NUMERI RELATIVI Alcune grandezze, come la temperatura, laltitudine, le somme di denaro, possono...
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NUMERI RELATIVI
MAPPA CONCETTUALE
nN
INSIEMI NUMERICI
N
NUMERI NATURALI
Qa
NUMERI RAZIONALI
Q
NUMERI RELATIVI
OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI
OPERAZIONI CON I NUMERI RAZIONALI
OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI
DEFINIZIONI E PROPRIETA’
DEFINIZIONI E PROPRIETA’
DEFINIZIONI E PROPRIETA’
ESPRESSIONI ESPRESSIONI ESPRESSIONI
Alcune grandezze, come la temperatura, l’altitudine, le somme
di denaro, possono assumere valori opposti rispetto a uno di
riferimento. Ad es.:
+5 °C ; -8 °C ;
+300 m s.l.m. ; -50 m s.l.m. ;
+ 200 € (credito) ; -100 € (debito).
Per rappresentare queste grandezze, e per eseguire sottrazioni
in cui il sottraendo è maggiore del minuendo ( es.:10-15),
sono stati introdotti i numeri relativi che diremo positivi se
preceduti dal segno (+) e negativi se preceduti dal segno (-).
OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI
Addizione La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo avente lo stesso segno e per modulo la somma dei moduli. Es.:
(+7) + (+8) = + 15 ; (-5) + (-4) = - 9
La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo avente il segno dell’addendo di valore assoluto maggiore e per modulo la differenza dei valori assoluti degli addendi. Es.:
(+9) + (-5) = +4 ; (+6) + (-9)= -3
La somma di due numeri relativi opposti è zero. Es.: (+6) + (-6) = 0
Quando si devono addizionare più numeri relativi, applicando le proprietà commutativa e associativa dell’addizione, conviene addizionare separatamente tutti gli addendi positivi, poi tutti gli addendi negativi ed infine addizionare le somme parziali ottenute. Es.: (-8) + (-2) + (+10) + (-4) + (+15) = (+10+15) + (-8-2-4) =(+25) +(-14) = +11
Sottrazione La differenza di due numeri relativi è il numero relativo che si ottiene aggiungendo al minuendo l’opposto del sottraendo. Es.:
(+5) – (+4) = (+5) + (-4) = +1 ;
(+6) – (-8) = (+6) + (+8) = +14
(-7) – (+5) = (-7) + (-5) = -12 ;
(-8) – (-5) = (-8) + (+5) = -3
L’addizione e la sottrazione di numeri relativi non sono operazioni
distinte e assumono l’unico nome di addizione algebrica; si
chiama somma algebrica il risultato di addizioni e sottrazioni.
Per calcolare la somma algebrica di una espressione numerica
contenente le parentesi, si possono seguire due metodi:
1) si eseguono le operazioni all’interno delle parentesi tonde, poi delle quadre e infine delle graffe;2) si applica la regola che prende il nome di scioglimento di parentesi:per eliminare una parentesi preceduta dal segno (+), si toglie questo segno e le parentesi e si scrivono tutti i termini entro parentesi ciascuno col proprio segno; per eliminare una parentesi preceduta dal segno (-), si toglie questo segno e le parentesi e si scrivono tutti i termini entro parentesi cambiandoli di segno.
Calcolare la seguente espressione: 13 - {-2 - [ 4- (3-5)] + 1} – 22 Primo metodo: 13 - {-2 - [ 4- (-2)] + 1} – 22 13 - {-2 - [+6 ] + 1} – 2213 - {-8 + 1} – 2213 - {-7} – 2220 – 22-2
Secondo metodo 13 - {-2 - [ 4-3+5)] + 1} – 22 13 - {-2 –4+3-5+1} – 22 13 +2+4-3+5-1– 22 13+2+4+5-3-1-22 24-26 -2
Calcolare la seguente espressione:
4 – {13/3 – [ - 2 + 1/3 – (11 + 3/4)]}
Primo metodo:
4 – {13/3 – [ - 2 + 1/3 – 47/4]}
4 – {13/3 – [ - 161/12]}
4 – 213/12 = - 55/4
Secondo metodo:
4 – {13/3 – [ - 2 + 1/3 – 11 - 3/4)]}
4 – {13/3 + 2 - 1/3 + 11 + 3/4}
4 – 13/3 –2 + 1/3 –11 – 3/4
- 165/12 = - 55/4
Moltiplicazione Il prodotto di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti; il segno è positivo se i due numeri sono concordi, negativo se sono discordi.Es. : (+5) (+8) = +40 ;
(-6) (-7) = +42 ;
(+9) (-4) = -36 ;
(-3/4) (+3/5) = (-9/20)
Divisione Il quoziente di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il quoziente del valore assoluto del dividendo per il valore assoluto del divisore; è positivo se dividendo e divisore sono concordi (stesso segno), è negativo se sono discordi (segno diverso).Es.:
(+15):(+3) = (+5) ;
(-20):(-5) = (+4) ;
(+30):(-6) = (-5) ;
(-2/5):(+3/7) = (-2/5) x (+7/3) = - 14/15
Elevamento a potenza La potenza di un numero relativo è il prodotto di più fattori tutti uguali a quel numero.Il numero si chiama base; il numero dei fattori si chiama esponente.Es.:
+2 = base 3 = esponente
822232
La potenza di un numero relativo positivo è sempre positiva; la potenza di un numero relativo negativo è positiva se l’esponente è pari, è negativa se l’esponente è dispari.Es.: (+3)4 = +81 (+4)3 = +64
(-2)3 = -8 (-2)4 = +16
(-2/3)3 = -8/27 (-2/3)2 = +4/9
Esempio n. 1 7 – [(2-5) – (-4+5-7+2)] Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde: 7 – [(-3) – (-4)] Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde: 7 – [-3+4] Eseguiamo le operazioni nelle parentesi quadre: 7 – [+1] Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre: 7-1 = +6
Esempio n. 2 (19-35) + [5- (18-22)] – [13 + (12-42)] Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde: (-16) + [5- (-4)] – [13 + (-30)] Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde: -16 + [5+4] – [13 -30] Eseguiamo le operazioni nelle parentesi quadre: -16 + [+9] – [-17] Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre: -16 + 9 + 17 = +10
Esempio n. 3 Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde: Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:
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Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre: Eliminiamo i termini opposti : Ottenendo:
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Esempio n. 4 Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde: Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:
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Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre: Eliminiamo i termini opposti : Ottenendo: Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi graffe:
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721
12
7
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7
FINE