28_Analisi Della Tensione,Teorema Di Cauchy – Equazioni Indefinite Di Equilibrio

7/25/2019 28_Analisi Della Tensione,Teorema Di Cauchy Equazioni Indefinite Di Equilibrio

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 28Titolo: Analisi della tensione: teorema di Cauchy,

equazioni indefinite di equilibrio

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 28 Analisi della tensione: teorema di Cauchy

Equazioni indefinite di equilibr io

Nucleotematico

Lez. Contenuto

8 28Analisi della tensione: dipendenza della tensione dallagiacitura (teorema di Cauchy), equazioni indefinite diequilibrio, condizioni al contorno, osservazioni, esempi.

Nella lezione precedente stata definita la tensione in un punto; si riconosciuto come la tensione dipenda, oltre che dalla posizione delpunto, dalla giacitura considerata. inoltre stato definito il tensore di

tensione come una matrice avente nelle colonne le componentispeciali di tensione relative a tre piani ortogonali. Queste componentispeciali di tensione sono funzioni delle coordinate (x,y,z) del punto delsolido. In questa lezione viene esplicitata la dipendenza della tensionedalla giacitura. Viene inoltre mostrato che le nove funzioni raccolte neltensore di tensione devono soddisfare certe relazioni legate aconsiderazioni di equilibrio. In altre parole si mostra che, scelte a casonove funzioni delle coordinate (x,y,z) del punto di un solido queste nonpossono, in generale, costituire un tensore di tensione.

Teorema di Cauchy

Il teorema di Cauchy esplicita la dipendenza del vettoretensione nt in un punto P dalla giacitura precisando la dipendenza dint dal versore della direzione normale alla giacitura. Questo teorema

pu enunciarsi come segue.

Il vettore tensione nt in un punto P di coordinate (x,y,z) di unsolido, relativo ad un piano normale ad un asse n dipende linearmentedal versore )zyx n,n,nn= dellasse n ed dato da

=

=

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

nz

ny

nx

nn

nn

t

tt

t (28.1)

brevemente

[ ]ntn = (28.2)

essendo x, y, x, yz, zy, xz, zx, xy, yx le componenti speciali ditensione valutate su tre giaciture passanti per P ed ortogonali agli assi(x,y,z) del sistema di riferimento assunto.

Per dimostrare le (28.1) (o equivalente la (28.2)) sufficienteconsiderare il tetraedro infinitesimo di figura 28.1, avente tre facceortogonali parallele ai piani (xy), (xz) ed (yz) del riferimentoconsiderato e la quarta faccia nel piano relativamente al quale si cercala tensione nt , cio nel piano ortogonale allasse n. Si immagina che il
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tetraedro sia stato estratto da un solido nellintorno del punto P (pu

pensarsi che P sia il vertice cui convergono gli spigoli ortogonali) nelquale punto sono note le componenti speciali di tensione relative aipiani (xy), (xz) ed (yz). In questo modo sono note le risultanti delleforze agenti sulle tre facce ortogonali del tetraedro; la tensione sullafaccia di normale n viene espressa in funzione di queste mediante leequazioni di equilibrio del sistema. Infigura 28.1 le tensioni sulle facceortogonali del tetraedro sono rappresentate dello stesso colore degliassi ai quali le facce sono ortogonali.

Figura 28.1.

Sulle facce del tetraedro di normali x, y e z, parallele ai piani (yz), (xz)e (xy) agiscono quindi le componenti speciali di tensione raccolte nellamatrice [ ] , come mostrato infigura 28.1.Sia

( )( )( )( )

==

z,y,xf

z,y,xf

z,y,xf

z,y,xff

z

y

x

(28.3)

la forza di volume agente sul volume del tetraedro (per semplicit nonrappresentata infigura 28.1).Siano infine Ax, Ay ed Az le aree delle facce del tetraedro ortogonaliagli assi x, y e z (figura 28.1) rispettivamente e sia An larea dellafaccia del tetraedro ortogonale allasse n.Essendo le facce del tetraedro di dimensioni infinitesime le forze su diesse agenti possono essere calcolate con la (27.17), ciomoltiplicando le tensioni nel punto P per le superfici delle facce. Adesempio, le forze agenti sulla faccia normale allasse x sono

P

x

y

z

y

yz

yx

zzy

zx

x

xy xz

tn

tnx

tnytnz

n

n1n=

z

x

y

Ax

Ay

Ay

Az


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xxz

xxy

xx

A

A

A

agente nella direzione dellasse xagente nella direzione dellasse yagente nella direzione dellasse z

nelle quali i segni meno derivano dal fatto che tensioni positive nelriferimento locale sulla faccia del tetraedro di normale x hanno ledirezioni opposte a quelle degli assi globali (x,y,x) rispetto ai qualivengono scritte le equazioni di equilibrio.Le equazioni di equilibrio alla traslazione nelle direzioni degli assi x, ye z di questo sistema sono

