1. CARICHI TRIFASE EQUILIBRATI ALIMENTATI DA TERNE DI

TENSIONI DIRETTE: ESERCIZI PRELIMINARI

1.1 Esercizio 1.1

(1)

(2)

Figura 1.1:

La rete in fig. 1.1, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• la potenza apparente S e il fattore di potenza pf del carico in figura;

• determinare la capacita minima CY dei condensatori necessari per rifasare il carico a cosφ ≥ 0.9 (inserzione astella).

Dati. Lettura del voltmetro: U = 380 V; carico (1): P1 = 10 kW; Q1 = 10 kVAr; carico (2): P2 = 10 kW;cosφ2 = 0.894 (rit.).

Risultati. S = 25 kVA; pf= 0.8; CY = 118µF.

1.2 Esercizio 1.2

La rete in fig. 1.2, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• la potenza attiva P e reattiva Q assorbita dal carico in figura;

• determinare la capacita minima C∆ dei condensatori necessari per rifasare il carico a cosφ ≥ 0.9 (inserzione atriangolo).

Dati. lettura del voltmetro: U = 380 V; carico (1): A1 = 14.142 kVA; Q1 = 10 kVAr; carico (2): P2 = 10 kW;sinφ2 = 0.447.

Risultati. P = 20 kW; Q = 15 kVAr; C∆ = 40µF.

2

(1)

(2)

Figura 1.2:

1.3 Esercizio 1.3

La rete in fig. 1.2, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• la lettura I2 dell’amperometro (valore efficace della corrente del carico (2);

• la potenza complessa S assorbita dal carico in figura;

• il fattore di potenza pf del carico in figura;

• l’angolo del carico in figura..

Dati. lettura del voltmetro: U = 380 V; carico (1): A1 = 30.012 kVA; pf1 = 0.833 kVAr (rit.);carico (2): A2 = 12.005kVA; pf2 = 0.833 kVAr (ant.);

Risultati. I2 = 18.24A; S = (35.00 + j9.96) kVA; pf= 0.962 (rit.); φ = 0.277.

1.4 Esercizio 1.4

La rete in fig. 1.2, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• la lettura I2 dell’amperometro (valore efficace della corrente del carico (2);

• la potenza complessa S assorbita dal carico in figura;

• il fattore di potenza pf del carico in figura;

• l’angolo del carico in figura.

Dati. lettura del voltmetro: U = 380 V; carico (1): P1 = 10 kVA; pf1 = 0.833 kVAr (rit.);carico (2): P2 = 25 kVA;pf2 = 0.833 kVAr (ant.);

Risultati. I2 = 45.60 A; S = (35.00− j9.96) kVA; pf= 0.962 (ant.); φ = −0.277.

3

(1)

(2)

Figura 1.3:

1.5 Esercizio 1.5

La rete in fig. 1.3, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• la lettura I dell’amperometro (valore efficace della corrente del carico;

• la lettura dei wattmetri WA e WB (inserzione Aron).

Dati. tensione di alimentazione (stellata): E = 219.39 V; carico (1): A1 = 30.012 kVA; pf1 = 0.833 kVAr (rit.);carico(2): A2 = 12.005 kVA; pf2 = 0.833 kVAr (ant.);

Risultati. I = 55.29 A; WA = 14.62 kW; WB = 20.38 kW.

(1)

(2)

Figura 1.4:

1.6 Esercizio 1.6

La rete in fig. 1.4, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• la lettura I dell’amperometro (valore efficace della corrente del carico;

• la lettura dei wattmetri WA e WB (inserzione Aron).

Dati. tensione di alimentazione (concatenata): U = 380 V; carico (1): P1 = 10 kW; Q1 = 10 kVAr; carico (2):P2 = 10 kW; cosφ2 = 0.894 (rit.).

Risultati. I = 37.98 A; WA = 14.33 kW; WB = 5.67 kW.

4

1.7 Esercizio 1.7

La rete in fig. 1.4, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• la lettura I dell’amperometro (valore efficace della corrente del carico;

• la lettura dei wattmetri WA e WB (inserzione Aron).

