Politecnico di Milano Dipartimento di Matematica
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Politecnico di Milano Via Bonardi, 9 20133 Milano Partita Iva: 04376620151 Dipartimento di Matematica Tel. 02 2399 4505 - Fax 02 2399 4568 Codice fiscale: 80057930150 www.mate.polimi.it
Milano, 4 Novembre 2019
Politecnico di Milano Dipartimento di Matematica
“Progetto formativo di Educazione Finanziaria per le Scuole secondarie di secondo grado”
L’esperienza della crisi economica di questi ultimi anni ha mostrato come l’esigenza di accrescere la cultura finanziaria sia molto diffusa nel nostro paese. La Scuola risulta essere un ambiente ideale per l’accrescimento delle competenze di Educazione Finanziaria in quanto coinvolge tutti i ceti sociali e riguarda un periodo della vita degli individui che rende più proficua l’acquisizione di conoscenze. Per questo motivo, il MIUR ha promosso, in questi ultimi anni, numerose iniziative per le Scuole secondarie di secondo grado con l’obiettivo di introdurre tematiche di Economia, Finanza e Matematica Finanziaria nei curricula scolastici. Il Laboratorio QFinLab del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano, sotto la guida del Prof. Emilio Barucci, ha sviluppato un progetto formativo per promuovere l’interesse e la conoscenza di temi di Matematica Finanziaria tra gli studenti delle Scuole secondarie di secondo grado. Il progetto formativo di Educazione Finanziaria del Politecnico di Milano è ispirato a una didattica per competenze e prevede che i Docenti affrontino temi di Educazione Finanziaria sia in classe sia proponendo tematiche ed esercizi da svolgere a casa, utilizzando materiale di diversa natura (esercizi, case study, giochi, video, quiz, fogli di calcolo), con l’obiettivo di favorire il coinvolgimento e l’immedesimazione degli studenti in situazioni di vita quotidiana, mettendoli a confronto con le conseguenze pratiche delle loro scelte. I percorsi proposti sono integrabili nell’apprendimento curricolare di matematica o di materie economiche. Il progetto di Educazione Finanziaria può essere anche svolto all’interno del percorso formativo per l’alternanza Scuola-Lavoro degli studenti delle scuole superiori. Il progetto può inoltre essere collocato tra le competenze fondamentali del curriculum di cittadinanza che lo studente deve intraprendere nel suo percorso di studi e che dovrà esporre in sede di esame di stato. Entrando più nello specifico, il Politecnico di Milano è in grado di proporre
Dipartimento di Matematica
Politecnico di Milano Via Bonardi, 9 20133 Milano Partita Iva: 04376620151 Dipartimento di Matematica Tel. 02 2399 4502 - Fax 02 2399 4568 Codice fiscale: 80057930150 [email protected] www.mate.polimi.it
un progetto formativo strutturato su due ambiti di progettazione: un progetto di “Flipped Classroom” (“classe rovesciata”) costituita da tre percorsi didattici (base, intermedio e avanzato, imperniati rispettivamente sulle tematiche del calcolo degli interessi, degli investimenti e della comprensione del rischio) e il gioco a squadre “Labirinto delle Finanze”. I due progetti tendono a far conoscere i principi di base del funzionamento della finanza presso le giovani generazioni e, in particolare, presso gli studenti della Scuola secondaria di secondo grado. Il progetto prende come riferimento l’esperienza quotidiana degli studenti alle prese con l’apertura di un conto corrente bancario, con l’acquisto di un oggetto con un piccolo prestito o con la decisione su come investire i propri risparmi. I progetti, totalmente gratuiti, consistono in percorsi didattici predisposti dal Politecnico di Milano dopo una attenta sperimentazione e richiedono un impegno limitato da parte dei Docenti nella loro progettazione/organizzazione.
FLIPPED CLASSROOM La Flipped Classroom, o ‘‘classe rovesciata’’, è un innovativo metodo di insegnamento grazie al quale è possibile potenziare la fase di apprendimento degli studenti. Questa modalità di didattica innovativa prevede che gli studenti svolgano un percorso guidato preparato dal Docente, avvalendosi di strumenti laboratoriali come, ad esempio, video, case-study, team working. L’obiettivo è di rafforzare il loro coinvolgimento andando oltre i sistemi tradizionali di insegnamento, raggiungendo migliori risultati in termini di apprendimento dello studente. Nel caso specifico, lo studente lavorerà su tematiche di Educazione Finanziaria, come le leggi di capitalizzazione, l’onerosità di un prestito, i benefici della diversificazione dell’investimento, il profilo rischio-rendimento dell’investimento. In fase di attuazione del percorso e di verifica, i Docenti saranno supportati dal gruppo di lavoro del Politecnico di Milano che fornisce il materiale ‘‘chiavi in mano’’ per lo sviluppo delle attività. Il progetto si articola in tre diversi percorsi:
Flipped Classroom 1 - Percorso “base” • ENTE PROPONENTE: Politecnico di Milano – Dipartimento di
Matematica (QFinLab). • DESTINATARI: studenti delle Scuole secondarie di secondo grado,
statali e paritarie, di qualunque indirizzo scolastico nell’ambito dei
corsi di matematica e/o di materie economiche.
• AMBITO TERRITORIALE DI RIFERIMENTO: tutto il territorio nazionale
in collaborazione con gli Uffici Scolastici Regionali.
• MODALITÀ: il percorso, basato su una didattica per competenze, si
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struttura in sessioni svolte dai Docenti in classe e in sessioni svolte
dagli studenti a casa; si articola su moduli didattici flessibili,
interscambiabili e autonomi per venire incontro alle specifiche
esigenze dei Docenti.
• TEMPO DI SVOLGIMENTO: 4 sessioni, ciascuna delle quali suddivise
in 2 ore in classe e 2 ore a casa (il Docente può anche optare per
svolgere una parte del percorso).
• ARGOMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA: scelta del conto
corrente, capitalizzazione semplice e composta, tassi di usura,
onerosità di un prestito.
• STRUMENTI DI MATEMATICA: risoluzione di equazioni e
disequazioni, studi di funzione (lineari e esponenziali), risoluzioni di
equazioni polinomiali, studio di espressioni letterali per risolvere un
problema.
• STRUMENTI DIDATTICI: ai Docenti e agli studenti vengono forniti
testi, esercizi svolti, quiz e strumenti didattici innovativi, come video
e materiali multimediali. Come supporto allo studio dello studente, il
Politecnico di Milano offre la possibilità di utilizzare il sito
www.imparalafinanza.it che consente di approfondire le varie
tematiche affrontare nel percorso.
Flipped Classroom 2 - Percorso “intermedio” • ENTE PROPONENTE: Politecnico di Milano – Dipartimento di
Matematica (QFinLab). • DESTINATARI: studenti delle Scuole secondarie di secondo grado,
statali e paritarie, di qualunque indirizzo scolastico nell’ambito dei
corsi di matematica e/o di materie economiche.
• AMBITO TERRITORIALE DI RIFERIMENTO: tutto il territorio nazionale
in collaborazione con gli Uffici Scolastici Regionali.
• MODALITÀ: il progetto, basato su una didattica per competenze, si
struttura in sessioni svolte dai Docenti in classe e in sessioni svolte
dagli studenti a casa; si articola su moduli didattici flessibili,
interscambiabili e autonomi per venire incontro alle specifiche
esigenze dei Docenti.
• TEMPO DI SVOLGIMENTO: 4 sessioni, ciascuna delle quali suddivise
in 2 ore in classe e 2 ore a casa (il Docente può anche optare per
svolgere una parte del percorso).
• ARGOMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA: rendimento di un
investimento in un titolo, prezzo di un’obbligazione, mutui a tasso
fisso/variabile, rendite.
• STRUMENTI DI MATEMATICA: risoluzione di equazioni, studi di
funzione (lineari e esponenziali), studio di espressioni letterali per
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risolvere un problema, problemi definiti per ricorrenza.
• STRUMENTI DIDATTICI: ai Docenti e agli studenti vengono forniti
testi, esercizi svolti, quiz e strumenti didattici innovativi, come video
e materiali multimediali. Come supporto allo studio dello studente, il
Politecnico di Milano offre la possibilità di utilizzare il sito
www.imparalafinanza.it che consente di approfondire le varie
tematiche affrontare nel percorso.
Flipped Classroom 3 - Percorso ‘‘avanzato” • ENTE PROPONENTE: Politecnico di Milano – Dipartimento di
Matematica (QFinLab). • DESTINATARI: studenti delle Scuole secondarie di secondo grado,
statali e paritarie, di qualunque indirizzo scolastico nell’ambito dei
corsi di Matematica.
• AMBITO TERRITORIALE DI RIFERIMENTO: tutto il territorio nazionale
in collaborazione con gli Uffici Scolastici Regionali.
• MODALITÀ: il progetto, basato su una didattica per competenze, si
struttura in sessioni svolte dai Docenti in classe e in sessioni svolte
dagli studenti a casa; si articola su moduli didattici flessibili,
interscambiabili e autonomi per venire incontro alle specifiche
esigenze dei Docenti.
• TEMPO DI SVOLGIMENTO: 4 sessioni, ciascuna delle quali suddivise
in 2 ore in classe e 2 ore a casa (il Docente può anche optare per
svolgere una parte del percorso).
• ARGOMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA: impostazione
frequentista, stima media/varianza, benefici diversificazione in
finanza, criterio media-varianza, scelte di investimento.
• STRUMENTI DIDATTICI: ai Docenti e agli studenti vengono forniti
testi, esercizi svolti, quiz e strumenti didattici innovativi, come video
e materiali multimediali. Come supporto allo studio dello studente, il
Politecnico di Milano offre la possibilità di utilizzare il sito
www.imparalafinanza.it che consente di approfondire le varie
tematiche affrontare nel percorso.
LABIRINTO DELLE FINANZE
Il Labirinto delle Finanze è una gara a squadre in cui gli studenti sono chiamati a risolvere problemi di Matematica Finanziaria su tematiche simili a quelle della Flipped Classroom, con l’ausilio di video e materiali multimediali già elaborati dal Politecnico. La gara può essere svolta in circa due/tre ore e prevede alcune tappe virtuali, come l’Aula, la Banca, la Casa, il Negozio, ecc. Questa gara può essere proposta sia come attività isolata, per avvicinare gli studenti alle tematiche legate all’Educazione Finanziaria, sia
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come attività conclusiva di verifica e confronto finale del percorso di lezioni della Flipped Classroom. L’attività è pensata per essere organizzata all’interno degli istituti scolastici.
• ENTE PROPONENTE: Politecnico di Milano – Dipartimento di
Matematica (QFinLab). • DESTINATARI: studenti delle Scuole secondarie di secondo grado,
statali e paritarie, di qualunque indirizzo scolastico nell’ambito dei
corsi di matematica e/o materie economiche.
• AMBITO TERRITORIALE DI RIFERIMENTO: tutto il territorio nazionale
in collaborazione con gli Uffici Scolastici Regionali.
• MODALITÀ: il progetto si struttura in una ‘‘caccia al tesoro’’
finanziaria, articolata in più tappe a seconda alle specifiche esigenze
dei Docenti. Il Politecnico fornisce tutta la strumentazione necessaria
per lo svolgimento del Labirinto: quesiti di natura finanziaria, video,
materiale esplicativo, suggerimenti/enigmi per gli indizi che
consentono alle squadre di giungere alla tappa successiva.
• TEMPO DI SVOLGIMENTO: Il Labirinto delle Finanze richiede un
tempo che può variare in funzione del numero delle tappe;
orientativamente, con 8/10 tappe il tempo necessario per lo
svolgimento della gara è di circa tre ore.
• ARGOMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA: scelta del conto
corrente, capitalizzazione semplice e composta, tassi di usura,
onerosità di un prestito, rendimento di un investimento in un titolo,
prezzo di un’obbligazione, mutui a tasso fisso/variabile, benefici
diversificazione in finanza, criterio media-varianza.
• STRUMENTI DI MATEMATICA: risoluzione di equazioni e
disequazioni, studi di funzione (lineari ed esponenziali), risoluzioni
di equazioni polinomiali, studio di espressioni letterali per risolvere
un problema, problemi definiti per ricorrenza. • STRUMENTI DIDATTICI: agli studenti vengono forniti gli strumenti
per lo svolgimento della prova (materiale esplicativo, video a cui si
collegano tramite un codice QR e altri multimediali).
Proposte di Educazione Finanziaria
Flipped Classroom - Classica
QFinLab
Politecnico di Milano
Perché educazione finanziaria?
Al giorno d’oggi è sempre più sentito il bisogno di una solida conoscenza in materia finanziaria.
Alcuni eventi recenti (la crisi finanziaria, il bail-in delle banche, le difficoltà economiche delle
famiglie) hanno infatti mostrato come vi sia un deficit di competenze tra la popolazione che rende
impellente la necessità di svolgere un’azione efficace in materia di educazione finanziaria con
l’obiettivo di permettere ai cittadini di conoscere e comprendere i rischi della finanza e di
confrontarsi con la propria banca o con il proprio consulente “parlando la stessa lingua”.
La necessità di conoscere i principi di base della finanza coinvolge le giovani generazioni e, in
particolare, gli studenti degli ultimi anni della scuola secondaria di II grado. E’ oramai condiviso
infatti che l’educazione finanziaria debba far parte del bagaglio di competenze dei giovani che
sono chiamati a confrontarsi con i primi problemi finanziari, come aprire un conto corrente e
acquistare un oggetto a rate.
Perché educazione finanziaria nelle ore di matematica?
Scopo di questo percorso è presentare l’educazione finanziaria nell’ambito dell’applicazione delle
conoscenze impartite nei corsi di matematica. Le attività svolte all’interno della proposta didattica
sono in linea con le Indicazioni Nazionali per il curriculum di matematica della scuola secondaria di
II grado. In particolare:
- per quanto riguarda gli obiettivi specifici di apprendimento relativi all’aritmetica, il percorso
didattico permette di approfondire e potenziare alcuni aspetti relativi al calcolo aritmetico, come il
calcolo mentale e strumentale, ma anche di affrontare il tema dell’approssimazione;
- per quanto riguarda gli aspetti algebrici, l’introduzione e l’utilizzo di formule, dirette e inverse,
potenzia la comprensione del calcolo letterale applicato ad un contesto reale, per risolvere
problemi reali (e non solo realistici);
- per quanto riguarda l'ambito delle relazioni e funzioni, vengono forniti gli strumenti per produrre
e interpretare semplici rappresentazioni (grafiche, tabulari, sotto forma di formule) di fenomeni,
permettendo di introdurre i primi rudimenti di modellizzazione matematica con una particolare
attenzione ai modelli di crescita lineare ed esponenziale;
- infine, per quanto riguarda le competenze trasversali, il percorso didattico permette agli studenti
di: a) potenziare le capacità di risoluzione di alcuni problemi, mantenendo il controllo non solo sul
procedimento ma anche sulla validazione dei risultati; b) sviluppare le competenze per passare
agevolmente da un registro di rappresentazione ad un altro (numerico, grafico, analitico); c)
acquisire sia competenze per l’utilizzo di strumenti informatici per la rappresentazione dei dati che
capacità di riflessione sulle diverse rappresentazioni per saper scegliere le più idonee.
Perché usare la flipped classroom o “classe rovesciata”?
