i mcm(m, n) =

s

i=

pmax{k i ,li}i

Diciamo chemrelativamente primoadnse (m, n)=, cio se non hanno fattori comuni.Proposizione .

Se m ed n sono due interi diversi da zero abbiamo:

. Lintero d divide (m, n)se e solo se d divide sia m che n. mcm(m, n)divide d se e solo se sia m che n dividono d. (m, n)mcm(m, n) = mn. (m, n) il pi piccolo intero strettamente positivo della forma am + bn, con a, b Z

Algoritmo . (Algoritmo euclideo esteso)

Dati due interim, n > , questo algoritmo calcolad=

(m, n)e due interiaebtali ched =am + bn .E. Poniamoa =b = ,a = b =,c =m,d =nE. Sianoqedrinteri tali chec = qd+ rcon r< dE. Ser= , lalgoritmo termina ed= (m, n)E. Poniamoc =d,d =r,t= a,a =a,a = t qa ,t=b,b =b,b = t qbe torniamo aE


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Prerequisiti


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Parte I

Algebra


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Gruppi

Un insieme G dotato di unoperazione binaria(x,y) x ysi dice gruppo (con notazionemoltiplicativa) se:

. vale la legge associativa:(x y)z= x(yz). esiste unelemento neutroetale cheex=x e =xper ognix G. per ognixGesiste unelemento inversox tale chex x =xx=e

Lelemento neutro verr anche denotato Go pi semplicemente . ScriveremoG()se vorremomettere in evidenza l operazione diG, per la quale si user solitamente la notazione moltiplicativa.

Gruppi commutativi e notazione additiva

Sex y= y xper ogni coppiaxe ydi elementi diG, si dice che il gruppo commutativooabeliano.SeG un gruppo commutativo, si preferisce talvolta usare lanotazione additiva, cio indicarela composizione fraxe yconx+ ymentre linverso dix indicato x; lelemento neutro, in talcaso, spesso denotato : lozerodel gruppo. IndicheremoG(+)un tale gruppo.Esempi

immediato verificare che i seguenti insiemi soddisfano tutti la definizione di gruppo

Z

(+

) gruppo dei numeri interi relativi con la somma

Q(+) gruppo dei numeri razionali con la sommaR(+) gruppo dei numeri reali con la sommaC(+) gruppo dei numeri complessi con la sommaQ() gruppo dei numeri razionali diversi da zero con il prodottoR() gruppo dei numeri reali diversi da zero con il prodottoC() gruppo dei numeri complessi diversi da zero con il prodottoT(X) gruppo delle applicazioni biunivoche di un insieme X in s, con la composizione di applica-

zioniGLn(R) gruppo delle matricin ninvertibili a coefficienti reali con la moltiplicazione di matriciGLn

(C

)gruppo delle matricin ninvertibili a coefficienti complessi con la moltiplicazione di

matrici


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Gruppi

. Gruppi di sostituzioni

Ricordiamo che linsiemeSndelle sostituzioni su n elementi linsieme delle corrispondenzebiunivoche di

{ , , . . . , n

}in s. Se Snscriviamo

= . . . nx x x . . . xn

per indicare il fatto che() = x,()= x, ecc. Se, Sn, possiamo definire una sostituzione S ncomponendocon. In altre parole, semanda inxemandaxin k , alloramanda ink . Ad esempio, se

=

, =

Otteniamo

per cui

=

Lasciamo al lettore il compito di verificare che le sostituzioni su n elementi, con questa regoladi composizione, formano un gruppoSn, ilgruppo delle sostituzioni. Tale gruppo formato dan! elementi. Studieremo pi dettagliatamente tale gruppo nel capitolo. Per il momento diamoalcune nozioni e propriet diSnsenza dimostrazione.

Cicli

Unciclo =(x, x, . . . , xs) una sostituzione che mandaxinx,xin x, . . . ,xsinxse xsinx; e che lascia fissi gli altri elementi. Chiamiamo lunghezzadi linteros. Ad esempio, comeelemento diS, il ciclo() la sostituzione

Data una sostituzione, diciamo che

(x, x, . . . , xs

) un suo ciclo se

(x

)= x,

(x

)= x, . . . ,

(xs)= (x). Ad esempio, se =

i suoi cicli sono(),(),()e(). Notiamo come la composizione di(),(),()e()dia proprio: in generale, infattiogni sostituzione il prodotto dei propri cicli.


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. Propriet e definizioni di base

Trasposizioni

Chiamiamotrasposizioneun ciclo di due elementi. Ad esempio,() una trasposizione. facilevedere che un ciclo qualsiasi(x, x, . . . , xs)pu essere visto come il prodotto di trasposizioni

(x, xs

)(x, xs

)

(x, x

). Ad esempio,

(

)=

(

)(

)(

). Abbiamo quindi che:

Proposizione .

Ogni sostituzione il prodotto di trasposizioni.

facile convincersi che tale decomposizione non unica. Se definiamo per pariuna sostituzioneche pu essere decomposta come un numero pari di trasposizioni, possibile dimostrare che taleconcetto ben definito.

Gruppoalterno

Se definiamo unasostituzione disparinel modo ovvio, evidente che la composizione di duesostituzioni entrambe pari o dispari pari e che la composizione di una sostituzione pari con unadispari dispari. Segue che l insieme delle sostituzioni pari, con la stessa legge di composizione diSn, forma un gruppoAn, ilgruppo alternodi gradon. Vedremo pi avanti cheAnha esattamentemet degli elementi diSn.

. Propriet e definizioni di base

Proposizione .

In un gruppo G valgono le seguenti propriet:

. c un solo elemento neutro

. se x y= e allora yx =e

. ogni elemento ha un unico inverso

. se xG, allora(x) =x. se x,y G, allora(x y) =yx.. se x y= xz allora y= z (e analogamente: se yx=zx allora y= z)

. dati a e b in G, esiste un unico xG tale che ax =b

. fissato a G, lapplicazione x ax una corrispondenza biunivoca di G in s

Dimostrazione. Tutte queste affermazioni sono di facile dimostrazione. Verifichiamo ad esempiola seconda:

yx=(xx)yx=x(x y)x=xex =xx=eLa sesta, invece, pu essere dimostrata cos: supponiamo chex y= x z. Per la definizione di gruppoesiste un elementox inverso dix, segue chexx y= xxz, cioe y= eze quindiy= z. Lottava una conseguenza immediata delle due propriet precedenti.


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Gruppi

Potenze

Dato un elementoxdel gruppo Ged un intero positivonindichiamo conxn il prodotto dixcon sestessonvolte. Indichiamo conxn il prodotto dix con se stessonvolte. Poniamo infinex =e .Con queste convenzioni valgono le regole usuali delle potenze: senedmsono interi qualsiasi,

xmxn =xn+m , (xn)m =xnm

. Tabelle

Diciamo che G ungruppo finitose ha un numero finito di elementi; in tal caso possiamorappresentare la moltiplicazione (o laddizione, nel caso in cui si usi la notazione additiva) con unatabella moltiplicativa in cui il termine della rigaxe colonnay lelementox y. La proposizione.ci garantisce che in ogni riga ed in ogni colonna ci sono tutti gli elementi diGe ciascuno appare

una sola volta.

Tabella diS

chiaro che il gruppoSdelle sostituzioni su tre elementi formato dalla trasformazione identicae dai cicli(),(),(),(),().Chiamiamo la trasformazione identica, =()e =(). Lasciamo al lettore il compitodi verificare che quindi() = ,() = ,() =. Notiamo facilmente che = =()() =; quindi = = = =. Analogamente = =() =(). Seguonoaltri risultati come() = = = oppure() = =. Otteniamo quindi questatabella parziale:

Per completare la tabella necessario fare ulteriori calcoli. Abbiamo che

=()()=()=

Quindi

=() =() = () = () = =Analogamente

()=() =() = = , ()=() =() = =


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. Sottogruppi e gruppi ciclici

Lasciamo al lettore il compito di verificare che la tabella completa :

(.)

Gruppi di quattro elementi

Lasciamo al lettore il compito di verificare che le seguenti sono due tabelle di gruppo

x x x

x x

x

x x x x x x x xx x x x

x y xy

x y xy x x x y yy y x y xx y x y y x

(.)

I due gruppi sono diversi: ad esempio, mentre nel secondo il quadrato di ogni elemento l unit,nel primox . Questi sono gli unici gruppi di quattro elementi, come vedremo nel prossimocapitolo.


Sottogruppi

Un sottoinsiemeHdi un gruppoG unsottogruppose un gruppo con loperazione definita inG. Un sottoinsiemeH un sottogruppo se e solo se sono verificate le condizioni seguenti:

. sexH, allorax H. sex,y H, allorax y H

Da queste condizioni segue che lelemento neutro appartiene adH. SeH un sottogruppo diG,useremo la notazioneH< G.

Esempi

. Un qualsiasi gruppoGha almeno due sottogruppi,{}eGstesso, dettisottogruppi banali. I sottogruppi non banali diSsono:{,,},{, },{,},{,}. Z(+)< Q(+) < R(+)< C(+), come gruppi additivi.{}< Q() < R()< C(), come gruppi moltiplicativi. nZ< Z, dovenZ={nt t Z} il sottoinsieme diZcostituito dai multipli din. SO(n)


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Gruppi

Sottogruppogenerato da un sottoinsieme

Dato un gruppoGed un sottoinsieme X diG, ilgruppo generatodaX il pi piccolo sottogruppodiGcontenente X; cio, per lesercizio.,l intersezione di tutti i sottogruppi diGcontenenti X.Denotiamo tale sottogruppo con

X

.

