17_equazioni Indefinite Di Equilibrio Per Le Travi Piane

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE Insegnamento: Meccanica delle strutture n Lezione: 17 Titolo: Equazioni indefinite di equilibrio per le travi piane

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 17 Equazioni indefinite di equilibrio per le travi piane.

Nucleo tematico Lez. Contenuto

6 17 Equazioni indefinite di equilibrio per le travi piane. Nella lezione precedente sono state definite le caratteristiche di sollecitazione con particolare riferimento alle travi piane. In questa lezione vengono dimostrate le relazioni globali e locali che le caratteristiche di sollecitazione delle travi piane devono soddisfare insieme ai carichi applicati. Dette relazioni discendono direttamente dallimposizione delle equazioni di equilibrio relative ad un generico tronco di trave pensato rigido delimitato da due sezioni trasversali arbitrariamente scelte e possono essere espresse sia in forma globale, cio relativamente ad un tronco di trave di lunghezza finita, sia in forma locale, cio relativamente ad un tronco di trave di lunghezza tendente a zero (infinitesima); in questultimo caso queste relazioni si esprimono mediante equazioni differenziali coinvolgenti le funzioni N(s), T(s) ed M(s), le loro derivate, ed i carichi applicati. Impostazione

Si consideri un tronco di trave piana delimitato dalle sezioni V, identificata dallascissa curvilinea s0, e S, identificata dalla generica ascissa curvilinea s, con s0 < s (figura 17.1).

Figura 17.1

S

V

M(s0)

q() M(s)

N(s)

T(s)

N(s0) T(s0)

s

s0

S

V

M(s0)

q() M(s)

N(s)

T(s)

N(s0) T(s0)

s0

s sF MF

F

sF

MF

F


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Si indichi con la generica ascissa curvilinea tra s0 ed s; pertanto ad ogni tra s0 ed s resta associata una sezione trasversale del tronco tra la sezione V e la sezione S. Allascissa di tale tronco applicato il carico per unit di lunghezza q() avente direzione generica (e quindi non necessariamente normale o parallela allasse della trave); allascissa sF sono applicate una forza di modulo F ed una coppia il cui modulo del momento MF. In figura 17.1 sono evidenziate, oltre ai carichi applicati, le caratteristiche di sollecitazione supposte positive (in accordo con la scelta del verso di s e con le convenzioni discusse nella lezione precedente) agenti sulle sezioni terminali del tronco considerato; il tronco rappresentato sia mostrandone la dimensione trasversale sia in modo schematico rappresentandone solo lasse. Nel seguito verr utilizzata esclusivamente questultima rappresentazione.

Il carico generico q() pu essere sempre considerato come la somma di un carico distribuito avente direzione normale allasse della trave, qn(), e di un carico distribuito avente direzione tangente allasse della trave, qt(). Nel seguito per qn() e qt() si considera la seguente convenzione (figura 17.2):

qn() positivo se diretto verso il lembo inferiore; qt() positivo se diretto nel verso delle s crescenti. Una analoga convenzione pu essere adottata per le componenti della forza F nelle direzioni normale e tangente allasse della trave indicate rispettivamente con Fn ed Ft (figura 17.2).

Figura 17.2.

S

V

qn()

s0

s sF

s0

S

V

qt() s sF

Ft

S

V

q() s

s0

Fn

F

sF F

Fn

Ft

Carichi totali

Carichi ortogonali allasse (trasversali)

Carichi in direzione dellasse (tangenziali)


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Il sistema costituito dal tronco di trave tra V e S quindi soggetto alle caratteristiche di sollecitazione (forze e coppie) applicate alle sezioni che lo delimitano, ai carichi qn() e qt(), alla forze Fn ed Ft ed alla coppia MF lungo il suo asse. Le caratteristiche di sollecitazione nelle sezioni V e S rappresentano leffetto dei tronchi di trave prima di V e dopo S sul tronco considerato (figura 17.3). Pensando il tronco infinitamente rigido, pu affermarsi che questo in equilibrio se le forze ad esso applicate soddisfano le Equazioni Cardinali della Statica. Nella configurazione di equilibrio le caratteristiche di sollecitazione nelle sezioni V e S ed i carichi applicati devono quindi soddisfare alcune relazioni che discendono direttamente dal rispetto di dette equazioni. Queste relazioni possono essere espresse in forma globale, ossia coinvolgente le forze applicate allintero tronco tra le ascisse s0 ed s locale, ovvero in forma locale, ossia coinvolgente solo quantit relative alla generica ascissa s; in questultima forma sono equazioni differenziali dette Equazioni Indefinite di Equilibrio.

Figura 17.3.

Siccome un valore dellascissa curvilinea identifica univocamente una sezione della trave, talvolta nel seguito si identificheranno le sezioni semplicemente mediante lascissa curvilinea; cos, ad esempio con baricentro della sezione s si intender baricentro della sezione S identificata dallascissa s, oppure con distanza tra i baricentri delle

S

V

M(s0)

q() M(s)

N(s)

T(s)

N(s0) T(s0)

s

s0

M(s0)

N(s0) T(s0)

s0

qt()

qp()

S

V

M(s) N(s)

T(s)

s

Fn

F

sF

sF

MF

Ft

MF


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sezioni s1 ed s2 si intender distanza tra i baricentri delle sezioni S1 ed S2 identificate da s1 ed s2. Equazioni di equilibrio del tronco

Si definiscono preliminarmente alcune funzioni della generica ascissa dipendenti esclusivamente dalla forma dellasse della trave. Si pone (figura 17.4a):

() inclinazione rispetto ad un asse di riferimento z della generica sezione ;

d() lunghezza della corda congiungente il baricentro della sezione s0 con il baricentro della generica sezione ;

() inclinazione rispetto allasse di riferimento z della corda congiungente il baricentro della sezione s0 con il baricentro della generica sezione .

Se la linea dasse del tronco considerato continua e priva di cuspidi queste funzioni sono continue e derivabili. In figura 17.4b sono mostrate le funzioni appena definite relativamente alla sezione iniziale s0, alla sezione in cui sono applicate la forza e la coppia concentrata, sF, ed alla sezione finale s del tronco di trave considerato. Si osserva che ( ) 0sd 0 = e che ( )0s linclinazione della tangente allasse nella sezione s0.