Lo scopo di questa metodologia didattica, validato anche da ricerche in materia di didattica della
matematica, è quello di promuovere un apprendimento attivo e autonomo da parte dello
studente.
La lezione è divisa in due parti: la prima da svolgere autonomamente dallo studente (solitamente a
casa) e la seconda realizzata in classe, sotto la guida dell’insegnante. Nella prima parte, gli studenti
svolgono attività con l’ausilio di materiali (video, testi scritti, esercizi, quiz) al fine di prepararsi alla
fase successiva. Nella seconda parte della lezione, l’insegnante dedica tempo ai concetti più difficili
e propone attività che permettano agli studenti di approfondire quanto già appreso nella prima
parte, consolidando l’apprendimento.
La proposta
Questo percorso, articolato in quattro moduli (M1-M4), è pensato per tutti gli studenti delle
scuole secondarie di II grado. Il percorso è da svolgere sotto la guida del docente di matematica o
di scienze economiche. Non sono necessari prerequisiti di conoscenze in ambito finanziario; i
prerequisiti matematici essenziali riguardano le competenze già acquisite dagli studenti al termine
della scuola secondaria di I grado.
Gli argomenti dei quattro moduli sono i seguenti:
M1 I costi del conto corrente
Argomenti Matematica in gioco
Come scegliere il conto corrente (c/c)
L’Indicatore Sintetico di Costo (ISC)
Valutare la differenza tra costi fissi e
costi variabili di un contratto di c/c
Utilizzo di equazioni e disequazioni per rappresentare e
risolvere un problema
Studio di funzioni lineari e di funzioni lineari a tratti
Rappresentazioni di rette nel piano cartesiano
Risoluzioni di equazioni con strumenti grafici e algebrici
M2 Le leggi di capitalizzazione
Argomenti Matematica in gioco
Legge di capitalizzazione semplice
Legge di capitalizzazione composta
Utilizzo delle formule inverse per il
calcolo del capitale, del tasso di
interesse o della durata
dell’investimento
Approssimazione dei risultati numerici
Studio di espressioni letterali per risolvere un problema
Costruzione di un’equazione per descrivere un problema
Gestione di diversi registri di rappresentazione
Utilizzo di fogli di calcolo e software per la rappresentazione e
il confronto tra grafici di funzioni
Studio della funzione esponenziale
M3 Tassi equivalenti
Argomenti Matematica in gioco
Legge di capitalizzazione con diversi
orizzonti temporali
Tassi equivalenti
Reato di usura
Approssimazione dei risultati numerici
Studio di espressioni letterali per risolvere un problema
Costruzione di un’equazione per descrivere un problema
Gestione di diversi registri di rappresentazioni
Utilizzo di fogli di calcolo e software per la rappresentazione
dei grafici
M4 Le condizioni dei prestiti
Argomenti Matematica in gioco
Tasso interno di rendimento di
un’operazione finanziaria (TIR)
Come calcolare il TIR
Sigle dei prestiti: TAN e TAEG
Descrizione di un problema utilizzando un’equazione non
lineare
Risolvere equazioni di grado superiore al primo
Utilizzare software per la risoluzione di equazioni
La proposta è completata da alcuni esercizi aggiuntivi di ripasso e approfondimento e da una
proposta di verifica conclusiva per l’insegnante.
Tra gli allegati a questa proposta ci sono le schede con il materiale didattico da utilizzare con gli
studenti (schede per il lavoro a casa, copia cartacea dei quiz, esercizi per il lavoro a gruppi, testo
della verifica).
Modulo 0: Prima di iniziare
Quiz introduttivo
Sottoporre agli studenti un quiz per valutare le loro conoscenze pregresse. Il test iniziale può
essere corretto al termine del percorso di educazione finanziaria, facendolo correggere
direttamente agli studenti o riproponendolo come verifica delle conoscenze apprese.
Quiz introduttivo1
1. Vuoi aprire un conto corrente in banca. L'offerta della banca A prevede un canone fisso di 20 € al
mese e operazioni illimitate gratuite, mentre l'offerta della banca B non ha un canone fisso, ma il
costo per ogni operazione (bonifici, MAV, bollette, F24) è di 1,5 €. Quali di queste affermazioni è
corretta?
a. L'offerta della banca A è la più conveniente
b. L'offerta della banca B è la più conveniente
c. L'offerta della banca A è la più conveniente se faccio poche operazioni
d. L'offerta della banca B è la più conveniente se faccio poche operazioni
e. Non so
[d]
2. Investi 100 € a un tasso di interesse annuo del 5%. Dopo 5 anni, il tuo capitale
a. Sarà inferiore a 105 €
b. Sarà uguale a 105 €
c. Sarà molto superiore a 105 €
d. Sarà poco superiore a 105 €
e. Non so
[c]
3. L’indicatore migliore per confrontare due finanziamenti è
a. Lo spread del tasso di interesse, perché tiene conto dell’andamento dell’economia
b. Il TAN, perché non tiene conto di tutte le spese
c. Il TAEG, perché tiene conto di tutte le spese
d. Non so
[c]
4. Nel fare un investimento in un regime di capitalizzazione composta, quale di queste affermazioni è
corretta?
a. Il tasso 1% annuale è equivalente a un tasso semestrale dello 0,5%
b. Il tasso 1% annuale è più vantaggioso di un tasso semestrale dello 0,5%
c. Il tasso 1% annuale è meno vantaggioso di un tasso semestrale dello 0,5%
d. Non so
[c]
1 I quiz possono essere somministrati online utilizzando software gratuiti (come Google Form, Kahoot, Socrative…) in
cui gli studenti rispondono usando il loro smartphone. Il vantaggio è che con questa modelaità può essere inserita la
correzione che diviene quindi automatica e il docente può controllare immediatamente i risultati della classe e fare
una correzione mirata rispetto alle risposte fornite.
Per chi non potesse utilizzare questa modalità, tra gli allegati alla proposta sono presenti delle schede cartacee con la
copia dei quiz.
Introduzione:2
- Condividere con gli studenti gli obiettivi della nuova metodologia didattica, spiegando
l’importanza della fase di preparazione (da svolgere a casa o in classe, ma in autonomia)
per poter comprendere il lavoro che verrà svolto nella lezione in classe.
- Mostrare come iscriversi alla piattaforma www.pok.polimi.it e al corso “Finanza per Tutti”3
- Vedere insieme il video introduttivo4: “Introduzione al corso”
https://youtu.be/Hwl1DsE7s6k?list=PLmKUwJ0KJQnW0eqrDPPc5_PnpSGJOEUM-
- Vedere insieme agli studenti il video della prima lezione mostrando tutte le potenzialità del
poter seguire una “lezione” via video: interrompere, prendere appunti, rivedere,
velocizzare, rallentare, rifare i conti presentati…
2 Questi suggerimenti sono soprattutto per le classi in cui non è mai stata utilizzata la flipped classroom in cui gli
studenti non hanno confidenza con il lavoro online e a casa 3 Le edizioni del corso rimangono aperte alcuni mesi; terminata una edizione ne viene aperta una successiva dopo
pochi giorni in modo che il corso sia sempre accessibile. In homepage è possibile controllare la durata dell’edizione
attuale e la data di chiusura, per non perdere il lavoro svolto in piattaforma. 4 E’ possibile seguire i video anche senza registrarsi alla piattaforma e accedendo direttamente dai link di YouTube.
L’iscrizione alla piattaforma, gratuita, permette però di avere una visione più strutturata del corso (quiz, forum, ordine
dei video), oltre che la possibilità di vedere quali siano gli altri corsi disponibili per approfondimenti personali o futuri
progetti in classe.
Modulo 1: I costi del conto corrente
In questa lezione
Argomenti Matematica in gioco
Come scegliere il conto corrente (c/c)
L’Indicatore Sintetico di Costo (ISC)
Valutare la differenza tra costi fissi e
costi variabili di un contratto di c/c
Utilizzo di equazioni e disequazioni per rappresentare e
risolvere un problema
Studio di funzioni lineari e di funzioni lineari a tratti
Rappresentazioni di rette nel piano cartesiano
Risoluzioni di equazioni con strumenti grafici e algebrici
In questa lezione vengono affrontati problemi di scelta dove è necessario fare confronti tra diverse offerte
con costi fissi e costi variabili. L’argomento finanziario affrontato è la scelta di un conto corrente e la
valutazione dei costi, mentre dal punto di vista matematico si affrontano equazioni e disequazioni di
primo grado, l’equazione della retta e i grafici delle funzioni lineari a tratti.
Nell’esercizio da svolgere nella fase di preparazione, gli studenti devono seguire l’esempio visto nel video
per effettuare i calcoli con diversi valori numerici. Nel lavoro in aula l’esercizio viene ripreso per
generalizzare il confronto tra i costi con la rappresentazione analitica e grafica delle funzioni di costo.
Essendo la prima lezione del percorso, le attività “in preparazione” possono essere svolte durante una
lezione per mostrare agli studenti come guardare i video e come utilizzarli per studiare, prendere appunti
e svolgere gli esercizi assegnati.
In preparazione:
- Guardare il video: Scegliere il conto corrente (week 1, modulo 1, video 1)
- Svolgere l’esercizio 1
Esercizio 1
Calcola l’Indicatore Sintetico di Costo (ISC) di questi prodotti per i profili di famiglie a bassa,
media e alta operatività, con rispettivamente 201, 228 e 253 operazioni annue.
Quale conto corrente è più conveniente per ciascuna tipologia di famiglia?
Operazioni gratuite
annuali
Costo operazioni
aggiuntive Canone fisso
Conto A 200 1 a operazione 1,50 al mese
Conto B 150 € 0,50 a operazione € 6 all’anno
Svolgimento
Per una famiglia a bassa operatività, secondo la stima di Banca d’Italia, il numero di
operazioni annuali è di 201, quindi il costo annuale dei due prodotti è
Conto A: �201 − 200� ⋅ 1 + 1,50 ⋅ 12 = 19€
Conto B: �201 − 150� ⋅ 0,50 + 6 = 31,5 €
Per una famiglia a media operatività il numero di operazioni annuali è stimato essere pari a
228, quindi il costo annuale dei due prodotti è
Conto A: �228 � 200� ⋅ 1 � 1,50 ⋅ 12 � 46 €
Conto B: �228 � 150� ⋅ 0,50 � 6 � 45 €
Per una famiglia ad alta operatività il numero di operazioni annuali è stimato essere pari a
253, quindi il costo annuale dei due prodotti è
Conto A: �253 � 200� ⋅ 1 � 1,50 ⋅ 12 � 71 €
Conto B: �253 � 150� ⋅ 0,50 � 6 � 57,5 €
In classe:
- Correzione dell’esercizio 1
- Discussione a partire dalla domanda “Quante operazioni devono essere fatte all’anno
perché il conto A risulti meno conveniente del conto B?”
- Definizione delle funzioni lineari a tratti, rappresentazioni delle funzioni di costo dei due
conti correnti al variare del numero di operazioni, confronto tra le funzioni.
Modulo 2: Le leggi di capitalizzazione
In questa lezione
Argomenti Matematica in gioco
Legge di capitalizzazione semplice
Legge di capitalizzazione composta
Utilizzo delle formule inverse per il
calcolo del capitale, del tasso di
interesse o della durata
dell’investimento
Approssimazione dei risultati numerici
Studio di espressioni letterali per risolvere un problema
Costruzione di un’equazione per descrivere un problema
Gestione di diversi registri di rappresentazione
Utilizzo di fogli di calcolo e software per la rappresentazione e
il confronto tra grafici di funzioni
Studio della funzione esponenziale
L’obiettivo di questa lezione è quello di introdurre le formule delle leggi di capitalizzazione semplice e
composta, mostrando agli studenti le differenze dal punto di vista analitico, grafico e concettuale.
Nel lavoro in aula è previsto un quiz sulla verifica dei contenuti ed esercizi con l’applicazione delle formule
per consolidare l’apprendimento e confrontare le due leggi utilizzando strumenti di calcolo, come la
calcolatrice o i fogli elettronici.
La legge di capitalizzazione composta può essere ricavata in modo ricorsivo anche dagli studenti che non
hanno ancora affrontato la funzione esponenziale.
Se questo modulo viene utilizzato invece proprio per introdurre la funzione esponenziale a partire da un
problema concreto, è possibile approfondire l’attività introducendo l’inversione della formula e la
funzione logaritmica.
In preparazione:
- Guardare il video: Lo scorrere del tempo e gli interessi: le leggi di capitalizzazione (week 1,
modulo 1, video 2)
- Individuare e trascrivere le formule della legge di capitalizzazione semplice e di
capitalizzazione composta.5
In classe:
- Quiz per verificare i contenuti del video
- Correzione del quiz e discussione in classe
- Svolgimento a dell’esercizio 2
- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 3
5 Tra i documenti allegati è presente una scheda per lo svolgimento di questo lavoro a casa.
Quiz: le leggi di capitalizzazione
1. Se investi un capitale di 200 € al tasso di interesse del 2% annuo, in
capitalizzazione semplice, a quanto ammonterà la tua ricchezza dopo 2 anni?
a. 204 €
b. 204,04 €
c. 208 €
d. 208,08 €
[c]
2. Se investi un capitale di 200 € al tasso di interesse del 2% annuo, in
capitalizzazione composta, a quanto ammonterà la tua ricchezza dopo 2 anni?
a. 204 €
b. 204,04 €
c. 208 €
d. 208,08 €
[d]
3. Quanto tempo deve trascorrere perché un investimento di 100 € in
capitalizzazione semplice al tasso del 3% annuo valga 109 €?
a. Meno di 3 anni
b. 3 anni esatti
c. Più di 3 anni
d. Dipende dall’andamento dei mercati
[b]
4. Quanto tempo deve trascorrere perché un investimento di 100 € in
capitalizzazione composta al tasso del 3% annuo valga 109 €?
a. Meno di 2 anni
b. Poco meno di 3 anni
c. 3 anni esatti
d. Più di 3 anni
[b]
5. A parità di tasso di interesse, quale regime di capitalizzazione fa crescere più
velocemente il capitale investito per periodi di tempo superiori all’anno?
a. La capitalizzazione semplice
b. La capitalizzazione composta
c. Sono equivalenti
d. Dipende dalla cifra investita
[b]
Esercizio 2
Utilizzando un foglio di calcolo (ad esempio Excel) calcolare ricorsivamente il montante, cioè
il valore finale, di un investimento di 1.000 € in capitalizzazione composta dopo 10 anni con
un tasso di interesse annuo del 5%.
Svolgimento
Costruire i valori del montante applicando il tasso di interesse al valore ottenuto nell’anno
precedente (utilizzando il “trascinamento” della formula nel foglio di calcolo).
Generalizzare la formula fino ad arrivare a definire nuovamente la formula della
capitalizzazione composta.
Esercizio 3
Immaginando di investire un capitale iniziale di 10.000 € con un tasso del 3% annuo,
confronta i valori del montante dopo 3, 6, 9, 12 mesi in capitalizzazione semplice e
composta.
Ripeti il confronto dei due regimi di capitalizzazione dopo 1, 2, 3, 4, 5 anni.
Suggerimento: Confronta sia i risultati numerici che il comportamento del grafico delle due
funzioni.
Svolgimento
Un esempio di rappresentazione con Excel (in arancio la capitalizzazione semplice, in blu
quella composta) per il primo caso, cioè dopo 3,6,9,12 mesi.
