Universita‘ degli Studi “Roma Tre”

FACOLTA’ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Dipartimento di Fisica “Edoardo Amaldi”

SIMMETRIE DINAMICHE EDEGENERAZIONI ACCIDENTALI:

PROBLEMA DI KEPLERO INMECCANICA CLASSICA E ATOMO

D’IDROGENOIN FISICA QUANTISTICA

Laureando:Jacopo Bassi

Relatore:Prof. Orlando Ragnisco

Anno Accademico 2009 - 2010

1

0.1 Introduzione

Il vettore di Runge-Lenz A e stato riscoperto piu volte durante gli ultimi tresecoli. Jakob Hermann fu il primo a mostrare che A si conserva in casi parti-colari concernenti forze centrali inversamente proporzionali al quadrato delladistanza, ponendolo in relazione all’eccentricita dell’orbita[1]. Questo lavoro fugeneralizzato da Johann Bernoulli nel 1710[2]. Alla fine di quel secolo Pierre-Simon de Laplace ne riscoprı la conservazione in maniera analitica, anzichegeometrica[3]. Nella meta del XIX secolo, William Rowan Hamilton lo uso permostrare che il vettore impulso traccia una circonferenza (nello spazio degliimpulsi) centrata in (0, Amk

L) e di raggio R = mk

L[4]. La dimostrazione e molto

semplice:

A =p× L

mk− r, (1)

A2 +

(pL

mk

)2

+2L · (p×A)

mk= 1,

scegliendo l’asse z orientato nella direzione di L e l’asse x orientato nelladirezione di A:

p2x +

(py −

Amk

L

)2

=

(mk

L

)2

,

che e proprio l’equazione di una circonferenza di raggio mkL

centrata in (0, AmkL

)sul piano (px, py). All’inizio del XX secolo Gibbs derivo le stesse conside-razioni sulla conservazione di questo vettore attraverso l’analisi vettoriale[5].Questo approccio fu successivamente riutilizzato da Carle Runge in un famososcritto[6], dal quale prese spunto Wilhelm Lenz per la trattazione del proble-ma dell’atomo di idrogeno attraverso la “vecchia” meccanica quantistica (oldquantum theory)[7]. Nel 1926 Wolfgang Pauli uso il vettore A per analizzarenuovamente l’atomo di idrogeno, derivando il suo spettro energetico attra-verso la meccanica quantistica “moderna”, senza fare uso dell’equazione diSchroedinger[8]. Dopo la pubblicazione di Pauli questo vettore e stato definiti-vamente riconosciuto come vettore di Runge-Lenz. Una proprieta essenziale (eparticolare) del vettore A e che non esiste una coordinata ciclica associata adesso; quindi il vettore di Runge-Lenz e una costante dinamica, a differenza delmomento angolare, che e una costante geometrica. Il vettore di Runge-Lenz econservato solamente per sistemi sottoposti a un potenziale inversamente pro-porzionale alla distanza. Nella maggior parte dei problemi concreti, tuttavia,l’interazione tra due corpi (gravi o cariche) non segue esattamente questo anda-mento a causa della presenza di perturbazioni che possono essere interpretatecome termini aggiuntivi al potenziale del tipo h(r). In questi casi il vettore diRunge-Lenz non si conserva, ma compie un lento moto rotatorio sul piano del-l’orbita, dovuto alla precessione di questa. Assumendo che h(r) sia un campo

2

centrale conservativo, si ha che l’energia totale E ed il momento angolare Lsono di nuovo conservati e quindi si puo considerare in prima approssimazionecostante anche il modulo del vettore di Runge-Lenz:

A2 =2EL2

mk2+ 1− 2L2

mk2〈h(r)〉 .

La rotazione del vettore di Runge-Lenz fornisce informazioni circa la pertur-bazione h(r), infatti questo ruota ad una frequenza:

∂

∂L〈h(r)〉 =

∂

∂L

(1

T

∫ T

0

h(r)dt

)dove T e il periodo dell’orbita imperturbata. Infatti, la variabile canonicamenteconiugata al momento angolare e l’angolo di orientazione dell’asse maggioredell’ellisse descritta dall’orbita, quindi:

∂H

∂L= α =

∂h

∂L,

dove l’ultima uguaglianza segue dal fatto che l’hamiltoniana del problema im-perturbato non prevede la precessione dell’orbita. Questo approccio servı anchecome verifica della teoria della relativita generale, in cui alla forza Newtonianaclassica viene aggiunta una perturbazione proporzionale all’inverso del cubodella distanza. Lo studio di queste perturbazioni rappresenta oggi forse la piuimportante applicazione del vettore A. Qui di seguito viene esaminato il ruolodi questo vettore come generatore di una particolare trasformazione canonicanello spazio delle fasi classico del problema di Keplero e come generatore disimmetrie per l’atomo di idrogeno in meccanica quantistica.