Figura 17.4.

Con riferimento alla figura 17.3 si consideri il caso in cui

lascissa generica s precede lascissa sF in corrispondenza della quale

s0

d()

()

()

z

s0 (s0)

sF

d(sF) d(s)

(sF)

s

(s)

(sF)

(s)

z

(s0)

d(s0)=0

(a)

(b)


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sono applicate le forze e la coppia, cio s < sF. In questo caso lequilibrio del tronco tra s0 ed s non coinvolge le forze applicate nella sezione sF. Lequazione di equilibrio alla traslazione del tronco tra s0 ed s nella direzione di N(s) (figura 17.5a)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0sNdssinqdscosq

sssinsTsscossNs

sn

s

st

0000

00

=+++

+

(17.1)

essendo

( ) ( ) ( )( )00 sscossN la componente di N(s0) nella direzione di N(s),

( ) ( ) ( )( )00 sssinsT la componente di T(s0) nella direzione di N(s),

( ) ( ) ( )( ) s

st

0

dscosq

la somma delle componenti delle infinite forze infinitesime ( ) dqt nella direzione di N(s) e

( ) ( ) ( )( ) s

sn

0

dssinq

la somma delle componenti delle infinite forze infinitesime ( ) dqn nella direzione di N(s). Ovviamente il taglio T(s) nella sezione s non compare nella (17.1) in quanto la direzione di T(s) , per definizione, ortogonale alla direzione di N(s).

Sempre con riferimento alla figura 17.3, lequazione di equilibrio alla traslazione del tronco tra s0 ed s nella direzione di T(s) (figura 17.5a)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0sTdscosqdssinq

sscossTsssinsNs

sn

s

st

0000

00

=++

+

(17.2)

essendo

( ) ( ) ( )( )00 sssinsN la componente di N(s0) nella direzione di T(s),

( ) ( ) ( )( )00 sscossT la componente di T(s0) nella direzione di T(s),


Pagina 6/31



( ) ( ) ( )( ) s

st

0

dssinq

la somma delle componenti delle infinite forze infinitesime ( ) dqt nella direzione di T(s) e

( ) ( ) ( )( ) s

sn

0

dscosq

la somma delle componenti delle infinite forze infinitesime ( ) dqn nella direzione di T(s). Ovviamente lo sforzo normale N(s) nella sezione s non compare nella (17.2) in quanto la direzione di N(s) , per definizione, ortogonale alla direzione di T(s).

Figura 17.5.

Lequazione di equilibrio alla rotazione del tronco tra s0 ed s

rispetto al baricentro della sezione s0 (figura 17.5a e b)

M(s0)

T(s0)

s0

(s0)

s

(s)

N(s

0) (s 0

)

(s)

(s

0)

N(s

0)c

os(

(s)

(s

0))

N(s0)sin((s)(s0))

T(s0) (s0)

(s)

(s)(s0)

T(s0)cos((s)(s0)) T(s

0)s

in(

(s)

(s 0

))

()

N(s0)

M(s)

T(s)

N(s) qt()

qn()

(s)

s M(s)

T(s)

N(s)

d(s)

(s) (s)

(s)- (s)

d(s)sin((s)- (s))

d(s)

cos

((s

)-

(s))

s0

(a)

(b)

()

qn()d qt()d

s0

()

()

()- ()

d()sin(()- ())

d()cos(()- ())

qt()d

q t(

)d

sin(

(s

)

())

qt()dcos((s)())

()

(s)

(s

)

()

qn()d

() (s)

(s)()

qn()dsin((s)())

qn()dcos((s)())


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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) 0sMsM

dsindqdcosdq

sssinsdsTsscossdsN

0

s

sn

s

st

00

=+

+

+

(17.3)

essendo

( ) ( ) ( )( )sscossd il braccio di N(s) rispetto al baricentro della sezione V, cio la distanza del baricentro di V dalla retta di azione di N(s) ( ) ( ) ( )( )sssinsd il braccio di T(s) rispetto al baricentro della sezione V, cio la distanza del baricentro di V dalla retta di azione di T(s)

( ) ( ) ( ) ( )( ) s

st

0

dcosdq

la somma dei momenti rispetto al baricentro della sezione V delle infinite forze infinitesime ( ) dqt (si noti che ( ) ( ) ( )( ) cosd il braccio di ( ) dqt rispetto al baricentro della sezione V, cio la distanza del baricentro di V dalla retta di azione di ( ) dqt ) e

( ) ( ) ( ) ( )( ) s

sn

0

dsindq

la somma dei momenti rispetto al baricentro della sezione V delle infinite forze infinitesime ( ) dqn (si noti che ( ) ( ) ( )( ) sind il braccio di ( ) dqn rispetto al baricentro della sezione V, cio la distanza del baricentro di V dalla retta di azione di ( ) dqn ).

Con riferimento alla figura 17.2 si consideri ora il caso in cui lascissa generica s segue lascissa sF in corrispondenza della quale sono applicate le forze e la coppia, cio s > sF. In questo caso lequilibrio del tronco tra s0 ed s coinvolge anche la forza e la coppia applicate nella sezione sF. Le equazioni di equilibrio del tronco sono formalmente analoghe alle (17.1)-(17.3) ma contengono in pi gli addendi relativi alla forza ed alla coppia applicate nella sezione sF.

Lequazione di equilibrio alla traslazione nella direzione di N(s) (figura 17.6a)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0sNsssinFsscosF

dssinqdscosq

sssinsTsscossN

FnFt

s

sn

s

st

0000

00

=+++

+++

+

(17.4)


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Figura 17.6.

