8°Giornata Elemenbasediteoriadelportafoglio(2) · 2016. 6. 9. · Il%CAPM Si"traadi"un"...

Corso di Preparazione all’o0enimento della cer4ficazione €fa

8° Giornata Elemen4 base di teoria del portafoglio (2)

1

Argomen4

§  Il Capital Asset Pricing Model

§  Il vincolo di shor7all

§  Il Value at risk: modalità di calcolo

2

Il Capital Asset

Pricing Model

3

Il CAPM Si traAa di un modello che intende dirci quanto dovrebbe essere, in equilibrio, il rendimento aAeso di una aEvità rischiosa

Il Capm introduce però alcune ipotesi restriEve:

§  gli invesGtori sono avversi al rischio §  essi massimizzano la propria uGlità aAesa

§  scelgono portafogli in base al rendimento medio e alla varianza del rendimento

§  l’orizzonte di invesGmento è uniperiodale

4

Inoltre…

§  esiste un tasso risk-‐free a cui è possibile inves4re o

indebitarsi;

§  ci sono aspeAaGve omogenee riguardo a valori aAesi,

varianza e covarianza dei rendimenG dei Gtoli

§  Non ci sono imposte e imperfezioni di mercato (es. cosG di

transazione, asimmetrie informaGve ecc..)

5

Il CAPM

Capital Market Line (CML)

§  Data una fronGera efficiente e un tasso risk

free è possibile tracciare la CML, che individua

le combinazioni di aEvità priva di rischio e

aEvità rischiosa (portafoglio di mercato).

§  È una relazione che vale solo per portafogli efficienG.

6


7

Rp

σp

Frontiera Efficiente

CML

M

PMV

Rf


•  La CML può essere espressa come…

•  L’inclinazione della reAa è deAa “premio al rischio”

8

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −×+=

m

fmpfp

RRERRE

σσ

)()(

Security Market Line (SML)

§  Abbiamo osservato come il portafoglio di mercato sia preferito dagli invesGtori; occorre dunque chiedersi quale contributo possa dare un singolo Gtolo al portafoglio di mercato in termini di rischiosità

§  In questo ambito assume rilevanza la covarianza tra Gtolo e mercato...

9


•  Al posto dello scarto quadraGco medio uGlizziamo una covarianza standardizzata:

•  Introduciamo la formula del beta...

10

m

pm

σσ

2m

pmp σ

σβ =


•  …è possibile ricavare la seguente formula:

•  o anche...

•  che rappresenta la SML!

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −×+=

m

fm

m

pmfp

RRERRE

σσ

σ )()(

( )fmpfp RRERRE −×+= )()( β


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Rm

βp

SMLR

1.00

Titolisottovalutati

Titolisopravvalutati

Significato del coefficiente β

§  Esprime la reaEvità aAesa del prezzo di un Gtolo a fronte di variazioni del mercato azionario

§  Rappresenta il coefficiente angolare dell’interpolante la nube di punG cosGtuita dalle coppie [Rp;Rm]

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Il Titolo Fiat e l’indice FTSEMIB

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y = 0,9049x - 0,002

-8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8%

10% 12%

-6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8%

Ren

dim

enti

Fiat

Rendimenti FTSEMIB

Significato del coefficiente β

•  Con riferimento al valore assunto dal β di un Gtolo è bene ricordare che:

Ø se β>1 il Gtolo è deAo “aggressivo”; Ø se β=1 il Gtolo è neutrale nei confronG del suo mercato;

Ø se β<1 il Gtolo è “conservaGvo”

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CML e SML

•  La Capital Market Line rappresenta la fronGera dei

portafogli efficienG formaG sia da aEvità rischiose, sia da

aEvità prive di rischio: ogni punto sulla reAa

rappresenta un portafoglio intero.

•  La Security Market Line meAe invece in relazione il

coefficiente β con il rendimento aAeso.