Gruppi ciclici

Fissatox G , alloraxdeve contenere tutte le potenze di x; daltro canto queste formano ungruppo, per cuix dato dalle potenze dix. Il gruppox commutativo poichxmxn =xm+n =xn xm e pu avere un numero finito oppure infinito di elementi.

Se in un gruppoGesiste un elementoxtale cheGcoincide conx, diremo cheGciclicoe chex un suogeneratore.

Ad esempio,Z(+) ciclico infinito ed ammette due generatori, cio + e . Notiamo cheZ(+)in notazione additiva e che la potenzan-esima dixsi scriver, ovviamente,nx. In generale, seH

un sottogruppo non banale diZ, edn il pi piccolo intero positivo ivi contenuto, alloraHciclico infinito ed ammette come generatori +ne n. Infatti, seb un elemento diHpossiamoscrivereb = nq + rdove r< n. Segue cher=b nqappartiene adH; quindi, per la minimalitdin, abbiamo cher= eb un multiplo din.

Un esempio di gruppo ciclico finito il gruppo ndelleradicin-esime dellunitformato dainumeri complessi ztaliche zn =. Questi sonoi numeri della forma ekin,conk = , , , . . . , n.Il gruppo n ciclico, formato danelementi, ed ammette e

in come generatore. Mostreremoche i sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici.

Classi di resto modulon

Fissato un intero n , introduciamo inZ la seguente relazione di equivalenza: x yse x yun multiplo (positivo o negativo) din. Otteniamo in tal modon classi di equivalenza distinte,cio quelle individuate da , , , . . . , n , detteclassi di resto modulon. Ogni numeroxdi Zappartiene alla classe di equivalenza individuata dal resto della divisione dixper n. Tale classesar denotataxed avremox = yesattamente quandox y.

Linsieme delle classi di resto modulon denotatoZnZed in esso possiamo definire unopera-zione di somma ponendox+ y= x+ y, dove naturalmente la somma a destra la solita sommainZ. Tale operazione ben definita, cio non dipende dai rappresentanti della classi; tramite essa,ZnZdiventa un gruppo ciclico in cui un generatore.Generatori di un gruppo ciclico

Possiamo facilmente determinare gli altri generatori di ZnZ. Osserviamo che, dati due interimedainZ, avremoma = ma = a m. Ora, se a un generatore, si deve avere in particolare= baconbintero opportuno; da cui = ba, cio = ba + ncconcintero. Quindiaednsono relativamenteprimi.

Viceversa, seaednsono relativamente primi, esistono degli interibectali che = ba + nc ; quindi


19/21


= ba = b a. Dato che ogni classe un multiplo di, sar anche un multiplo di a. In conclusione igeneratori diZnZsono quelle classi aindividuate dagli interi relativamente primi adn.Ordinedi ungruppoe di un elemento

Chiamiamoordine di un gruppo finitoil numero dei suoi elementi, e denotiamo questa quantito(G). SeGcontiene infiniti elementi diremo cheGha ordineinfinito.Sex un elemento diGtale chexr =e per qualcherstrettamente positivo, definiamo lordinedixcome il pi piccolo intero positivonper cuixn =e . Denotiamo tale ordine cono(x). Sexr eper ogni interor> , diciamo chexha ordine infinito.

Proposizione .

Un elementoxdi un gruppoGha ordine finito se e solo il gruppoxda esso generato finito.In tal caso o(x)= o(x).

Dimostrazione. Supponiamo che o(x) = n. Gli elementi{e = x, x, x, . . . xn

}sono tuttidistinti: se fossexi =xj con i < j < n, alloraxji = con < j i


20/2

Gruppi

. Omomorfismi

Unapplicazione fda un gruppoGad un gruppoGsi diceomomorfismose f(x y) = f(x)f(y).Sianoelelemento neutro diG,elelemento neutro diG, ed f G Gun omomorfismo.

Allora

f(e) = eInfatti

f(e) = f(e e) = f(e) f(e)Daltra parte, f(e)= ef(e).Sex un elemento diG, allora f(x)= f(x). Infatti,

f(x x)= f(e)= ee daltra parte

f(x x)= f(x) f(x)Segue che

f(x) f(x)= eEsempi

. LapplicazioneA det(A) un omomorfismo daGLn(R)aR(), per il teorema di Binet.Analogamente per GLn(C).

. Lapplicazione che ad ogni interoxassocia la sua classe modulon un omomorfismo daZaZnZ.

. Lapplicazione esponenzialex

e

x

un omomorfismo daR(+

)aR

(

).Nucleo e immagine

Dati due gruppi G e G indichiamo con e ed e i rispettivi elementi neutri. Sia ora f unomomorfismo daGaG. Definiamo:

ker(f) ={xG f(x) = e} Im(f) ={y G y= f(x)per qualchexG} facile verificare cheker(f) un sottogruppo di G, detto il nucleodi f, e cheIm(f) unsottogruppo diG, detto limmaginedi f.

Nellesempiolomomorfismo suriettivo, cio limmagine tuttoR, ed il nucleo costituito

dalle matrici con determinante uguale ad uno, che denotiamo con SLn(R)nel caso reale edSLn(C)nel caso complesso. Nellesempiolomomorfismo suriettivo ed il nucleo nZ; mentrenellesempioil nucleo costituito dal solo zero e l immagine formata dai numeri reali positivi.

Si ha la seguente

Proposizione .

Un omomorfismo f G G iniettivo se e solo seker(f) ={e}.


21/2

. Omomorfismi

Dimostrazione. In un senso ovvio. Supponiamo ora che il nucleo sia formato dal solo elementoneutro: se f(x)= f(y), allora f(x y) = ee dunquex y che appartiene al nucleo valee, ciox =y.

Isomorfismi

Diciamo che due gruppiGeGsonoisomorfise esiste un omomorfismo iniettivo e suriettivo fdiGinG; scriveremoG Ge diremo che f unisomorfismo. Osserviamo che lapplicazioneinversa f diGinG a sua volta un omomorfismo e quindi un isomorfismo. Un isomorfismodiG in s detto automorfismodi G . Linsieme degli automorfismi di un gruppo G con lacomposizione di omomorfismi forma un gruppo Aut(G).Esempi

. Lapplicazionek ekin dovek =, , . . . , n un isomorfismo diZnZnel gruppodelle radicin-esime dellunit n.

. Dato un elementoa di un gruppoG , lapplicazionex ax a un automorfismo diGdettoautomorfismo internodeterminato daa.

. Siaxun elemento di G. Lapplicazionea xa un omomorfismo suriettivo di Z sul gruppociclicoxgenerato dax. Se il nucleo ridotto al solo zero, allora xha ordine infinito edabbiamo un isomorfismo fraZex. Se invece il nucleo non ridotto al solo zero, sianilpi piccolo intero positivo appartenente al nucleo: come abbiamo visto a pagina ,il nucleo uguale anZe quindin lordine dix. Infine immediato verificare che lapplicazionea xa un isomorfismo diZnZinx.

. Due gruppi ciclici finiti dello stesso ordine sono isomorfi. Scelti infatti un generatorexdelprimo gruppo ed un generatoreydel secondo, lapplicazionexn yn un isomorfismo.

Indicheremo conCnil gruppo ciclico di ordinen, che per quanto detto unico a meno diisomorfismi.

I risultati sui generatori di ZnZe sugli ordini degli elementi di n valgono quindi perqualsiasi gruppo ciclico finito.

. Un gruppo ciclico infinito isomorfo aZ: scelto un generatorex, lapplicazionen xn infatti un isomorfismo. Analogamente al punto precedente, esiste quindi un solo gruppociclico infinito che indicheremo conC.

Sottogruppi dei gruppi ciclici

molto facile studiare la struttura di un gruppo ciclico. Ad esempio abbiamo i seguenti risultati

Proposizione .

Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico ciclico.

Dimostrazione. Supponiamo cheG =xeH


22/2

Gruppi

s = mq + rcon r


23/2

. Omomorfismi

Esercizio.. Siaz= ei C. Fissato un interonsi calcolizn e si mostri chezha ordine finito see solo se = e un numero razionale.Esercizio.. Fissato un interon, definiamo una mappa fn G Gcome fn(x) = xn. Si mostriche seG commutativo allora fn un omomorfismo.

Esercizio.. SiaxG. Si verifichi che seo(x) = nk allorao(xn)= nk.Esercizio.. Fissatonintero positivo, si mostri che lapplicazione:

fn ZnkZ Znk+Zxmod nk

nxmod nk+

ben definita ed un omomorfismo per ognik .

Esercizio.. Fissato un interon, possiamo definire unoperazione di moltiplicazione suZnZcomea b = a b. Si verifichi che:

. Loperazione ben definita, cio che non dipende dalla scelta di un rappresentanteadellaclassea.. Con questa moltiplicazioneZnZ un anello commutativo con come elemento neutro.

Esercizio.. Si mostri che a ZnZha un inversob(cioab modn) se e solo sea relativa-mente primo adn; posto(ZnZ) ={a ZnZ a invertibile}, si mostri che(ZnZ)() ungruppo moltiplicativo.

Esercizio.. Sianomedndue interi relativamente primi e sia fla mappa

ZmnZ ZmZ ZnZkmod mn

(kmod m , kmod n). Si verifichi che f ben definita e che un omomorfismo di anelli.. Si mostri che f un isomorfismo.. Si concluda che i gruppi(ZmnZ) e(ZmZ) (ZnZ) sono isomorfi.

