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Algebra I

Andrea Gallese 11 settembre 2018

Indice

G Teoria dei Gruppi 2G.1 Automorfismi e Azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2G.2 Formula delle Classi e Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

G.2.1 Fatti che non stavano da nessuna parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3G.3 Gruppi Diedrali Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5G.4 Gruppi di Permutazioni Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6G.5 Prodotti diretti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8G.6 Classificazione dei Gruppi di ordine 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9G.7 Prodotto Semidiretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

G.7.1 Classificazione dei gruppi di ordine pq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10G.8 Teorema di Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

G.8.1 Classificazione dei gruppi di ordine 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12G.9 Automorfismi di un gruppo buffo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13G.10 Teorema Fondamentale dei Gruppi Abeliani Finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

G.10.1 Classificazione dei Gruppi di Ordine 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14G.11 Lemmi vari ed esercizi sparsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

A Anelli 16A.1 Prime definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

A.1.1 Anelli di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16A.2 Ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A.2.1 Operazioni tra Ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17A.2.2 Prodotto diretto tra anelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18A.2.3 Estensione e Contrazione di Ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18A.2.4 Fatti sul radicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

A.3 Dominii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20A.3.1 Campo dei quozienti. Q(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20A.3.2 Divisibilità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

A.4 Dominii Speciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21A.4.1 Dominio Euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21A.4.2 Dominio a Ideali Principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21A.4.3 Dominio a Fattorizzazione Unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

K Teoria dei Campi e di Galois 24K.1 Richiami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24K.2 Separabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26K.3 Normalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27K.4 Teoria di Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28K.5 Relazioni tra estensioni e gruppi di Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

K.5.1 Gruppo di Galois di un ciclotomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31K.5.2 Gruppo di Galois di un campo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

K.6 Esistenza e unicità della chiusura algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Due parole introduttive. Il lettore potrebbe chiedersi, legittimamente, per quale ragione al mondo questiappunti siano stati organizzati in modo tanto elaborato, impreciso, incompleto e poco scorrevole: l’autore èpartecipe di tanta perplessità.

11 settembre 2018 Algebra I Andrea Gallese

G Teoria dei Gruppi

G.1 Automorfismi e Azioni

Teorema G.1. Se G è un gruppo, (Aut (G) , ◦) è un gruppo.

Esempi.

1. Aut (Z) ∼= {±id} ∼= Z22. Aut (Zn) ∼= Z×n3. Aut (Q) ∼= Q×

4. Aut (R) ∼= ?

Definizione (automorfismi interni). Chiamiamo

Int (G) = {ϕg | g ∈ G}

il sottogruppo degli automorfismi interni, ovvero degli auto-

morfismi di G che sono dati dal coniugio per un elemento del

gruppo stesso:

ϕg(x) = gxg−1 ∀x ∈ G.

Si osserva che Int (G) � Aut (G).

Lemma G.2 (degli Automorfismi Interni).

Int (G) ∼= G�Z(G)Dimostrazione. La funzione

Φ: G→ Int (G)g 7→ ϕg

è un omomorfismo con nucleo Z(G). ♣

Osservazione. Un sottogruppo è normale se e solo se viene

rispettato da tutti gli automorfismi interni:

H � G ⇔ ϕg (H) = H ∀ϕg ∈ Int (G) .

Definizione (Sottogruppo caratteristico). Un sottogruppo

H < G si dice caratteristico se è rispettato da tutto Aut (G),

i.e.

ϕ (H) = H ∀ϕ ∈ Aut (G)

Osservazione. Un sottogruppo caratteristico è anche normale,

ma non è sempre vero il viceversa: 〈(0, 1)〉� Z2 × Z2.

Definizione (Azione). Si dice azione di un gruppo G su un

insieme X un omomorfismo

ϕ : G→ S (X)g 7→ ϕg(x) = g · x.

Esempio. Siano G = C = {z ∈ C | |z| = 1}, X = R2 e sia ϕl’azione:

ϕ : C → S(R2)

z 7→ R(O, arg z)

Osservazione. Un’azione induce naturalmente una relazione

di equivalenza su X: x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G tale che g ·x = y. Vienequindi spontaneo prendere in considerazione la partizione di

X cos̀ı ottenuta.

Definizione (Orbita). Si dice orbita di un elemento x ∈ Xl’insieme di tutti gli elementi che posso essere raggiunti da x

tramite l’azione:

Orb (x) = {g · x | ∀g ∈ G}.

Osservazione. Detto R un insieme di rappresentanti delle

varie orbite, visto che queste formano una partizione:

X =⊔x∈R

Orb (x) ⇒ |X| =∑x∈R

|Orb (x) |.

Definizione (Stabilizzatore). Si dice stabilizzatore di un ele-

mento x ∈ X l’insieme di tutti gli elementi di G che agisconoin modo banale su x:

Stab (x) = {g ∈ G | g · x = x}.

Osservazione. Lo stabilizzatore è un sottogruppo

Stab (x) < G

ma non è necessariamente normale.

ZA5(1 2 3) < A5

Lemma G.3 (Relazione Orbite-Stabilizzatori).

|G| = |Orb (x) ||Stab (x) |

Dimostrazione. La funzione f cos̀ı definita

f : {gStab (x) | g ∈ G} → {Orb (x) | x ∈ X}gStab (x) 7→ g · x

è biunivoca, infatti:

g · x = h · x ⇔ ϕg(x) = ϕh(x)⇔ ϕ−1h ϕg(x) = x⇔ ϕh−1g(x) = x⇔ h−1g · x = x⇔ h−1g ∈ Stab (x)⇔ g ∈ hStab (x)⇔ gStab (x) = hStab (x)

♣

Osservazione. Dall’osservazione precedente

|X| =∑x∈R

|G||Stab (x) |

Esempi.

1. [G = C, X = R2] e l’azione dell’ultimo esempio. Que-sta ruota ogni punto attorno all’origine, pertanto le or-

bite sono circonferenze centrate nell’origine e gli stabi-

lizzatori sono tutti banali, tranne quello dell’origine che

coincide con G.

2. [G = R, X = R2] e l’azione che trasforma r ∈ R nellatraslazione orizzontale di lunghezza r. Le orbite sono le

rette parallele alla traslazione e gli stabilizzatori sono

tutti banali.

3. [G, X = G] e l’azione sia la mappa che manda un ele-

mento g nel coniugio per questo ϕg(x) = gxg−1. L’orbi-

ta di un elemento contiene tutti i coniugati di questo ed

è detta classe di coniugio di x (Cx). Lo stabilizzatore dix contiene tutti e soli gli elementi tali che xg = gx, ov-

vero il sottogruppo di tutti gli elementi che commutano

con x, è detto centralizzatore di x (ZG(x)).

4. [G, X = {H | H < G}] e l’azione di coniugio. Lo sta-bilizzatore di un sottogruppo è detto Normalizzatore di

H, N(H), ed è il più grande sottogruppo di G in cui H

è normale.

Osservazione. H � G ⇔ N(H) = G.Osservazione. Le azioni più comuni sono quelle natura-

li: il coniugio, la moltiplicazione a sinistra e, talvolta, la

moltiplicazione a destra per l’inverso.

2


G.2 Formula delle Classi e Cauchy

Teorema G.4 (Formula delle Classi). In ogni gruppo finito

|G| = |Z(G)|+∑x∈R′

|G||ZG(x)|

.

Dimostrazione. Facciamo agire G su se stesso per coniugio

(l’esempio 3 di sopra): abbiamo già osservato che X viene

partizionato in orbite, alcune delle quali saranno banali:

|X| =∑x∈R

Orb(x)={x}

1 +∑x∈R

Orb(x)6={x}

|G||Stab (x) | .

L’orbita di x è banale se e solo se gxg−1 = x ∀g ∈ G, ov-vero nel caso in cui x commuta con tutti gli elementi di G:

vale a dire, quando vive nel centro Z(G). Per concludere è

sufficiente ricordare la definizione di centralizzatore. ♣

Definizione (p-gruppo). Dato un primo p ∈ N, si dicep-gruppo un gruppo finito G di ordine potenza di p: |G| = pn.

Proprietà.

1. Un p-gruppo G ha centro non banale. Tutti i cen-

tralizzatori degli elementi di R′ hanno dimensione pk

per un intero 0 ≤ k < n, dunque

p | |G||ZG(x)|∀x ∈ R′.

Scrivendo la formula delle classi, scopriamo che il centro

ha cardinalità divisibile per p:

p | |G| −∑x∈R′

|G||ZG(x)|

= |Z(G)|.

Contenendo già e, il centro deve avere almeno altri p−1elementi.

2. I gruppi di ordine p2 sono abeliani. Il centro di G

avrà, per quanto appena dimostrato, ordine p o p2. Nel

secondo caso abbiamo finito. Nel primo∣∣∣G�Z(G)∣∣∣ = p,dunque il quoziente è ciclico e possiamo appellarci al

seguente lemma:

Lemma G.5. Se il quoziente tra un gruppo e il suo

centro è ciclico, allora il gruppo è abeliano.

Presi due elementi qualunque x, y ∈ G possiamo espri-merli come x = gha e y = gkb, dove g è il generato-

re del quoziente e a, b ∈ Z(G). Allora, sfruttando lacommutatività degli elementi del centro, ricaviamo la

commutativa per tutti gli elementi del gruppo:

xy = (gha)(gkb) = gh+kab = gk+hba = (gkb)(gha) = yx.

3. Una possibile dimostrazione del Teorema di Cauchy:

Teorema G.6 (di Cauchy). Per ogni fattore primo p di |G|esiste un elemento g di G di ordine p.

Dimostrazione Classica. Sia |G| = pn, procediamo per indu-zione su n. Se n = 1, G è ciclico, quindi ha un generatore di

ordine p. Supponiamo ora, come ipotesi induttiva, che tut-

ti i gruppi più piccoli di qualche valore fissato (di ordine kp

con k < m) abbiamo un elemento di ordine p. Prendiamo

ora un gruppo con cardinalità proprio |G| = pm. È chiaroche se G avesse un sottogruppo proprio di ordine multiplo di

p, l̀ı vi troveremmo per ipotesi induttiva l’elemento cercato.

Supponiamo quindi che nessun sottogruppo di G abbia ordine

divisibile per p, in particolare nemmeno i centralizzatori (che

ricordiamo essere sottogruppi) hanno ordine divisibile per p,

da cui la seguente relazione di divisbilità:

p | |G||ZG(x)|∀x ∈ R′.

Grazie alla formula delle classi scopriamo che

p | |G| −∑x∈R′

|G||ZG(x)|

= |Z(G)|

ma avevamo supposto che i sottogruppi propri non avesse-

ro ordine multiplo di p, dunque il centro deve coincidere con

l’intero gruppo, che risulta pertanto commutativo.

♣

Dimostrazione Magica. Sia

X = {(x1, . . . , xp) ∈ Gp | x1 · · ·xn = 1}

questo insieme ha esattamente |G|p−1 elementi, infatti scelti iprimi p− 1 l’ultimo dev’essere il suo unico inverso. Facciamoagire Zp su X, in modo che cicli le p-uple. Ogni elemento haun’orbita banale o lunga p. Gli elementi con orbita banale

sono quelli con x1 = · · · = xp = g e gp = 1, dunque proprioquelli che stiamo cercando: diciamo di averne n. Conside-

riamo ora il numero di elementi con orbita non banale: visto

che le orbite hanno cardinalità p e partizionano l’insieme delle

p-uple rimanenti

p | |G|p−1 − n ⇒ p | n

e, assodato che ep = e, ci devono essere almeno p−1 elementidi ordine p. ♣

G.2.1 Fatti che non stavano da nessuna parte

Definizione (Sottogruppo generato). Sia S ⊂ G un sot-toinsieme di G. Chiamiamo 〈S〉 il più piccolo sottogruppocontenente S, sottogruppo generato da S.

〈S〉 =⋂H≤GS⊆H

H

Lemma G.7 (Caratterizzazione dei sottogruppi generati).

