Lancio dadi Analisi probabilità esito somme varie.

Lancio dadi

• Analisi probabilità esito somme varie

La probabilità che un evento possa verificarsi, nella ipotesi chesiano tutti equiprobabili (senza trucchi..) si calcola con il rapporto

tra il numero dei casi favorevoli a un evento e il numero totale deglieventi possibili

Px = nx / ntotali

Esempio : un dado a sei facce con numeri 1, 2 ,3, 4, 5, 6eventi totali possibili = 6

eventi favorevole all’uscita di uno specifico numero :uno per numeroP1 = 1/6P2= 1/6P3 = 1/6P4 = 1/6P5 = 1/6P6 = 1/6

Lanciando un dado 10000 volte, numero di volte prevedibile che esca 4 ?

Lancio singolo:eventi possibili = 6

evento favorevole a 4 = 1P3 = 1 / 6 = 0.1666

0.1666/ 1 = x /10000x = 1666

4

Numero successi (frequenza assoluta): numero di esiti positivi su totale prove :x

Es.dado lanciato 60 volte : uscita 4 = 15 volte : x = 15

Frequenza relativa = numero successi / numero provef = x / n

F = x / n = 15 / 60 = ¼ = 0.25

È prevedibile che aumentando il numero delle prove aumenti in proporzioneanche il numero degli esiti positivi in funzione della probabilità dell’evento

Simulazione lancio di un dado (1,2,3,4,5,6)

Visualizzazione esiti per 400 lanci, ripetuti per 6 volte: totale 2400 lanci

Per ogni 400 lanci si visualizzano esiti per 1,2,3,4,5,6

Per 2400 lanci si visualizzano esiti per 1,2,3,4,5,6

Per 2400 lanci si visualizzano percentuali per 1,2,3,4,5,6 :somma = 1

Probabilità per uscita 1,2,3,4,5,6 = 1 / 6 = 0.166

Probabilità risultanti da esperimento (2400 lanci), si approssimano a teoriche

0.164 – 0.171 - 0.161 - 0.164 – 0.172 – 0.165

0.166

Primi 400 lanci del dado

Eseguiti 1200 lanci ( 3 volte 400)

Eseguiti 2400 lanci : 6 volte 400: tabella globale esperimento

Lancio contemporaneo di due dadi

E1 = d1 = d2 numeri uguali (11,22,33,44,55,66) = 6

E2 = d1 + d2 = 6 (15,24,33,24,15) = 5

E3 = (E1 ∩ E2 ) = (33) = 1

p(E1) = 6/36

p(E2) = 5 / 36 = 5/36

P(E3) = 1/36

p(E12) = p(E1) + pE2) – p(E3) = 6/36 + 5/36 -1 /36 = 10 /36 = 5 / 18

E12=escono due numeri uguali (E1) oppure la somma = 6 (E2)

Lancio contemporaneo di due dadi

E1 = non esce numero 1 (25)

E2 = somma facce = 5 (4)

E12 = non esce numero 1 (E1) oppure somma due numeri = 5 (E2)

E3 = coppie comuni,intersezione (2)

p(E1) = 25/36

p(E2) = 4/36

p(E3) = 2/36

p(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E3) = 25/36 + 4/36 – 2/36 = 3/4

E1 = esce pari (2,,4,6) =3………………………p(e1) = 3/6

E3 = in comune , intersezione (2,4) = 2……..p(E3) = 2/6

E12 = esce E1 o E2

P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E3) = 3 / 6 + 4/6 – 2/6 = 5/6

Lancio di un dado: (1,2,3,4,5,6)

E2 = esce < 5 (1,2,3,4)= 4…………………….p(e2) = 4/6

1 3 62 4

E2

E1

E3

Lancio di due dadi: probabilità di ottenere determinate sommecon 36 lanci

36 prove200 proveOsservare andamento diagrammi

Lancio di un dado S = 6 (1,2,3,4,5,6)