0.2 Problema di Keplero[9], [10]

Un sistema meccanico con d gradi di liberta ammette al massimo 2d−1 costantidel moto, in quanto ci sono 2d condizioni iniziali e il tempo iniziale non puoessere associato ad una costante del moto. Un sistema con piu di d costanti delmoto e chiamato superintegrabile e un sistema con 2d−1 integrali primi e dettomassimamente superintegrabile. E questo il caso del problema di Keplero, incui le sette quantita conservate E, Ax, Ay, Az, Lx, Ly, Lz, sono messe inrelazione dalle due equazioni:

A · L=0, (2)

A2 =2EL2

mk2+ 1. (3)

3

Dato che il modulo di A puo essere determinato dal momento angolare Le dalla energia E, solo la sua direzione e conservata indipendentemente. Ae perpendicolare a L e fornisce solo una quantita conservata in piu. Siste-mi massimamente superintegrabili seguono orbite chiuse 1−dimensionali nellospazio delle fasi, poiche l’orbita e l’intersezione delle isosuperfici delle costantidel moto indipendenti, che, nel nostro caso, sono 5. L‘hamiltoniana di singolaparticella per il problema di Keplero e‘:

H =1

2m(p2x + p2

y + p2z)−

k√x2 + y2 + z2

. (4)

Passando in coordinate sferiche si ha:x = r sin θ cosφ

y = r sin θ sinφ

z = r cos θ

.

x2 + y2 + z2 = r2 sin2 θ cos2 φ+ r2 cos2 θ cos2 φθ2 + r2 sin2 θ sin2 φφ2−

−2r2 cos θ sin θ cosφ sinφθφ+ 2rr sin θ cos θ cos2 φθ − 2rr sin2 θ cosφ sinφφ+

+r2 sin2 θ sin2 φ+ r2 cos2 θ sin2 θθ2 + r2 sin2 θ cos2 φφ2+

+2r2 cos θ sin θ cosφ sinφθφ+ 2rr sin2 θ sin cosφ sinφφ+

+r2 cos2 θ + r2 sin2 θθ2 − 2rr sin θθ = r2 + r2θ2 + r2 sin2 θφ2.

Ponendo: pr = mr, pθ = mr2θ, pφ = mr2 sin2 θφ si ottiene:

H =1

2m

(p2r +

p2θ

r2+

p2φ

r2 sin2 θ

)− k

r. (5)

Si puo subito notare che la variabile φ e ciclica e quindi, considerando leequazioni di Hamilton:

pφ = cost. (6)

Tramite calcolo diretto si trova:

(x× p)x = −mr2 sinφθ −mr2cosθ sin θ cosφφ;

(x× p)ym = r2 sinφθ −mr2 cos θ sin θ cosφφ;

(x× p)z = mr2 sin2 θφ; (7)

quindi pφ coincide con la componente z del momento angolare e questa siconserva. Inoltre e conservato il modulo del momento angolare:

{L2, H} =

4

=

(∂L2

∂φ

∂H

∂pφ− ∂L2

∂pφ

∂H

∂φ

)+

(∂L2

∂r

∂H

∂pr− ∂L2

∂pr

∂H

∂r

)+

(∂L2

∂θ

∂H

∂pθ− ∂L2

∂pθ

∂H

∂θ

)=

=

(∂L2

∂θ

∂H

∂pθ− ∂L2

∂pθ

∂H

∂θ

)= − 4

r2

cos θ

sin3 θpθp

2φ +

4

r2

cos θ

sin3 θpθp

2φ = 0. (8)

Se i valori del modulo e di una componente di un vettore sono conservati du-rante il moto, allora si puo convenientemente scegliere il sitema di riferimentoeuclideo originario orientato in modo da avere un asse direzionato parallelamen-te alla componente conservata. Si consideri l‘asse z orientato parallelamentealla componente z del momento angolare. Dato che L = x × p, il vettoreposizione e sempre perpendicolare al vettore momento angolare e il moto eplanare (sul piano perpendicolare ad L). Nelle nuove coordinate (x, y, px, py)il momento angolare assume la forma:

L = (xpy − ypx)z, (9)

mentre l’hamiltoniana e chiaramente:

H =1

2m(p2x + p2

y)−k√

x2 + y2.