〈S〉 = {s1 · · · sk | k ∈ N, si ∈ S ∪ S−1}

Dimostrazione. È sufficiente osservare che tutti gli elementi

di S devono comparire in tutti i gruppi che contengono S e che

l’insieme proposto è un sottoinsieme chiuso per le operazioni

di gruppo, dunque un sottogruppo. ♣

3


Proprietà.

1. 〈S〉 è abeliano se e solo se tutti gli elementi di Scommutano fra loro.

2. 〈S〉 è normale se e solo se ogni ogni elemento di S rimanein 〈S〉 per coniugio.

3. 〈S〉 è caratteristico se e solo se ogni elemento di S vienemandato in 〈S〉 da ogni automorfismo di G.

4. G′ = 〈ghg−1h−1 | g, h ∈ G〉 è detto Gruppo dei Com-mutatori o Gruppo Derivato di G. Questo gruppo gode

di alcune proprietà fondamentali

(a) G′ = {e} ⇔ G abeliano.

(b) G′ è caratteristico e pertanto normale in G.

(c) Dato H �G, il quoziente G�H è abeliano see solo se G′ < H.

Dimostrazione. La verifica delle proprietà (a) e (b) è

banale. Rimane l’ultima (c):

G�H abeliano⇔ xHyH = yHxH ∀x, y ∈ G⇔ xyH = yxH ∀x, y ∈ G⇔ x−1y−1xy ∈ H ∀x, y ∈ G⇔ g′ ∈ H ∀g′ ∈ G′

♣

Definizione. G�G′ è detto l’abelianizzato di G, perchéè sempre abeliano!

4


G.3 Gruppi Diedrali Dn

Definizione (Gruppo Diedrale). Sia Dn il gruppo delle

isometrie dell’n-agono regolare.

Teorema G.8 (Caratterizzazione di Dn). Si ha

Dn = 〈ρ, σ | ρn = e, σ2 = e, σρσ = ρ−1〉

Questo enunciato non si capisce, non si è mai parlato prima di

presentazione di gruppi. Rileggendo la dimostrazione aumenta

questo assurdo senso di incompletezza: dove stiamo andando?

cosa vogliamo dimostrare? qual è il significato profondo della

vita, l’universo e tutto quanto? Non lo so.

Dimostrazione. Tutti gli elementi sopra definiti possiamo ri-

durli a un elemento della forma ρk o σρk per un qualche

0 ≤ k < n. Questo perché i generatori si presentano in que-sta forma e ogni operazione permessa (composizione e inver-

sione) tra due generatori produce un risultato che può im-

mediatamente essere ridotto alla forma cercata attraverso le

cancellazioni consentite. Inoltre possiamo immergere questo

gruppo in un sottogruppo di O2(R) di ordine 2n attraversol’omomorfismo suriettivo

Φ: 〈ρ, σ〉 → O2(R)

σ 7→(−1 00 1

)ρ 7→

(cos 2π

nsin 2π

n

− sin 2πn

cos 2πn

).

Ne concludiamo che ognuno dei rappresentati sopra tro-

vati individua un’effettiva trasformazione distinta, da cui

l’uguaglianza con D2. ♣

Osservazione. Conosciamo già un gruppo diedrale: D3 ∼= S3.Osservazione. Il sottogruppo Cn delle rotazioni, generato da

ρ, è ovviamente ciclico e, avendo indice 2, è anche normale in

Dn:

〈ρ〉 = Cn � Dn.

Lemma G.9 (Ordine degli elementi di Dn). Sappiamo che

I tutte le simmetrie hanno ordine 2.

I ci sono ϕ(m) rotazioni di ordine m, per ogni m | n.

Dimostrazione. La seconda parte è immediata conseguenza

della ciclicità del sottogruppo delle rotazioni. L’ordine delle

riflessioni possiamo calcolarlo esplicitamente notando che(σρk

)(σρk

)=(σρkσ

)ρk = ρ−kρk = e,

dove abbiamo usato la terza proprietà imposta nella

caratterizzazione. ♣

Lemma G.10 (Sottogruppi di Dn). I sottogruppi H < Dnrientrano in una di queste due categorie:

I H < Cn: di cui ne abbiamo esattamente uno per ogniordine divisore di n.

I H = (H ∩ Cn) t τ(H ∩ Cn): di cui ce ne sono d diordine 2n

dper ogni d | n.

Dimostrazione. Se H < Cn il risultato viene da Aritmeti-

ca. Se H ≮ Cn, H contiene almeno una rotazione τ =σρi. Consideriamo l’omomorfismo f che fa commutare il

diagramma

Dn O2(R)

{±1} ∼= Z2

Φ

fdet

Restringiamo l’omomorfismo trovato ad H

Dn O2(R)

H Z2

Φ

fdet

Visto che ker f = Cn�Dn, il sottogruppo H viene scompostoin nucleo e laterale

H = f−1(0) t f−1(1) = (H ∩ Cn) t τ(H ∩ Cn).

Infine, dato che il nucleo è contenuto nel sottogruppo cicli-

co (H ∩ Cn) < Cn, possiamo pensarlo come il sottogruppogenerato da una potenza della rotazione elementare

H ∩ Cn = 〈ρd : d | n〉.

Il suo unico laterale sarà allora composto dagli d elementi

della forma

τ(H ∩ Cn) = {τρd, τρ2d, . . . , τρn−d}= {σρd+i, σρ2d+i, . . . , σρn−d+i, }

che dipende solamente dalla classe di i mod d. ♣

Esercizi importanti.

1. Quali sottogruppi di Dn sono normali?

2. Quali sottogruppi di Dn sono caratteristici?

3. Quali sono i quozienti di Dn?

4. (?) Chi è Aut (Dn)?

5


G.4 Gruppi di Permutazioni Sn

Definizione (Gruppi di Permutazioni). Dato un insieme X,

chiamiamo

S(X) = {f : X → X | f è bigettiva},

con l’operazione di composizione, gruppo delle permutazioni

di X. Se l’insieme è finito |X| = n, allora

S(X) ∼= S({1, 2, . . . , n})

e lo chiamiamo Sn.

Teorema G.11 (Cayley). Possiamo immergere ogni gruppo

finito G in un gruppo di permutazioni.

Dimostrazione. L’azione di moltiplicazione a sinistra è fedele

Φ: G→ S(G)g 7→ ϕg(x) = gx

ovvero, iniettiva. ♣

Lemma G.12 (di decomposizione). Ogni permutazione σ ∈Sn si scrive in modo unico come prodotto di cicli disgiunti.

Osservazione. Cicli disgiunti commutano.

Osservazione. Sn è generato dai suoi cicli.

Lemma G.13 (delle permutazioni coniugate). Due permu-

tazioni σ, τ ∈ Sn sono coniugate se e solo se hanno lo stessotipo di decomposizione in cicli disgiunti.

Dimostrazione. E’ più che sufficiente osservare che dato un

ciclo

σ = (a1 · · · ak)e una permutazione tale che τ : ai 7→ bi, si ha

τστ−1 = (τ(a1) · · · τ(ak)) = (b1 · · · bk).

♣

Osservazione. Sn è generato dalle sue trasposizioni.Osservazione. La decomposizione in trasposizioni non è

unica. Ma la parità del numeri di trasposizioni lo è:

Teorema G.14 (delle trasposizioni). La parità del nume-

ro di trasposizioni della scomposizione di una qualunque

permutazione σ ∈ Sn non dipende dalla scomposizione.

Dimostrazione. Consideriamo

sgn: Sn → Z× = {±1}

σ 7→∏

1≤i


Teorema G.17 (del ribelle). Per ogni n ≥ 3 i gruppi dipermutazioni sono i propri automorfismi

Aut (Sn) ∼= Sn

ma non per S6, che è un ribelle.

Dimostrazione. Per cominciare, osserviamo che

Int (Sn) ∼= Sn�Z(Sn)∼= Sn

dunque Sn � Aut (Sn), pertanto ci basta dimostrare che tuttigli automorfismi sono interni. Sfruttiamo il fatto che gli au-

tomorfismi mandano classi di coniugio in classi di coniugio e

che preservano l’ordine degli elementi per mostrare che

I Ogni automorfismo rispetta la classe delle trasposizioni.Guardiamo come sono fatte le classi di coniugio degli

elementi di ordine 2. Sia Ck la classe delle permutazioni

composte da k trasposizioni disgiunte, abbiamo che

|Ck| =1

2k · k! ·n!

(n− 2k)!

Imporre |C1| = |Ck|, equivale a risolvere

2k−1 =(n− 2)!(n− k)!

(n− kk

)

– Per k = 2 abbiamo

4 = (n− 2)(n− 3)

che non ha soluzione, perché i due fattori a destra

sono interi consecutivi, quindi uno di loro conterrà

un primo dispari.

– Per k = 3 abbiamo

4 = (n− 2)

(n− 3

3

)

che ammette n = 6 come unica soluzione (il caso

famigerato!), visto che n − 2 | 4 limita la ricercadelle soluzioni ai soli n = 3, 4, 6.

– Infine, per k > 3 notiamo che il fattore

(n− 2)!(n− k)!

contiene almeno un primo dispari.

Pertanto ogni automorfismo rispetta C1, perché le altre

classi sono troppo grandi.

I Osserviamo che, preso ϕ ∈ Aut (Sn), si ha

ϕ(1, i) = (a1, ai)

con tutti gli ai distinti.

I Dunque ϕ coincide, in realtà, con il coniugio per lapermutazione

σ : i 7→ ai

♣

Esercizi.

1. Quanti k-cicli ci sono in Sn?

2. Come conto gli elementi con una composizione fissata in

un Sn dato? Per esempio, come calcolo le permutazionidel tipo 3 + 3 + 2 + 2 + 2 in S10?

3. L’ordine di σ è il minimo comune multiplo delle

lunghezze dei suoi k-cicli.

4. Notiamo che il centralizzatore di σ coincide con lo

stabilizzatore dell’azione di coniugio di Sn in se.Dunque

|Z(σ)| = n!|C(x)|

5. Data una permutazione σ trovare |N(〈σ〉)|.Osserviamo che

N(〈σ〉) = {τ | τστ−1 = σk}

dunque il normalizzatore contiene il centralizzatore di

σ e, visto che il coniugio preserva la scomposizione in

cicli, che possiamo prendere solo i k coprimi coll’ordine

di σ. Inoltre prese due permutazioni τ1, τ2 ∈ N(〈σ〉)che generano lo stesso σk, abbiamo che

τ1στ−11 = τ2στ

−12 ⇔ (τ

−12 τ1)σ(τ

−12 τ1)

−1 = σ

Dunque τ−12 τ1 ∈ Z(σ), ovvero τ1 ∈ τ2Z(σ). Pertantoil normalizzatore dev’essere composto da tutti i late-

rali del centralizzatore indotti da permutazioni che mi

danno σk dello stesso tipo di σ. Ovvero

N(〈σ〉) =⋃

(i,ord(σ))=1

τiZ(σ)

e pertanto

|N(〈σ〉)| = |Z(σ)| · φ(ord(σ))

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G.5 Prodotti diretti

Teorema G.18 (di Struttura). Sia G un gruppo e H,K < G

due sottogruppi. Se

1. H � G e K � G

2. HK = G

3. H ∩K = {e}

allora

G ∼= H ×K

Dimostrazione. Mostriamo innanzitutto che hkh−1k−1 ap-

partiene ad entrambi i sottogruppi:

H 3 h(kh−1k−1) = h(kh−1k−1) = (hkh−1)k−1 ∈ K.

Avendo i due sottogruppi intersezione banale, un elemento che

appartiene ad entrambi è necessariamente l’elemento neutro

hkh−1k−1 = e,

quindi tutti gli elementi di un sottogruppo commutano con

quelli dell’altro.

Consideriamo ora l’isomorfismo che prende elementi che vi-

vono nei due diversi sottogruppi, li immerge nel gruppo G in

cui sono nati e, l̀ı, ne prende il prodotto

Φ: H ×K → G(h, g) 7→ hg

e verifichiamo che

1. è un omomorfismo:

Φ(hh′, kk′) = hh′kk′ = hkh′k′ = Φ(h, k)Φ(h′, k′);

2. è suriettivo, grazie all’ipotesi 2;

3. è iniettivo per l’ipotesi 3; infatti

ker Φ = {(h, k) | hk = e} = {(e, e)}

perché se h e k sono inversi l’uno dell’altro, vivono nel-

lo stesso sottogruppo, dunque nell’intersezione, che è

banale.

