Primo teorema del confronto

Siano . Allora .

Secondo teorema del confronto (o dei carabinieri)

Siano .Allora . Le dimostrazioni di questi due teoremi sono analoghe a quelle delle successioni.

Teorema di limitatezza

Siano , allora .NB: questo teorema necessario per poter affrontare limiti del tipo . In tal caso, abbiamo limite uguale a perch presente una e una limitata.

Teorema di sostituzione

Siano due funzioni componibili. Inoltre:

Allora .

Algebra dei limiti

Siano e .1. 2. 3. 4. 5.

Oss: tutte le regole dellalgebra dei limiti valgono per le funzioni continue. Se due funzioni sono continue nel loro dominio, allora lo sono anche . A monte ci sta il significato della continuit, infatti una funzione continua in se esistono finiti e coincidenti il limite destro e sinistro per . Ecco che quindi si ricade nelle regole dellalgebra dei limiti.Dim (1):Prendiamo la definizione di limite:

La nostra tesi sar:

Per una disuguaglianza vista precedentemente la tesi si dimostra in maniera immediata:

q.e.d.Dim (2):Prendiamo la definizione di limite:

La nostra tesi sar:

La tesi si dimostra in maniera immediata prendendo :

(Le altre sono da fare)q.e.d.

Forme di indecisione

1. 2.

3.

4.

5. 6.

NB: ci sono forme di indecisione riconducibili a queste forme grazie al passaggio Limiti notevoli

1) Partiamo dalla premessa che pari. Dunque sufficiente analizzare il caso per .Costruiamo su una circonferenza un angolo . Avremo che:

1)

2)

3)

4) 5)

6)

7)

8)

9)

10)