Il fatto che il moto avvenga sul piano non implica che le orbite debbano es-sere ellittiche, fatto tipico nel problema di Keplero. Questa proprieta e daattribuirsi proprio alla conservazione del vettore di Runge-Lenz:

A =p× L

mk− r. (10)

Le proiezioni sugli assi sono:

Ax =Lpymk− x√

x2 + y2, (11)

Ay = −Lpxmk− y√

x2 + y2. (12)

Si vede facilmente che queste si conservano lungo il flusso hamiltoniano:

{Ax, H} =

=

(p2y

mk− 1√

x2 + y2+

x2

(x2 + y2)32

)pxm−(−ypymk

) kx

(x2 + y2)32

+

+

(−pxpymk

+ +xy

(x2 + y2)32

)pym−(

2xpy − ypxmk

)ky

(x2 + y2)32

= 0; (13)

5

{Ay, H} =

=

(−pypxmk

+yx

(x2 + y2)32

)pxm−(−xpy + 2ypx

mk

)ky

(x2 + y2)32

+

+

(p2x

mk− 1√

x2 + y2+y2

m

)−(−xmk

)ky

(x2 + y2)32

= 0. (14)

La conservazione del vettore A implica necessariamente l’ellitticita dell’orbita,per vederlo basta proiettare il raggio vettore lungo il vettore A:

r ·A = rA cos(φ(t)− φA) =L2

mk− r;

r[1 + A cos(φ(t)− φA)] =L2

mk, (15)

che e l’equazione di una ellisse con eccentricita A e semilato retto L2

mk. Il

vettore A e orientato parallelamente all’asse maggiore dell’orbita e la sua con-servazione implica evidentemente la conservazione dell’angolo α = arctan Ay

Ax.

In seguito verra usato questo angolo come coordinata generalizzata, infattila direzione di A e l’unica osservabile associata a questo vettore che risulticostante indipendentemente da L e E; il modulo di A e:

A2 =

(pL

mk

)2

+ 1− 2r · (p× L)

rmk=

=

(pL

mk

)2

+ 1− 2(r× p) · Lrmk

=

=2L2

mk2

(p2

2m− k

r

)+ 1 =

2L2

mk2E + 1. (16)

Attraverso un calcolo esplicito piuttosto lungo si trova:

{α,L} = 1. (17)

Scrivendo esplicitamente la parentesi di Poisson si vedono gli addendi da cal-colare:

{α,L} =

(∂α

∂x

∂L

∂px− ∂α

∂px

∂L

∂x

)+

(∂α

∂y

∂L

∂py− ∂α

∂py

∂dL

∂y

);

a titolo di esempio, il termine generico ∂α∂q

si puo scrivere:

∂α

∂q=∂ arctan(Ay

Ax)

∂(Ay

Ax)

∂(Ay

Ax)

∂q=

1

1 + (Ay

Ax)2

[∂Ay∂q−(AyAx

)∂Ax∂q

]=

6

=A2X

|A|2

[1

Ax

∂Ay∂q−(AyA2X

)∂Ax∂q

]=

1

|A|2

(Ax

∂Ay∂q− Ay

dAx∂q

).

I vari termini della parentesi di Poisson appaiono essere:

∂α

∂x

∂L

∂px=

1

|A|2

[Ax

(−pxpymk

+xy

(x2 + y2)32

)− Ay

(p2y

mk− 1√

x2 + y2+

x2

(x2 + y2)32

)](−y).

∂α

∂px

∂L

∂x=

1

|A|2

[Ax

(−xpy + 2ypx

mk

)+ Ay

(ypymk

)]py.

∂α

∂y

∂L

∂py=

1

|A|2

[Ax

(p2x

mk− 1√

x2 + y2+

y2

(x2 + y2)32

)− Ay

(−pxpymk

+xy

(x2 + y2)32

)]x.

∂α

∂py

∂L

∂y=

1

|A|2

[Ax

(−xpxmk

)− Ay

(2xpy − ypx

mk

)](−px).

Combinando questi risultati:

{α,L} =1

|A|2

[Ax

(−ypxpy + xp2

y

mk− x√

x2 + y2

)+ Ay

(yp2

x − xpxpymk

− y√x2 + y2

)]=

=A2x + A2

y

|A|2= 1.

{α,H} = {L,H} = 0. (18)

Percio, non solo si puo prendere (α,L) come set di coordinate canonicamen-te coniugate, ma queste sono anche entrambe conservate. Per avere unatrasformazione canonica:

(x, y, px, py) 7−→ (Q,P, α, L) (19)

deve essere scelta un’altra coppia di variabili coniugate. Prima di far questo einteressante notare che valgono le relazioni:

0 = α =∂H

∂L, 0 = L = −∂H

∂α,

{L,Q} = {α,Q} = {L, P} = {α, P} = 0. (20)

Appare a questo punto naturale prendere P = H; da cui:

Q =∂H

∂P= 1, Q(t) = Q0 + t. (21)

7

Questa scelta segue da un criterio generale usato anche nel metodo di Hamilton-Jacobi, che consiste nella ricerca di integrali primi del moto da utilizzare comevariabili, in maniera tale che le varabili canonicamente coniugate siano linear-mente dipendenti dal tempo. Viene ora utilizzato un risultato importanteriguardante la struttura dello spazio delle fasi: cosı come il tempo e la variabi-le coniugata all’hamiltoniana e viene usato per classificare gli stati sottopostial flusso hamiltoniano, in generale la variabile coniugata ad un’osservabile puoessere usata per classificare gli stati sottoposti alla trasformazione generata daquesta osservabile ( dove la trasformazione e quella che sposta lo stato di par-tenza lungo una curva su cui l’osservabile mantiene il proprio valore iniziale).Se G e un‘osservabile e ε la sua variabile coniugata, data un’altra osservabileF si ha:

dF

d ε= {F,G}. (22)