0VfAtAAA

0VfAtAAA

0VfAtAAA

ynnzzzyyzxxz

ynnyzzyyyxxy

xnnxzzxyyxxx

=++=++

=++

(28.4)

essendo

nnz

nny

nnx

At

At

At

le componenti secondo gli assi x, y e z della forza agente sulla facciadel tetraedro ortogonale ad n ed essendo

Vt

VfVf

z

y

x

le componenti secondo gli assi x, y e z della forza di volume relativa alvolume V del tetraedro.Con le considerazioni geometriche di figura 28.2 si riconosce chelaltezza PQ della faccia del tetraedro ortogonale allasse z data da

zcosQRPQ = (28.5)

Figura 28.2.

z

zP

Q

R

x

yz

n

B

A


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Siccome cosz il coseno direttore della retta n rispetto allasse z,cio

zz cosn = (28.6)

ed i due triangoli che costituiscono la faccia ortogonale a z e la facciaortogonale ad n hanno la stessa base larea della faccia ortogonale az pari a

znzz nAcosQRABPQABA === (28.7)

avendo chiamato An larea della faccia del tetraedro ortogonaleallasse n. Con analogo ragionamento relativamente alle altre facce siottiene

xnx nAA =

yny nAA =

znz nAA = (28.8)

Si riconosce inoltre che al tendere a zero delle dimensioni lineari deltetraedro (si immagini ad esempio di far tendere a zero le lunghezzedegli spigoli paralleli agli assi x,y e z) le aree delle facce divengonoquantit tendenti a zero con il quadrato di queste dimensioni lineari,mentre il volume del tetraedro una quantit tendente a zero con laterza potenza di queste dimensioni lineari. Nella(28.4) gli addendi neiquali compare V sono quindi trascurabili rispetto agli addenti nei quali

compaiono le aree delle facce. Tenendo conto di questo, cioeliminando dalle (28.4) gli addendi nei quali compare V econsiderando le(28.8) le equazioni di equilibrio(28.4) diventano

0tnnn

0tnnn

0tnnn

zzzyyzxxz

zzzyyyxxy

xzzxyyxxx

=+

=+

=+

(28.9)

cio

zzyyzxxznz

zzyyyxxyny

zzxyyxxxnx

nnnt

nnnt

nnnt

++=

++=

++=

(28.10)

e quindi, in forma matriciale

=

=

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

nz

ny

nx

n

n

nn

t

tt

t (28.11)

brevemente

[ ]ntn = (28.12)

Le (28.11) sono dette formule di Cauchy. Il teorema di Cauchyassicura che la tensione su qualunque giacitura passante per unpunto P nota una volta note le componenti speciali di tensione su tre


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piani ortogonali. Infatti, note le componenti speciali di tensione sui tre

piani ortogonali agli assi di un riferimento (xyz) possibile, con le(28.12),calcolare le componenti nelle direzioni (x,y,z) della tensionesu un qualunque piano di normale assegnata.Brevemente si dice che lo stato tensionale nel punto P univocamente definito dalla matrice [ ] delle componenti speciali ditensione relative a tre piani ortogonali. Per quanto fin qui affermato lostato tensionale in un punto P dipende quindi da nove parametriscalari, cio dalle nove componenti di [ ] che sono funzioni reali dellecoordinate del punto P. Si dimostra nel seguito come per soddisfarecerte condizioni di equilibrio il tensore [ ] deve soddisfare alcunecondizioni che ne riducono da nove a sei il numero di componentiindipendenti.

Nel seguito, con procedimento analogo a quello seguito nellalezione 17 per derivare le equazioni indefinite di equilibrio per le travi,si dimostrano le relazioni che le nove funzioni contenute nel tensore

[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

z,y,xz,y,xz,y,x

z,y,xz,y,xz,y,x

z,y,xz,y,xz,y,x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

(28.13)

devono soddisfare nelle condizioni di equilibrio.

Equazioni indefinite di equilibr io

Si dimostra nel seguito che in ogni punto interno P dicoordinate (x,y,z) di un solido soggetto alle forze di volume

( ) ( ) ( ) ( ))z,y,xfz,y,xfz,y,xfz,y,xff zyx==

le funzioni (28.13) soddisfano lerelazioni

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=+

+

+

=+

+

+

=+

+

+

0z,y,xfz,y,xz

z,y,xy

z,y,xx

0z,y,xfz,y,x

z

z,y,x

y

z,y,x

x

0z,y,xfz,y,xz

z,y,xy

z,y,xx

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

(28.14)

dette equazioni indefinite di equilibrionel punto P.

