Le spettroscopie magnetiche impulsate e la trasformata di ... · La magnetizzazione subisce un moto...
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1 Le spettroscopie magnetiche impulsate e la trasformata di Fourier
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Le spettroscopie magnetiche impulsate e la trasformata di Fourier
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Le forme di riga lorenziane ricavate dalle equazioni di Bloch o dalla matricedensità assumono una radiazione di intensità B1 costante (spettroscopie in ondacontinua, CW).
Cosa succede se la radiazione viene inviata ad impulsi (per periodi brevi)?
• Descrizione vettoriale
• Descrizione con matrice densità
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Un impulso di radiazione contiene frequenze in un intervallo attorno alla frequenzaωrad della radiazione
( ) ( )( ) prad
pradBB
τωωτωω
ω−
−=
sin1
( ) ( )( ) +∞≤≤≤≤∞=
≤≤=
t e 0t-per 0
t0per cos
p1
p11
ττω
tB
tBtB rad
( ) ( )∫+∞
∞−
−= dtetB tirad
ωωω cos
L’analisi di Fourier fornisce il contenuto in frequenze dell’impulso:
( ) ( )x
xx
sinsinc =
ωrad
ω
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Nel sistema di assi rotanti la magnetizzazione risente del campo magnetico Befficace
( )MBM ∧= effdt
d γ
( )γ
ωω −= 0zB
Descrizione vettoriale dell’esperimento impulsato:
Nel sistema rotante la magnetizzazione precede con frequenza ω0-ω, cioè comese sentisse un campo statico (parallelo a z) pari a:
Il campo B totale è la somma di Bz e del campo della radiazione, lungo x
( )kiB ˆˆ 0
1 γωω −+= Beff
221
2
021 BBBeff ∆+=
−+=γ
ωωB
5
La magnetizzazione subisce un moto di precessione attorno alla direzione di Beff
Se consideriamo di essere in condizioni di risonanza: ω = ω0 , le equazioni delmoto della magnetizzazione (equazioni di Bloch) si semplificano.
Se a t =0 Mz=Mz0, si ottiene che:
0'
sin'
cos
10
10
=
=
=
x
zy
zz
M
tMM
tMM
ωω
Cioè la magnetizzazione precede attorno alladirezione x’, come se non sentisse il campo B0. Lamagnetizzazione ruota nel piano zy’.
11 Bγω =
6
L’angolo di rotazione è dato da
pτωβ 1=
Si definiscono
Impulso ππππ/2 (90°) un impulso diradiazione di durata tale da ruotare lamagnetizzazione di π/2
Impulso ππππ (180°) un impulso di radiazione di durata tale da ruotare la magnetizzazione di π
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Quali sono le durate/intensità tipiche di impulsi di radiazione:
Per NMR, considerando 1H gli impulsi durano normalmente alcuni microsecondi:
T1061
2
s10
T MHz6.42
41
-1
−⋅≈⋅=
==
p
p
Bγτ
πµτ
γ
(Notare la differenza con i campi B0 che sono di 4-20 T)
impulso di π/2
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Se l’impulso di radiazione è molto più breve dei rilassamenti di spin, al terminedell’impulso si ottiene una magnetizzazione (di non-equilibrio):
0
0
0
==
=
z
x
zy
M
M
MM
Dopo impulso π/2:
La magnetizzazione dopo l’impulso, inizia un moto di precessione consmorzamento delle componenti x,y e ripristino della componente z.
Dopo un impulso π/2:
( )
( )
−=
⋅=
⋅=
−
−
−
1
2
2
1
sin
cos
0
00
00
T
t
zz
T
t
zx
T
t
zy
eMM
etMM
etMM
ω
ω
Dopo impulso π:0
0
0
zz
x
y
MM
M
M
−=
=
=
“oscillazioni smorzate”
9
10
Se l’impulso non è risonante (ω ≠ ω0), la magnetizzazione precede attorno alcampo efficace Beff.
