LUIGI AMERIO

SUI PROBLEMI DI CAUCHY E DI DIRICHLET PER L'EQUAZIONE DI LAPLACE IN DUE VARIABILI

(Conferenza tenuta il 4 febbraio 1949)

1. — La teoria delle equazioni lineari a derivate parziali si svolge, di solito, con criteri nettamente distinti per i due tipi iperbolico ed ellittico. Mentre infatti per le equazioni di tipo iperbolico la considerazione delle varietà caratteristiche, reali, si presenta spontaneamente nella risoluzione di vari problemi, come il problema di OAUCHY O quello di propagazione, lo stesso non avviene per le equazioni di tipo ellittico- In queste, a carat­teristiche complesse, il problema di CAUCHY non si considera quasi mai e i classici problemi al contorno, come il problema di DIRICHLET o il problema di NEUMANN, vengono trattati nel campo reale e risolti utilizzando, ad esempio, la teoria delle equazioni integrali di FREDHOLM.

Tali diversi procedimenti sono, come è ben noto, legati anche alle considerazioni di carattere fisico, molto interessanti di per se stesse, che sono all'origine delle equazioni e dei problemi ricordati, costituenti un capitolo grandioso della Fisica-Matema­tica. Infatti mentre per le equazioni di tipo iperbolico la consi­derazione delle caratteristiche conduce, tra l'altro, ad individuare il fronte tfonda in un fenomeno vibratorio, lo stesso fronte d'onda, che riuscirebbe complesso, non ha un notevole significato fisico nelle equazioni di tipo ellittico.

Se però ci poniamo da un punto di vista più strettamente matematico, dobbiamo rilevare che, considerate almeno nel campo analitico, le equazioni di tipo iperbolico ed ellittico coincidono

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e per esse, come per tutte le equazioni differenziali, il problema di OAUCHY si presenta come il problema centrale. Inoltre, per tale problema, la natura e la posizione delle singolarità della soluzione, cioè gli elementi che la caratterizzano nel modo più espressivo, si desumono dalle singolarità dei dati e dalle pro­prietà geometriche della varietà su cui questi sono assegnati utilizzando appunto la conoscenza delle caratteristiche.

Consideriamo, per fissar le idee, l'equazione di LAPLACE in due variabili: m A ^u . 82u L J 2 clx2 8y2

e indichiamo con 8 una linea analitica semplice e chiusa, con G il dominio da essa delimitato. Il problema di CAUCHY per la [1] consiste nella determinazione di un integrale u(oo, y) della [1],

noti i valori us ef — I che l'integrale e la sua derivata normale \dnh /du\

assumono su 8. Tale soluzione esiste (se us e — sono funzio-\8n)s

ni analitiche su 8) ed è unica: inoltre risulta funzione olomorfa di ( x, y) in tutto un intorno conveniente della linea 8. Presenta perciò in generale delle singolarità in alcuni punti interni di C.

Esaminiamo ora il problema di DIRICHLET. In questo si tratta di determinanare una soluzione u(w, y), armonica (e quindi olo­morfa) in tutti i punti interni di 0, noti i valori u8 da essa

( 8u\ assunti su 8. Ora non è più assegnata la derivata normale I — ; alla soluzione si è però imposto di essere olomorfa in tutto C.

Il passaggio dal problema di CAUCHY a quello di DIRICHLET

si può perciò porre nei termini seguenti: determinare su 8 i ( 8u\

valori della derivata normale — in modo che la corrispon-\8n)s

dente soluzione del problema di CAUCHY sia prolungabile in tutto C. Una tale impostazione del problema di DIRICHLET è dovuta al FANTAPPIÈ (1) il quale ha anche indicato come possa ottenersi — ) quando (7 sia un cerchio.

Il caso generale è stato trattato, successivamente, da me (2).

(1) L. FANTAPPIÈ. —• Il punto di vista reale e quello analitico nella teoria delle equazioni a derivate parziali, Boll. IL Mat. It., 1941, pagg. 188-195.

(2) L. AMERIO. — Sui problemi di Cauchy e di Dirichlet per l'equazione di Laplace in due variabili, Mem. E. Acc. d'It. , 1943, Voi. X I V , pagg. 393-425.

