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precorso di matematica per gli studenti iscritti al primo anno all’ITIS Rossi

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DIPARTIMENTO DI MATEMATICA DIPARTIMENTO DI MATEMATICA DIPARTIMENTO DI MATEMATICA DIPARTIMENTO DI MATEMATICA –––– ITS ROSSI VICENZA ITS ROSSI VICENZA ITS ROSSI VICENZA ITS ROSSI VICENZA - 2 -

NUMERI ADEGUATI AD OGNI SITUAZIONE…

Rifletti sui dati numerici che ci sono nelle seguenti frasi:

Sottolinea i numeri nelle frasi I numeri che hai sottolineato

vanno bene? Sono realistici?

Se non vanno bene, spiega il perché

1 Ieri Paola è stata a casa da scuola perché aveva la febbre: il termometro segnava 57°C.

2 Mio fratello alla nascita pesava circa 3 etti.

3 Ho acquistato una bicicletta con lo sconto del 10%.

4 Mio fratello alla nascita pesava circa 3 chili.

5 Mio fratello alla nascita pesava circa 30 chili.

6 A Londra, ogni anno, piove almeno per 380 giorni.

7 Ho comprato un abito con uno sconto fantastico del 105%.

8 Una lumaca avanza ad una velocità di 2 metri al secondo.

9 Nel cassetto ci sono 10 paia di calze: 11 calze di colore nero, 6 di colore verde, 5 di colore rosso.

10 Nell’anno scolastico passato nella mia classe c’è stato il 73% di promossi e il 17% di respinti.

11 Vorrei un tavolino da pranzo quadrato 80x90cm

Individua e sottolinea i valori numerici non accettabili nella realtà

Scrivi i valori numerici che sostituiresti a quelli che hai

sottolineato

12 Ho fatto un chilometro a piedi e ho impiegato solo cinque ore. Forse in bicicletta avrei impiegato metà del tempo. In auto un minuto.

13 Trenta auto della Ferrari gareggiano in Formula 5.

14 In una classe di 30 studenti il 50% ha studiato nelle scuole medie inglese, 8 francese, gli altri spagnolo.

15 La fontana rotonda della piazza ha un diametro di 7 metri.

16 Delle due dozzine di uova che ho comprato, ne ho rotte mezza dozzina, consumate 10 e ne sono rimaste quattro.

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OPERAZIONI CON IL 10 E LE SUE POTENZE

Moltiplicare per 10n, con n naturale

Regola. La moltiplicazione per 10n , con n naturale, sposta la virgola a destra di tante cifre quante indicate

dall’esponente n.

Esempio. 25,32 ⋅ 104 = 253 200

Esempio. 0,000356 ⋅ 103 = 0,356

Dividere per 10n, con n naturale

Regola. La divisione per 10n , con n naturale, sposta la virgola a sinistra di tante cifre quante indicate

dall’esponente n.

Esempio. 25,32 : 104 = 0,002 532

Esempio. 0,000356 : 103 = 0,000 000 356

Potenza 10-n, con n naturale

Regola. 1

10 1:1010

n n

n

− = =

Esempio. 5 5

5

110 1:10

10− = = = 0,000 01

Esempio. 1

1

110 1:10 0,1

10− = = =

Esempio. 4 4

4 4

1 25,3225,32 10 25,32 25,32 :10

10 10−⋅ = ⋅ = = = 0,002 532

Esempio. 3 3

3

10,356 :10 0,356 : 0,356 10

10− = = ⋅ = 356

Esempio. Obiettivo trasformare in prodotti e usare le proprietà delle potenze

4 2 3 2 3 4 2 3 24

1 1 12,5 :10 :10 10 10 2,5 : 10 10 2,5 10 10 10 2,5 10

10 10 10− − − −⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = 250

Esercizi.

510,001 10⋅ = 30,00001 10⋅ =

525020,502 :10 = 4101,1:10 =

330,102 10−⋅ = 612000 10−⋅ =

42500 :10− = 80,0045 :10− =

Esercizi

2 3 3 10,005 :10 10 :10 :10− − −⋅ = 3 1 4 00,001:10 :10 :10 :10− − =

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DAL LINGUAGGIO MATEMATICO AL LINGUAGGIO NATURALE

ESERCIZI Scegli, tra quelle proposte, la formulazione corretta.