Esercizio.. Per ogni interon, sia(n)il numero di interi positivi minori dine relativamenteprimi adn: ad esempio()= perch e sono relativamente primi a ; oppure() = perch, , , sono relativamente primi a . Questa funzione dettafunzionedi Eulero. Notiamoche lordine di(ZnZ) (n), cos come il numero di generatori diZnZ.

. Si verifichi che per ogni numero primop,(p) = p .. Si mostri che in generale, se e , allora(pe) = pe pe. (S: si conti il

numero degli interi fra e pe divisibili perp, cio il numero di interi della formak pconkintero opportuno.)

. Usando lesercizio.si mostri che, semednsono relativamente primi, allora(mn) =(m)(n).


24/2

Gruppi


25/2

Gruppi quozienti e sottogruppi normali

. Classi Laterali

SiaHun sottogruppo del gruppoG . Dato un elementoa G, la classe laterale sinistradi a linsieme a H ={ax x H}. In particolare lelemento a appartiene alla classe a He la classelaterale dellelemento neutro coincide conH.

Si verifica facilmente che due elementia , bdiGdeterminano la stessa classe laterale esattamentequando uno appartiene alla classe dellaltro.

Infattib aH b = ahconh H a = bh conh H.EssendoHun sottogruppo, ancheh H, quindi le condizioni precedenti sono equivalenti allacondizione a bH. Segue che due classi hanno intersezione vuota oppure coincidono. Infattisea H bH , siac =ah =bh da cuia =b hh; quindi ogni elemento della classe lateraleaHappartiene anche alla classe lateralebH, cioaHbH; analogamente si ottiene linclusioneinversa. Segue che le classi laterali formano una partizione diG. Poich ogni classe laterale incorrispondenza biunivoca conHattraverso lapplicazioneax x, otteniamo immediatamenteche

Proposizione .

SiaGun gruppo finito edH


26/2


Corollario .

Sia G =xun gruppo ciclico di ordine n. Per ogni intero positivo b esiste un sottogruppo di Gdi ordinebse e solo sen = ab conaintero (cio seb un divisore din). In tal caso il sottogruppo

unico ed generato da xa.

SottogruppidiS

Possiamo ora determinare i sottogruppi diS. Lordine diS sei, i cui divisori non banali sonosolo i numeri primi due e tre. Quindi gli unici sottogruppi non banali diSsono i gruppi ciclicigenerati dai propri elementi, cio=,,e.Osservazione.. Si noti che in un gruppo finito generico di ordinennon esiste necessariamenteun elemento di ordinebper ognibche dividen. Ad esempioSnon ha un elemento di ordine sei.Studieremo nel seguito la struttura di un generico gruppo commutativo finito.

Gruppidi ordine quattro

Abbiamo visto a paginadue diversi gruppi di ordine quattro:CeC C(vedi anche leserci-zio.). Vogliamo ora mostrare che non ce ne sono altri. SiaGun gruppo di ordine quattro. Per ilcorollario., sex Gexe , allorao(x)= o . Seo(x) = alloraG =C. Supponiamo quindiche lordine dei tre elementi diversi dae(che chiameremox,y, z) sia due. Notiamo che sex =e ,allorax =x. Poichx y Gavremo una della seguenti possibilit:

x y= e quindiy= x =x: impossibilex y= x quindi, per la proposizione.,y= e : impossibilex y= yanalogamente a sopra, avremmox =e : impossibilex y= zper esclusione lunica possibilit

Analogamente si mostra che il prodotto di due elementi distinti di ordine due sar il terzo. SeguecheG necessariamente isomorfo aC C.

. Quozienti

Classi laterali destre

Quanto detto per le classi laterali sinistre pu essere ripetuto per le classi laterali destre Ha =

{xa x H

}. Si noti che in generale a H Ha: vediamo ad esempio le classi laterali sinistre e

destre diH=inS.a aH Ha

{, } {, } {,} {,} {,} {,}

a aH Ha

{, } {, } {,} { ,} {,} {,}

(.)


27/2

. Sottogruppi Normali

Prodottodi classi laterali

Consideriamo linsieme delle classi laterali sinistre e proviamo a definire una moltiplicazionein tale insieme nel modo seguente: aH bH =abH. Loperazione ha senso, cio ben definita,se dipende dalle classi e non dai rappresentanti che le individuano. Supponiamo dunque chebH =c H, cio chec =bhconh H. Alloraac = abh quindiab H = a cH. Il prodotto definitosopra non dipende dal rappresentante scelto nella seconda classe. Supponiamo ora che aH=d H,cio ched =ah conh H. Le classiabHed ahbHin generale non coincidono.

Ad esempio, seG = Sed H =, calcoliamo il quadrato di H = H: da un lato avremoH={,}e dallaltro avremo()H= H={, }, per cui il prodotto non ben definito.Leclassi abHed ahbHcoincideranno quando ahb ab H,ciose ahb = ab h per un opportunoh H; equivalentemente,h =bhb. Dato cheh pu variare inH, si deve avereHbHb

cio H b bH. Essendob arbitrario, si deve avere anche H b bH, da cui b H Hb. Inconclusione

Proposizione .

Dato un gruppoGed un suo sottogruppoH, se la classe laterale sinistra e la classe laterale destra

di ciascun elemento coincidono, allora

. ben definito un prodotto sullinsieme delle classi laterali nel modo seguente:(aH) (bH)= ab H. tale operazione determina una struttura di gruppo dettogruppo quozienteGH.

Lasciamo al lettore la verifica della seconda parte.

Se il gruppoG commutativo la condizione di cui sopra ovviamente verificata e quindi si pusempre formare il quozienteG

Hper ogni sottogruppoH. Ad esempio, seG =Z

(+

)edH


28/21


Dato che lelemento neutro del quoziente la classeH, il nucleo di tale omomorfismo canonico il sottogruppoH. Vale la seguente proposizione

Proposizione .

SiaGun gruppo edHun suo sottogruppo. Allora H normale inGse e solo seH il nucleo diun omomorfismo.

Dimostrazione. Come appena visto, se H G, alloraH il nucleo dellomomorfismo canonico G GH.Supponiamo inveceH =ker(f)dove f omomorfismo daG in un gruppoT. Sianoh Hedx G, allora f(xhx)= f(x)f(h)f(x) = f(x)e f(x) =e , ciox Hx ker(f) = H, da cuixH H x, per ogni ognixG ; daxH Hx otteniamoHxx He quindix H= H xper ognix G. In conclusioneH un sottogruppo normale.

EsempioSe H un sottogruppo di Gfinito e o(G)=o(H) allora esistono due soleclassi laterali (ricordiamoche sono distinte e dello stesso ordine):He G H. Segue cheH G. In particolare il gruppoalternoAn un sottogruppo normale diSn.

Sottogruppi e quozienti

SiaH Ge G GHlapplicazione canonica. Per comodit indichiamo Gil quozienteGH.Lasciamo al lettore il compito di mostrare che se K < G, alloraK = (K) un sottogruppodiGcontenenteH; e che, viceversa, se H


29/21

. Sottogruppi Normali

Normalizzante

Dato un sottogruppoHdiG, poniamoN(H)={x G x Hx =H}. Si verifica facilmente cheN(H) un sottogruppo diG, dettonormalizzantediH, e cheH normale inN(H).Automorfismi interni

Ricordiamo che lapplicazione y x yx automorfismo diG , detto automorfismo internodeterminato dax. Un sottogruppoH quindi normale quando viene lasciato fisso, come insieme,da ogni automorfismo interno.

Due elementiy, z Gsono detticoniugatisez=x yx per qualchexG, cio sez limmaginediyattraverso un automorfismo interno.

Analogamente, due sottogruppiH, KdiGsi diconoconiugatiseK =x Hx per qualchexG ,cioK limmagine diHattraverso un automorfismo interno.

Gruppi di ordine seiSupponiamo che Gsia un gruppo di ordine sei: vogliamo determinare la natura di G. Se Gcontieneun elemento di ordine sei, alloraG il gruppo ciclicoC.

Supponiamo cheGcontenga un elemento di ordine tre, che chiamiamo, ma nessuno di ordinesei: allora un sottogruppo diG di ordine la met diG , quindi normale. Sia G :avendo il gruppo delle classi laterali ordine due,

()n = sen pari sen dispari

cion

{e ,,

}esattamente quandon pari. In particolare, se n = ealloran pari, cio

lordine di pari; dovendo o()dividere sei, e avendo escluso il caso o() = , abbiamodimostrato che lordine di un elemento non in necessariamente due.Ragionando come nel caso dei gruppi di ordine , vediamo che gli elementi{e ,,, ,,}sono tutti distinti; per quanto appena visto,o()= o() =. Siamo in grado, a questo punto,di completare parzialmente la tabella diG:

e e e

e e e

e e

(.)

Consideriamo ora il prodotto: poich =, {,,}. Il primo caso chiaramente impossibile. Supponiamo che = : allora

e =() =() = () = =e =


30/2


il che impossibile. Segue che = . Lasciamo al lettore il compito di verificare che ora possibile riempire la tabella (.) per ottenerne una identica alla (.). In altre paroleG isomorfoaS.

Supponiamo infine che tutti gli elementi diversi daeabbiamo ordine due. Sianoxed ydue tali

elementi. Allora, ragionando come nel caso dei gruppi di ordine quattro, vediamo che {e , x,y, x y} un sottogruppo diG . Ma, per la proposizione.,un gruppo di ordine sei non pu avere unsottogruppo di ordine quattro. Concludiamo quindi che esistono due soli gruppi di ordine sei:uno commutativo (C) ed uno non commutativo (S).