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2. — Per quel che seguirà conviene assumere per 8 una rappresentazione parametrica

a? = a(r)"

dove la variabile complessa T descrive, nel proprio piano, la circon­ferenza | T | = 1 . Se poniamo Z=XJ

riY, Z~X— iY, la linea 8 ha anche come equazioni parametri che :

Z = a(r)+ip(r)=:<p(r) Z — a ( T) — iP(r)=ip{T),

con 9?(T), ^ ( T ) funzioni olomorfe sulla circonferenza | T | = 1 .

Se con a indichiamo il coniugato di un numero complesso a, risulta allora, sviluppando <p(r) e ip(z) in serie di LAURENT,

[3] <p(T)=2nanT", y>(r)=2nan r

Supporremmo inoltre che mentre T descrive la circonfe­renza | T | = 1 in senso positivo, il corrispondente punto (X,Y) descriva 8 in senso positivo (lasciando cioè l'area interna C a sinistra).

Posto z = x -f iy*. — x—ìy, spicchiamo ora dal punto (x, y) interno a C le due rette isotrope, caratteristiche dell'equazione di LAPLACE. Queste incontreranno 8 in punti corrispondenti ai valori di r radici rispettivamente delle equazioni

[4] z = (p(r) e

[5] ^ = y ( * ) .

Consideriamo la [4]. Se supponiamo <p'(r)^0 per |r | — 1, tale equazione è univocamente risolubile rispetto a r in un conveniente intorno J della circonferenza j r| = 1 e la soluzione

[6] T=/(3)

è olomorfa in tutto un intorno L della linea $, che vien posto in corrispondenza biunivoca e conforme con J. Inoltre nei pun­tini di L interni ad 8 risulta

[7] ! / («) !< i .

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Allo stesso modo, considerando la [5], si trova la soluzione

T=g(z) e risulta, per le [3],

1 [8] <;(«) = m

Ne segue, nei punti di L interni ad #,

Ciò premesso la soluzione del problema di CAUCHY per l'equa­zione di LAPLACE, in un conveniente intorno di $, è data dalla formula

[7] n (x, y)=\\V[g(z)-] + U[f(z)]) + ~ {co[g(z)] — affla)]],

dove si è posto

0)(T) = *|?7f l(T)lV(TVWdT

e le funzioni

\cU/s

sono olomorfe per | T | — 1 . Se vogliamo risolvere il problema di DIRICHLET relativo al

dominio G dobbiamo perciò determinare la co(r) in modo che la corrispondente u{x, y) sia armonica in tutto G.

Questa determinazione si compie agevolmente se 8 è la circonferenza X2 + Y2 — B2. Si ha infatti, in tal caso

<P(T)~-Ì?T, IP{T)~RT~1

e quindi

Posto poi

CO CO 03

Z7(T) = 2 W C,T" =2:,, cnr" +2n c_n%* -17,(T) + Ua(r) —°° o i

(sicché le funzioni t^fr) e J72(T) saranno rispettivamente olo-

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morfe per | r | < 1, | T | > _ 1 ) la [7] diventa:

[9] U(x, V)=j{ Vx [/(*)] + U2 [flfOj + 1 } ^ [(/(¾] + *72[/(*)]! 4-

Dalle [8] segue allora

™ .,,,,^1^)+,,(1)1+^,(1)^,(4)1+ + w[lì~a\Bh

e il termine

l i /V\ (R\l oo Zn «, £»

è funzione armonica in C. Lo stesso non avviene in generale del secondo termine a secondo membro della [10], poiché in esso TJX e U2 risultano calcolati per valori della variabile rispetti­vamente > 1 e < 1 in modulo. Perchè anche la somma

"•<-".»>4K>+MìHi»(f)-»(J sia armonica. in tutto C basta però porre

co ( T ) = — £ / ^ ) +*72(T)

poiché risulta, in tal caso,

'Ne segue, per la [10], la formula risolutiva

14-EU «toy)=ffi(j)+ff.

Da questa si ricaverebbe poi agevolmente la classica for­mula integrale di POISSON.

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3. — Se vogliamo estendere il precedente procedimento ad altri contorni dobbiamo osservare che le funzioni f(z) e gQ) presentano, in generale, dei punti di diramazione in corrispon­denza dei fuochi della linea #, e tali singolarità rendono assai più difficile la determinazione della CO(T).