La scrittura

si legge

1

4

5⋅3−

1

3⋅2 =

26

15

A) Quattro quinti per tre, meno, un terzo per due è uguale a ventisei alla quindicesima

B) Quattro quinti per tre, meno, un terzo per due è uguale a ventisei quindicesimi

C)quattro fratto, cinque per tre, men uno, fratto tre per due, è uguale a ventisei quindicesimi

2 43 − 24 + 5> 26 A) Quattro terzi meno due quarti più cinque è maggiore di ventisei

B) Quattro alla terza meno due alla quarta più cinque è minore di ventisei

C)Quattro alla terza meno due alla quarta più cinque è maggiore di ventisei

3

17+ 9( ) 17− 9( ) =172 − 92

A) Diciassette più, nove per diciassette, meno nove, è uguale a diciassette al quadrato meno nove al quadrato

B) La somma dei numeri diciassette e nove, moltiplicata per la loro differenza, è uguale alla differenza tra il quadrato di diciassette e quello di nove

C)La somma per la differenza dei numeri diciassette e nove è uguale al quadrato della loro differenza

Scrivi come leggeresti le espressioni proposte.

Delle scritture

proponi la tua “lettura”

1

5−3

4⋅2+

1

2= 4

2

33 +2

3

2

< 49

Scrivi le espressioni.

Delle “letture” seguenti

dai la scrittura in simboli

1 Un terzo di centotrentadue, diminuito di tre, è uguale a quarantuno

2 Un terzo di, centotrentadue diminuito di tre, è uguale a quarantatre

Come completeresti le scritture in modo che risultino corrette e vere?

25<……….. 17>…….. 600……..12=50 40……..=86 27………=0 45…….20…….5……41=1 (26 – 5 : 7 + 4=7

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DAL LINGUAGGIO NATURALE DAL LINGUAGGIO MATEMATICO

ESERCIZI Completa la tabella

Il doppio di a 2a

Il quadrato di a a2

Il triplo di a

Il cubo di a

Il quadruplo di a 4a

a alla quarta

La metà di a 1

2 2

aa =

La terza parte di a

Due terze parti di a

Il precedente di a a-1

Il successivo di a

L’opposto di a -a

Il valore assoluto di a

Il reciproco di a 1

a

L’opposto del reciproco di a (antireciproco di a)

Il successivo del doppio di a 2a+1

Il doppio del successivo di a 2(a+1)

Il successivo del quadrato di a

Il quadrato del successivo di a

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LE PROPRIETA’ DELLE POTENZE Calcola applicando le proprietà delle potenze come nell’esempio.

Es 72 ⋅ 7 = 73 3 22 ⋅23 ⋅2 =

1

39 ⋅32 =

4

83 ⋅83 ⋅8 =

2

54 ⋅50 =

5

60 ⋅63 ⋅6 =

Es 55 : 52 = 53

8 86 :80 =

6 64 : 6 =

9 54 : 5 : 5 =

7 710 : 72 = 10 36 : 3 : 32 =

Es 22( )

3

= 26

13 32( )

3

0

=

11

22( )0

=

14

32( )1

2

=

12

22( )7

=

15

43( )2

5

=

Es 32 ⋅ 42 =122

18 104 ⋅24 ⋅34 =

16 54 ⋅24 =

19 47 ⋅27 ⋅67 =

17 65 ⋅25 =

20 710 ⋅910 ⋅1010 =

Es 152 : 52 = 32

23 100010 :10010 =

21 104 : 24 =

24 483 : 43 : 63 =

22 143 : 73 =

25 184 : 24 : 34 =

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LE PROPRIETA’ DELLE POTENZE Risolvi applicando le proprietà delle potenze DOVE È POSSIBILE 26 42 + 22 =

4+ 2( )2=

42 + 2( )

2

=

27 82 ⋅ 42 =

82 + 42 =

82 − 42 =

82 : 42 =

28 15 +1⋅18 +10( )2

=

15 +1( ) ⋅18 +12 −13 =

1+14 ⋅13 −10 =

19 :17 −14 ⋅15 −11 =

29 23 ⋅ 43 ⋅53( ) : 23 ⋅5( ) = 23 ⋅63 ⋅103( )

