Precessione geodetica ed effetto Lense-Thirring.

Il sistema Binario PSR 1913+16

Limiti sperimentali sui parametri PPN.

Tabella della lezione precedente

Gli effetti di precessione

• Nel 1918, Joseph Lense and Hans Thirring predissero l’effetto di trascinamento del sistema di riferimento locale.

• Ogni corpo dotato di massa deforma lo spazio-tempo attorno a se.

• Se questo oggetto ruota, esso induce una seconda distorsione torcendo lo spazio attorno a se.

• Se lo spazio-tempo è in stato di trascinamento attorno a questa prima massa, allora gli oggetti presenti in quella zona di spazio debbono risentire di tale stato dinamico.

Precessione Geodetica

Precessione geodetica

6.6 / yrθ ′′=&

0.042 / yrθ ′′=&

S

J

€

€

dr S

dτ=

r Ω G ×

r S

r Ω G = (γ +

1

2)r v ×

r ∇U

SS = spin del giroscopio

v = velocità del giroscopioU = potenziale gravitazionale terrestre

= parametro PPN

Ad esempio il sistema Terra-Luna è un

giroscopio con gli assi perpendicolari al piano orbitale: la precessione

è di 2 secondi d’arco per secolo

La curvatura dello spazio-tempo causa la precessione del giroscopio rispetto alle “ stelle fisse”

L’effetto Lense-ThirringSecondo la Relatività Generale il moto della materia produce un effetto analogo al moto di cariche in elettromagnetismo. Tra due corpi in rotazione esiste allora un accoppiamento Spin-Spin che ne altera lo stato dinamico.Si parla allora di effetto Gravitomagnetico o effetto Lense-Thirring

€

dr S

dτ=

r Ω LT ×

r S

r Ω LT = −

1

2(1+ γ +

1

4α 1)[

r J − 3

r n (

r n ⋅

r J )]/r3

n = versore radiale r = distanza dal centro della Terra 1 = parametro PPN

Per un’orbita polare a 650 km d’altezza ci aspettiamo(1/2) x (1++1/4) x 42 x 10-3 secondi d’arco/anno

La rivelazione dell’effetto Lense-Thirring

• I satelliti LAGEOS e LAGEOS 2 sono stati utilizzati per osservare l’effetto Lense-Thirring aanalizzando 11 anni di dati.

• Ogni satellite è una sfera altamente riflettente.• I segnali emessi da un Laser sono fatti rimbalzare

all’indietro colpendo i satelliti e quindi vengono analizzati.• Dall’analisi dei dati si deduce un valore dell’effetto di

precessione misurato coincidente entro 1% con il valore previsto dalla teoria di Einstein. Tuttavia l’errore associato a tale misura è del 10%.

• Un altro satellite, Gravity Probe B, è stato lanciato nel 2005 per measurare direttamente l’effetto Lense-Thirring. I risultati saranno rilasciati dalla collaborazione internazionale nel 2007

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Gravity Probe B - GPB• I rotori dei giroscopi sono sfere di quarzo di 3.8 cm, sospensi elettrostaticamente

•Per limitare l’effetto torsionale mareale la sfericità deve essere assicurata entro 10-6 cm

•Le sfere sono ricoperte di niobio, materiale che diviene superconduttore per T< 9 K.

•In condizioni di superconduttività alle sfere viene associato un momento magnetico (London magnetic moment) parralelo allo spin.

•Le sfere sono circondate da bobine superconduttrici in cui si induce una corrente quando la sfera precede.

•La variazione di corrente è misurata con uno SQUID (Superconducting Quantum Interference Device)

Gravity Probe B - GPB

• I giroscopi sono posti in una camera da vuoto circondata da elio superfluido a 1.8 K

• L’asse longitudinale del satellite è mantenuto in una direzione fissata tramite un telescopio che punta su una stella di riferimento e da un sistema di controllo basato sull’uso di piccoli razzi correttori

• Il satellite è reso “drag-free” grazie al monitoraggio del moto relativo al satellite di una massa libera al suo interno.