♣

Osservazione. Nel prodotto diretto i fattori commutano.

Proprietà di G = H ×K.

1. Z(G) = Z(H)× Z(K).

2. Int (G) ∼= Int (H)× Int (K).

3. Aut (H)×Aut (K) < Aut (G).

Teorema G.19 (degli automorfismi prodotto). Si ha

Aut (H)×Aut (K) < Aut (H ×K)

e sono isomorfi se e solo se H e K sono caratteristici.

Dimostrazione. Consideriamo la mappa

Φ: Aut (H)×Aut (K)→ Aut (H ×K)(f, g) 7→ ϕfg : (h, k) 7→ (f(h), g(k))

e verifichiamo che

I è bene definita, ovvero ϕ è un automorfismo. Imme-diata conseguenza del fatto che f e g sono a loro volta

automorfismi.

I è un omomorfismo.

Φ(ff ′, gg′) =(f(f ′(h)), g(g′(k))

)= (ϕfg ◦ ϕf ′g′)(h, k)= Φ(f, g)Φ(f ′, g′)

I è iniettiva.ker Φ = {(id, id)}

perché restringendo l’identità non possiamo certo

sperare di permutare qualcosa.

I è suriettiva se e solo se H × {eK} e {eH} × K sonocaratteristici in H ×K.⇒. Se Φ è suriettivo, allora tutti gli automorfismi diH × K sono della forma di cui sopra e pertanto ϕfgagisce sugli elementi di H come ϕfg|H = f ∈ Aut (H).⇐. Viceversa, supponiamo H e K caratteristici, presoun automorfismo ϕ ∈ Aut (H ×K) consideriamo le suerestrizioni ai due sottogruppi caratteristici.

f = ΠH(ϕ|H×{eK}

)g = ΠK

(ϕ|{eH}×K

)Notiamo che f ∈ Aut (H).

– f è iniettiva. Se f(h) = f(h′) allora

ΠH (ϕ(h, eK)) = ΠH(ϕ(h′, eK)

)poiché H × {eK} è caratteristico

ϕ(h, eK) = (a, eK) ϕ(h′, eK) = (b, eK)

ma necessariamente a = f(h) e b = f(h′),

pertanto

ϕ(a, eK) = (f(h), eK) = (f(h′), eK) = ϕ(b, eK)

e, visto che ϕ è iniettivo, h = h′.

– f è suriettiva. Fissiamo un qualunque h ∈ H. Es-sendo H×{eK} caratteristico, necessariamente lacontroimmagine di (h, eK) è un suo elemento

ϕ−1(h, eK) = (h′, eK)

dunque

f(h′) = ΠH(ϕ(h′, eK)

)= ΠH (h, eK) = h

Infine osserviamo che Φ(f, g) = ϕ. Infatti

ϕfg(h, k) = (f(h), g(k))

= (ΠH (ϕ(h, eK)) ,ΠK (ϕ(eH , k)))

= (ΠH (ϕ(h, k)) ,ΠK (ϕ(h, k)))

= ϕ(h, k)

dove la terza uguaglianza segue da

ΠH (ϕ(h, eK)) = ΠH (ϕ(h, eK)) ΠH(ϕ(eH , k))

= ΠH (ϕ(h, eK)ϕ(eH , k))

= ΠH (ϕ(h, k))

♣

Esercizio. Trovare Aut (Z20 × Z2).

8


G.6 Classificazione dei Gruppi di ordine 8

∃g | ord(g) = 8 Z8

g2 = e ∀g (Z2)3

ϕh | h /∈ C4 Z2 × Z4

ord(h) = 2 D4

Q8

s̀ı

no

s̀ı

no

-id

id

s̀ı

no

Prendiamo un gruppo G di ordine 8.

I Se esiste un elemento di ordine 8 il gruppo è ciclico epertanto isomorfo a Z8.

I Se G ha solo elementi di ordine 2, allora è isomorfo a(Z2)3. Mostriamo un risultato appena più generale.

Teorema G.20 (dei gruppi solipsisti). Se |G| ha soloelementi di ordine due ed è finito, allora G ∼= (Z2)n.

Dimostrazione. Osserviamo che

a2b2 = e = (ab)2 = abab

e, moltiplicando per a a sinistra e per b a destra, otteniamo

ab = ba per ogni a, b ∈ G

Pertanto G è abeliano. Possiamo ora procedere per induzione

sulla dimensione di G. Se |G| = 2 il risultato è chiaro. Sup-poniamo ora che sia vero per tutti i gruppi di ordine < 2n e

supponiamo 2n ≤ |G| < 2n+1. Quando prendiamo un insiememinimale di h < n generatori 〈g1, . . . gh〉 di un sottogruppoH < G, questo sarà isomorfo a (Z2)h per ipotesi induttiva.Prendiamo un elemento g /∈ H, abbiamo che H e 〈g〉 ∼= Z2 so-no entrambi sottoinsiemi normali la cui intersezione è banale,

pertanto il sottoinsieme

〈g, g1, . . . gh〉 ∼= H × 〈g〉 ∼= (Z2)h × Z2 ∼= (Z2)h+1

per il teorema di struttura G.18. Cos̀ı facendo possiamo

continuare ad aggiungere elementi fino alla saturazione. ♣

Se G non ha elementi di ordine 8 e non hanno tutti ordine 2,

allora esiste un g ∈ G di ordine 4 e sia C4 = 〈g〉. Sia h /∈ C4e consideriamo l’azione di coniugio di h su C4

ϕh : C4 → C4x 7→ hxh−1

(ben definita perché C4, avendo indice 2, è normale in G).

Poiché Aut (Z4) ∼= Z2, abbiamo solo due possibilità:

ϕg = ±1.

Considerando i possibili ordini moltiplicativi di h ci riduciamo

a controllare quattro casi:

I [ϕh = 1, ord(h) = 2]. Gli elementi di C4 commutanocon h, l’intersezione tra C4 e 〈h〉 è banale e il loroprodotto genera G per ragioni di cardinalità, pertanto

G ∼= 〈h〉 × C4 ∼= Z2 × Z4.

I [ϕh = 1, ord(h) = 4]. In questo caso è facile trovaretutti gli elementi e mostrare che il gruppo dev’essere

abeliano.

I [ϕh = −1, ord(h) = 2]. Abbiamo che hgh = g−1, per lacaratterizzazione dei gruppi diedrali

G ∼= D4.

I [ϕh = −1, ord(h) = 4]. Anche ord(gh) = 4. Infatti

e = ghgh = ghgh−1hh = hh 6= e.

Dunque abbiamo trovato l’ordine di tutti gli elementi,

possiamo costruire un isomorfismo esplicito con Q8.

Definizione (Quaternioni). SiaQ8 l’insieme {±1,±i,±j,±, k}con l’operazione che soddisfa

i2 = j2 = k2 = ijk = −1

9


G.7 Prodotto Semidiretto

Definizione (Prodotto semidiretto). Siano H,K due grup-

pi e ϕ : K → Aut (H) un omomorfismo Si dice prodottosemidiretto

H oϕ K

l’insieme dato dal prodotto cartesiano, dotato dell’operazione

(h, k) · (h′, k′) = (hϕk(h′), kk′)

Osservazione. Il prodotto semidiretto è un gruppo.

Osservazione. Il prodotto diretto è un prodotto semidiretto

in cui ϕ manda tutti gli elementi di K nell’identità su H.

Osservazione. Sia H̄ = H × ek. Si ha

ker ΠK = H̄ �H oϕ K

qualunque sia l’omomorfismo ϕ. Infatti H̄ è il nucleo

dell’omomorfismo di proiezione su K.

Osservazione. Inoltre K̄ se e solo se il prodotto è diretto.

K̄ �H oϕ K ⇔ o = ×

Teorema G.21 (di decomposizione). Siano G un gruppo e

H,K < G sottogruppi. Se

1. H � G

2. HK = G

3. H ∩G = {e}

allora

G ∼= H oϕ K

dove ϕ manda k nella corrispondente azione di coniugio

ϕ : K → Aut (H)k 7→ ϕk : h 7→ hkh−1

Dimostrazione. Consideriamo la stessa mappa che già

avevamo preso in considerazione parlando di prodotti diretti

Φ: H oϕ K → G(h, k) 7→ hk

questo

I è un omomorfismo, perché

Φ((h, k)(h′, k′)) = Φ(hϕk(h′), kk′)

= Φ(hkh′k−1, kk′)

= hkh′k−1kk′

= hkh′k′

= Φ(h, k) Φ(h′, k′)

I è iniettivo e suriettivo per le ipotesi, rispettivamente, 2e 3, come nella decomposizione in prodotto diretto.

dunque Φ è un isomorfismo come desiderato. ♣

Esempi.

1. Sn ∼= An oϕ 〈(1 2)〉, con ϕ di coniugio.

2. Dn ∼= 〈ρ〉oϕ 〈σ〉, con ϕ di coniugio.

G.7.1 Classificazione dei gruppi di ordine pq

Se p = q, allora |G| = p2, quindi G è abeliano. In questo casogià sappiamo che

G ∼= Zp2 oppure G ∼= Zp × Zp.

Se p < q, allora ho due elementi x, y di ordine, rispettivamen-

te, p e q, che generano relativi gruppi ciclici. Il più grande dei

quali sarà normale perché ha indice p (vedi G.25):

Zp < G e Zq �G

Osserviamo inoltre che i due sottogruppi hanno intersezione

banale e pertanto ZpZq = G per ragioni di cardinalità. Quindi

G ∼= Zq oϕ Zp

dove ϕ è un qualche omorfismo della forma

ϕ : Zp → Aut (Zq) ∼= Z×q ∼= GL1(Fq)1 7→ ϕ1 : x 7→ kx

Siamo passati in notazione additiva, perché i gruppi in que-

stione sono abeliani e cilici. A questo punto è molto comodo

pensare a Zq come spazio vettoriale di dimensione 1 e al suogruppo di automorfismi come al gruppo delle ”matrici” in-

vertibili che vi agisce sopra (che corrisponde al gruppo degli

invertibili di Fp). Abbiamo definito l’omomorfismo solo per ilgeneratore di Zp, perché possiamo ottenere gli altri da

y 7→ ϕy : x 7→ kyx

ed è molto semplice convincersene: stiamo componendo appli-

cazioni lineari, dunque moltiplicando fra loro le corrispondenti

matrici. Non tutte le scelte di k ∈ Zq sono accettabili però,per esempio se

p - q − 1 = |Z×q |l’unico omomorfismo ϕ possibile è quello banale che ci induce

G ∼= Zp × Zq

Se invece p | q − 1 possiamo scegliere k come un qualunquegeneratore del solo sottogruppo di ordine p di Z×q ∼= Zq−1.Fissiamo un generatore g, allora tutte le azioni contemplate

saranno della forma

ψm : Zp → Aut (Zq)1 7→ ψm1 : x 7→ gmx

al variare di m in {1, . . . , p− 1}. Osserviamo dunque che

ψm1 (x) = gm(x) = ψ1m(x)

e possiamo dunque costruire la funzione

Φ: Zq oψm Zp → Zq oψ1 Zp(x, y) 7→ (x,my)

e verificare che è un isomorfismo:

I è un omomorfismo

Φ(x, y) Φ(x′, y′) = (x, my)(x′, my′)

= (x+ ψ1my(x′), my +my′)

= (x+ ψmy (x′), my +my′)

= Φ(x+ ψmy (x′), y + y′)

I è iniettivo: se Φ(h, k) = (e, e), allora h = e e, poichékm è un automorfismo di Zp, k = e.

pertanto, in questo caso, esiste un unico gruppo di ordine pq

non abeliano.

G ∼= Zq o Zp

10


G.8 Teorema di Sylow

Definizione. Chiamiamo p-sylow ogni p-sottogruppo di or-

dine massimo: un H < G, dove se |G| = pmn con (p, n) = 1,si ha |H| = pm.