0

⋅ 32 ⋅ 4( )1

=

53 ⋅33( )4

: 34( )3

: 59 =

24 + 24 + 25 − 22( )

2

= 30 32( )

2

: 33 ⋅35 : 32( )3

=

52 + 5 ⋅ 153 : 33( ) : 52 − 50

1

=

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PRIORITA’ DELLE OPERAZIONI E USO DELLE PARENTESI

Priorità delle operazioni e uso delle parentesi

Svolgere in successione una o più operazioni significa svolgere un’espressione. Le operazioni si

svolgono rispettando la seguente priorità:

• prima si svolgono le potenze

• poi le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine con cui sono scritte;

• infine le addizioni e sottrazioni nell’ordine con cui sono scritte;

• La presenza di parentesi stabilisce la precedenza di calcolo per le operazioni indicate all’interno di esse.

Risolvi le seguenti espressioni.

Scrittura senza

parentesi

Scrittura con parentesi

Spiega quale differenza c’è nei calcoli, tra le

due scritture

1 3⋅5+ 4 =

3⋅ 5+ 4( ) =

2 9 ⋅3−8 : 4 = 9 ⋅3−8( ) : 4 =

3 16 : 2+ 6 =

16 : 2+ 6( ) =

4 3⋅52 = 3⋅5( )2=

Calcola il valore delle seguenti espressioni.

1 32+10−8 ⋅4 : 2 =

2 32+ 10 −8( ) ⋅ 4 : 2 =

3 32+10 −8( ) ⋅ 4 : 2 = 4 32+10 −8 ⋅4( ) : 2 = 5 22 +1⋅32 − 9 : 3=

6 22 +1( ) ⋅32 − 9 : 3= 7 22 +1( ) ⋅32 − 9 : 3=

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LE PROPRIETA’ E I … PROBLEMI DELLO ZERO

Scegli, tra le risposte scritte sotto, i risultati dei calcoli.

7+0=

7 ⋅0 =

0-7=

6 ⋅0 =

0:7=

7:0=

07 =

7-7=

70 =

RISPOSTE: 1 IMPOSSIBILE 7 0 Risolvi le seguenti espressioni.

1 15 : 5+ 0 : 5+ 20 : 5 =

2 5 :1+10 : 5− 0( )2: 1+ 2 ⋅3( ) =

3 0 : 5+ 0 ⋅3− 0( ) : 2 =

4 5 ⋅ 40 ⋅2+ 0 ⋅5 ⋅32 − 0 ⋅1⋅2( ) ⋅3=

5 71 ⋅3− 0 ⋅33 + 0 : 3 ⋅2 ⋅5 ⋅4− 7 ⋅3⋅5 ⋅2 ⋅03 − 21:80 =

6 112 :11+3⋅151 − 7 ⋅2 ⋅ 70 +13⋅04 −12 : 4 : 60 =

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IL SISTEMA INTERNAZIONALE DI MISURA (SI)

Le sette unità di misura fondamentali

I prefissi delle unità di misura nel Sistema Internazionale (S.I.) Prefisso Simbolo 10

n Equivalente decimale Nome

yotta Y 1024

1000 000 000000000000000000

zetta Z 1021

1000 000 000000000000000

exa E 1018

1000 000 000000000000

peta P 1015

1000 000 000000000 un milione di miliardi

tera T 1012

1000 000 000000 mille miliardi

giga G 109

1000 000 000 un miliardo

mega M 106

1000 000 un milione

kilo k 103

1000 mille

hecto h 102

100 cento

deca da 101

10 dieci

100

1 uno

10−n =

1

10n

deci d 10-1

0.1 un decimo

centi c 10-2

0.01 un centesimo

milli m 10-3

0.001 un millesimo

micro m 10-6

0.000001 un milionesimo

nano n 10-9

0. 000000001 un miliardesimo

pico p 10-12

0. 000000000001 un millesimo di miliardesimo

femto f 10-15

0. 000000000000001 un milionesimo di miliardesimo

atto a 10-18

0. 000000000000000001

zepto z 10-21

0. 000000000000000000001

yocto y 10-24

0. 000000000000000000000001

Unità di misura non SI e loro fattori di conversione Nome dell’unità di misura non SI Simbolo dell’unità di misura Fattore di conversione in SI

