2 GRANDEZZE CHE POSSONO INFLUENZARE

LA SCELTA DI UN MATERIALE

21 PROCESSO DI MAGNETIZZAZIONE ED

INTRODUZIONE ALLISTERESI

Lespressione ldquocaratterizzazione magneticardquo identifica principalmente il

processo sperimentale attraverso il quale si determina la legge fondamentale di

un materiale magnetico Questa legge egrave espressa dalla dipendenza funzionale

M(H) della magnetizzazione dal campo oppure in alternativa secondo le leggi

equivalenti J(H) e B(H) I materiali diamagnetici e paramagnetici vengono

descritti attraverso semplici relazioni fra campo e magnetizzazione Questo non

significa assolutamente che tali relazioni siano di facile sperimentazione in

quanto la suscettibilitagrave associata egrave molto bassa e di conseguenza risulta difficile

distinguere la risposta del campione testato dai disturbi provenienti

dallesterno I ferromagneti (e i ferrimagneti) mostrano risposte intrinsecamente

ampie La proprietagrave di riferimento di questi materiali egrave che sono dotati di un

campo molecolare di origine quanto-meccanica che implica un ordine

magnetico cioegrave possibili elevati valori del momento magnetico per unitagrave di

volume Comunque la fenomenologia del processo di magnetizzazione di

questi materiali egrave estremamente complessa come mostrato dalle molteplici

manifestazioni dellisteresi Ciograve si presenta come il risultato macroscopico di

unintricata combinazione di processi microscopici che ruotano attorno

allesistenza di domini (o in casi particolari di domini mono-particella) Tali

processi microscopici portano alla riorganizzazione collettiva dei momenti

magnetici sotto lazione di un campo magnetico

33

Lo studio sperimentale dellisteresi magnetica e lanalisi generale dei materiali

richiedono che venga definito un qualche tipo di stato di riferimento accessibile

La saturazione magnetica e la condizione di smagnetizzazione sono due dei

principali punti di riferimento Il materiale si dice smagnetizzato quando i

valori di H ed M sono uguali a 0 A questo scopo il campione puograve essere

portato al di sopra della temperatura di Curie e raffreddato in ambiente a

campo zero oppure viene applicato un campo alternato la cui ampiezza del

picco viene progressivamente e gradualmente ridotta partendo dalla

saturazione e arrivando allo zero Lo stato di smagnetizzazione dovrebbe

realizzare dal punto di vista microscopico quella particolare disposizione della

struttura magnetica interna che corrisponde al minimo assoluto dellenergia

libera magnetica In effetti un infinito numero di traiettorie puograve portare alla

smagnetizzazione del campione senza perograve portare allo stato di

demagnetizzazione (punti in cui Hne0 e M=0) Se partendo dallo stato di

smagnetizzazione viene applicato un campo di ampiezza crescente sul piano

(H-J) oppure (H-M) verragrave descritta una curva Si tratta della curva di

magnetizzazione iniziale Nella pratica corrente la smagnetizzazione termica

viene utilizzata raramente Quando questa tecnica viene applicata non si

raggiunge lo stesso risultato della convenzionale smagnetizzazione con campo

alternato dal punto di vista microscopico La curva descritta dopo la

smagnetizzazione termica si chiama curva vergine e differisce leggermente da

quella di magnetizzazione iniziale ottenuta con laltro procedimento La Fig 21

fornisce un esempio di curve di magnetizzazione iniziale in magneti soft e hard

in campi J-H e B-H

Queste curve sono state ottenute usando un circuito magnetico chiuso con

campo applicato Ha cong H Se vengono testati dei campioni ldquoapertirdquo oppure se la

chiusura del flusso non egrave perfetta Ha = H+(Ndμ0)J e le curve J-Ha e B-Ha

34

risulteranno scostate al contrario delle curve ottenute con circuito chiuso J-H e

B-H In pratica nei magneti soft esiste una differenza sensibile fra le due

rappresentazioni soltanto vicino allo stato di saturazione dove il termine μ0 H

puograve essere apprezzato1 Per muoverci lungo la curva di magnetizzazione

dobbiamo spendere energia Assumiamo che un campo lentamente crescente

nel tempo venga applicato ad un campione che forma un circuito magnetico

chiuso (ad es un anello) utilizzando un avvolgimento opportunamente

collegato ed attraversato da una corrente i(t) In qualsiasi istante la tensione

applicata vine bilanciata dalla caduta di tensione dovuta alla resistenza

dellavvolgimento Rai(t) e dalla fem indotta dΦdt

uG(t)=Rai(t)+ dΦdt

Partendo dallo stato di smagnetizzazione si raggiunge un determinato stato

finale con induzione Bp dopo un intervallo di tempo t0 Lenergia fornita E = 0intto

uG(t)i(t)dt viene in parte dissipata nel conduttore per effetto Joule e in parte

trasferita al sistema magnetico

1 Si tenga presente che B=μ0H+μ0M

35

Fig 21 Curve di magnetizzazione iniziale in lamierini NO Fe-Si e in un magnete sinterizzato di Nd-Fe-Dy-Al-B Larea ombreggiata indica lenergia per unitagrave di volume utilizzata per portare il materiale dallo stato di smagnetizzazione al picco di induzione Bp

dove Na egrave il numero di spire dellavvolgimento e A egrave larea trasversale del

provino Ciograve che ci interessa maggiormente egrave il secondo termine del secondo

membro dellequazione precedente Se consideriamo un campione a forma di

anello di circonferenza media lm possiamo scrivere i(t) = (lmNa)∙H(t) e si trova

che lenergia necessaria a portare il sistema a regime egrave

Facendo riferimento alla rappresentazione grafica della curva di

magnetizzazione iniziale mostrata nella Fig 21 possiamo concludere che

lenergia per unitagrave di volume necessaria per raggiungere il valore di induzione

Bp (o il valore di polarizzazione Jp) egrave data dallarea fra la curva B(H) e lasse

delle ordinate Introducendo lequazione della nota 1 nella equazione

precedente otteniamo

e possiamo distinguere fra lenergia immagazzinata nel campo magnetico e

quella immagazzinata nel materiale Ci si aspetta che parte di questultima

venga persa durante il processo Ad esclusione di alcuni casi particolari il

processo di magnetizzazione egrave associato ad una dissipazione di energia

misurabile Ciograve si nota nellisteresi che egrave un ritardo subito dalleffetto in seguito

alla variazione della causa La Fig 22 mostra due esempi di cicli di isteresi in

materiali soft e hard ottenuti facendo variare ciclicamente il campo tra due

valori di picco simmetrici plusmnHp

36

E=int0

t 0

Rai 2t dtint0

t 0

N a Ai t dBdt

dt

U=Vint0

t 0

H t dBdt

dt=Vint0

B p

H dB

U=V int0

H p

0 H dHVint0

J p

H dJ

Se lintegrazione dellultima equazione trovata viene effettuata su un intero

ciclo il bilancio energetico ottenuto egrave

la quantitagrave W egrave lenergia persa per unitagrave di volume Il termine ∮0 H dH ha

media zero nellarco di un ciclo Eliminando questo termine si ottiene che larea

del ciclo B(H) egrave uguale allarea del ciclo J(H) Si notino nei cicli rappresentati

nella Fig 22 il punto di rimanenza dove JrequivBr e la distinzione che esiste tra i

campi coercitivi HcB e HcJ dove il secondo dei due egrave il valore del campo per cui

il materiale egrave smagnetizzato (in effetti questo stato di smagnetizzazione non

corrisponde a quello indicato precedentemente)

La fenomenologia dellisteresi magnetica egrave estremamente complessa ma dotata

di una certa regolaritagrave matematica ed ha incentivato lo sviluppo di diversi

modelli matematici il primo dei quali fu quello di Preisach Limitandosi a

testare i materiali per bassi valori di campo egrave possibile descrivere la curva

iniziale e i cicli di isteresi simmetrici attraverso una funzione ben definita la

legge di Rayleigh Un esempio di cicli nella regione di Rayleigh egrave presentato