Si dimostra inoltre che in ogni punto interno P di coordinate(x,y,z) di un solido le funzioni(28.13) soddisfano le relazioni

( ) ( )( ) ( )( ) ( )z,y,xz,y,x

z,y,xz,y,xz,y,xz,y,x

yxxy

zxxz

zyyz

==

=

(28.15)

dette condizioni di reciprocitdelle tensioni tangenziali.

Brevemente, le(28.14) e le(28.15) si scrivono


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=+

+

+

=+

+

+

=++

+

0fzyx

0fzyx

0fzyx

zzyzxz

y

zyyxy

xzxyxx

(28.16)

zyyz =

zxxz =

yxxy =

(28.17)

avendo tenuto come sottintesa la dipendenza delle grandezze dalle

coordinate (x,y,z) del punto P.Sia le equazioni indefinite di equilibrio che le condizioni di

reciprocit si possono dimostrare con un procedimento del tuttoanalogo a quello seguito nella lezione 17 relativamente alle equazioniindefinite di equilibrio per le travi. Si ricorda che in quelloccasione leequazioni indefinite di equilibrio per le travi sono state ottenutescrivendo le equazioni di equilibrio relative ad un tratto finito di trave epassando al limite, cio facendo tendere a zero la lunghezza del trattodi trave considerato; si era poi riconosciuto che le stesse equazioniavrebbero potuto essere determinate direttamente scrivendo le

equazioni di equilibrio per un tratto infinitesimo di trave. In questocontesto, per semplicit, le (28.14) e le (28.15) vengono ottenutedirettamente imponendo le condizioni di equilibrio di un elementoinfinitesimo avente forma di parallelepipedo.

Si consideri un punto P del solido di coordinate (x,y,z). Siconsiderino per P le giaciture ortogonali agli assi (x,y,z) del sistema diriferimento assunto; si immagini di estrarre dal solido unparallelepipedo di cui P uno spigolo (figura 28.3), avente i latiparalleli agli assi. Il lati del parallelepipedo abbiano dimensioneinfinitesima; si indichino con dx, dy e dz le lunghezze infinitesime ditali lati. Si indichino con Ax Ay ed Az le aree delle facce delparallelepipedo ortogonali agli assi x,y e z, rispettivamente (figura28.3). Sulle facce del parallelepipedo agiscono le componenti specialidi tensione relative alle giaciture normali agli assi (x,y,z).In particolare, sulla faccia di area Ax passante per P ed ortogonaleallasse x agiscono la tensione normale x(x,y,z) e le tensionitangenziali xy(x,y,z) e xz(x,y,z) le cui risultati sono;

( ) xx Az,y,x ( ) xxy Az,y,x ( ) xxz Az,y,x

agente nella direzione dellasse x

agente nella direzione dellasse y

agente nella direzione dellasse z

(28.18)

Anche in questo caso i segni meno derivano dal fatto che tensionipositive nel riferimento locale sulla faccia di normale x hanno le


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direzioni opposte a quelle degli assi globali (x,y,x) rispetto ai quali

vengono scritte le equazioni di equilibrio.

Figura 28.3.

Passando dalla faccia di normale x passante per P alla faccia dinormale x distante dx da questa le devono valutarsi le tensionicorrispondenti alle coordinate

( )+ z,y,dxx

(28.19)

Queste tensioni sono indicate con gli apici infigura 28.3. Supponendoche le funzioni contenute in [ ] siano derivabili rispetto a tutte levariabili e considerando che dx una quantit infinitesima le tensionisu questa faccia sono

( ) ( )dxz,y,x

x

z,y,x' xxx

+=

( ) ( )dxz,y,x

xz,y,x' xyxyxy

+=

( ) ( )dxz,y,xx

z,y,x' xzxzxz

+=

(28.20)

avendo indicato con

( )z,y,xx

x

( )z,y,x

x xy

( )dxz,y,x

x xz

(28.21)

le derivate parziali delle funzioni ( )z,y,xx , ( )z,y,xxy e ( )z,y,xxz

rispetto alla variabile x. Cos le risultanti delle tensioni agenti suquesta faccia sono

x

y

zdy

dx

x

xy xz

y

yz

yxz

zy

zx

'x

'xy'xz

'y

'yx

'yz

'zx

'zy

'z

r

dz

P

Ay

Az

Ax

x

y

z


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( ) ( ) xxx Adxz,y,xxz,y,x

+

( ) ( ) xxyxy Adxz,y,xx

z,y,x

+

( ) ( ) xxzxz Adxz,y,xx

z,y,x

+

(28.22)

agenti nelle direzioni degli assi x,y e z, rispettivamente. In modoanalogo si possono scrivere le risultanti delle tensioni agenti sulle altrefacce del parallelepipedo. Lequilibrio alla traslazione del sistema nelladirezione dellasse x quindi (figura 28.3)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) 0Vz,y,xf