221
2
021 BBBeff ∆+=
−+=γ
ωωB
Al termine di un impulso di π/2 lamagnetizzazione non ha solocomponente My, ma anche Mx e in parteanche Mz
M
B1
Beff
B0
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In generale, è preferibile diminuire gli effetti di “off-resonance” cioè rotazioni dellamagnetizzazione diverse tra pacchetti in risonanza (ω = ω0) e fuori risonanza (ω ≠ω0). Si vuole quindi che:
γωω −>> 0
1B
2
021
−+=γ
ωωBeffB1BBeff ≈Cioè:
Questo si ottiene con intensità di radiazione elevate e impulsi molto brevi.
Se ∆ω è l’intervallo delle frequenze di risonanza in uno spettro, allora lacondizione sopra si traduce in:
01 γ
ωω −>>B
21
πτγ =pB
ωπτ
γω
γτπ
∆<<∆>>
2 quindi
1
2 pp
Per un impulso di 90°
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Esempio
In NMR del 1H in soluzione, si hanno variazioni delle frequenze di risonanza fino acirca 20 ppm. A 400 MHz questo significa:
KHz8 Hz10400 1002 6-6 =⋅×⋅=∆ω
sp µω
πτ 2002
=∆
<
Quindi gli impulsi di 90° dovranno essere di durata
Queste considerazioni sono equivalenti all’analisi della larghezza di banda di unimpulso mediante la trasformata di Fourier.
ωrad
ω
Per “irradiare” tutte le frequenze dellospettro in modo uniforme (uguale B1),si vuole che
2/τp>>∆ω
(In effetti si usano impulsi di 5-10 µs)
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Si definiscono:
Impulsi non selettivi (“hard pulses ” o “strong pulses ”) impulsi, brevi e intensi,usati per eccitare tutte le frequenze dello spettro
Impulsi selettivi (“soft pulses ” o “selective pulses ”) impulsi lunghi e pocointensi, usati per eccitare solo una piccola parte dello spettro
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La variazione della magnetizzazione trasversale (My) è il dato sperimentale. Ilsegnale misurato dopo un impulso viene detto FID (Free Induction Decay) :
Il segnale in funzione del tempo s(t) (il FID) viene trasformato in una Intensità infunzione della frequenza S(ω) mediante la trasformata di Fourier:
( ) ( ) dtetsS tiωω −+∞
∞−∫=
FID
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FT
( ) ( )
( ) ( ) ωωπ
ω
ω
ω
deSts
dtetsS
ti
ti
∫
∫∞+
∞−
−+∞
∞−
=
=
2
1
Lo spettro di risonanza magnetica ad impulsi (NMR o EPR) è la tr asformatadi Fourier del FID:
s(t) S(ω)
IFT
Trasformata diretta, FT
Trasformata inversa, IFT
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( )
( )
∑
∑
∑
−=
⋅=
⋅=
−
−
−
i
T
t
izz
i
T
t
iizy
i
T
t
iizy
eMM
etMM
etMM
1
2
2
1
sin
cos
0,
,00,
,00,
ω
ω
Se la magnetizzazione è data dalla somma di varie componenti (“pacchetti dispin”) ciascuno con la sua frequenza di precessione ω0, il FID è una somma dioscillazioni smorzate
La trasformata di Fouriermostra diversi “picchi”
FT
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)sin()cos( AiAeiA +=
∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
−= dxkxxfidxkxxfkF )2sin()()2cos()()( ππ
Per la formula di Eulero
Si definisce la “trasformata coseno” come
∫+∞
∞−
= dxkxxfkFc )2cos()()( π
E la “trasformata seno” come
∫+∞
∞−
= dxkxsinxfkFs )2()()( π
)()()( kiFkFkF sc −=Da cui:
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La trasformata di Fourier ha una parte reale ed una parte immaginaria :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dtttsidtttsdtetsS ti ωωω ω sincos ∫∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
−+∞
∞−
−==
“trasformata coseno” “trasformata seno”
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La trasformata di Fourier ha una parte reale ed una parte immaginaria :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dtttsidtttsdtetsS ti ωωω ω sincos ∫∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
−+∞
∞−
−==
“trasformata coseno” “trasformata seno”
La parte reale rappresenta la componente di assorbimento , la parteimmaginaria rappresenta la dispersione .
