ALGEBRA

Dopo avere ripassato:

la divisione tra polinomi,

le tecniche di scomposizione,

la procedura di somma di frazioni algebriche,

la risoluzione di equazioni intere e fratte,

svolgi i seguenti esercizi:

Divisione tra polinomi:

Scomporre in fattori irriducibili:

Dopo avere calcolato le C.E., esegui le seguenti somme di frazioni algebriche:

Risolvi le seguenti equazioni intere:

Svolgi le seguenti equazioni fratte:

GEOMETRIA

Dopo aver ripassato la teoria (argomenti elencati nel programma personalizzato) svolgi SUL QUADERNO i

seguenti esercizi guidati, riscrivendo anche ipotesi, tesi e figura.

TRIANGOLI

Ricorda che, per dimostrare che DUE ANGOLI o DUE SEGMENTI sono congruenti occorre:

1. PRENDERE IN CONSIDERAZIONE DUE TRIANGOLI;

2. ELENCARE TRE CONGRUENZE TRA I LORO LATI O ANGOLI;

3. APPLICANDO UNO DEI TRE CRITERI STUDIATI, DIMOSTRARE CHE I TRIANGOLI SONO

CONGRUENTI;

4. DEDURRE CHE, IN PARTICOLARE, SONO CONGRUENTI I DUE ANGOLI O I DUE SEGMENTI

INDICATI NELLA TESI.

ESERCIZI:

Disegna due triangoli ABC e DEF che abbiano AB DE, AC DF e in cui l’angolo esterno di vertice A sia

congruente a quello esterno di vertice D. Dimostra che i triangoli sono congruenti.

Hp:

1. ABC, DEF triangoli;

2. AB DE;

3. AC DF;

4. angolo esterno di vertice D;

5. angolo esterno di vertice D;

6.

Th: ABC DEF

Dimostrazione: Considero ABC e DEF. Essi hanno:

...... …… per …………….;

….. …….per …………….;

perché essi sono …………………………. di angoli …………………… ( per ipotesi 6.)

ABC DEF per il ……. Criterio di congruenza. C.V.D.

Nell’angolo disegna la bisettrice Os. Sui lati dell’angolo ^

aOb scegli due punti, rispettivamente A su Oa e B su

Ob, in modo che risulti OA OB. Congiungi un punto E della bisettrice con A e B. Dimostra che la semiretta Os è

anche bisettrice dell’angolo ^

AEB.

Hp:

1. angolo;

2. (Os bisettrice di );

3. OBOA ;

Th:

Dimostrazione: Considero i triangoli OEA e OBE. Essi hanno:

OE ... ……………………….;

^

HDE^

GAB

^

HDE^

GAB

CABEDF^^

^

HDE^

GAB

^

aOb

^

aOb

bOsaOs^^ ^

aOb

BEsAEs^^

.......... …… per …………….;

per ………………….;

OEA OBE per il ……. Criterio di congruenza.

In particolare .

perché, per dimostrazione precedente, essi sono …………………………. di angoli ……………..

c.v.d.

Dato l’angolo non piatto, sul lato Oa fissa due punti, A e

B, e sul lato Ob altri due punti, C e D, in modo che risulti

OCOA e ODOB . Dimostra che i triangoli OCB e OAD

sono congruenti.

Hp: Th: OADOCB

1. angolo non piatto;

2. OaA ; OaB ;

3. ObC ; ObD ;

4. ;

5. ODOB .

Dimostrazione:

Considero OCB e OAD. Essi hanno:

è ………………………………..;

……… …….. per ………………….;

……… ………per ………………….;

OBC OAD per il ……. Criterio di congruenza. C.V.D.

Disegna due triangoli congruenti ABC e A'B'C'. Sui lati congruenti AB e A'B', considera i punti D e D' in modo

che . Dimostra che gli angoli ^

CDB e sono congruenti.

Hp:

1. ABC, A'B'C' triangoli;

2. C'B'A'ABC ;

3. .