Adzz,y,xz

z,y,xAz,y,x

Adyz,y,xy

z,y,xAz,y,x

Adxz,y,xx

z,y,xAz,y,x

x

zzxzxzzx

yyxyxyyx

xxxxx

=+

+

++

+

++

+

++

(28.23)

dalla quale si ottiene

( ) ( ) ( ) ( ) 0z,y,xfz,y,xz

z,y,xy

z,y,xx

xzxyxx =+

+

+

(28.24)

avendo riconosciuto che VdzAdyAdxA zyx === il volume delparallelepipedo considerato (per semplicit, in figura 28.3 non rappresentata la forza di volume ( )z,y,xf .La(28.24) la prima delle equazioni indefinite di equilibrio(28.14).Le equazioni di equilibrio nelle direzioni degli assi x ed y forniscono inmodo analogo le altre due equazioni indefinite di equilibrio(28.14).

Lequilibrio alla rotazione intorno ad un asse r parallelo ad y epassante per il baricentro del parallelepipedo (figura 28.3)fornisce

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

2

dzAdzz,y,x

zz,y,x

2

dzAz,y,x

2

dxAdxz,y,x

xz,y,x

2

dxAz,y,x

zzxzxzzx

xxzxzxxz

=

=

++

+

++

(28.25)

e quindi


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( ) ( )

( ) ( ) 0dz2

Az,y,x

zdzAz,y,x

dx2

Az,y,xxdxAz,y,x

2zzxzzx

2xxzxxz

=

+

+

+

(28.26)

Al tendere a zero delle dimensioni dx, dy e dz del parallelepipedoconsiderato, il secondo ed il quarto addendo della (28.26) sonotrascurabili rispetto al primo ed al terzo in quanto in quanto tendono azero come la quarta potenza della dimensione del parallepipedo,mentre il primo ed il terzo tendono a zero come la terza potenza diquesta dimensione. Quindi si ha

( ) ( ) 0z,y,xz,y,x zyyz =

(28.27)

avendo tenuto conto che VdzAdxA zx == , essendo V il volume delparallelepipedo.La (28.27) la prima delle condizioni di reciprocit (28.15);evidentemente le atre si ottengono in modo analogo imponendo lecondizioni di equilibrio alla rotazione attorno ad assi paralleli ad x e z epassanti per il baricentro del parallelepipedo.

Condizioni al contorno

Nei punti della superficieS

del solido lo stato tensionalerappresentato dal tensore [ ] deve essere compatibile con la forzedi superficie applicata su S. Cio preso un puto P della superficie Siltensore [ ] deve esse essere tale che la tensione nt

su un piano di

normale n tangente alla superficie Ssia equivalente alla forza esternasuperficiale ( )z,y,xp applicata in P. Ci si rende conto di questoimmaginando di ripetere il ragionamento fatto per la dimostrazione delteorema di Cauchy relativamente ad un tetraedro infinitesimo aventela faccia obliqua tangente alla superficie Sdel solido in un suo puntoP. Sia n il versore della retta normale alla superficie Snel punto P (equindi normale alla faccia obliqua del tetraedro). Le equazioni di

equilibrio del tetraedro possono essere riscritte considerando chesulla faccia del tetraedro di normale n agisce, al posto della tensione( )z,y,xtn , il la forza esterna di superficie ( )z,y,xp applicata. Procedendo

in questo modo si ritrova la (28.11) nella quale ( )z,y,xp deve esseresostituito a ( )z,y,xtn , cio

( )( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

=

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

z

y

x

n

nn

z,y,xz,y,xz,y,x

z,y,xz,y,xz,y,x

z,y,xz,y,xz,y,x

z,y,xp

z,y,xpz,y,xp

z,y,xp (28.28)

in cui (x,y,z) sono le coordinate del punto P sulla superficie ed nx, ny

ed nzsono le componenti di n .Per esteso, tenendo come sottintesa la dipendenza dalle coordinatedevono quindi sulla superficie essere soddisfatte le equazioni


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zzyyzxxzz

zzyyyxxyy

zzxyyxxxx

nnnp

nnnp

nnnp

++=

++=

++=

(28.29)

Le (28.28) o equivalentemente le (28.29) sono dette condizioni alcontornoper il problema in esame.