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Alcune osservazioni sul beta

§  Il beta indica il rischio sistematico di uno strumento finanziario

§  Ciò significa che se devo inserire tale strumento in un

portafoglio ben diversificato devo considerare il suo beta e non

la sua volatilità!!!

§  Il beta di un portafoglio è la media ponderata dei beta dei titoli

che lo compongono

§  Il beta viene calcolato rispetto al mercato di riferimento … ma

potrebbe essere calcolato anche rispetto a settori o altri mercati

§  E poi quale mercato prendere in considerazione?!!

17

Alcune osservazioni sul beta §  Il beta di uno strumento non è un indicatore univoco e stabile:

poiché viene calcolato attraverso variabili statistiche, occorre

sempre chiedersi quali siano le serie storiche di riferimento

§  Il beta può dunque variare nel corso del tempo!!

§  Come noto il beta di uno strumento finanziario può assumere

valori > = < di 1 (essendo 1 il beta del mercato stesso!)

§  Si sa anche che quando uno strumento finanziario è

caratterizzato da beta > 1, lo strumento in questione sarà

considerato aggressivo (e viceversa se il beta è < di 1) perché

tenderà ad amplificare gli andamenti del mercato (e viceversa a

smorzare) 18

Alcune osservazioni sul beta

§  L’idea base dunque dovrebbe essere la seguente: se ci si aAende un mercato al rialzo si costruisce un portafoglio con beta maggiore di 1; se si prevede un mercato al ribasso si dovrebbe invece costruire un portafoglio con beta inferiore a 1.

§  Ma il successo della strategia di invesGmento basata sul beta dipende dalla capacità del beta storico di essere una buona approssimazione del beta che effeEvamente si realizzerà in futuro

§  Poiché infaE il beta non è immutabile occorre fare aAenzione: non è deAo che uno strumento che oggi si presenta come aggressivo lo sia anche in futuro!!!

19

Alcune osservazioni sul beta In termini generali è possibile affermare che ….

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Il beta storico del singolo Gtolo è una previsione debole del beta che si realizzerà

in futuro

La capacità prediEva cresce in termini di

portafoglio, se il portafoglio è composto da molG Gtoli

Il beta tende verso 1 nel corso

del tempo

Beta e alfa

§  Il CAPM è un modello!! §  Nella realtà è stato verificato che il rendimento di uno

strumento finanziario (ad esempio un fondo) non è dovuto semplicemente al suo rischio sistemaGco, ossia al suo beta

§  Esiste anche una componente di rendimento che è collegata a faAori legaG al singolo strumento

§  In parGcolare, se parliamo di fondi, la capacità del gestore di scegliere i Gtoli migliori, a parità di beta, può influenzare il rendimento del fondo

21

Alpha di Jensen

22

( )fmpfpp rrErrE −−−= )()( βα§  Come è evidente dalla formula, il coefficiente in esame deriva dalla differenza

tra rendimento realizzato dal portafoglio e rendimento atteso in base ai

principi del CAPM

§  Alfa rappresenta dunque la misura della variazione (maggiore o minore) della

performance di un fondo rispetto al suo valore atteso, calcolato in funzione

del rischio sistematico assunto dal fondo

§  Morningstar considera la serie di dati cumulati su 36 mesi consecutivi per

calcolare un alfa mensile: poi l’alfa viene annualizzato

Introduciamo allora il conceAo di alfa

Alpha di Jensen

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§  Alpha misura la bravura del gestore nell’ottenere rendimenti sopra la media

senza dover incrementare la componente di rischio sistematico: egli ha

semplicemente scelto bene i titoli che compongono il portafoglio

§  In virtù di questa considerazione, Alpha viene utilizzato per fornire un giudizio

sull’attività di Stock Picking attuata dal gestore

§  Esiste un indicatore in grado di valutare la capacità del gestore di fare market

timing? La risposta è si e tale indicatore è il Gamma, anche se è per lo più

sconosciuto nel settore

Performance A0ribu4on

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Esposizione alrischio sistematico

Abilità di StockPicking

Abilità di MarketTiming

β>1 Aggressiva α>0 Positiva γ>0 Positiva

β=1 Mercato α=0 Assente γ=0 Assente

β<1 Difensiva α<0 Negativa γ<0 Negativa

L’indicatore R2

§  Collegato al conceAo di Beta e di Alfa, vi è l’indicatore R2, che viene uGlizzato da Morningstar nelle proprie schede.