$ 10.000,00
$ 10.050,00
$ 10.100,00
$ 10.150,00
$ 10.200,00
$ 10.250,00
$ 10.300,00
0 0,25 0,5 0,75 1
Investimento mensile
Capitalizzazione Composta Capitalizzazione Semplice
Far notare che graficamente è difficile osservare una differenza tra le due curve, ma
considerando i risultati numerici la capitalizzazione semplice è (leggermente) più conveniente
di quella composta per periodi di tempo inferiori all’anno.
Un esempio di rappresentazione con Excel (in arancio la capitalizzazione semplice, in blu
quella composta) per il secondo caso: dopo 1,2,3,4,5 anni.
Far notare che sia graficamente che numericamente la differenza è più visibile e che in questo
caso la capitalizzazione composta è più conveniente di quella semplice.
Proporre un confronto generale tra la funzione che rappresenta la capitalizzazione
dell’interesse composto � ⋅ �1 + ��� con la capitalizzazione semplice � ⋅ �1 +� ⋅��.
Provare a cambiare i valori del capitale e del tasso di interesse per fare ulteriori confronti con
i grafici.
Per approfondire
- Guardare il materiale: https://www.imparalafinanza.it/tassi-di-interesse-e-
capitalizzazione/
- Rispondere ai quiz: https://www.imparalafinanza.it/quiz-tassi-interesse-e-capitalizzazione/
- Esercizi aggiuntivi
$ 10.000,00
$ 10.200,00
$ 10.400,00
$ 10.600,00
$ 10.800,00
$ 11.000,00
$ 11.200,00
$ 11.400,00
$ 11.600,00
0 1 2 3 4 5
Investimento annuale
Capitalizzazione Composta Capitalizzazione Semplice
Modulo 3: Tassi equivalenti
In questa lezione
Argomenti Matematica in gioco
Legge di capitalizzazione con diversi
orizzonti temporali
Tassi equivalenti
Reato di usura
Approssimazione dei risultati numerici
Studio di espressioni letterali per risolvere un problema
Costruzione di un’equazione per descrivere un problema
Gestione di diversi registri di rappresentazioni
Utilizzo di fogli di calcolo e software per la rappresentazione
dei grafici
In questo modulo vengono riprese le leggi di capitalizzazione, con una particolare attenzione alla legge di
capitalizzazione composta utilizzata con tassi di interesse riferiti a orizzonti temporali diversi da un anno.
Il lavoro previsto per gli studenti sono un esercizio per introdurre l’argomento, un quiz di verifica dei
contenuti presentati nel video e un lavoro a gruppi, tutto sul confronto tra tassi di interesse relativi a
intervalli temporali diversi. Con la correzione del lavoro svolto a gruppi, viene introdotta la formula per
calcolare il tasso annuale equivalente a un tasso di interesse non annuale.
In preparazione:
- Guardare il video: Tassi di interesse e orizzonte temporale (week 1, modulo 1, video 3)
- Svolgere l’esercizio 4.
Esercizio 4
Utilizzando la legge di capitalizzazione composta è più conveniente un tasso di interesse del
3% semestrale o uno del 6% annuale? Perché?
Svolgimento
Il tasso del 3% semestrale è più conveniente perché gli interessi vengono applicati ogni sei
mesi sul capitale maturato nei mesi precedenti.
Ad esempio immaginando che il capitale sia 100 con il 3% semestrale otterremmo 106,09 €
dopo un anno, mentre con il 6% annuale dopo un anno otterremmo 106 €.
In classe:
- Correzione dell’esercizio 4
- Discussione sulla differenza tra capitalizzazione semplice e composta nel caso di tassi di
interesse con diversi periodi di riferimento temporale.
- Quiz sui tassi equivalenti. Correzione del quiz, riflessione con la classe sulle relazioni tra
tassi di interesse su orizzonti temporali diversi.
- Svolgimento dell’esercizio 5 a gruppi, correzione e discussione.
Quiz: tassi equivalenti
1. Nell’ottica di fare un investimento, quale di queste affermazioni risulta essere corretta in
capitalizzazione composta?
a. Il tasso 1% annuale è equivalente allo 0,5% semestrale
b. Il tasso 1% annuale è più vantaggioso dello 0,5% semestrale
c. Il tasso 1% annuale è meno vantaggioso dello 0,5% semestrale
[c]
2. Quale di questi tassi in capitalizzazione composta è più vantaggioso, nel caso in cui ti
trovassi a contrarre un debito?
a. Il 2% mensile
b. Il 2% trimestrale
c. Il 2% quadrimestrale
d. Il 2% annuale
[d]
3. Un investimento in regime di capitalizzazione composta con un tasso trimestrale del 3%
è
a. Equivalente ad un investimento con un tasso annuale del 12%
b. Meno conveniente di un investimento con un tasso annuale del 12%
c. Più conveniente di un investimento con un tasso annuale del 12%
d. Il confronto con un investimento al tasso annuale del 12% dipende dalla cifra
investita
[c]
4. In un regime in capitalizzazione composta, quali di questi tassi ti sembra essere più
vantaggioso per investire i tuoi risparmi?
a. Un tasso annuale dell’1%
b. Un tasso semestrale dell’1%
c. Un tasso trimestrale dell’1%
d. Un tasso mensile dello 0,01%
[c]
Esercizio 5
L’usura è un prestito a un tasso di interesse notevolmente superiore a quello medio di
mercato: l’usura è un reato. Ipotizziamo che il tasso sopra il quale si parla di usura oggi sia il
15% annuo. Immagina di aver bisogno di un prestito di 1.000 € da restituire tra un anno:
Andrea ti può fornire il denaro che ti serve al 4,5% quadrimestrale, Marco al 4% trimestrale.
Le due condizioni di prestito sono legali o rientrano nell’ambito del reato di usura?
Svolgimento
La cifra da restituire tra un anno ad Andrea sarebbe 1.141,17 € mentre quella da restituire a
Marco sarebbe 1.169,86 €.
Le condizioni offerte da Marco sono da usura, visto che la cifra da restituire supera i
1.150,00 € che sarebbe la cifra da restituire applicando il 15% annuo.
Una strategia risolutiva differente per rispondere alla domanda è quella di confrontare i due
tassi quadrimestrale e trimestrale con quello annuale riportandoli al tasso (equivalente)
annuale.
Dopo aver svolto l’esercizio è possibile esplicitare la formula per trovare il tasso annuale
equivalente ad un tasso con un riferimento temporale diverso. Se �� è un tasso di interesse
che fa riferimento a k parti d’anno (nel caso di tasso mensile k=12), l’interesse annuale �
equivalente a �� è quel tasso tale per cui dopo un anno avremo lo stesso capitale a partire
dal capitale iniziale C, cioè
��1 � ��� � ��1 � ����
da cui il tasso equivalente annuale si ottiene
� � �1 ����� � 1
Per approfondire:
- Guardare il materiale: https://www.imparalafinanza.it/tassi-e-usura/
- Rispondere ai quiz: https://www.imparalafinanza.it/quiz-tassi-e-usura/
- Esercizi aggiuntivi
Modulo 4: Le condizioni dei prestiti
In questa lezione
Argomenti Matematica in gioco
Tasso interno di rendimento di
un’operazione finanziaria (TIR)
Come calcolare il TIR
Sigle dei prestiti: TAN e TAEG
Descrizione di un problema utilizzando un’equazione non
lineare
Risolvere equazioni di grado superiore al primo
Utilizzare software per la risoluzione di equazioni
L’obiettivo di questo ultimo modulo è quello di introdurre il significato delle sigle di TIR, TAN e TAEG. In
particolare, la lezione si concentra sul significato del TIR, il Tasso Interno di Rendimento, di una
operazione finanziaria. Per il calcolo del TIR è necessario risolvere delle equazioni non lineari, utilizzando
software specifici o facendo delle stime, ad esempio con fogli di calcolo o rappresentazioni grafiche.
Gli esercizi proposti nel modulo affrontano però solo alcuni casi semplici in cui sono da risolvere equazioni
riconducibili a equazioni di secondo grado.
In preparazione:
- Guardare il video: Quanto costa un finanziamento? TIR, TAN, TAEG (week 1, modulo 3,
video 1)
- Riflettere su quale sia la differenza tra investimento e finanziamento, riprendere le
definizioni delle sigle presenti nel video6. Cercare un programma online che permetta il
calcolo del Tasso Interno di Rendimento (TIR) e verificare i conti svolti nel video.
In classe:
- Correzione dei compiti riprendendo le definizioni di TIR, TAEG e TAN, mostrando la
rappresentazione del flusso di denaro su una retta e le formule per il calcolo del TIR.
- Svolgere insieme l’esercizio 6. Discutere come sia possibile calcolare il TIR in casi più
complessi, presentare un software che permetta di calcolare il TIR7 o come fare delle
simulazioni tramite i fogli di calcolo.
- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 6 e 7.
6 Tra i documenti allegati è presente una scheda per lo svolgimento di questo lavoro a casa.
7 Si può trovare un simulatore per il calcolo del TIR all’indirizzo https://www.calkoo.com/
Esercizio 6
Nel video viene calcolato il TIR, pari a 1,49% di questa operazione finanziaria:
- Acquisto di una obbligazione che pagherà 2 € tra un anno e 102 € tra due anni, al
prezzo di 101 €.
Come varia il TIR dell’operazione in questi casi?
a. Tra un anno riceverò una cedola di 1 €, invece di 2 €
b. Tra due anni riceverò 104 €, invece di 102 €
c. Il prezzo oggi è pari a 103 €, invece di 101 €
Esercizio 7
Confronta il TIR dei seguenti investimenti per stabilire quale dei due sia il più conveniente.
a) Investimento iniziale di 10.000 €, incassando 5.300 € fra due anni e 5.600 € fra
quattro anni.
b) Investimento iniziale di 20.000 €, incassando 15.000 € fra tre anni e 6.500 € fra sei
anni.
Svolgimento
Il TIR del primo investimento si ottiene risolvendo l’equazione
10000 �5300
�1 � ����
5600
�1 � ���
da cui � � 2,9013%.
L’equazione per ottenere il TIR del secondo investimento è data da
20000 �15000
�1 � ����
6500
�1 � ���
da cui � � 1,8768%.
Il primo investimento è più vantaggioso.
Per approfondire
- Guardare il materiale presente su https://www.imparalafinanza.it/tan-e-taeg/
- Rispondere ai quiz presenti all’indirizzo https://www.imparalafinanza.it/quiz-tan-e-taeg/
- Discutere il problema del calcolo del TIR e della risoluzione di equazioni non lineari
- Realizzare un programma per calcolare il TIR di investimenti e finanziamenti
- Guardare il video Come orientarsi nel mondo del credito a consumo (week 1, modulo 3,
video 2)
Svolgimento
101 �1
1 � ��
102
�1 � ���
101 �2
1 � ��
104
�1 � ���
103 �2
1 � ��
102
�1 � ���
Nel primo caso l’equazione da risolvere è
da cui � � 0,99%.
Nel secondo caso si ha
da cui � � 2,47%.
Nel terzo caso si ha
da cui � � 0,49%.
Riflettere con la classe su come varia il TIR a seconda di quali siano i valori che cambiano.
Esercizi Aggiuntivi
A. Considera le seguenti condizioni di due offerte di conti correnti e rispondi alle domande
Operazioni
gratuite annuali
Costo operazioni
aggiuntive
Canone fisso
Conto A 200 1,50 € a operazione 0,50 € al mese
Conto B 160 0,40 € a operazione 8 €al anno
1. Quanto vale l’ISC del conto A per il profilo giovani, per cui sono stimate 164
operazioni annue?
2. Quale dei due conti è più conveniente per il profilo giovani?
3. Quante operazioni è necessario fare all’anno perché il conto corrente A sia più
conveniente del B?
[6 €; il conto A; meno di 217 operazioni all’anno]
B. I nonni di Marco depositarono 5 anni e 3 mesi fa la somma di 1.000 € su un conto intestato
al nipote, al tasso di interesse dell’1,8% annuo con un regime di capitalizzazione mista.
Oggi Marco vuole ritirare tutta la somma per pagarsi una vacanza che costa 1.100 €. Sono
sufficienti i soldi presenti sul conto per pagare la vacanza? In caso negativo, quanto gli
serve aggiungere? In caso positivo, quanto gli avanza?
[Marco sul C/C ha 1098,22 € ]
C. Dieci anni fa ho investito 20.000 € al tasso di interesse annuo in capitalizzazione composta
dello 0,5%. Quattro anni fa ho prelevato il capitale iniziale e ho investito soltanto gli
interessi maturati fino a quell’istante al tasso di interesse annuo in capitalizzazione
composta pari all’1,2%: quanto ho ottenuto ad oggi da quest’ultimo investimento?
[637,24 €]
D. La somma di 3.700 € viene investita per sei anni ad un tasso di interesse composto dello
0,75%. Quale tasso annuo dovrebbe essere applicato per avere lo stesso montante, sullo
stesso arco temporale, qualora l'investimento fosse effettuato secondo la legge in
capitalizzazione dell’interesse semplice?
[0,76%]
E. Utilizzando la legge di capitalizzazione composta, a quanto ammonta il debito fra un anno
prendendo in prestito 1.000 € alle seguenti condizioni:
1. 2% annuale
2. 2% semestrale
3. 2% trimestrale?
[1.020 €; 1.040,40 €; 1.082,43 €]
F. Maurizio vuole investire 45.000 €, può scegliere tra
1. ricevere tra 3 anni 48.500 €
2. ricevere 17.000 € tra 2 anni e 32.000 € tra 4 anni
Calcola il TIR delle due alternative. Qual è l’offerta più conveniente?
[Il TIR della prima operazione è 2,5282%,
quello della seconda operazione è 2,6187%
E’ più conveniente la seconda operazione di investimento]
G. Calcola il TIR dell’operazione rappresentata dal seguente flusso di denaro
[0,9886%]
-1000 + 510 +520
Oggi 2 anni 4 anni
Verifica conclusiva
Esercizio 1: Calcola il montante per un capitale di 100 € investito ad un tasso annuale del 3%
Capitalizzazione
semplice
Capitalizzazione
composta
Dopo 1 anno 103,00 € 103,00 €
Dopo 1 anno e mezzo 104,50 € 104,53 €
Dopo 3 anni 109,00 € 109,27 €
Esercizio 2: Questa tabella riassume le condizioni di tre conti correnti
Operazioni
gratuite annuali
Costo operazioni
aggiuntive Canone fisso
Conto A 200 2 € a operazione 10 € annuo
Conto B 130 1 € a operazione 1 € a bimestre
Conto C 150 1 € a operazione 1,50 € a trimestre
a) Calcola l’ISC, l’indicatore sintetico di costo, per ciascuno dei tre conti per il profilo giovani
(164 operazioni all’anno). Conto A = 10 € all’anno
Conto B = 40 € all’anno
Conto C = 20 € all’anno
b) Quante operazioni all’anno devi fare perché il conto corrente A risulti più conveniente del
conto corrente C? Conto A è più conveniente del C se il numero di
operazioni annuali è compreso tra 154 e 246
Esercizio 3: Due capitali di 10.000 € e 10.500 € sono stati investiti in regime di capitalizzazione
composta per lo stesso periodo di tempo e hanno prodotto lo stesso montante. Sapendo che il
primo capitale è stato investito al tasso di interesse annuo del 0,6% e il secondo al tasso annuo del
0,13%, per quanto tempo sono stati investiti?