Lequazione di equilibrio alla traslazione nella direzione di T(s)

(figura 17.6a)

s0 M(s0)

T(s0) N(s0)

(s0)

T(s0)cos((s)(s0)) ()

(sF) (s)

(s)- (sF) Fn

Fnsin((s)(sF))

Fncos((s)(sF))

sF

qn()d

() (s)

(s)()

qn()dsin((s)())

qn()dcos((s)())

(sF)

Ft

Fn

(s)

M(s)

N(s)

T(s)

s

qt()

qn()

() ()

()- ()

s0

()

qn()d

qt()d

d()

d()sin(()- ())

d()cos(()- ())

sF Ft

Fn

(sF)

(sF) (sF)

(sF)- (sF)

s0

d(sF)

d(sF)sin((sF)- (sF))

d(sF)cos((sF)- (sF))

M(s)

(s)

T(s)

s N(s)

(s)

(s)

s0

(s

)-

(s)

d(s)sin((s)- (s))

d(s)

cos

((s

)-

(s))

qt()d

q t(

)d

sin(

(s

)

())

()

(s)

(s

)

()

qt()dcos((s)())

(s)

N(s0)cos((s)(s0))

N(s0) (s0)

(s)(s0)

N(s

0)s

in(

(s)

(s

0))

Ft (sF)

(s)

(s)- (sF) (a)

(b)

T(s0) (s0)

(s)

(s)(s0)

T(s 0

)sin

((s

)(

s 0))

MF


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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0sTsscosFsssinF

dscosqdssinq

sscossTsssinsN

FnFt

s

sn

s

st

0000

00

=++

++

+

(17.5)

Lequazione di equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro della sezione V (figura 17.6a e b)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0sMsssinsdFsscossdF

Mdsindqdcosdq

sMsssinsdsTsscossdsN

0FFFnFFFt

F

s

sn

s

st

00

=

+

+

(17.6)

Le (17.1)-(17.6) possono riassumersi come

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

+

++

++

=

FnFt

s

sn

s

st

0000

s

sn

s

st

0000

sssinFsscosF

dssinqdscosq

sssinsTsscossN

dssinqdscosq

sssinsTsscossN

sN

00

00

se s < sF

(17.7)

se s > sF

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

+

++

++

+

++

=

FnFt

s

sn

s

st

0000

s

sn

s

st

0000

sscosFsssinF

dscosqdssinq

sscossTsssinsN

dscosqdssinq

sscossTsssinsN

sT

00

00

se s < sF

(17.8)

se s > sF

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )

++++

++

++

++

++

++

++

=

F0FFFnFFFt

s

sn

s

st

s

s0n

s

st

MsMsssinsdFsscossdF

dsindq

dcosdq

sssinsdsTsscossdsN

sMdsindq

dcosdq

sssinsdsTsscossdsN

sM

0

0

0

0

se s < sF

(17.9)

se s > sF


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Le (17.7)-(17.9) forniscono le caratteristiche di sollecitazione N(s), T(s) ed M(s) nella generica sezione s del concio in funzione delle caratteristiche di sollecitazione nella sezione iniziale, N(s0), T(s0) ed M(s0), dei carichi applicati e della geometria dellasse, rappresentata dalle funzioni (s), d(s) ed (s). Ovviamente le (17.7)-(17.9) possono essere immediatamente generalizzate al caso di presenza di pi carichi concentrati.


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LEZIONE 17 Sessione di studio 1 Equazioni indefinite di equilibrio per le travi piane. Si propongono nel seguito alcune osservazioni in merito alle equazioni di equilibrio di un tronco di trave (17.7)-(17.9). Osservazione 1

Le tre equazioni di equilibrio (17.7)-(17.9) non consentono la determinazione delle sei caratteristiche di sollecitazione N(s0), T(s0), M(s0), N(s), T(s), M(s) nelle sezioni estreme, s0 ed s, del tronco considerato una volta noti solo i carichi applicati lungo lasse tra dette sezioni. In generale, dunque, il problema della determinazione delle caratteristiche di sollecitazione nelle sezioni estreme di un tronco di trave, noti solo i carichi applicati, staticamente indeterminato (nel senso che le incognite caratteristiche di sollecitazione nelle sezioni estreme non possono essere determinate mediante sole equazioni di equilibrio). invece possibile la determinazione delle caratteristiche di sollecitazione in una delle sezioni estreme, ad esempio N(s), T(s), M(s), una volta note le caratteristiche di sollecitazione nellaltra, ad esempio N(s0), T(s0), M(s0) ed i carichi applicati tra le due. Questultimo quindi un problema staticamente determinato. Osservazione 2

Le caratteristiche di sollecitazione N(s), T(s) ed M(s) sono funzioni dellascissa curvilinea s. Queste sono funzioni continue per ogni valore di s tranne che per s = sF, ascissa nella quale presentano una discontinuit denunciata dal fatto che, come immediato verificare, i limiti per s tendente ad sF da destra e da sinistra di N(s), T(s) ed M(s) non sono uguali:

( ) ( )sNlimsNlimFF ssss+

( ) ( )sTlimsTlimFF ssss+

( ) ( )sMlimsMlim

FF ssss+

(17.10)

Osservazione 3

Allascissa sF dove sono applicate la forza e la coppia concentrate: - lo sforzo normale N(s) presenta una discontinuit di entit pari alla

componente Ft della forza applicata nella direzione tangente allasse della trave;

- il taglio T(s) presenta una discontinuit di entit pari alla componente Fn della forza applicata nella direzione ortogonale allasse della trave;

- il momento flettente M(s) presenta una discontinuit di entit pari al modulo della coppia applicata, MF.

In simboli:


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( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Fssss

nssss

tssss

MsMlimsMlim

FsTlimsTlim

FsNlimsNlim

FF

FF

FF

=

=

=

+

+

+

(17.11)

Infatti, relativamente a N(s) si ha, tenendo presente la (17.7)

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

+

=

=

+

+

=

=

+

+

=

++

t

s

sFn

s

sFt

0F00F0

FFnFFt

s

sFn

s

sFt

0F00F0

FnFt

s

sn

s

st

0000

ssss

Fdssinqdscosq

sssinsTsscossN

sssinFsscosF

dssinqdscosq

sssinsTsscossN

sssinFsscosF

dssinqdscosq

sssinsTsscossN

limsNlim

F

0

F

0

F

0

F

0

00FF

(17.12)

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

++

=

=

++

=

F

0

F

0

00

FF

s

sFn

s

sFt

0F00F0

s

sn

s

st

0000

ssss

dssinqdscosq

sssinsTsscossN

dssinqdscosq

sssinsTsscossN

limsNlim

(17.13)

pertanto

( ) ( ) tssssFsNlimsNlim

FF

=+

(17.14)

Relativamente a T(s) si ha, tenendo presente la (17.8)

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

=

+

++

++

= ++ FnFt

s

sn

s

st

0000

ssss

sscosFsssinF

dscosqdssinq

sscossTsssinsN

limsTlim00

FF

(17.15)