Cambio del sistema di r iferimento

Il tensore di tensione [ ] definito in ogni punto P del solido. Lesue componenti, essendo le componenti speciali di tensione relativealle tre giaciture ortogonali agli assi di un sistema di riferimentodipendono dal sistema di riferimento assunto. Nel seguito siesplicitano le formule per determinare le componenti del tensore ditensione relative ad un nuovo riferimento con gli assi (n,p,q) una voltanote le componenti dello stesso tensore relative ad un riferimento congi assi (x,y,z).

Sia

=

nz

ny

nx

n

ttt

t (28.30)

il vettore tensione sul piano normale alla direzione n nel punto Pespresso nelle sue componenti rispetto agli assi (x,y,z). Applicando la(27.19) il vettore nt pu esprimersi nelle sue componenti rispetto agliassi del riferimento (n,p,q); le componenti rispetto a questo riferimentosono componenti speciali di tensione e quindi vengono indicate con isimboli n, np, nq(figura 28.4). Si ha

=

nz

ny

nx

zyx

zyx

zyx

nq

np

n

t

tt

qqq

ppp

nnn

(28.31)

in cui )zyx nnnn= il versore dellasse n, )zyx pppp= il versoredellasse p e )zyx qqqq= il versore dellasse q rispetto al riferimento(x,y,z) essendo

nx, nyed nzi coseni direttori dellasse n rispetto agli assi x,y e z;px, pyed pzi coseni direttori dellasse p rispetto agli assi x,y e z;qx, qyed qzi coseni direttori dellasse q rispetto agli assi x,y e z;

Ricordando la formula di Cauchy(28.11),la(28.31) si riscrive come

=

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

zyx

zyx

zyx

nq

np

n

nn

n

qqqppp

nnn

(28.32)


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Figura 28.4.

Ripetendo il ragionamento per la giacitura ortogonale allasse p si hasi ha

=

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

zyx

zyx

zyx

pq

pn

p

p

pp

qqq

nnnppp

(28.33)

mentre per la giacitura ortogonale allasse q si ha

=

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

zyx

zyx

zyx

qp

qn

q

q

qq

qqq

nnn

qqq

(28.34)

Queste tre relazioni possono riordinarsi e scriversi in forma compatta

come

=

zyz

yyy

xxx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

zyx

zyx

zyx

qpqnq

qppnp

qnpnn

qpn

qpnqpn

qqq

ppp

nnn

(28.35)

Il primo membro della (28.35) il tensore di tensione nel punto Pespresso in termini di componenti rispetto al riferimento di assi (n,p,q).Chiamando quindi [ ]xyz il tensore di tensione scritto nelle componentirispetto agli assi (x,y,z) e con [ ]npq , lo stesso tensore scritto nellecomponenti rispetto agli assi (n,p,q)

[ ] [ ][ ] [ ]Txyznpq NN = (28.36)

x

y

z

Pdtnz

tny

tn

nn

1n=

Pd

tnq

tnn

tn

nn

1n=

tnp

n

p

q

n

p

q

tnx


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avendo indicato con

[ ]

=

zyx

zyx

zyx

qqq

ppp

nnn

N (28.37)

la matrice di rotazione avente nelle righe i coseni direttori degli assi(n,p,q) rispetto agli assi (x.y,z).

Osservazione 1

Dovendo essere soddisfatte le condizioni di reciprocit(28.15)il tensore

[ ] una matrice simmetrica. In altre parole, delle sue nove

componenti solo sei sono indipendenti, cio le tre sulla diagonaleprincipale e le tre sopra (o sotto) a detta diagonale, restando le altretre definite dalle condizioni di reciprocit(28.15).Lo stato tesnsionalein un punto P del solido di coordinate (x,y,x) quindi univocamentedefinito dalla conoscenza di sei funzioni delle coordinate del punto, adesempio le sei componenti speciali di tensione

( )z,y,xx ( )z,y,xy ( )z,y,xz (28.38)

( )z,y,xyz

( )z,y,xxz ( )z,y,xxy

Per questo lo stato tensionale in un punto viene talvolta rappresentatoinvece che con il tensore [ ] (matrice 3x3) con un vettore colonna incui sono disposte le sei componenti indipendenti del tensore, cio

( )

( )( )( )( )( )( )

=

z,y,xz,y,x

z,y,xz,y,x

z,y,xz,y,x

z,y,x

xy

xz

yz

z

y

x

(28.39)

Osservazione 2

Per quanto visto pu riassumersi che lo stato tensionale in unpunto univocamente definito dal tensore simmetrico [ ] e cio dallesue sei componenti indipendenti, nel senso che noto il tensore [ ] inun punto P le formule di Cauchy (28.11) consentono ladeterminazione della tensione su qualunque giacitura per P. Lo statotensionale di un solido definito quando noto il tensore [ ] in ognipunto del solido e cio quando sono note le sei funzioni (28.38) dellecoordinate del punto.