37

W=∮0 H dH∮H dJ=∮ H dJ=∮H dB

Fig 22 Esempi di cicli di isteresi in materiali soft e hard Nei lamierini Fe-Si soft non cegrave una differenza sensibile tra le curve B(H) e J(H) per magnetizzazioni e campi di interesse tecnico La differenza egrave invece evidente negli hard Questo porta a due differenti definizioni di campo coercitivo HcB egrave il campo necessario per portare linduzione a zero partendo dallo stato di saturazione mentre HcJ egrave il campo necessario per ridurre a zero la polarizzazione J Si ha sempre che HcJgtHcB

nella Fig 23 dove si osserva che

la polarizzazione del materiale

dipende dal quadrato del campo

magnetico In particolare

qualsiasi ciclo di isteresi

determinato fra i valori di picco

del campo plusmnHp ha rami ascendenti

e discendenti descritti

dallequazione

dove a e b sono chiamate rispettivamente costanti reversibile e irreversibile di

Rayleigh I punti estremi dei cicli (Hp Jp) descrivono la curva di

magnetizzazione iniziale (chiamata anche curva di magnetizzazione normale)

secondo la legge

Nel limite di campi molto bassi la curva di magnetizzazione diventa lineare

(come risulta evidente dalla figura 23) con la costante a proporzionale alla

suscettibilitagrave iniziale χi

Lintegrazione dellarea del ciclo fornisce la perdita per isteresi per unitagrave di

volume

38

J p=a H pb H p2

a= limH prArr0

J p

H p=0i

W=43

b H p3

Fig 23 Cicli di isteresi sperimentali nella regione di Rayleigh Lenergia dissipata per unitagrave di volume durante un ciclo completo egrave data dallequazione W=43bHp

3 dove b egrave un coefficiente dipendente alla struttura e Hp egrave il valore di picco del campo

J H =abH pH∓b2H p

2minusH 2

in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso

modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco

della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come

Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave

il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare

a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le

interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di

scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque

mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora

evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento

magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di

variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici

non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa

condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla

velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi

esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un

andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla

resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il

comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione

delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si

sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite

di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo

che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in

relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)

39

W= 16b2 [minusaa24b J p]

3

22 COMPORTAMENTO

DELLISTERESI IN

FUNZIONE DELLA

TEMPERATURA

Listeresi egrave un fenomeno i cui

risultati dipendono dalla

temperatura Un metodo analitico

per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato

di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto

necessario esaminare brevemente il modello originale

Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due

componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega

questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione

anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin

con

dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le

costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti

dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore

40

M an=M s[cothH e

aminus a

H e]

dM irr

dH e=

M anminusM irr

k

Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft

+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti

si arriva allequazione principale del modello originale di JA

Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M

rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave

nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello

inverso la cui equazione principale egrave

dove

e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico

Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza

dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli

effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS

(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione

della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono

essere espressi in funzione degli altri parametri

Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima

volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come

elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei

grafici fanno riferimento a questo esperimento

41

dMdH

=1minuscdM irr dH ecdM an dH e

1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e

dMdB

=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e

101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e

dM irr

dBe=

M anminusM irr

0 k

La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere

espressa come

dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la

temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale

Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla

coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento

esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore

di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo

lequazione

dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di

pinning ed egrave approssimativamente β12

La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve

essere descritto dalla relazione

dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave

dei domini ed egrave approssimativamente β12

Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i

domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come

42

M s T =M s01minusTT c

1

k T =k 0eminus 12

TT C

a T =a 0 eminus 13

TT C

= 3aM s

minus 1an

Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al

domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive

formule in prima approssimazione si ottiene

dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e

per i materiali isotropici egrave espresso come

Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione

MS ed a si ottiene

dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la

43

T =3a 0M s0

eminus 13

TT C

1minus TT C

1

T =0eminus 21

TT C 1minus T

T Cminus1

c= 3aM S

in

c T =3a 0M s0

in e

minus 12

TT C

1minus TT C

1

c T =c 0eminus 21

TTC 1minus T

T Cminus1

curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per

identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25

Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co

La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza

di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad

uno magneticamente disordinato (paramagnetico)

Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in

funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)

Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata

44

MS

MS

La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura

e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig

26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura

indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)

Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata

La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della

temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici

in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)

Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata

Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di

45

ka

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

Lo studio sperimentale dellisteresi magnetica e lanalisi generale dei materiali

richiedono che venga definito un qualche tipo di stato di riferimento accessibile

La saturazione magnetica e la condizione di smagnetizzazione sono due dei

principali punti di riferimento Il materiale si dice smagnetizzato quando i

valori di H ed M sono uguali a 0 A questo scopo il campione puograve essere

portato al di sopra della temperatura di Curie e raffreddato in ambiente a

campo zero oppure viene applicato un campo alternato la cui ampiezza del

picco viene progressivamente e gradualmente ridotta partendo dalla

saturazione e arrivando allo zero Lo stato di smagnetizzazione dovrebbe

realizzare dal punto di vista microscopico quella particolare disposizione della

struttura magnetica interna che corrisponde al minimo assoluto dellenergia

libera magnetica In effetti un infinito numero di traiettorie puograve portare alla

smagnetizzazione del campione senza perograve portare allo stato di

demagnetizzazione (punti in cui Hne0 e M=0) Se partendo dallo stato di

smagnetizzazione viene applicato un campo di ampiezza crescente sul piano

(H-J) oppure (H-M) verragrave descritta una curva Si tratta della curva di

magnetizzazione iniziale Nella pratica corrente la smagnetizzazione termica

viene utilizzata raramente Quando questa tecnica viene applicata non si

raggiunge lo stesso risultato della convenzionale smagnetizzazione con campo

alternato dal punto di vista microscopico La curva descritta dopo la

smagnetizzazione termica si chiama curva vergine e differisce leggermente da

quella di magnetizzazione iniziale ottenuta con laltro procedimento La Fig 21

fornisce un esempio di curve di magnetizzazione iniziale in magneti soft e hard

in campi J-H e B-H

Queste curve sono state ottenute usando un circuito magnetico chiuso con

campo applicato Ha cong H Se vengono testati dei campioni ldquoapertirdquo oppure se la

chiusura del flusso non egrave perfetta Ha = H+(Ndμ0)J e le curve J-Ha e B-Ha

34

risulteranno scostate al contrario delle curve ottenute con circuito chiuso J-H e

B-H In pratica nei magneti soft esiste una differenza sensibile fra le due

rappresentazioni soltanto vicino allo stato di saturazione dove il termine μ0 H

puograve essere apprezzato1 Per muoverci lungo la curva di magnetizzazione

dobbiamo spendere energia Assumiamo che un campo lentamente crescente

nel tempo venga applicato ad un campione che forma un circuito magnetico

chiuso (ad es un anello) utilizzando un avvolgimento opportunamente

collegato ed attraversato da una corrente i(t) In qualsiasi istante la tensione

applicata vine bilanciata dalla caduta di tensione dovuta alla resistenza

dellavvolgimento Rai(t) e dalla fem indotta dΦdt

uG(t)=Rai(t)+ dΦdt

Partendo dallo stato di smagnetizzazione si raggiunge un determinato stato

finale con induzione Bp dopo un intervallo di tempo t0 Lenergia fornita E = 0intto

uG(t)i(t)dt viene in parte dissipata nel conduttore per effetto Joule e in parte

trasferita al sistema magnetico

1 Si tenga presente che B=μ0H+μ0M

35

Fig 21 Curve di magnetizzazione iniziale in lamierini NO Fe-Si e in un magnete sinterizzato di Nd-Fe-Dy-Al-B Larea ombreggiata indica lenergia per unitagrave di volume utilizzata per portare il materiale dallo stato di smagnetizzazione al picco di induzione Bp

dove Na egrave il numero di spire dellavvolgimento e A egrave larea trasversale del

provino Ciograve che ci interessa maggiormente egrave il secondo termine del secondo

membro dellequazione precedente Se consideriamo un campione a forma di

anello di circonferenza media lm possiamo scrivere i(t) = (lmNa)∙H(t) e si trova

che lenergia necessaria a portare il sistema a regime egrave

Facendo riferimento alla rappresentazione grafica della curva di

magnetizzazione iniziale mostrata nella Fig 21 possiamo concludere che

lenergia per unitagrave di volume necessaria per raggiungere il valore di induzione