E1 = ≠ 2 (1,3,4,5,6) p(E1) = 5 / 6

E2 = non < 6 ( 6 ) p(E2) = 1 /6

E3 = non > 3 (1,2,3) p(E3) = 3 / 6 = 1 / 2

E4 = non primo (2,4,6) p(E4) = 3/6 = 1/2

Calcola probabilità uscita numero diverso da 2, non minore di 6,non maggiore di 3, non primo

Esercizi con soluzione

uso di probabilità semplice teoremi su probabilitàcalcolo combinatorio

descrizione mediante immaginiper didattica medio-elementare

Lancio consecutivo di un dado per due volte = lancio contemporaneo 2 dadi

S = (1,2,3,4,5,6)

E1 = non esce il 6 ( 1,2,3,4,5)

Eventi possibili = disposizioni con ripetizione Dn,k = D6,2 = 6^2 = 36

Eventi favorevoli = disposizioni con ripetizione Dn,k = D5,2 = 5^2 = 25

Calcola probabilità E1 (esce 1,2,3,4,5) = Pf / Pp = 25 /36

11

5544332211

11 2 3 4 5 >> 1 2 3 4 5 >> 1 ….5 (4) ….5 (4)

1 21 2 3 3 4 5 >> 3…..5 (2)4 5 >> 3…..5 (2)

1 2 31 2 3 44 5 >> 1 5 >> 1 … …5 (1)5 (1)

1 2 3 41 2 3 4 55 >> >> 1…5 ( 0) 1…5 ( 0)

11 2 2 3 4 5 >> 2 …5 (3) 3 4 5 >> 2 …5 (3)

1-11-11-21-21-31-31-41-41-51-5

2-12-12-22-32-32-42-42-52-5

3-13-13-23-23-33-43-43-53-5

4-14-14-24-24-34-34-44-44-54-5

5-15-15-25-25-35-35-45-45-5

Doppiette valide = 10

Escludere doppiette con stessi numeri o diverse solo per ordine

486/38Lancio di un dado (1,2,3,4,5,6)

E12 = uscita numero pari o > 2 (2,4,6…3,4,5,6) ..(4,6)

E1 = uscita numero maggiore di 2 (3,4,5,6)

n

2 3 54 6

E2 = uscita numero pari (2,4,6)

P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2) = 4/6 + 3/6 – 2/6 = 5/6

P(E1) = 4/6

P(E2)= 3/6

P(E12) = 2/6

486/38Lancio di un dado (1,2,3,4,5,6)

E12 = uscita numero >3 o < 6 ((4,5,6)..(1,2,3,4,5))..4,5

E1 = uscita numero maggiore di 3 (4,5,6)

n

1,2,3 64 5

E2 = uscita numero <6 (1,2,3,4,5)

P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2) = 3/6 + 5/6 – 2/6 = 6/6 = 1

P(E1) = 3/6

P(E2)= 5/6

P(E12) = 2/6

Legge dei grandi numeri (casuale):la frequenza con la quale si presentaun evento si avvicina al valore della sua probabilità in funzione del

numero di prove: tali valori sono tanto più simili quanto maggiore è il numero delle prove eseguite Fx = Px * n

Il rapporto tra il numero dei successie il numero di proveva aumentando con

il numero delle provee il rapporto tra

successi e provesi avvicina al valore

della probabilità

Esemplificazione lancio di un dado, con excel e numeri casuali tra 1 e 6

Per un lancio la probabilità che esca un numero tra 1 e 6 risulta 1/6 = 0.166

Simulazione con 499 lanci: ricerca esiti e frequenza sul totale

Ricerca su totale 499 e parziale 399

Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166)con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499

Ricerca su parziale 299 e 199


Ricerca su parziale 99 e 1


Simulazione lanci successivi , sempre 499ricerca su totale

Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenzepur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

Osservare rapporto tra numero di prove , frequenza e probabilità

1 3 42 6 5

E2 = esce numero non inferiore a 3 (3, 4, 5, 6)