Queste sei funzioni non sono indipendenti le une dalle altredovendo soddisfare le tre equazioni indefinite di equilibrio(28.16) e lecondizioni al contorno(28.29).


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Definizione

Si dice che le sei funzioni (28.38) costituiscono uno statotensionale staticamente ammissibile per un solido soggetto adassegnate forze di superficie e di volume se soddisfano, insieme alleforze applicate, le tre equazioni indefinite di equilibrio (28.16) e lecondizioni al contorno(28.35).


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LEZIONE 28 Sessione di studio 1

Analisi del la tensione: teorema di Cauchy Equazioni indefini tedi equilibrio

Sono discusse nel seguito alcune osservazioni relative alla trattazionesvolta nella lezione.

Osservazione 3.

Nella lezione 17 (osservazione 1) si osservato come leequazioni di equilibrio di un tronco di trave consentano ladeterminazione delle caratteristiche di sollecitazione in ogni sezionedel tronco una volta noti i carichi applicati e le caratteristiche di

sollecitazione in corrispondenza di un estremo del tronco.Equivalentemente per una trave possibile determinare le trecaratteristiche di sollecitazione (cio N(s), T(s), M(s), essendo sunascissa curvilinea) con il sistema di equazioni differenziali costituitodalle le tre equazioni indefinite di equilibrio (17.37)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

=

=

+

=

sTsMds

d

sqs

sNsT

ds

d

sqs

sTsN

ds

d

n

t

(28.40)

una volta note le condizioni al contorno, cio, ad esempio, lecaratteristiche di sollecitazione N0, T0 ed M0 in una sezione s0 dellatrave:

( ) 00 NsN = ( ) 00 TsT = ( ) 00 MsM = (28.41)

Lo stesso non pu affermarsi relativamente allo statotensionale in un solido generico soggetto a forze di superficie ed aforze di volume assegnate. Infatti in questo caso le sei incognitecomponenti speciali di tensione

( )z,y,xx ( )z,y,xy ( )z,y,xz (28.42)

( )z,y,xyz

( )z,y,xxz ( )z,y,xxy

non possono essere determinate mediante la soluzione del sistemadifferenziale

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=++

+

=+

+

+

=+

+

+

0z,y,xfz,y,xz

z,y,xy

z,y,xx

0z,y,xfz,y,xz

z,y,xy

z,y,xx

0z,y,xfz,y,xz

z,y,xy

z,y,xx

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

(28.43)


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contenente le tre equazioni indefinite di equilibrio con le condizioni al

contorno

zzyyzxxzz

zzyyyxxyy

zzxyyxxxx

nnnp

nnnp

nnnp

++=

++=

++=

(28.44)

Siccome le equazioni indefinite di equilibrio sono state ottenute con leEquazioni Cardinali della Statica applicate ad un elemento infinitesimodel solido, si deve concludere che non possibile determinare leincognite di questo problema (cio le funzioni che rappresentano lostato tensionale) mediante sole condizioni di equilibrio, e quindi che il

problema staticamente indeterminato. Come osservato in altreoccasioni (strutture iperstatiche) per la soluzione del problemadescritto necessario imporre il soddisfacimento di altre condizioniche coinvolgono le deformazioni del solido soggetto alle forze esterneassegnate, dette equazioni di congruenza.

Osservazione 4.

Nella lezione precedente stato riconosciuto come la tensionein un punto P di un solido dipenda dalle coordinate (x,y,z) del punto edal piano sul quale viene valutata, identificato dai coseni direttori

(nx,ny,nz) della retta n ad esso normale. Questa evenienza stataesplicitata mediante la relazione

( )( )( )( )

==

zyxnz

zyxny

zyxnx

zyx

n,n,n,z,y,xt

n,n,n,z,y,xt

n,n,n,z,y,xt

n,n,n,z,y,xtt (28.45)

A questo punto possiamo riassumere che la dipendenza da (nx,ny,nz) di tipo lineare, cio

) [ ]nn,n,nt zyx = (28.46)

e non coinvolge le forze applicate al sistema. Le forze applicate alsistema vengono invece coinvolte nella dipendenza di

[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=z,y,xz,y,xz,y,x

z,y,xz,y,xz,y,x

z,y,xz,y,xz,y,x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

(28.47)

dalle coordinate del punto, dovendo le sei funzioni indipendenticontenute in [ ]

soddisfare le equazioni indefinite di equilibrio e le

condizioni al contorno le quali coinvolgono le forze applicate.