Teorema G.22 (di Sylow). Sia G un gruppo finito di ordine

|G| = pnm, dove p è primo e m è un intero a lui coprimo.Allora:

∃. Per ogni 0 ≤ α ≤ n, esiste un sottogruppo H < G diordine |H| = pα.

⊆. Ogni p-sottogruppo è incluso in un p-sylow.

ϕg. Due qualsiasi p-sylow sono coniugati.

np. Il numero np di p-sylow è congruo a 1 mod p.

Dimostrazione. Dimostriamo i punti nello stesso ordine

∃. Fissiamo 0 ≤ α ≤ n. Sia Mα l’insieme di tutti isottoinsiemi di G di cardinalità pα

Mα = {M < G | |M | = pα},

possiamo allora calcolarne la cardinalità

|Mα| =

(pnm

pα

)= pn−αm

pα−1∏i=1

pnm− ipα − i

e, in particolare, osservare che

vp (|Mα|) = n− α.

Consideriamo ora l’azione di G su Mα per moltiplica-zione a sinistra

Ψ: G→ S(Mα)g 7→ ψg : M 7→ gM

Cerchiamo il sottoinsieme richiesto tra gli stabilizzatori

di Ψ. Dato il solito partizionamento in orbite

|Mα| =∑|Orb (Mi) |,

scopriamo che non tutte le orbite posso essere divisibili

per potenze di p troppo grandi, in particolare

∃i tale che pn−α+1 - |Orb (Mi) |.

Il corrispondente stabilizzatore avrà pertanto cardina-

lità divisibile per pα; se fissiamo un elemento x ∈Mi econsideriamo la funzione iniettiva

f : Stab (Mi)→Mig 7→ gx

scopriamo che lo stabilizzatore non può avere una

cardinalità maggiore dell’insieme che stabilizza

pα | |Stab (Mi) | ≤ |Mi| = pα

ed è dunque il sottogruppo che cercavamo.

⊆. Sia H < G un p-sottogruppo |H| = pα e S un p-sylow.Consideriamo l’azione di H sull’insieme X delle classi

laterali di S per moltiplicazione a sinistra

F : H → S(X)h 7→ ψh : gS 7→ hgS

Per la decomposizione in orbite

m = [G : S] = |X| =∑ |H||Stab (gS) | =

∑ pαpei

ma, non potendo p dividere m, esiste un laterale ḡS

stabilizzato da tutto H. Ovvero

hḡS = ḡS ⇔ h ∈ ḡSḡ−1 ∀h ∈ H

Dunque H ∈ ḡSḡ−1, che è il p-sylow cercato.

ϕg. Siano A,B p-sylow. Per il punto precedente

∃g ∈ G tale che A < gBg−1

dunque A e B, avendo la stessa cardinalità, coincidono.

np. Consideriamo l’azione di coniugio di un p-sylow S

sull’insieme Y dei suoi coniugati

Φ: S → S(Y )g 7→ ϕg : H 7→ gHg−1

Mostriamo che l’orbita di S è l’unica banale. Infatti

se H ∈ Y ha orbita banale significa che è stabilizzatoda S, dunque che i due commutano e pertanto il loro

prodotto è un sottogruppo di G.

|HS| = |H||S||H ∩ S| =p2n

|H ∩ S| | pnm

Necessariamente |H ∩ S| = pn e dunque H = S. Peruna formula ancora mai usata

np = |Y | = Orb (S) +∑H 6=S

|S|Stab (H) ≡ 1 mod p

Per concludere è sufficiente osservare che se

Stab (H) � S

allora l’orbita corrispondente ha cardinalità divisibile

per p.

♣

Osservazione. np è l’indice del normalizzatore di un p-sylow

in G. Infatti, estendendo l’azione di coniugio a tutto il gruppo

np = |Orb (P ) | =|G|

|Stab (P ) | =|G||N(P )| = [G : N(P )]

Teorema G.23. Ogni gruppo G abeliano finito è prodotto

diretto dei suoi p-sylow.

Dimostrazione. Usiamo la nozione additiva e sia G = pnm

come al solito. Per ogni divisore d dell’ordine del gruppo sia

Gd = kerψd = {g ∈ G | dg = 0}

Ci è sufficiente mostrare che

G ∼= Gpn ×Gm

Osserviamo innanzitutto che Gpn è un p-sylow. Dev’esse-

re un p-gruppo perché se |Gpn | fosse divisibile per un primoq, allora per il Teorema di Cauchy G.6 conterrebbe almeno

un elemento di ordine q, contro la sua definizione. A questo

punto, dovendo contenere l’unico p-sylow di G (il coniugio è

banale negli abeliani) non può che esserlo. Verifichiamo che

1. I due sottogruppi sono normali in G, perché è abeliano.

11


2. La loro intersezione è banale, perché tutti gli elementi

del p-sylow hanno ordine divisibile per un primo che

non divide l’ordine m dell’altro sottogruppo.

3. La loro somma è G. Infatti per Bezout esistono interi

a, b tali che

apn + bm = 1

che moltiplicato per un qualunque elemento di g ∈ Gdiventa

a(gpn) + b(gm) = g

Osserviamo che gpn ∈ Gm, poiché

m(gpn) = (mpn)g = |G|g = 0

Analogamente gm ∈ Gpn e pertanto la somma dei duesottogruppi contiene G.

♣

Esercizi.

1. Chi è il 2-sylow di S4?

2. Chi sono i gruppi di ordine 12?

G.8.1 Classificazione dei gruppi di ordine 12

Quanti possono essere i p-sylow? I 3-sylow sono necessaria-

mente di ordine 3, pertanto ciclici, e possono essere n3 = 1 o

4. I 2-sylow sono di ordine 4, quindi isomorfi a Z2 × Z2 o Z4,e sono n2 = 1 o 3. Se P3 non è normale, allora ne ho 4 copie

con intersezione banale e rimane spazio solo per un P2, che

sarà normale.

Quindi almeno uno tra un 2-sylow e un 3-sylow sarà norma-

le. Inoltre devono avere intersezione banale e il loro prodotto

ha necessariamente cardinalità 12. Quindi G è un prodot-

to semidiretto tra un sylow e l’altro. Analizziamo le varie

possibilità

I Z4 oϕ Z3. Abbiamo

ϕ : Z3 → Aut (Z4) ∼= Z2

che è necessariamente banale. Otteniamo

G ∼= Z4 × Z3

I Z2 × Z2 oϕ Z3. Abbiamo

ϕ : Z3 → Aut (Z2 × Z2) ∼= S3

la cui immagine dev’essere un sottogruppo di A3.Otteniamo l’automorfismo banale, da cui

G ∼= Z2 × Z2 × Z3

e quelli associati a σ = (1 2 3) e σ2 = (1 3 2 ), che voglia-

mo mostrare indurre lo stesso prodotto. Infatti, scelto

un ϕ non banale, possiamo far agire G sull’insieme dei

suoi 3-sylow per coniugio: sia

Φ: G→ S(3-sylow di G) ∼= S4g 7→ ϕg : H 7→ gHg−1

Osserviamo che N(P3) = P3, per la formula delle classi.

Allora

ker Φ =⋂Stab (H) =

⋂N(H) =

⋂H = {e}

dunque Φ è iniettivo e mappa G in un sottogruppo

di ordine 12 di S4. Ma l’unico sottogruppo di que-sta dimensione è A4, quindi entrambi i gruppi gene-rati dal prodotto non diretto sono isomorfi a questo

sottogruppo.

G ∼= A4

I Z3 oϕ Z4. Abbiamo

ϕ : Z4 → Aut (Z3) ∼= Z2

che può essere solo ±id. Il caso banale ci restituisce unprodotto diretto, già considerato, l’altro è un gruppo

buffo

G ∼= Z3 o−id Z4

I Z3 oϕ Z2 × Z2. Abbiamo

ϕ : Z2 × Z2 → Aut (Z3) ∼= Z2

e abbiamo, oltre all’omomorfismo banale, 3 modi di pro-

iettare Z2×Z2 su un suo fattore. A meno di isomorfismidi Z2×Z2, Z3 commuta con uno dei fattori e agisce con−id sull’altro quindi

G ∼= Z3 × Z2 o−id Z2 ∼= D6

12


G.9 Automorfismi di un gruppo buffo

Vogliamo scoprire chi è Aut (Q8 ×D4). Per far questo, pos-siamo scomporre un qualunque automorfismo ϕ nelle sue

restrizioni ai due termini del prodotto e proiettarli sulle

due componenti. Il seguente diagramma magico è molto

esplicativo

Q8 Q8

G G

D4 D4

ϕ ΠQ

ΠD

Dunque possiamo scomporre l’automorfismo nei quattro

omomorfismi

ϕ =

(α βγ δ

)dove

α : Q8 → Q8 β : D4 → Q8γ : Q8 → D4 δ : D4 → D4

Iniziamo ad analizzare i possibili omomorfismi.

β. Consideriamo le possibili immagini per dimensione, tra

i sottogruppi dei quaternioni:

{e}. [X] Ovviamente abbiamo un omomorfismo banale.Z2. [X] Il nucleo dev’essere un sottogruppo di indice

2 e il diedrale ne ha tre: 〈ρ〉, 〈ρ2, σ〉, 〈ρ2, σρ〉.Z4. L’unico sottogruppo di indice 4 del diedrale è〈ρ〉 ∼= Z4 ed è il nucleo di un omomorfismo cheuccide i termini di ordine 4.

Q8. Non è possibile, sarebbe un isomorfismo!

Tutti questi omomorfismi preservano necessariamente

i centralizzatori, perché l’unico sottogruppo dei qua-

ternioni di ordine 2 è il centro. Dunque sembrano

accettabili tutti gli omomorfismi

β : D4 → Z(Q8)

γ. Consideriamo le possibili immagini, per dimensione:

{e}. [X] Ovviamente abbiamo un omomorfismo banale.Z2. [X] Il nucleo dev’essere un sottogruppo di indice

2 e i quaternioni ne hanno tre: 〈i〉, 〈j〉, 〈k〉.Z4. L’unico sottogruppo di indice 4 dei quaternioni è{±1} ed è il nucleo di un omomorfismo che uccidei termini di ordine 4.

Z2 × Z2. Possiamo mandare i quaternioni in (Z2)3 usandoi tre omomorfismi con immagine Z2, questo omo-morfismo non sarà suriettivo, altrimenti sarebbe

un isomorfismo, e ha almeno 4 elementi nell’im-

magine, visto che gli omomorfismi di sopra so-

no distinti. Quindi, permutando le componenti

opportunamente, otteniamo 6 omomorfismi.

D4. Non è possibile, sarebbe un isomorfismo!

possiamo però escludere alcuni omomorfismi os-

servando che l’automorfismo ϕ deve preservare i

centralizzatori. Infatti osservando il magico diagramma

Q8 ↪→ Q8 ×D4 → Q8 ×D4i 7→ (i, e) 7→ (α(i), γ(i))

scopriamo che Z(i, e) ∼= Z4×D4. Possiamo ora cercaredi capire cosa dovrebbe essere Z(α(i)) × Z(γ(i)), peresempio elencando i possibili prodotti di sottogruppi di

ordine 32

Q8 × (Z2)2. Che però ha solo 25 elementi di ordine 2.Q8 × Z4. Che ha sol 11 elementi di ordine 2.

Z4 × (Z2)2. Che però è abeliano.Z4 × Z4. Che è abeliano.Z4 ×D4. [X] Che sicuramente è il gruppo che cerchiamo.

quindi necessariamente il centralizzatore di Z(γ(i)) ∼=D4 e pertanto γ(i) è un elemento del centro di D4,

che ha solo due elementi. Quindi gli omomorfismi γ

accettabili sono solo quello banale e i tre che hanno im-

magine in Z2. Dunque sembrano accettabili tutti gliomomorfismi

γ : Q8 → Z(D4)

α. Dev’essere un isomorfismo. Se non fosse un isomorfismo

l’immagine non potrebbe avere dimensione 4, perché

come già visto i sottogruppi di indice adatto eliminano

gli elementi di ordine 4, e non potrebbe avere dimen-

sione più piccola, perché altrimenti il primo termine

dell’immagine di ϕ apparterrebbe sempre al centro di

G.