E1 = esce numero divisore di 6 (1,2,3,6

D = evento differenza tra insieme E1 e E2: D = E1 – E2si verifica quando si presenta E1 ma non E2:

formato da elementi di E1 e non di E2

D={ 1, 2 }D si verifica se esce un numero divisore di 6 ,minore di 3

1 2 4 53 6

E1

E2D

E1

E2D

A

B

Insieme differenza D : A - B

Comprende gli elementi di A che non appartengono a B

A = esce numero minore di 4 { 1,2,3 }A=

A = evento contrario di A formato dagli elementi di X che non appartengono ad A

A complementare di A rispetto a X

{ 4, 5,6 }B=

1 2 3

4

5

6

{ 1,2, 3 ,4, 5,6 }X=

Non esce AA

Due eventi sono contrari se uno si verifica quando non si verifica l’altro

Due ( o più) eventi , appartenenti allo stesso insieme di eventi, X,sono incompatibili

se il verificarsi di uno esclude la possibilità che si verifichi l’altro

2 4 6 1 3 5

Ed = esce numero dispari (1 3 5)

Ep = esce numero pari (2 4 6) X

Ep ∩ Ed = Ø

1 5 6

E1 = esce numero dispari (1 3 5)

E2 = esce numero multiplodi 3 (3 6 )

E1 E2 =2

4

{ 1,2,3,4,5,6 }X=

3

{ 3 }

C = evento totale o somma logica o unione di E1, E2 se si verifica almeno uno degli eventi E1, E2 :comprende elementi che appartengono ad almeno uno dei due eventi

UC =

C={ 1, 3, 5, 6 }

C si verifica se esce un numero dispari o multiplo di 3

5 2 2 6

E1 = esce numero dispari (1 3 5)

E2 = esce numero divisore di 6 (1,2,3,6

E1 E2 =

4

{ 1,2,3,4,5,6 }X=

{ 1,3 }

D = evento composto,prodotto logico,intersezione di E1, E2 se si verificano entrambi gli eventi E1, E2 :comprende elementi

che appartengono ad entrambi gli eventi

D =

D={ 1, 3 }

D si verifica se esce un numero dispari e divisore di 6

∩

1 3

1 , 3 , 5

Ed = 1,3,5 Ep = 2,4,6

2

pEd = 3/6

pEp = 3/6 pE2 = 1/6

U

Ed Ep 0=

Intersezione Ed e Ep = insieme vuoto

Ed , Ep incompatibili

Ed U Ep = (1,3,5,2)

Unione di due eventi

P (Ed U Ep) = 4/6

P (Ed U Ep ) = pEd + pEp = 3/6 + 1/6 = 4/6

La probabilità della unione di eventi incompatibili (totale) è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi

Lancio di un dado :probabilità che esca numero dispari o 2

Eventi correlati

Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esitievento condizionante B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5evento condizionato A = uno dei due dadi fornisce 2

Calcolare la probabilità di (A | B) 2

X

B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4

A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]:11 eventi che forniscono almeno un 2

(A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2

P(A | B) = ( A ∩ B) / B = 2 / 4 = 1/2

P(A) = A / S = 11/36 = 0.305 < 0.5 : p(A | B) > p(A)

Evento A correlato positivamente a evento B: aumenta probabilità

Eventi correlati

Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esitievento condizionato B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5evento condizionante A = uno dei due dadi fornisce 2

Calcolare la probabilità di (B | A) 2

X


A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]:11 eventi che forniscono almeno un 2 e somma 5


Evento B correlato positivamente a evento A: aumenta probabilità

p(B | A) = (A ∩ B) / A = 2 /11 = 0.18

P(B)= 4/36 = 1 /9 = 0.11 )

p(B | A) > p(B) : 0.18 > 0.11

Se risulta

p(A | B ) > p(A) si ha correlazione positiva di A rispetto a B

p(A | B ) < p(A) si ha correlazione negativa di A rispetto a B

P(A | B ) = p(A) non esiste correlazione: sono indipendenti

Terminologia essenziale: es. lancio di una moneta, dado

spazio campionario Sm = (T,C) con 2 campioni :T, C

spazio campionario Sd = (1,2,3,4,5,6) con 6 campioni: 1,2,3,4,5,6

Lancio di una moneta tre volte :spazio campionario S = Sm * Sm * Sm

=(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni

Eventi correlati

Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esitievento condizionante B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5evento condizionato A = uno dei due dadi fornisce 2