. Lisomorfismo canonico

Sia f G Tun omomorfismo di gruppi e siaH=kerf.

Possiamo allora definire unapplicazione f GH Tponendo f(xH)= f(x). La mappa bendefinita perch f(xh)= f(x)f(h) = f(x)per ognih H; nello stesso modo si mostra che unomomorfismo. Se l applicazione canonica daGinGHavremo il diagramma

Gf

T

GHf

in cui f = f . Un simile diagramma, in cui si pu andare da un gruppo allaltro seguendo diversicammini e in cui gli omomorfismi composti corrispondenti sono uguali, dettocommutativo.Notiamo che Im

(f

)=Im

(f

).

Il nucleo di f GH T costituito dalla sola classeH, che lelemento neutro del gruppo quo-ziente; quindi f iniettiva. Poich Im(f) =Im(f), otteniamo un isomorfismo, dettoisomorfismocanonico,Gker(f) Im(f).Esempi

. Come visto, lapplicazioneA det(A) un omomorfismo suriettivo diGLn(R)inR, ilcui nucleo SLn(R). Il quoziente GLn(R)SLn(R) dunque isomorfo ad R.

. Lapplicazionex exi un omomorfismo diRinC, la cui immagine linsieme deinumeri complessi di modulo uno cio il cerchio unitario S e il cui nucleo Z. Avremo

dunque un isomorfismo fraRZedS

.. Lapplicazione Sn {}che manda una sostituzione pari in+ ed una dispari in

un omomorfismo suriettivo con nucleoAn. Abbiamo dunque un isomorfismo fraSnAne{}; segue che lordine di An la met di quello di Sn.. Vedremo nel paragrafo.un omomorfismo suriettivo diSU()inSO()il cui nucleo il

sottogruppo formato dai due elementi I, quindi SU(){I} isomorfo ad SO().


31/2

. Prodotti

. Prodotti

SiaGun gruppo,HeKdue suoi sottogruppi: consideriamo linsieme

HK={hk h H, k K}Ci chiediamo quando tale insieme un sottogruppo diG; abbiamo le proposizioni seguenti

Proposizione .

HK un sottogruppo di G se e solo se gli insiemi HK e KH coincidono.

Dimostrazione. Supponiamo che H Ksia un sottogruppo. Dato un elemento h k HK, anchelelementohk HK, quindikh =(hk) H K. Segue cheK HH K. Se invecexHK,anchex HK, quindix =hkconhekopportuni. Percix=kh K H; segueHKK H.

Supponiamo viceversa cheHK =K H. Verifichiamo che linsiemeHK un sottogruppo. Sex=hked y = hk, allorax y = hk hkma kh = hk, quindix y = hh kk HK. Inoltre, sex = hk ,allorax =kh =hk H K.

Proposizione .

Gli elementi diHKsi scrivono in modo unico come prodottohkconh He k Kse e solo se

H K ={e}.Dimostrazione. Seh H Kconh e , potremo scrivere (tenuto conto che ancheh H K):e =e e =h h e quindieammette due scritture diverse come prodotto di un elemento di He diuno diK.

Viceversa, sehk =hkconh h(e quindik k), allorah

h = kk

un elemento diverso daeche appartiene adH K.

Siano oraHe Kdue gruppi con elementi neutrieHed eKrispettivamente. Il gruppo prodottoH Kcontiene due sottogruppiH {eK}ed{eH} Kisomorfi adHeKrispettivamente. Talisottogruppi sono normali (come si verifica facilmente), ogni elemento del primo commuta conogni elemento del secondo ed un elemento(h,k) H Ksi scrive in modo unico come prodotto(h,eK) (eH,k)di un elemento del primo gruppo e di uno del secondo, e la loro intersezione costituita dal solo elemento neutro. Supponiamo ora che He Ksiano sottogruppi di un gruppoG(e quindieH =e K =e ). Ci chiediamo quandoG isomorfo adH Kattraverso lapplicazione H K Gdefinita da

(h,k

) hk .

Consideriamo le quattro condizioni seguenti:

. HK=G. H K={e}. ogni elemento diHcommuta con ogni elemento di K. HeKsono entrambi sottogruppi normali diG

Abbiamo la proposizione seguente


32/2


Proposizione .

un isomorfismo se e solo valgono (), () e () se e solo se valgono (), () e ().

Dimostrazione. Se un isomorfismo valgono le condizioni (), (), () e () per le considerazioni

precedenti.Supponiamo valgano le condizioni (), () e (): la () ci garantisce che la un omomorfismo:infatti in questo caso

(h,k) (h,k)= hk hk =hh kk =(hh,kk )La condizione () ci d la suriettivit e la () liniettivit, per la proposizione ..Segue che isottogruppiHe Ksono sottogruppi normali diG in quanto corrispondono attraverso la aisottogruppiH {eK}e{eH} K. Possiamo anche verificare direttamente la normalit diHeK:infatti sianoh Hed hk G; allora

hkh

(hk

)

=hkhk h

=hhh

H

segue cheH invariante per coniugio, cio che normale inG. Analogamente perK.

Supponiamo ora che valgano le condizioni (), () e (): baster dimostrare che da queste segue la(). Sianoh Hek K; abbiamoh(khk) HperchH Ge(hkh)k KperchK Gquindihkhk = e , ciohk = kh.

. Centro

Dato un gruppoG, il suocentro linsiemeZ(G)degli elementi diGche commutano con ognielemento, cioZ(G) ={zG z a = azper ognia G}. Gli elementi diZ(G)sono lasciati fissida ogni automorfismo interno, quindi Z(G) un sottogruppo normale.Gruppidimatrici

Proposizione .

Il centro diGLn(R) e diGLn(C) formato dalle matrici scalari.Dimostrazione. SiaG = GLn(R)oppureG = GLn(C)e siaZil centro diG . chiaro che unamatrice scalare commuta con ogni altra matrice, e quindi appartiene aZ. Supponiamo ora cheA =(ai j)sia un elemento diZ. Siano

B=

n n

C=

PoichAB = BA, paragonando gli elementi di posto(i,j)di entrambi i prodotti, vediamo che sei j, alloraa i j =, cioA diagonale. Confrontando ora gli elementi di posto(, )inACeC A


33/2

. Centro

vediamo chea =a. Analogamente si dimostra che tutti gli elementi sulla diagonale diAsonouguali.

Proposizione .

ZO()={I}Dimostriamo prima il seguente

Lemma.

Se A O()ed A commuta con ogni elemento diSO(), allora A SO().Dimostrazione. Ricordiamo cheSO() il gruppo delle rotazioni cos sen sen cos . Se A = a bc d,allora

Acos sen sen cos =a cos + b sen a sen + b cos cos sen

sen cos A =a cos c sen b cos dsen

Essendo per ipotesi i due prodotti uguali, otteniamob = cea = d. Segue che det(A) = a +b >e che quindiA SO().Dimostrazione della proposizione.. Se A ZO(), allora A SO()per il lemma, cioA = cos sen sen cos per un opportuno. Abbiamo

A

=cos sen sen cos

A = cos sen sen cos

e quindi sen =. Segue cheA {I}.Poich le matrici inSO()rappresentano le rotazioni del piano intorno allorigine, chiaro che ilgruppo SO() commutativo, cio Z(SO())=SO().Per calcolare il centro dei gruppi SO(n), U(n), SU(n) utilizzeremo la seguentestrategia: dapprima,per ciascuno di questi gruppi, determineremo un sottogruppo commutativoT isomorfo ad unprodotto di copie diS con la propriet che se un elementoxdel gruppo commuta con tutti glielementi del sottogruppo T allorax T. Tale sottogruppo sar dettotoro massimalestandard delgruppo. Successivamente, determineremo facilmente il centro.

Proposizione .

SiaG =SO()e poniamo T = TG = R doveR la matrice diSO()che rappresentala rotazione per langolo. Se A SO()commuta con ogni elemento di TGallora A TG .


34/2


Dimostrazione. Sialendomorfismo diR rappresentato daAnella base standard{e, e, e}.Sial endomorfismo definito da(e)= e,(e)= e,(e)= e. La matriceBche rappresentanella base standard quindi R

.

Dimostriamo che il pianogenerato dae e e stabile per : basta dimostrare che

(e

) =

e. Ora,(e) = (e) = (e)e quindi(e) un autovettore di con autovalore . Taleautospazio -dimensionale e generato da ee quindi(e) = e; infatti per lortogonalit di, il vettore(e) unitario. Segue che la restrizione dia un elemento diO(). LipotesicheAcommuti con ogni elemento di T significa che la restrizione diacommuta con tutti glielementi diSO(); quindi, per il lemma.,A della forma( R

). Infine, essendodet(A) = ,A =( R ) T.Proposizione .

SiaG =SO()e poniamo T = TG = R R doveRedR sono rotazioni inSO(). SeA SO()commuta con ogni elemento diTGallora A TG .