Bp (o il valore di polarizzazione Jp) egrave data dallarea fra la curva B(H) e lasse

delle ordinate Introducendo lequazione della nota 1 nella equazione

precedente otteniamo

e possiamo distinguere fra lenergia immagazzinata nel campo magnetico e

quella immagazzinata nel materiale Ci si aspetta che parte di questultima

venga persa durante il processo Ad esclusione di alcuni casi particolari il

processo di magnetizzazione egrave associato ad una dissipazione di energia

misurabile Ciograve si nota nellisteresi che egrave un ritardo subito dalleffetto in seguito

alla variazione della causa La Fig 22 mostra due esempi di cicli di isteresi in

materiali soft e hard ottenuti facendo variare ciclicamente il campo tra due

valori di picco simmetrici plusmnHp

36

E=int0

t 0

Rai 2t dtint0

t 0

N a Ai t dBdt

dt

U=Vint0

t 0

H t dBdt

dt=Vint0

B p

H dB

U=V int0

H p

0 H dHVint0

J p

H dJ

Se lintegrazione dellultima equazione trovata viene effettuata su un intero

ciclo il bilancio energetico ottenuto egrave

la quantitagrave W egrave lenergia persa per unitagrave di volume Il termine ∮0 H dH ha

media zero nellarco di un ciclo Eliminando questo termine si ottiene che larea

del ciclo B(H) egrave uguale allarea del ciclo J(H) Si notino nei cicli rappresentati

nella Fig 22 il punto di rimanenza dove JrequivBr e la distinzione che esiste tra i

campi coercitivi HcB e HcJ dove il secondo dei due egrave il valore del campo per cui

il materiale egrave smagnetizzato (in effetti questo stato di smagnetizzazione non

corrisponde a quello indicato precedentemente)

La fenomenologia dellisteresi magnetica egrave estremamente complessa ma dotata

di una certa regolaritagrave matematica ed ha incentivato lo sviluppo di diversi

modelli matematici il primo dei quali fu quello di Preisach Limitandosi a

testare i materiali per bassi valori di campo egrave possibile descrivere la curva

iniziale e i cicli di isteresi simmetrici attraverso una funzione ben definita la

legge di Rayleigh Un esempio di cicli nella regione di Rayleigh egrave presentato

37

W=∮0 H dH∮H dJ=∮ H dJ=∮H dB

Fig 22 Esempi di cicli di isteresi in materiali soft e hard Nei lamierini Fe-Si soft non cegrave una differenza sensibile tra le curve B(H) e J(H) per magnetizzazioni e campi di interesse tecnico La differenza egrave invece evidente negli hard Questo porta a due differenti definizioni di campo coercitivo HcB egrave il campo necessario per portare linduzione a zero partendo dallo stato di saturazione mentre HcJ egrave il campo necessario per ridurre a zero la polarizzazione J Si ha sempre che HcJgtHcB

nella Fig 23 dove si osserva che

la polarizzazione del materiale

dipende dal quadrato del campo

magnetico In particolare

qualsiasi ciclo di isteresi

determinato fra i valori di picco

del campo plusmnHp ha rami ascendenti

e discendenti descritti

dallequazione

dove a e b sono chiamate rispettivamente costanti reversibile e irreversibile di

Rayleigh I punti estremi dei cicli (Hp Jp) descrivono la curva di

magnetizzazione iniziale (chiamata anche curva di magnetizzazione normale)

secondo la legge

Nel limite di campi molto bassi la curva di magnetizzazione diventa lineare

(come risulta evidente dalla figura 23) con la costante a proporzionale alla

suscettibilitagrave iniziale χi

Lintegrazione dellarea del ciclo fornisce la perdita per isteresi per unitagrave di

volume

38

J p=a H pb H p2

a= limH prArr0

J p

H p=0i

W=43

b H p3

Fig 23 Cicli di isteresi sperimentali nella regione di Rayleigh Lenergia dissipata per unitagrave di volume durante un ciclo completo egrave data dallequazione W=43bHp

3 dove b egrave un coefficiente dipendente alla struttura e Hp egrave il valore di picco del campo

J H =abH pH∓b2H p

2minusH 2

in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso

modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco

della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come

Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave

il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare

a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le

interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di

scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque

mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora

evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento

magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di

variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici

non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa

condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla

velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi

esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un

andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla

resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il

comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione

delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si

sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite

di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo

che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in

relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)

39

W= 16b2 [minusaa24b J p]

3

22 COMPORTAMENTO

DELLISTERESI IN

FUNZIONE DELLA

TEMPERATURA

Listeresi egrave un fenomeno i cui

risultati dipendono dalla

temperatura Un metodo analitico

per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato

di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto

necessario esaminare brevemente il modello originale

Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due

componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega

questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione

anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin

con

dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le

costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti

dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore

40

M an=M s[cothH e

aminus a

H e]

dM irr

dH e=

M anminusM irr

k

Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft

+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti

si arriva allequazione principale del modello originale di JA

Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M

rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave

nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello

inverso la cui equazione principale egrave

dove

e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico

Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza

dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli

effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS

(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione

della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono

essere espressi in funzione degli altri parametri

Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima

volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come

elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei

grafici fanno riferimento a questo esperimento

41

dMdH

=1minuscdM irr dH ecdM an dH e

1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e

dMdB

=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e

101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e

dM irr

dBe=

M anminusM irr

0 k

La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere

espressa come

dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la

temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale

Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla

coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento

esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore

di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo

lequazione

dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di

pinning ed egrave approssimativamente β12

La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve

essere descritto dalla relazione

dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave

dei domini ed egrave approssimativamente β12

Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i

domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come

42

M s T =M s01minusTT c

1

k T =k 0eminus 12

TT C

a T =a 0 eminus 13

TT C

= 3aM s

minus 1an

Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al

domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive

formule in prima approssimazione si ottiene

dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e

per i materiali isotropici egrave espresso come

Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione

MS ed a si ottiene

dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la

43

T =3a 0M s0

eminus 13

TT C

1minus TT C

1

T =0eminus 21

TT C 1minus T

T Cminus1

c= 3aM S

in

c T =3a 0M s0

in e

minus 12

TT C

1minus TT C

1

c T =c 0eminus 21

TTC 1minus T

T Cminus1

curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per

identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25

Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co

La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza

di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad

uno magneticamente disordinato (paramagnetico)

Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in

funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)

Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata

44

MS

MS

La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura

e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig

26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura

indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)

Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata

La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della

temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici

in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)

Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata

Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di

45

ka

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

risulteranno scostate al contrario delle curve ottenute con circuito chiuso J-H e

B-H In pratica nei magneti soft esiste una differenza sensibile fra le due

rappresentazioni soltanto vicino allo stato di saturazione dove il termine μ0 H

puograve essere apprezzato1 Per muoverci lungo la curva di magnetizzazione

dobbiamo spendere energia Assumiamo che un campo lentamente crescente

nel tempo venga applicato ad un campione che forma un circuito magnetico

chiuso (ad es un anello) utilizzando un avvolgimento opportunamente

collegato ed attraversato da una corrente i(t) In qualsiasi istante la tensione

applicata vine bilanciata dalla caduta di tensione dovuta alla resistenza

dellavvolgimento Rai(t) e dalla fem indotta dΦdt

uG(t)=Rai(t)+ dΦdt

Partendo dallo stato di smagnetizzazione si raggiunge un determinato stato

finale con induzione Bp dopo un intervallo di tempo t0 Lenergia fornita E = 0intto

uG(t)i(t)dt viene in parte dissipata nel conduttore per effetto Joule e in parte

trasferita al sistema magnetico

1 Si tenga presente che B=μ0H+μ0M

35

Fig 21 Curve di magnetizzazione iniziale in lamierini NO Fe-Si e in un magnete sinterizzato di Nd-Fe-Dy-Al-B Larea ombreggiata indica lenergia per unitagrave di volume utilizzata per portare il materiale dallo stato di smagnetizzazione al picco di induzione Bp

dove Na egrave il numero di spire dellavvolgimento e A egrave larea trasversale del

provino Ciograve che ci interessa maggiormente egrave il secondo termine del secondo

membro dellequazione precedente Se consideriamo un campione a forma di

anello di circonferenza media lm possiamo scrivere i(t) = (lmNa)∙H(t) e si trova

che lenergia necessaria a portare il sistema a regime egrave

Facendo riferimento alla rappresentazione grafica della curva di

magnetizzazione iniziale mostrata nella Fig 21 possiamo concludere che

lenergia per unitagrave di volume necessaria per raggiungere il valore di induzione