Cominciamo col riconoscere come questa possa eifettuarsi nell'ipotesi che 8 sia un'ellisse di equazioni pararnetriche

Z=Ar-\-Br~l , ,

Z^AT^+BT ' '

con A>B>0. Indicati con a, b i semiassi di 8 sarà evidentemente

a=A+B, b=-A~B.

Le funzioni f(z) e g(z) in questo caso sono quelle radici delle equazioni

z=Ar-{-Br~1, z=Ar~x-\-Bz

che assumono il valore 1 per z=z=l. Si ha perciò

[11 ] f(z) = L _ , g(z) = r— , a-\-t) a — /;

dove e=]/a2 b2 è la distanza focale. Le funzioni f(z), g(z) hanno in z=z—+_c dei punti di diramazione. Esse sono invece olomorfe nel dominio C tagliato lungo il segmento l (—e1 '+c). Inoltre si ha \f(z) | = |gr(^)|=i quando il punto (%,-y) è su 8; per — e < ^ < e, 2/=0 si ha poi

e quindi risulta | / ( s ) |< l , \g(z)\ > 1 in. tutt i i punti interni a G—l. Per risolvere il problema di DIRICHLET, determinando la fun­

zione co(r), cominciando con l'osservare che risulta

00 00 CO

U(r) =2cnx'1 = c0 +2n cn rn +2;c_n T~n =--c0 + ^ ( r ) + U2(r),

—co ! i

con U^r), U2(T) funzioni olomorfe rispettivamente per | T | < 1 .

I T | > 1 . Perciò la soluzione u(x, y) è somma delle tre soluzioni

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u0 , ux, u2, che si ottengono in corrispondenza dei valori al contorno c0, Ui9 U2 .

Nel primo caso, posto OJ(T) = &, costante arbitraria, rica­viamo dalla [9]

Consideriamo ora il secondo caso. Eisulta

**!(•*, y)=hu1g[G)l+u1[Mì\ + -!> Mììì — *> IMi

e osserviamo che U^fcz)] è olomorfa in tutti i punti di C—l-, lo stesso non avviene, in generale, per U1[g(z)] perchè \g(z)\ > 1 .

Poniamo perciò

da cui segue 1

u (*, V)- UA [ / ( ^ + - ^ ^ ( / ( 5 ) 1 - 0 ) , ^ ) ] ¾ .

Ora la funzione U^ [f(z)] presenta della singolarità per 3 — ±c: per eliminarle, cominciamo con l'osservare che, detta fx(z) l'altra radice della prima delle [11]:

/ , ( * ) •

\z% — e2

a-\~h

B e posto Q=—r risulta

[13] / i = y

e quindi | / 1 | = g < l nei punti di 8 e nei punti di Z, per la prima della [12],

« — &i/àT+~ft

Perciò si ha ^ ( # ) ^ 1 in tutto C— le la funzione

U^fì + UJh),

simmetrica nelle due radici f ed fi, è olomorfa in tutto G.

— 64 —

Poniamo allora

^,(/)=-^)+^(/)=-^)+1^(/), . 2 i " ' i " i ' • 2 " " ' l \ /

da cui

«, Ov</)=!P,(/)+tf.(/,)i- ^, ( - ) + y !«»»«)—«»i(/)i.

Essendo | # | > 1 , la Z7Xl — ) ha delle singolarità so/o per

i = ± e . Indicata con gr (3) l'altra radice della seconda delle [11]:

</i(s)= 1 — k i ( s ) :

a — b X qg(z)J

si trova poi, in tutto G— /, | (/^)1 >! • Perciò la funzione sim­metrica

'.(*)+*. (3 9' x % ' è olomorfa in tutto G.

Poniamo allora

1 / g \ 1 1

da cui segue

[14] ^(^2,)=1^(/)+^^)^1^(1) + ^(1)1 +

Zi

Così proseguendo si ottiene, formalmente, la serie di fun­zioni armoniche in tutto G

|»| ^(^/)+^(^/1)-^(--)-^(^-)1 •

e si constata senza difficoltà che tale serie converge uniforme­mente in tutto G e, su &, assume il valore U (r).