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )dtttsdtetseDispersion
dtttsdtetstoAssorbimen
ti
ti
ωω
ωω
ω
ω
sinIm
cosRe
∫∫
∫∫∞+
∞−
−∞+
∞−
+∞
∞−
−+∞
∞−
=
−=
=
=
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Trasformata di Fourier
Una funzione periodica può essere espressa come serie di funzioni seno e coseno (serie di Fourier):
I coefficienti sono:
Es:
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∫+∞
∞−
−= dtetfF tiνπν 2)()(
Per una funzione anche non periodica f(t), si definisce la trasformata di FourierF(ν) come:
Si definisce anche la trasformata inversa di Fourier
∫+∞
∞−
= νν νπ deFtf ti2)()(
I due domini che definiscono le variabili t e ν, dette variabili coniugate, sono taliper cui il loro prodotto vale 1 ed è adimensionale.
La trasformata di Fourier F(ν) fornisce lo ”spettro” cioè le frequenze contenute nel segnale f(t)
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Fourier Transform
Parte reale: assorbimento
Parte immaginaria:dispersione
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La Trasformata di Fourier di una oscillazione smorzata è una funzioneLorenziana centrata sulla frequenza di oscillazione e di larghezza inversamenteproporzionale al tempo di decadimento:
FT
FT
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-5 0 5-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Funzione costante
x
-500 0 500
Trasformata di Fourier
K
Esempi di coppie di Trasformate
Un segnale costante nel tempo contiene solo la frequenza zero!
-500 0 500
Fuunzione Delta di Dirac
X-5 0 5
Trasformata di Fourier
x
Un impulso contiene tutte le frequenze!t ν
t ν
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-2 -1 0 1 2-1
-0.5
0
0.5
1Funzione Coseno
x-40 -20 0 20 40
-100
0
100
200
300
400
500
600
K
Trasformata di Fourier (parte reale)
Una funzione coseno contiene una frequenza ben definita (±ω0). La sua trasformata è funzione pari
-2 -1 0 1 2-1
-0.5
0
0.5
1Funzione Seno
x-40 -20 0 20 40
-600
-400
-200
0
200
400
600
K
Trasformata di Fourier (parte immaginaria)
Una funzione seno contiene una frequenza ben definita (±ω0). La sua trasformata è funzione dispari
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0 2 4 6 8 10-1
-0.5
0
0.5
1Funzione Esponenziale
x-50 0 50
-40
-20
0
20
40
60
80
100
k
Trasformata di Fourier
parte RealeParte Immaginaria
Una funzione esponenziale ha come trasformata una funzione complessa
Parte reale: funzione lorenziana (spettro di assorbimento)
Parte immaginaria: funzione dispersiva
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Un FID è il prodotto di funzioni oscillanti (es: coseno) e di unesponenziale:
2)cos()( 0T
t
ettf−
= ω
La trasformata di Fourier del FID è calcolabile usando il "teorema diconvoluzione", che afferma:
La trasformata di Fourier di un prodotto di funzioni è uguale allaconvoluzione delle trasformate
La CONVOLUZIONE di due funzioni f(x) e g(x) è definita dallaformula:
∫+∞
∞−
−=∗= dttxgtfxgxfxy )()()()()(
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Risulta particolarmente semplice la convoluzione di una funzione qualsiasicon la funzione delta di Dirac.
Per definizione vale:
E quindi la convoluzione tra una funzione qualsiasi f(x) e una delta di (irac(centrata sul valore x0) è il valore della funzione f(x0).
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La trasformata del FID è una funzione lorenziana (trasformatadell’esponenziale) centrata alla frequenza della oscillazione (convoluzione conuna delta di Dirac che è la trasformata della funzione coseno).
Esempio per FID che contiene due frequenze:
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Spettroscopie magnetiche : impulsate o CW?