Osservazione 5.Nella trattazione svolta stata esclusa a priori la presenza di

forze concentrate agenti in punti della superficie o del volume del


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solido considerato. Questa ipotesi necessaria per il fatto che la

presenza ad esempio di forze concentrate sulla superficie del solidorenderebbe impossibile soddisfare le condizioni al contorno (28.44) icui secondi membri coinvolgono unicamente forze per unit disuperficie. Ci si rende conto di questo pensando di considerate untetraedro infinitesimo vicino alla superficie del solido ed avente lafaccia obliqua tangente alla superficie (lo stesso considerato per lascrittura delle condizioni al contorno). Se su questa faccia fosseapplicata una forza concentrata lequilibrio del tetraedro sarebbeimpossibile in quanto il tetraedro sarebbe soggetto sulla superficieinclinata a una forza finita (per quanto la superficie della faccia siainfinitesima) mentre le risultanti delle tensioni applicate sulle facceortogonali agli assi sarebbero sempre infinitesime.

Daltra parte, come gi osservato nella lezione 9, le forzeconcentrate costituiscono una schematizzazione della configurazionereale e rappresentano le risultanti di carichi distribuiti su porzioni moltopiccole delle superfici. Questultima situazione, cio la presenza dicarichi anche elevati distribuiti su superfici anche piccole ma didimensioni finite invece compatibile con le equazioni scritte.

Osservazione 6

Nella trattazione svolta si fatto ampio utilizzo delle EquazioniCardinali della Statica. In effetti questo utilizzo potrebbe apparirecontraddittorio ricordando che queste equazioni costituiscono unacondizione necessaria e sufficiente per lequilibrio di un sistema rigidoe coinvolgono solo le forze esterne ad esso applicate. Si osserva chein questo contesto queste equazioni sono state scritte coinvolgendo leforze interne (risultanti delle tensioni su opportune superfici) e che nonsono state esplicitate ipotesi sulla eventuale rigidezza del solidoconsiderato. Bisogna tuttavia considerare quanto segue.

- Le Equazioni Cardinali della Statica sono state applicate a sistemi(il tetraedro del teorema di Cauchy e il parallelepipedo delleequazioni indefinite di equilibrio) pensati estratti dal solido esoggetti sulle superfici esterne alle stesse forze cui erano soggettiprima dellestrazione; per questi sistemi le forze applicate sullesuperfici che li delimitano sono forze esterne, sebbene per il solidodi partenza siano forze interne (il ragionamento analogo a quellofatto allorch si sono utilizzate le Equazioni Cardinali della Staticaper la determinazione delle caratteristiche di sollecitazione delletravi).

- Si anticipa che nelle lezioni seguenti verranno fatte ipotesisullentit delle deformazioni ed in particolare si supporr che le

deformazioni siano sufficientemente piccole da rendere lecitoimporre le equazioni di equilibrio sulla configurazione indeformatadel solido (cio sulla configurazione del solido quando non era


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soggetto alle forze); in altre parole si suppone che la deformazione

del solido che interviene con lapplicazione delle forze siasufficientemente piccola da non alterare le Equazioni Cardinalidella Statica. Questo approccio comporta notevoli vantaggi esemplificazioni anche se non applicabile in ogni caso. Anchenellambito delle strutture dellingegneria civile esistono moltiproblemi per i quali questa assunzione non accettabile.

Si osserva infine che una qualche ipotesi sul modo dideformarsi del solido comunque necessaria in quanto senza la suaintroduzione impossibile determinare univocamente lo statotensionale del solido, come discusso nellosservazione 3.


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( )

==

21,0,

23n,n,nn zyx (e.1.3)

Per controllo pu verificarsi che risulta

14

1

4

3nnn 2z

2

y

2

x =+=++ (e.1.4)

Il vettore tensione sul piano (figura 28.6)si determina quindi con laformula di Cauchy (28.1)

MPa0036

2

102

3

0000000012

n

nn

t

tt

t

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

nz

ny

nx

n

=

=

=

= (e.1.5)

Si pu verificare la correttezza del risultato scrivendo esplicitamentelequazione di equilibrio alla traslazione nella direzione dellasse x. Laforza agente in direzione x sulla faccia ortogonale a x del prisma difigura 28.6

yzyzx LL12LL = (e.1.6)

essendo yzLL la superficie della faccia (figura 28.6).

Figura 28.6.