Dati. tensione di alimentazione (stellata): E = 219.39 V; carico (1): P1 = 10 kW; Q1 = −10 kVAr; carico (2):P2 = 10 kW; cosφ2 = 0.894 (ant.).

Risultati. I = 37.98 A; WA = 5.67 kW; WB = 14.33 kW.

(1)

(2)

Figura 1.5:

1.8 Esercizio 1.8

La rete in fig. 1.5, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• la lettura I dell’amperometro (valore efficace della corrente del carico;

• la lettura dei wattmetri WA e WB (inserzione Aron).

Dati. tensione di alimentazione (concatenata): U = 380 V; carico (1): P1 = 10 kW; Q1 = 10 kVAr; carico (2):P2 = 10 kW; cosφ2 = 0.894 (rit.).

Risultati. I = 37.98 A; WA = 14.33 kW; WB = 5.67 kW.

(1)

(2)

Figura 1.6:

5

1.9 Esercizio 1.9

La rete in fig. 1.6, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• il fattore di potenza pf1 del carico (1);

• la lettura I dell’amperometro (valore efficace della corrente del carico;

• la potenza apparente S assorbita dal carico in figura ed il relativo fattore di potenza pf;

• determinare la capacita minima C∆ dei condensatori necessari per rifasare il carico a cosφ ≥ 0.9 (inserzione atriangolo).

Dati. lettura del voltmetro: U = 380 V; carico (1): WA = 10 kW;WB = 3 kW; carico (2): P2 = 20 kW; cosφ2 = 0.79(rit.).

Risultati. pf1=0.731 (rit.); I = 65.41 A; S = 43.05 kVA; pf= 0.767; C∆ = 86µF.

1.10 Esercizio 1.10

La rete in fig. 1.6, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• il fattore di potenza pf1 del carico (1);

• la lettura I dell’amperometro (valore efficace della corrente del carico;

• la potenza attiva e reattiva assorbita dal carico in figura.

Dati. lettura del voltmetro: U = 380 V; carico (1): WA = 7.226 kW; WB = 13 kW; carico (2): P2 = 20 kW;cosφ2 = 0.79 (rit.).

Risultati. pf1=0.896 (ant.); I = 45.924 A; P = 30.226 kVA; Q ≃ 0 kVAr.

1.11 Esercizio 1.11

La rete in fig. 1.6, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• per il carico complessivo: la potenza apparente S assorbita;

• per il carico (2): la potenza reattiva assorbita, l’angolo di carico φ2 e il fattore di potenza pf2;

• per il carico complessivo: il fattore di potenza pf;

• la capacita minima CY dei condensatori necessari per rifasare il carico a cosφ ≥ 0.9 (inserzione a stella).

Dati. lettura del voltmetro: U = 380 V; la lettura dell’amperometro I = 70.04 A;carico (1): WA = 14.33 kW;WB = 5.670 kW; carico (2): P2 = 15.00 kW, 0 ≤ φ2 ≤ π

2 .

Risultati. S = 46.098 kVA; Q2 = 15.00 kVAr; φ = 0.785; pf2 = 0.707; pf= 0.759 (rit.); CY = 288µF.

Per favore, segnalare eventuali errori all’autore inviando un e-mail all’indirizzo: wzamboni@unisa.it. Grazie.

6

2. SISTEMI TRIFASE CON CARICHI EQUILIBRATI, A STELLA E A

TRIANGOLO

Nel seguito, ove non specificato diversamente, per “tensione” e “corrente” si intende il relativo valore efficace.

P1pf1(rit.)

R2

X2

I0

Figura 2.1:

2.1 Esercizio 2.1

La rete in fig. 2.1, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• il valore efficace E della tensione stellata di alimentazione del carico;

• la potenza complessa S da esso assorbita;

• rifasare il carico a pf unitario, dimensionando i tre condensatori uguali da inserire a stella.

Dati. lettura dell’amperometro: I0 = 10 A; carico (1): P1 = 10 kW; pf1 = 0.707; carico (2): R2 = 50Ω, X2 = 25Ω.

Risultati. E = 559 V; S2 = (25.0 + 17.5j) VAr; CY = 59.45µF.