65 —

Ne segue

« ( /q2n+1\ u1(x,y)=i:n]ul(q

2nf) + Ul(fnfi) — U1(- V,

o ( V g I In modo del tutto analogo, partendo dalla funzione j72(T),

si ottiene la soluzione

[15] n2(:v, y) = f - | ^« (^ ) + ^«(^)—^«(^+ly)—^«(^sij^)!-

Si noti infine che se supponiamo le U x{r), U2(t) solamente continue per | -r| = 1 le serie [14] e [15] continuano a rappre­sentare la soluzione del problema di DIRICHLET perchè tut t i i termini che in esse compaiono, esclusi U^f) e U2(g), sono olo­morfi anche nei punti di 8. Perciò l'analiticità di V(r), neces­saria per risolvere il problema di OAUCHY, non lo è più quando si passi al problema di DIRICHLET, come è ben noto.

4. — Il procedimento precedente può generalizzarsi, formal­mente, per una estesa classe di curve, supponendo ad esempio che sia

[16] cp (T) =AT+2U BkT-k, y ( T ) = Z T + | & Bkt'k.

i ì

Si dimostra allora che l'equazione (p(r) = z ha JV-|-1 radici di cui una, /(0), ha modulo < 1 entro C, = 1 su $, > 1 fuori di 8: le altre, /<(«), hanno ovunque moduli < 1 . La /(0) è inoltre olomorfa su 8 e all'esterno di tale linea.

Analogamente l'equazione ^(T)~- Z ha JV-j-1 radici di cui 1

una, g(z) =-=, ha modulo > 1 entro 8, = 1 su 8, < 1 ester-

namente a 8: le altre, #,-(£)—-=-, hanno ovunque moduli > 1 .

Poniamo inoltre, esprimendo le f{{z) mediante f(z) e le

gi(z) mediante g(z),

[17] /<(*)=*< [/(*)], 9Ì(Z)=OÌ[Q(Z)Ì-

Posto, come nel n. 3, U (r) = tf0 -f ?71(^) -(- U2 (r) la solu­zione u0(x, y) si trova immediatamente [w0(a?, y) = c0]. La %(.x\ y)

5

è data, in un conveniente intorno di 8, dalla formula :

[18] ul(x,y) = \\vl(g)+Vì(1)\^\m(g)— co(f)[.

Poiché, entro C, si ha / | < 1 , |#|>1> poniamo, per poter prolungare la soluzione all'interno di 8,

0)(9)=- tfi(0)+G>i (9)i da cui

% («, V) = Z7i (/.) + 7 ^ 1 (0) — <wi ( / ) | .

Osserviamo ora che Ux(f) non è olomorfa all'interno di 8, perchè ivi f(z) presenta dei punti critici (nei fuochi della linea 8). ìì invece olomorfa in tutto G la funzione simmetrica

£7,(/)+ 2t U.L (fi), 1

quando si tenga presente che è |/i(«)| <C 1. Poniamo perciò

z 1 A

= —1< J7,W/)]4--f l ) 2 ( / ) ,

da cui segue

% (<*, 2/) = \ TI, (/) + 1 , CTi (fi)\ — I ^ X C T , (flf)] + - \OJ2 (g) — co2 (/)). 1 1

N

Siccome la funzione 2^ ?7i !+*(£)] è olomorfa per < > 1 ed 1

è | 9 | > .1, | ijj | > 1 entro 8, la funzione simmetrica

1 i, j

è olomorfa entro 8. Poniamo allora

1 l - J V 1 — co2 (g)= — 2 L\ [rt (0,)]+ — o>3 (g) =

1, i ^

= - ^ 1 7 ^ ^ ( ^ (^))3+-0)3(^)

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da cui segue

[18] u, (a, y) Àu, (/)+ltf, (U) [ — %U,Mg)^! U^gj)]'. +

+ *f U, [r, (a,(/))] + ~ |*>3 (</) —co3 (/)] .

Così proseguendo, si viene a esprimere %(#, y) come somma di una serie di funzioni olomorfe in (7, analogamente a quanto si è fatto nel n. 3. Allo stesso modo si procede per ottenere la soluzione u2(w, y) che si riduce, su S, alla funzione U2(r).

La dimostrazione diretta della convergenza della serie così otte­nuta non è però agevole ed è interessante rilevare come essa possa ottenersi, anche in casi più generali, confrontando il metodo sin qui seguito con quello classico, esprimente la soluzione del pro­blema di DIRICHLET mediante un potenziale di doppio strato.