§  Vediamo cosa rappresenta e come viene calcolato

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§  R2 rappresenta la percentuale delle variazioni dei rendimenG della variabile dipendente (il fondo) che è spiegata dalla variabile indipendente (l'indice).

§  Un fondo completamente indicizzato dovrebbe oAenere un R2 = 1 (o almeno molto prossimo ad 1). Questo significa che quasi tuAe le variazioni di rendimento registrate da tale fondo sono riconducibili ad analoghe variazioni dell'indice di riferimento.

§  Pertanto l'R2 è cruciale per la significaGvità dell’indice beta (un R2 elevato indicherà un beta più affidabile)

§  Più basso è questo numero, più bassa è la significaGvità di beta.

Secondo Morningstar

L’indicatore R2

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§  R2 varia da 0 (totale non correlazione) a 1 (correlazione perfeAa), ed è calcolato dividendo la covarianza del fondo rispeAo all'indice per la varianza dell'indice molGplicata per la varianza del fondo.

§  In formule:

Dove, Covij= covarianza tra il fondo i e l'indice j i= deviazione standard del fondo i j= deviazione standard dell'indice j

Il vincolo di shorRall

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L’asset alloca+on in presenza di un vincolo di shorRall

§  La noz ione d i r isch io u t i l i zzata s ia ne l l ’ambi to

dell’ottimizzazione di portafogli sia nella caratterizzazione

dell’asset allocation adeguata al profilo di investitore

considerato è quella tradotta dal parametro statistico della

deviazione standard.

§  Essa interpreta il rischio in modo simmetrico vale a dire

come semplice allontanamento, nel bene o nel male, del

risultato effettivo dal rendimento atteso.

28


§  Si può però ritenere ragionevole, nella prospettiva dell’investitore,

anche un’altra nozione di rischio.

§  Precisamente, l’investitore pur avendo l’obiettivo di un certo livello di

rendimento e avendo un certo grado di variabilità tollerabile, può

anche desiderare di evitare che il risultato dell’investimento del proprio

risparmio in un portafoglio di strumenti finanziari vada sotto una certa

soglia minima.

§  Si parla in tal caso di downside risk.

29


§  Si può affinare l’ottimizzazione aggiungendo, nel modello media-

varianza, il cosiddetto vincolo di shortfall il quale consente di

verificare se l’asset allocation individuata permette, con un certo

grado di sicurezza, di rispettare il rendimento minimo (cosiddetto

minimum acceptable return) espresso dall’investitore.

§  Per la costruzione del vincolo di shortfall è indispensabile

l’esplicitazione della shortfall probability (probabilità di shortfall)

ossia della probabilità massima per la quale si ammette di ottenere

un risultato inferiore al rendimento minimo.

30


Esempio

Se la probabilità di shor%all è fissata all’1%, si vuole che il vincolo di shor%all sia costruito in modo tale da ammeAere solo l’1% di probabilità che il risultato si riveli inferiore al rendimento minimo acceAabile e, di conseguenza, si esige un livello di confidenza (o, più banalmente, di tranquillità o protezione) sul faAo che il risultato sarà superiore al rendimento minimo del 99% (il complemento a 1 della shor%all probability).

A livello grafico, il vincolo di shor%all è rappresentabile, nello stesso spazio (rischio –

rendimento) in cui è disegnata la fronGera efficiente oAenuta dall’oEmizzazione a là Markowitz, da una reAa, moGvo per cui si usa, molto spesso, come sinonimo l’espressione shor%all line.