2.2 Esercizio 2.2

La rete in fig. 2.2, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• la potenza attiva P2 e quella reattiva Q2 assorbite dal carico 2;

• il valore efficace V della tensione concatenata di alimentazione del carico;

• il fattore di potenza pf del carico equivalente.

7

I0

R2 X2

A1

P1

(rit.)

Figura 2.2:

Dati. lettura dell’amperometro: I0 = 10 A; carico (1): P1 = 10 kW; S1 = 14.14 kVA (rit.); carico (2): R2 = 250Ω,X2 = 500Ω.

Risultati. P2 = 60 kW; Q2 = −30 kVAr; V = 3.873 kV; pf=0.962 (ant.).

R2

X2

V0

A1pf1(ant.)

Figura 2.3:

2.3 Esercizio 2.3

La rete in fig. 2.3, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• la potenza reattiva Q2 assorbita dal carico 2;

• il valore efficace della tensione concatenata di alimentazione;

• la potenza apparente S ed il fattore di potenza pf del carico equivalente.

Dati. lettura del voltmetro: V0 = 1000 V; carico (1): P1 = 10 kW; pf1 = 0.707 (ant.); carico (2): R2 = 50Ω,X2 = 25Ω.

Risultati. Q2 = −30 kVAr; V = 1.936 kV; S = 80.62 kVA; pf=0.868 (ant.).

2.4 Esercizio 2.4

La rete in fig. 2.4, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

8

V0

R2 X2

P1

Q1

Figura 2.4:

• il valor efficace I2L in ciascuna delle tre impedenze induttive del carico 2;

• il valor efficace I della corrente in linea;

• la potenza complessa S assorbita dal carico equivalente;

• la capacita minima di ciascuno dei tre condensatori necessari per rifasare il carico equivalente a pf=0.9.

Dati. lettura del voltmetro: V0 = 1118 V; carico (1): P1 = 10 kW; Q1 = 10 kVAr; carico (2): R2 = 250Ω,X2 = 500Ω.

Risultati. IL2 = 2.24 A; I = 9.09 A; S = (25.0 + 17.5j) kVA; C = 4.586µF.

R2

X2

V0

X1

Figura 2.5:

2.5 Esercizio 2.5

La rete in fig. 2.5, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• il valore efficace della tensione stellata E di alimentazione;

• il valor efficace delle correnti di lato J2 nel carico 2;

• il valor efficace delle correnti di linea I;

9

• il fattore di potenza pf del carico complessivo;

• determinare il (nuovo) valore di X1 tale che pf=0.95.

Dati. lettura del voltmetro: V0 = 1936 V; carico (1): X1 = 50Ωcarico (2): R2 = 150Ω, X2 = 75Ω.

Risultati. E = 1.118 kV; J2 = 11.54 A; I = 20.0 A; pf= 0.80 (rit.); X1 = 3.648 kΩ.

R2

X2V0

X1

Figura 2.6:

2.6 Esercizio 2.6

La rete in fig. 2.6, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• il valore efficace della tensione concatenata V sul carico equivalente;

• la potenza complessa S2 assorbita dal carico 2;

• le correnti di linea I1 e I2 nei carichi 1 e 2, rispettivamente;

• la potenza apparente S assorbita dal carico equivalente.

Dati. lettura del voltmetro: V0 = 865.80 V; carico (1): X1 = 50Ωcarico (2): R2 = 150Ω, X2 = 75Ω.

Risultati. V = 1.936 kV; S2 = (60.0 + 30.0j) kVA; I1 = 22.36 A; I2 = 20.0 A; S = 75.0 kVA.

2.7 Esercizio 2.7

La rete in fig. 2.7, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• il valore efficace della tensione concatenata V e stellata E sul carico equivalente;

• la potenza apparente S2 assorbita dal carico 2;

• il valore efficace della corrente di linea I nel carico equivalente;

• la potenza apparente S assorbita ed il fattore di potenza pf del carico equivalente;

• il valore efficace di tensione di alimentazione affinche si abbia S = 100 kVA.

Dati. lettura dell’amperometro: I0 = 10 A; carico (1): P1 = 10 kW; Q1 = 10 kVAr; carico (2): R2 = 150Ω,X2 = 75Ω.