Bp (o il valore di polarizzazione Jp) egrave data dallarea fra la curva B(H) e lasse

delle ordinate Introducendo lequazione della nota 1 nella equazione

precedente otteniamo

e possiamo distinguere fra lenergia immagazzinata nel campo magnetico e

quella immagazzinata nel materiale Ci si aspetta che parte di questultima

venga persa durante il processo Ad esclusione di alcuni casi particolari il

processo di magnetizzazione egrave associato ad una dissipazione di energia

misurabile Ciograve si nota nellisteresi che egrave un ritardo subito dalleffetto in seguito

alla variazione della causa La Fig 22 mostra due esempi di cicli di isteresi in

materiali soft e hard ottenuti facendo variare ciclicamente il campo tra due

valori di picco simmetrici plusmnHp

36

E=int0

t 0

Rai 2t dtint0

t 0

N a Ai t dBdt

dt

U=Vint0

t 0

H t dBdt

dt=Vint0

B p

H dB

U=V int0

H p

0 H dHVint0

J p

H dJ

Se lintegrazione dellultima equazione trovata viene effettuata su un intero

ciclo il bilancio energetico ottenuto egrave

la quantitagrave W egrave lenergia persa per unitagrave di volume Il termine ∮0 H dH ha

media zero nellarco di un ciclo Eliminando questo termine si ottiene che larea

del ciclo B(H) egrave uguale allarea del ciclo J(H) Si notino nei cicli rappresentati

nella Fig 22 il punto di rimanenza dove JrequivBr e la distinzione che esiste tra i

campi coercitivi HcB e HcJ dove il secondo dei due egrave il valore del campo per cui

il materiale egrave smagnetizzato (in effetti questo stato di smagnetizzazione non

corrisponde a quello indicato precedentemente)

La fenomenologia dellisteresi magnetica egrave estremamente complessa ma dotata

di una certa regolaritagrave matematica ed ha incentivato lo sviluppo di diversi

modelli matematici il primo dei quali fu quello di Preisach Limitandosi a

testare i materiali per bassi valori di campo egrave possibile descrivere la curva

iniziale e i cicli di isteresi simmetrici attraverso una funzione ben definita la

legge di Rayleigh Un esempio di cicli nella regione di Rayleigh egrave presentato

37

W=∮0 H dH∮H dJ=∮ H dJ=∮H dB

Fig 22 Esempi di cicli di isteresi in materiali soft e hard Nei lamierini Fe-Si soft non cegrave una differenza sensibile tra le curve B(H) e J(H) per magnetizzazioni e campi di interesse tecnico La differenza egrave invece evidente negli hard Questo porta a due differenti definizioni di campo coercitivo HcB egrave il campo necessario per portare linduzione a zero partendo dallo stato di saturazione mentre HcJ egrave il campo necessario per ridurre a zero la polarizzazione J Si ha sempre che HcJgtHcB

nella Fig 23 dove si osserva che

la polarizzazione del materiale

dipende dal quadrato del campo

magnetico In particolare

qualsiasi ciclo di isteresi

determinato fra i valori di picco

del campo plusmnHp ha rami ascendenti

e discendenti descritti

dallequazione

dove a e b sono chiamate rispettivamente costanti reversibile e irreversibile di

Rayleigh I punti estremi dei cicli (Hp Jp) descrivono la curva di

magnetizzazione iniziale (chiamata anche curva di magnetizzazione normale)

secondo la legge

Nel limite di campi molto bassi la curva di magnetizzazione diventa lineare

(come risulta evidente dalla figura 23) con la costante a proporzionale alla

suscettibilitagrave iniziale χi

Lintegrazione dellarea del ciclo fornisce la perdita per isteresi per unitagrave di

volume

38

J p=a H pb H p2

a= limH prArr0

J p

H p=0i

W=43

b H p3

Fig 23 Cicli di isteresi sperimentali nella regione di Rayleigh Lenergia dissipata per unitagrave di volume durante un ciclo completo egrave data dallequazione W=43bHp

3 dove b egrave un coefficiente dipendente alla struttura e Hp egrave il valore di picco del campo

J H =abH pH∓b2H p

2minusH 2

in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso

modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco

della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come

Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave

il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare

a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le

interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di

scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque

mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora

evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento

magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di

variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici

non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa

condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla

velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi

esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un

andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla

resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il

comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione

delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si

sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite

di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo

che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in

relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)

39

W= 16b2 [minusaa24b J p]

3

22 COMPORTAMENTO

DELLISTERESI IN

FUNZIONE DELLA

TEMPERATURA

Listeresi egrave un fenomeno i cui

risultati dipendono dalla

temperatura Un metodo analitico

per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato

di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto

necessario esaminare brevemente il modello originale

Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due

componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega

questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione

anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin

con

dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le

costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti

dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore

40

M an=M s[cothH e

aminus a

H e]

dM irr

dH e=

M anminusM irr

k

Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft

+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti

si arriva allequazione principale del modello originale di JA

Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M

rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave

nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello

inverso la cui equazione principale egrave

dove

e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico

Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza

dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli

effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS

(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione

della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono

essere espressi in funzione degli altri parametri

Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima

volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come

elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei

grafici fanno riferimento a questo esperimento

41

dMdH

=1minuscdM irr dH ecdM an dH e

1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e

dMdB

=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e

101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e

dM irr

dBe=

M anminusM irr

0 k

La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere

espressa come

dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la

temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale

Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla

coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento

esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore

di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo

lequazione

dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di

pinning ed egrave approssimativamente β12

La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve

essere descritto dalla relazione

dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave

dei domini ed egrave approssimativamente β12

Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i

domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come

42

M s T =M s01minusTT c

1

k T =k 0eminus 12

TT C

a T =a 0 eminus 13

TT C

= 3aM s

minus 1an

Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al

domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive

formule in prima approssimazione si ottiene

dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e

per i materiali isotropici egrave espresso come

Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione

MS ed a si ottiene

dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la

43

T =3a 0M s0

eminus 13

TT C

1minus TT C

1

T =0eminus 21

TT C 1minus T

T Cminus1

c= 3aM S

in

c T =3a 0M s0

in e

minus 12

TT C

1minus TT C

1

c T =c 0eminus 21

TTC 1minus T

T Cminus1

curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per

identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25

Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co

La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza

di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad

uno magneticamente disordinato (paramagnetico)

Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in

funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)

Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata

44

MS

MS

La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura

e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig

26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura

indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)

Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata

La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della

temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici

in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)

Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata

Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di

45

ka

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

dove Na egrave il numero di spire dellavvolgimento e A egrave larea trasversale del

provino Ciograve che ci interessa maggiormente egrave il secondo termine del secondo

membro dellequazione precedente Se consideriamo un campione a forma di

anello di circonferenza media lm possiamo scrivere i(t) = (lmNa)∙H(t) e si trova

che lenergia necessaria a portare il sistema a regime egrave

Facendo riferimento alla rappresentazione grafica della curva di

magnetizzazione iniziale mostrata nella Fig 21 possiamo concludere che

lenergia per unitagrave di volume necessaria per raggiungere il valore di induzione

Bp (o il valore di polarizzazione Jp) egrave data dallarea fra la curva B(H) e lasse

delle ordinate Introducendo lequazione della nota 1 nella equazione

precedente otteniamo

e possiamo distinguere fra lenergia immagazzinata nel campo magnetico e

quella immagazzinata nel materiale Ci si aspetta che parte di questultima

venga persa durante il processo Ad esclusione di alcuni casi particolari il

processo di magnetizzazione egrave associato ad una dissipazione di energia

misurabile Ciograve si nota nellisteresi che egrave un ritardo subito dalleffetto in seguito

alla variazione della causa La Fig 22 mostra due esempi di cicli di isteresi in

materiali soft e hard ottenuti facendo variare ciclicamente il campo tra due

valori di picco simmetrici plusmnHp

36

E=int0

t 0

Rai 2t dtint0

t 0

N a Ai t dBdt

dt

U=Vint0

t 0

H t dBdt

dt=Vint0

B p

H dB

U=V int0

H p

0 H dHVint0

J p

H dJ

Se lintegrazione dellultima equazione trovata viene effettuata su un intero

ciclo il bilancio energetico ottenuto egrave

la quantitagrave W egrave lenergia persa per unitagrave di volume Il termine ∮0 H dH ha

media zero nellarco di un ciclo Eliminando questo termine si ottiene che larea

del ciclo B(H) egrave uguale allarea del ciclo J(H) Si notino nei cicli rappresentati

nella Fig 22 il punto di rimanenza dove JrequivBr e la distinzione che esiste tra i

campi coercitivi HcB e HcJ dove il secondo dei due egrave il valore del campo per cui

il materiale egrave smagnetizzato (in effetti questo stato di smagnetizzazione non

corrisponde a quello indicato precedentemente)

