15. Problemi di Cauchy

Davide Cataniadavide.catania@unibs.it

Esercitazioni di Analisi Matematica 2A.A. 2016/17

Consideriamo il problema di Cauchy{y′(t) = f

(t,y(t)

)t ∈ I ,

y(t0) = y0,

con I ⊆R intervallo e y0 ∈R.

Esistenza locale. Se f : A →R è continua, allora esiste almenouna soluzione definita in un intervallo contenente t0.

Esistenza locale e unicità. Se, inoltre, ∂yf esiste ed è continua(basta f localmente lipschitziana in y), allora la soluzione esisteed è unica.

Nota. Se valgono esistenza e unicità, due soluzioni distinte(corrispondenti a diversi dati iniziali) non si intersecano mai(non si toccano).

Esistenza globale. Se f : J ×R→R e

|f (t,y)| É a(t)+b(t)|y| ∀t ∈ J , ∀y ∈R,

con a,b : J →R continue, allora ogni soluzione y(t) è definitaper ogni t ∈ J .

Nota. Basta che la precedente condizione, detta sublinearità in|y|, valga lungo le soluzioni, cioè

|f (t,y(t)

)| É a(t)+b(t)|y(t)| ∀t ∈ J .

Esercizio 1Dimostra che la soluzione di{

y′ = sin(t +y2),

y(1) = 0

esiste ed è unica, e che il suo dominio massimale didefinizione è R.

Esercizio 2Studia al variare di α ∈R l’applicabilità del teorema di esistenzalocale al problema {

y′ = 3p

y− t,

y(1) =α.

Esercizio 3Determina l’intervallo massimale di definizione delle soluzionidi {

y′ = t +√

y2 +2,

y(0) = 1

e y′ = 1

t −1+

√y2 +2,

y(0) = 1.

Esercizio 4Verifica che la soluzione di{

y′ = (y+1)3 siny,

y(0) = 12

è limitata, crescente e definita in tutto R.

Esercizio 5Studia al variare di α ∈R la monotonia della soluzione di{

y′ = ey(y−1)(y−2)arctan t,

y(0) =α.

Teorema dell’asintoto (orizzontale). Se f : I →R è derivabile edesistono i limiti

limt→+∞ f (t) = `, lim

t→+∞ f ′(t) = m,

con ` ∈R (cioè finito), allora m = 0.

Dim. Per il teorema di Lagrange si ha che per ogni a,b ∈ I esistec ∈]a,b[ tale che

f (b)− f (a)

b−a= f ′(c).

Prendiamo a = n e b = n+1, e mandiamo n →+∞; si ha c →+∞.Abbiamo

limn→+∞

f (n+1)− f (n)

(n+1)−n= lim

n→+∞ f (n+1)− f (n)

= `−`= 0,

e limn→+∞ f ′(c) = m, da cui m = 0.

Esercizio 6Dimostra che la soluzione di{

y′ =−(y−2)arctan2 y,

y(0) = 1

è definita in tutto R e calcola

limt→−∞y(t) e lim

t→+∞y(t).

Simmetrie.

(a) Se f (−t,y) =−f (t,y), allora ogni soluzione è pari, cioèsimmetrica rispetto all’asse y.

(b) Se f (−t,y) = f (t,−y), allora le soluzioni y1(t) e y2(t), cony2(0) =−y1(0), sono simmetriche rispetto all’origine.Dunque la soluzione y(t) con y(0) = 0 è dispari, cioèsimmetrica rispetto all’origine.

Dim. (a) Posto v(t) = y(−t), risulta

v′(t) = y′(−t) · (−1) =−y′(−t) =−f(−t,y(−t)

)= f(t,y(−t)

)= f

(t,v(t)

),

dunque v′ = f (t,v). Dunque, y(t) e v(t) risolvono lo stessoproblema di Cauchy (scegliendo lo stesso dato iniziale); perunicità, v(t) = y(t), cioè y(−t) = y(t), per cui y(t) è pari.

(b) Analogamente.

Esercizio 7Dato il problema di Cauchy{

y′ = e−y2 +t4,

y(0) = 0,

(a) dimostra che esiste un’unica soluzione definita in tutto R;

(b) verifica se y(t) è dispari;

(c) calcola limt→+∞y(t).

Esercizio 8 (Tema d’esame 14/01/2013)Considera il problema di Cauchy{

y′ = t 4−y2

y ,

y(0) = y0.

Determina al variare di y0 /= 0 se il problema ammetteesistenza e unicità locale e globale. Studia monotonia,eventuali simmetrie della soluzione e i limiti agli estremi deldominio di definizione.

Esercizio 9Dato {

y′ = arctany,

y(0) =α,

Dimostra che la soluzione y(t)

(a) è definita in tutto R;

(b) è strettamente monotona per α /= 0;

(c) è convessa se α> 0, concava se α< 0.

Nel caso αÊ 0, calcola

limt→−∞y(t) e lim

t→+∞y(t).

Riepilogo: studio qualitativo delle soluzioni di un problema diCauchy.

(1) Esistenza e unicità locale: soluzioni con dati iniziali diversinon si intersecano.

(2) Soluzioni stazionarie y(t) = c: f (t,c) = 0 per ogni t.

(3) Monotonia: studio y′ = f (t,y) Ê 0.

(4) Eventuali simmetrie.

(5) Esistenza globale: condizione di sublinearità o esplosione.

(6) Limiti agli estremi del dominio (teorema dell’asintoto).

(7) Convessità: studio y′′(t) = ddt f (t,y(t)) Ê 0.

(8) Altro.

Esercizio 10Studia al variare di 0 <α< 1 la soluzione di{

y′ = 2siny,

y(0) =α.

Esercizio 11 (Tema d’esame 10/04/2011)Considera {

y′ = ln(ln2 y+ 12 ),

y(0) = y0 > 0.

Discuti esistenza e unicità locali. Stabilisci se l’intervallomassimale può essere illimitato a destra oppure no. Determinaeventuali soluzioni stazionarie. Studia il comportamento agliestremi del dominio. Studia monotonia e concavità per y0 ∈R+.

La soluzione y(t) del problema di Cauchy{y′ = ay1+b,

y(t0) = y0,

con a,b,y0 > 0 e t0 Ê 0, scoppia (esplode) in un tempo finito,cioè esiste T > t0 tale che la soluzione è definita in [t0,T [ e

limt→T− y(t) =+∞.

Dim. Basta risolvere esplicitamente (equazione a variabiliseparabili), trovare il dominio della soluzione e calcolare illimite.

Teorema di confronto. Siano u(t) e v(t), rispettivamente, lesoluzioni di{

u′ = f(t,u(t)

),

u(t0) = y0,

{v′ = g

(t,v(t)

),

v(t0) = y0,

con f ,g continue e con ∂yf , ∂yg continue.

Supponiamo che u,v siano definite in un intervallo Icontenente t0, e che

g(t,y) Ê f (t,y)

per ogni t ∈ I, y ∈R.

Allora

v(t) Ê u(t) ∀t ∈ I , t Ê t0;

v(t) É u(t) ∀t ∈ I , t É t0.

Esercizio 12Dimostra che il dominio massimale della soluzione di{

y′ = y2 + t2,

y(0) = 0

non è tutto R.

Esercizio 13Studia le soluzioni di {

y′ = y ey3,

y(0) =αal variare di α ∈R.

Esercizio 14Studia le soluzioni di {

y′ = ey siny,

y(0) =α

al variare di α ∈R.