10

I0

R2

X2

P1

Q1

Figura 2.7:

Risultati. V = 968.2 V; E = 559 V; S2 = 16.77 kVA; I = 15.0 A; S = 25.12 kVA; pf= 0.995 (rit.); E100 kV A = 2.222kV.

P1pf1(rit.)

I0

2

Figura 2.8:

2.8 Esercizio 2.8

La rete in fig. 2.8, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• l’impedenza Z2;

• se necessario, rifasare il carico equivalente a pf unitario, dimensionando i tre condensatori uguali da inserire atriangolo.

Dati. lettura dell’amperometro: I0 = 10 A; carico (1): P1 = 10 kW; pf1 = 0.707 (rit.); carico equivalente: S = 39.05kVA; φ = 0.5.

Risultati. DA DEFINIRE

2.9 Esercizio 2.9

La rete in fig. 2.9, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

11

P1A1(ant.)

V0

2

Figura 2.9:

• la potenza complessa S2 assorbita dal carico 2;

• il modulo Z2 dell’impedenza Z2;

• il valore efficace I della corrente di linea.

Dati. lettura del voltmetro: V0 = 1.936 kV; carico (1): P1 = 10 kW; S1 = 14.14 kVA (ant.); carico (2): pf2 = 0.8(rit.);carico equivalente: φ = 0.40 rad (rit.).

Risultati. DA DEFINIRE

A1

sen 1

V0

2

Figura 2.10:

2.10 Esercizio 2.10

La rete in fig. 2.10, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• il valore dell’impedenza Z2

• in tali condizioni, calcolare il valore efficace della corrente di linea I nel carico equivalente.

Dati. lettura del voltmetro: V0 = 1.936 kV; carico (1): S1 = 14.14 kVA; sinφ1 = −0.707; carico equivalente: pf= 1,S = 18 kVA.

Risultati. DA DEFINIRE

12

P1

Q1

I0

2

Figura 2.11:

2.11 Esercizio 2.11

La rete in fig. 2.11, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• il valor efficace V della tensione concatenata di alimentazione;

• il fattore di potenza pf2 del carico 2;

Dati. lettura dell’amperometro: I0 = 10 A; carico (1): P1 = 10 kW; Q1 = 10 kVAr;carico (2): Z = 50Ω;caricoequivalente: pf=0.8

Risultati. DA DEFINIREPer favore, segnalare eventuali errori all’autore inviando un e-mail all’indirizzo: wzamboni@unisa.it. Grazie.

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3. CARICHI TRIFASE SQUILIBRATI ALIMENTATI DA TERNE

SIMMETRICHE DI TENSIONI

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4. SISTEMI TRIFASE. ESERCIZI DI RIEPILOGO

4.1 Esercizio S01

Figura 4.1:

La rete in fig. 4.1, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale (ω = 314 rad/s).Calcolare:

• la lettura del voltmetro V#1;

• la lettura del voltmetro V#3;

• la lettura del wattmetro W#4;

• determinare la reattanza X4 e la capacita minima C4∆ dei condensatori necessari per rifasare a pfrif ≥ 0.95 ilcarico a valle di essi;

• lettura dell’amperometro I#5;

• la lettura del voltmetro V#6;

Dati. carico (1): P1 = 20 kW; pf1 = 0.700 (rit.); carico (2): R2 = 10Ω; X2 = 5Ω; lettura dell’amperometro:I#2 = 30.0 A; carico (3): R3 = 0.20Ω; X3 = 0.10Ω; carico (5): R5 = 50Ω; X5 = 10Ω.

Risultati. V#1=232.4 V; V#3=15.08 V; W#4=9.38 kVA; X4=38.74Ω; C4∆=82.2 µF; I#5=70.28 A; V#6=258.4 V.

4.2 Svolgimento

Dalla lettura della corrente di fase, si puo ricavare la tensione stellata sul carico 2 (Z2 = R2|| − jX2):

Z2 = |Z2| =∣∣∣∣R2(−jX2)

R2 − jX2

∣∣∣∣ = R2X2√R2

2 +X22

= 4.472Ω

E2 = Z2I#2 = 134.2V;

e, quindi, la lettura del voltmetro

V#1 =√3E2 = 232.4V.