La fenomenologia dellisteresi magnetica egrave estremamente complessa ma dotata

di una certa regolaritagrave matematica ed ha incentivato lo sviluppo di diversi

modelli matematici il primo dei quali fu quello di Preisach Limitandosi a

testare i materiali per bassi valori di campo egrave possibile descrivere la curva

iniziale e i cicli di isteresi simmetrici attraverso una funzione ben definita la

legge di Rayleigh Un esempio di cicli nella regione di Rayleigh egrave presentato

37

W=∮0 H dH∮H dJ=∮ H dJ=∮H dB

Fig 22 Esempi di cicli di isteresi in materiali soft e hard Nei lamierini Fe-Si soft non cegrave una differenza sensibile tra le curve B(H) e J(H) per magnetizzazioni e campi di interesse tecnico La differenza egrave invece evidente negli hard Questo porta a due differenti definizioni di campo coercitivo HcB egrave il campo necessario per portare linduzione a zero partendo dallo stato di saturazione mentre HcJ egrave il campo necessario per ridurre a zero la polarizzazione J Si ha sempre che HcJgtHcB

nella Fig 23 dove si osserva che

la polarizzazione del materiale

dipende dal quadrato del campo

magnetico In particolare

qualsiasi ciclo di isteresi

determinato fra i valori di picco

del campo plusmnHp ha rami ascendenti

e discendenti descritti

dallequazione

dove a e b sono chiamate rispettivamente costanti reversibile e irreversibile di

Rayleigh I punti estremi dei cicli (Hp Jp) descrivono la curva di

magnetizzazione iniziale (chiamata anche curva di magnetizzazione normale)

secondo la legge

Nel limite di campi molto bassi la curva di magnetizzazione diventa lineare

(come risulta evidente dalla figura 23) con la costante a proporzionale alla

suscettibilitagrave iniziale χi

Lintegrazione dellarea del ciclo fornisce la perdita per isteresi per unitagrave di

volume

38

J p=a H pb H p2

a= limH prArr0

J p

H p=0i

W=43

b H p3

Fig 23 Cicli di isteresi sperimentali nella regione di Rayleigh Lenergia dissipata per unitagrave di volume durante un ciclo completo egrave data dallequazione W=43bHp

3 dove b egrave un coefficiente dipendente alla struttura e Hp egrave il valore di picco del campo

J H =abH pH∓b2H p

2minusH 2

in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso

modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco

della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come

Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave

il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare

a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le

interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di

scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque

mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora

evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento

magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di

variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici

non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa

condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla

velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi

esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un

andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla

resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il

comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione

delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si

sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite

di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo

che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in

relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)

39

W= 16b2 [minusaa24b J p]

3

22 COMPORTAMENTO

DELLISTERESI IN

FUNZIONE DELLA

TEMPERATURA

Listeresi egrave un fenomeno i cui

risultati dipendono dalla

temperatura Un metodo analitico

per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato

di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto

necessario esaminare brevemente il modello originale

Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due

componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega

questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione

anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin

con

dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le

costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti

dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore

40

M an=M s[cothH e

aminus a

H e]

dM irr

dH e=

M anminusM irr

k

Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft

+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti

si arriva allequazione principale del modello originale di JA

Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M

rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave

nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello

inverso la cui equazione principale egrave

dove

e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico

Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza

dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli

effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS

(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione

della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono

essere espressi in funzione degli altri parametri

Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima

volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come

elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei

grafici fanno riferimento a questo esperimento

41

dMdH

=1minuscdM irr dH ecdM an dH e

1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e

dMdB

=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e

101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e

dM irr

dBe=

M anminusM irr

0 k

La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere

espressa come

dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la

temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale

Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla

coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento

esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore

di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo

lequazione

dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di

pinning ed egrave approssimativamente β12

La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve

essere descritto dalla relazione

dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave

dei domini ed egrave approssimativamente β12

Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i

domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come

42

M s T =M s01minusTT c

1

k T =k 0eminus 12

TT C

a T =a 0 eminus 13

TT C

= 3aM s

minus 1an

Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al

domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive

formule in prima approssimazione si ottiene

dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e

per i materiali isotropici egrave espresso come

Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione

MS ed a si ottiene

dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la

43

T =3a 0M s0

eminus 13

TT C

1minus TT C

1

T =0eminus 21

TT C 1minus T

T Cminus1

c= 3aM S

in

c T =3a 0M s0

in e

minus 12

TT C

1minus TT C

1

c T =c 0eminus 21

TTC 1minus T

T Cminus1

curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per

identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25

Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co

La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza

di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad

uno magneticamente disordinato (paramagnetico)

Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in

funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)

Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata

44

MS

MS

La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura

e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig

26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura

indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)

Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata

La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della

temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici

in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)

Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata

Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di

45

ka

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

Se lintegrazione dellultima equazione trovata viene effettuata su un intero

ciclo il bilancio energetico ottenuto egrave

la quantitagrave W egrave lenergia persa per unitagrave di volume Il termine ∮0 H dH ha

media zero nellarco di un ciclo Eliminando questo termine si ottiene che larea

del ciclo B(H) egrave uguale allarea del ciclo J(H) Si notino nei cicli rappresentati

nella Fig 22 il punto di rimanenza dove JrequivBr e la distinzione che esiste tra i

campi coercitivi HcB e HcJ dove il secondo dei due egrave il valore del campo per cui

il materiale egrave smagnetizzato (in effetti questo stato di smagnetizzazione non

corrisponde a quello indicato precedentemente)

La fenomenologia dellisteresi magnetica egrave estremamente complessa ma dotata

di una certa regolaritagrave matematica ed ha incentivato lo sviluppo di diversi

modelli matematici il primo dei quali fu quello di Preisach Limitandosi a

testare i materiali per bassi valori di campo egrave possibile descrivere la curva

iniziale e i cicli di isteresi simmetrici attraverso una funzione ben definita la

legge di Rayleigh Un esempio di cicli nella regione di Rayleigh egrave presentato

37

W=∮0 H dH∮H dJ=∮ H dJ=∮H dB

Fig 22 Esempi di cicli di isteresi in materiali soft e hard Nei lamierini Fe-Si soft non cegrave una differenza sensibile tra le curve B(H) e J(H) per magnetizzazioni e campi di interesse tecnico La differenza egrave invece evidente negli hard Questo porta a due differenti definizioni di campo coercitivo HcB egrave il campo necessario per portare linduzione a zero partendo dallo stato di saturazione mentre HcJ egrave il campo necessario per ridurre a zero la polarizzazione J Si ha sempre che HcJgtHcB

nella Fig 23 dove si osserva che

la polarizzazione del materiale

dipende dal quadrato del campo

magnetico In particolare

qualsiasi ciclo di isteresi

determinato fra i valori di picco

del campo plusmnHp ha rami ascendenti

e discendenti descritti

dallequazione

dove a e b sono chiamate rispettivamente costanti reversibile e irreversibile di

Rayleigh I punti estremi dei cicli (Hp Jp) descrivono la curva di

magnetizzazione iniziale (chiamata anche curva di magnetizzazione normale)

secondo la legge

Nel limite di campi molto bassi la curva di magnetizzazione diventa lineare

(come risulta evidente dalla figura 23) con la costante a proporzionale alla

suscettibilitagrave iniziale χi

Lintegrazione dellarea del ciclo fornisce la perdita per isteresi per unitagrave di

volume

38

J p=a H pb H p2

a= limH prArr0

J p

H p=0i

W=43

b H p3

Fig 23 Cicli di isteresi sperimentali nella regione di Rayleigh Lenergia dissipata per unitagrave di volume durante un ciclo completo egrave data dallequazione W=43bHp

3 dove b egrave un coefficiente dipendente alla struttura e Hp egrave il valore di picco del campo