δ. Analogamente dev’essere un isomorfismo.

Mostriamo ora che le condizioni trovate sono sufficienti. Ci

basta mostrare che ϕ, costruito con le componenti sopra tro-

vate, è iniettivo. Supponiamo di aver trovato (x, y) ∈ G taleche

ϕ(x, y) = (α(x)β(y), γ(x)δ(y)) = (e, e)

Visto che β(y) e γ(x) stanno nei centri dei rispettivi insiemi,

anche α(x) e δ(y), che sono i loro inversi, vi staranno. Ma α e

δ sono isomorfismi, pertanto anche x, y staranno nei centri dei

loro rispettivi gruppi! Ma β e γ contengono i centri nei loro

nuclei, quindi si annullano, cos̀ı come i rispettivi isomorfismi.

Cos̀ı x, y sono necessariamente l’elemento neutro del proprio

gruppo e kerϕ = {(e, e)}.

Conosciamo già Aut (D4), cerchiamo, per concludere, di ca-

pire chi sia Aut (Q8).

Ogni automorfismo α di Q8 deve mandare α(−x) = −α(x),quindi le coppie

(i,−i) (j,−j) (k,−k)

non vengono scisse, ma solo permutate fra loro. Possiamo

quindi far agire Aut (Q8) sull’insieme di queste tre coppie,

costruendo cos̀ı un omomorfismo

ξ : Aut (Q8)→ S3

Il nucleo di ξ è costituito dagli automorfismi che non scambia-

no nessuna coppia, dunque quello identico e i tre che cambiano

segni a due delle coppie, ed è dunque isomorfo a Z2 × Z2.Se consideriamo ora gli isomorfismi

S :

i 7→ jj 7→ ik 7→ k

T :

i 7→ jj 7→ kk 7→ i

questi generano un sottogruppo ”disgiunto” da Z2 × Z2isomorfo a S3, quindi

Aut (Q8) ∼= Z2 × Z2 oφ S3

Per una certa azione φ che rende il gruppo S4 (per ragionimagiche non dimostrate).

13


G.10 Teorema Fondamentale dei Gruppi Abeliani Finiti

Teorema G.24 (di Struttura dei Gruppi Abeliani Finiti).

Se G è un gruppo abeliano finito allora si decompone in modo

unico come prodotto diretto di gruppi ciclici

G ∼= Zn1 × · · · × Znscon n1 | · · · | ns.

Dimostrazione. Avendo già dimostrato che ogni gruppo abe-

liano finito si decompone nel prodotto dei suoi p-sylow ci è

sufficiente dimostrare la tesi per i p-gruppi. Dato gruppo abe-

liano G di ordine pn, ci basta mostrare che possiamo scriverlo

come prodotto diretto del generato da un suo elemento di

ordine massimo g e un altro sottogruppo K

G ∼= 〈g〉 ×K

cos̀ı da poter procedere per induzione.

Mostriamo questo risultato intermedio per induzione sull’or-

dine del p-gruppo G. Se |G| = p allora il gruppo è ciclico edè generato da g. Supponiamo ora la tesi vera per ogni k con

1 ≤ k < n e prendiamo g un elemento di ordine massimo,diciamo pm. Prendiamo ora un elemento h ∈ G che nonstia nel sottogruppo 〈g〉 e in modo che abbia ordine minimopossibile, se non esiste abbiamo G = 〈g〉 e abbiamo finito.

Vogliamo ora mostrare che

〈g〉 ∩ 〈h〉 = {e}

L’ordine di hp è ovviamente minore di quello di h, dunque

hp ∈ 〈g〉, ovvero esiste un intero r ∈ Z tale che

hp = gr

L’ordine di gr è al più pm−1:

(gr)pm−1

= (hp)pm−1

= e

pertanto non è un generatore di 〈g〉, dunque per un qualcheintero s abbiamo

hp = gr = gps

e succede che

(g−sh)p = g−sphp = e

esiste un elemento (ovvero g−sh) di ordine p che non appar-

tiene a 〈g〉! Quindi anche l’ordine di h è p e i due sottogruppidevono essere disgiunti.

Osserviamo ora che, detto H = 〈h〉, l’ordine di gH in G�H èlo stesso di g in G, in particolare è ancora massimo. Se fosse

più piccolo, sarebbe al più pm−1 e

H = (gH)pm−1

= gpm−1

H

e pertanto gpm−1

∈ H, assurdo. Per l’ipotesi induttive e ilteorema di corrispondenza

G�H ∼= 〈gH〉 ×K�H

per un certo sottogruppo H < K < G. Mostriamo che K è il

sottogruppo che cercavamo

I 〈g〉 ∩ K = {e}. Infatti se b stesse nell’intersezione,bH apparterrebbe all’intersezione 〈gH〉 ∩ K�H che èH, dunque b ∈ H.

I G = 〈g〉K. Per ragioni di cardinalità.L’unicità è noiosa e poco interessante e, pertanto, lasciata al

lettore.

♣

G.10.1 Classificazione dei Gruppi di Ordine 30

Tiriamo a caso qualche gruppo di quest’ordine

Z2 × Z3 × Z5 D15 D5 × Z3 D3 × Z5

questi sono distinti perché il primo è l’unico abeliano e i centri

di dei seguenti sono rispettivamente {e}, Z3, Z5. Sappiamoche

n5 ≡ 1 mod 5 e n5 | 6

per il Teorema di Sylow G.22 e perché n5 | |G| in quanto cardi-nalità dell’orbita dell’azione di coniugio, rispettivamente. E,

analogamente

n3 ≡ 1 mod 3 e n3 | 10

Allora, se P5 non è normale, ci sono sei 5-sylow, quindi 24

elementi di ordine 5. Tra i pochi elementi che rimangono

non ci stanno sicuramente dieci 3-sylow e pertanto P3 è nor-

male. Dunque almeno uno tra P5 e P3 è normale. Allo-

ra P3 e P5 commutano (perché uno dei due è contenuto nel

normalizzatore dell’altro), dunque

P3P5 < G

e avendo indice 2 è normale, nonché ciclico.

Abbiamo allora che

G ∼= Z15 oϕ Z2

per una qualche azione di coniugio

ϕ : Z2 → Aut (Z15) ∼= Z×5 × Z×3

y 7→ ϕy : x 7→ yxy−1 = xa

sapendo che ϕ2y(x) = xa2 = x, dobbiamo avere che

a2 ≡ 1 mod 15

e risolvendo il sistema di diofantee troviamo

a = ±1, ±4 mod 15

e ognuna di questa azioni induce un prodotto semidiretto

isomorfo a uno dei gruppi trovati all’inizio. In particolare

a = 1 è l’automorfismo identico, che induce il prodotto diret-

to, che restituisce il gruppo abeliano, mentre a = −1 sappia-mo già essere l’omomorfismo che genera il gruppo diedrale.

Per a = 4 troviamo l’automorfismo che fissa Z3, per a = −4quello che fissa Z5, in entrambi i casi uno dei fattori a sinistradel prodotto semidiretto commuta anche col fattore di destra,

siamo cos̀ı autorizzati a raccoglierlo all’esterno per ottenere,

rispettivamente, D5 × Z3 e D3 × Z5.

14


G.11 Lemmi vari ed esercizi sparsi

Lemma G.25 (del piccolo indice primo). Siano G un grup-

po finito e H un sottogruppo che ha come indice il più piccolo

primo p che divide G, allora H �G.

Dimostrazione. Consideriamo l’azione di G sull’insieme X dei

laterali di H per moltiplicazione a sinistra

Φ: G→ Spg 7→ Πg : xH 7→ gxH

Osserviamo che

g ∈ Stab (xH)⇔ gxH = xH⇔ x−1gx ∈ H⇔ g ∈ xHx−1

dunque Stab (xH) = xHx−1 è il sottogruppo coniugato di Hrispetto ad x. Possiamo ora riscrivere il nucleo come

ker Φ =⋂x∈G

xHx−1 < H

e osservare che, per il Primo Teorema di Omomorfismo

Φ′ : G�ker Φ→ Sp

è iniettivo e pertanto∣∣∣G�ker Φ∣∣∣ | |Sp| = p!ma p era il più piccolo primo a dividere |G|, quindi non poten-do ker Φ coincidere con tutto il gruppo, dovrà essere proprio

H. Il che conclude la dimostrazione. ♣

Lemma G.26. Sia G un gruppo di ordine 2kd, dove d è di-

spari, con il 2-sylow ciclico. Allora esiste un sottogruppo di

indice 2.

Dimostrazione. Il Teorema di Cayley ci fornisce l’immersione

seguente, per moltiplicazione sinistra

Φ: G ↪→ S2dg 7→ ϕg : x 7→ gx

Dato un elemento g, conosciamo la decomposizione in cicli di

ϕg, questa dev’essere prodotto di cicli del tipo

(x gx · · · gm−1x)

al variare di x in un opportuno sistema di rappresentanti e

dove m è l’ordine di g. Esiste un elemento di ordine 2k, che

avrà dunque come immagine il prodotto di d 2k-cicli, visto

che la moltiplicazione sinistra è un’azione transitiva. Pertanto

G ≮ A2d e quindi

[G : G ∩ A2d] = 2

♣

Lemma G.27. Sia G un gruppo semplice e finito. Se

esiste un sottogruppo H < G di indice n, allora esiste

un’immersione di G in An.

Dimostrazione. Facendo agire G per moltiplicazione sinistra

sull’insieme degli n laterali di H otteniamo un omomorfismo

Φ: G→ Anil cui nucleo dev’essere però banale, per non contraddire la

normalità di G. Ovviamente l’omomorfismo non è banale,

dunque Φ è un’immersione. ♣

Osservazione. Sia G un gruppo abeliano. Sia

ψn : G→ Gx 7→ xn

preso un qualunque automorfismo ϕ ∈ Aut (G) il seguentediagramma è commutativo

G G

G G

ψn

ϕ ϕ

ψn

quindi kerψn e ψn(G) sono caratteristici in G.

Esercizi.

1. Trova Aut (Z× Zn).

2. Trova Aut (Z2 × Z4 × Z4).

3. Trova Aut (Q8 ×D4).

4. Sia G un gruppo abeliano finito. Se H � G è ciclico elo è anche il loro quoziente, allora anche G è ciclico.

5. Dati

H �K �G

quali inclusioni devono essere caratteristiche per far si

che H sia normale o caratteristico in G?

6. Sia G un gruppo finito. Se esiste un sottogruppo H < G

di indice n, allora esiste un sottogruppo normale N�Gdi indice divisore di n!.

7. Un gruppo di ordine 112 non è semplice.

8. Un gruppo di ordine 144 non è semplice.

9. Quanti sono i p-sylow di GLn(Fp)?

10. Dato un gruppo di ordine |G| = p3

(a) dimostrare che |Z(G)| = p.

(b) dimostrare che G′ = Z(G).

(c) contare il numero di classi di coniugio.

11. In un p-gruppo, il centro di uno stabilizzatore di un ele-

mento non nel centro è più grande del centro di tutto

il gruppo.

12. Z×n è ciclico se e solo se n = 2, 4, pn, 2pn.

15


A Anelli

A.1 Prime definizioni

Lavoreremo sempre in anelli commutativi con unità.

Definizione (Divisori di 0). Un elemento di un anello x ∈ Asi dice divisore di zero quando

∃y ∈ A tale che yx = 0.

Un anello A si dice dominio d’integrità quando non ci sono

divisori di zero non-nulli:

D := {divisori di zero} = {0}.

Definizione (Nilpotenza). Un elemento di un anello x ∈ Asi dice nilpotente quando

∃n ∈ N tale che xn = 0

Un anello A si dice ridotto quando l’unico elemento nilpotente

è 0

N := {nilpotenti} = {0}

Lemma A.1 (Prime proprietà). Valgono:

1. A× è un gruppo moltiplicativo.

2. A× ∩ D = φ.

3. Se A è finito A = A× t D.

Osservazione. Un dominio d’integrità finito è un campo.

