12-sistemi-trifase

Sistemi trifase

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 3-3-2007)

2

Sistemi trifase

● Il trasporto e la distribuzione di energia elettrica avvengono in prevalenza per mezzo di linee trifase

● Un sistema trifase è alimentato mediante generatori a tre terminali rappresentabili mediante terne di generatori sinusoidali isofrequenziali

● Il collegamento tre i generatori e gli utilizzatori è realizzato mediante linee di collegamento a tre fili

3

Correnti di linea e tensioni concatenate

● Correnti di linea

Correnti nei tre conduttori della linea

In ogni istante la LKI richiede che sia

● Tensioni concatenate

Tensioni tra i conduttori in una generica sezione della linea

Se l’impedenza della linea è trascurabile le tensioni concatenate non dipendono dalla sezione considerata

In ogni istante la LKV richiede che sia

0)(i)(i)(i 321 =++ ttt 0321 =++ III

0)(v)(v)(v 312312 =++ ttt 0312312 =++ VVV

4

Terne di tensioni simmetriche

● Una terna di tensioni trifase si dice simmetrica se

le tensioni hanno uguale ampiezza

la loro somma è nulla in ogni istante

● Ciò richiede che lo sfasamento tra due tensioni consecutive sia

terna simmetrica diretta

terna simmetrica inversaπ+3

2)cos()cos()(

)cos()(

)cos()(

32

1234

1231

32

1223

1212

π+α+ω=π−α+ω=

π−α+ω=

α+ω=

tVtVtv

tVtv

tVtv

MM

M

M

)cos()cos()(

)cos()(

)cos()(

32

1234

1231

32

1223

1212

π−α+ω=π+α+ω=

π+α+ω=

α+ω=

tVtVtv

tVtv

tVtv

MM

M

M

π−3

2

5


Terna diretta

Terna inversa

6


Terna diretta Terna inversa

π

π−

=

=

=

3

2

1231

3

2

1223

1212

j

j

jaM

e

e

eV

VV

VV

V

π−

π

=

=

=

3

2

1231

3

2

1223

1212

j

j

jaM

e

e

eV

VV

VV

V

0312312 =++ VVV

7

Terne di correnti equilibrate

● Una terna di correnti trifase si dice equilibrata se

le correnti hanno uguale ampiezza

la loro somma è nulla in ogni istante

● Per le terne di correnti equilibrate valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per le terne di tensioni simmetriche

● Lo sfasamento tre due correnti consecutive di una terna equilibrata può essere −2π/3 (terna diretta) o +2π/3 (terna inversa)

Terna diretta

Ternainversa

8

Generatori trifase

● Parte mobile (rotore)

schematizzata con un magnete permanente che ruota con velocitàangolare ω

● Parte fissa (statore)

tre avvolgimenti identici(rappresentati con una spira)

ruotati l’uno rispetto all’altro di 120°

Schema di principio

● I flussi di induzione magnetica concatenati con gli avvolgimenti sono funzioni periodiche con periodo T = 2π/ωIn ciascun avvolgimento viene indotta una f.e.m. periodica

● Dimensionando opportunamente il sistema è possibile ottenere f.e.m.sinusoidali

9

Generatori trifase

● I tre avvolgimenti equivalgono a tre generatori sinusoidali con tensioni sfasate tra loro di 2π/3

● Gli avvolgimenti vengono collegati a stella o a triangolo

10

Generatori a stella

π

π−

α

=

=

=

3

2

13

3

2

12

11

j

GG

j

GG

jGMG

e

e

eE

EE

EE

E

1331

3223

2112

GG

GG

GG

EEV

EEV

EEV

−=−=

−=Tensioni di fase(stellate)

Tensioni concatenate

11

Generatori a stella

● I fasori delle tensioni concatenate formano un triangolo equilatero

Si osserva che valgono le relazioni

Tensioni concatenate

GMGM EV 36

cos2 112 =π

== EV

6)arg()arg( 112

π+= GEV

6331

6223

6112

3

3

3

π

π

π

=

=

=

j

G

j

G

j

G

e

e

e

EV

EV

EV

12

Generatori a triangolo

331

223

112

G

G

G

EV

EV

EV

===

233

122

311

GG

GG

GG

III

III

III

−=−=−=

Le tensioni concatenate coincidono con le tensioni di fase

Correnti di linea in funzione delle correnti di fase

13

Generatori a triangolo

● Le relazioni precedenti non consentono di ricavare le correnti di fase dalle correnti di linea (le tre equazioni non sono indipendenti)

● Per la maglia formata dai generatori vale la relazione

● ZG rappresenta le impedenze interne (uguali) dei tre generatori(In questo caso la presenza di ZG non si può trascurare, come normalmente si fa quando si valutano le tensioni concatenate, altrimenti si ottiene un circuito indeterminato)