minuto min 1 min = 60 s

ora h 1 h = 60 min = 3 600 s

giorno d 1 d = 24 h = 86 400 s

grado ° 1/180-esimo di angolo piatto

ettaro ha 1 ha = 1 hm2 = 10

4 m

2

litro l, L 1 L = 1 dm3 = 10

-3 m

3

tonnellata t 1 t = 103 kg

Le unità di misura di superficie e di volume e i loro multipli Quando si trasforma una unità di superficie o di volume bisogna operare utilizzando in modo opportuno le proprietà delle potenze partendo sempre dall’unità di misura lineare. 1 m2 = (10 dm)2 = 100 dm2 1 m3 = (100 cm)3 = 1 000 000 cm3 1 km2 = (1000 m)2 = 1 000 000 m2 1 mm3 = (0,001 m)3 = 0,000 000 001 m3

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LE EQUIVALENZE ESERCIZI SVOLTI

1) Trasformiamo 50cm in metri: 50cm = …….m? Per la lunghezza l’unità di misura nel S.I. è il metro (m)

0,001 0,01 0,1 unità 1 10 mm cm dm m dam

Ti sposti di 2 posizioni dall’unità minore (cm) all’unità maggiore (m), quindi devi DIVIDERE per (102=100) 50 cm=50 : 100 m=0,5 m quindi 50 cm = 0,5 m

In alternativa sapendo che 2

2

1 11:100 10

100 10−= = =

50cm= 50 ⋅10−2m= 5 ⋅10−1m notazione scientifica 2) Trasformiamo 4hg in dg: 4hg = …….dg? Per la massa l’unità di misura è il grammo (g)

0,001 0,01 0,1 unità 1 10 100 1000 mg cg dg g dag hg kg

Ti sposti di 3 posizioni dall’unità maggiore (hg) all’unità minore (dg), quindi devi MOLTIPLICARE per (103=1000) 4 hg = 4 ⋅ 1000 dg = 4000 dg

In alternativa sapendo che 1000 = 103 SVOLGIMENTO SINTETICO DELLE EQUIVALENZE

3) Trasformiamo 250 cg in kg: 250 cg = …….kg?

Unità di partenza

È Maggiore / Minore di

Unità di arrivo Spostamento di __ Posizioni

divido/moltiplico per

Potenza 10

cg Minore kg 5 divido 105

250cg=250 :105 kg=250⋅ 5

1

10kg=2,5⋅102 ⋅10-5 kg=2,5⋅10-3 kg=2,5E-3kg

4) Trasformiamo 0,4 s in ms: 0,4s = …….ms?

Unità di partenza




Potenza 10

s Maggiore ms 3 moltiplico 103

0,4 s=0,4 ⋅103 ms=4⋅10-1 ⋅103 ms =4⋅102 ms=4E2ms=400ms

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LE EQUIVALENZE FRA UNITA’ DI SUPERFICIE E DI VOLUME

ESERCIZI SVOLTI

Le unità di misura di superficie e di volume e i loro multipli e sottomultipli Quando si trasforma una unità di superficie o di volume bisogna operare utilizzando in modo opportuno le proprietà delle potenze (POTENZA DI UN PRODOTTO e POTENZA DI POTENZA) partendo sempre dall’unità di misura lineare.

1 m2 = (1 m)2 = (10 dm)2 = 100 dm2 1 m3 = (1 m)3 = (100 cm)3 = 1 000 000 cm3 1 km2 =(1 Km)2 = (103 m)2 = 106 m2 = 1 000 000 m2 1 mm3 =(1 mm)3 = (0,001 m)3 =(10-3 m)3 =10-9 m3 = 0,000 000 001 m3 1 L = 1 dm3=(1 dm)3=(0,1 m) 3 =(10-1 m)3=10-3 m3 = 0,001 m3

1) Trasformiamo 120 mm2 in dm2: 120mm2 = …….dm2?

Unità di partenza




Potenza 10

mm Minore Dm 2 divido 102

120mm2=120 (1 mm)2=120 (1:102 dm)2=120 (2

1

10 dm)2 =120 ⋅

4

1

10 dm2 =120:104 dm2=

0,012 dm2= 1,2 ⋅ 10-2 dm2=1,2E-2 dm2 2) Trasformiamo 0,05 dam3 in cm3: 0,05 dam3 = …….cm3?