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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

+

++

=

=

+

++

++

=

n

s

sFn

s

sFt

0F00F0

FFnFFt

s

sFn

s

sFt

0F00F0

Fdscosqdssinq

sscossTsssinsN

sscosFsssinF

dscosqdssinq

sscossTsssinsN

F

0

F

0

F

0

F

0

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) =

+

++

=

=

+

++

=

F

0

F

0

00

FF

s

sFn

s

sFt

0F00F0

s

sn

s

st

0000

ssss

dscosqdssinq

sscossTsssinsN

dscosqdssinq

sscossTsssinsN

limsTlim

(17.16)

pertanto

( ) ( ) nssssFsTlimsTlim

FF

=+

(17.17)

Ponendo, per brevit

( ) ( )( ) ( )

+

=

=

+

Fss

Fss

sNsNlim

sNsNlim

F

F ( ) ( )( ) ( )

+

=

=

+

Fss

Fss

sTsTlim

sTsTlim

F

F (17.18)

relativamente a M(s) si ha, tenendo presente la (17.9)

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

++

++

++

+

+

=

=

++

++

++

++

=

++

++

FFFnFFFt

s

sn

F0

s

st

FFFFFFFF

FFFnFFFt

s

sn

F0

s

st

ssss

sssinsdFsscossdF

dsindq

MsMdcosdq

sssinsdsTsscossdsN

sssinsdFsscossdF

dsindq

MsMdcosdq

sssinsdsTsscossdsN

limsMlim

F

0

F

0

0

0

FF

(17.19)


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( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

=

++

++

++

=

s

sn

0

s

st

ssss

0

0FF

dsindq

sMdcosdq

sssinsdsTsscossdsN

limsMlim (17.20)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

++

++

++

=

F

0

F

0s

sn

0

s

st

FFFFFFFF

dsindq

sMdcosdq

sssinsdsTsscossdsN

pertanto

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )FFFnFF

FFFtFF

Fssss

sssinsdFsTsT

sscossdFsNsN

MsMlimsMlimFF

++

+++

+=

+

+ +

(17.21)

Tenendo conto della (17.14) e della (17.17)

( ) ( )

( ) ( ) 0FsTsTFsTlimsTlim

0FsNsNFsNlimsNlim

nFFnssss

tFFtssss

FF

FF

=+

=+

=+

=+

+

+

+

+

(17.22)

la (17.22) diventa

( ) ( ) FssssMsMlimsMlim

FF

=+

(17.23)

Riassumendo si hanno quindi le seguenti discontinuit

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) Fssss

nssss

tssss

MsMlimsMlim

FsTlimsTlim

FsNlimsNlim

FF

FF

FF

=

=

=

+

+

+

(17.24)

In altre parole, in corrispondenza di una sezione in cui applicata una forza concentrata tangente allasse della trave lo sforzo normale ha un salto di entit pari al modulo della forza tangenziale applicata; in corrispondenza di una sezione in cui applicata una forza concentrata ortogonale allasse della trave il taglio ha un salto di entit pari al modulo della forza ortogonale applicata; in


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corrispondenza di una sezione in applicata una coppia concentrata il momento flettente ha un salto di entit pari al modulo della coppia.

In figura 17.7 sono tracciati i grafici delle funzioni N(s), T(s) ed M(s) relativamente ad una trave rettilinea, per la quale lascissa s stata assunta coincidente con lasse della trave. La trave soggetta al carico distribuito qn(s) avente direzione normale allasse, al carico qt(s) avente direzione parallela allasse ed alle forze concentrate Ft, parallela allasse, ed Fn, normale allasse applicate alle ascisse s1 ed s2, rispettivamente, ed alla coppia di momento MF applicata allascissa s3. I grafici di N(s), T(s) ed M(s) sono stati ottenuti con le (17.7)-(17.9) relativamente alle distribuzioni di carico qn(s) e qt(s) rappresentate nella stessa figura 17.7.

Figura 17.7.

Si osserva che N(s) presenta una discontinuit allascissa s1, T(s) presenta una discontinuit allascissa s2 ed MF presenta una discontinuit allascissa s3. Pu inoltre affermarsi che la presenza di una forza tangente allasse non produce discontinuit in T(s) ed M(s); la presenza di una forza

s0

s1 s2 s3 sL

M(s0)

T(s0)

N(s0)

Ft

Fn MF

M(sL)

T(sL)

N(sL)

qn(s)

qt(s)

N(s)

N(s0) s N(s1-)

N(s1+)

Ft

N(sL) N(s2) N(s3)

s

T(s)

T(s0)

T(s1)

T(s2-)

T(s2+) Fn T(sL)

M(s)

s

T(s3)

M(s0) M(s1) M(s2) M(s3-)

M(s3+) MF

M(sL)

s0 s1 s2 s3 sL

s0 s1 s2 s3 sL

s0 s1 s2 s3 sL


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ortogonale allasse non produce discontinuit in N(s) ed M(s); la presenza di una coppia concentrata non produce discontinuit in N(s) e T(s). Si osserva inoltre che il grafico del momento flettente M(s) presenta una cuspide in s2 (pur non molto evidente nel disegno), cio una discontinuit della derivata; questa evenienza sar motivata nel seguito. Osservazione 4

Le relazioni (17.24) sono fisicamente evidenti non appena si considera lequilibrio di un concio piccolissimo di trave intorno alla sezione sF in cui sono applicate le forze concentrate. In figura 17.8 mostrato un concio piccolissimo (infinitesimo) trave intorno alla sezione sF, delimitato dalle ascisse s1 < sF ed s2 > sF.

Figura 17.8.