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Gravity Probe B - GPB

Test della teoria gravitazionale su sistemi stellariil sistema binario PSR 1913+16

PSR B0833-45, The Vela Pulsar

PSR B0531+21, The Crab Pulsar

Una Pulsar è una stella che presenta un elevatissimo campo magnetico ~2 1011 volte il campo magnetico terrestre. Si ipotizza che si tratti di una stella di neutroni la sua struttura sia con un raggio 10-20 km e massa dell’ordine di 1,4 Ms. Il suo asse di rotazione non coincide con l’asse del dipolo magnetico e le particelle relativistiche cariche presenti nella magnetosfera emettono radiazione e.m. di sincrotrone focalizzata in uno stretto cono lungo i poli magnetici. Questo segnale elettromagnetico, proveniente da grande distanza e modulato dalla rotazione dela stella, viene ricevuto a Terra sotto forma di impulsi e.m. aventi una molto ben periodicità ben definita. Il sistema emettente si comporta come un immenso e compatto volano ed alcune pulsar emettono con una regolarità cos`ˆben definita da essere utilizzabili come orologio primario di riferimento.

Il radiotelescopio di Arecibocourtesy of the NAIC - Arecibo Observatory, a facility of the NSF

Si tratta del più largo radiotelescopio esistente installato nel 1963 a Puerto Rico dalla National Science Fundation (USA) sotto la responsabilità della Cornell University..Lo specchio riflettore al suolo è di 305 m di diametro ed è costituito da 40000 pannelli di aluminio perforato ciascuno di 1m x 2 m. Sospeso 150 m sopra di esso vi è l’apparato ricevente di 900 tonnellate.

Il segnale radioastronomico• Prima di riporare il tempo d’arrivo degli impulsi osservato a Terra in tempo proprio della

Pulsar occorre correggere la “Dispersione”. Essa è dovuta alla propagazione del segnale e.m. attraverso gli elettroni liberi del mezzo interstellare.Le componenti a bassa frequenza del segnale sono ritardate maggiormente.

• Per corregere si rivela ad esempio nell’’intervallo 1383-1423 MHz diviso in 32 sottobande da 1.25 MHz.

• Il tempo d’arrivo dell’impulso è dedotto misurando la differenza di fase tra ciascun profilo ed il corrispondente profilo di riferimento ottenuto mediando a lungo i dati. Si corregge poi per la dispersione

Test della teoria gravitazionale su sistemi stellariil sistema binario PSR 1913+16

• Nell’estate del 1974 usando il radio telescopio di Arecibo nello stato di Portorico, Joseph Hulse e Russel Taylor scoprirono una Pulsar generante un segnale radio periodico di 59 ms, PSR 1913+16

• Tuttavia la periodicità di 59 ms non era stabile e manifestava cambiamenti dell’ordine di 80 s /giorno e a volte dell’ordine 8s in 5 minuti .

• Il grafico del periodo apparente in funzione del tempo d’osservazione fu interpretato in termini di effetto Doppler dovuto alla presenza del moto orbitale della pulsar attorno ad una stella compagna.

•La frequenza di ripetizione degli impulsi è utilizzata per dedurre la velocità radiale orbitale. •Quando la Pulsar si muove verso di noi la Pulsar è vicina al Periastro la frequenza di ripetizione è più alta. •Quando è più lontana da noi, ovvero all’Apoastro, la frequenza degli impulsi deve calare.•Il fatto che velocità negative (blueshift frequency, più vicino alla Terra) sono più grandi delle positive (redshift frequency, più lontano dalla Terra) è indice di una forte eccentricità dell’orbita.

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Il tempo d’arrivo dei segnali cambia anche a seconda del movimento della Pulsar. Quando questa si muove lungo il tratto di orbita rivolto verso la Terra il tempo d’arrivo anticipa di 3 secondi rispetto a quando è lungo il tratto opposto. Questo tempo implica che abbiai una dimensione di circa ~1 106 km.

•Vicino all’ Apoastro il campo gravitazionale è più forte e lo scorrere del tempo è rallentato (redshift gravitazionale): il tempo tra gli impulsi ricevuti si allunga. L’orologio della pulsar è rallentato quando viaggia più veloce e si trova nella zona di spazio dove il campo gravitazionale è più forte.Lo scorrere del tempo poi accelera di nuovo quando siamo nella zona di campo debole.