Unità di partenza




Potenza 10

dam Maggiore cm 3 moltiplico 103

0,05 dam3=0,05 (1 dam)3=0,05 (103 cm)3=0,05⋅109 cm3 =5⋅10-2 ⋅109cm3 =5⋅107 cm3=5E7cm3 3) Trasformiamo 500 mm2 in m2: 500mm2 = …….m2?

Unità di partenza




Potenza 10

mm Minore m 3 divido 103

500 mm2=500 (1mm)2=500 (1⋅10-3m)2=500⋅10-6 m2=5⋅102 ⋅10-6 m2 =5⋅10-4 m2=5,0E-4 m2 4) Una condotta ha una portata di 300 L/min. Trasformiamo m3/s: 300L/min= ...m3/s? Ricordare che 1 L = 1dm3

Unità di partenza




Potenza 10

dm Minore m 3 Divido 103 min Maggiore s 1min=60 s moltiplico 60

( ) ( )33 13 3 3 3 31011 10300 300 300 300 5 0,005 5 3

min 1min 60 60

mdmL dm m m mE

s s s s s

− −

= = = = ⋅ = = −

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EQUIVALENZE CON MISURE DI CAPACITÀ, DI PESO E DI TEMPO

ESERCIZI Associa a ciascuna misura di ogni riquadro la corrispondente tra quelle indicate al fondo del riquadro.

6 hl=………………………………………

0,6 kl =……………………………………….

600 dal =………………………………..

6 dl =……………………………………….

0,6 cl =……………………………………

600 ml =………………………………………

6dl 60 dal 6 ⋅101dal 6ml 6 ⋅10−1l 6 ⋅103 l

200 g=…………………………………

0,000025 kg=………………………………………….

250 hg=………………………………..

2,5 dag=…………………………………………………..

2,5 dg=………………………………

25 dg=…………………………………………….

0,25 dg 25 ⋅10−1kg 25 cg 2500 dag 2500 mg 25 g

4 ore =………………………………………….

4 giorni=………………………………

4 min =………………………………………….

4centesimi di secondo=……………………………

4centesimi di secondo=………………………………….

4 millesimi di secondo=…………………………

240s 34 10 s−⋅ 40 centesimi di

secondo 75760 min 240minuti 40 millesimi di

secondo

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EQUIVALENZE CON MISURE DI LUNGHEZZA, AREA E VOLUME

ESERCIZI

Associa a ciascuna misura di ogni riquadro la corrispondente tra quelle indicate al fondo del riquadro. 50 cm =……………………………………..

500 mm = ……………………………….

5000 dm = ……………………………

50 km =………………………………..

0,5 hg =………………………………..

5 m =…………………………………..

50 dam =……………………………..

0,05 dm =………………………………..

50 m 500 m 0,5 m 5 ⋅102m 5 ⋅10−1m 5 ⋅100m 5 ⋅104m 5 ⋅10−3m

30 m2=…………………………………….

30000 mm2=…………………………………….

3 dm2=…………………………………….

3 cm2=…………………………………………..

0,03 hm2=…………………………………

0,03 dam2 = ………………………………….

3⋅100m2 0,03m2 3⋅101m2 300 m2

3⋅10−2m2 3⋅10−4m2 75 cm3 =………………………………….

0,75 hm3 = ………………………………

7,5 dm3 = ………………………………….

0,075 dam3 = ………………………………

750 000 mm3=………………………….

7,5 m3 = ……………………………………..

75 ⋅10−4m3 0,00075 m3

7, 5 ⋅105m3 75 m3

75 ⋅10−1m3 7, 5 ⋅10−1m3

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LE FORMULE INVERSE

Spesso in geometria o in fisica o in chimica è richiesto di invertire una formula. Ad esempio si vuole ricavare l’altezza del trapezio dalla formula diretta dell’area

( )1 2

2

b b hA

+ ⋅=

Una formula può essere vista come una equazione la cui incognita è l’incognita del problema, nel nostro caso h è l’incognita mentre le altre lettere sono parametri noti. Per risolvere un’equazione si utilizzano i principi di equivalenza delle equazioni che consentono di:

p1) sommare o sottrarre ad entrambi i membri di una equazione uno stesso termine (addendo) p2) moltiplicare o dividere entrambi i membri di una equazione per uno stesso fattore diverso da zero

ci sono anche altri principi utili che derivano dai precedenti

p3) trasportare un termine da un membro all’altro cambiandogli il segno p4) scambiare il primo membro con il secondo membro p5) cambiare segno a tutti i termini dell’equazione