10 anni e 5 mesi
Esercizio 4: Calcola il tasso annuale equivalente ai seguenti tassi di interesse utilizzati in regime di
capitalizzazione composta
Tasso Tasso annuale equivalente
1% mensile 12,86%
2,5% trimestrale 10,38%
4% semestrale 8,16%
Esercizio 5: Con un investimento iniziale di 20.000 €, Marta incassa 10.500 € fra due anni e 10.800
€ fra quattro anni. Rappresenta il flusso di denaro rispetto al tempo e determina il TIR.
2,1188%
Proposte di Educazione Finanziaria
Flipped Classroom – Operazioni finanziarie
QFinLab
Politecnico di Milano
Perché educazione finanziaria?
Al giorno d’oggi è sempre più sentito il bisogno di una solida conoscenza in materia finanziaria.
Alcuni eventi recenti (la crisi finanziaria, il bail-in delle banche, le difficoltà economiche delle
famiglie) hanno infatti mostrato come vi sia un deficit di competenze tra la popolazione che rende
impellente la necessità di svolgere un’azione efficace in materia di educazione finanziaria con
l’obiettivo di permettere ai cittadini di conoscere e comprendere i rischi della finanza e di
confrontarsi con la propria banca o con il proprio consulente “parlando la stessa lingua”.
La necessità di conoscere i principi di base della finanza coinvolge le giovani generazioni e, in
particolare, gli studenti degli ultimi anni della scuola secondaria di II grado. E’ oramai condiviso
infatti che l’educazione finanziaria debba far parte del bagaglio di competenze dei giovani che
sono chiamati a confrontarsi con i primi problemi finanziari come aprire un conto corrente e
acquistare un oggetto a rate.
Perché educazione finanziaria nelle ore di matematica?
Scopo di questo percorso è proseguire il percorso di educazione finanziaria nell’ambito del corso
di matematica con un approfondimento riguardo alle operazioni finanziarie. Le attività svolte
all’interno della proposta didattica sono in linea con le Indicazioni Nazionali per il curriculum di
matematica della scuola secondaria di secondo grado e sono pensate come naturale prosecuzione
di quanto già affrontato nel percorso classico. In particolare:
- per quanto riguarda gli obiettivi specifici di apprendimento relativi all’aritmetica, il percorso
didattico permette di approfondire e potenziare alcuni aspetti relativi al calcolo aritmetico, come il
calcolo mentale e strumentale, ma anche di affrontare il tema dell’approssimazione;
- per quanto riguarda gli aspetti algebrici, l’introduzione e l’utilizzo di formule, dirette e inverse,
potenzia la comprensione del calcolo letterale applicato ad un contesto reale, per risolvere
problemi reali (e non solo realistici);
- per quanto riguarda l'ambito delle relazioni e funzioni, vengono forniti gli strumenti per produrre
e interpretare semplici rappresentazioni (grafiche, tabulari, sotto forma di formule) di fenomeni,
permettendo di introdurre i primi rudimenti di modellizzazione matematica con una particolare
attenzione ai modelli di crescita lineare e esponenziale;
- infine, per quanto riguarda le competenze trasversali, il percorso didattico permette agli studenti
di potenziare le capacità di: a) risoluzione di alcuni problemi, mantenendo il controllo non solo sul
procedimento ma anche sulla validazione dei risultati; b) sviluppare le competenze per passare
agevolmente da un registro di rappresentazione ad un altro (numerico, grafico, analitico); c)
acquisire sia competenze per l’utilizzo di strumenti informatici per la rappresentazione dei dati che
capacità di riflessione sulle diverse rappresentazioni per saper scegliere le più idonee.
Perché usare la flipped classroom o “classe rovesciata”?
In continuità con l’approccio seguito nel percorso classico, anche qui viene proposto di utilizzare la
metodologia di flipped classroom per promuovere un apprendimento attivo e autonomo da parte
dello studente.
La lezione è divisa in due parti: la prima da svolgere autonomamente dallo studente (solitamente a
casa) e la seconda realizzata in classe, sotto la guida dell’insegnante. Nella prima parte, gli studenti
svolgono attività con l’ausilio di materiali (video, testi scritti, esercizi) al fine di prepararsi alla fase
successiva. Nella seconda parte della lezione, l’insegnante dedica tempo ai concetti più difficili e
propone attività che permettano agli studenti di approfondire quanto già appreso nella prima
parte consolidando l’apprendimento.
La proposta
Questo percorso è articolato in cinque moduli ed è pensato per gli studenti delle scuole
secondarie di secondo grado. L’attività è da svolgere sotto la guida del docente di matematica o di
discipline economiche. Il percorso può essere interpretato come un approfondimento rispetto al
percorso base o come attività complementare alle lezioni di matematica finanziaria.
Prima di proporre questo percorso è necessario che gli studenti conoscano almeno la legge di
capitalizzazione composta, argomento affrontato nel Modulo 2 del percorso base. E’ opportuno
anche aver svolto gli argomenti presenti nel Modulo 4 del percorso base che riguardano TIR, TAN e
TAEG.
Gli argomenti dei cinque moduli sono i seguenti:
M1 I titoli azionari
Argomenti Matematica in gioco
Differenza tra obbligazioni e titoli
azionari
Dividendi
Tasso di rendimento di un titolo
Rappresentazione dei numeri come percentuali e come
numeri decimali; le operazioni tra numeri decimali
Gestione di diversi registri di rappresentazione: numerici,
grafici, funzionali
M2 Le obbligazioni
Argomenti Matematica in gioco
Obbligazioni
Tassi di mercato
Rappresentazione dei numeri come percentuali e come
numeri decimali; le operazioni tra i numeri decimali
Gestione di diversi registri di rappresentazione: numerici,
grafici, funzionali. Utilizzo di fogli di calcolo software
M3 Rischio di tasso
Argomenti Matematica in gioco
Calcolo del prezzo di un titolo
obbligazionario
Variare del prezzo di un’obbligazione al
variare del tasso
Studio di espressioni letterali per risolvere un problema;
costruzione di un’equazione per descrivere un problema
Gestione di diversi registri di rappresentazione: numerici,
grafici, funzionali. Utilizzo di fogli di calcolo e software
M4 Piani di ammortamento
Argomenti Matematica in gioco
Piani di ammortamento
Come calcolare la rata di un mutuo o di
un finanziamento
Rappresentazione dei numeri come percentuali e come
numeri decimali; le operazioni tra i numeri decimali
Affrontare alcuni esempi di modelli matematici in diversi
ambiti. Utilizzo di fogli di calcolo
M5 Rendite
Argomenti Matematica in gioco
Rendite immediate e posticipate
Calcolo del valore attuale
Calcolo del montante
Affrontare alcuni esempi di modelli matematici in diversi
ambiti
Familiarizzare con gli strumenti informatici per manipolare
oggetti matematici; studiare le modalità di rappresentazione
dei dati elementari, testuali e multimediali
La proposta è completata da alcuni esercizi aggiuntivi di ripasso e approfondimento e da una
proposta di verifica conclusiva per l’insegnante.
Tra gli allegati a questa proposta ci sono le schede con il materiale didattico da utilizzare con gli
studenti (schede per il lavoro a casa, copia cartacea dei quiz, esercizi per il lavoro a gruppi, testo
della verifica).
Modulo 0: Prima di iniziare
Quiz introduttivo:
Sottoporre agli studenti un quiz per valutare le loro conoscenze pregresse. Il test iniziale può
essere corretto al termine del percorso di educazione finanziaria, facendolo correggere
direttamente agli studenti o riproponendolo come verifica delle conoscenze apprese.
Quiz introduttivo1
1. Marco ha comprato un’azione nel 2015 pagandola 36 €, la vuole rivendere oggi al prezzo di 34 €,
nel periodo in cui ha detenuto il titolo non ha ricevuto dividendi. Com’è il rendimento di questa
operazione finanziaria?
a. Negativo
b. Positivo
c. Dipende da quanto valeva l’azione nel 2016 e nel 2017
d. Non ci sono informazioni sufficienti per rispondere
e. Non so
[a]
2. Vuoi richiedere un prestito e ti rechi presso due diverse banche. La banca A ti propone un
finanziamento con TAN 3,9% e TAEG 4,3%, mentre la banca B un finanziamento con TAN 3,2% e
TAEG 4,5%. Qual è l’offerta migliore?
a. L’offerta della banca A perché il TAN è più alto
b. L’offerta della banca B perché il TAN è più basso
c. L’offerta della banca A perché il TAEG è più basso
d. L’offerta della banca B perché il TAEG è più alto
e. Non so
[c]
3. Immagina di avere un mutuo a tasso fisso pari all’1%, ti viene offerto di passare ad un mutuo a
tasso variabile con un tasso inziale pari al 3%. Ti conviene in questo momento accettare?
a. Sì, perché è più conveniente il tasso del 3% di quello dell’1%
b. Sì, perché il tasso variabile è sempre più conveniente di quello fisso
c. No, perché il tasso dell’1% è più conveniente di quello del 3%
d. No, perché il tasso fisso è sempre più conveniente
e. Non so
[c]
Introduzione:2
1I quiz possono essere somministrati online utilizzando software gratuiti (come Google Form, Kahoot, Socrative…) in
cui gli studenti rispondono usando il loro smartphone. Il vantaggio è che con questa modalità può essere inserita la
correzione che diviene quindi automatica: il docente può così controllare immediatamente i risultati della classe e fare
una correzione mirata rispetto alle risposte fornite.
Per chi non potesse utilizzare questa modalità, tra gli allegati alla proposta sono presenti alcune schede cartacee con
la copia dei quiz.
- Condividere con gli studenti gli obiettivi della nuova metodologia didattica, spiegando
l’importanza della fase di preparazione (da svolgere a casa o in classe, ma in autonomia)
per poter comprendere il lavoro che verrà svolto nella lezione in classe.
- Mostrare come iscriversi alla piattaforma www.pok.polimi.it e al corso “Finanza per Tutti”3
- Vedere insieme il video introduttivo4: “Introduzione al corso”
https://youtu.be/Hwl1DsE7s6k?list=PLmKUwJ0KJQnW0eqrDPPc5_PnpSGJOEUM-
- Vedere insieme agli studenti il video della prima lezione mostrando tutte le potenzialità del
poter seguire una “lezione” via video: interrompere, prendere appunti, rivedere,
velocizzare, rallentare, rifare i conti presentati…
2 Questi suggerimenti sono soprattutto per le classi in cui non è mai stata utilizzata la flipped classroom, in cui gli
studenti non hanno confidenza con il lavoro online e a casa 3 Le edizioni del corso rimangono aperte alcuni mesi; terminata una edizione ne viene aperta una successiva dopo
pochi giorni in modo che il corso sia sempre accessibile. In homepage è possibile controllare la durata dell’edizione
attuale e la data di chiusura, per non perdere il lavoro svolto in piattaforma. 4 E’ possibile seguire i video anche senza registrarsi alla piattaforma e accedendo direttamente dai link di YouTube.
L’iscrizione alla piattaforma, gratuita, permette però di avere una visione più strutturata del corso (quiz, forum, ordine
dei video), oltre che la possibilità di vedere quali siano gli altri corsi disponibili per approfondimenti personali o futuri
progetti in classe.
Modulo 1: I titoli azionari
In questa lezione
Argomenti Matematica in gioco
Differenza tra obbligazioni e titoli
azionari
Dividendi
Tasso di rendimento di un titolo
Rappresentazione dei numeri come percentuali e come numeri
decimali; le operazioni tra numeri decimali
Gestione di diversi registri di rappresentazioni: numerici,
grafici, funzionali
L’obiettivo della lezione è introdurre la differenza tra obbligazioni e titoli azionari e la formula per il
calcolo del rendimento di un titolo azionario.
Gli esercizi si concentrano sull’utilizzo della formula per il calcolo del rendimento in diversi scenari,
valutando come varia il rendimento in funzione dei diversi parametri (prezzo di acquisto, prezzo di
vendita, eventuali dividendi). Nel lavoro in classe è previsto un quiz di verifica dei contenuti del video e un
lavoro a gruppi in cui è necessario utilizzare la formula inversa del calcolo del rendimento e la lettura di
un grafico per ricavare i dati del problema.
In preparazione:
- Guardare il video: Mercati finanziari, azioni (week 1, modulo 2, video 1)
- Individuare nel video il significato di questi termini: azione, dividendo, tasso di rendimento,
capital gain.
- Svolgere l’esercizio 1
Esercizio 1
Calcolare il tasso di rendimento per una azione acquistata a 70 € per cui è stato ricevuto un
dividendo di 2 €, nei casi in cui l’azione venga rivenduta a:
a. 68 €
b. 70 €
c. 75 €
Svolgimento
Il tasso di rendimento è dato da
� � ���������� ���� ����������– ��� ���������������� �����������
In questo caso:
� � 2 �� 7070
dove � è il prezzo di vendita. Per ottenere il tasso di rendimento in percentuale, il valore di
� va moltiplicato per 100. Quindi, nei tre diversi casi i tassi di rendimento sono
a. 0%
b. 2,86%
c. 10%
le formule non sono corrette (vedi revisione precedente): ricontrollare
In classe:
- Quiz di verifica sui contenuti del video
- Correzione dell’esercizio 1 e ripasso della formula per il tasso di rendimento
- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 2, correzione e discussione in classe
Quiz: titoli azionari
1. Nel caso in cui una azienda decidesse di distribuire dei dividendi, chi avrebbe
diritto a riceverli?
a. I soci fondatori dell’azienda
b. Tutte le persone che detengono delle azioni dell’azienda
c. Tutte le persone che detengono una certa percentuale di azioni dell’azienda
d. I dipendenti dell’azienda
[b]
2. Quale informazione non è utilizzata per il calcolo del rendimento di una azione?
a. Il prezzo di acquisto
b. Il prezzo di vendita
c. La durata dell’investimento
d. I dividendi ricevuti
[c]
3. Immagina di aver acquistato e rivenduto una azione senza aver ricevuto dei
dividendi. In quale caso il rendimento di questa operazione è stato positivo?
a. Se il prezzo di vendita è minore di quello di acquisto
b. Se il prezzo di vendita è uguale a quello di acquisto
c. Se il prezzo di vendita è maggiore di quello di acquisto
d. Se il prezzo di vendita è almeno il 90% del prezzo di acquisto
[c]
4. Qual è il rendimento di una azione acquistata al prezzo di 70 €, che ha consegnato
un dividendo di 2 € e che è stata rivenduta a 75 €?
a. 2%
b. 5%
c. 7%
d. 10%
[d]
Per approfondire:
- Esercizi A, B degli esercizi aggiuntivi
Esercizio 2
Questo grafico rappresenta il prezzo di due titoli azionari negli ultimi anni:
Matteo ha acquistato una azione del titolo A nel 2014 e una azione del titolo B nel 2015.
Rivendendo nel 2018 le due azioni, quale dei due investimenti è stato più vantaggioso?
Alice invece ha avuto un rendimento del 10% comprando e rivendendo dopo alcuni anni una
azione, ma non si ricorda quale dei due titoli fosse e in quali anni abbia realizzato questa
operazione. Quale azione potrebbe aver acquistato e in quali anni?