31


§  I portafogli (e, cioè, i punG della fronGera efficiente) che giacciono al di

soAo del vincolo di shor%all sono portafogli per i quali la probabilità di

oAenere un risultato inferiore a quello minimo richiesto (nella figura

Rmin) non è limitata alla shor%all probability bensì è superiore. Tali

portafogli non rispeAano il vincolo.

§  Diversamente, i portafogli che giacciono al di sopra del vincolo di

shor%all soddisfano il vincolo nel senso che forniscono il livello di

protezione desiderato dall’eventualità spiacevole di conseguire un

risultato inferiore alla soglia minima di rendimento dichiarata.

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§  La shor%all line, in sostanza, individua, in corrispondenza di ogni livello di volaGlità, qual è il rendimento aAeso che si deve richiedere ad un portafoglio affinché lo stesso sia in grado di confinare la possibilità di non conseguire rendimento minimo acceAabile ad un livello pari alla shor%all probability.

Con riferimento alla shor%all line, è opportuno segnalare che:

§  la sua interce0a, disegnata sull’asse verGcale nel precedente disegno, corrisponde al livello di rendimento minimo acceAabile;

§  la sua pendenza dipende dalla shor%all probability e, dunque, anche dal grado di protezione desiderato dall’invesGtore.

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•  Il Roy’s safety first è un criterio di scelta dei portafogli basato su un concetto di risk management. In termini semplici consiste nello scegliere un livello di rendimento

minimo richiesto dall’investitore per un dato livello di rischio

•  Tale criterio permette di confrontare diversi portafogli sulla base della loro

probabilità di generare un rendimento minore del minimo desiderato. La scelta

dovrebbe cadere sul portafoglio che minimizza tale probabilità

•  Il SFRatio è calcolato sottraendo dal rendimento atteso del portafoglio il livello di

rendimento minimo richiesto e dividendo poi il risultato per la standard deviation del

portafoglio (simile all’indice di Sharpe)

37

Una variante: il 'Roy's Safety-First Criterion - SFRatio

SDturnTresholdESF r

ratioRe−

=

Si dovrebbe scegliere il portafoglio con il SFRa4o maggiore

Il Value at Risk: modalità di calcolo

38

Definizione e prime osservazioni •  Il VAR rappresenta un numero di sintesi che esprime il

rischio cui è esposto una ovvero un portafoglio di aEvità

finanziarie.

•  Con il calcolo del VAR, infaE, l'invesGtore confida di non

perdere più di X, con una probabilità pari a K%, entro un

periodo temporale pari a Y giorni (Hull, 1998).

•  La variabile X è il VAR di portafoglio, K% è l'intervallo di confidenza, mentre Y è l'orizzonte temporale di riferimento

(holding period). 39

40

Definizione e prime osservazioni

Il VAR può essere definito come quell’importo tale che:

[ ] [ ] α≤−<=>− Δ+Δ+ VarVar tttttt VMVM ProbVMVM Prob

Dove: VM = valore di mercato della posizione Δt = intervallo temporale 1-α = intervallo di probabilità che si vuole prendere in considerazione (1-α = 99%)

Al crescere dell’orizzonte temporale e all’ampliarsi dell’intervallo di probabilità considerato il Var risulta più elevato


•  Partendo dalla conoscenza della distribuzione di probabilità dei rendimenG di un portafoglio su un determinato orizzonte temporale, il Value at Risk (VAR) indica quindi il valore della massima perdita in cui si può incorrere con un dato livello di confidenza per un certo orizzonte temporale futuro

•  Nel caso in cui questo intervallo sia pari ad un giorno si parla di Daily

Earnings at Risk o DEaR. •  Solitamente il VAR è calcolato molGplicando il DEaR per la radice quadrata

dell’orizzonte temporale desiderato, soAo l’ipotesi che i rendimenG futuri siano indipendenG dai passaG e la costanza della varianza.