Se le equazioni sono di primo grado rispetto all’incognita prescelta si procede sempre così

1) eliminare eventuali denominatori (p2) 2) eliminare le eventuali parentesi svolgendo i dovuti calcoli 3) trasportare a primo membro i termini che contengono l’incognita (p3) 4) trasportare a secondo membro i termini che non contengono l’incognita (p3) 5) isolare l’incognita (dividere entrambi i membri per il coefficiente dell’incognita) (p2)

Nota 1. Spesso molti passaggi non sono necessari, focalizzare sempre la posizione dell’incognita Nota 2. In presenza di più denominatori è necessario calcolare il minimo comune denominatore Nota 3. Se a primo membro l’incognita è presente in più termini raccogliere a fattor comune l’incognita Nota 4. Se l’incognita isolata non è di primo grado estrarre la corrispondente radice Ricavare b

2 0ax bx c+ + = trasportare tutti i termini senza l’incognita a secondo membro

2bx ax c= − − isolare l’incognita b dividendo entrambi i membri per il coefficiente di b cioè x 2ax c

bx

− −=

Ricavare T1

( )2 1Q mc T T= − eliminare le parentesi e svolgere i calcoli

2 1Q mcT mcT= − trasportare i termini con l’incognita T1 a primo membro e

i termini senza incognita a secondo membro

1 2mcT mcT Q= − isolare l’incognita T1 dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente mc

21

mcT QT

mc

−=

Ricavare c

( )2 1Q mc T T= − l’incognita c deve stare a primo membro, scambiare i due membri

( )2 1mc T T Q− = isolare l’incognita c dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente ( )2 1m T T−

( )2 1

Qc

m T T=

−

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Ricavare r

34

3V rπ= eliminare i denominatori, moltiplicare per 3 entrambi i membri

33 4V rπ= l’incognita r deve stare a primo membro, scambiare i membri

34 3r Vπ = isolare l’incognita r dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente 4π

3 3

4

Vr

π= l’equazione non è di primo grado, estrarre la radice cubica

33

4

Vr

π=

Ricavare h

( )1 2

2

b b hA

+ ⋅= eliminare i denominatori , moltiplicare per 2 entrambi i membri

( )1 22A b b h= + ⋅ l’incognita h deve stare a primo membro, scambiare i membri

( )1 2 2b b h A+ ⋅ = isolare l’incognita h dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente ( )1 2b b+

1 2

2Ah

b b=

+

Ricavare V1

31

1 2 3

PP

V V V=

+ trovare il minimo comune denominatore ( )1 2 3V V V+

( )( )

( )3 1 21 3

1 2 3 1 2 3

P V VP V

V V V V V V

⋅ +⋅=

+ + eliminare i denominatori, moltiplicare per ( )1 2 3V V V+

( )1 3 3 1 2P V P V V⋅ = ⋅ + eliminare le parentesi e svolgere i calcoli

1 3 3 1 3 2P V P V P V⋅ = ⋅ + ⋅ l’incognita deve stare a primo membro, scambiare i membri

3 1 3 2 1 3P V P V P V⋅ + ⋅ = ⋅ trasportare i termini senza incognita a secondo membro

3 1 1 3 3 2P V P V P V⋅ = ⋅ − ⋅ isolare l’incognita V1 dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente 3P

1 3 3 21

3

P V P VV

P

⋅ − ⋅=

Ricavare x

( ) ( )2 : :a x x b c c+ = + trasformare in frazioni

2a x b c

x c

+ += calcolare il minimo comune denominatore ( )cx

( ) ( )2c a x b c x

cx cx

+ += eliminare i denominatori, moltiplicare per cx entrambi i membri

( ) ( )2c a x b c x+ = + eliminare le parentesi e svolgere i calcoli

2ca cx bx cx+ = + trasportare tutti i termini con l’incognita a primo membro e

tutti i termini senza l’incognita a secondo membro

2cx bx cx ca− − = − semplificare termini simili (stessa parte letterale)

cx bx ca− = − raccogliere la x a fattor comune

( )x c b ca− = − isolare l’incognita x dividendo entrambi i membri per il coefficiente della x cioè ( )c b−

cax

c b= −

−

��


LE FORMULE INVERSE ESERCIZI

Risolvi le seguenti formule/equazioni rispetto alle grandezze fisiche/incognite indicate