Calcolare la probabilità di (A | B) 2

X


A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]:11 eventi che forniscono almeno un 2


P(A | B) = ( A ∩ B) / B = 2 / 4 = 1/2

P(A) = A / S = 11/36 = 0.305 < 0.5 : p(A | B) > p(A)

Evento A correlato positivamente a evento B: aumenta probabilità

Eventi correlati

Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esitievento condizionato B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5evento condizionante A = uno dei due dadi fornisce 2

Calcolare la probabilità di (B | A) 2

X


A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]:11 eventi che forniscono almeno un 2 e somma 5


Evento B correlato positivamente a evento A: aumenta probabilità

p(B | A) = (A ∩ B) / A = 2 /11 = 0.18

P(B)= 4/36 = 1 /9 = 0.11 )

p(B | A) > p(B) : 0.18 > 0.11

Terminologia essenziale: es. lancio di una moneta, dado

spazio campionario Sm = (T,C) con 2 campioni :T, C

spazio campionario Sd = (1,2,3,4,5,6) con 6 campioni: 1,2,3,4,5,6

Lancio di una moneta tre volte :spazio campionario S = Sm * Sm * Sm

=(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni

Calcolare la probabilità che lanciando un dado esca un numero pari

Numero oggetti n = 6 (1,2,3,4,5,6)evento x numero pari (2,4,6) = 3

Px = x / n = 3 /6 = 1/2

Dato un mazzo con 40 carte (10 quadri, 10 cuori, 10 fiori, 10 picche)n = 40

calcolare probabilità di estrarre una figura (12 su 40): Pfcalcola probabilità di estrarre un asso (4 su 40) :Pacalcola probabilità di estrarre asso rosso (2 su 4):Pr

Pf = 12/40 = 3/10 Pa = 4 / 40 = 1 / 10Pr = 2 / 40 = 1 /20

Lancio di due dadi : eventi possibili = 36:

1-12-23-34-45-56-6

1-21-31-41-51-6

2-12-32-42-52-6

3-13-23-43-53-6

4-14-24-34-54-6

5-15-25-35-45-6

6-16-26-36-46-5

Lanciando un dado, calcola probabilità che esca numero muliplo di 2oggetti n = 6

evento (2,4,6) = 3Px = 3/6 = 1/2

Lancio di due dadi : eventi possibili = 36:

1-12-23-34-45-56-6

1-21-31-41-51-6

2-12-32-42-52-6

3-13-23-43-53-6

4-14-24-34-54-6

5-15-25-35-45-6

6-16-26-36-46-5

Probabilità che la somma di due numeri risulti 4 ?Evento (2+2, 1+3, 3+1) = 3….Px = 3 /36 = 1/12

Probabilità che la somma sia minore di 5 ?Evento(1+1,1+2,2+1, 2+2,1+3,3+1) = 6 …Px = 6/36 = 1/6

Probabilità che non esca 1 ?Evento(n azzurri + 2-2 ) = 25…..Px = 25/36

Probabilità che escano due numeri pari ?Evento (….) 9 ….Px = 9/36 = 1/4

Colonne A, B valori dei due dadi colonna D somma valori dei due dadi per ogni lancio

colonna E conta comparsa somme uguali per valori d 2 a 12

Somme uguali con stesso colore, diverso per ogni somma

Vedi esempio soluzione con excel

Somma < 5 =1/6……due numeri pari = 1/4

25 lanci senza comparsa di 1

Px = 25/36

Programma per trovare lanci senza comparsa di 1

Ricerca probabilità due dadi usando programma su excel

Lancio dadi Analisi probabilità esito somme varie.

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