Ad esempio, nel caso del momento angolare:

dx

d εL= {x, L} =

∂L

∂px= −y, d y

d εL= {y, L} =

∂L

∂py= x,

d pxd εL

= {px, L} = −∂L∂x

= −py,d pyd εL

= {py, L} = −∂L∂x

= px.

La soluzione e: (x(εL)

y(εL)

)=

(cos εL − sin εLsin εL cos εL

)(x(0)

y(0)

)e analogamente per gli impulsi (sono due set di equazioni separate):(

px(εL)

py(εL)

)=

(cos εL − sin εLsin εL cos εL

)(px(0)

py(0)

)Quindi la trasformazione generata dal momento angolare e una rotazione eil relativo angolo la sua variabile coniugata. Nelle coordinate (Q,α,H, L),studiando la trasformazione indotta da α si vede che:

dL

d εα= {α,L} = 1 (23)

e quindi:L(εα) = L(0) + εα. (24)

L’effetto sull’orbita e quello di cambiare l’eccentricita (e quindi A) lasciandofissa la direzione dell’asse maggiore, in modo da far variare il momento angolaretra −LMAX e +LMAX , senza alterare il valore di H; per cui, allo stesso valo-re dell’energia corrispondono sistemi con diverse combinazioni delle lunghezzedei vettori A e L. In virtu di queste osservazioni, si puo provare a calcolare

8

lo spettro energetico dell’atomo di idrogeno nella teoria quantistica (e le rela-tive degenerazioni) tramite la ricerca di una base del gruppo delle simmetriecostituita dagli operatori momento angolare e vettore di Runge-Lenz. Primadi procedere alla trattazione quantistica, e interessante notare alcune profon-de analogie tra il problema di Keplero tridimensionale e l’oscillatore armonicobidimensionale.

0.2.1 Oscillatore armonico[8], [9]

Anche in questo caso il sistema e massimamente superintegrabile. Il primointegrale primo e dato dall’energia:

H = E =1

2(p2

1 + p22 + x2

1 + x22), (25)

dove per comodita si prende k = m = 1. L’hamiltoniana e separabile, infatti:

{Hi, H} = xipi − pixi = 0, Hi =1

2(x2

i + p2i ). (26)

x2i + p2

i = 2Hi; (27)

la soluzione e del tipo:

xi =√

2Hi sin(π

2δi,1 + t),

pi =√

2Hi cos(π

2δi,1 + t). (28)

Questo implica che l’orbita sia un’ellisse centrata nell’origine (si noti che nelproblema di Keplero l’origine giace su uno dei due fuochi). L’altro integraleprimo e dato dal momento angolare L = x1p2−x2p1, il quale e sempre conser-vato nel caso di potenziali centrali. L’insieme degli integrali primi puo esserericercato considerando il tensore:

Aij =1

2(xixj + pipj). (29)

La conservazione dei termini Aii e gia stata vista in quanto corrispondono alleenergie degli oscillatori disaccoppiati. Per le altre due componenti (identiche)si ha:

{A12, H} =1

2(x2p1 − p2x1) +

1

2(x1p2 − p1x2) = 0. (30)

La traccia di questo tensore equivale all’energia totale e il determinante a L2

4

e quindi A fornisce (come ci si aspettava) solo una quantita conservata in piu.

9

Inoltre questo tensore rappresenta un modo elegante per mostrare le quan-tita conservate; tuttavia, nell’ambito dell’analogia col problema di Keplero, epreferibile definire un vettore:

A = 2A12j + (A11 − A22)i. (31)

Il modulo di questo vettore e conservato in quanto lo e ogni sua componente.Inoltre l’angolo tra questo vettore e l’asse x1 e pari al doppio dell’angolo β tral’asse maggiore dell’ellisse descritta dal moto e l’asse x1. Questo fatto meri-ta qualche commento. Si consideri il sistema definito dalle equazioni (28) e siprenda in particolare l’evoluzione delle coordinate del punto dell’orbita posizio-nato sui valori positivi della retta x1 per effetto di una rotazione, supponendoE1 > E2 (nel seguito a e il semiasse maggiore e b il semiasse minore):(

x1

x2

)= Rβ

(x1(0)

x2(0)

)=

(cos β − sin βsin β cos β

)(a cos(0)

b sin(0)

)=

(a cos β

a sin β

). (32)

Le rotazioni conservano il modulo del raggio vettore e quindi, perche l’energiasia la stessa, deve essere conservato anche il modulo del vettore impulso:

p(Rx0) = p(x0) =√a2 sin2(0) + b2 cos2(0) = b, (33)

ottenuto calcolando le (28) nel punto preso in esame; quindi:

p1 = −b sin β,

p2 = b cos β. (34)

Il vettore A e costante durante il moto e quindi puo essere convenientementeespresso in funzione delle coordinate e degli impulsi ((32),(34)) successivi allarotazione:

A11 =1

2(a2 cos2 β + b2 sin2 β),

A12 = A21 =1

2(a2 − b2) cos β sin β,

A22 =1

2(a2 sin2 β + b2 cos2 β).