15

Per determinare la corrente di linea nell’impedenza 3, e, cosı, la lettura del voltmetro, e necessario calcolare la potenzaassorbita dall’insieme dei carichi 1-2. Per il carico 1 (rit.), essendo

φ1 = arccos pf1 = 0.7954

si ha:

Q1 = P1 tan(φ1) = 20.40 kVAr.

Per il carico 2:

P2 = 3E2

2

R2= 5.40 kW

Q2 = −3E2

2

X2= −10.80 kVAr

Nel complesso, la potenza assorbita a valle del carico 3 e:

P12 = P1 + P2 = 25.40 kW

Q12 = Q1 +Q2 = 9.60 kVAr,

S12 = |P12 + jQ12| =,

da cui si ha:

I3 =S12√3V#1

= 67.46A

La lettura del voltmetro e:

V#3 = |R3 + jX3|I3 = 15.08V.

La potenza assorbita dal carico in linea e:

P3 = 3R3I23 = 2.731 kW

Q3 = 3X3I23 = 1.366 kVAr

da cui la potenza assorbita dal carico equivalente 1-2-3

P123 = P12 + P3 = 28.13 kW

Q123 = Q12 +Q3 = 10.97 kVAr

S123 = |P123 + jQ123| = 30.19 kVA,

e, a monte del carico 3, la tensione concatenata e

V4 =S123√3I3

= 258.4V

La voltmetrica del wattmetro e inserita fra la fase 2 e il centro stella dei carichi equilibrati (tensione stellata sul caricoequivalente 1-2-3), e l’amperometrica e sulla linea 2. La lettura del wattmetro coincidera, quindi, con:

W#4 =1

3P123 = 9.38 kW.

Il fattore di potenza del carico a valle dei condensatori e:

pf3 =P123

S123= 0.932 < 0.95,

Detto φrif = arccos(pfrif) = 0.3176, per rifasare il carico equivalente 1-2-3, i condensatori assorbire una potenzareattiva pari a:

Q4 = P123 tan(pfrif)−Q123 = −1.723 kVAr,

da cui, essendo

Q4 = −3V 24

X4= −3ωC4∆V

24

16

si ha:

X4 = −3V 24

Q4= 38.74Ω,

C4∆ = − Q4

3ωV 24

= 82.2µF.

A rifasamento fatto, il carico equilibrato e caratterizzato da:

Pe = P123 = 28.13 kW

Qe = P123 tan(φrif) = 9.25 kVAr

Se = |Pe + jQe| = 29.61 kVA,

φe = φrif = 0.3176

Ie =Se√3V4

= 66.17.

e, quindi:

I(2,s)

=V

(23)

4

R5 + jX5,

I(2,e)

= Ie∠− φrif −2

3π.

Assumendo che il riferimento per gli angoli sia tale che il primo vettore della terna di tensioni stellate abbia argomento

nullo, ovvero argE(1) = 0, si ha V(23)

4 = −jV4, e quindi:

I(2,e)

= (−49.32− j44.11)A,

I(2,s)

= (−0.99− j4.97)A,

da cui

I(2)

= I(2,e)

+ I(2,s)

= (−50.31− j49.08)A

e, infine

I#5 = |I(2)| = 70.28A.

Ovviamente,

V#6 = V4 = 258.4V.

4.3 Esercizio S02

La rete in fig. 4.2, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale. Calcolare:

• lettura dell’amperometro IA;

• la potenza attiva P totale assorbita dal carico.

Dati. letture dei wattmetri: Wa = 20 kW; Wb = 14 kW; carico (2): R2 = 10Ω; XL2 = 15Ω; lettura del voltmetroV0 = 100 V; carico (3): R3 = 50Ω; XL3 = 15Ω.

Risultati. IA= 95.6 A; P=36.2 kW.

4.4 Svolgimento

I wattmetri sono inseriti in inserzione Aron (i wattmetri Wa e Wb leggono, rispettivamente, le tensioni concatenate

V(12)

e −V(23)

), pertanto:

P1 = Wa +Wb = 34 kW

Q1 =√3(Wb −Wa) = −10.39 kVAr.