Dimostrazione. Nella base standard{e, e, e, e}, siano V il sottospazio generato da{e, e}eW = V, il sottospazio generato da{e, e}. Una matrice di T corrisponde quindi, nella basestandard, ad un endomorfismo che rispetta la decomposizione R = VV = V W e tale che lerestrizioni a V e a W sono elementi diSO(). Siaun endomorfismo diR rappresentato da unamatriceAche commuta con tutti gli elementi di T. Siaun endomorfismo diR rappresentatoda una matriceB T e tale cheV =VmentreW W. In particolare,W una rotazione enon fissa nessun vettore non nullo diW. Avremo

(e)= ae+ ae+ ae+ ae(e)= ae+ ae+ (ae + ae)(

e)

=

(e

)Quindi deve essereae + ae = (ae + ae), da cui, per quanto appena notato,ae + ae =e perci(e) V. In modo analogo si dimostra che (e) Ve che(e) W,(e) W.Segue cheV O()ed analogamenteW O(). Tuttavia deve commutare con tutti gliendomorfismi costituiti da una rotazione in Ve lidentit su V e analogamente per W. Per illemma.,A TG .

Possiamo facilmente generalizzare questi due casi particolari ai casi SO(n + )e SO(n):Proposizione .

Sia G =SO

(n +

)e poniamo

T = TG =

R

Rn

Allora TG isomorfo al prodotto din copie diS. Se A G commuta con ogni elemento di TG

allora A TG .


35/2

. Centro

Proposizione .

Sia G =SO(n)e poniamo

T = TG =

R

Rn

Allora TG isomorfo al prodotto din copie diS. Se A G commuta con ogni elemento di TG

allora A TG .

Proposizione .

Sia G =U(n)e poniamoTG =

ei

ein

(linsieme delle matrici diagonali diU(n)). AlloraTG isomorfo al prodotto dincopie diS. Se

A G commuta con ogni elemento di TGallora A TG .

Dimostrazione. Sialendomorfismo diCn associato, nella base standard{e, . . . , en}diCn, allamatriceA. In particolare,commuta con tutti gli endomorfismi rappresentati nella base standarddalle matrici diT che hanno + come elemento di posto (, ); se un tale endomorfismo avremo

(e)= (e)(e)= (e)

Quindi(e) un autovettore con autovalore per ogni endomorfismodi questo tipo. Daltraparte, dato un qualsiasi vettorevche non sia multiplo di e, esiste un taleper cui(v) v. Segueche(e) un multiplo di e:(e) = e. In modo analogo si dimostra che(ei) = iei , perognii =, . . . , n; cio rappresentato da una matrice diagonale.

Proposizione .

Sia G =SU(n)e poniamo

TG =

ei

ein

n

i

i =k, con k Z

(linsieme delle matrici diagonali diSU(n)). Allora TG isomorfo al prodotto din copie diS. Se A G commuta con ogni elemento di TGallora A TG .

Dimostrazione. Nel cason = , le matrici di TGpossono essere scritte sotto la forma e i ei :baster infatti sceglieree tali che


36/2


isomorfo adS. Nel cason > , alla matrice e i ei n

con i =k, associamo la matrice

e i(n)

e i(n)

e i(nn)

Lasciamo al lettore la verifica che in tal modo si ottiene un isomorfismo fra TGed il prodotto di(n )copie diS. La dimostrazione della seconda affermazione identica al caso di U(n).Calcoliamo ora il centro dei gruppi SO(n), U(n), SU(n).Proposizione .

Se n , alloraZ

(SO

(n

)) formato da matrici scalari.

Dimostrazione. SiaG =SO(n). Abbiamo visto che seA Z(G), alloraA deve appartenere a TG ,quindiA della forma R

. Sia

B=

I

Lelemento di posto(, )diBA , mentre lelemento di posto(, )diAB sen(); quindideve esseresen()=. Analogamente si vede che tutti gli elementi fuori della diagonale di A sononulli mentre i termini sulla diagonale sono tutti .

Dimostriamo ora che tutti gli elementi diagonali sono uguali. SiaCla matrice che corrispondeallendomorfismo che scambia il primo elemento della base standardeconei . La condizione

AC =C Aimpone che gli elementi di posto(, )e(i,i)diAsiano uguali: infatti, seA =(ai j),avremoa =(AC)i =(CA)i =a ii

Corollario .

Abbiamo:

Z (SO())= SO(), Z (SO(n))={I}se n Z (SO(n + ))={I}per ogni n

Osservazione.. Nel caso diG =SO(n + ), possiamo ragionare anche nel modo seguente:indichiamo con Tiil sottogruppo formato dalle matrici diagonali a blocchi aventi + nel posto(i,i)ed altrimenti blocchi corrispondenti a rotazioni. Il gruppo Tnnon altro che TGed igruppi Tisono coniugati fra loro; inoltrei Ti ={I}.Ragionando come nel caso di Tn = TG , si vede che seA commuta con gli elementi di Ti , alloraA Ti . Segue che seA Z(G), alloraA i Tie quindiA =I.


37/2

. Centro

Proposizione .

Abbiamo:

Z (U(n))={eiI R} S Z (SU(n))={e

ki

n

I k = , . . . , n } nDimostrazione. SiaG = U(n)e TG il suo toro massimale standard. Una matrice A Z(G)commuta, in particolare, con tutti gli elementi di TG , e quindi A TG ; cio A una matricediagonale. Sia Bla matrice che scambia il primo elemento della base standard e cone i . LacondizioneAB = BA impone che gli elementi di posto(, )e(i,i)diA siano uguali. Segue cheA una matrice scalareIe naturalmente =ei un numero complesso di modulo uno. Viceversa,sappiamo gi che ogni matrice scalare commuta con ogni matrice.

Nel casoG =SU(n)possiamo procedere nello stesso modo, ottenendo che una matrice A Z(G) della formaA =eiI. Dato chedet(A) =ein deve essere uguale ad uno, segue che e i =, doven =.

Diamo ora la dimostrazione di alcune proposizione che utilizzeremo nel seguito.

Proposizione .

Una matrice A diSO()ammette semprecome autovalore.Dimostrazione. Il polinomio caratteristico diA dellaforma x+ax +bx+ con tuttii coefficientireali: esiste quindi un autovalore reale . Sappiamo inoltre che gli autovalori, reali o complessi,hanno valore assoluto uguale ad uno e che il loro prodotto uno. Se gli autovalori sono tutti reali,uno di essi deve essere ; se due sono complessi coniugatied , allora =detA = e dunque= .

Proposizione .

Una matrice A diSO() coniugata ad una matrice B della formaB =

C

dove CSO(), e quindi A rappresenta una rotazione diR intorno ad un asse.Dimostrazione. Sialautomorfismo diR corrispondente adAnella base standard. Sia poivun vettore di norma tale che

(v

)= v(tale vettore esiste per la proposizione precedente). Sia

il piano ortogonale av. Fissiamo una base{v,v}ditale che F ={v,v,v}sia una ternaortonormale con la stessa orientazione della base canonicaE in modo che la matrice di passaggioPda E ad F sia inSO(). La terna{(v), (v), v =(v)} ancora una base ortonormale equindi{(v), (v)} una base ortonormale di, il quale risulta cos stabile per. Nella base Fla rappresentata da una matriceBdella forma desiderata, doveCrappresenta la restrizione dia. Dato chedet B = detA=, alloradet C= e quindiCSO()e rappresenta una rotazionenel piano. Si noti cheB = PAPdoveP SO().


38/21


Proposizione .

Sia un endomorfismo di Rn rappresentato nella base standard da una matriceA O(n).Allora esiste un sottospazioV, stabile per, condim(V).

Dimostrazione. Per ipotesiA

=t

A. Sialendomorfismo +

= +

, rappresentato dallamatriceB = A + tA nella base standard. La matriceB simmetrica quindi ammette un autovalore ;sia x un autovettore relativo a. Avremo (x)= x= (x)+ (x) da cui(x) = (x)+ x.Segue che(x) una combinazione lineare dixe(x). Il sottospazio V generato daxe(x)risulta quindi stabile per laed ha la dimensione voluta.

Proposizione .

Sia A O() SO(). Allora esiste B SO()tale che BAB= C con C=( ).Dimostrazione. Gli autovalori diA sono . Basta allora scegliere una base ortonormale di auto-

vettori orientata come la base standard.

Proposizione .

SiaCla matrice( ), allora le quattro matrici C CdiSO()sono coniugate, inSO(),alla matrice I I.

Dimostrazione. Lasciata al lettore.

Unimportante propriet dei tori massimali data dal seguente

Teorema .

Sia G =U(n), SU(n), SO(n)e T = TGil corrispondente toro massimale standard. AlloraG =

xG

xTx

cio ogni elemento di G contenuto in un coniugato di T.

Dimostrazione. SiaG =U(n). Il sottogruppo T allora formato dalle matrici diagonali di U(n).Data una matriceA U(n), noto che esiste una base ortonormale formata da autovettori di A;cio esisteB U(n)tale cheD = BAB diagonale.SiaG =SU(n). Il sottogruppo T formato dalle matrici diagonali diSU(n). DataA SU(n),sappiamo che esiste B U

(n

)tale D = BAB diagonale ed appartiene adSU

(n

)(perch

det(D) =det(A)). SeB SU(n)abbiamo concluso; in caso contrario, sia C tale che n =(det B): la matriceC=B SU(n)eD = BAB =C AC. QuindiAsi diagonalizza con unamatriceCSU(n).Nel casoG =SO(n), ci limitiamo a dare la dimostrazione perSO()edSO(), dato che il casogenerale si ottiene facilmente con analoghe considerazioni.

SeG =SO(), baster applicare la proposizione..