Th:

Dimostrazione (1):

Considero i triangoli ADC e A'D'C'. Essi hanno:

…….. ………. per ipotesi n° ……..;

…….. ………. per ipotesi n° ……..;

…….. ………. per ipotesi n° ……..;

ADC A'D'C' per il ……. Criterio di congruenza.

In particolare ^^

C'D'A'CDA . perché, per dimostrazione precedente, essi sono

…………………………………………………… C.V.D.

Dimostrazione (2):

Considero i triangoli BDC e B'D'C'. Essi hanno:

BOEAOE^^

BEOOEA^^

BEsAEs^^

bOa^

bOa^

OCOA

bOa^

D'A'AD^

B'D'C'

D'A'AD^^

B'D'C'BDC

^^

B'D'C'BDC

…….. ………. per ipotesi n° ……..;

…….. ………. per ipotesi n° ……..;

BD B'D' per differenza di …………………………….. (….. …... per …………………; ….. …...per

……………….).

BDC B'D'C' per il ……. Criterio di congruenza.

In particolare ……... ……………………………C.V.D.

Sulla bisettrice Oc dell’angolo acuto ^

aOb scegli un punto E. Traccia poi la retta per E, che formi con la bisettrice

stessa quattro angoli retti e intersechi i lati dell’angolo nei punti A e B. Dimostra che OBOA .

Hp: Th: OBOA

1. ^

aOb angolo;

2. bOcaOc^^

(Oc bisettrice);

3. rE ; Ocr ;

Dimostrazione: Considero OEA e OBE. Essi hanno:

OE ………………………… ;

^^

.................. per ipotesi n° …..;

^^

.................. per ipotesi n° …..;

OEA OBE per il ……. Criterio di congruenza.

In particolare ….. …… C.V.D.

Disegna i triangoli ABC e RST in modo che si abbia AB RS e che siano congruenti gli angoli esterni di vertici A

e R e quelli di vertici B e S. Dimostra che i triangoli sono congruenti.

Hp:

1. ABC, RST triangoli;

2. AB RS;

3. FAB^

e CBD^

angoli esterni di ABC, di vertici A e B;

4. SRG^

e TSE^

angoli esterni di RST, di vertici R e S;

5. FAB^

SRG^

;

6. CBD^

TSE^

.

Th: ABC RST

Dimostrazione: Considero ABC e RST. Essi hanno: ……. …… per ………………………;

^^

.................. perché …………………….. di angoli ………………… (^^

.................. per ipotesi n ° ….. e ……);

^^

.................. perché …………………….. di angoli ………………… (^^

.................. per ipotesi n ° ….. e ……);

ABC RST per il ……. Criterio di congruenza. C.V.D.

Dato un triangolo ABC, si prolunghi la mediana AM di un segmento ; dimostrare che e

.

Hp: ……………………….

……………………….

Ts: ……………………….

……………………….

Dimostrazione: Consideriamo i triangoli AMC e ……………….., essi hanno:

…………………………. Per hp 1

…………………………. Per hp 2

……………… Perché ……………………………………………………………

Quindi per il ………. criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.

In particolare ………………………

Consideriamo ora i triangoli AMB e ……………….., essi hanno:

…………………………. Per hp 1

…………………………. Per hp 2

……………… Perché ……………………………………………………………

Quindi per il ………. criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.

In particolare ……………………… C.V.D.

Del triangolo qualunque ABC sia r la semiretta bisettrice dell’angolo . Considerare su questa bisettrice i

segmenti e . Dimostrare che .

Hp: ………………………….

………………………….

…………………………..

Ts: …………………………..

Dim: consideriamo i triangoli ABF e ……………….., essi hanno:

…………………………. Per hp 1

…………………………. Per hp 2

………………………….. Per hp 3

Quindi per il ………. criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.

In particolare ……………………… C.V.D.

Sia P un punto qualsiasi della base AB del triangolo isoscele ABC.

Sul lato AC si prenda il punto R tale che AR≅PB; mentre si prenda su BC il punto S tale che SB≅AP. Si dimostri

che gli angoli PRS e PSR sono congruenti.