41


•  Può essere calcolato per qualsiasi posizione/aEvità finanziarie

•  E’ una misura omogenea che permeAe effeAuare raffronG

•  E’ un indicatore di rischio in linea con la «testa del cliente»

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Vantaggi Svantaggi

�  Non fornisce, ovviamente, livello

massimo di perdita al 100% ma al

95%-‐99% ... Ma il cliente percepisce

100%

�  I l suo va lore è fortemente

dipendente dalle modalità di calcolo

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Esempio

100

100 Densità di frequenza

Volume di mercato della posizione 160 50

71,48

1%

28,52

Se esiste solo l’1% di

probabilità che il valore di

mercato della posizione

scenda soAo 71,48, allora

esiste anche solo l’1%

della probabilità di

perdere più di 28,52

44

Elemen4 da considerare

1)  Variabili aleatorie responsabili della variazione del valore di mercato

del portafoglio

2)  Ipotesi sulla distribuzione delle variabili aleatorie

3)  Modalità con le quali si modella la reazione del valore di mercato del

portafoglio alle variabili aleatorie

4)  Modalità con le quali si individua il valore del portafoglio nel worst

case scenario in corrispondenza dell’intervallo di probabilità

I possibili approcci per la misurazione del Var

45

Si possono u4lizzare:

•  le variazioni percentuali (rendimenG) dei singoli faAori di

rischio (tassi di interesse, tassi di cambio, andamento

mercato ecc …) che incidono sul valore di portafoglio

•  i rendimenG delle aEvità presenG in portafoglio

•  il rendimento dell’intero portafoglio considerato

Set di variabili aleatorie

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•  Si può ipoGzzare che la distribuzione futura coincida perfeAamente con quella

empiricamente riscontrata in passato in un certo arco temporale

•  Si può ipoGzzare che la distribuzione ricercata assuma una ben precisa configurazione (ad

esempio distribuzione normale) della quale occorre sGmare i parametri

Distribuzione delle variabili aleatorie

Sensibilità del valore di mercato del portafoglio al variare delle variabili aleatorie

•  Si può sGmare la variazione del valore di mercato sulla base di uno o più parametri di

sensibilità del portafoglio rispeAo alle variazioni delle condizioni di mercato (es: duraGon,

beta, correlazioni ecc..)

•  Si può aAuare una effeEva rivalutazione del valore di mercato del portafoglio a seguito

delle variazioni aAese del set di variabili aleatorie considerato

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•  Se è nota la forma di distribuzione del valore di mercato del

portafoglio è possibile calcolare il Var sulla base dei parametri della

distribuzione

•  In altri casi il Var può essere sGmato tramite approssimazione

campionaria della distribuzione, ossia rivalutando il portafoglio in

un numero elevato di scenari

Valore del portafoglio nel worst case scenario

48

•  Ipotesi di fondo è che posso

sGmare perd i ta mass ima

potenziale sulla base di un set

di parametri rappresentaGvi

delle variabili aleatorie di

partenza

•  I n p a r G c o l a r e o c c o r r e

conoscere matr i ce de l le

var ianze-‐covar ianze del le

variabili aleatorie

I modelli varianze-‐covarianze

S4ma del Var per una singola posizione

I passi da compiere

•  Determinare il valore di mercato (VM) della posizione

•  IdenGficare la/le variabili determinanG del VM

•  Determinare eventualmente la sensi5vity del VM della

posizione alle variazioni del faAore di rischio

•  SGmare la massima variazione potenziale delle variabili

aleatorie rilevanG

•  Ricavare il VAR

49

Esempio = posizione in $ 100.000

1)  Posizione in euro con tasso cambio 1/1 è 100.000 € (WMeuro)

2)  Variabile determinante è il tasso di cambio (svalutazione dollaro)