39/21

. Generatori e relazioni

Nel casoG = SO(), dimostriamo che vi sono due piani stabili ed ortogonali. Infatti per laproposizione.sappiamo che esiste un sottospazio stabile di dimensione uno oppure due. Se un piano stabile, allora anche = stabile; ser una retta stabile, alloraW =r

stabile e didimensione tre: applicando aWnuovamente la proposizione.,otteniamo una decomposizione

ortogonale diWin un piano stabile e nella retta ortogonale, e proseguiamo nello stesso modo.Seesono i due piani di cui sopra, possiamo scegliere delle basi{v,v}die{v,v}diin modo che la base{v,v ,v,v}diR abbia la stessa orientazione della base standard. LamatriceA allora coniugata inSO() ad una matriceB = B B dove le matriciBiappartengonoentrambe adSO()oppure entrambe aO() SO(). Nel primo caso abbiamo terminato, nelsecondo caso la matrice B coniugata inSO(), per la proposizione., ad una delle quattromatrici C CconC=( ). Utilizzando la proposizione.concludiamo che la matriceA coniugata in SO()alla matrice I I.


Lettere e parole

Sia A un insieme qualsiasi, non necessariamente finito, e consideriamo tutti i simboli della formaa oa cona A: chiamiamoalfabetolinsieme{a,a a A}eletteraogni suo elemento.Mettendo un numero finito di lettere una a fianco allaltra possiamo formare una parolaw =x x

x

nn , dovexi A ed i = . Ad esempio, se A ={a, b, c}sono paroleaabc,caa,

b. Consideriamo fra le parole anche quella vuota, ottenuta usandonessuna lettera, e la chiamiamo.

Diciamo che una parola ridottase non contiene nessuna sequenza del tipoxx oxx. Adesempio aabc e b sono ridotte mentre caa non lo . Da una parolaw non ridottapossiamo ottenerne una nuova cancellando tutte le coppiexx exx: diciamo che due parolesono uguali se, una volta ridotte, coincidono. Quindicaa =c eabba =aa =.

Gruppi Liberi

Possiamo comporre due parole giustapponendole e poi riducendo; questa operazione induce unastruttura di gruppo sull insieme delle parole ridotte, in cui la parola vuota funge da identit mentrelinverso diw = x x

x

nn w

= xnn x x

. Chiamiamogruppo liberogenerato da A

questo gruppo.

Ad esempio, il gruppo liberoL generato da A ={a} formato da , dalle parole della formaaa . . .a eaa . . .a. Se introduciamo la convenzione di indicare il prodotto dincopie dia conan, dincopie dia conan e di nessuna copia (cio la parola vuota) con a; possiamoscrivereL ={an n Z}dovean am =an+m. Otteniamo cos un isomorfismo traLeZ.Notiamo che il gruppolibero generato da unalettera lunico commutativo: infatti seA comprendedue lettere distinteaeb, alloraab ba: sono entrambe parole ridotte e non coincidono.


40/2


Relazioni

Dato un alfabeto A ed un insieme R di parole, diciamo che le parolewew sono equivalenti sew

pu essere ottenuta dawinserendo e cancellando un numero finito di parole ror conr R.Lasciamo al lettore il compito di verificare che questa una relazione di equivalenza. Sullinsieme

quoziente possiamo introdurre una operazione di composizione ottenuta componendo nel modosopra descritto i rappresentanti delle classi di equivalenza. Otteniamo in questo modo un gruppo,denotatoA R, a partire dalla coppia(A,R). Tale coppia anche detta una presentazionedelgruppoA R. Chiamiamogeneratoridel gruppo gli elementi di A erelazioniquelli di R.Esempi

. Il gruppoA il gruppo libero generato daA. Indicheremo questo gruppo anche comeA.. SiaG il gruppo{a} an, conn intero positivo. Poich{a} isomorfo aZ, vediamo

facilmente cheG isomorfo aZ

nZ.

. SiaG ={a, b} ab ab. Abbiamo alloraab =(abab)ab = babaab = babb = ba

Segue subito che a mbn = bn am per qualsiasi coppia di interi m ed n . Ogni parolaw =am bn am bn ams bns quindi R-equivalente ad ambn dove m =mi ed n =ni .Vediamo quindi cheG isomorfo aZ Z.

. Per comodit indicheremo spesso una relazione rtramite unequazione r = e; useremoancher =rper indicare la relazione data dalla parolarr. Con questa convenzione, ilgruppoGdel punto precedente pu essere descritto anche come{a, b} ab = ba

. SiaG ={, } =, =, = }, dove lultima relazione un modo pi comodoper scrivere = o equivalentemente = . Gli elementi diG sono allora{,,, ,,}. immediato verificare che questo gruppo di sei elementi S.

Diamo ora una descrizione pi precisa del gruppoA R.Quozienti del gruppo libero

Dati un alfabeto A ed un insieme di relazioni R, sianoLil gruppo libero suA eGil gruppo A R.Sia L Gla mappa naturale definita da(x) = x, dove xindica la classe dixmodulo larelazione di equivalenza definita dalle relazioni. ovviamente suriettiva, quindi lisomorfismocanonico ci dG L ker().Ogni relazione in Rsta inker(); inoltreker() normale inL. Segue cheker()contieneil normalizzato N(R)di Rin L. Daltra parte, se w ker()alloraw si ottiene dallidentitinserendo e cancellando un numero finito di parole r, r R; possibile dimostrare, in modoestremamente tedioso, che allorawha la formaxrx conr N(R) e che quindiw N(R). Segueche ker() = N(R). Abbiamo cos mostrato che


41/2


Proposizione .

SiaL il gruppo libero sullalfabeto A e siaN(R)il normalizzato di R inL. AlloraA R LN(R). Viceversa, seG =LN un quoziente del gruppo libero sullalfabetoA alloraG =A R, dove R L ha normalizzato N (al peggio possiamo prendere R =N ).

Se R R alloraN(R) N(R), come segue dalla definizione di normalizzato. Abbiamo perciuna mappa suriettivaLN(R) LN(R)compatibile con le mappe canoniche da L. In altreparole,

Proposizione .

Se R R alloraA R un quoziente diA R.Infine, seG un gruppo qualsiasi, consideriamo lalfabeto A ={x x G}dato dagli elementidiG. SiaLil gruppo libero su A. Possiamo definire una mappaL Gche associa alla lettera xlelementox: la mappa chiaramente suriettiva e seN il suo nucleo, abbiamoG L

N. Segue

quindi dalla proposizione.che

Teorema .

Ogni gruppo pu essere presentato nella formaA R.Ovviamente un gruppo pu essere presentato in pi modi, ed in generale non affatto semplicericonoscere il gruppo dalla presentazione. Vediamo ora alcuni esempi notevoli

GruppiDiedrali

SiaDnil gruppo presentato da{, } n

=,

=, =

}. In particolare abbiamo chesr =r ses pari mentre, ses dispari,sr = r =r =r = = r

Ogni parola r sr s rtst pu essere quindi riscritta nella forma rs conred s interiopportuni tali che r e cheD =S.

Il sottogruppo

generato da un gruppo ciclico di ordinen : segue che lordine di m

n(m, n). Abbiamo invece(m) = m(m) = mm =, per cui tutti gli elementiche non sono potenze di hanno ordine due.Quaternioni

SiaH il gruppo presentato da{a, b} a =, b =a, ba = ab. Abbiamo cheb =(b) =(a) =a =. Ragionando come sopra, ogni parola della formaam bn am bn amtbnt uguale


42/2


aa mbn conm ed n interi opportuni tali che m


43/2

. Abelianizzato

Proposizione .

Ogni omomorfismo di un gruppo G in un gruppo commutativo T si fattorizza attraverso Gab:

Gf

T

Gabf

Esempi

. SiaG =S. AlloraGab ={, } = =, = ; = . Ne segue che =,cio =e =. Il gruppoGab quindi dato dalla sola, ed perci isomorfo aZZ.Questo mostra, in particolare, che labelianizzato di un gruppo pi piccolo del gruppodi partenza.

. SiaG =

{a, b

}

. Sew =a m bn am bn ams bns Gab possiamo ridurrewnella forma

ambn conm = mied n = niinteri. Otteniamo cos un isomorfismo fraGab eZ Z.. Ragionando come nellesempio precedente, possiamo vedere che labelianizzato di ungruppo libero sunlettere isomorfo adncopie diZ.

Dati due elementi xed ydi un gruppoG , chiamiamox yxy il lorocommutatore: xed ycommutano se e solo se x yxy =. ChiamiamoderivatodiGil sottogruppoG generato datutti i commutatori. ChiaramenteG ={}se e solo seG abeliano, per cui il derivato misura ilgrado di commutativit di un gruppo.

Proposizione .

Il derivato di un gruppo normale.

Dimostrazione. Ci basta notare che

x(abab)x =x axxbxxaxxbx =(xax)(xbx)(xax)(xbx)

Esempi

. SiaG =A n, il gruppo alterno di grado n. Se n , An semplice per il teorema.;ma

(An

)

{

}perchAnnon commutativo, quindi

(An

) coincide necessariamente conAn.

Se n = , An ZZche abeliano, per cui(A) ={}. Lasciamo al lettore il compitodi dimostrare, infine, che(A) il gruppo delle doppie trasposizioni (che normale perlesercizio.).

. Consideriamo oraSn, il gruppo simmetrico di gradon. Un commutatore il prodotto diquattro permutazioni, per cui pari e sta in A n. Se n , segue dal corollario.che(Sn) =An. Lasciamo al lettore il compito di verificare che questo vero anche sen < .