J H =abH pH∓b2H p

2minusH 2

in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso

modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco

della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come

Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave

il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare

a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le

interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di

scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque

mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora

evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento

magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di

variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici

non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa

condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla

velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi

esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un

andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla

resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il

comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione

delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si

sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite

di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo

che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in

relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)

39

W= 16b2 [minusaa24b J p]

3

22 COMPORTAMENTO

DELLISTERESI IN

FUNZIONE DELLA

TEMPERATURA

Listeresi egrave un fenomeno i cui

risultati dipendono dalla

temperatura Un metodo analitico

per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato

di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto

necessario esaminare brevemente il modello originale

Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due

componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega

questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione

anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin

con

dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le

costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti

dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore

40

M an=M s[cothH e

aminus a

H e]

dM irr

dH e=

M anminusM irr

k

Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft

+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti

si arriva allequazione principale del modello originale di JA

Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M

rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave

nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello

inverso la cui equazione principale egrave

dove

e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico

Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza

dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli

effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS

(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione

della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono

essere espressi in funzione degli altri parametri

Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima

volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come

elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei

grafici fanno riferimento a questo esperimento

41

dMdH

=1minuscdM irr dH ecdM an dH e

1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e

dMdB

=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e

101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e

dM irr

dBe=

M anminusM irr

0 k

La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere

espressa come

dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la

temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale

Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla

coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento

esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore

di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo

lequazione

dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di

pinning ed egrave approssimativamente β12

La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve

essere descritto dalla relazione

dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave

dei domini ed egrave approssimativamente β12

Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i

domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come

42

M s T =M s01minusTT c

1

k T =k 0eminus 12

TT C

a T =a 0 eminus 13

TT C

= 3aM s

minus 1an

Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al

domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive

formule in prima approssimazione si ottiene

dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e

per i materiali isotropici egrave espresso come

Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione

MS ed a si ottiene

dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la

43

T =3a 0M s0

eminus 13

TT C

1minus TT C

1

T =0eminus 21

TT C 1minus T

T Cminus1

c= 3aM S

in

c T =3a 0M s0

in e

minus 12

TT C

1minus TT C

1

c T =c 0eminus 21

TTC 1minus T

T Cminus1

curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per

identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25

Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co

La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza

di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad

uno magneticamente disordinato (paramagnetico)

Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in

funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)

Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata

44

MS

MS

La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura

e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig

26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura

indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)

Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata

La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della

temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici

in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)

Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata

Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di

45

ka

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

nella Fig 23 dove si osserva che

la polarizzazione del materiale

dipende dal quadrato del campo

magnetico In particolare

qualsiasi ciclo di isteresi

determinato fra i valori di picco

del campo plusmnHp ha rami ascendenti

e discendenti descritti

dallequazione

dove a e b sono chiamate rispettivamente costanti reversibile e irreversibile di

Rayleigh I punti estremi dei cicli (Hp Jp) descrivono la curva di

magnetizzazione iniziale (chiamata anche curva di magnetizzazione normale)

secondo la legge

Nel limite di campi molto bassi la curva di magnetizzazione diventa lineare

(come risulta evidente dalla figura 23) con la costante a proporzionale alla

suscettibilitagrave iniziale χi

Lintegrazione dellarea del ciclo fornisce la perdita per isteresi per unitagrave di

volume

38

J p=a H pb H p2

a= limH prArr0

J p

H p=0i

W=43

b H p3

Fig 23 Cicli di isteresi sperimentali nella regione di Rayleigh Lenergia dissipata per unitagrave di volume durante un ciclo completo egrave data dallequazione W=43bHp

3 dove b egrave un coefficiente dipendente alla struttura e Hp egrave il valore di picco del campo

J H =abH pH∓b2H p

2minusH 2

in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso

modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco

della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come

Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave

il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare

a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le

interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di

scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque

mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora

evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento

magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di

variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici

non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa

condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla

velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi

esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un

andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla

resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il

comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione

delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si

sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite

di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo

che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in

relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)

39

W= 16b2 [minusaa24b J p]

3

22 COMPORTAMENTO

DELLISTERESI IN

FUNZIONE DELLA

TEMPERATURA

Listeresi egrave un fenomeno i cui

risultati dipendono dalla

temperatura Un metodo analitico

per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato

di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto

necessario esaminare brevemente il modello originale

Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due

componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega

questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione

anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin

con

dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le

costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti

dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore

40

M an=M s[cothH e

aminus a

H e]

dM irr

dH e=

M anminusM irr

k

Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft

+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti

si arriva allequazione principale del modello originale di JA

Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M

rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave

nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello

inverso la cui equazione principale egrave

dove

e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico

Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza

dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli

effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS

(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione

della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono

essere espressi in funzione degli altri parametri

Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima

volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come

elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei

grafici fanno riferimento a questo esperimento

41

dMdH

=1minuscdM irr dH ecdM an dH e

1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e

dMdB

=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e

101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e

dM irr

dBe=

M anminusM irr

0 k

La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere

espressa come

dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la

temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale

Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla

coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento

esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore

di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo

lequazione

dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di

pinning ed egrave approssimativamente β12

La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve

essere descritto dalla relazione

dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave

dei domini ed egrave approssimativamente β12

Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i

domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come

42

M s T =M s01minusTT c

1

k T =k 0eminus 12

TT C

a T =a 0 eminus 13

TT C

= 3aM s

minus 1an

Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al

domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive

formule in prima approssimazione si ottiene

dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e

per i materiali isotropici egrave espresso come

Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione

MS ed a si ottiene

dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la

43

T =3a 0M s0

eminus 13

TT C

1minus TT C

1

T =0eminus 21

TT C 1minus T

T Cminus1

c= 3aM S

in

c T =3a 0M s0

in e

minus 12

TT C

1minus TT C

1

c T =c 0eminus 21

TTC 1minus T

T Cminus1

curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per

identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25

Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co

La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza

di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad

uno magneticamente disordinato (paramagnetico)

Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in

funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)

Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata

44

MS

MS

La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura

e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig

26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura

indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)

Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata

La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della

temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici

in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)

Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata

Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di

45

ka

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

in cui come ci si aspettava il coefficiente reversibile a egrave sparito Allo stesso

modo possiamo esprimere la perdita di energia per un dato valore di picco

della polarizzazione Jp nel dominio di Rayleigh come

Grazie alla teoria di Neacuteel si puograve stabilire che le quantitagrave aHc e bHca dove Hc egrave

il campo coercitivo sono indipendenti dalla struttura del materiale Per arrivare

a questa conclusione si egrave ipotizzato che le equazioni che descrivono le

interazioni tra pareti di Bloch e difetti di pinning fossero dotate di invarianza di

scala (ossia valide per qualsiasi dimensione del sistema che deve comunque

mantenere una proporzionalitagrave tra le dimensioni) La discussione ha finora

evidenziato delle caratteristiche riguardanti il cosiddetto comportamento

magnetico ldquoquasi-staticordquo del materiale che si osserva quando la velocitagrave di

variazione della magnetizzazione egrave cosigrave limitato che gli effetti visco-dinamici

non interferiscono con il processo di magnetizzazione Quando questa

condizione non sussiste piugrave si ha una dipendenza degli effetti isteretici dalla

velocitagrave di variazione Nei materiali metallici essi sono dovuti quasi

esclusivamente alle correnti parassite la cui circolazione nel campione ha un

andamento dipendente oltre che dal tasso di magnetizzazione anche dalla

resistivitagrave delloggetto dalla sua geometria e dalla struttura dei domini Il

comportamento delle perdite dinamiche puograve essere considerato come funzione

delle proprietagrave del materiale e delle relative tipologie di misurazione Si

sottolinea che la conseguenza fondamentale della presenza di correnti parassite

di elevato ordine di grandezza egrave laumento dellenergia dissipata per ogni ciclo

che si nota dallallargamento del ciclo di isteresi Tale aumento darea egrave anche in

relazione con laumento della frequenza di magnetizzazione (Fig 24)

39

W= 16b2 [minusaa24b J p]