La lunghezza dellasse del concio

12 ssds = (17.25)

essendo questa lunghezza piccolissima, anche la differenza tra (s2) e (s1) piccolissima; si pone:

( ) ( )12 ssd = (17.26) Le caratteristiche di sollecitazione nella sezione s1, che posta immediatamente prima di sF, sono

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

==

==

==

Fss

1

Fss

1

Fss

1

sMsMlimsM

sTsTlimsT

sNsNlimsN

F

F

F

(17.27)

Ft

Fn

N(sF-)

N(sF+) M(sF-)

T(sF-)

M(sF+)

T(sF+)

(s2)

(s1) d

N(sF-)

d

T(sF-) d

(sF)

Fn (s2)- (sF)

(s2)- (sF) Ft

MF

s1

s2 N(sF+)

M(sF+) T(sF+)

s1 s2

d/2 d/2

ds

d/2

-d/2

d

Ft

Fn

s1 sF

sF-s1

F-1

(F-1)/2 (F-1)/2

sF


Pagina 17/31



mentre le caratteristiche di sollecitazione nella sezione s2, che posta immediatamente dopo a sF, sono:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )+

+

+

==

==

==

+

+

Fss

2

Fss

2

Fss

2

sMsMlimsN

sTsTlimsT

sNsNlimsN

F

F

F

(17.28)

Lequilibrio del concio nelle direzioni di ( )+FsN , ( )+FsT ed alla rotazione rispetto al baricentro della sezione s1 fornisce le equazioni:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0sMsMM2

sscosssF2

sssinssF

2dcosdssT

2dsindssN

0sscosFsscosFdsinsNdcossTsT

0sssinFsscosFdsinsTdcossNsN

FFF

1F1Fn

1F1Ft

FF

F2tF2n

FFF

F2nF2t

FFF

=++

+

+

=+++

=+++

+

++

+

+

(17.29)

Per la piccolezza di ds e di d, il tratto di asse tra s1 ed s2 pu pensarsi come un arco di circonferenza la cui lunghezza s2 - s1 pu confondersi con la lunghezza della corda tra i baricentri delle sezioni terminali del concio. Passando al limite per ds e d tendenti a zero e tenendo presente che al tendere di ds e d a zero si ha anche il tendere di s1 ed s2 ad sF, si ha

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0

2ss

2sssin

0sssssin

02

d2

dsin

0ddsin

1F1F

F2F2

( ) ( )( )( ) ( ) 1

2sscos

1sscos

12

dcos

1dcos

1F

F2

(17.30)

pertanto le (17.29) diventano

( ) ( ) 0FsNsN tFF =+ + ( ) ( ) 0FsTsT nFF =+ + ( ) ( ) FFF MsMsM = + (17.31) Osservazione 5

Nel caso di un tratto trave ad asse rettilineo le condizioni di equilibrio (17.7)-(17.9) si semplificano notevolmente. Si assume un asse z coincidente con lasse della trave; in questo modo la generica sezione della trave viene identificata da unascissa z che ha lo stesso significato dellascissa curvilinea s assunta precedentemente. Si pu poi adottare lo stesso asse z per la definizione delle inclinazioni () ed (), figura 17.9. Essendo tutte le sezioni ortogonali allasse della


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trave (e quindi allasse z) e giacendo tutti i punti dellasse della trave sullasse z (la corda tra i baricentri di due sezioni un segmento giacente sullasse z), risulta (si confronti la figura 17.9 con la figura 17.4):

( ) =2

( ) = ( ) 0zd = (17.32)

Figura 17.9.

Con riferimento alla figura 17.10, tenendo conto delle (17.33), le espressioni delle caratteristiche di sollecitazione (17.7) - (17.9) diventano

( )( ) ( )

( ) ( )

=

t

z

zt0

z

zt0

FdqzN

dqzN

zN

0

0

se z < zF

(17.33)

se z > zF

( )( ) ( )

( ) ( )

=

n

z

zn0

z

zn0

FdqzT

dqzT

zT

0

0

se z < zF

(17.34)

se z > zF

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

++

++

++

=

0Fn

z

z0n

0F0

z

z0n00

zsFdzq

zzzTMzM

dzqzzzTzM

zM

0

0

se z < zF

(17.35)

se z > zF

Tenendo conto della (17.34) si ottiene per il momento flettente (17.35) lespressione

z0 z

d() = - z0 d(z) = z - z0

z0 z

z

(z0)=/2

()=/2 (z)=/2

(z0)= ()= (z)=


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( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

+

++

+

=

FFn

z

zn

000

z

zn000

MzsFdzq

zzzTzM

dzqzzzTzM

zM

0

0

se z < zF

(17.36)

se z > zF

equivalente alla (17.35) ma nella quale non coinvolto il taglio nella sezione z e quindi il momento flettente nella sezione z espresso unicamente in funzione delle caratteristiche di sollecitazione nella sezione z0 e dei carichi applicati tra le sezioni z e z0.

Figura 17.10.

Questultima espressione avrebbe potuto ottenersi direttamente imponendo lequivalenza tra il sistema di forze costituito dalle caratteristiche di sollecitazione nella sezione z0 e dalle forze applicate al tratto tra z0 e z e le sollecitazioni nella sezione z. Anche le (17.33)-(17.36) mostrano che le caratteristiche di sollecitazione presentano una discontinuit nella sezione zF in cui sono applicate le forze e la coppia concentrata. In questo caso levidenza fisica di questa discontinuit immediata non appena si considera lequilibrio di un concio piccolissimo di trave intorno alla sezione zF (figura 17.11).

Figura 17.11.

N(zF-)

M(zF-)

T(zF-)

T(zF+) = T(zF-) - Fn

zF z1

z2

Ft

Fn

MF

dz=z2z1

N(zF+) = N(zF-) Ft

M(zF+) = M(zF-) MF

M(z0)

T(z0)

N(z0)

z0

qt() Ft Fn

MF

M(z)

T(z) N(z)

z

qt()

qn()

- z0 z -

zF - z0 z - zF

zF


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LEZIONE 17 Sessione di studio 2 Equazioni indefinite di equilibrio per le travi piane. Sulla base delle equazioni di equilibrio scritte per un tronco finito di trave si dimostrano nel seguito le equazioni indefinite di equilibrio. Queste rappresentano le condizioni di equilibrio locale di un tratto piccolissimo di trave e si ottengono derivando rispetto allascissa curvilinea le equazioni di equilibrio (17.7)-(17.9). Equazioni indefinite di equilibrio

In ogni sezione S, identificata dallascissa curvilinea s, di una trave piana nella quale non sono applicate forze o coppie concentrate le caratteristiche di sollecitazione N(s), T(s), M(s) soddisfano le equazioni

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

=

=

+

=

sTsMdsd

sqssNsT

dsd

sqssTsN

dsd

n

t

(17.37)

dette Equazioni Indefinite di Equilibrio, in cui qn(s) il carico per unit di lunghezza diretto ortogonalmente allasse della trave applicato allascissa s, qt(s) il carico per unit di lunghezza diretto parallelamente allasse della trave applicato allascissa s e (s) il raggio di curvatura dellasse della trave allascissa s. Tenendo come sottintesa la dipendenza delle quantit dallascissa s, le (17.37) si riscrivono:

=

=

+

=

TdsdM

qNdsdT

qTdsdN

n

t

(17.38)

o equivalentemente, utilizzando lapice per identificare la derivata rispetto ad s:

=

=

+

=

T'M

qN'T

qT'N

n

t

(17.39)

Dimostrazione Si consideri un tronco di trave delimitato dalle generiche

ascisse s ed s (con s > s), figura 17.12.