Assumendo come - parametro su 8 quello, T, fin qui consi­derato (e non l'arco s, come di consueto), la soluzione u(oc, y) del problema di DIRICHLET, è espressa allora dalla formula:

[19] « (x, ») = ^ T /^ (*)j-7T^ X ^ l d r ' M = i

dove .F(T) è l'incognito momento del doppio strato. Posto

e(t, t) = l ì lL lM , ,?(T, t) = filici (| r\ = 1, |«| = 1) x — t x — t ' ' '

la determinazione della F(x) è ricondotta alla risoluzione della classica equazione integrale di FREDHOLM (usualmente scritta in altra forma):

PO] F(t)-^ / > W | - ^ - ± £ | j *.-*<«, | T | = 1

per A^=l. La [20], come è noto, ha per |A|<1 un solo autovalore

nel punto X= — 1 e ivi la sola autofunzione F(t) = 1c, costante arbitraria. Si può però dedurre dalla [20] una equazione inte­grale priva di autovalori nel cerchio U |£ . l .

- - 68 —

Posto infatti

risulta

e posto

Mr, *) = ^ # = - ^ M > ,

/bt(r, t) ri(-c,t) T

H(t) = F(t) + -±j f^-d-w ' 2ni J r

|r | = l

si trova che H(t) soddisfa all'equazione integrale

[21] B(t) = - / . f J?(T) j £ ^ - *}**> I dT + t/(0 W 2:7½ J ^ ' ( fJL\T,t) Q{T, t) ) '

che si dimostra essere priva di autovalori in tutto il cerchio | / i | > l -Per | A | < 1 la [21] si risolve allora per approssimazioni

successive e la corrispondente serie di NEUMANN:

00

[22] E(t) = 2nFhn(t), (\t\ = l), o

è assolutamente e uniformemente convergente. Per A = 1, la soluzione F(t) della [20] si deduce poi dalla H(t) mediante la formula:

[23] ^ ) = ^ ) - ^ [ ^ - i r . M = i

Di qui, per la [19], si perviene alla soluzione u(oc, y). Si constata inoltre, tra l'altro, che se 8 è un'ellisse o, più in gene­rale, la linea di equazioni [16], la soluzione così ottenuta coincide con quella che si desume a partire dalla soluzione del problema di Gauchy nel modo indicato nel n. 3 e nella prima parte del n. 4. Risulta così anche provata la convergenza della serie che si era costruita con un procedimento formale e stabilito un collegamento tra il punto di vista analitico e quello reale nella risoluzione del problema di DIRICHLET.

Limitiamoci a riconoscere quanto si è ora detto supponendo

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8 un'ellisse. Si ha allora

O(T, t) = A . a(T, t) = A — Brt Ti

e quindi la [21] diventa, per À — 1,

[24] H{t) = U(t) + -!-. IH(T)[—?_: ^ + 1/^+^) 2n# / 1 g T • S - i

M = 1 ( T r )

e quindi 2f(/) si esprime come somma delle funzioni H{)(t), H^t), H2(t), soluzioni della [24] in cui U(t) si sostituisce con c0, ZJ-^t), U2(t) rispettivamente. Diremo inoltre F0(t), F^t). F2{t) le corri­spondenti soluzioni della [20].

Nel primo caso si trova

Consideriamo ora l'equazione

1 /" , . , 1 1 . 1 HS) ~ - g / EM\ —j - + ~ I * + US)

Posto

si ha

co

Ht{t) = i:nhn(t) i

*i(<) = - Pi ( l

7*2(«) = 17.(8-0.

e cosi via. Ne segue

[26] Ht(t) = Sn | {/.(f/» () - ffip-j—) { • ^ i W = #i(«) .

9>'(T) V'(T) _ 1 1 1 x

9>(T) —s Y>' (T)-« * - / ( « ) T—/i(«). T-ff(5) T - 3 J ( 2 )

— 70 —

e quindi per le [19] e [26],

^Q\OO, y) = CQ ,

|T | = 1

-2n-|-i\ f 2n + l

= | . j UJ^ef) + Ui(<f*U) - cr* ( ^ - ) ~ ^ 0t

In modo analogo si otterrebbe la u2(oc, y) e quindi la solu­zione u(<v, y) espressa con la medesima serie ricavata nel n. 3.