Svolgimento
475 � 5,33% ! 473 � 5,48%
73 0,7 � 6767 � 10%
Il titolo A nel 2014 valeva 75 €, mentre il titolo B nel 2015 valeva 73 €. Nel 2018 il titolo A è
stato rivenduto a 79 € e il titolo B a 77 €. Il capital gain, cioè la differenza tra il prezzo di
acquisto e quello di vendita, è pari a 4 € in entrambi i casi.
L’acquisto del titolo B è però più vantaggioso, visto che il prezzo di acquisto è stato minore
(73 < 75) e quindi il tasso di rendimento dell’operazione è maggiore:
Una possibile soluzione è che Alice abbia comprato il titolo B nel 2012, pagandolo 70 €, e lo
abbia rivenduto a 77 € nel 2017, senza ricevere alcun dividendo.
Nel caso in cui Alice avesse ricevuto dei dividendi dall’azienda, sono possibili più
combinazioni: ad esempio se avesse acquistato il titolo A nel 2013 a 67 €, poi lo avesse
rivenduto nel 2015 a 73 € ricevendo nel frattempo un dividendo di 0,70 € si avrebbe un
rendimento pari al 10%:
65
67
69
71
73
75
77
79
81
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
PR
EZ
ZO
DE
LLE
AZ
ION
I
Titolo A Titolo B
Modulo 2: Le obbligazioni
In questa lezione
Argomenti Matematica in gioco
Obbligazioni
Tassi di mercato
Rappresentazione dei numeri come percentuali e come numeri
decimali; le operazioni tra i numeri decimali
Gestione di diversi registri di rappresentazione: numerici,
grafici, funzionali. Utilizzo di fogli di calcolo software
L’obiettivo della lezione è approfondire la conoscenza delle obbligazioni e dei tassi di mercato.
Per questo modulo sono previsti due video, uno da vedere in preparazione alla lezione, e uno, più
complesso, da guardare in aula insieme agli studenti. Dopo aver visto il video è previsto un quiz per
consolidare i contenuti e un lavoro a gruppi in cui calcolare il valore di un investimento rispetto a una
ipotetica curva dei tassi.
In preparazione:
- Guardare il video: Obbligazioni e rating (week 1, modulo 2, video 2)
- Trascrivere le definizioni di BOT, BTP, CCT e quale sia la differenza tra il mercato primario e
il mercato secondario.
In classe:
- Visione in classe del video: Tassi di interesse e di mercato (week 1, modulo 2, video 3)
- Quiz per verificare i contenuti dei video
- Correzione del quiz e discussione in classe
- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 3
Quiz: Obbligazioni
1. Cos’è una obbligazione?
a. Un titolo di debito emesso da uno Stato o da una azienda
b. Un titolo di credito emesso dallo Stato
c. Un titolo di debito emesso da un privato
d. Un titolo che rappresenta una quota di una azienda
[a]
2. Quali di queste non è una caratteristica dei BOT?
a. Sono titoli di Stato italiani
b. Danno diritto a ricevere una cedola ogni sei mesi
c. Hanno durata inferiore o uguale ad un anno
d. Hanno valore nominale fissato a priori
[b]
3. Considera un BTP con valore nominale di 100 € e tasso cedolare del 3%. Com’è la
sua cedola?
a. Semestrale e del valore di 3 €
b. Annuale e del valore di 3 €
c. Semestrale e del valore di 1,50 €
d. Quadrimestrale e del valore di 1 €
[c]
4. Immagina che una obbligazione abbia un tasso di interesse negativo. Cosa significa?
a. Nel corso della vita del titolo, l’emittente dell’obbligazione consegna meno
soldi a chi lo possiede di quelli che ha ricevuto al momento dell’emissione.
b. Nel corso della vita del titolo, l’emittente dell’obbligazione consegna più
soldi a chi lo possiede di quelli che ha ricevuto al momento dell’emissione.
c. Ambedue le affermazioni precedenti.
d. Nessuna delle precedenti affermazioni.
[a]
5. Perché la curva dei tassi di interesse è solitamente crescente?
a. Perché il valore del denaro aumenta nel corso del tempo.
b. Perché di solito per prestare denaro per più tempo si chiedono interessi più
elevati.
c. Perché per prestare molto denaro si chiedono interessi più elevati.
d. Perché per periodi di tempo più lunghi si chiedono minori garanzie.
[b]
6. Un’azienda riceve un rating basso dalle agenzie di valutazione. Quale affermazione è
corretta?
a. Le obbligazioni emesse dalla azienda avranno dei tassi di rendimento molto
elevati, perché è molto alta anche la probabilità che l’azienda fallisca, non
ripagando le obbligazioni emesse.
b. Le obbligazioni emesse dalla azienda avranno dei tassi di rendimento molto
elevati, perché è molto bassa la probabilità che l’azienda fallisca e quindi
ripagherà sicuramente le obbligazioni emesse.
c. Le obbligazioni emesse dalla azienda avranno dei tassi di rendimento molto
bassi, perché è molto alta la probabilità che l’azienda fallisca, non ripagando
le obbligazioni emesse.
d. Le obbligazioni emesse dalla azienda avranno dei tassi di rendimento molto
bassi, perché è molto bassa la probabilità che l’azienda fallisca e quindi
ripagherà sicuramente le obbligazioni emesse.
[a]
Esercizio 3
Immagina che questo grafico rappresenti la curva dei tassi di interesse per i prossimi dieci
anni
Prestando oggi la cifra di 100 €, quanto otterrai tra 1 anno? E tra 8 anni?
Quale cifra devi prestare oggi per ottenere tra 10 anni 1000 €?
Svolgimento
Tra un anno avrai 100(1+0,0033)= 100,0033 €.
Tra otto anni invece avrai 100 ∗ �1 0,0123�& � 110,27€. Per avere 1000 € tra 10 anni bisogna trovare l’ammontare di denaro C tale che )�1 0,0123�*+ � 1000 per cui ) � 884,93€.
Questo esercizio può essere utilizzato anche per introdurre l’argomento della lezione
successiva: l’attualizzazione.
Per approfondire
- Guardare il materiale: https://www.imparalafinanza.it/obbligazioni/
- Esercizi aggiuntivi
0,330%
0,55%0,65%
0,80%
1,00%1,10%
1,15%1,23%
1,28% 1,30%
1 anno 2 anni 3 anni 4 anni 5 anni 6 anni 7 anni 8 anni 9 anni 10 anni
Modulo 3: Rischio di tasso
In questa lezione
Argomenti Matematica in gioco
Calcolo del prezzo di un titolo
obbligazionario
Variare del prezzo di un’obbligazione al
variare del tasso
Studio di espressioni letterali per risolvere un problema;
costruzione di un’equazione per descrivere un problema
Gestione di diversi registri di rappresentazione: numerici,
grafici, funzionali. Utilizzo di fogli di calcolo e software
L’obiettivo della lezione è utilizzare la legge di capitalizzazione composta per il calcolo del prezzo di una
obbligazione e valutare come cambi il prezzo al variare dei tassi di interesse e della scadenza del titolo.
Argomento centrale del lavoro in preparazione e in aula è il concetto di attualizzazione di una somma di
denaro, cioè stabilire quale sia oggi il valore di flussi di denaro che si riceveranno in futuro.
Nel video da guardare in preparazione alla lezione viene anche definito lo spread tra Italia e Germania:
questa lezione quindi offre anche la possibilità di fare collegamenti con l’attualità, approfondendo il
significato di spread, controllando quale sia il valore attuale dello spread e discutendo come sia variato
negli ultimi anni.
In preparazione:
- Guardare il video: Spread e prezzo delle obbligazioni (week 1, modulo 2, video 4)
- Svolgere l’esercizio 4.
Esercizio 4
Consideriamo un BOT con valore nominale 100 €, tasso di interesse 0,5% e scadenza tra un
anno. Qual è il suo prezzo oggi?
Svolgimento
Il BOT ha valore nominale di 100 €, quindi il suo prezzo P è tale che 100 � P�1 0,005� Da cui � � 99,50 €.
In classe:
- Discussione a partire dalla domanda “Cosa vuol dire attualizzare una somma di denaro?”
- Correzione dell’esercizio 4
- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 5 e dell’esercizio 6, correzione.
Esercizio 5
Immagina di aver acquistato oggi il BOT dell’esercizio 4, cioè un BOT con scadenza tra un
anno, valore nominale di 100 €, prezzo di acquisto di 99,50 € e quindi tasso di interesse
0,5%.
Tra 3 mesi, in quali di questi casi sarebbe conveniente rivendere il BOT?
a. i tassi a nove mesi su base annuale saranno rimasti invariati (sempre 0,5%);
b. i tassi a nove mesi su base annuale saranno aumentati e saranno pari a 1%;
c. i tassi a nove mesi su base annuale saranno diminuiti e pari allo 0,1%.
Svolgimento
Decidendo di rivendere il BOT tra tre mesi devi calcolare il prezzo del titolo che avrà ancora
una vita di 9 mesi (quindi 0,75 anni).
A questo fine devi attualizzare il valore nominale del titolo (al momento del rimborso) e
utilizzare la legge dell’interesse composto per ciascuno dei tre tassi di interesse.
Il prezzo del BOT nei tre casi sarà dunque
a. 100 = C�1,005�+,/0 ovvero ) � *++�*,++0�1,23 da cui C � 99,63 €
b. C � *++�*,+*�1,23 � 99,26 €
c. C � *++�*,++*�1,23 � 99,93 €
Nel secondo caso, in cui il tasso è aumentato, il prezzo di vendita è inferiore rispetto al
prezzo di acquisto, mentre nel primo e nel terzo caso, in cui il tasso di interesse è rimasto
invariato o è diminuito, i prezzi di vendita dopo tre mesi sono maggiori rispetto al prezzo di
acquisto.
Esercizio 6
I dati della curva dei tassi di mercato delle obbligazioni di un emittente sono riportati
nella seguente tabella:
Determina il prezzo oggi di un’obbligazione, del valore nominale di 100 €, che verrà
rimborsata tra 4 anni e che stacca ogni anno una cedola pari a 2 €.
Svolgimento
1,00%
1,20%
1,40%
1,60%
1,80%
2,00%
2,20%
2,40%
2,60%
2,80%
3,00%
3,20%
3,40%
1 anno 2 anni 3 anni 4 anni 5 anni
Tasso
Per calcolare il prezzo dell’obbligazione oggi è necessario attualizzare ad oggi il valore
nominale, che si riceverà tra 4 anni, e le cedole, che si riceveranno con cadenza annuale.
Il prezzo dell’obbligazione è dato quindi da
� � 2�1 0,013� 2�1 0,018�4 2�1 0,025�5 2�1 0,03�6 100�1 0,03�0
cioè � � 96,34 €
Per approfondire:
- Guardare il materiale: https://www.imparalafinanza.it/obbligazioni/
- Discutere il significato di Spread, cercarne il valore attuale su internet.
- Esercizio C degli esercizi aggiuntivi
Modulo 4: Piani di ammortamento
In questa lezione
Argomenti Matematica in gioco
Piani di ammortamento
Come calcolare la rata di un mutuo o di
un finanziamento
Rappresentazione dei numeri come percentuali e come
numeri decimali; le operazioni tra i numeri decimali.
Affrontare alcuni esempi di modelli matematici in diversi
ambiti. Utilizzo di fogli di calcolo.
L’argomento di questo modulo è la costruzione di un piano di ammortamento confrontando le differenze
tra i piani di ammortamento a rata costante o a quota capitale costante e comprendendo come viene
utilizzato il TAN per il calcolo della rata.
Per agevolare il calcolo delle rate si può utilizzare un foglio di calcolo o preparare un semplice
programma che effettui il calcolo e costruisca il piano di ammortamento. In aula è previsto un quiz di
verifica dei contenuti e un esercizio da svolgere a gruppi in cui, oltre a riprendere i contenuti matematici
della lezione, è possibile aprire una discussione con gli studenti su come prendere decisioni e quali fattori
personali possano influenzare la scelta tra due diverse proposte di finanziamento.
In preparazione:
- Guardare il video: Un po’ di tecnica: ammortamento italiano e francese (week 1, modulo
3, video 4)
- Svolgere l’esercizio 7 utilizzando le formule presenti nel video e un foglio di calcolo.
Esercizio 7
Immagina di ricevere un finanziamento per due anni, con rate quadrimestrali e TAN = 0,9%.
Trova il piano di ammortamento a rata costante e a quota capitale costante se la cifra presa
in prestito è pari a 1.000 €.
Svolgimento
Il piano di ammortamento a rata costante è riassunto in questa tabella:
Numero
rata Rata
Quota
Interessi
Quota
Capitale
Debito
Residuo
0 1000,00
1 168,42 3,00 165,42 834,58
2 168,42 2,50 165,92 668,66
3 168,42 2,01 166,42 502,25
4 168,42 1,51 166,91 335,33
5 168,42 1,01 167,42 167,92
6 168,42 0,50 167,92 0,00
Invece il piano di ammortamento a quota capitale costante è dato da:
Numero
rata Rata
Quota
Interessi
Quota
Capitale
Debito
Residuo
0 1000,00
1 169,67 3,00 166,67 833,33
2 169,17 2,50 166,67 666,67
3 168,67 2,00 166,67 500,00
4 168,17 1,50 166,67 333,33
5 167,67 1,00 166,67 166,67
6 167,17 0,50 166,67 0,00
In classe
- Correzione dell’esercizio 7.
- Quiz di verifica sui contenuti del video, correzione e discussione.
- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 8 (con un supporto informatico).
Quiz: Piani di ammortamento
1. Cos’è un piano di ammortamento?
a. Un piano che indica solo quali siano il TAN e il TAEG di un prestito.
b. Un piano che indica quali e quante siano le rate da pagare per estinguere un
prestito.
c. Un piano che indica quando siano le scadenze delle rate di un prestito
d. Nessuna delle precedenti .
[b]
2. Che cos’è il debito residuo?
a. La differenza tra il denaro preso in prestito e le quote interesse versate.
b. La somma degli interessi che devono ancora essere pagati.
c. La differenza tra il denaro preso in prestito e le quote capitale versate.
d. La differenza tra la somma delle rate pagate e la cifra presa in prestito.
[c]
3. Considera un ammortamento alla francese, cioè a rata costante. Quale di queste
affermazioni è corretta?
a. La quota capitale aumenta nel tempo, mentre la quota interessi diminuisce.
b. La quota capitale diminuisce nel tempo, mentre la quota interessi aumenta.
c. Sia la quota capitale che quella interessi diminuiscono nel tempo.
d. Sia la quota capitale che quella interessi aumentano nel tempo.
[a]
4. Considera un ammortamento italiano, cioè a quota capitale costante. Quale di
queste affermazioni è corretta?
a. La rata aumenta nel tempo, perché la quota interessi aumenta.
b. La rata rimane costante nel tempo, perché anche la quota interessi è
costante.
c. La rata diminuisce nel tempo, perché la quota interessi diminuisce.
d. La rata diminuisce nel tempo, nonostante la quota interessi aumenti.
[c]
Esercizio 8
Giorgia e Matteo hanno chiesto un mutuo di 100.000 € per acquistare casa. Le condizioni
proposte dalla loro banca sono di aprire un mutuo di durata ventennale con TAN fisso di
1,3% e rate mensili.