A.1.1 Anelli di polinomi

Dato un anello A, consideriamo il corrispondente anello dei

polinomi a coefficienti in A:

A[x ] = {a0 + · · ·+ nxn | ak ∈ A}

Quali sono gli elementi nilpotenti di A[x ] ?

Prendiamo un polinomio nilpotente

f = a0 + · · ·+ anxn

e osserviamo che il termine di grado maggiore in fk è aknxnk.

Quindi, affinché f sia nilpotente, an dev’essere nilpotente in

A e pertanto anxn sarà nilpotente in A[x ]. Osserviamo che

la somma di elementi nilpotenti è nilpotente:

an = 0, bm = 0 ⇒ (a+ b)n+m = 0

per concludere che anche f − anxn sarà nilpotente, e quindi,iterando

f ∈ N (A[x ]) ⇔ a0, . . . , an ∈ N (A)

La freccia inversa è banale: elevando il polinomio a una po-

tenza sufficientemente alta, otteniamo prodotti di potenze

dei coefficienti tali che in ogni prodotto compare almeno un

coefficiente con potenza maggiore del suo indice di nilpotenza.

Quali sono gli elementi invertibili di A[x ] ?

Procediamo come prima, prendendo un polinomio invertibile

f = a0 + · · ·+ anxn

e il suo inverso

g = b0 + · · ·+ bmxm tale che fg = 1

e osserviamo le relazioni tra i coefficienti di fg e quelli dei

fattori:

1 = a0b0

0 = a0b1 + a1b0

...

0 = anbm−2 + an−1bm−1 + an−2bm

0 = anbm−1 + an−1bm

0 = anbm

Innanzitutto, a0 e b0 sono invertibili. Moltiplicando la

penultima relazione per an otteniamo

0 = a2nbm−1 + anan−1bm = a2nbm−1

moltiplicando la terzultima per a2n

0 = a3nbm−2

e iterando

0 = am+1n b0

ma b0 è invertibile, quindi non può essere un divisore di zero,

pertanto am+1n = 0. Procedendo come prima

f ∈ A[x ]× ⇔ a0 ∈ A× e f − a0 ∈ N (A[x ])

Per la freccia inversa scriviamo

f = a0 + g con a0 ∈ A× e g ∈ N (A[x ])

e consideriamo i polinomi

hm(x) = a2m0 − a2m−10 g + a

2m−20 g

2 + · · ·+ g2m

che moltiplicati per f restituiscono

fhm = a2m+10 + g

2m+1

scelto m maggiore dell’indice di nilpotenza di g, abbiamo che

a−(2m+1)0 fhm = 1

Quali sono i divisori di zero in A[x ] ?

Prendiamo un polinomio divisore di zero

f = a0 + · · ·+ anxn

e un polinomio

g = b0 + · · ·+ bmxm tale che fg = 0

di grado minimo possibile. Consideriamo, al variare di

0 ≤ k ≤ n, i prodotti akg. Se questi non sono tutti nulli,consideriamo il più grande k tale che

akg 6= 0

Allora

0 = fg = (a0 + . . . akxk)(b0 + · · ·+ bmxm)

osserviamo che il coefficienti del termine di grado massimo è

akbm = 0

e quindi

f · (akg) = 0ma deg akg < deg g, quindi dobbiamo avere necessariamente

che akg = 0 ∀k, quindi

f ∈ D(A[x ]) ⇔ ∃b 6= 0 ∈ A | bak = 0 ∀k

16


A.2 Ideali

Definizione (ideale). Chiamiamo ideale un sottogruppo

additivo I ⊆ A che assorbe per moltiplicazione.

Osservazione. Abbiamo una bella caratterizzazione degli

ideali propri

I ( A ⇔ I ∩A× = φ ⇔ 1 /∈ I

(è quasi completamente ovvia guardando la contronominale)

Osservazione. Un campo K ha solo ideali banali.

Definizione (Omomorfismo). Una funzione tra due anelli A

e B è detta omomorfismo di anelli se

1. è omomorfismo dei rispettivi gruppi additivi.

2. f(ab) = f(a)f(b)

3. f(1A) = f(1B)

Gli ideali di un anello rivestono il ruolo che ricoprivano i sot-

togruppi normali per i gruppi: sono l’oggetto per cui si può

quozientare senza perdere la struttura algebrica, in questo ca-

so quella di anello. Riusciamo dunque ad estendere i teoremi di

omomorfismo, nonché i loro corollari, alla teoria degli anelli: nel-

la seguente dimosrazione riusciamo ad appoggiarci alla versione

per gruppi ”dimenticandoci” la struttura moltiplicativa.

Teorema A.2 (di omomorfismo). Dato un omomorfismo di

anelli f e un ideale I ⊆ ker f , esiste ed è unico l’omomorfismof̄ che fa commutare il seguente diagramma

A B

A�I

f

πf̄

Dimostrazione. Come per l’analogo teorema sui gruppi,

consideriamo la mappa

f̄ : A�I → Ba+ I 7→ f(a)

e verifichiamo che è ben definita e un omomorfismo. ♣

Osservazione. Gli ideali sono tutti e soli i nuclei di omorfismi.

Lemma A.3. Dato un omomorfismo f : A→ B

I La controimmagine f−1(J) di un ideale J ⊆ B è unideale di A.

I L’immagine f(I) di un ideale I ⊆ A è un ideale di B,se f è suriettiva.

Dimostrazione. Preso J ⊆ B, osserviamo che la suacontroimmagine f−1(J) assorbe per prodotto

f(af−1(J)) = f(a)J ⊆ J ⇒ af−1(J) ⊆ f−1(J)

ed è additivamente chiusa

f(i+ j) = f(i) + f(j) ∈ J ∀i, j ∈ f−1(J)

Assumendo f suriettiva, per ogni b ∈ B peschiamo unelemento a della controimmagine, allora

f(aI) = f(a)f(I) = bf(I) ⊆ f(I)

e la chiusura additiva è analoga. ♣

Teorema A.4 (di corrispondenza). Ogni proiezione

Π : A→ A�I

induce una relazione biunivoca tra gli ideali del quoziente e gli

ideali di A che contengono I

{ideali di A�I} ↔ {ideali di A che contengono I}

che preserva:

I l’ordinamento indotto dall’inclusione.

I l’indice.

I primalità e massimalità.

Dimostrazione. La controimmagine di un ideale del quozien-

te, per il lemma precedente (A.3), è ancora un ideale. Inoltre,

essendo un ideale, contiene lo 0, dunque la sua controimmagi-

ne contiene ker f = I. Osserviamo ora che, essendo la proie-

zione una mappa suriettiva, l’immagine di ogni ideale è ancora

un ideale! Pertanto è sufficiente mostrare che ideali diversi,

contenenti I, vengono mandati dalla proiezione in ideali di-

versi: difatti i rispettivi gruppi additivi vengono mandati, per

l’analogo teorema sui gruppi, in gruppi distinti. ♣

A.2.1 Operazioni tra Ideali

Dati due ideali I e J possiamo definirne la somma

I + J = {i+ j | i ∈ I, j ∈ J}.

Il prodotto è un poco più delicato da definire: prendere sempli-

cemente i prodotti di coppie di elementi non basta a garantirci

di ottenere un ideale, lo definiamo dunque come il più piccolo

ideale che li contiene tutti

IJ ={∑

rkikjk | ik ∈ I, jk ∈ J}.

Il radicale di un ideale è l’insieme√I = {a ∈ A | ∃n t.c. an ∈ I},

questa volta è tutto il contrario: non sembra, ma questo

insieme è già un ideale. L’ultima operazione cade sotto lo

svenutrato nome di quoziente

(I : J) = {a ∈ A | aJ ⊆ I}.

Osservazione. Vale sempre che

IJ ⊆ I ∩ J

c’è uguaglianza in caso di comassimalità

I + J = A ⇒ IJ = I ∩ J

Dimostrazione. Dato l’assorbimento per moltiplicazione

IJ ⊆ J, JI ⊆ I ⇒ IJ ⊆ I ∩ J

Se I, J sono comassimali, allora

I + J = A ⇒ ∃i ∈ I, j ∈ J tali che i+ j = 1

e per ogni elemento x ∈ I ∩ J si ha che

x = xi+ xj ∈ IJ

perché entrambi gli addendi appartengono a IJ . ♣

Teorema A.5 (cinese degli anelli). Dati due ideali I, J ⊆ Acomassimali, si ha che

A�IJ ∼=A�I ×

A�J

17


Dimostrazione. La mappa

f : A→ A�I ×A�J

a 7→ (a+ I, a+ J)

è un omomorfismo di nucleo

ker f = I ∩ J.

Mostriamo ora che f è suriettivo se e solo se I + J = A: se f

è suriettivo, prendiamo un elemento a nella controimmagine

di (1 + I, J), ossia un elemento tale che a − 1 ∈ I e a ∈ J .Questo buffo elemento ci permette di costruire l’unità:

1 = a+ (1− a) ∈ I + J.

Se invece 1 ∈ I + J , allora esistono due elementi i, j tali che

1 = i+ j

e scelta una qualunque coppia (x+ I, y + J), abbiamo che

y + j(x− y) = xj + yi = x+ i(y − x)

Dunque, se I + J = A, abbiamo ker f = I ∩ J = IJ perl’osservazione di sopra. ♣

Definizione (ideale primo). Un ideale I ⊆ A si dice primoquando soddisfa

∀x, y ∈ A xy ∈ I ⇒ x ∈ I o y ∈ I.

Definizione (ideale massimale). Un ideale I ⊆ A si dicemassimale, se è massimale rispetto all’inclusione tra gli ideali

propri di A.

Teorema A.6. Dato un ideale I ⊆ A, valgono le seguentirelazioni con il rispettivo anello quoziente:

I è primo ⇔ A�I è un dominio

I è massimale ⇔ A�I è un campo

Dimostrazione. Per la prima proposizione, osserviamo che

xy ∈ I ⇔ π(xy) = 0 ⇔ π(x)π(y) = 0

allora

π(x)π(y) = 0 ⇔ π(x) = 0 o π(y) = 0

che è equivalente a

xy ∈ I ⇔ x ∈ I o y ∈ I

Per la seconda, ci basta invocare il teorema di corrispondenza

e ricordare che un anello è anche un campo se e solo se ha

solo ideali banali. ♣

Osservazione. A è un dominio se e solo se l’ideale {0} è primo,è un campo se e solo se l’ideale {0} è massimale.

Osservazione. Un ideale massimale è anche primo, perché

ogni campo è anche un dominio.

I massimale A�I campo

I primo A�I dominio

Lemma A.7 (del massimale). Ogni ideale proprio è

contenuto in un ideale massimale.

Dimostrazione. Prendiamo un ideale proprio I e consideriamo

l’insieme di tutti gli ideali propri che lo contengono

M = {J ⊆ A ideale proprio | I ⊆ J}

Questa famiglia non è vuota, visto che I ∈ M, e ogni catenaC di ideali ha

X =⋃C

come massimale: X è un ideale perché possiamo testare som-

me e prodotti tra due elementi nel primo ideale in C che

contiene gli elementi in questione, è un ideale proprio perché

se 1 ∈ X, allora già sarebbe appartenuto a un ideale di C. Latesi segue dal Lemma di Zorn. ♣

A.2.2 Prodotto diretto tra anelli

Il prodotto cartesiano tra due anelli A×B, con le operazioniovvie, è ancora un anello. Inoltre, se ne nessuno dei due è

banale, il prodotto non è un dominio

(1, 0)(0, 1) = (0, 0).

I nilpotenti e gli invertibili nel prodotto sono prodotto dei

rispettivi sottoinsiemi:

NA×B = NA ×NB , (A×B)× = A× ×B×.

Lemma A.8 (Fatto Piacevole). Gli ideali del prodotto sono

tutti e soli i prodotti di ideali dei fattori.

Dimostrazione. Prendiamo I ideale di A×B e consideriamole proiezioni sulle componenti πA e πB . Queste sono omo-

morfismi suriettivi, quindi πA(I) è un ideale di A e πB(I) è

un ideale di B. Basta ora far vedere che πA(I) × πB(I) ⊆ I(l’inclusione opposta è un fatto puramente insiemistico): vo-

gliamo dunque mostrare che presi due elementi qualunque

(a, y), (x, b) ∈ I, anche (a, b) appartiene all’ideale:

(1, 0)(a, y) = (a, 0) ∈ I

perché l’ideale assorbe per moltiplicazione, analogamente

(0, b) ∈ I, pertanto

(a, b) = (a, 0) + (0, b) ∈ I.