La spettroscopia EPR frequentemente si attua in modo CW, ma anchein modo impulsato. Motivo: difficoltà tecniche per ottenere impulsi nonselettivi in EPR (estensione degli spettri molto ampia), tempi dirilassamento di spin elettronico molto brevi.
La spettroscopia NMR viene effettuata sempre in modalità impulsata. Irilassamenti sono normalmente lunghi e l’estensione degli spettri(“larghezza spettrale”) è contenuta, che consente di ottenere impulsinon selettivi e la eccitazione di tutto uno spettro simultaneamente
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Le spettroscopie “in onda continua” e impulsata forniscono entrambe il datospettroscopico (spettro di assorbimento e di dispersione).
• La tecnica impulsata richiede hard pulses, che si ottengonofacilmente per NMR in soluzione ma non per NMR in stato solido (∆ω~ MHz) o per EPR (∆ω fino a GHz)
• Il metodo CW richiede la scansione di varie frequenze in condizioni diequilibrio (soluzioni stazionarie delle equazioni di Bloch) con tempilunghi di acquisizione.
• Il metodo impulsato, eccita tutte le frequenze insieme e larivelazione è “simultanea” nel FID. (“acquisizione multicanale”). Peraumentare il rapporto segnale/rumore (S/N) basta ripetere N voltela sequenza Impulso-FID, (attendendo tra una scansione e l’altra untempo > T1)
• Col metodo impulsato si possono eseguire esperimenti consequenze di impulsi multipli che forniscono molte informazioniaggiuntive
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Spettroscopia EPR: è in molti casi una spettroscopia CW con scansione delcampo magnetico. La radiazione di intensità costante inviata in sul campione hauna frequenza fissa νrad e la condizione di risonanza si ottiene al valore dicampo magnetico:
Be
radris
g
hvB
µ=0
Bris0
0Bghv Berad µ=
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L’esperimento impulsato più semplice prevede una impulso di radiazione(indicato come RF) π/2 seguito dalla registrazione del FID (acquisizione)
Esistono tuttavia molti esperimenti con un maggiore numero di impulsi edeventi : sono dette sequenze di impulsi
Lo spettro si ottiene dalla trasformata di Fourier del FID
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SEQUENZE di impulsi:
Esperimenti nei quali si inviano molti impulsi al campione, con diversa fase,angolo di rotazione e distanza temporale (delays). Spesso si consideranoanche impulsi a diversa frequenza di radiazione.
Si rappresentanoschematicamentecome rettangoli
Esempio disequenzacomplessa !!
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Come si realizzano fasi diverse degli impulsi ? Si attua uno spostamento dellafase (shift) della radiazione
t
(π/2)x
t
(π/2)y
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Come si realizzano impulsi di π/2 e π ? Ci sono due possibilità (spesso si usala prima)
t
π/2 π
1) Raddoppiando la DURATA (a parità di intensità) dell’impulso π/2 si ottieneimpulso π
2) Raddoppiando la INTENSITA’ (a parità di durata) dell’impulso π/2 si ottieneimpulso π
t
π/2
π
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L’ ECO DI SPIN
La sequenza di eco di spin è costituita daun impulso di 90° seguito, ad un ritardo τda un impulso 180° .
Per vedere l’effetto dei due impulsi, si può considerare come evolve lamagnetizzazione data da un insieme di spin con una singola frequenza diLarmor (un singolo “pacchetto di spin”).
Al tempo 2τ la magnetizzazione è ritornata alla posizione successiva al primoimpulso di 90°
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Effetto di un impulso π (lungo x) sulla magnetizzazione trasversale cioè nelpiano x,y:
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Se la magnetizzazione è data dalla somma di più gruppi di spin con diverse frequenze di Larmor:
le magnetizzazionidovute ai diversipacchetti di spin sidefasano dopo ilprimo impulso di 90°(che le porta su –y)
40
le magnetizzazionidovute ai diversipacchetti di spinvengono rovesciatedall’impulso di 180° :
Dopo un tempo τdall’impulso π le componenti della magnetizzazione si rifocalizzano
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Il segnale rifocalizzato è detto eco di spin (spin-echo)
L’impulso π viene perciò detto impulso di rifocalizzazione.