3

22 COMPORTAMENTO

DELLISTERESI IN

FUNZIONE DELLA

TEMPERATURA

Listeresi egrave un fenomeno i cui

risultati dipendono dalla

temperatura Un metodo analitico

per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato

di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto

necessario esaminare brevemente il modello originale

Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due

componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega

questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione

anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin

con

dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le

costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti

dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore

40

M an=M s[cothH e

aminus a

H e]

dM irr

dH e=

M anminusM irr

k

Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft

+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti

si arriva allequazione principale del modello originale di JA

Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M

rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave

nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello

inverso la cui equazione principale egrave

dove

e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico

Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza

dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli

effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS

(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione

della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono

essere espressi in funzione degli altri parametri

Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima

volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come

elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei

grafici fanno riferimento a questo esperimento

41

dMdH

=1minuscdM irr dH ecdM an dH e

1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e

dMdB

=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e

101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e

dM irr

dBe=

M anminusM irr

0 k

La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere

espressa come

dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la

temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale

Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla

coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento

esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore

di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo

lequazione

dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di

pinning ed egrave approssimativamente β12

La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve

essere descritto dalla relazione

dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave

dei domini ed egrave approssimativamente β12

Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i

domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come

42

M s T =M s01minusTT c

1

k T =k 0eminus 12

TT C

a T =a 0 eminus 13

TT C

= 3aM s

minus 1an

Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al

domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive

formule in prima approssimazione si ottiene

dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e

per i materiali isotropici egrave espresso come

Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione

MS ed a si ottiene

dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la

43

T =3a 0M s0

eminus 13

TT C

1minus TT C

1

T =0eminus 21

TT C 1minus T

T Cminus1

c= 3aM S

in

c T =3a 0M s0

in e

minus 12

TT C

1minus TT C

1

c T =c 0eminus 21

TTC 1minus T

T Cminus1

curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per

identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25

Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co

La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza

di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad

uno magneticamente disordinato (paramagnetico)

Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in

funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)

Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata

44

MS

MS

La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura

e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig

26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura

indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)

Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata

La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della

temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici

in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)

Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata

Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di

45

ka

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

22 COMPORTAMENTO

DELLISTERESI IN

FUNZIONE DELLA

TEMPERATURA

Listeresi egrave un fenomeno i cui

risultati dipendono dalla

temperatura Un metodo analitico

per descrivere linfluenza della temperatura sullisteresi egrave il modello modificato

di Jiles-Atherton (JA) Per comprendere appieno questa variante egrave innanzitutto

necessario esaminare brevemente il modello originale

Il modello classico di JA prevede che la magnetizzazione M sia formata da due

componenti una reversibile Mrev e una irreversibile Mirr La relazione che lega

questi due contributi egrave data da Mrev = c(Man-Mirr) La magnetizzazione

anisteretica Man egrave data dalla funzione di Langevin

con

dove He = H + αM egrave il campo effettivo avvertito dai domini magnetici Le

costanti MS a α c k sono i parametri del modello che possono essere ottenuti

dalla misura dei cicli di isteresi δ egrave un parametro direzionale che assume valore

40

M an=M s[cothH e

aminus a

H e]

dM irr

dH e=

M anminusM irr

k

Fig 24 Allargamento dei cicli di isteresi allaumentare della frequenza in una lega magnetica soft

+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti

si arriva allequazione principale del modello originale di JA

Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M

rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave

nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello

inverso la cui equazione principale egrave

dove

e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico

Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza

dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli

effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS

(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione

della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono

essere espressi in funzione degli altri parametri

Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima

volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come

elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei

grafici fanno riferimento a questo esperimento

41

dMdH

=1minuscdM irr dH ecdM an dH e

1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e

dMdB

=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e

101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e

dM irr

dBe=

M anminusM irr

0 k

La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere

espressa come

dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la

temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale

Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla

coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento

esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore

di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo

lequazione

dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di

pinning ed egrave approssimativamente β12

La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve

essere descritto dalla relazione

dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave

dei domini ed egrave approssimativamente β12

Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i

domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come

42

M s T =M s01minusTT c

1

k T =k 0eminus 12

TT C

a T =a 0 eminus 13

TT C

= 3aM s

minus 1an

Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al

domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive

formule in prima approssimazione si ottiene

dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e

per i materiali isotropici egrave espresso come

Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione

MS ed a si ottiene

dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la

43

T =3a 0M s0

eminus 13

TT C

1minus TT C

1

T =0eminus 21

TT C 1minus T

T Cminus1

c= 3aM S

in

c T =3a 0M s0

in e

minus 12

TT C

1minus TT C

1

c T =c 0eminus 21

TTC 1minus T

T Cminus1

curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per

identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25

Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co

La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza

di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad

uno magneticamente disordinato (paramagnetico)

Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in

funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)

Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata

44

MS

MS

La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura

e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig

26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura

indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)

Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata

La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della

temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici

in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)

Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata

Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di

45

ka

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

+1 quando dHdtgt0 e -1 quando dHdtlt0 Combinando le equazioni precedenti

si arriva allequazione principale del modello originale di JA

Lequazione differenziale di cui sopra permette di calcolare le variazioni di M

rispetto alle variazioni di H Comunque in alcune applicazioni linduzione B egrave

nota prima del campo In questi casi egrave necessario ricorrere ad un modello

inverso la cui equazione principale egrave

dove

e Be = μ0He egrave leffettiva densitagrave del flusso magnetico

Egrave possibile espandere il modello in modo da includere la dipendenza

dellisteresi dalla temperatura considerando a non piugrave come una costante Gli

effetti termici possono essere inclusi nel modello esplicitando i parametri MS

(magnetizzazione spontanea) k (pinning) e a (densitagrave dei domini) in funzione

della temperatura I parametri α (domain coupling) e c (reversibilitagrave) possono

essere espressi in funzione degli altri parametri

Il modello presentato egrave del tutto generale ed egrave stato sperimentato per la prima

volta su una ferrite con cationi di cobalto (normalmente il Co non egrave usato come

elemento costitutivo di questi materiali) I valori numerici che si troveranno nei

grafici fanno riferimento a questo esperimento

41

dMdH

=1minuscdM irr dH ecdM an dH e

1minus1minuscdM irr dH e minus c dM an dH e

dMdB

=1minusc dM irr dBe c0dM an dH e

101minus1minusc dM irr dBe c 1minusdM an dH e

dM irr

dBe=

M anminusM irr

0 k

La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere

espressa come

dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la

temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale

Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla

coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento

esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore

di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo

lequazione

dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di

pinning ed egrave approssimativamente β12

La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve

essere descritto dalla relazione

dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave

dei domini ed egrave approssimativamente β12

Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i

domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come

42

M s T =M s01minusTT c

1

k T =k 0eminus 12

TT C

a T =a 0 eminus 13

TT C

= 3aM s

minus 1an

Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al

domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive

formule in prima approssimazione si ottiene

dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e

per i materiali isotropici egrave espresso come

Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione

MS ed a si ottiene

dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la

43

T =3a 0M s0

eminus 13

TT C

1minus TT C

1

T =0eminus 21

TT C 1minus T

T Cminus1

c= 3aM S

in

c T =3a 0M s0

in e

minus 12

TT C

1minus TT C

1

c T =c 0eminus 21

TTC 1minus T

T Cminus1

curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per

identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25

Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co

La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza

di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad

uno magneticamente disordinato (paramagnetico)

Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in

funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)

Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata

44

MS

MS

La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura

e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig

26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura

indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)

Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata

La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della

temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici

in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)

Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata

Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di

45

ka

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

La dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione spontanea Ms puograve essere

espressa come

dove Ms(0) egrave il valore della magnetizzazione spontanea a 0 K TC egrave la

temperatura di Curie e β1 egrave un esponente critico dipendente dal materiale

Nei materiali magnetici soft il fattore di pinning puograve essere approssimato dalla

coercitivitagrave (k asymp HC) In un materiale ferromagnetico a causa del decadimento

esponenziale del campo coercitivo con la temperatura si suppone che il fattore

di pinning k vari a sua volta esponenzialmente con la temperatura secondo

lequazione

dove k(0) egrave il fattore di pinning a 0 K e β2 egrave lesponente critico per la costante di

pinning ed egrave approssimativamente β12

La densitagrave dei domini a mostra un decadimento esponenziale simile che puograve

essere descritto dalla relazione

dove a(0) egrave la densitagrave dei domini a 0 K e β3 egrave lesponente critico per la densitagrave

dei domini ed egrave approssimativamente β12

Il domain coupling α che rappresenta la forza dellinterazione magnetica tra i

domini in un materiale isotropico puograve essere espresso come

42

M s T =M s01minusTT c

1

k T =k 0eminus 12

TT C

a T =a 0 eminus 13

TT C

= 3aM s

minus 1an

Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al

domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive

formule in prima approssimazione si ottiene

dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e

per i materiali isotropici egrave espresso come

Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione

MS ed a si ottiene

dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la

43

T =3a 0M s0

eminus 13

TT C

1minus TT C

1

T =0eminus 21

TT C 1minus T

T Cminus1

c= 3aM S

in

c T =3a 0M s0

in e

minus 12

TT C

1minus TT C

1

c T =c 0eminus 21

TTC 1minus T

T Cminus1

curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per

identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25

Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co

La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza

di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad

uno magneticamente disordinato (paramagnetico)

Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in

funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)

Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata

44

MS

MS

La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura

e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig

26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura

indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)

Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata

La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della

temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici

in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)

Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata

Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di

45

ka

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

Ad alte suscettibilitagrave anisteretiche Χan il contributo del secondo termine al

domain coupling egrave trascurabile e pertanto sostituendo ad MS e a le rispettive

formule in prima approssimazione si ottiene

dove α(0) egrave il domain coupling a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Il fattore di reversibilitagrave c egrave trattato in maniera analoga al domain coupling α e

per i materiali isotropici egrave espresso come

Assumendo la suscettibilitagrave iniziale costante Χin e sostituendo nellespressione

MS ed a si ottiene

dove c(0) egrave il fattore di reversibilitagrave a 0 K e β1 egrave lesponente critico

Dopo aver identificato le condizioni iniziali MS(0) k(0) e a(0) egrave stata utilizzata la

43

T =3a 0M s0

eminus 13

TT C

1minus TT C

1

T =0eminus 21

TT C 1minus T

T Cminus1

c= 3aM S

in

c T =3a 0M s0

in e

minus 12

TT C

1minus TT C

1

c T =c 0eminus 21

TTC 1minus T

T Cminus1

curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per

identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25

Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co

La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza

di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad

uno magneticamente disordinato (paramagnetico)

Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in

funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)

Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata

44

MS

MS

La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura

e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig

26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura

indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)

Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata

La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della

temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici

in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)

Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata

Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di

45

ka

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

curva della magnetizzazione spontanea in funzione della temperatura per

identificare β1 e TC come mostrato in Fig 25

Fig 25 Variazione della magnetizzazione spontanea MS in funzione della temperatura misurata nella ferrite con cationi di Co

La magnetizzazione spontanea raggiunge lo zero a 550 K indicando lesistenza

di una transizione da uno stato magneticamente ordinato (ferrimagnetico) ad

uno magneticamente disordinato (paramagnetico)

Ora egrave possibile considerare la variazione dei parametri del modello JA in

funzione della temperatura (vedi Figg 26-29)

Fig 26 Dipendenza della magnetizzazione spontanea dalla temperatura calcolata

44

MS

MS

La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura

e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig

26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura

indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)

Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata

La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della

temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici

in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)

Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata

Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di

45

ka

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

La magnetizzazione spontanea MS diminuisce allaumentare della temperatura

e crolla rapidamente fino a zero avvicinandosi alla temperatura di Curie (Fig

26) Il fattore di pinning k decade esponenzialmente con la temperatura

indicando il calo esponenziale del campo coercitivo (Fig 27)

Fig 27 Fattore di pinning in funzione della temperatura calcolata

La densitagrave dei domini a decade esponenzialmente allaumentare della

temperatura indicando che ad alte temperature il numero dei domini magnetici

in un materiale decresce fino a raggiungere lo zero al punto di Curie (Fig28)

Fig 28 Densitagrave dei domini in funzione della temperatura calcolata

Il domain coupling α cala rapidamente con la temperatura mentre il fattore di

45

ka

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

reversibilitagrave c aumenta fino a raggiungere il valore massimo 1 che rimane

costante fino al punto di Curie (vedi Fig 29)

Fig 29 Dipendenza dalla temperatura calcolata del fattore di reversibilitagrave e dei domain coupling

Il modello di JA dipendente dalla temperatura egrave stato dimostrato attraverso

misurazioni su una ferrite a cationi di cobalto Co14Ge04Fe12O4 con temperatura

di Curie a 550 K I cicli di isteresi sono stati misurati utilizzando un

magnetometro SQUID a temperature comprese nellintervallo 10divide400 K e

confrontati con i cicli calcolati in base alla teoria di JA Lesponente critico β1 ha

un valore stimato di 04 ottenuto adattando il modello analitico della

magnetizzazione spontanea ai dati misurati (vedi Figg 26-29) La Fig 210

mostra la dipendenza del campo coercitivo dalla temperatura

Fig 210 Variazione del campo coercitivo in funzione della temperatura

46

cHC

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

La coercitivitagrave decade esponenzialmente con la temperatura Dalla figura egrave

evidente come i valori calcolati del campo coercitivo siano per buona parte in

linea con i valori misurati

Fig 211 Dipendenza dalla temperatura delle curve di magnetizzazione

I cicli di isteresi misurati e calcolati a temperature di 10 200 e 400 K sono

confrontati nella Figura 211 i cicli di isteresi si appiattiscono gradualmente

man mano che la temperatura si avvicina al punto di Curie (550 K) Lo scarto

quadratico medio fra cicli di isteresi misurati e calcolati egrave mostrato in Fig 212 e

non supera mai lordine di 10-3

Fig 212 Scarto quadratico medio dei cicli di isteresi calcolati e misurati rispettivamente a diverse temperature

47

Man

Ha

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

23 CONDUTTIVITAgrave NELLA MAGGIOR PARTE DEI

CONDUTTORI METALLICI

La conduttivitagrave puograve essere definita come lattitudine di un materiale a

permettere il passaggio di cariche elettriche ed egrave linverso della resistivitagrave Essa

egrave indicata con il simbolo σ e la sua unitagrave di misura egrave Sm Si tratta di una

grandezza indipendente dalla geometria del conduttore varia a seconda della

natura chimica e cristallografica del materiale ed egrave funzione della temperatura

La conduttivitagrave ad una temperatura fissata in un determinato istante egrave data

dalla legge σ = jE Essendo una caratteristica intrinseca del materiale egrave sempre

definibile anche dalla relazione

=minus1= lRA

dove

ndash l egrave la lunghezza del conduttore

ndash R egrave la resistenza del conduttore

ndash A egrave la sezione perpendicolare al flusso di carica del conduttore

ndash ρ egrave la resistivitagrave

Come precedentemente ricordato la conduttivitagrave dipende dalla temperatura e

tale relazione puograve essere descritta dal modello di Drude secondo il quale

=N e2

m

dove

ndash N egrave il numero di elettroni

ndash e egrave la carica dellelettrone

ndash τ egrave il tempo che intercorre tra due urti elettrone-nucleo

ndash m egrave la massa dellelettrone

Nella formula precedente non si nota la dipendenza dalla temperatura che

48

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

tuttavia si rivela esplicitando il termine τ

=l m3TkB

dove

ndash T egrave la temperatura assoluta

ndash l egrave la lunghezza del cammino medio tra due urti

ndash m egrave la massa dellelettrone

ndash kB egrave la costante di Boltzmann

Il modello appena esposto egrave puramente teorico Nella pratica σ si comporta

come segue

dove

ndash - Nimp egrave il numero di impurezze e difetti nel reticolo

ndash - α egrave una costante di proporzionalitagrave

La conduttivitagrave nella maggior parte dei conduttori metallici puri egrave una funzione

decrescente della temperatura La funzione egrave

= 201

1 t

dove

ndash σ20 egrave la conduttivitagrave a 20degC

ndash α egrave il coefficiente di temperatura cioegrave la variazione di resistivitagrave che si

verifica per ogni grado di variazione della temperatura a partire da 20degC

e per ogni ohm metro della resistivitagrave

49

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50

ndash Δt egrave la variazione di temperatura (t-20) con t la temperatura alla quale si

trova il materiale espressa in gradi Celsius

50