Giorgia preferirebbe un piano d’ammortamento a rata costante, per pagare sempre la stessa
cifra. Matteo invece sostiene che sia meglio un piano a quota capitale costante poiché la
cifra sarà più alta all’inizio ma diminuirà nel corso del tempo. Per convincere Giorgia, Matteo
afferma: “Con un piano d’ammortamento a quota capitale costante tra cinque anni
pagheremo una rata già inferiore rispetto alla rata che pagheremmo con un ammortamento
francese.”
Giorgia invece sostiene che un piano a rata costante sia più vantaggioso anche perché il
totale pagato, al termine dei vent’anni, sarà minore rispetto all’altro caso.
Queste argomentazioni sono corrette?
Trova i piani di ammortamento nei due casi per verificare chi dei due abbia ragione.
Svolgimento
Nessuno dei due ha ragione.
Il piano di ammortamento italiano prevede una rata di 473,40 € e il totale pagato, dopo
venti anni di rate mensili, è di 113.616,55 €.
La rata dell’ammortamento francese è invece pari a 525,00 € all’inizio, dopo cinque anni è
pari a 498,37 € e diventa minore della rata costante solo dopo la 116esima rata, cioè dopo
quasi dieci anni. Il totale pagato però è di 113.054,20 €.
Dopo la risoluzione numerica di questo problema, con la costruzione del piano
d’ammortamento, è possibile guidare la classe su una discussione più generale riguardo al
fatto che non esista un piano “migliore” dell’altro ma che considerazioni personali possono
portare a preferire una rata costante o una rata decrescente nel tempo.
Ricordare agli studenti che in questo caso non stiamo considerando alcun tipo di spese, ma
solo i soldi utilizzati per ripagare il prestito.
Per approfondire
- Guardare i video: A cosa stare attenti nel fare un mutuo? (week 1, modulo 3, video 3)
Mutui a tasso fisso o variabile? (week 1, modulo 3, video 5)
- Guardare il materiale: https://www.imparalafinanza.it/mutui/
- Rispondere ai quiz presenti: https://www.imparalafinanza.it/quiz-mutui/
- Esercizi D, E degli esercizi aggiuntivi
Modulo 5: Le rendite
In questa lezione
Argomenti Matematica in gioco
Rendite immediate e posticipate
Calcolo del valore attuale
Calcolo del montante
Affrontare alcuni esempi di modelli matematici in diversi
ambiti; familiarizzare con gli strumenti informatici per
manipolare oggetti matematici e studiare le modalità di
rappresentazione dei dati elementari testuali e multimediali
L’obiettivo di questa lezione è portare gli studenti a ricavare le formule per il calcolo del montante e del
valore attuale di rendite immediate e posticipiate, utilizzando la somma finita della serie geometrica.
In preparazione:
- Svolgere l’esercizio 9 utilizzando la seguente formula:
1 ��4 �5 ⋯�� � 1 ���8*1 �� �∗� - Cercare una dimostrazione
5 della precedente relazione
Esercizio 9
Andrea deposita al termine di ogni mese il suo stipendio di 1.000 € in un conto corrente
bancario dove riceve un tasso di interesse del 0,03% mensile.
Quanto denaro ci sarà sul conto a fine anno, dopo che Andrea avrà versato 12 mensilità?
Prova a generalizzare il risultato precedente. Immagina che Andrea versi una cifra pari a R,
per n periodi di tempo equidistanti e riceva un interesse pari a i sull’intervallo di tempo di
riferimento. Quale formula ti permette di calcolare il montante al termine dei versamenti?
Svolgimento
Il versamento di Andrea rappresenta una rendita posticipata:
Il primo versamento rimarrà sul conto corrente per 11 mesi, il secondo per 10 mesi, il terzo
per 9 mesi e così via. Quindi la cifra a disposizione di Andrea al termine dopo 12 mesi sarà
uguale a 9 � 1.000 ⋅ �1 0,0003�** 1.000 ⋅ �1 0,0003�*+ ⋯ 1.000 ⋅ �1 0,0003�* 1.000 � 1.000 ⋅ ��1,0003� �1,0003�4 �1,0003�5 ⋯�1,0003�**� Usando la formula suggerita nel testo si ha 9 � 1000 ⋅ *;*,+++5<=*;*,+++5 � 12.019,82€
5 Ad esempio può essere utilizzata la pagina di Wikipedia in cui sono presenti tre diverse dimostrazioni elementari:
http://goo.gl/n73Lk2
X X X X X X X X X X X X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
In generale, il valore finale (montante) associato al versamento alla fine di ogni periodo di
una cifra pari a R (rendita R posticipata) con un tasso di interesse i per il periodo di
riferimento per n periodi di tempo è uguale a
� � � ⋅ �1 ��� � 1�
In classe:
- Correzione dell’esercizio 9, con introduzione del concetto di rendita
- Dimostrazione della formula
> ��
�
�?+ � 1 ���8*1 �� - Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 10, correzione e discussione in classe.
Esercizio 10
Nell’esercizio 9 hai calcolato il montante di una rendita, ovvero il valore finale delle cifre
versate. Un’altra informazione che possiamo individuare è il valore attuale della rendita,
cioè quanto vale oggi il versamento per n periodi di tempo di una cifra R al tasso di
interesse i per il periodo di riferimento.
Trova la formula per calcolare il valore attuale.
Utilizza la formula trovata per calcolare il valore attuale di una rendita di posticipata di 500 €
per i prossimi 6 anni, valutata al 2,5% annuo.
Svolgimento
Per ottenere il valore attuale è necessario attualizzare ad oggi il flusso di denaro.
Il primo versamento oggi vale ��1 ��;*,
il secondo versamento oggi vale ��1 ��;4,
e così via, fino all’ultimo versamento (l’n-esimo) che oggi vale ��1 ��;�.
Sommando questi valori si ha
� � � ⋅ @ 11 � 1�1 ��4 ⋯ 1�1 ���A Utilizzando la formula (*) vista ad inizio lezione ottieni:
� � � ⋅ B1 � C **8�D�8*1 **8�� 1E
Semplificando l’espressione precedente ottieni
� � � ⋅ 1 � �1 ��;��
Il valore attuale della rendita è dato da
� � 500 ⋅ 1 � �1 0,025�;F0,025 � 2.754,06€
Per approfondire:
- Introduzione di rendite anticipate, differite, perpetue
- Esercizio F degli esercizi aggiuntivi
Esercizi Aggiuntivi
A. Se ho comprato un’azione della società “Prendi i soldi e scappa” a 80 € nel 2010, e l’ho
rivenduta a 74 € dopo 2 anni, in quali di questi casi ho avuto un rendimento positivo?
a. Se la società non ha pagato dividendi
b. Se la società ha pagato un dividendo di 10 € nel 2013
c. Se la società ha pagato un dividendo di 6 € nel 2011
d. Se la società ha pagato un dividendo di 7 € nel 2011.
[Solo nell’ultimo caso]
B. Un’azione acquistata nel 2015 a 70 €, nel 2016 ha maturato un dividendo di 1,50 €. A quanto
è stata rivenduta nel 2017, se il tasso di rendimento è stato del 5%?
[72 €]
C. I dati delle curve dei tassi di mercato delle obbligazioni di due diversi emittenti sono riportati
nella seguente tabella:
1 anno 2 anni 3 anni
obbligazione A 1,3 % 1,7 % 2,1 %
obbligazione B 1,5 % 2 % //
Le obbligazioni hanno ognuna un valore nominale di 100 € e vengono rimborsate la
prima tra 3 anni, staccando alla fine di ogni anno una cedola pari a 2 €, la seconda tra 2
anni, staccando alla fine di ogni anno una cedola pari a 3 €.
Quale delle due obbligazioni ha oggi un prezzo meno elevato?
[il prezzo dell’obbligazione A è 99,74 €
Il prezzo dell’obbligazione B è 101,96 €]
D. Considera le proposte di queste due agenzie per un prestito di 10.000 €:
a. Star Agency: TAN = 7,28 %, rata mensile, durata pari a 3 anni;
b. Rapid Money: TAN = 7,03%, rata mensile, durata pari a 5 anni.
Nel caso in cui entrambe le agenzie ti offrano un piano d’ammortamento a rata costante,
quale delle due offerte avrebbe una rata minore?
[Star Agency 310,05 €; Rapid Money 198,15 €]
E. Andrea ha ottenuto un finanziamento di due anni, con rate bimestrali. Il piano di
ammortamento è a quota capitale costante e la prima rata è di 181,67 €, di cui 15,00 €
rappresentano la quota interesse.
Riesci con solo queste informazioni a determinare l’importo richiesto in prestito e il TAN del
finanziamento?
[Il prestito è di 2.000 € e il TAN è pari a 4,5%]
F. Carla si impegna a versare a partire da oggi, presso una banca che applica il tasso di interesse
annuo del 5%, 2.000 € ogni anno. Carla vorrebbe prima o poi avere a disposizione la cifra di
15.000 €: dopo quanti anni potrà averla?
[Dopo 7 anni]
Verifica conclusiva
Esercizio 1: Considera l’andamento di una azione rappresentato da questo grafico e rispondi alle
domande.
Immagina che tre amiche Chiara, Daniela e Elena abbiano acquistato questa azione ma Chiara l’ha
acquistata nel 2011, Daniela nel 2012 e Elena nel 2013.
a. Quale delle tre guadagnerebbe di più da questo investimento se Chiara, Daniela ed Elena
dovessero rivendere oggi la loro azione? Perché?
b. In quali anni rivendendo la sua azione, Chiara avrebbe avuto un rendimento negativo?
c. Se Elena avesse rivenduto la sua azione nel 2017, quale sarebbe stato il tasso di
rendimento del suo investimento nel caso il titolo non avesse mai distribuito dividendi?
d. Immagina che nel 2014 la società abbia pagato dei dividendi ai suoi azionisti e che Daniela
abbia rivenduto l’azione nel 2015 e il suo tasso di rendimento sia stato del 15%. A quanto
ammontava il dividendo che Daniela ha ricevuto?
[Daniela guadagnerà di più avendola acquistata al prezzo inferiore,
Chiara avrebbe avuto un rendimento negativo rivendendo la sua azione prima del 2015,
il rendimento di Elena è 12,99%,
il dividendo ricevuto da Daniela è di 3 €]
Esercizio 2: I dati della curva dei tassi di mercato delle obbligazioni di
un emittente sono quelli in tabella.
L’obbligazione ha un valore nominale di 100 € e viene rimborsata tra
2 anni, staccando ogni anno una cedola di 2 €. Qual è oggi il prezzo dell’obbligazione?
[98,10 €]
1 anno 2 anni
tasso 2,5 % 3%
Esercizio 3: Marco ha aperto un mutuo, chiedendo alla banca 80.000 € che restituirà nei prossimi
dieci anni, con rate mensili, pagando un tasso fisso di 2,4%.
Completa le prime righe del suo piano d’ammortamento nel caso sia a rata costante o a quota
capitale costante.
Ammortamento a rata costante
Numero
rata Rata
Quota
Interessi
Quota
Capitale
Debito
Residuo
0 80.000,00
1 750,53 160,00 590,53 79.409,47
2 750,53 158,82 591,71 78.817,77
Ammortamento a quota capitale costante
Numero
rata Rata
Quota
Interessi
Quota
Capitale
Debito
Residuo
0 80.000,00
1 826,67 160,00 666,67 79.333,33
2 825,33 158,67 666,67 78.666,67
Esercizio 4: Calcola il valore attuale e il montante di una rendita posticipata in cui vengono versati
ogni mese 200 € per 10 mesi al tasso del 1,5% mensile.
[Il valore attuale è 1983,60 €,
il montante è 2013,55 €]
Proposte di Educazione Finanziaria
Flipped Classroom – Rischio e investimenti
QFinLab
Politecnico di Milano
Perché educazione finanziaria?
Al giorno d’oggi è sempre più sentito il bisogno di una solida conoscenza in materia finanziaria.
Alcuni eventi recenti (la crisi finanziaria, il bail-in delle banche, le difficoltà economiche delle
famiglie) hanno infatti mostrato come vi sia un deficit di competenze tra la popolazione che rende
impellente la necessità di svolgere un’azione efficace in materia di educazione finanziaria, con
l’obiettivo di permettere ai cittadini di conoscere e comprendere i rischi della finanza e di
confrontarsi con la propria banca o con il proprio consulente “parlando la stessa lingua”.
La necessità di conoscere i principi di base della finanza coinvolge le giovani generazioni e, in
particolare, gli studenti degli ultimi anni della scuola secondaria di II grado. E’ oramai condiviso
infatti che l’educazione finanziaria debba far parte del bagaglio di competenze dei giovani che
sono chiamati a confrontarsi con i primi problemi finanziari come aprire un conto corrente e
acquistare un oggetto a rate.
Perché educazione finanziaria nelle ore di matematica?
Scopo di questo percorso è presentare l’educazione finanziaria nell’ambito dell’applicazione delle
conoscenze impartite nei corsi di matematica. Le attività svolte all’interno della proposta didattica
sono in linea con le Indicazioni Nazionali per il curriculum di matematica della scuola secondaria di
secondo grado, soprattutto degli ultimi anni del percorso scolastico.
In particolare:
- per quanto riguarda l'ambito delle relazioni e funzioni, vengono forniti gli strumenti per
produrre e interpretare rappresentazioni (grafiche, tabulari, sotto forma di formule) di fenomeni,
introducendo i primi rudimenti di modellizzazione matematica;
- per quanto riguarda le conoscenze in ambito statistico, vengono proposte diverse
rappresentazioni di insiemi di dati e introdotti i concetti di media, varianza e correlazione per
effettuare semplici analisi su insiemi di dati, anche con il sostegno di software e strumenti
informatici;
- infine, per quanto riguarda le competenze trasversali, il percorso didattico permette agli studenti
di potenziare le capacità di risoluzione dei problemi, mantenendo il controllo non solo sul
procedimento ma anche sulla validazione dei risultati, di sviluppare le competenze per passare
agevolmente da un registro di rappresentazione ad un altro (numerico, grafico, analitico).
Perché usare la flipped classroom o “classe rovesciata”?
Lo scopo di questa metodologia didattica, validata anche da ricerche in materia di didattica della
matematica, è quello di promuovere un apprendimento attivo e autonomo da parte dello
studente.
La lezione è divisa in due parti: la prima da svolgere autonomamente dallo studente (solitamente a
casa) e la seconda realizzata in classe, sotto la guida dell’insegnante. Nella prima parte, gli studenti
svolgono attività con l’ausilio di materiali (video, testi scritti, esercizi) al fine di prepararsi alla fase
successiva. Nella seconda parte della lezione, l’insegnante dedica tempo ai concetti più difficili e
propone attività che permettano agli studenti di approfondire quanto già appreso nella prima
parte consolidando l’apprendimento.
La proposta
Questo percorso, articolato in quattro moduli, è pensato per gli studenti degli ultimi due anni delle
scuole secondarie di secondo grado. Il percorso è da svolgere sotto la guida del docente di
matematica o di scienze economiche, come approfondimento rispetto al tema degli investimenti e
delle scelte in condizioni di incertezza.