44/2


Consideriamo ora il quoziente GG: se G abeliano, alloraGG = G. In generale abbiamoyx G = yx(xyx y)G = x yG , per cui GG abeliano. Lasciamo al lettore il compito didimostrare il seguente

Lemma .Se H G allora GH commutativo se e solo se G


45/2

. Abelianizzato

Esercizio.. SianoK


46/2



47/2

Azione di gruppi

. Classi di coniugio

SiaGun gruppo. Per ognia G consideriamo linsiemeCl(a) ={xax, x G}. Tale insieme detto laclasse di coniugiodiaed i suoi elementi, detticoniugatidia , sono le immagini di aattraverso gli automorfismi interni diG. Ogni elemento appartiene alla propria classe di coniugioe le classi di coniugio danno una partizione di G in quanto la relazione di coniugio relazionedi equivalenza. La classeCl(a)si riduce al soloaquandoacommuta con tutti gli elementi delgruppo, cio quando appartiene al centro Z(G).Esempi

. SiaGil gruppo GLn(R): la relazione di coniugio la relazione di similitudine.. Sia Gil gruppo SU(): due matrici di Gsono coniugate se sono simili attraverso una matrice

diG. Vedremo pi avanti che ogni matrice diGsi diagonalizza con una matrice di G(vedipag.). Quindi una matriceAdiSU() coniugata ad una matrice diagonale avente sulladiagonale due numeri complessi coniugati di modulo uno, che sono gli autovalori di A,radici del polinomio caratteristicox Tr(A)x+ .Due tali matriciA =

(

)eB =

hanno lo stesso polinomio caratteristico se e solo

se = oppure = . Nel primo casoA =B, nel secondoB = X AX doveX =( ). Inentrambi i casi,AeBsono coniugate.

La classe di coniugio Cl(A) dunque individuata dalla traccia Tr(A).. SiaG il gruppoS. Fissatox G, la mappaa xax

un automorfismo, e quindi a exax hanno lo stesso ordine. Segue cheCl(e) ={e}e cheCl(){,}; poich = = =, vale luguaglianza. Nello stesso modo si mostra cheCl()={,,}.

. Azione di gruppo

SiaX uninsiemee T(X) il gruppo delleapplicazioni biunivochediX in s con la composizione delleapplicazioni. Dato un gruppoGdiciamo cheG agiscesu X attraversose un omomorfismodiG in T(X). Ci significa che per ogni g G,(g) una trasformazione biunivoca di X ins tale che (gh) = (g) (h). In particolare(e) la trasformazione identica e (g)la trasformazione inversa di(g). Se non vi sono equivoci si scriver g(x)o g xal posto di(g)(x).


48/21

Azione di gruppi

Esempi

. SiaVuno spazio vettoriale di dimensionensu un campoK. Se fissiamo una base E diV,possiamoassociaread ognielemento di GLn(K) un automorfismo di V,ciounisomorfismolineare diVin s. Otteniamo in questo modo un omomorfismo di GLn

(K

)nel gruppo

Aut(V)degli automorfismi lineari diV, che un sottogruppo diT(V). Il gruppoAut(V)verr nel seguito denotato anche GL(V).. SiaGun gruppo. Sex un elemento diG, lautomorfismo internoa xax determinato

daxmandaGin s in modo biunivoco. Otteniamo in questo modo unazione diGsu sestesso, dettaazione per coniugio: infatti sex,y Gallora(x y)a(x y) =x(ya y)x.

. Siano xe Gcome sopra. Alloraa ga ancora unazione di Gsu se stesso, detta traslazionesinistra. In maniera simile, anchea ag unazione diGsu se stesso, dettatraslazionedestra.

Orbite, stabilizzatori

Data unazione di un gruppoGsu un insieme X, lorbitadi un elementoxdi X linsieme

O(x)={y X y= g(x), al variare di ginG}Lappartenenza ad una stessa orbita una relazione di equivalenza, per cui le orbite danno unapartizione di X. Diciamo che G agiscetransitivamentesu X se esiste una sola orbita, coincidentenecessariamente con X; ci significa che fissatox X, ogni altro y X della forma g(x)perqualchegG . Diciamo invece che lazione fedelese lunite lunico elemento gGtale cheg(x)= xper ognix X; in altre parole lomomorfismoG T(X) iniettivo.Lo stabilizzatoredi un elementoxdi

X il sottogruppoS(x)diG dato da{g G g(x) = x}.Lo stabilizzatore dixforma un sottogruppo perch se g,h S(x)allora(gh)(x) = gh(x) =

g(x)= xmentrex =g(x)implicax =g(x).Nellesempiolazione transitiva suV {}; mentre, sex il primo vettore della base E, alloraS(x) il sottogruppo delle matrici che hanno come prima colonna il trasposto di(, , . . . , ).Nellesempiolorbita dia la classe di coniugioCl(a), mentre il suo stabilizzatore l insieme{xG x a = ax}. Nellesempiolazione transitiva e lo stabilizzatore banale per ognia G :possiamo cos identificareGcon un sottogruppo di T(G).Lasciamo al lettore la dimostrazione della seguente

Proposizione .Data lazione di un gruppo G su un insieme X e fissato x X, linsieme delle classi laterali

sinistre G S(x) in corrispondenza biunivoca conO(x)attraverso lapplicazione che associaalla classe diglelementog(x). In particolare, seG finito, lindice[G S(x)] uguale allacardinalit oO(x)dellinsiemeO(x), per ogni x X.

Poich le orbite formano una partizione di X segue dalla proposizione.che


49/21

. Azione di gruppo

Proposizione .

SeGagisce su un insiemeXfinito di cardinalito(X), allorao(X) = xC[G S(x)], doveCcontiene un elemento x per ogni orbita.

Esempi

. SiaGun gruppo eCl(a)la classe di coniugio di un suo elemento. Dato che ogni automorfi-smo interno mandaCl(a)in s biunivocamente,Gagisce suCl(a)con gli automorfismiinterni (cio per coniugio). Tale azione transitiva.

. SiaG il gruppoGLn(R)ed X lo spazio vettorialeSn(R)delle matrici reali simmetrichen n. Il gruppoGagisce su X per congruenza. Per il teorema di Sylvester ed il teorema didiagonalizzazione di matrici simmetriche reali con matrici ortogonali sappiamo che duematriciAeBdiSn(R)appartengono alla stessa orbita quandoP(A) = P(B)ed N(A) =N(B), doveP(e rispettivamenteN) indica il numero di autovalori positivi (rispettivamentenegativi). Le orbite sono caratterizzate dalla coppia di interi naturali(P,N), dove P+ N n.

Centralizzante

Sea G , chiamiamocentralizzantedialinsiemeZ(a) ={x G a x=x a}: lasciamo al lettoreil compito di verificare direttamente cheZ(a) un sottogruppo diGe cheZ(G) = aGZ(a). Seconsideriamolazione di Gsu se stesso per coniugio,abbiamo visto che lo stabilizzatore dia ilsuocentralizzante e che lorbita dia formata dai suoi coniugati. Segue quindi dalla proposizione.che

Proposizione .

Se G un gruppo finito, allora ogni elemento a ha[G Z(a)]coniugati.Osservazione.. Osserviamo che le condizioni seguenti sono equivalenti

. a Z(G). Z(a) = G. Cl(a)={a}

Lequazione delle classi

Applicando la proposizione.allazione per coniugio di un gruppo su se stesso otteniamo

Teorema . (Equazione delle classi)

Sia G un gruppo finito. Allora

o(G) = oZ(G) + aC

[G Z(a)]dove C contiene un elemento a per ogni classe di coniugio contenente pi di un elemento.


50/2

Azione di gruppi

. I teoremi di Sylow

Fissiamo in questo paragrafo un gruppoGdi ordinepk mconmnon divisibile per p.

Teorema . (Primo teorema di Sylow)G ha un sottogruppo di ordine pk . Chiamiamo p-Sylowun simile sottogruppo.

Dimostrazione. Sia X la famiglia di tutti i sottoinsiemi diG di ordine p k: lordine di X pk mpk

doveab = a!(a b)!b! indica il coefficiente binomiale. Il gruppo G agisce su X nel modo

seguente: se X ={x, . . . xpk} X, poniamog(X) = gX ={gx, . . .gxpk}. C almeno unorbitadi X il cui ordine non divisibile per p: infatti, se lordine di ciascuna fosse divisibile per p, losarebbe anche la somma dei loro ordini, cio lordine di X; ma per il lemma.,questo non possibile.

Sia ora Auna tale orbita ed Xun suo elemento. Poniamo H = S(X): per la proposizione.,o(G)o(H)= o(A), che non divisibile perp; quindio(H)= p

k

m

conm

non divisibile perp.Fissiamox X G. Se gHallorag x X. Ma ig x, congche varia inH, sono tutti distinti, percui sono al pipk; cioo(H) pk . Segue cheo(H) = p k e cheH un p-Sylow.Lemma .

Sia m un intero non divisibile per p. Allora p non dividepk mpk.

Dimostrazione. Abbiamo

pk mpk

= pk mpk

pk m

pk

pk m

pk . . .

pk m pk +

pk pk +

Notiamo che, per quanto i singoli fattori(pk m i)(pk i)non siano in generale degli interi, illoro prodotto lo . Vogliamo mostrare che, per ogni tale fattore,pnon divide n il numeratore nil denominatore. Se j kabbiamo chepk m i p k imod pj. Quindi la massima potenza di pche dividepk m idivide anchepk i, e viceversa: per cui la stessa.

Poichp non divide n il numeratore n il denominatore di ogni fattore(pk m i)(pk i), nondivide neppure il loro prodotto, ciopk m

pk, come volevamo dimostrare.