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Figura 17.12.

Non siano applicate nel tratto forze o coppie concentrate. Le caratteristiche di sollecitazione nelle sezioni s ed s devono soddisfare le Equazioni Cardinali della Statica che nel caso in esame sono (valgono le (17.1)-(17.3) in cui si sostituisce s ad s0 ed s ad s):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0'sNd'ssinqd'scosq

s'ssinsTs'scossN's

sn

's

st =+++

+

(17.40)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0'sTd'scosqd'ssinq

s'scossTs'ssinsN's

sn

's

st =++

+

(17.41)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) 0'sMsM

dsindqdcosdq

's'ssin'sd'sT's'scos'sd'sN's

sn

's

st

=+

+

+

(17.42)

avendo, in analogia con quanto visto precedentemente, chiamato d() la lunghezza della corda tra il baricentro della sezione s ed il baricentro della sezione e () linclinazione rispetto allasse di riferimento della sezione , essendo tra s ed s (figura 16.13).

Figura 17.13.

s (s)

d() d(s)

()

s

(s)

()

(s)

z

M(s)

N(s) T(s)

s

qt()

qp()

M(s) N(s)

T(s)

s


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Dividendo ambo i membri per la lunghezza del concio s-s le (17.41)-(17.43) possono essere riscritte come:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) 0d'ssinqs's

1

d'scosqs's

1s's

s'ssinsTs's

s'scossN'sN

's

sn

's

st

=

+

+

+

+

(17.43)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) 0d'scosqs's

1

d'ssinqs's

1s's

s'ssinsNs's

s'scossT'sT

's

sn

's

st

=

+

+

+

+

(17.44)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0dsindqs's

1

dcosdqs's

1

's'scoss's'sd'sN

's'ssins's'sd'sT

s'ssM'sM

's

sn

's

st

=

+

+

+

(17.45)

Immaginando di considerare sezioni s sempre pi vicine alla sezione s, e cio passando al limite per s che tende ad s si ha: ( ) 0s'slim

s's=

(a)

(17.46)

( ) ( )[ ] 0s'slims's = (b) ( ) ( )( ) ( ) 10coss'scoslims's == (c) ( ) ( )( ) ( ) 00sins'ssinlims's == (d)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sdsd

s'ss'slim

s'ss'ssinlim

s'ss's=

=

(e)

( ) 1s'ss's

s's'sdlim

s's=

=

(f)

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 12sinsssin's'ssinlims's =

==

(g)

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 02cossscos's'scoslims's =

==

(h)

Le (17.46 a-d) sono ovvie; relativamente alla (17.46 e) si ricordi lo sviluppo in serie della funzione sin(x) in un intorno di x = 0 e la definizione di derivata di funzione reale di variabile reale; relativamente alla (17.46 f) si ricordi che d(s) la lunghezza della


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corda tra i baricentri delle sezioni s ed s che quando s ed s sono molto vicini pu essere confusa con la lunghezza del tratto di asse tra s ed s (figura 17.14.); relativamente alla (17.46 h) si osservi che quando s si avvicina ad s la corda di lunghezza d(s) tende ad essere inclinata come la tangente allasse nel punto s e quindi ad avere direzione ortogonale al piano della sezione, la cui inclinazione (s), figura 17.14.

Figura 17.14.

Tenendo conto delle (17.46), le (17.43)-(17.45) si riscrivono:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0d'ssinqs's

1d'scosqs's

1

s'ss'ssT

s'ssN'sNlim

's

sn

's

st

s's

=

+

+

+

(17.47)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0d'scosqs's

1d'ssinqs's

1

s'ss'ssN

s'ssT'sTlim

's

sn

's

st

s's

=

+

+

+

(17.48)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0dsindqs's

1

dcosdqs's

1

'sTs's

sM'sMlim

's

sn

's

st

s's

=

+

+

(17.49)

Ricordando ancora la definizione di derivata per funzioni reali di variabile reale e che, non essendo applicate forze o coppie concentrate nella sezione s, le funzioni N(s), T(s) ed M(s) sono derivabili, si ha

s (s)

(s)

(s)

Tangente in s

ss

d(s) s-s

z


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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sM

dsd

s'ssM'sMlim

sTdsd

s'ssT'sTlim

sNdsd

s'ssN'sNlim

s's

s's

s's

=

=

=

(17.50)

e le (17.47)-(17.49) diventano:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

+

+

's

sn

's

sts's

d'ssinqs's

1

d'scosqs's

1limsdsdsTsN

dsd

(17.51)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) 0d'scosqs's

1

d'ssinqs's

1limsdsdsNsT

dsd

's

sn

's

sts's

=

+

+

+

++

(17.52)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0dsindqs's

1

dcosdqs's

1limsTsMdsd

's

sn

's

sts's

=

+

+

(17.53)

in questultima, essendo T(s) continua stato considerato che

( ) ( )sT'sTlims's = (17.54)

Ricordando ora il Teorema della media integrale, valgono le seguenti uguaglianze:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )sssinsdsqs'sdsindq

sscossdsqs'sdcosdq

s'scossqs'sd'scosq

s'ssinsqs'sd'ssinq

s'ssinsqs'sd'ssinq

s'scossqs'sd'scosq

n

's

sn

t

's

st

n

's

sn

t

's

st

n

's

sn

t

's

st

=

=

=

=

=

=

(17.55)