Gli argomenti dei moduli sono i seguenti:
M1 Introduzione
Argomenti Matematica in gioco
Concetti di media e di varianza di un
insieme di dati
Studiare le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle
misure di variabilità
M2 Stima media varianza
Argomenti Matematica in gioco
Analisi di serie storiche di prezzi di
azioni
Calcolo della media e della varianza
Rappresentare e analizzare in diversi modi (anche utilizzando
strumenti informatici) un insieme di dati, scegliendo le
rappresentazioni più idonee
Usare strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per
analizzare raccolte di dati e serie statistiche
M3 Diversificare gli investimenti
Argomenti Matematica in gioco
Confronto tra i rendimenti di due titoli
azionari
Correlazione tra i titoli (positiva o
negativa)
Familiarizzare con gli strumenti informatici per manipolare
oggetti matematici e studiare le modalità di rappresentazione
dei dati elementari testuali e multimediali
Apprendere i concetti di deviazione standard, dipendenza,
correlazioni e di campione
M4 Come diversificare?
Argomenti Matematica in gioco
Costruzione di un portafoglio tra due
titoli azionari
Calcolo di media e varianza di un
portafoglio di titoli
Analizzare sia graficamente che analiticamente le principali
funzioni e operare su funzioni composte e inverse
Approfondire il concetto di modello matematico
Di seguito sono descritti i piani delle lezioni per ciascun modulo, con le attività da svolgere in
preparazione alla lezione e in aula sotto la guida dell’insegnante. La proposta è completata da
alcuni esercizi aggiuntivi di approfondimento sugli argomenti affrontati nei moduli e da una
proposta di verifica conclusiva per l’insegnante.
Tra gli allegati a questa proposta ci sono le schede con il materiale didattico da utilizzare con gli
studenti (schede per il lavoro a casa, copia cartacea dei quiz, esercizi per il lavoro a gruppi, testo
della verifica).
Modulo 0: Prima di iniziare
Quiz introduttivo:
Sottoporre agli studenti un quiz per valutare le loro eventuali conoscenze pregresse. Il test iniziale
può essere corretto al termine del percorso di educazione finanziaria, facendolo correggere
direttamente agli studenti o riproponendolo come verifica delle conoscenze apprese.
Quiz introduttivo1
1. Quali tra questi strumenti finanziari ha storicamente mostrato maggiori fluttuazioni nel suo valore
nel corso del tempo?
a. Indice di borsa
b. Titoli di Stato
c. Obbligazioni di società industriali
d. Valore del conto corrente
e. Non so
[d]
2. Uno strumento finanziario, che ha avuto storicamente un rendimento elevato, ha generalmente
avuto anche una variabilità elevata?
a. Vero
b. Falso
c. Non so
[a]
3. Devi investire 100 euro: puoi investire in due titoli azionari appartenenti a due settori distinti che
però hanno avuto rendimento medio simile negli ultimi anni. Ti conviene:
a. investire in un solo titolo
b. investire in ambedue i titoli
c. non so
[b]
1I quiz possono essere somministrati online utilizzando software gratuiti (come Google Form, Kahoot, Socrative…), in
cui gli studenti rispondono usando il loro smartphone. Il vantaggio è che con questa modalità può essere inserita la
correzione che diviene quindi automatica; il docente può così controllare immediatamente i risultati della classe e fare
una correzione mirata rispetto alle risposte fornite.
Per chi non potesse utilizzare questa modalità, tra gli allegati alla proposta sono presenti delle schede cartacee con la
copia dei quiz.
Introduzione:2
- Condividere con gli studenti gli obiettivi della nuova metodologia didattica, spiegando
l’importanza della fase di preparazione (da svolgere a casa o in classe, ma in autonomia)
per poter comprendere il lavoro che verrà svolto nella lezione in classe.
- Mostrare come iscriversi alla piattaforma www.pok.polimi.it e al corso “Finanza per Tutti”3
- Vedere insieme il video introduttivo4: “Introduzione al corso”
https://youtu.be/Hwl1DsE7s6k?list=PLmKUwJ0KJQnW0eqrDPPc5_PnpSGJOEUM-
- Vedere insieme agli studenti il video della prima lezione, mostrando tutte le potenzialità
del poter seguire una “lezione” via video: interrompere, prendere appunti, rivedere,
velocizzare, rallentare, rifare i conti presentati…
2 Questi suggerimenti sono soprattutto per le classi in cui non è mai stata utilizzata la flipped classroom, in cui gli
studenti non hanno confidenza con il lavoro online e a casa 3 Le edizioni del corso rimangono aperte alcuni mesi; terminata una edizione ne viene aperta una successiva dopo
pochi giorni in modo che il corso sia sempre accessibile. In homepage è possibile controllare la durata dell’edizione
attuale e la data di chiusura, per non perdere il lavoro svolto in piattaforma. 4 E’ possibile seguire i video anche senza registrarsi alla piattaforma e accedendo direttamente dai link di YouTube.
L’iscrizione alla piattaforma, gratuita, permette però di avere una visione più strutturata del corso (quiz, forum, ordine
dei video), oltre che la possibilità di vedere quali siano gli altri corsi disponibili per approfondimenti personali o futuri
progetti in classe.
Modulo 1: Introduzione
In questa lezione
Argomenti Matematica in gioco
Concetti di media e di varianza di un
insieme di dati
Studiare le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle
misure di variabilità
L’obiettivo di questa lezione è introdurre gli indici statistici elementari di un insieme di dati come media,
moda, varianza, deviazione standard. Nel video in preparazione alla lezione vengono presentate le
definizioni di questi termini con alcuni semplici esempi; gli studenti hanno poi occasione di consolidare le
loro conoscenze con l’esercizio 1 e il quiz svolto in aula. In classe il docente può correggere il quiz e il
lavoro a gruppi riprendendo le definizioni fondamentali, in modo da assicurarsi che tutta la classe abbia
non solo capito il significato di media, moda, varianza ma sappia anche come calcolarli su un insieme di
dati poco numerosi.
In preparazione:
- Guardare il video: Elementi di statistica5
- Svolgere l’esercizio 1
Esercizio 1
In una classe di 32 studenti è stato proposto un test di matematica. Questi sono i risultati
Numero studenti Voto
2 Assenti
5 5
7 6
12 7
5 8
1 10
Calcola la media, la varianza e la deviazione standard di questo insieme di dati.
Svolgimento
La media è 6,7
La varianza è 1,27
La deviazione standard è 1,12
L’esercizio è svolto nel video Media, Varianza, Deviazione Standard
In classe:
5 I video utilizzati in questa lezione sono tratti dal Mooc “Introduzione alla matematica per l’università: PreCalculus”.
Come quelli del corso “Finanza per Tutti”, i video sono accessibili gratuitamente sulla piattaforma pok.polimi.it e su
YouTube.
- Quiz sui contenuti del video Elementi di statistica
- Correzione dell’esercizio 1, guardando insieme il video Media, Varianza, Deviazione
Standard
- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 2
Quiz: media e varianza
1. Quale di queste formule permette di calcolare la media di un insieme di dati
��,��, … ,��
a. � ⋅ ��� ��� �⋯��� b.
�� ��� �⋯����
c.
�� ��� �⋯����
d. Nessuna delle precedenti
[b]
2. Dato un insieme di dati ��,��, … ,�� con media �� quale di queste formule permette
di calcolare la varianza?
a.
�� ⋅ �� ��� �⋯����
b. ��� ��� � ��� ��� �⋯� ��� ����
c. ��� ���� � ��� ���� �⋯� ��� �����
d.
��� ���� � ��� ���� �⋯� ��� �����
[c]
3. Ecco i voti presi da Andrea in questo quadrimestre: 6, 4, 7, 5, 6, 8. Quale di queste
affermazione è corretta?
a. La media dei voti è 6
b. La mediana dei voti è 6
c. La moda dei voti è 6
d. Tutte le precedenti
[d]
4. Alice ha preso due 7 in italiano, che voto deve prendere perché la media sia uguale a 8?
a. 8
b. 9
c. 10
d. Nessuno dei precedenti
[c]
5. Confronta i voti presi da Andrea e da Alice in questo quadrimestre:
Andrea: 6,4,7,5,6,8
Alice: 7,6,5,6,6,7.
Quale dei due insiemi avrà una varianza maggiore?
a. I voti di Andrea
b. I voti di Alice
c. La varianza è uguale per entrambi
d. Non ci sono dati sufficienti per rispondere
[a]
6. La deviazione standard è
a. La radice quadrata della varianza
b. La radice quadrata della media
c. Il quadrato della varianza
d. Il quadrato della media
[a]
Esercizio 2
Considera la situazione dell’Esercizio 1.
In una classe di 32 studenti è stato proposto un test di matematica. Questi sono i risultati
Immaginando che i due studenti abbiano l’occasione di recuperare il test in un giorno
successivo, che voti dovrebbero prendere per far sì che la media della classe aumenti?
E’ possibile che la media dei voti diventi uguale alla moda dei voti?
Numero studenti Voto
2 Assenti
5 5
7 6
12 7
5 8
1 10
Svolgimento
Intuitivamente, perché la media aumenti è necessario che entrambi gli studenti prendano
un voto più alto della media precedente, cioè almeno 7.
Volendo risolvere algebricamente: se � è la somma dei voti dei due studenti assenti,
perché la media sia maggiore di 6,7 deve valere 201 ��32 � 6,7
Da cui � � 13,4.
La moda dei voti è 7. Non è possibile che aggiungendo due nuovi voti la media diventi
uguale a 7, infatti anche se entrambi gli studenti prendessero il voto più alto possibile, cioè
10 la media sarebbe �������� � 6,9
Per approfondire:
- Esercizio A dagli esercizi aggiuntivi
Modulo 2: Stima media-varianza
In questa lezione
Argomenti Matematica in gioco
Analisi di serie storiche di prezzi di azioni
Calcolo della media e della varianza
Rappresentare e analizzare in diversi modi (anche utilizzando
strumenti informatici) un insieme di dati, scegliendo le
rappresentazioni più idonee
Usare strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per
analizzare raccolte di dati e serie statistiche
Scopo di questa lezione è riprendere i concetti introdotti nel modulo precedente applicandoli all’analisi
dei rendimenti di serie storiche di titoli azionari. Nel video in preparazione alla lezione gli studenti
avranno modo di ripassare i concetti di rendimento, media e varianza vedendo alcuni esempi di serie
storiche di titoli azionari. Le serie storiche da utilizzare per gli esempi in aula si trovano seguendo i link
indicati.
Durante la lezione l’insegnante deve riprendere i concetti fondamentali e poi guidare gli studenti
nell’analisi di alcuni dati storici utilizzando strumenti informatici, come i fogli di calcolo.
Il modulo si conclude con un lavoro a gruppi che introduce l’argomento della lezione successiva.
In preparazione:
- Guardare il video: Misurare il rischio (week 2, modulo 2, video 1)
- Trascrivere la definizione di rendimento, di rendimento medio giornaliero e di volatilità
In classe:
- Svolgimento alla lavagna dell’esercizio 3 riprendendo i concetti introdotti nel video
- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 4
Esercizio 3
Considera il prezzo giornaliero dell’azione del titolo A nel 2016 che puoi scaricare qui:
https://www.imparalafinanza.it/wp-content/uploads/2019/07/3-B_Educazione-
finanziaria_dati-per-esercizi.xlsx
Utilizza un grafico per rappresentare sia il prezzo dell’azione che il rendimento giornaliero di
questo titolo. Calcola poi il rendimento medio giornaliero e la varianza di questo titolo.
Attenzione: i dati presenti non sono 365 perché la Borsa non è aperta tutti i giorni dell’anno,
quindi non c’è un prezzo per ciascun giorno.
Svolgimento
Innanzitutto è necessario calcolare il rendimento giornaliero in percentuale utilizzando la
formula
�% � ����� �����������
Per calcolare il rendimento medio e la varianza è poi sufficiente utilizzare le apposite funzioni
del foglio di calcolo utilizzato.
Il rendimento medio è 0,000473 mentre la varianza è 0,00021.
L’andamento del prezzo del titolo è rappresentato da questo grafico:
Esercizio 4
Considera oltre ai valori del titolo A nel 2016 anche i prezzi del titolo B.
Trovi i dati al link: https://www.imparalafinanza.it/wp-content/uploads/2019/07/3-
B_Educazione-finanziaria_dati-per-esercizi.xlsx
Quale dei due titoli ha avuto il rendimento maggiore? E quale dei due titoli ha avuto la
volatilità più bassa?
Se avessi dovuto fare un investimento alla fine del 2016 su uno dei due titoli, quale avresti
scelto? Perché?
85
90
95
100
105
110
115
120
TITOLO A
Svolgimento
Il confronto tra i due titoli è riassunto in questa tabella:
Titolo A Titolo B
Rendimento Medio 0,000473 0,000542
Varianza 0,00021 0,000835
Il confronto tra i rendimenti giornalieri dei due titoli è invece rappresentato nel grafico:
Il rendimento del titolo B è leggermente più elevato rispetto a quello del titolo A, la varianza
del titolo B è significativamente più elevata rispetto a quella del titolo A per cui il titolo B
rappresenta un investimento più rischioso.
Per approfondire:
- Guardare il materiale presente su https://www.imparalafinanza.it/frontiera-dei-portafogli/
- Cercare l’andamento di alcuni titoli azionari online (ad esempio utilizzando
https://www.google.com/finance), confrontare graficamente l’andamento di due o più
titoli
- Esercizio B dagli esercizi aggiuntivi.
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
Rendimenti giornalieri dei titoli A e B
Rendimento Titolo A
Rendimento Titolo B
Modulo 3: Diversificare gli investimenti
In questa lezione
Argomenti Matematica in gioco
Confronto tra i rendimenti di due titoli
azionari
Correlazione tra i titoli (positiva o
negativa)
Familiarizzare con gli strumenti informatici per manipolare
oggetti matematici e studiare le modalità di rappresentazione
dei dati elementari testuali e multimediali
Apprendere i concetti di deviazione standard, dipendenza,
correlazioni e di campione
Il video in preparazione a questa lezione contiene alcuni concetti chiave: la correlazione tra titoli, il
principio varianza-rendimento, la diversificazione di un investimento… Vista la densità degli argomenti
affrontati nella lezione, qui di seguito sono proposte una serie di domande aperte da svolgere insieme
alla visione del video per riprendere e fissare le idee principali.
Durante il lavoro in aula il compito dell’insegnante è correggere le risposte guidando una discussione di
classe, riprendendo eventualmente alcuni brani dal video per poi formalizzare il concetto di correlazione e
introducendo le definizioni di covarianza e correlazione statistica. Gli studenti avranno occasione di
consolidare questi concetti con lo svolgimento a piccoli gruppi di due esercizi, da svolgere utilizzando
degli strumenti informatici, come fogli di calcolo o calcolatrici scientifiche.
In preparazione:
- Guardare il video: I pregi della diversificazione (week 2, modulo 2, video 2)
- Rispondere alle domande della scheda.
Domande: diversificare gli investimenti
1. Cosa significa diversificare il proprio investimento?
Investire in più di un titolo
2. Qual è il vantaggio della diversificazione?
Diminuire la rischiosità di un investimento
3. A cosa fa riferimento l’espressione “non mettere mai tutte le uova nello stesso paniere”
presente nel video?