Le forze agenti in direzione x sulle facce ortogonali agli assi y e z sononulle relativamente al tensore(e.1.1).La forza agente in direzione x sulla faccia di normale n

yzyzz

ynx LL12LL3

2

36sin

L

Lt == (e.1.7)

Ly

x

y

z

x

y

z

x= 12

Lxn

1n=

nx

nz

tn


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La condizione di equilibrio alla traslazione del prisma nella direzione

dellasse x soddisfatta essendo la forza (e.1.6) uguale alla forza(e.1.7).Le equazioni di equilibrio alla traslazione nelle direzioni degli assi y e zsono evidentemente soddisfatte, essendo le componenti di tensione inqueste direzioni nulle su tutte le facce del prisma.

Per valutare le componenti speciali di tensione sul pianonormale alla retta n necessario definire un sistema di riferimento conun asse normale al piano (e quindi avente la direzione di n) e dueassi giacenti su detto piano. Sul piano si assumono un asse portogonale al piano (xz) ed un asse q parallelo al piano (xz) (figura

28.7).

Figura 28.7.

Il versore dellasse p

( )0,1,0p,p,pp zyx == (e.1.8)

mentre il versore dellasse q

( )

==

230,

21q,q,qq zyx (e.1.9)

La matrice che rappresenta il cambio di sistema di riferimento, cio

che trasforma le componenti di nt rispetto al riferimento con assi

(x,y,z) nelle componenti di nt rispetto al riferimento con assi (n,p,q)

[ ]

=

=

2

3

02

10102

10

2

3

qqq

ppp

nnn

N

zyx

zyx

zyx

(e.1.10)

Applicando la (28.31) si ha

Ly

x

y

z

x

y

z

x= 12

Lx

n

n

1n=

nx

nz

tn

n

nq

pq


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MPa

33

09

0036

2

30

2

1

010210

23

t

t

t

qqq

ppp

nnn

nz

ny

nx

zyx

zyx

zyx

nq

np

n

=

=

=

(e.1.11)

Applicando la (27.30) si determina la tensione tangenzialetotale che evidentemente ha lo stesso modulo della tensionetangenziale nq, essendo npnulla (figura 28.7)

MPa332nq2npn =+= (e.1.12)

Considerando inoltre che nt il vettore tensione sulla faccia di

normale n e che n la sua componente lungo la retta n si concludeche la tensione tangenziale totale, nelle sue componenti rispetto agliassi (xyz) avrebbe potuto determinarsi con

=

=

=

2

902

33

2

102

3

90036

n

n

n

t

z

y

x

nnn (e.1.13)

essendo

z

y

x

n

n

n

n

(e.1.14)

il vettore avente intensit n e la direzione della normale n.E dunque anche in questo modo si ottiene

3327481

4272ny

2ny

2n n ==+=++= (e.1.15)

Infine, applicando la (28.35) il tensore di tensione rispetto alriferimento di assi (n,p,q)

=

2

30

2

1

0102

10

2

3

0000000012

2

30

2

1

0102

10

2

3

qpqnq

qppnp

qnpnn

(e.1.16)

cio


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=

=

30330003309

2

30

2

1010210

23

0060000036

qpqnq

qppnp

qnpnn

(e.1.17)

Questo tensore simmetrico, come richiesto dalle condizioni direciprocit.


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LEZIONE 28 Sessione di studio 3

Analisi del la tensione: teorema di Cauchy Equazioni indefini tedi equilibrio

Si propongono nel seguito due ulteriori esempi relativi agli argomentitrattati in questa lezione e nella precedente. Si suggerisce al lettore dirisolverli in modo autonomo e di confrontare i risultati ottenuti con lesoluzioni che saranno discusse nelle lezioni successive.

Esempio 28.2

In un punto P di un solido lo stato tensionale descritto dal

tensore

[ ] MPa800

000

008

= (e.2.1)

rispetto agli assi (x,y,z) di un sistema di riferimento. Si consideri ilpiano ortogonale al piano (xz) ed inclinato di = /4 rispetto al piano(xy). Su questo piano si determinino:

- il vettore tensione;- le componenti speciali di tensione;- la tensione tangenziale totale.

Esempio 28.3

In un punto P di un solido lo stato tensionale descritto daltensore

[ ] MPa008

000

800

= (e.3.1)

rispetto agli assi (x,y,z) di un sistema di riferimento. Si consideri ilpiano ortogonale al piano (xz) ed inclinato di = /4 rispetto al piano

(xy). Su questo piano si determinino:

- il vettore tensione;- le componenti speciali di tensione;- la tensione tangenziale totale.

28_Analisi Della Tensione,Teorema Di Cauchy – Equazioni Indefinite Di Equilibrio

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