Pagina 25/31



essendo s una opportuna ascissa curvilinea tra s ed s ( 'sss ). Per non appesantire la simbologia, in tutte le relazioni (17.55) stato utilizzato lo stesso simbolo s per indicare una opportuna ascissa curvilinea che rende soddisfatte le relazioni; ovviamente questascissa curvilinea non sar, in generale, la stessa per tutte le (17.55). Sostituendo la (17.55) nelle (17.51)-(17.53) si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[( ) ( ) ( )( )] 0s'ssinsq

s'scossqlimsdsdsTsN

dsd

n

ts's

=+

++ (17.56)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[

( ) ( ) ( )( )] 0s'scossq

s'ssinsqlimsdsdsNsT

dsd

n

ts's

=++

+++

(17.57)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[

( ) ( ) ( ) ( )( )] 0sssinsdsq

sscossdsqlimsTsMdsd

n

ts's

=+

+

(17.58)

Si osserva ora che al tendere di s ad s anche s tende ad s, dovendo sempre essere 'sss , pertanto le (17.56)-(17.59) diventano

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0sssinsqsscossqsdsdsTsN

dsd

nt =++ (17.59)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0sscossqsssinsqsdsdsNsT

dsd

nt =++ (17.60)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0sssinsdsqsscossdsqsTsMdsd

nt = (17.61)

Tenendo infine presente che la curvatura dellasse nella sezione s data da

( ) ( )sdsd

s1

=

(17.62)

essendo (s) il raggio di curvatura dellasse nella sezione s, le (17.59)-(17.61) diventano

( ) ( )( ) ( ) 0sqssTsN

dsd

t =+ (17.63)

( )( )( ) ( ) 0sqssNsT

dsd

n =++ (17.64)

( ) ( ) 0sTsMdsd

= (17.65)

che sono le equazioni indefinite di equilibrio (17.37). Queste equazioni rappresentano le condizioni locali, cio relative ad ogni sezione s, che le caratteristiche di sollecitazione devono soddisfare nelle condizioni di equilibrio.


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LEZIONE 17 Sessione di studio 3 Equazioni indefinite di equilibrio per le travi piane. Si propongono nel seguito alcune osservazioni in merito alle equazioni indefinite di equilibrio (17.37). Osservazione 6

Le relazioni (17.37) sono fisicamente evidenti non appena si impone lequilibrio di un concio piccolissimo di trave intorno alla generica sezione s. In figura 17.15 mostrato un concio piccolissimo (infinitesimo) trave delimitato sezioni identificate dalle ascisse s ed

ss2 > ; la lunghezza dellasse del concio

ssds 2 = (17.66)

Essendo questa lunghezza piccolissima, anche la differenza tra (s2) e (s) piccolissima; si pone:

( ) ( )ssd 2 = (17.67)

Al concio sono applicate le risultanti del carico distribuito normale allasse e tangente allasse.

Figura 17.15.

Per la piccolezza del concio queste risultanti possono essere valutate pensando costanti e pari a qn(s) e qt(s) i carichi distribuiti e quindi possono essere ottenute moltiplicando detti carichi per la lunghezza ds dellasse concio:

( ) dssqn ( ) dssqt (17.68) Le caratteristiche di sollecitazione nella sezione s sono

( )sN ( )sT ( )sN (17.69)

qn(s)

N(s)

N(s)+dN M(s)

T(s)

M(s)+dM

(s)+d

(s) d

s s2 = s+ds ds

qt(s)

T(s)+dT

qn(s)ds

N(s)

N(s)+dN M(s)

T(s)

M(s)+dM

(s)+d

(s) d

s s2 = s+ds ds

qt(s)ds

T(s)+dT


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mentre le caratteristiche di sollecitazione nella sezione s2 a distanza ds dalla sezione s si pongono pari a:

( ) ( ) dNsNsN 2 += ( ) ( ) dTsTsT 2 += ( ) ( ) dMsMsN 2 += (17.70) essendo dN, dT e dM gli incrementi incogniti delle funzioni caratteristiche di sollecitazione nel passaggio dalla sezione s alla sezione dsss2 += . Siccome le funzioni N(s), T(s) ed M(s) sono continue ed il tratto ds tra s2 ed s piccolissimo, anche gli incrementi dN, dT e dM sono piccolissimi. facile riconoscere che le Equazioni Cardinali della Statica scritte relativamente al concio infinitesimo di figura 17.15 forniscono le relazioni (17.37). Osservazione 7

Le equazioni indefinite di equilibrio (17.37) si semplificano nel caso di travi rettilinee. In questo caso lasse della trave caratterizzato da curvatura nulla e raggio di curvatura tendente ad infinito, quindi

( ) z0z1

=

(17.71)

Tenendo conto della (17.71) le equazioni indefinite di equilibrio (17.37) si semplificano:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=

=

=

zTzMdzd

zqzTdzd

zqzNdzd

n

t

(17.72)

avendo sostituito lascissa curvilinea s con un asse z coincidente con lasse della trave. Derivando la terza delle (17.72) si ottiene

( ) ( )zTdzdzM

dz

d2

2

= (17.73)

e quindi, considerando la seconda delle (17.72) si ha anche:

( ) ( )zqzMdz

dn2

2

= (17.74)

Lequazione differenziale (17.74) rappresenta, relativamente ad una trave rettilinea, la relazione tra il carico trasversale applicato ed il momento flettente. Assegnate le condizioni al contorno, cio il momento flettente ed il taglio (che la derivata del momento flettente) in una certa sezione e noti i carichi applicati la (17.74) consente la valutazione di M(z) e quindi del momento flettente in ogni sezione della trave.


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Osservazione 8

Le equazioni indefinite di equilibrio relative ad una trave rettilinea (17.72) avrebbero potuto ottenersi immediatamente considerando lequilibrio di un concio piccolissimo di trave rettilinea. Infatti, con riferimento alla figura 17.16 lequazione di equilibrio alla traslazione nella direzione z fornisce:

( ) ( ) ( ) 0dzzqdNzNzN t =+++ (17.75) da cui

( )zqdzdN

t= (17.76)

Figura 17.16.