Al consiglio di investire i propri risparmi non su un unico titolo,
ma su diversi titoli o diversi tipi di investimento
4. Cosa significa che due titoli sono correlati?
L’andamento dei due titoli non è indipendente ma i loro andamenti sono legati tra di loro
5. Cosa succede se due titoli sono correlati positivamente o negativamente?
Se due titoli sono correlati positivamente c’è un’alta probabilità
che entrambi aumentino o diminuiscano negli stessi giorni.
Viceversa, se i titoli sono correlati negativamente è probabile che
all’aumentare del primo titolo il secondo diminuisca e viceversa.
6. A cosa fa riferimento l’espressione “non c’è un pasto gratis” presente nel video?
L’espressione fa riferimento al fatto che non è possibile ottenere un alto
rendimento da un investimento senza assumersi anche dei rischi.
In generale, titoli con rendimenti molto elevati avranno anche una volatilità
molto alta e saranno quindi più rischiosi di titoli con rendimenti più bassi.
In classe:
- Correzione delle domande e discussione in aula
- Introduzione delle definizioni di covarianza e correlazione6
- Svolgimento a piccoli gruppi degli esercizi 5 e 6. Correzione
Esercizio 5
Questa tabella riporta i prezzi degli ultimi 7 giorni delle azioni dell’azienda Cola, produttrice
di bevande, e dell’azienda Sweet, esportatrice di zucchero.
Giorno 1 2 3 4 5 6 7
Cola 52 55 49 53 52 55 54
Sweet 28 27 23 26 24 26 25
Calcola i rendimenti giornalieri e il rendimento medio. Pensi che i rendimenti giornalieri dei
due titoli siano correlati? Se sì, sono correlati positivamente o negativamente?
Verifica le tue ipotesi calcolando l’indice di correlazione.
Svolgimento
I rendimenti dei due titoli sono
Cola 0,0577 -0,1091 0,0816 -0,0189 0,0577 -0,0182
Sweet -0,0357 -0,1481 0,1304 -0,0769 0,0833 -0,0385
Il rendimento medio del titolo Cola è 0,0085 mentre del titolo Sweet è -0,0143
I due titoli sono correlati positivamente, l’indice di correlazione ��� tra i loro rendimenti è
infatti uguale a 0,879.
��� si può calcolare sia utilizzando le funzioni predefinite dei fogli di calcolo sia
direttamente utilizzando la sua definizione. Innanzitutto, si calcola la varianza di ciascuna
delle due serie di dati, ��� e ��
� , e la covarianza tra i due titoli �����:
��� � �0,0577 � 0,0085� �⋯���0,0182 � 0,0085�6 � 0,0042
��� � ��0,0357 � 0,0143� �⋯���0,0385 � 0,0143�6 � 0,0089
6 E’ possibile chiedere agli studenti di fare una ricerca online per recuperare le definizioni di questi due termini. Tra i
numerosi link disponibili si trovano con spiegazioni chiare e essenziali la pagina di Wikipedia
https://it.wikipedia.org/wiki/Covarianza_(probabilit%C3%A0)#Statistica e dell’enciclopedia Treccani:
http://www.treccani.it/enciclopedia/covarianza_%28Enciclopedia-della-Scienza-e-della-Tecnica%29/
����� � 16 �0,0577 ⋅ ��0,0357 � ��0,1091 ⋅ ��0,1481 � ⋯� ��0,0182⋅ ��0,0385� � �0,0085 ⋅ ��0,0143 � 0,0054
La correlazione è infine uguale a
��� � ��������� ⋅��� � 0,879
Esercizio 6
Scarica il file che trovi qui: https://www.imparalafinanza.it/wp-
content/uploads/2019/07/3-B_Educazione-finanziaria_dati-per-esercizi.xlsx e considera i
rendimenti dei titoli X, Y e Z nel 2018, il cui grafico è il seguente
Se dovessi fare un investimento su solo due di questi titoli, quali sceglieresti? Perché?
Immagina di comprare un pacchetto di 100 azioni, investendone la metà in ciascuno dei
due titoli che hai scelto.
Qual è il rendimento medio di questo investimento?
Svolgimento
-0,1
-0,075
-0,05
-0,025
0
0,025
0,05
0,075
0,1
0,125
I rendimenti dei tre titoli
Rendimento Titolo X Rendimento TitoloY Rendimento Titolo Z
Per valutare su quali titoli investire è opportuno capire quali siano i rendimenti medi, la
volatilità e se siano correlati tra di loro.
Tutte queste informazioni sono riassunte nelle tabelle:
Titolo Rendimento medio (�) Varianza (�� X 0,00495 0,00130
Y -0,00120 0,00034
Z -0,00156 0,00037
Correlazioni X Y Z
X 1 -0,57476 -0,55248
Y -0,57476 1 0,81859
Z -0,55248 0,81859 1
L’investimento più interessante è utilizzando le coppie di titoli X e Z o X e Y, in quanto i titoli
sono correlati negativamente tra di loro.
Il rendimento medio di questo investimento è dato dalla media, pesata, dei rendimenti
medi.
L’investimento è perfettamente diversificato (cioè metà viene investito sul primo titolo e
metà sul secondo), quindi se si scelgono i titoli X e Z il rendimento medio sarà uguale a 0,5 ⋅�� � 0,5 ⋅�� � 0,001698
Mentre scegliendo X e Y si avrà 0,5 ⋅�� � 0,5 ⋅�� � 0,001878
Il secondo caso ha un rendimento medio maggiore del primo, per cui sembra essere
preferibile scegliere la coppia X e Y. Attenzione però: per poter confrontare i due investimenti
è necessario valutarne anche la volatilità, l’argomento verrà affrontato nel dettaglio nel
modulo successivo ma può essere lasciato come spunto di riflessione agli studenti per la
lezione successiva.
Per approfondire:
- Guardare le pagine: https://www.imparalafinanza.it/frontiera-dei-portafogli/
- Guardare i video:
� Investire secondo la logica dei compartimenti stagni (week 2, modulo 2, video 3)
� Dalla teoria alla pratica: gli errori più comuni (week 2, modulo 2, video 4)
- Esercizio C degli esercizi aggiuntivi
Modulo 4: Come diversificare?
In questa lezione
Argomenti Matematica in gioco
Costruzione di un portafoglio tra due
titoli azionari
Calcolo di media e varianza di un
portafoglio di titoli
Analizzare sia graficamente che analiticamente le principali
funzioni e operare su funzioni composte e inverse
Approfondire il concetto di modello matematico
Il modulo conclusivo di questo percorso approfondisce gli argomenti affrontati nella lezione precedente
per arrivare a definire cosa sia un portafoglio tra due (o più) titoli azionari, come si calcoli il rendimento
atteso e la varianza di un portafoglio tra due titoli e quali siano i criteri da utilizzare per costruire il
portafoglio ottimale. Le competenze matematiche sviluppate da questo modulo riguardano soprattutto
le funzioni e la rappresentazione di curve nel piano cartesiano, per ricavare informazioni e risolvere
equazioni e disequazioni.
Tra gli approfondimenti e gli esercizi aggiuntivi c’è la proposta di creare dei nuovi simulatori (con l’utilizzo
di GeoGebra o di altri software) per poter trovare il portafoglio ottimale tra due titoli qualsiasi.
In preparazione:
- Guardare le pagine online:
� https://www.imparalafinanza.it/portafoglio-di-titoli/
� https://www.imparalafinanza.it/titoli-correlati/
� https://www.imparalafinanza.it/prova-tu/
- Utilizzare i simulatori presenti sul sito per svolgere l’esercizio 7
Esercizio 7
Considera i titoli Astra e Betha i cui dati sono riassunti in questa tabella
Titolo Astra Titolo Betha
Rendimento medio 0,058 % 0,135 %
Varianza 0,02 % 0,06 %
Immaginando che i due titoli non siano correlati, questo grafico rappresenta tutti i possibili
portafogli tra i due titoli https://www.geogebra.org/m/jEJqa7UV. Utilizza questa app per
rispondere a queste domande
a. Qual è il valore di � per cui si ottiene il portafoglio con varianza minima?
Quanto vale il rendimento medio in quel caso?
b. Se � � 0,9 quanto valgono rendimento medio e varianza del portafoglio?
Esiste un altro portafoglio che abbia la stessa varianza ma un rendimento medio
più elevato? Se sì, per quale valore di �?
c. Quale dei due portafogli trovati nel caso precedente ti sembra più conveniente?
Perché?
d. Esistono dei portafogli che non sceglieresti mai? Perché?
Svolgimento
a. Il portafoglio con varianza minima si ha per � � 0,75, il rendimento è 0,8 % mentre
la varianza è 0,015 %
b. Se � � 0,9 il rendimento medio è 0,068 % e la varianza 0,0168 %.
Esiste un altro portafoglio che ha la stessa varianza ma un rendimento medio
maggiore: per � � 0,6 si ottiene infatti varianza uguale a 0,0168 % e un
rendimento medio pari a 0,092 %.
c. Il portafoglio che ha un rendimento medio maggiore a parità di varianza è quello più
conveniente perché presenta dei rischi minori. Quindi tra i due portafogli del punto
b quello per cui � � 0,6 è preferibile
d. Tutti i portafogli per 0,75 � ! 1 non sono ottimali: per ciascuno di loro è infatti
possibile costruire un altro portafoglio che ha la stessa varianza ma un rendimento
medio maggiore. Questo significa che esiste un altro portafoglio con lo stesso rischio
(varianza) ma un rendimento medio più elevato!
L’insieme dei portafogli per cui � " 0,75 è detta “frontiera efficiente” perché rappresenta gli
investimenti per cui si ottiene il rendimento medio più elevato possibile dato il valore della
varianza.
In classe
- Correzione dell’esercizio 7 e discussione in classe con esempi su come utilizzare la
applicazione di Geogebra
- Svolgimento a piccoli gruppi dell’esercizio 8, correzione.
Esercizio 8
Considera i titoli Astra e Betha, già utilizzati nell’esercizio 7, i cui rendimenti medi e varianze
sono riassunti in questa tabella. Ipotizza che che i due titoli siano correlati.
Titolo Astra Titolo Betha
Rendimento medio 0,058 % 0,135 %
Varianza 0,02 % 0,06 %
Questo grafico rappresenta tutti i possibili portafogli tra i due titoli al variare del loro indice
di correlazione https://www.geogebra.org/m/T5Bbvwy2.
Utilizza la app per rispondere a queste domande
a. Quanto è il rendimento medio e la varianza del portafoglio se � � 0,25 e
� � 0,35?
b. Per quali valori di �e � è possibile avere un portafoglio con varianza 0,0402 %
e rendimento medio 0,12 %?
c. Qual è il valore di � per cui si ottiene il portafoglio con la varianza minore
possibile? Quanto è il rendimento medio in quel caso?
d. Trova per quali valori di � è possibile avere un portafoglio perfettamente
diversificato con rendimento medio uguale a 0,1 %. Quanto vale la varianza?
Svolgimento
a. Per � � 0,25 e � � 0,35 si ottiene il punto (0,03174; 0,112)
b. E’ possibile avere un portafoglio con questi valori se � � 0,4 e � � 0,25?
c. Se i titoli sono perfettamente correlati negativamente, cioè se � � �1 è possibile
costruire un portafoglio privo di rischio se � � 0,63 (varianza nulla) e rendimento
medio 0,0896 %.
d. Un portafoglio è perfettamente diversificato se � � 0,5. Per questo valore è
possibile avere un rendimento medio uguale a 0,1 % per qualsiasi valore della
correlazione �. A seconda della correlazione tra i due titoli la varianza del
portafoglio varia tra 0,00268 % e 0,03732 %.
La parte di curva non compresa tra i punti Astra e Betha rappresenta i portafogli per cui
� ∉ �0,1� in cui è possibile la “vendita allo scoperto”7 di uno dei due titoli.
Per approfondire
- Costruire la frontiera del portafoglio per due titoli qualsiasi (utilizzando Geogebra o altri
software per disegnare funzioni).
- Esercizio D degli esercizi aggiuntivi.
7 https://it.wikipedia.org/wiki/Vendita_allo_scoperto
Esercizi aggiuntivi
Gli esercizi proposti in questa pagina forniscono delle applicazioni a casi reali o degli ulteriori
approfondimenti rispetto agli esercizi affrontati nei moduli. Data la complessità delle attività
proposte, questi esercizi possono anche essere utilizzati come progetti da svolgere in piccoli gruppi
al termine del percorso e essere poi utilizzati per valutare gli studenti (al posto della verifica
conclusiva).
A. Qual è la materia in cui andate meglio? Calcola media, moda, mediana e deviazione standard
dei vostri voti nelle diverse materie e di tutta la classe. Confronta i risultati per trovare la
materia in cui ogni studente va meglio e quella in cui la classe nel suo insieme ha risultati
migliori.
B. Ripetere gli esercizi 3 e 4 utilizzando solo i dati di alcuni mesi e non di tutto l’anno. I risultati
sono gli stessi o sono cambiati?
C. Inventa il prezzo delle azioni di due aziende per dieci giorni in modo che
a. La correlazione sia uguale a 1
b. La correlazione sia negativa
c. La correlazione sia più vicina allo zero possibile
D. Utilizzando i dati forniti nell’esercizio 6, trova quale sia il portafoglio con la varianza minima nel
caso in cui si faccia un investimento tra i titoli X e Y oppure tra i titoli X e Z.
Con queste nuove informazioni, su quale coppia di titoli investiresti?
Verifica conclusiva
Esercizio 1: Questa tabella riassume i voti di un gruppo di amici all’esame di Matematica del primo
anno di Università.
Nome Voto Nome Voto
Maria 12 Sara 25
Giorgio 14 Luigi 28
Paola 10 Marta 24
Carlo 30 Guido 27
Giulia 24 Andrea 18
Calcola la media, la moda, la mediana, la varianza e la deviazione standard di questo insieme di
dati.
[Media= 21,2 Moda = 24 Mediana = 24
Varianza = 45,69 Deviazione Standard = 6,78]
Esercizio 2: Considera i titoli rappresentati in questo grafico varianza-rendimento medio e rispondi
alle domande
a. Quale titolo ha il rendimento medio maggiore?
b. Quale titolo rappresenta l’investimento più sicuro? Perché?
c. Quale titolo rappresenta l’investimento più rischioso? Perché?
[Il titolo con il rendimento medio maggiore è il titolo B;
l’investimento più sicuro è il titolo D perché ha una varianza minore degli altri;
l’investimento più rischioso è il titolo B perché ha una varianza maggiore]
D
A
B
C
E
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045
Re
nd
ime
nto
me
dio
Varianza
Esercizio 3: Marco crea un portafoglio tra i titoli A e B investendo il 20% nel titolo A e il 80% nel
titolo B. Utilizzando le informazioni presenti in tabella calcola il rendimento medio di questo
portafoglio e la sua varianza
Titolo A Titolo B
Rendimento Medio 0,42 0,15
Varianza �� 0,06 0,03
Correlazione A e B �� 0,25 0,25
Ricorda che la varianza di un portafoglio di due titoli A e B è data da
�� � ����� � �1 ������ � 2��1 ���������
Il rendimento medio è r=0,204
La varianza è �� � 0,02499
Esercizio 4: Disegna un grafico che mostri un possibile andamento di tre titoli X, Y, Z nell’ultimo
anno in modo che i titoli X e Y siano correlati negativamente, mentre la correlazione tra i primi due
titoli e il titolo Z sia molto bassa.
Spiega quali sono i criteri che hai scelto per disegnare il grafico.