Teorema . (Secondo teorema di Sylow)

Tutti i p-Sylow di G sono coniugati fra di loro.

Dimostrazione. SianoSed Rdue p-Sylow diG. Il sottogruppoRagisce sulle classi laterali destreGSper traslazione:r(gS)= r gSdoverRegG. Per la proposizione.,il numero di elementidi unorbita divideo(R), per cui una potenza di p. Ma le orbite formano una partizione diGS,il quale ha ordinem , e quindim somma di potenze di p. Poich pnon divide m, segue chealmeno una di queste potenze = p. In altre parole esiste unorbita banale R(gS) = g S, cioR g S g. Poicho(R)= o(S), abbiamoR = g S g.


51/2

. Gruppi di ordine trenta

Corollario .

G ammette un solo p-Sylow se e solo se questo normale

Dimostrazione. Ricordiamo che un sottogruppoHdiG normale seg Hg =H, per ogni gG .

Il corollario segue subito dal teorema.

Teorema . (Terzo teorema di Sylow)

Sia npil numero dei p-Sylow. Allora np mod p ed np un divisore di m.

Dimostrazione. Fissiamo unp-SylowS. Questi agisce per coniugio sullinsieme deip-Sylow: sex S eQ un p-Sylow, allorax Qx ancora unp-Sylow. Per la proposizione.,il numero dielementi di unorbita divideo(S), per cui una potenza dip. Abbiamo almeno unorbita di ordineuno: lorbita diSstesso. Vogliamo mostrare che lunica, da cui seguirebbe chenp mod p.

Supponiamo che per ognix Ssia x Qx = Q. AlloraS un sottogruppo del normalizzanteN

(Q

)diQ . PoichQ


52/2

Azione di gruppi

Supponiamo ora che n =. Sia Hlunico, e perci normale, -Sylow di G. Ragionando come sopra,si mostra che anchen =, cio cheGha un unico, e perci normale, -Sylow, che chiamiamo H.

Notiamo che H e Hsono entrambi ciclici, essendo di ordine primo, e quindi commutativi;diciamoH =

x

eH =

y

. Abbiamo pure che, in generale, vale il seguente

Lemma .

SianoHe Kdue sottogruppi normali diG . Se gli ordini diHe Ksono finiti e relativamente

primi, allora h k = kh per ogni scelta di h H e k K.

Dimostrazione. Il sottogruppo H K dato dalla sola identit, dovendo il suo ordine divi-dere {o(H), o(K)} = . Ragionando come nella dimostrazione della proposizione .concludiamo chehk = khper ogni scelta dih Hek K.

Il sottogruppo x,y pertanto commutativo ed ogni suo elemento ha la formaxiyj coniejintericompresi fra zero e, rispettivamente, due e quattro. In particolare,

x,y

ha ordine quindici. Sia

ora = x y: il suo ordine divide quindici, ma =x y e , =xy = y e e =xy =x e ;lordine di quindi quindici ex,y il gruppo ciclico generato da . Notiamo chex = mentrey= .

Siaun elemento di ordine due inG : chiaramente. Gli elementi della formak conk = , , . . . , ed =, sono tutti distinti e sono trenta, per cui sono tutti gli elementi di G .Consideriamo ora : dobbiamo avere necessariamente =dper qualche interod(perch?).Lasciamo al lettore il compito di verificare che in generale k = kd. Daltro canto

() =(d)()= d = d+(d) =d(d) =dd =d(d+)

Quindidsoddisfa lequazioned+ d(d+ )mod . Abbiamo, modulo ,d

d+ d(d+ )

Gli unici valori possibili per sono pertanto,,oppure. Studiamo ciascun casoseparatamente.

= Tutti gli elementi diGcommutano. Lasciamo al lettore il compito di verificare chehaordine trenta e che quindiG un gruppo ciclico.

= Una presentazione diG, =e , =e , =. Segue cheG il gruppodiedraleD.

= Poichx = ed y=, abbiamo

x= = =x =x, y= = =y

Una presentazione diG perci:

x,y, x =e , y =e , =e , x y= y x, x=x,y= y


53/2

. Gruppi di ordine trenta

SianoD = , =e , =e , = , = =e

rispettivamente il gruppo diedrale di ordine dieci ed il gruppo delle radici cubiche dellunit.Definiamo una mappaf D Gtramite f

(

)= y, f

(

)= e f

(

)= x. La mappaf

un omomorfismo perch rispetta le relazioni che definiscono i due gruppi ed chiaramentesuriettiva. PoichGeD hanno lo stesso ordine, f un isomorfismo.

= Ragionando come sopra, abbiamo chex=x =xe chey= y = y. Per cui,una presentazione diG:

x,y, x =e , y =e , =e , x y= y x,x=x,y= ySiano

D =, =e , =e , = , = =erispettivamente il gruppo diedrale di ordine sei (cio S) ed il gruppo delle radici quinte

dellunit. Se definiamo una mappa f

D

Gtramite f()=

x, f()=

e f()=

y possibile mostrare, analogamente al caso precedente, che f un isomorfismo.

Ci rimane da dimostrare che questi gruppi non sono isomorfi. Sianoedue elementi qualsiasidi ordine, rispettivamente, e ; vogliamo mostrare che se = dallora vale pure=d. Nesegue che il valore did indipendente dalla scelta di e, e che quindidcaratterizza in manieraunivoca ciascuno dei quattro gruppi.

PoichGha un solo sottogruppo di ordine , =e quindi = m per qualche interomrelativamente primo a (vedi pagina). Inoltre, poich,=nper qualche interon.Allora= n(m)= nmd =mdn =d.

Esercizi

Esercizio.. Si verifichi che la relazione di coniugio una relazione di equivalenza.

Esercizio.. SiaGun gruppo abeliano. Si verifichi che Cl(a)= aper ogni elementoa G.Esercizio.. Si verifichi chea Z(G)se e solo se Z(a)= G .Esercizio.. SeG un gruppo finito, si verifichi chea Z(G)se e solo seCl(a)consiste del soloelementoa.

Esercizio.. Per ogni elementoxSdefiniamo una mappa diSin s comea ax. Si verifichiche queste mappenondefiniscono unazione diSin s.

Esercizio.. Si dimostri che se due elementixed ydi X sono nella stessa orbita, allora i rispettivistabilizzatori sono coniugati.

Esercizio.. Si dimostri, utilizzando il teorema di Sylow, che sep un numero primo che dividelordine di un gruppoG, alloraGcontiene un elemento di ordine p. Questo risultato noto cometeorema di Cauchy.

Esercizio.. Si dimostri che se p un numero primo che divide lordine di un gruppoG, alloraGcontiene un sottogruppo di ordinepn per ogni esponententale che pn divide lordine diG.


54/2

Azione di gruppi

Esercizio.. Nelle condizioni dellesercizio precedente, esiste in genere un elemento di ordinepn?


55/2

Gruppi finiti di trasformazioni

Molti gruppi rappresentano le trasformazioni di un oggetto in s, ad esempio di un insieme dinelementi (il gruppo delle sostituzioni), di un poligono regolare nel piano (il gruppo diedrale), diuno spazio vettoriale in s (gruppi di matrici).

In realt ogni gruppo finito pu essere identificato con un sottogruppo di un opportuno gruppodelle sostituzioni:

Teorema . (Teorema di Cayley)

Ogni gruppo finito G di ordine n isomorfo ad un sottogruppo di S n.

Dimostrazione. Sia G ={x =e , x, . . . , xn} un gruppo. Definiamo unazione di Gsu {, , . . . , n}in questo modo: se gG,g(i)= jdoveg xi =xj. Lazione ben definita perche xi =ximentre(gh)(i) = gh(i)grazie allassociativit del prodotto diG . Lazione fedele perch g(i) = isignificag xi =xie quindig=e . Abbiamo cos definito un omomorfismo iniettivo daGinSn.

Fissato un interon, consideriamoRn con la base canonica{e, e, . . . , en}. Se Sn, possiamocostruire unapplicazione lineare da Rn in s, che chiamiamo ancora, tramite(ei) = e(i).Chiaramente definisce la trasformazione inversa, per cui, considerando le matrici associate,otteniamo:

Proposizione .

Il gruppo simmetrico Snpu essere identificato con un sottogruppo diGLn(R).Segue immediatamente che:

Corollario.

Ogni gruppo finito isomorfo ad un sottogruppo di GLn(R), dove n lordine del gruppo.

Si noti che in generale questa scelta di nnon ottimale (vedi anche gli esercizi.,.e.).

. Gruppo Simmetrico

Riprendiamo lo studio dei gruppi di sostituzione iniziato nel paragrafo..ChiamiamoSn,grupposimmetricodi gradon, il gruppo delle sostituzioni sunelementi, cio T({ , , . . . , n}).


56/2

Gruppi finiti di trasformazioni

Cicli

Ricordiamo che unciclo(x, x, . . . , xs)di lunghezzas una sostituzione che mandaxiinxi+,dove gli indici vanno intesi modulos, e che lascia fissi gli altri elementi.

Proposizione .

Un ciclo di lunghezza s ha ordine s.

Dimostrazione. Sia =(x, x, . . . , xs)un ciclo: dobbiamo verificare che s lidentit e cher eser< s. Abbiamo cher(x)= +rper ogni interor dove lindice va ovviamente intesomodulos. In generale abbiamo cher(x

Algebra e Topologia Per La Fisica(Canuto,Rizzo)

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