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• L’orbita della Pulsar giace su un piano inclinato di ~45o rispetto alla direzione di vista ed appare ruotare nel tempo; più precisamente l’orbita è aperta e quasi ellittica in cui il punto più vicino al cetro di massa continua a ruotare ad ogni giro (precessione del Periastro analogo a quello osservato per l’orbita di Mercurio attorno al Sole.

• L’avanzamento del periastro per PSR 1913+16 è di ~ 4.2 gradi/anno, ovvero si osserva in un giorno ciò che per Mercurio accade in un secolo.

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Parametri del fit kepleriano per il sistema binario PSR 1913+16

• K1= semi-ampiezza della variazione della velocità radiale della pulsar

• Pb= periodo del moto orbitale del sistema binario

• PP= periodo della Pulsar corretto per lo spostamento Doppler ad una data epoca

• e = eccentricità dell’orbita

• a1 sin i = semi-asse maggiore dell’orbita proiettato sul piano del cielo, essendo i l’angolo tra il piano dell’orbita ed il piano di riferimento (piano perpendicolare alla linea di vista dalla Terra alla pulsar)

= longitudine del periastro ad una data assegnata ( Settembre 1974)

• m1 = massa della Pulsar

• m2 = massa del compagno

• f1= (m2 sin i)3/(m1+m2)2=funzione di massa

Sotto l’ipotesi d’effetto doppler dal grafico della velocità in funzione del tempo fu dedotto un fit nell’ipotesi d’orbita Kepleriana del sistema a due corpi.

Update using data from 1990-1992

PSR 1913+16 e la verifica della Relatività Generale

• Dai dati si osserva un cambiamento nel tempo del periodo orbitale. Questo può essere legato a varie cause. Una di esse è la perdita d’energia per emissione di Onde Gravitazionali legate all’esistenza di un momento di quadrupolo del sistema. Sulla base della formule di puro quadrupolo della Relatività Generale che discuteremo più tardi, si ha:

dE/dt = -(32/5) [/ (m1+m2)]2 [(m1+m2)/a)]5 [1+ (73/24) e2 + (37/96) e4)](1-e2)-7/2

(m1m2) (m1+m2)] massa ridotta del sistema orbitante

Dalla terza legge di Keplero si deduce la derivata del periodo orbitale nel tempo

(1/Pb) (dPb/dt) = -(3/2) (1/E) (dE/dt)

ovvero

(dPb/dt) =-(192/5)[2 (m1+m2)/Pb]5/3[/ (m1+m2)][1+(73/24) e2+(37/96) e4)](1-e2)-7/2

Identificazione degli oggetti stellari di PSR 1913+16• Sono state dedotte previsioni diverse sull’avanzamento del periastro sulla base

della natura dei corpi in gioco

•Il valore misurato dello shift del periastro costringe a muoversi nel piano (m1,m2) lungo la linea BH-NS-WD, corrispndente ad (m1+m2) =2.85 MS

•Il valore di red-shift misurato costringe a muoversi lungo le linee tratteggiate marcate dalle lettera C

•I valori massimo e minimo di dPb/dt chiudono la zona grigia

U= uniform rotationD= differential rotationBH= Black HoleWD= White Darf

NS= Neutron Star

Identificazione più probabile corrisponde al punto a

• Parametri post-Newtoniani dedotti sperimentalmente

€

<dω

dt>= 4.226628(18) anni−1

γ = 4.294(3) ms

dPb

dt= −2.425(10) ⋅10−12

•Previsioni della Relatività Generale in approssimazione post-Newtoniana

Avanzamento medio del periastro

Ritardo degli impulsi dovuto al redshift gravitazionale

Variazione nel tempo del periodo orbitale

Inoltre si considerano altri due i parametri osservativi legati all’effetto Shapiro (tempo di ritardo gravitazionale quando il segnale della pulsar transita in prossimita della compagno lungo la linea di vista dell’osservatore a Terra)

s = sin i = andamento funzionale del tempo di ritardor = m2 = ampiezza dell’effetto di ritardo

m1

m2

m1= 1.4411(7) MS

m2= 1.3873(7) MS

Cambiamento del periastro per emissione di Onde Gravitazionali: accordo tra teoria ed osservazione