E ora immediato verificare il risultato preannunciato:

2A12

A11 − A22

=2 cos β sin β

cos2 β − sin2 β=

sin(2β)

cos(2β),

da cui:

β =1

2arctan

(2A12

A11 − A22

); (35)

10

e da notare il fatto che questa variabile sia canonicamente coniugata al mo-mento angolare, in perfetta analogia col problema di Keplero:

{β, L} = 1. (36)

Per effettuare il calcolo notare che la derivata generica si puo esprimere:

∂β

∂x=

1

(A11 − A22)2 + 4A212

[(A11 − A22)∂A12

∂x− 2A12

∂(A11 − A22)

∂x].

Quindi:

∂β

∂x1

∂L

∂p1

=1

(A11 − A22)2 + 4A212

[(A11 − A22)1

2x2(−x2)− 2A12x1(−x2)],

∂β

∂p1

∂L

∂x1

=1

(A11 − A22)2 + 4A212

[(A11 − A22)1

2p2p2 − 2A12p1(p2)],

∂β

∂x2

∂L

∂p2

=1

(A11 − A22)2 + 4A212

[(A11 − A22)1

2x1x1)− 2A12(−x2)x1)],

∂β

∂p2

∂L

∂x2

=1

(A11 − A22)2 + 4A212

[(A11 − A22)1

2p1(−p1)− 2A12(−p2)(−p1)];

{β, L} =∂β

∂p2

∂L

∂x2

[(A11−A22)1

2(−x2

2−P 22 +x2

1+p21)−2A12(−x1x2−p1p2−x2x1−p1p2)] = 1.

Come nel problema di Keplero si introduce il set di coordinate generalizza-te (β,Q, L,H) con β, H, L conservate. L’intersezione delle isosuperfici eparametrizzata dalla variabile Q:

Q(t) = Q(0) + t. (37)

Di nuovo, la trasformazione indotta dall’angolo β e definita dall’azione dellasua componente coniugata εβ:

L(εβ) = L(0) + εβ. (38)

La trasformazione generata da β trasforma orbite ellittiche in orbite ellittichecon la stessa orientazione, lo stesso valore della somma dei quadrati dei se-miassi, ma con un diverso rapporto tra essi. Nel far questo, β lascia invariataH e modifica il valore di L.

11

0.3 Atomo di idrogeno[11]

La simmetria O(3) dei potenziali centrali implica la conservazione del momentoangolare e una prima degenerazione dei livelli energetici. Come in meccani-ca classica la conservazione del momento angolare nel problema di Kepleroimplica la planarita dell’orbita ma non il fatto che questa sia ellittica, in mec-canica quantistica la simmetria del momento angolare implica la degenerazionein mz, autovalore della componente z del momento angolare, ma non quellain L2. Questa analogia e il ragionamento sviluppato nell’ambito della teoriaclassica suggeriscono la possibilita di attribuire questa ulteriore degenerazioneal vettore di Runge-Lenz:

Λ =1

2kM(p× L− L× p)− x

r, r = |x| . (39)

Si ha:[L, H] = 0, [Λ, H] = 0, (40)

L ·Λ = Λ · L = 0

infatti p×L e parallelo al raggio vettore e quindi perpendicolare ad L. Essendo:

H =p2

2m− k

r, (41)

possiamo scrivere:

Λ2 =2

k2mH(L2 + ~2) + 1. (42)

Ci sono quindi sei vettori che descrivono le quantita conservate (le tre compo-nenti del momento angolare e le altre tre del vettore di Runge-Lenz). Consi-derando per comodita:

Λ′ :=

√−k

2m

2EΛ (E < 0). (43)

Le relazioni di commutazione tra questi vettori sono:

[Li, Lj] = [Λ′i,Λ′j] = i

∑k

εijkLk;

[Li,Λ′j] = i

∑k

εijkΛ′k. (44)

Queste relazioni identificano una rappresentazione dell’algebra di Lie D2 as-sociata al gruppo SO(4,R), cioe esiste un omomorfismo Φ : D2 × D2 7−→span{Li,Λj} tale che: [Φ(a),Φ(b)] = Φ([a, b]), per ogni a,b ∈ D2.