3)  Sensibilità è pari a 1

4)  Indicata la variazione del tasso di cambio nel worst case scenario

come r wcs

5)  Var = WMeuro x r wcs= 100.000 euro x r wcs

50

•  IpoGzziamo distribuzione normale del tasso di cambio, orizzonte temporale

giornaliero e probabilità 95%

•  Se distribuzione è normale posso ricavare la massima variazione sfavorevole

semplicemente sulla base della media e della deviazione standard della

distribuzione

•  Ciò perché nella distribuzione normale la probabilità di estrarre un valore

compreso in un intervallo centrato sulla media e di ampiezza pari a un dato

mulGplo della deviazione standard è un valore che dipende solo dal mulGplo

considerato e non dalla media e dalla deviazione standard della variabile

soAostante

I modelli varianze-‐covarianze

51

•  Dato μ = media e σ = deviazione standard

•  La possibilità di estrarre valori nell’intervallo [μ-‐kσ,μ+kσ] dipende

solo da k e non dai parametri della distribuzione

•  Ad esempio, per un valore di k=1 la probabilità di oAenere valori

nell’intervallo [μ-‐σ,μ+σ] sarà approssimaGvamente del 68%, per un

valore di k=1,65% la probabilità di oAenere valori in [μ-‐1,65σ,μ

+1,65σ] sarà del 90% ec….

•  Simmetricamente la probabilità di trovare valori esterni

all’intervallo sarà pari al complemento a 1

In altri termini:

52

Intervalli di confidenza della distribuzione normale

K Prob (µ-kσ <x<µ+kσ) Prob (|x-µ|>kσ ) Prob (x<µ-k,x>µ+kσ)

1 68,72% 31,73% 15,87%

1,65 90% 10% 5%

2,33 98% 2% 1%

2,58 99% 1% 0,5%

53

Esempio = posizione in $ 100.000

•  Il rendimento su base giornaliera più sfavorevole del tasso di

cambio euro-‐dollaro sarà dato da μ -‐1,65 σ, dove μ e σ

rappresentano il rendimento medio su base giornaliera e la sua

deviazione standard

•  Se μ=0 e σ =0,26% allora.. Var = WMeuro x r wcs= WMeurox 1,65 σ = 100.000 euro x 1,65x0,26% =

429 euro

Un altro esempio •  Supponiamo di avere $10 milioni in azioni Microso�. •  Si richiede la sGma del VaR per un holding 5me di 10 giorni, ad un livello di accuratezza del 99%. •  Sapendo che la volaGlità annua del Gtolo è del 32% e che il tasso di rendimento annuo è del 20%,

il VAR a 10 giorni è di $1.473.621

54

Vediamo perché …

•  Calcoliamo i valori in scala giornaliera: volaGlità 2%, rendimento 0.08%. •  Ora, sapendo che la deviazione standard giornaliera delle variazioni di valore è del 2%, questo si

traduce in una quota di $200.000. •  Assumendo una variazione di prezzo distribuita in modo normale, in base alle tavole su questa

distribuzione, osservo che la probabilità di verificarsi una riduzione di valore inferiore all’1% è associata una riduzione di valore di -‐2,33$ N(-‐2.33$)=0.01.

•  Quindi il mio VaR giornaliero si oEene facendo 2.33 * $200000 = $466000 in un giorno, mentre quello per t=10 $466000 * √10 = $1.473.621

55

•  Approccio risk factor normal = variabili

aleatorie sono i singoli faAori di rischio

alla base della variazione del prezzo delle

aEvità finanziarie (tassi di interesse…)

•  Approccio asset normal = evoluzione di

una serie di aEvità benchmark (Gtoli

obbligazionari ….

•  Approccio por7olio normal = analizzo

direAamente il valore del portafoglio

complessivamente considerato

La scelta della variabile aleatoria

•  Se vi sono più faAori di rischio, nel

primo e nel secondo approccio devo

prima disaggregare l’esposizione

complessiva e poi calcolare il Var per

riaggregazione

•  Nel terzo approccio posso invece

calcolare il Var sulla base della

v o l aG l i t à de i r end imenG de l

portafoglio nel suo complesso (in

ipotesi di normalità di distribuzione).