Le correnti di fase si determinano risolvendo il sistema

0321321 =++=++ GGGGGGGGG EEEIZIZIZ 0321 =++ GGG III

0

)(

321

323

212

131

=++=−=−=−

GGG

GG

GG

GG

III

III

III

III

33313

332

221

1

III

III

III

−=

−=

−= GGG

14

Utilizzatori trifase

● Gli utilizzatori trifase sono normalmente rappresentabili mediante terne di bipoli collegati a stella o a triangolo

15

Equivalenza stella-triangolo

231312

23133

231312

23122

231312

13121

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

++=

++=

++=

1

32312123

2

32312113

3

32312112

Z

ZZZZZZZ

Z

ZZZZZZZ

Z

ZZZZZZZ

++=

++=

++=

16

Carichi equilibrati

● Carico equilibrato (o regolare): le tre impedenze sono uguali

Formule di trasformazione stella triangolo

YZZZZ === 321 Δ=== ZZZZ 312312

3Δ=

ZZY YZZ 3=Δ

17

Carico a triangolo

● Le tensioni di fase coincidono con le tensioni concatenate

Correnti di fase:

Correnti di linea:31

3131

23

2323

12

1212

Z

VI

Z

VI

Z

VI

=

=

=

23313

12232

31121

III

III

III

−=−=−=

18

Carico a triangolo equilibrato

● Carico equilibrato (Z12 = Z23 = Z31 = Z)

Le correnti di fase formano una terna equilibrata

Correnti di linea

6313

6232

6121

3

3

3

π

π

π

=

=

=

j

j

j

e

e

e

II

II

II

π

π−

ϕ−

=

=

=

3

2

1231

3

2

1223

1212 ||

j

j

j

e

e

e

II

II

Z

VI )arg(Z=ϕ

19

Carico a stella

● Le correnti di fase coincidono con le correnti di linea

● Le correnti di fase possono essere ottenute risolvendo il sistema

(La terza equazione non serveperché è conseguenza delle prime due)

● Note le correnti di fase si ricavano le tensioni di fase

0

)(

321

311133

233322

122211

=++=−=−=−

III

VIZIZ

VIZIZ

VIZIZ

333222111 IZEIZEIZE ===

20

Carico a stella – calcolo delle tensioni di fase

● Metodo alternativo per il calcolo delle tensioni di fase

Le stesse tensioni ai terminali della stella potrebbero essere ottenute mediante due soli generatori aventi tensioni uguali a due delle tensioni concatenate (come nell’esempio in figura)

Dalla formula di Millman si ottiene direttamente

Considerando le altre possibili coppie di generatori si possonoottenere le altre tensioni di fase

321

3312121 YYY

YVYVE

++−

=

21

Carico a stella – calcolo delle tensioni di fase

321

1123232 YYY

YVYVE

++−

=

321

3231313 YYY

YVYVE

++−

=

22

Carico a stella equilibrato

● Carico equilibrato (Z1 = Z2 = Z3 = Z)

E1 = Z I1 E2 = Z I2 E3 = Z I3

E1 + E2 + E3 = Z(I1 + I2 + I3) = 0

Le terna delle tensioni di fase è simmetrica

6313

6232

6121

3

3

3

π−

π−

π−

=

=

=

j

j

j

e

e

e

VE

VE

VE

23

Centro delle tensioni di fase

● Si rappresentano nel piano complesso le relazioni tra le tensioni di fase e le tensioni concatenate

● I vettori che rappresentano le tensioni di fase uniscono i vertici del triangolo delle tensioni concatenate con un punto O del piano complesso

centro delle tensioni di fase

1331

3223

2112

EEV

EEV

EEV

−=−=

−=

24

Tensioni principali di fase

● Tensioni principali di fase:terna tensioni di fase simmetrica E10, E20, E30(corrispondente a un carico a stella equilibrato)

● Il centro delle tensioni principali di fase corrisponde al baricentro G del triangolo delle tensioni concatenate

● Nel caso di un carico a stella non equilibrato è possibile determinare le tensioni di fase a partire dalle tensioni principali di fase e dallatensione VOG ( = spostamento del centro delle tensioni di fase)

OG303

OG202

OG101

VEE

VEE

VEE

−=−=−=

25

Spostamento del centro delle tensioni di fase

● La terna di tensioni concatenate che alimenta il carico a stellapuò essere ottenuta mediante tre generatori collegati a stella aventi tensioni coincidenti con le tensioni principali di fase

La tensione VOG può esserecalcolata mediante la formuladi Millman

● Per un carico simmetrico si ha

321

330220110OG YYY

YEYEYEV

++++=

03

032010OG =++= EEE

V

26

Rete ridotta monofase

● Ipotesi:

Rete alimentata con terne simmetriche

Carichi equilibrati

Esempio

27


● Si sostituiscono eventuali generatori a triangolo con generatori a stella

● Si trasformano eventuali carichi a triangolo in stelle equivalenti

● Tutti i carichi sono equilibrati

i centri di tutte le stelle sono allo stesso potenziale

possono essere collegati tra loro

collegamento tra icentri delle stelle

28


● Nel circuito così ottenuto, ciascuna delle fasi può essere studiata separatamente dalle altre

● I circuiti relativi alle tre fasi sono identici, a parte la rotazione di fase dei generatori

Risolta la rete relativa alla prima fase (rete ridotta monofase) èpossibile determinare le tensioni e le correnti delle altre due fasi introducendo gli opportuni sfasamenti di ±2π/3

29

Sistemi trifase con neutro

● Si aggiunge un quarto conduttore (neutro) che collega il centro della stella di generatori al nodo centrale del carico

● Le tensioni di fase del carico coincidono con le tensioni dei generatori e (quindi non variano al variare del carico) anche in presenza di carichi squilibrati

● Il neutro è percorso dalla corrente

la cui ampiezza aumenta con lo squilibrio del carico

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

=++−=

3

3

2

2

1

1

321N )(

Z

E

Z

E

Z

E

IIII

GGG

30

Sistemi trifase con neutro

● I sistemi con neutro sono ampiamente utilizzati nella distribuzione di energia a bassa tensione

● In Italia il valore normalizzato delle tensioni di fase per la distribuzione a bassa tensione è di 230 V efficaci, corrispondenti a tensioni concatenate di 400 V efficaci (fino al 2003 i valori erano 220 V e 380 V)

● Le tensioni di fase sono utilizzate per alimentare carichi monofasi indipendenti (es. utenze domestiche)

normalmente il carico risulta squilibrato

● Le tensioni concatenate sono utilizzate per carichi trifase o per carichi monofase che richiedono potenze più elevate

31

Potenza assorbita da un carico trifase

● La potenza istantanea assorbita da un carico a stella o a triangolo èdata dalla somma delle potenze istantanee assorbite dalle tre fasi

Per la potenza complessa si ha

La potenza attiva e reattiva sono date da

● La potenza apparente e il fattore di potenza sono definiti convenzional-mente mediante le relazioni valide nel caso monofase(in questo caso Φ non rappresenta lo sfasamento tra una tensione e una corrente)

)(p)(p)(p)p( 321 tttt ++=

321 NNNN ++=

321

321

QQQQ

PPPP

++=++=

22 QPS += ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Φ

P

Qarctgcoscos

32

Potenza assorbita da un carico trifase

● Un generico carico trifase è un tripolo

Scelto un terminale di riferimento, si può esprimere la potenza assorbita in funzione delle correnti degli altri terminali e delle tensioni degli altri terminali rispetto al riferimento

Si può ricavare un’espressione della potenza in funzione delle tensioni concatenate e delle correnti di linea

● Se, ad esempio, si sceglie comeriferimento il terminale 2 si ottiene

)()()()()p( 323112 titvtitvt −=

)(2

1 *323

*112 IVIVN −=

(Formula di Aron)

33

Potenza nei sistemi simmetrici equilbrati

● Carico a stella equilibrato

Ee = valore efficace delle tensioni di faseIe = valore efficace delle correnti di linea

● Carico a triangolo equilibrato

Ve = valore efficace delle tensioni concatenateIFe = valore efficace delle correnti di fase

In un sistema simmetrico e equilibrato la potenza istantanea è costante

ϕ=

=ϕ+ϕ+π−ω+ϕ+

+ϕ+ϕ+π+ω+ϕ+

+ϕ+ϕ+ω+ϕ==++=

cos3

)2cos(cos

)2cos(cos

)2cos(cos

)(i)(e)(i)(e)(i)(e)p(

32

32

332211

ee

IVeeee

IVeeee

IVeeee

IE

tIEIE

tIEIE

tIEIE

ttttttt

ϕ= cos3)p( FeeIVt

I termini oscillanti forma-no una terna simmetrica

la loro somma è nulla

34


● In una stella equilibrata, le tensioni di fase sono legate alle tensioni concatenate dalla relazione

● In un triangolo equilibrato le correnti di fase sono legate alle correnti di linea dalla relazione

● Le espressioni delle potenze del carico a stella e del carico a triangolo possono essere poste nella forma comune

● ϕ non è lo sfasamento tra le tensioni concatenate e le correnti di linea, ma rappresenta l’argomento delle impedenze

sfasamento tra tensioni di fase e correnti di linea per la stellasfasamento tra tensioni concatenate e correnti di fase per il triangolo