1 2P n l= ⋅ n l 14 ( )2 1Q mc T T= −

m C T1

2 s vt= v t 15 ( )0 2 1l l T Tλ∆ = ⋅ ⋅ −

l0 T2

3 M C I− = M C 16

1 2

1 2

P P

V V=

P2 V1

4

100

c r tI

⋅ ⋅=

C r t 17 31

1 2 3

PP

V V V=

+

V1 P3

5 M C i t= + ⋅ C i t 18

1 22

QQF k

r=

Q1 r

6 lR

sρ= ⋅

s l 19 2V r hπ= h r

7 WV

Q=

W Q 20 2 1E E F s− = ⋅

E1 s

8 1

2A b h= ⋅

b h 21 21

2E mv mgh= +

m h v

9

2

a bA h

+= ⋅

a b h 22 1 2

2

mmF G

d=

m1 d

10 Fp

A=

F A 23 F k x= ⋅ x k

11 PV nRT=

R T 24 A V d g= ⋅ ⋅ d V

12 atmp dgh P= +

d Patm h 25

21

2S at=

a t

13 2 1v v

F mt

−=

t m v2 26

0

N i LB

dµ

⋅ ⋅=

i d L

��


LE EQUAZIONI ESERCIZI GUIDATI

Risolvi l’equazione secondo i suggerimenti dati a fianco, come nell’esempio

Es Equazione 4x−3= x− 5

Porta a sinistra dell’uguale, primo membro, i termini contenenti l’incognita, cambiandoli di segno e a destra dell’uguale i termini che non la contengono.

4x− x = 3− 5

esegui i calcoli

3x = −2

dividi entrambi i membri per il coefficiente dell’incognita ed esegui i calcoli

3x

3=−2

3 ; soluzione x = −2

3

1 Equazione

9x+3− 4x = 6x− 2


esegui i calcoli


2 Equazione

2 1 5 3 4x x x+ = + −


esegui i calcoli


Risolvi le seguenti equazioni senza l’aiuto dei suggerimenti

1) 3x-2=7x-5

2) x+4=2x

3) 2x-1=6

4) –x+3=1

5) 6-x=4

6) 3x-4=x

7) x+1=4x+3

��


EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI

Risolubilità di un’equazione di I grado ridotta in forma normale del tipoax=b:

se il coefficiente dell’incognita è diverso da zero, a≠ 0 ,scrivi equazione DETERMINATA

se il coefficiente dell’incognita e il termine noto sono nulli,a=0 e b=0, scrivi equazione INDETERMINATA;

se il coefficiente dell’incognita è nullo e il termine noto è diverso da zero, a=0 e b≠ 0 , scrivi equazione

IMPOSSIBILE;

Completa la tabella per ridurre un’equazione in forma normale e per stabilirne la risolubilità.

Equazione Riduci l’equazione nella forma normale del tipo

ax=b

determinata indeterminata impossibile

Es x−3= x− 2+ 4x+3 /x−3= /x− 2+ 4x+3 � −4x = 4 determinata

Es x+3= − x+2( )+ 2x+ 5 x+3= −x−2+2x+ 5� 0x = 0

indeterminata

Es − x−3( )− x− 2( ) = −2x+1 −x+3− x+ 2 = −2x+1 � 0x = −4 impossibile

1 3 x−1( ) = − 3x−1( )+ 6x− 4

2 2 y+ 2( )− 2y+ 5( ) = −y

3 3 x−1( ) = 4 x−3( )+ 2− x+ 7

4 3 x− 2( )+ 4x = 5 x− 2( )+2x

Risolvi le seguenti equazioni determinando quali soluzioni ammette:

1) 2 x−3( )− 7 2− x( ) = x+ 4

2) 3x− 9 = 6x+1

3) 2 2x+ 4( )+3= 2x− 6−3 x+1( )

4) 2 x−3( )−5 1+ x( ) = 2 1− x( )+ x+1

5) 2x− 5= x+ 4+ x

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