♣

A.2.3 Estensione e Contrazione di Ideali

Dati due anelli, ognuno col proprio ideale I ⊆ A e J ⊆ B, eun omomorfismo f tra i due

A B

I J

f

Tenendo a mente la proposizione A.3

Definizione. Chiamiamo ideale contratto Jc la sua

controimmagine

Jc = f−1(J)

Definizione. Chiamiamo ideale esteso Ie il generato dalla

sua immagine

Ie = (f(I))

18


Poiché possiamo spezzare la mappa f passando per il

quoziente

A B

A�ker f

f

πϕ

e il comportamento degli ideali attraverso la proiezione π è

completamente determinato dal Teorema di Corrispondenza

(A.4), possiamo limitarci a studiare cosa succede attraverso

l’omomorfismo ϕ, che, essendo iniettivo, possiamo confondere

con l’omomorfismo di inclusione. Prendiamo quindi A ⊆ B,abbiamo

1. Jc = J ∩A

2. Ie = (I)

Lemma A.9. La contrazione di un ideale primo è ancora un

ideale primo.

Dimostrazione. J è primo se e solo se B�J è un dominio.Consideriamo la mappa composizione

ϕ : A ↪→ B → B�J

questa è un omomorfismo di nucleo

kerϕ = J ∩A = Jc

Dunque per il primo teorema di omomorfismo esiste un

omomorfismo iniettivo

A�Jc ↪→B�J

e i sottoanelli di domini sono a loro volta domini. ♣

A.2.4 Fatti sul radicale

Definizione. Dato un ideale I ⊆ A, chiamo radicale l’insieme√I := {x ∈ A | xn ∈ I}

costituito da tutti gli elementi che, elevati a una qualche

potenza finita, cadono in I.

Osservazione. Il radicale√I è un ideale. Infatti è un

sottoinsieme additivamente chiuso

an ∈ I, bm ∈ I ⇒ (a+ b)n+m ∈ I

e assorbente per moltiplicazione

an ∈ I ⇒ (sa)n = snan ∈ sI = I

Inoltre, ovviamente, contiene l’ideale di partenza: I ⊆√I.

Osservazione.√IJ =

√I ∩ J =

√I ∩√J . Infatti grazie alla

banale implicazione

I ⊆ J ⇒√I ⊆√J,

otteniamo le prime due inclusioni della seguente catena

√IJ ⊆

√I ∩ J ⊆

√I ∩√J ⊆√IJ,

mentre otteniamo l’ultima osservando che

an ∈ I, bm ∈ J ⇒ (ab)m+n ∈ I ∩ J.

Da questo segue anche che√I = A se e solo se I = A.

Osservazione. Se P è un ideale primo, allora√P = P . In-

fatti se xn ∈ P , ho x = x · x · · ·x per n volte e almeno unodei fattori sta in P

Lemma A.10. L’ideale dei nilpotenti è intersezione di tutti

gli ideali primi di A

N =⋂P⊆A

P

Dimostrazione. Chiaramente se x è nilpotente xn ∈ P perogni ideale primo P .

Mostriamo che, viceversa, se x appartiene a tutti gli ideali

primi allora è nilpotente. Ragioniamo per assurdo: fissato x

nell’intersezione, assumiamo

xn 6= 0 ∀n ∈ N

Consideriamo la famiglia di ideali

F = {I ⊆ A | xn /∈ I ∀n ∈ N}

Osserviamo che per ipotesi 0 ∈ F , quindi la famiglia non èvuota. Inoltre è induttiva! (L’unione di una catena di ideali è

un ideale e la proprietà di famiglia si conserva). Dunque, per

il Lemma di Zorn, abbiamo un ideale P massimale in F .Mostriamo che P deve essere primo, giungendo all’assurdo.

Preso ab ∈ P se uno degli ideali

P + (a) P + (b)

appartenesse alla famiglia F , allora sarebbe sottoinsieme diP (e dunque a ∈ P ). Se nessuno dei due appartenesse allafamiglia, allora

xn ∈ P + (a) xm ∈ P + (b)

ma

xn+m ∈ (P + (a))(P + (b)) ⊆ P

che dunque dev’essere primo. ♣

Teorema A.11. Ogni radicale è l’intersezione di tutti i primi

contenenti l’ideale di partenza

√I =

⋂I⊆P

P

Dimostrazione. Il radicale√I è costituito dai nilpoten-

ti del quoziente A�I, la tesi segue dal teorema dicorrispondenza. ♣

19


A.3 Dominii

A.3.1 Campo dei quozienti. Q(A)

Definizione. Un insieme S di elementi di un dominio A è

detto parte moltiplicativa se

1. è moltiplicativamente chiuso

2. 1 ∈ S

3. 0 /∈ S

Osservazione. A è dominio se e sole se A − {0} è partemoltiplicativa.

Costruiamo il campo dei quozienti del dominio A come il

quoziente di A× (A \ {0}) per la relazione di equivalenza

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc

Denotiamo questo insieme con Q(A). Indichiamo i suoi ele-menti come a

be definiamo la somma e il prodotto in modo

chea

b+c

d=ad+ bc

bd

a

b· cd

=ac

bd

Osservazione. (Q(A), +, · ) sopra definito è un campo e

q : A ↪→ Q(A)

a 7→ a1

è omomorfismo iniettivo.

Teorema A.12. (Q(A), +, · ) è il più piccolo campo in cuipossiamo immergere A. Nel senso che l’immersione di A in

un campo K si estende all’immersione di Q(A) in K.

A K

Q(A)

ϕ

qϕ̄

Dimostrazione. L’estensione è naturale

ϕ̄ :a

b7→ ϕ(a)ϕ(b)−1

Una volta verificato che è un omomorfismo, questo dev’essere

necessariamente iniettivo perché Q(A) è un campo, pertantoha solo ideali banali. ♣

A.3.2 Divisibilità.

In modo naturale, diciamo che a | b se esiste c tale che b = ac.E’ immediato tradurre la relazione di divisibilità in termini di

ideali generati, infatti

a | b ⇔ (b) ⊆ (a)

Definizione. Diciamo che due elementi a, a′ ∈ A sonoassociati quando si dividono vincendevolmente

(a) = (a′) ⇔ a′ = au per u ∈ A×

lo indicheremo con a ∼ a′.

Possiamo definire il mcd tra due elementi a, b come quegli

elementi d tali che

1. d | a e d | b.

2. Se c | a e c | b, allora c | d.

è immediato osservare che gli mcd di una coppia sono

associati.

Definizione (Primo). Diciamo che un elemento non in-

vertibile e non nullo x ∈ A \ (A× ∪ {0}) è primose

x | ab ⇒ x | a o x | b

Definizione (Irriducibile). Diciamo che un elemento non

invertibile e non nullo x ∈ A \ (A× ∪ {0}) è irriducibile se

x = ab ⇒ a ∈ A× o b ∈ A×

I seguenti risultati sono semplicemente la traduzione delle

ultime definizioni nel linguaggio degli ideali:

Teorema A.13. Un elemento x è primo se e solo se l’ideale

da lui generato (x) è primo e non banale.

x è primo ⇔ (x) è primo 6= {0}

Un elemento x è massimale se e solo se l’ideale da lui generato

(x) è massimale tra i principali.

x è irriducibile ⇔ (x) è massimale tra i principali

Teorema A.14. Ogni elemento primo è anche irriducibile.

x è primo ⇒ x è irriducibile

Riassumiamo in uno schemino tutte le relazioni legate alla

divisibilità:

(x) massimale

(x) primo

(x) max. tra princ. x irr.

x primo

ufd

pid

20


A.4 Dominii Speciali

Diamo un po’ di definizioni insieme

Definizione. Ci piacciono i seguenti domini speciali:

(ufd): Ogni elemento non nullo e non invertibile si scrive in

modo unico come prodotto di irriducibili.

(pid): Tutti gli ideali sono principali.

(ed): Esiste una funzione grado

d : A \ {0} → N

tale che

1. d(a) ≤ d(ab) su tutti i valori in cui è definita.

2. Presi comunque due elementi a, b con b 6= 0esistono q, r tali che

a = qb+ r

e tali che d(r) < d(b) oppure r = 0.

Teorema A.15. Vale la seguente catena di implicazioni

(ed)⇒ (pid)⇒ (ufd)

Dimostrazione. Segue dai lemmi A.17 e A.20. ♣

Esempi e Controesempi.

1. Z con la funzione | · | è un dominio euclideo.

2. K[x ] con la funzione deg( · ) è un dominio euclideo.

3. Z[ i ] con la norma N(x) = xx̄ è un dominio euclideo.

4. K[[x ]] con la funzione deg(f) = min{n ∈ N | an 6= 0} èun dominio euclideo.

5. Z[x ] è ufd ma non è pid.

6. Z[

1 +√−19

2

]è pid ma non ed.

A.4.1 Dominio Euclideo

Lemma A.16. Gli elementi invertibili sono tutti e soli quelli

di grado minimo.

Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che ha senso par-

lare di grado minimo, poiché l’immagine del grado è un

sottoinsieme non vuoto dei naturali.

Se x è invertibile, per ogni a ∈ A non nullo

d(x) ≤ d(x · ax−1) = d(a).

Viceversa, sia x un elemento di grado minimo e a un elemento

qualunque. Abbiamo che

a = qx+ r

e, escludendo d(r) < d(x), dobbiamo avere che r = 0. Quindi

x divide ogni elemento ed è pertanto invertibile. ♣

MCD. Esiste il mcd e lo possiamo calcolare con l’algoritmo

di Euclide.

Lemma A.17. Abbiamo che ed⇒ pid.

Dimostrazione. Prendiamo un ideale I di un ed e sia x il suo

elemento di grado minimo. Vogliamo dimostrare che

I = (x)

per assurdo. Supponiamo che esista y ∈ I tale che

y = qx+ r

con r 6= 0, abbiamo allora necessariamente che d(r) < d(x).Purtroppo però

r = y − qx ∈ Icontraddice la minimalità di x. ♣

A.4.2 Dominio a Ideali Principali

MCD. Il mcd(a, b) esiste: è il generatore dell’ideale

(a, b) = (d)

Teorema A.18. Gli ideali primi sono anche massimali.

Dimostrazione.

(x) primo ⇒ x è un elemento primo (A.13)⇒ x è irriducibile (A.14)⇒ (x) è massiamale tra gli ideali primi (A.13)⇒ (x) è massimale (pid)

♣

Osservazione. Ripercorrendo la catena di implicazioni sopra,

ci si accorge che abbiamo mostrato anche l’equivalenza tra le

definizioni di elemento irriducibile e primo nei pid.

A.4.3 Dominio a Fattorizzazione Unica

MCD. Negli anelli ufd l’mcd(a, b) esiste, perché possiamo

caratterizzarlo attraverso la fattorizzazione, come sugli interi.

Però non è detto che appartenga all’ideale (a, b). Per esempio:

in Z[x ] abbiamo che (2, x) = 1 ma non esistono polinomi f, gtali che

1 = 2f + xg

infatti valutando l’espressione in 0 otteniamo 1 = 2f(0).

Teorema A.19 (Caratterizzazione degli ufd). Un dominio

A è ufd se e solo se valgono le seguenti condizioni

1. irriducibile ⇒ primo2. Ogni catena discendente di divisibilità è stazionaria.

Dimostrazione. Cominciamo con la freccia più interessante,

ovvero che ogni elemento di un anello con le suddette pro-

prietà ammette fattorizzazione unica.

La proprietà 2 ci garantisce l’esistenza della fattorizzazione.

Ragioniamo per assurdo: prendiamo x ∈ A\(A×∪{0}) e sup-poniamo che non ammetta fattorizzazione. Non può essere

irriducibile, altrimenti avremmo trovato una fattorizzazione,

pertanto si può scrivere come

x = y0z0 con y0, z0 /∈ A×

Però questa non può essere una fattorizzazione, pertanto uno

dei due non è né irriducibile né fattorizzabile, diciamo y0.