Eco di spinIn forma grafica semplificata:
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L’eco a due impulsi viene detto eco di Hahn.
Un’altra sequenza di eco viene detta eco stimolato, o eco a tre impulsi
nella quale l’impulso di inversione viene sostituito da due impulsi di π/2separati dal tempo T. L’eco si ottiene ad un tempo τ dopo l’ultimo impulso.
Eco di Hahn
Eco stimolato
43Come si misurano i tempi di rilassamento? Sequenze di impulsi
Valori tipici per I tempi di rilassamento ipendono da T e dalla fase Per NMR in soluzione
T2 ∼ 10-3-10 secondi (millisecondi-secondi)T1 ∼ 10-1-100 secondi (secondi-minuti)
Per NMR in stato solido T2 ∼ 10-6-10-5 secondi (microsecondi)T1 ∼ 10-3-102 secondi (millisecondi-minuti)
Per EPR in soluzione T2 ∼ 10-9-10-6 secondi (nanosecondi-microsecondi)T1 ∼ 10-8-10-3 secondi (microsecondi-millisecondi)
Per EPR in stato solido T2 ∼ 10-12-10-6 secondi (picosecondi-microsecondi)T1 ∼ 10-8-10-3 secondi (microsecondi-millisecondi)
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Misura del T2 dalla larghezza di riga Lorenziana:
( )20
22
21
1 ωωγ
−+∝
T
TBY
Spesso però le righe spettroscopiche sono lasovrapposizione di molte righe vicine(“allargamento inomogeneo”). Le differenze difrequenze di risonanza derivano da variabilitàdelle interazioni locali o da imperfezionistrumentali. Il T2 NON si determina dallalarghezza di riga.
Righe NON lorenziane
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Misura del T2 con esperimenti a impulsi:
1) Decadimento dell’eco di Hahn
τ τt
τ’ τ’
t
τ’’ τ’’
t
τ’’’
t
τ’’’
π/2 π
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Riportando in grafico l’intensità dell’eco di Hahn in funzione del tempo τ si ottiene una curva di decadimento esponenziale:
La costante di tempo del decadimento esponenziale è il T2.
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Misura del T2:
2) Sequenza di Carr-Purcell-Meiboom-Gill (CPMG)
In questa sequenza si misurano le intensità degli echi rifocalizzati daisuccessivi impulsi π. Il decadimento della intensità degli echi è di tipoesponenziale , con costante di tempo T2.
Si noti che gli impulsi di π vengono inviati su +y. In questo modo eventualiimperfezioni negli impulsi (ad es: non perfettamente π) non vengonosuccessivamente accumulate
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Misura del T1:
Sequenza di Inversion recovery: π-T-π/2-acq
A) Impulso π iniziale B) attesa tempo T C) Impulso π/2
Y
MX
Z
X
Z
Y
MX
Z
YM
B1
B1X
Z
YM
D) FID (acq)
Il primo impulso inverte la magnetizzazione. Dopo un tempo di attesa Tvariabile, l’impulso π/2 porta la magnetizzazione dall’asse Z al piano X,Y doveviene rivelata, ad esempio come FID
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Misura del T1: Inversion recovery: π-T-π/2-acq
FID
t
tempo
π/2π
π/2π
t + ∆t
tempo
FID
t + 2∆t
tempo
π/2π
FIDt + 3∆t
tempo
π/2π
50
FT
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Esempio di esperimento di Inversion Recovery in NMR
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Riportando in grafico l’intensità della magnetizzazione dopo l’impulso π/2 (FID)o l’intensità dello spettro, in funzione del tempo T, si ottiene una curva diripristino della magnetizzazione lungo Z di tipo esponenziale:
La costante di tempo del decadimento esponenziale è il tempo di rilassamento longitudinale T1.