12

I generatori associati a SO(4,R) e relativi all’azione su uno spazio difunzioni in quattro variabili (x, y, z, t) sono:

A1 = z∂

∂y− y ∂

∂z, A2 = x

∂

∂z− z ∂

∂x, A3 = y

∂

∂x− x ∂

∂y,

B1 = x∂

∂t− t ∂

∂x, B2 = y

∂

∂t− t ∂

∂y, B3 = z

∂

∂t− t ∂

∂z.

Questi operatori identificano l’azione di SO(4,R) in un intorno infinitesimodell’identita sullo spazio preso in considerazione. Si ha che D2 = A1 ⊕ A1 inquanto sia D2 che A1 ⊕A1 rappresentano un intorno infinitesimo dell’identitaper il gruppo SO(4,R) e in maniera analoga vale localmente: SO(4,R) ∼=SU(2)× SU(2,C). Per mostrarlo basta usare la parametrizzazione:

Ji :=1

2(Ai +Bi),

Ki :=1

2(Ai −Bi), (45)

[Ji, Kj] = 0;

in questo modo si ottengono le relazioni di commutazione che caratterizzanole rappresentazioni di A1:

[Ji, Jj] =∑k

εijkJk,

[Ki, Kj] =∑k

εijkKk. (46)

Nel nostro caso :

J =1

2(L + Λ′), K =

1

2(L−Λ′). (47)

Il rango di SO(4,R) e due e quindi ci sono due operatori di Casimir.

0.3.1 Operatore di Casimir

Questo operatore e caratterizzato dalla proprieta di commutare con tutti glielementi dell’algebra di Lie a cui e associato. La sua costruzione avvieneattraverso l’utilizzo della Killing form (la metrica usuale delle algebre di Lie):

gij :=∑k,l

clikckjl = gji, (48)

13

dove le ckij sono le costanti di struttura dell’algebra. Per algebre semisemplici(cioe non contenenti ideali abeliani) si puo definire una metrica gij descrittadall’uguaglianza: ∑

j

gijgjk =∑j

gkjgji = δik. (49)

L’operatore di Casimir e la forma quadratica:

C2 =∑ij

gijJiJj. (50)

Nel caso di SU(2), l’algebra associata e A1 e si ha:

gjk = −2δjk, gij = −1

2δij;

C2 = −1

2

∑i

J2i = −1

2(J2

1 + J22 + J2

3 ). (51)

�

Quindi J2 e K2 sono Casimir. Per SO(4,R) si possono scegliere conveniente-mente combinazioni lineari di questi operatori:

C := J2 +K2 =1

2(L2 + Λ′2),

C ′ := J2 −K2 = L ·Λ′ = 0. (52)

Dalla forma di C ′ si puo immediatamente notare che J2 e K2 sono lo stessooperatore; per calcolare i suoi autovalori bisogna indagare alcune proprieta deigruppi SU(n) introducendo una particolare base per le algebre associate.

0.3.2 Base di Cartan-Weyl

I gruppi SU(n) hanno n2 − 1 parametri e ammettono sempre una base digeneratori per l’algebra An−1 associata, chiamata base di Cartan-Weyl. Questae costituita da n− 1 operatori Hl e n(n− 1) generatori Eij tali che:

[Hi, Hl] = 0, i, l = 1, ..., n− 1;

[Hl, Eij] = rl,ijEij, l, i 6= j = 1, ..., n;

[Eij, Ei′j′ ] = δi′jEij′ − δj′iEi′j, (i, j) 6= (i′, j′);

[Eij, Eji] =∑l

aijl Hl. (53)

14

Ad esempio nel caso di A1:

H1 =1

2

(1 00 −1

)=

1

2σz,

E12 =

(0 10 0

)= σ+, E21 =

(0 01 0

)= σ−. (54)

Si noti che questa e la base in cui sono presenti gli operatori di innalzamentoe abbassamento per il momento angolare e lo spin (oppure quelli di creazionee distruzione per l’oscillatore armonico, la cui hamiltoniana, infatti, ammetteSU(2) come gruppo di simmetria). In questa base si definiscono pesi gli au-tovettori (comuni) degli Hl e dalle regole di commutazione segue che facendoagire gli Eij su uno di questi vettori si ottiene sempre un altro autovettoredegli Hl:

HlEij |w〉 = ([Hl, Eij] + EijHl) |w〉 = (rl,ij + wl)Eij |w〉 . (55)

La dimensione della rappresentazione (per rappresentazioni finito-dimensionali)e uguale al numero di autovettori comuni degli Hl. Affinche le regole di com-mutazione sopra indicate continuino a valere si puo assumere che l’azione dicerti Eij ben determinati (in tutto n − 1) sul peso massimo equivalga allaseguente:

Eij |W〉 = 0. (56)