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Russell A. Hulse1950

Joseph H. Taylor Jr1941

Premio Nobel per la Fisica nel 1993

Limiti dei parametri PPN

Effetti legati all’ esistenza di riferimenti privilegiatiAnisotropie della costante G misurata localmente

Effetto di variazione del Periodo delle Pulsar

Limite su di qualche parte su 1020

Torsione anomala sul sole che causa una oscillazione a caso della direzione dello spin rispetto al piano orbitale

Limite su di qualche parte su 107

Violazione della Conservazione dell’ Impulso

Limiti dall’effetto Nordvedt

Bartlett and Van Buren

€

mA = mP +1

2ζ 3

Ee

c 2

ζ 3 <1×10−8

I sistemi binarie come laboratorio di test delle teorie della gravitazione

• and parametri PPN relativi alle leggi di conservazione.

• Limite su dedotto indirettamente dall’effetto Nordtvedt.

• Limite di dedotto da Bartlett e van Buren (vedi lez. Precedente, modello lunare) relativo alla violazione della coincidenza tra massa attiva mA e massa passiva mP associata alla diversa energia di legame elettrostatica del nucleo atomico Ee

mA= mP +(1/2) Ee /c2.

• è connesso alla Gravità generata dalla pressione p generata da un fluido. In ogni ragionevole teoria della Gravità p è connessa con l’energia cinetica v2 e con l’energia interna Ne segue che

• In presenza di violazione della conservazione del momento avremo che in un sistema binario l’accelerazione del suo centro di massa aCM risulta diversa da zero

€

aCM =1

2(ζ 2 + α 3)

m1 − m2

a3

m1m2

m1 + m2

e

(1− e2)3 / 2ˆ n P

è il versore che dal centro di massa punta verso il periastro di m1

€

ˆ n Pa è il semi-asse maggiore dell’orbita, e la sua eccentricità

aCM = 0 (d2 Pb /d2t ) = 0

Dai limiti sulle osservazioni di PSR1913+16 segue 4 10-5

I sistemi binarie come laboratorio di test delle teorie della gravitazione

• In Relatività Generale non è prevista radiazione dipolare. In teorie che includono la violazione del Principio d’Equivalenza Forte (SEP) un tale contributo può essere significativo.

• Riferendoci al centro di massa del sistema binario, mI1 x1 + mI2x2 =0 si può ragionevolemente affermare che l’onda dipende da

d (mG1 x1 + mG2x2 ) /dt ovvero da

( v1 - v2 ) [(mI1 / mG1 ) - (mG2 / mI2 )]

• La violazione di SEP implica la dipendenza dall’energia gravitazionale di legame degli oggetti stellari e poichè in PSR 1913+16

m1 ~ m2

Se esiste l’effetto, esso è comunque altamente depresso nel sistema a masse uguali.

I sistemi binarie come laboratorio di test della teoria di Brans-Dicke

• Modifica della 3o legge di Keplero 2 fb = (G m /a3)1/2

• Predizioni per <> , ', dPb/dt in funzione del parametro d’accoppiamento del campo scalare della teoria di Brans-Dicke, BD

• sa e ka* misuranola dipendenza della generica massa ma e del generico momento d’inerzia Ia da BD.

• sa è connessa all’energia di legame gravitazionale.• sa e ka* dipendono dall’equazione di stato della stella.

B-D GR

Termine di monopolo e quadrupolo

Termine di dipolo

Assumendo l’equazione di stato politropica delle stelle di neutroni, il diagramma di compatibilità impone

BD > 500

Sommario sui limiti dei parametri PPN

etc.…. Argomento per una tesina….

Materiale Didattico Lezione

Testo utile

C. M Will: The confrontation between General Relativity and Experiment Pre- print astro-ph/ gr-qc/0103036 ( vedi sito web)

C.M. Will Theory and experiment in gravitational physics,Cambridge University Press

TESINE POSSIBILI

Tesine: 1) analisi dettagliata dei dati della PSR 1913+16 e di sistemi simili 2) studio dei limiti imposti da osservazioni nel sistema solare ai parametri

post- newtoniani