Allora lo possiamo scrivere come

y0 = y1z1

21


e trovandoci nelle stesse ipotesi di prima, possiamo iterare il

procedimento indefinitamente, ottenendo

· · · | y2 | y1 | y0

una catena discendente infinita e non stazionaria, assurdo.

La proprietà 1 ci garantisce l’unicità della fattorizzazione.

Procediamo per induzione forte sulla lunghezza minima lxdella fattorizzazione di un certo elemento x. Se lx = 1 e

p = x = q1 · · · qs

poiché p è irriducibile, tutti i qi tranne uno sono invertibili e

quello che si salva non può che essere associato a p. Suppo-

niamo ora che tutti gli elementi per cui lx < n abbiamo fatto-

rizzazione unica e prendiamo un elemento x tale che lx = n.

Allora prese

p1 · · · pn = x = q1 · · · qs

sappiamo che pn è irriducibile e quindi primo, dunque

pn | q1 · · · qs ⇒ wlog pn | qs

poiché anche qn è irriducibile e quindi primo, devono essere

associati. Pertanto dobbiamo avere che

p1 · · · pn−1 = x̃ = q1 · · · qs−1

ma le due fattorizzazione sono uguali per ipotesi induttiva,

poiché lx̃ ≤ n− 1 < n.

Viceversa, se A è ufd, presa una catena discendente di

divisibilità

· · · | a2 | a1 | a0

possiamo considerare gli insiemi An di tutti i fattori di anpresi con molteplicità e osservare che la catena discendente

· · · ⊆ A2 ⊆ A1 ⊆ A0

si stabilizza, perché le cardinalità corrispondenti formano

una catena discendente di interi. Inoltre, preso un elemento

irriducibile x, se

x | ab

un associato di x deve comparire nella fattorizzazione di al-

meno uno tra a e b, quindi x divide almeno uno dei due e

pertanto soddisfa la definizione di elemento primo. ♣

Lemma A.20. Segue che pid⇒ ufd.

Dimostrazione. La prima condizione l’abbiamo già mostra-

ta. Presa una catena discendente di divisibilità, possiamo

tradurla in una catena ascendente di ideali

(a0) ⊆ (a1) ⊆ (a2) ⊆ · · ·

Però l’ideale I =⋃

(ai) è generato da un elemento a, perché

tutti gli ideali sono principali. Ma per come è definito I, l’ele-

mento a già apparteneva a un certo (an), generando lui come

tutti i suoi successori. ♣

Esempi.

1. K[x,√x, 3√x, · · · ] non è ufd. Infatti

· · · | 8√x | 4√x | 2√x | x

è una catena discendente infinita di divisibilità.

2. Z[√−5] non è ufd. Infatti 2 è irriducibile ma non

primo. Se

2 = (a+ b√−5)(c+ d

√−5)

in norma abbiamo una contraddizione, mentre

(1 +√−5) · (1−

√−5) = 2 · 3

dunque

2 | (1 +√−5) · (1−

√−5)

ma

4 = N(2) - N(1±√−5) = 6

Definizione. Chiamiamo contenuto del polinomio f ∈ A[x ]l’mcd dei suoi coefficienti

c : A[x ]→ Aa0 + · · ·+ anxn 7→ mcd(a0, . . . , an)

Definizione. Chiamiamo primitivo un polinomio f con

contenuto unitario

c(f) = 1

Teorema A.21 (Lemma di Gauss). In ogni anello A[x ]:

1. Il prodotto di polinomi primitivi è primitivo.

2. La funzione contenuto è completamente moltiplicativa.

3. Se f ∈ A[x ] è riducibile in Q(A)[x ],è riducibile anche in A[x ].

Dimostrazione. Prendiamo due polinomi h, g ∈ A[x ] il cuiprodotto non è primitivo e mostriamo che almeno uno dei

due non è primitivo. Se hg non è primitivo, possiamo trovare

un primo π di A tale che

π | hg in A[x ]

e ridurci a ragionare nell’anello A�(π)[x ], dove

h̄ḡ = hg = 0

Dalle considerazioni fatte sui divisori di zero all’inizio del ca-

pitolo, segue che l’anello dei polinomi costruito su un dominio

è a sua volta un dominio, pertanto possiamo assumere, senza

perdita di generalità

h̄ = 0 ⇒ π | h ⇒ π | c(h)

da cui segue il primo punto.

Il secondo punto segue subito dal primo, separando ogni

polinomio f in parte primitiva e contenuto:

f = c(f)f̃

Supponendo f = hg nell’anello sui quozienti, possiamo

scrivere

g =a

bg̃, h =

c

dh̃ con a, b, c, d ∈ A e g̃, h̃ ∈ A[x ]

osservando che

ac · g̃h̃ = bd · fpossiamo ora dedurre l’uguaglianza tra i contenuti

ac = bd · c(f)

che ci permette di dividere il fattore di sinistra per bd senza

paura di uscire da A, ottenendo cos̀ı i due fattori richiesti:

c(f)h̃ e g̃.

♣

22


Teorema A.22. A è ufd ⇒ A[x ] è ufd

Dimostrazione. Vogliamo utilizzare la caratterizzazione dei

domini a fattorizzazione unica (A.19). Iniziamo verificando

che dato un polinomio f ∈ A[x] irriducibile, questo è ancheprimo. Ovviamente

c(f) | f ⇒ c(f) = f o c(f) = 1

Se c(f) = f , allora f ∈ A e necessariamente f dev’essereirriducibile in A. Se c(f) = 1, allora f è primitivo e deve

necessariamente essere essere irriducibile anche in Q(A)[x ],altrimenti potremmo riportare la decomposizione in A[x ] me-

diante il Lemma di Gauss. Essendo Q(A)[x ] un ed, f è ancheprimo, l̀ı dentro. L’ideale primo generato da f si contrae a un

ideale primo in A[x ], dunque f è primo anche nell’anello in

esame. Riassumendo:

f irriducibile in A[x ]⇒ f irriducibile in Q(A)[x ] (A.21)⇒ f primo in Q(A)[x ] (A.18)⇒ f primo in A[x ] (A.9)

Mostriamo ora che ogni catena discendente di divisibilità è

stazionaria. Prendiamo una sequenza di polinomi {fn} taleche

· · · | f3 | f2 | f1 | f0Possiamo decomporre ogni polinomio nel prodotto della parte

primitiva per il contenuto

f = c(f)f ′

e, osservando che la relazione di divisibilità è soddisfatta se e

solo se lo è per componenti

f | g ⇔ c(f) | c(g) e f ′ | g′,

ci riduciamo a contemplare due diverse catene discendenti di

divisibilità

· · · | c(f3) | c(f2) | c(f1) | c(f0)stazionaria perché A è ufd

· · · | f ′3 | f ′2 | f ′1 | f ′0

stazionaria perché Q(A)[x ] è ufd. ♣

Teorema A.23 (Criterio di Eisenstein). Dato f ∈ A[x]primitivo e p ∈ A primo, se

1. p - an.

2. p | ai per 0 ≤ i ≤ n− 1.

3. p2 - a0

allora f è irriducibile.

Dimostrazione. Ragioniamo per assurdo. Se il nostro

polinomio si decomponesse in

f = gh

guardando questa relazione in A�(p)[x ] scopriamo che

anxn = f̄ = hg = h̄ḡ

e dunque 0̄ = higj = higj per ogni i+j < n, da cui deduciamo

che sia h che g devono essere monomi; in particolare

p | h0 e p | g0 ⇒ p2 | h0g0 = a0

contraddice le ipotesi. ♣

Esempi.

1. In K[x ][ t ], l’elemento f = tn − x è irriducibile per ilcriterio di Eisenstein con p = x.

2. K[{xi}i∈N] non è Noetheriano

(x0) ( (x0, x1) ( (x0, x1, x2) ( . . .

ma è ufd. Infatti preso un polinomio f , questo è com-

posto da un numero finito di addendi di grado finito,

quindi è contenuto in K[x1, . . . , xm] per un qualche in-tero m, che è un ed. Qui dentro ammette fattorizzazio-

ne unica. Inoltre, nella fattorizzazione non compaiono

termini del tipo xk con k > m: se cos̀ı fosse, guardan-

doli come polinomi in xk, non sarebbero rispettate le

condizioni sulla funzione grado in K[x1, . . . , xk].

23


K Teoria dei Campi e di Galois

K.1 Richiami

Definizione. Data un’estensione di campi K ⊆ L (o ancheL�K), un elemento α ∈ L si dice algebrico su K quando

∃f ∈ K[x ] tale che f(α) = 0

Un elemento si dice trascendente se non è algebrico.

Definizione. Un’estensione di campi K ⊆ L si dice algebricaquando ogni elemento di L è algebrico su K

Definizione. L’indice di un’estensione

[L : K]

è la dimensione di L visto come K spazio vettoriale.

Definizione. Diciamo che un’estensione K ⊆ L è semplicese esiste un elemento α ∈ L tale che

L = K(α) =

{f(α)

g(α)| f, g ∈ K[x ] g(x) 6= 0

}Possiamo costruire l’estensione semplice a partire dall’anello

dei polinomi su K, applicandovi l’omomorfismo di valutazione

in α

ϕα : K[x ]→ K[α ] ⊆ Lf(x) 7→ f(α)

l’immagine K[α] è un sottoanello di un campo ed è quindi un

dominio, di cui possiamo costruire il campo dei quozienti

Q(K[α ]) = K(α)

Possiamo però mostrare che, se α è algebrico, questa opera-

zione non è necessaria. Infatti, il nucleo dell’omomorfismo di

valutazione è costituito da tutti quei polinomi che si annul-

lano in α, i quali costituiscono un ideale principale (perché

K[x ] è ed, dunque pid):

kerϕα = (µ(x))

Abbiamo già osservato che l’immagine è un dominio, dunque

(µ(x)) è un’ideale primo (A.6). Abbiamo

K[α ] ∼=K[x ]

(µ(x))

Ma, poiché ci troviamo in un pid, (µ(x)) è anche un ideale

massimale (A.18) e dunque K[α ] è un campo, che coincide

con il proprio campo dei quozienti:

K[α ] = Q(K[α ]) = K(α)

In questo caso, dobbiamo avere anche che µ(x) è un polino-

mio irriducibile, possiamo quindi scegliere un rappresentate

privilegiato tra i generatori del nucleo:

Definizione. Chiamiamo polinomio minimo di α l’unico

generatore monico di kerϕα, che indicheremo con µα:

kerϕα = (µα(x))

Osservazione. Nel caso di estensioni algebriche semplici

[K(α) : K] = degµα

questo perché K[α ] è un K-spazio vettoriale di base

1, α, . . . , αdeg µα−1

Definizione. Dato un insieme S ⊆ L definiamo

K(S) =⋂

K,S⊆F⊆L

F

Definizione. Chiamiamo Torre di Estensioni una catena di

inclusioni tra campi

K ⊆ F ⊆ L o anche

L

F

K

Elenchiamo ora una serie di proprietà delle torri di estensioni:

Lemma K.1. L/K è finita ⇔ L/F e F/K sono finite

e in tal caso [L : K] = [L : F ][F : K]

Dimostrazione. è un conto sulle dimensioni come spazi

vettoriali. ♣

Lemma K.2. L/K è finita ⇒ L/K è algebrica.

Dimostrazione. Diciamo [L : K] = n. Preso un elemento

α ∈ L, le sue potenze

1, α, α2, α3, . . . , αn

sono troppe per essere linearmente indipendenti, quindi

esistono a0, . . . , an ∈ K tali che

a0 + a1α+ · · ·+ anαn = 0

che possiamo leggere come l’annullarsi del polinomio

a0 + a1x+ · · ·+ anxn ∈ K[x ]

nel nostro elemento α. ♣

Osservazione. Il viceversa è falso! L’estensione [Q̄ : Q] hadimensione infinita, perché devono starci, per dire, tutte le

radici dell’unità.

Tuttavia, aggiungendo un’ipotesi riusciamo a invertire i

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