Ipotesi:

……………………………………

……………………………………

…………………………………..

Tesi:

…………………………………..

Dimostrazione: Consideriamo i triangoli APR e BSP, essi hanno:

AR≅………. per ……………

SB≅………. per ……………

perché ………………………………………………………………………….. Quindi per il …………. criterio di congruenza sono congruenti. Di conseguenza risulta anche PR≅..……… e quindi PRS è un triangolo ………………………….e per il teorema

…………………………………… risulta che . C.V.D.

Nel triangolo isoscele ABC di base AB si prolunghi il lato AC di un segmento CE dalla parte di C e si prolunghi

BC di un segmento CD dalla parte di C, in modo che CE≅CD.

Sia F il punto d'intersezione di AD con EB. Dimostrare che ABF è un triangolo isoscele.

Ipotesi: Tesi: ……………………….

……………………………………

……………………………………

Dimostrazione:

Consideriamo i triangoli ACD e ……….., essi hanno:

AC≅………. per ……………

CD≅………. per ……………

perché ………………………………………………………………………….. Quindi per il …………. criterio di congruenza sono congruenti.

Di conseguenza risulta anche ..……….. e quindi perché …………………………………………………

Pertanto, per il teorema ……………………………………….. risulta che ABF è un triangolo isoscele. C.V.D.

Dimostra i seguenti teoremi applicando i criteri di congruenza e i teoremi relativi al triangolo isoscele:

Dato un triangolo isoscele di vertice A, sui prolungamenti della base BC, prendi due segmenti congruenti

BD e CE. Dimostra che il triangolo ADE è isoscele. (Suggerimenti: Considera il triangolo ABC, isoscele per

l’ipotesi (1): per il teorema diretto del triangolo isoscele. Considera poi BDC e BCE……)

Sui lati congruenti AB e AC di un triangolo isoscele ABC prendi due punti D ed E tali che BD sia

congruente a CE. Detto M il punto medio della base BC, dimostra che i triangoli ADM e AEM sono

congruenti.(Suggerimenti: considera i triangoli BMD e MCE….)

Considera su due lati di un angolo di vertice O i punti A e B tali che OA è congruente a OB. Traccia poi la

bisettrice dell’angolo, e su di essa individua un qualsiasi punto P. Dimostra che i segmenti congiungenti i

punti A e B con P sono tra di loro congruenti.(Suggerimenti: considera i triangoli OPA e OBP…..)

Dato un triangolo ABC, e scelto un punto O qualunque del piano, congiungi

O con i vertici del triangolo. Prolunga poi AO, BO e CO rispettivamente di tre

segmenti OD, OE e OF, ad essi ordinatamente congruenti.Dimostra che il

triangolo COB è congruente al triangolo EOF , e che il triangolo ABC è

congruente al triangolo DEF (Aiutati con la figura qui a lato, sulla quale devi

rappresentare graficamente le ipotesi. Usa il primo criterio, poi il terzo criterio

di congruenza).

Dato un triangolo isoscele, congiungi i punti medi dei tre lati. Dimostra che

il triangolo così ottenuto è anch’esso isoscele.

RETTE PARALLELE

Sulle rette parallele, ricorda che:

1. PER DIMOSTRARE CHE DUE RETTE SONO PARALLELE UNA STRATEGIA VALIDA E’

DIMOSTRARE LA CONGRUENZA DI UNA COPPIA DI ANGOLI (alterni, corrispondenti..)

2. SOLO QUANDO SAPPIAMO CHE DUE RETTE SONO PARALLE (perché lo dicono le ipotesi o

perché precedentemente dimostrato) POSSIAMO DIRE GLI ANGOLI (alterni, corrispondenti..) SONO

CONGRUENTI.

Svolgi i seguenti esercizi, tratti dal libro di testo, sul quaderno:

pag.G89 dal n° 25 al n° 28, pag.G91 dal n° 37 al n° 40.