Il fatto che l’operatore di Casimir commuti con tutti gli elementi dell’algebraassociata implica che la sua forma su questa sia equivalente a quella dell’iden-tita composta con una moltiplicazione per un elemento del campo (in effettiquesto fattore moltiplicativo puo essere utilizzato per classificare le algebre diLie). In virtu di questo si puo studiare la sua azione su un qualsiasi peso perstabilire il suo autovalore, infatti:

J2J+ |k〉 = J2 |k′〉 = k′ |k′〉 ,

J+J2 |k〉 = J+k |k〉 = k |k′〉 ;

quindi k = k′. In generale il calcolo avviene sul peso piu grande. Nel caso diSU(2), l’espressione di J2 nella base di Cartan-Weyl e:

J2 = J−J+ + J2z + Jz (57)

con J−, J+, J2z , Jz rappresentazioni delle relative matrici di Pauli. Se j e auto-

valore di Jz in corrispondenza del peso piu grande, si ha:

〈W| J2 |W〉 = j(j + 1). (58)

15

�

Nel nostro caso si ha quindi:

〈C〉 = 2j(j + 1). (59)

Il quadrato del vettore di Runge-Lenz dipende dall’energia:

Λ2 =2

α2mH(L2 + ~2) + 1,

da cui:

C =1

2

(L2 − α2m

2EΛ2

)= −α

2m

4E− 1

2;

En = − α2m

2(2j + 1)2= −α

2m

2n2, n = 2j + 1 = 1, 2, 3, ....

La dimensione del sottospazio degenere e quindi (2j + 1)2 = n2, in quantok = j. Infatti, su SU(2) il valore del Casimir calcolato sul peso massimo e:

〈W| J2 |W〉 = j(j + 1);

questo valore deve coincidere con quello calcolato sul peso piu piccolo:

〈wMIN| J2 |wMIN〉 = 〈wMIN| J+J−+J2z−Jz |wMIN〉 = 〈wMIN| J2

z−Jz |wMIN〉 =

j′(j′ − 1).

Ma allora perche valga l’uguaglianza si deve avere: j = −j′. Cio significa cheJz ammette in tutto 2j+1 autovettori e che quindi la dimensione della relativarappresentazione e :

2j + 1. (60)

Essendo inoltre j = k si hanno in definitiva

(2j + 1)(2k + 1) = (2j + 1)2 (61)

stati degeneri.Riassumendo, la simmetria SO(3) implica la degenerazione di 2l + 1 livel-

li per ogni valore dell’energia nel caso di potenziali centrali; per l’atomo diidrogeno i livelli con l = 0, ..., n − 1 sono anch’essi coincidenti a causa di unaulteriore simmetria SO(3) dovuta appunto al vettore di Runge-Lenz, dandoluogo globalmente alla simmetria SO(4) = SO(3)× SO(3). Coerentemente aicalcoli svolti, ad ogni valore n corrispondente all’autovalore − α2

2n2 dell’energiacorrispondono n2 stati degeneri classificati in base al relativo autovalore delmomento angolare: l = 0...n− 1. Infatti cio porta a

∑n−1l=0 (2l + 1) = n2 livelli

degeneri. Gli stati possono quindi essere classificati come |(jj), l,m〉 oppure|n, l,m〉. Nelle sezioni seguenti lo stesso metodo di calcolo dei livelli energeticiverra applicato al caso dell’oscillatore armonico.

16

0.3.3 Oscillatore armonico in 2 dimensioni[12]

L’hamiltoniana dell’oscillatore armonico bidimensionale e (considerando le co-stanti unitarie):

H =1

2(a+

1 a1 + a+2 a2); (62)

attraverso la regola di Leibniz e facile dimostrare che questa commuta con glioperatori a+

j al:[a+i ai, a

+j al] = δi,ja

+i al − δi,la+

j ai,

j = l :∑i

δi,j(a+i aj − a+

j ai) = 0,

j 6= l : a+j al − a+

j al = 0.

Quindi si possono convenientemente scegliere combinazioni lineari degli ope-ratori a+

j al per tentare di ottenere i generatori di un’algebra semisemplice. Ineffetti:

K1 =1

2(a+

2 a1 + a+1 a2),

K2 =i

2(a+

2 a1 − a+1 a2),

K3 =1

2(a+

1 a1 − a+2 a2), (63)

costituiscono una base per A1, infatti le regole di commutazione si scrivono:

[K1, K2] =i

4([a+

2 a1, a+2 a1]− [a+

2 a1, a+1 a2] + [a+

1 a2, a+2 a1]− [a+

1 a2, a+1 a2]) =

=i

2(a+

1 a1 − a+2 a2) =

i

2K3;

[K1, K3] =1

4([a+

2 a1, a+1 a1] + [a+

1 a2, a+1 a1]− [a+

2 a1, a+2 a2]− [a+

1 a2, a+2 a2]) =

=1

2(a+

2 a1 − a+1 a2) = − i

2K2;