Lequazione di equilibrio in direzione ortogonale allasse z fornisce:

( ) ( ) ( ) 0dzzqdTzTzT n = (17.77) da cui

( )zqdzdT

n= (17.78)

Infine lequazione di equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro della sezione z2 = z+dz fornisce

( ) ( ) ( ) ( ) 02dzdzzqdzzTdMzMzM n =+++ (17.79)

da cui

( ) ( ) 02

dzzqzTdzdM n =+ (17.80)

Il terzo addendo di questultima trascurabile rispetto ai primi due ( infinitesimo, mentre i primi due sono quantit finite), pertanto

( )zTdzdM

= (17.81)

N(z) M(z)

T(z)

T(z) + dT

z

z2 = z+dz

qn(z)dz

dz=z2z

N(z) + dN

M(z)+dM qt(z)dz z


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Osservazione 9 Relativamente ad una trave rettilinea le equazioni indefinite di

equilibrio (17.72) consentono le seguenti importanti affermazioni:

a) nei tratti di trave in cui non sono presenti carichi nella direzione dellasse lo sforzo normale costante (infatti qt = 0 implica derivata di N(z) nulla e quindi N(z) costante);

b) nei tratti di trave in cui non sono presenti carichi ortogonali dellasse il taglio costante (infatti qn = 0 implica derivata di T(z) nulla e quindi T(z) costante);

c) nei tratti di trave in cui non sono presenti carichi ortogonali dellasse il momento M(z) ha andamento lineare (infatti qn = 0 implica derivata di T(z) nulla e quindi T(z) costante; daltra parte T(z) costante implica derivata di M(z) costante e quindi M(z) lineare);

d) nei tratti di trave in cui presente un carico costante nella direzione dellasse lo sforzo normale N(z) ha andamento lineare (infatti qt(z) costante implica derivata di N(z) costante e quindi N(z) lineare);

e) nei tratti di trave in cui presente un carico costante ortogonale allasse il taglio T(z) ha andamento lineare (infatti qn(z) costante implica derivata di T(z) costante e quindi T(z) lineare);

f) nei tratti di trave in cui presente un carico costante ortogonale allasse il momento M(z) descritto da un polinomio di secondo grado in z; brevemente si dice che ha andamento parabolico (infatti qn(z) costante implica derivata di T(z) costante e quindi T(z) lineare; daltra parte T(z) lineare implica derivata di M(z) lineare e quindi M(z) descritto da un polinomio di secondo grado);

g) la presenza di una forza concentrata trasversale produce, come visto, una discontinuit del taglio T(z); conseguentemente produce una discontinuit della derivata di M(z) e quindi una discontinuit della tangente al grafico di M(z), come anticipato in figura 16.7;

h) negli intervalli in cui il taglio T(z) positivo il momento flettente M(z) crescente; viceversa, negli intervalli in cui il taglio T(z) negativo il momento flettente M(z) decrescente;

i) in una sezione in cui il momento flettente stazionario (cio massimo o minimo) deve annullarsi la derivata prima della funzione M(z) e cio deve annullarsi T(z); questa condizione pu vantaggiosamente essere utilizzata per determinare le posizioni delle sezioni in corrispondenza delle quali il momento flettente massimo o minimo.

La figura 17.17 mostra una trave rettilinea soggetta in alcuni tratti a carichi costanti ed i conseguenti grafici delle funzioni caratteristiche di


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sollecitazione Nz), T(z) ed M(z). In questa figura possono osservarsi le precedenti affermazioni a) i). Per il caso di figura 17.17 le espressioni delle caratteristiche di sollecitazione nelle sezioni z1, z2, z3 e z4 di si ottengono immediatamente mediante le espressioni (17.33)-(17.36). Ad esempio, il momento flettente nella sezione z3 , utilizzando la (17.36)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

++=

=+=

=+=

=+=

2zzzzzqzzzTzM

dzqzzzTzM

dzqdzqdzqzzzTzM

dzqzzzTzMzM

12312n0300

z

z3n0300

z

z3n

z

z3n

z

z3n0300

z

z3n03003

2

1

3

2

2

1

1

0

3

0

(17.82)

espressione che avrebbe potuto ottenersi calcolando il momento rispetto al baricentro della sezione z3 di tutte le forze applicate tra le sezioni z0 e z3.

Figura 17.17.

z0

z1 z2 z3 zL

M(z0)

T(z0)

N(z0) M(zL)

T(zL)

N(zL)

N(z)

N(z0) z N(z1) = N(z0)

N(zL) = N(z1)-qt(zL-z3)

z

T(z)

T(z0)

z0 z1 s3 zL

z0 zL

qt qn

z2

N(z2) = N(z0)

N(z3) = N(z0)

T(z1) = T(z0) z1 z2

T(z2) = T(z0) - qn(z2 - z1)

z3

T(z3) = T(z2) T(zL) = T(z2)

qn = 0 qt = 0

qn costante qt = 0

qt costante qn = 0

qn = 0 qt = 0

N(z) costante N(z) costante N(z) costante N(z) lineare

T(z) costante T(z) lineare T(z) costante T(z) costante

M(z)

z M(z0)

M(zL)

z0 sL

M(z1) = M(z0) + T(z0)(z1 - z0)

z1 z2

M(z2) = M(z0) + T(z0)(z2 - z0) qn (z2 z1)2/2

z3

M(z3) = M(z0) + T(z0)(z3 - z0) qn (z2 z1)[z3 - (z1+z2)/2]

M(zL) = M(z0) + T(z0)(zL - z0) qn (z2 z1)[zL - (z1+z2)/2]

zM

Mmax

M(z) lineare M(z) parabolico

M(z) lineare M(z) lineare


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Si osserva inoltre che, come prescritto dalla terza delle (17.72), e come osservato al precedente punto i), nella sezione zM in cui il momento flettente stazionario (massimo nel presente caso) il taglio, che ne la derivata, nullo. Questa condizione pu vantaggiosamente essere utilizzata per determinare zM. Tra z1 e z2 il taglio ha lespressione ( ) ( ) ( )1n0 zzqzTzT = (17.83) e la condizione di annullamento ( ) ( ) 0zzqzT 1Mn0 = (17.84) da cui

( )

1n

0M zq

zTz += (17.85)

Osservazione 10

Le caratteristiche di sollecitazione in una certa sezione S che divide una trave in due tronchi T1 e T2 possono essere considerate come le reazioni vincolari di un incastro interno che connette li due tronchi T1 e T2 attraverso la sezione S impedendo gli spostamenti e le rotazioni relative tra i due tronchi.

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17_equazioni Indefinite Di Equilibrio Per Le Travi Piane

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