Ma…..

Il mapping delle posizioni a rischio

•  Mapping = processo di scomposizione del portafoglio in un veAore di posizioni riferite a ogni faAore di rischio o aEvità benchmark

•  Consente di apprezzare l’esposizione del portafoglio a ogni singolo faAore individualmente considerato

•  Condiziona in misura significaGva l’efficacia della sGma del Var

56

Trade off tra parsimonia e verosimiglianza

57

•  Esempio = per portafoglio di Gtoli azionari approssimo la variabilità

complessiva del portafoglio (σp) sulla base della volaGlità

dell’indice azionario del mercato di riferimento (σind) e del

coefficiente beta del portafoglio (βp). Allora σp= σind x βp •  Si ipoGzza dunque un portafoglio ben diversificato ma…

•  Se ho portafoglio di Gtoli esteri dovrei considerare anche

esposizione al tasso di cambio per un importo pari al valore

complessivo del portafoglio


58

•  Per portafoglio Gtoli obbligazionari situazione è più complessa

perché devo capire fluAuazioni della curva dei rendimenG e del

loro impaAo sul valore di mercato del portafoglio

•  Dura+on mapping = abbino ad ogni Gtolo una scadenza pari alla

sua dura5on. Oppure considero la dura5on media di portafoglio

•  Cash flows mapping = scompono ogni singolo Gtolo in una

sequenza di cash flows e poi li riaggrego intorno ad una serie di

nodi prefissaG della term structure


I modelli basa4 sulla simulazione storica

•  Si assume che il rendimento futuro sarà uguale a quello di uno dei giorni del database delle

serie storiche.

•  Il primo passo per il suo calcolo prevede l'idenGficazione di quelle variabili di mercato che

riteniamo influenzino il nostro invesGmento.

•  In secondo luogo, creiamo un database contenente m variazioni giornaliere dei valori delle

mie n variabili scelte.

•  OAeniamo così m possibili scenari per quello che potrebbe succedere domani: il primo è

quello in cui le variabili si comportano come avevano faAo nel primo giorno del mio

database, il secondo come si erano comportate nel secondo, e così via.

•  Quindi per ognuno dei miei m scenari calcolo la variazione del valore del mio invesGmento, e

se sistemo i miei risultaG in ordine crescente, il primo percenGle di tale distribuzione

rappresenta la sGma del VaR giornaliero al 99%

59

I modelli basa4 sulla simulazione Montecarlo

•  Questo approccio consente di ricavare una sGma della distribuzione di probabilità seguita

dal rendimento del portafoglio.

•  In sintesi, per un holding period pari a (t+1), dato un portafoglio cosGtuito da M Gtoli, si

traAa di estrarre per N volte un campione dalla distribuzione normale M-‐variata dei

rendimenG dei singoli Gtoli e di calcolare in base ad esso il valore del portafoglio in t+1.

•  Il VAR di ogni singola estrazione è oAenuto dalla differenza tra il valore del portafoglio in t

e quello in t+1.

•  Ordinando in senso decrescente i VAR oAenuG dalle N estrazioni, la massima perdita

potenziale del portafoglio è rappresentata dal percenGle corrispondente al livello di

probabilità prescelto.

•  Se le estrazioni e le conseguenG rivalutazioni del portafoglio sono pari a N=10.000, il VAR al

95% è rappresentato dal 500° valore più alto delle perdite simulate.

60

Il CondiGonal Var (CVar o Expected Shor7all) è invece il valore aAeso delle perdite che eccedono il VAR o una soglia specificata (in questo caso si parla più propriamente di

Expected Regret). Questa misura è teoricamente preferibile rispeAo al VAR

27

Expected Shor7all is defined as the average of all losses which are greater or equal

than VaR, i.e. the average loss in the worst (1-‐p)% cases, where p is the confidence

level. Said differently, it gives the expected value of an

investment in the worst q% of the cases

Condi4onal VAR

61

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