[K3, K2] =i

4([a+

1 a1, a+2 a1]− [a+

1 a1, a+1 a2]− [a+

2 a2, a+2 a1] + [a+

2 a2, a+1 a2]) =

= − i2

(a+2 a1 + a+

1 a2) = − i2K1. (64)

Puo essere interessante notare che K1 coincide con i termini A12 e A21 deltensore definito nel caso classico e che K3 e invece la differenza dei termini A11

e A22 dello stesso tensore (analogamente si possono considerare le componentidel vettore A). Inoltre il fatto che questi operatori costituiscano una base per

17

A1 indica anche che gli operatori a+1 a2 e a+

2 a1 sono proprio le rappresentazionirispettivamente di σ+ e σ− (cfr. (53)):

K1 + iK2 =1

2(a+

2 a1 + a+1 a2 − a+

2 a1 + a+1 a2) = a+

1 a2,

K1 − iK2 =1

2(a+

2 a1 + a+1 a2 + a+

2 a1 − a+1 a2) = a+

2 a1. (65)

Analogamente alla trattazione dell’atomo di idrogeno, si usa il Casimir diSU(2) (cfr. 50):

K2 = K21 +K2

2 +K23 (66)⟨

K2⟩

= k(k + 1). (67)

In questo caso la relazione che lega il Casimir all’hamiltoniana e data da:

H(H + 1) = K2, (68)

infatti:

H(H + 1) =1

4((a+

1 a1)2 + (a+

2 a2)2 + a+

1 a1a+2 a2 + a+

2 a2a+1 a1) +

1

2(a+

1 a1 + a+2 a2);

4K2 = 2a+2 a2 + a+

2 a2a+1 a1 + 2a+

1 a1 + a+1 a1a

+2 a2 + (a+

1 a1)2 + (a+

2 a2)2.

Allora, se n e autovalore di H relativo a un certo autostato, in corrispondenzadi questo stato si ha:

k(k + 1) = n(n+ 1). (69)

Quindi k = n e gli operatori H(H + 1) e K2 hanno gli stessi autovalori eanche gli stessi autovettori in quanto commutano. L’autovalore del Casimire indipendente dall’autovettore su cui viene calcolato nello spazio preso inconsiderazione e quindi anche l’energia ha lo stesso autovalore su questi vettori;la dimensione dello spazio su cui il Casimir con autovalore k(k+1) agisce e paria 2k + 1 (cfr. (59)). Per cui i livelli energetici k = n hanno una degenerazionepari a:

2k + 1. (70)

0.3.4 Oscillatore armonico in 3 dimensioni[10]

Nel caso dell’oscillatore armonico isotropo tridimensionale, l’hamiltoniana siscrive:

H =3∑i=1

(a+i ai +

1

2) =

3∑i=1

(a+i ai + aia

+i ). (71)

18

Si verifica che H commuta con tutti i nove operatori a+j al:

[H, a+j al] =

3∑i=1

(δi,ja+i al − δi,la+

j ai = 0), (72)

dove e stata usata la regola di Leibniz due volte. Partendo da questo fatto sipossono scegliere opportune combinazioni lineari degli operatori a+

j al in mododa avere una rappresentazione dell’algebra A2 associata a SU(3):

Ejl :=1

2(a+j al + ala

+j ), Hj := Ejj −H. (73)

Per mostrare che le costanti di struttura sono le stesse di SU(3) si calcolano icommutatori:

[H1, H2] = [a+1 a1, a

+2 a2] + [a+

1 a1, a2a22] + [a1a

+1 , a

+2 a2] + [a1a

+1 , a2a

+2 ] = 0,

[Hl, Eij] =1

2(δi,la

+l aj − δj,la

+i al + δi,laja

+l − δj,lala

+i ) = (δi,l − δj, l)Eij,

[Eij, Ekl] = δk,jEil − δl,iEkj,

[Eij, Eji] = Eii − Ejj. (74)

Ci sono allora 6 operatori raggruppati in tre set, in ognuno dei quali e presenteun operatore di innalzamento e uno di abbassamento. Quindi ai livelli ener-getici sono associati 3 numeri quantici (n1, n2, n3), in analogia alla soluzionericavabile separando l’hamiltoniana. Tuttavia va notato che i due set di numeriquantici differiscono per l’ordinamento dei livelli energetici, infatti l’azione dia+i e diversa da quella di qualsiasi Eij. A questi livelli e associata una dege-

nerazione pari alla dimensione dello spazio su cui gli Hl agiscono. Questa puoessere calcolata facendo agire il Casimir sul peso piu grande.

Bibliografia

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[2] Bernoulli, J. Extrait de la Reponse de M. Bernoulli a M. Herman dateede Basle le 7. Octobre 1710. Histoire de l’Academie Royale des Sciences(Paris) 1732.(1710) pp. 521-544.

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BIBLIOGRAFIA 20

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