3e

e

VE =

3e

Fe

II =

ϕ= cos3)p( ee IVt

35


● Potenza attiva

● Potenza reattiva

● Potenza apparente

● Fattore di potenza

(in questo caso particolare Φ rappresenta l’argomento delle impedenze di carico)

ϕ==++= cos33 1321 eeIVPPPPP

eeIVS 3=

ϕ=Φ coscos

ϕ== sen33 1 eeIVQQ

36

Rifasamento di un carico trifase

● Carico trifase equilibrato che assorbe una potenza attiva P

● Si vuole portare il fattore di potenza da cosϕ a cosϕ′● Si impiegano tre bipoli reattivi uguali collegati a stella o a triangolo tali

da assorbire la potenza reattiva

)'( ϕ−ϕ−= tgtgPQR

37


● Il caso più frequente nella pratica è quello di un carico ohmico-induttivo

i bipoli reattivi sono condensatori

● Valori efficaci delle tensioni dei condensatori

collegamento a stella

collegamento a triangolo

Potenze reattive222 33 eeCeR VCVCCVQ Δω−=ω−=ω−= Y

3e

Ce

VV =Y

YCeeCe VVV 3==Δ

Ve = valore efficace delle tensioni concatenate

38


● Capacità di rifasamento

collegamento a stella

collegamento a triangolo

● Nel caso del collegamento a stella la capacità è 3 volte maggiore,

mentre la tensione sui condensatori è inferiore di un fattore

● Dato che il costo di un condensatore aumenta sia con la capacitàche con la massima tensione di funzionamento, la scelta del tipo di collegamento dipende dal fattore che incide in misura maggiore

2

)'(

eV

tgtgPC

ωϕ−ϕ

=Y

33

)'(2

YC

V

tgtgPC

e

=ω

ϕ−ϕ=Δ

3

39

Principali vantaggi dei sistemi trifase

● In un sistema simmetrico ed equilibrato la potenza istantanea è costante

L’energia elettrica è ottenuta convertendo l’energia meccanica fornita al rotore

In un sistema monofase la potenza istantanea è variabile e, se il carico non è puramente resistivo in alcuni istanti è anche negativa

Dato che ω deve essere costante è necessario applicare al rotore una coppia variabile

In un sistema trifase simmetrico ed equilibrato è richiesta una coppia costante

● A parità di condizioni, in un sistema trifase le perdite nelle linee di trasporto dell’energia elettrica sono inferiori

● Un sistema di correnti trifase può essere utilizzato per generare un campo magnetico rotante, su cui si basa il funzionamento delle macchine elettriche rotanti in corrente alternata

40

Trasmissione dell’energia elettrica

● Confronto tra

linea in corrente continua

linea in corrente alternata monofase

linea in corrente alternata trifase

● l = lunghezza della linea

● P = potenza assorbita dal carico in corrente continua= potenza attiva assorbita dal carico in corrente alternata

● V = tensione sul carico in corrente continua= valore efficace della tensione sul carico monofase= valore efficace delle tensioni concatenate della linea trifase

41

Correnti nella linea

● Corrente della linea in corrente continua

● Valore efficace della corrente della linea monofase

● Valore efficace delle correnti della linea trifase

(si assume che i fattori di potenza del carico monofase e del carico trifase siano uguali)

V

PI =CC

ϕ=

cosCAM V

PI

ϕ=

cos3CAT

V

PI

42

Potenza dissipata nella linea

● Potenza dissipata nella linea

n = numero di conduttori

R = resistenza di un conduttore

l = lunghezza della linea

S = sezione di un conduttore

ρ = resistività

τ = volume totale dei conduttori

I = (nei tre casi) ICC, ICAM, ICAT

22

222 Il

nIS

lnnRIPD τ

ρ=ρ==

nlS=τ

43


● Inserendo nell’espressione di PD il numero di conduttori e l’espressione della corrente si ottiene nei tre casi

dove

CCCC τ=

τρ=

K

V

PlP

44

2

22

DCC

ϕτ=

ϕτρ=

2AM

22AM

22

DCAM cos

4

cos4

CC

K

V

PlP

ϕτ=

ϕτρ=

2TA

22AT

22

DCAT cos

3

cos3

CC

K

V

PlP

2

22

V

PlK ρ=

44


● A parità di volume dei conduttori

Le perdite nella linea trifase sono sempre inferiori del 25% rispetto a quelle della linea monofase

Le perdite nella linea monofase sono maggiori di quelle nella linea in continua tranne che nel caso di cosϕ = 1, in cui sono uguali

Per le perdite nella linea trifase sono minori di quelle nella linea in continua

● A parità di perdite, la linea trifase consente di risparmiare il 25 % dimateriale conduttore rispetto alla linea monofase e, per valori suf-ficientemente elevati di cosϕ, èvantaggiosa anche rispetto alla linea in corrente continua

2/3cos >ϕ

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