17

A

Wa

Wb

VXL2

R2

(1)

XL3

XL3

R3

Figura 4.2:

Su parte del carico 2 e assegnata la tensione V0 (letta dal voltmetro su XL2), dunque:

I2 =V0

XL2= 6.67A,

da cui possibile ricavare il valor efficace della tensione (stellata e concatenata) su tutti i carichi (sono tutti in parallelo):

E2 = |Z2|I2 =√R2

2 +X2L2I2 = 120.18V,

V2 =√3E2 = 208.2V,

e la potenza assorbita dal carico 2:

P2 = 3R2I22 = 1.33 kW

Q2 = 3XL2I22 = 2.00 kVAr.

Nel complesso, il carico equilibrato assorbe:

Pe = P1 + P2 = 35.33 kW

Qe = Q1 +Q2 = −8.39 kVAr,

Al fine di determinare la lettura dell’amperometro, e necessario calcolare la somma delle due correnti di linea I(2)

e e

I(2)

s (fasori) nella fase 2 dei carichi equilibrato e squilibrato, rispettivamente. Il valor efficace della corrente nel caricoequilibrato Ie e la fase del carico equilibrato φe:

Ie =Se√3V2

=

√P 2e +Q2

e√3V2

= 100.7A,

φe = arctanQe

Pe= −0.23 rad.

Assumendo che il riferimento per gli angoli sia tale che il primo vettore della terna di tensioni stellate abbia argomento

nullo, ovvero argE(1) = 0, il fasore I(2)

e si esprime:

I(2)e = Ie∠− 2

3π − φe = 100.7∠− 1.86.

Per calcolare la corrente I(2)

s , si osserva che ciascuna delle impedenze del triangolo 3 e soggetta alla tensione concatenata,quindi, indicando con Js le correnti di lato nel triangolo squilibrato 3 e applicando la LKC, si ottiene:

I(2)

s = J(23)

s − J(12)

s =V

(23)

R3− V

(12)

jXL3= (−6.94 + j7.85)A.

18

Sommando i due contributi, si ottiene

IA = I(2)

e + I(2)

s = (−35.78− j88.65)A = (95.6∠− 1.95)A.

La lettura cercata e data da:

IA = |IA| = 95.6A.

La potenza attiva assorbita dal carico squilibrato coincide con quella ssorbita dalla solo resistore R3, quindi:

Ps = R3|J(23)

s |2 =V 22

R3= 0.867 kW,

da cui la potenza attiva richiesta:

P = Pe + Ps = 36.2 kW.

4.5 Esercizio S03

Figura 4.3:

La rete in fig. 4.31, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale. Calcolare:

• il valore pfx del fattore di potenza del carico a valle della Sx;

• la lettura Ix dell’amperometro;

• la lettura Wx del wattmetro.

Dati. lettura del voltmetro: V0 = 380V;carico 1: P1 = 3kW, Q1 = 3kVAr;carico 2: Q2 = 3kVAr, pf2 = 0.8(rit.);carico in linea: R3 = 3Ω;carico 3: R3 = X3 = 10Ω.

Risultati. pfx=0.747; Ix=13.57 A; Wx=10.13 kVA.

4.6 Svolgimento

Il valore efficace Ix della corrente nella sezione Sx (che fluisce nella resistenza di linea) e:

Ix =

√P 21 +Q2

1√3V0

= 6.45A

1dalla prova d’esame di Elettrotecnica I per ingg. Chimica, Civile, Gestionale, Meccanica del 6 settembre 2009

19

da cui si calcolano la potenza assorbita dal carico a valle di Sx e la tensione concatenata della sezione:

P1L = P1 + 3RLI2x = 3.37 kW

Q1L = Q1 = 3kW

Vx =

√P 21L +Q2

1L√3Ix

= 404.4V.

Il fattore di potenza richiesto e:

pfx = cos

(arctan

Q1L

P1L

)= 0.747.

Per il carico 2 si ha:

Q2 = |Q2|

P2 =Q2

tan[arccos(pf2)]= 4 kW,

da cui e possibile ricavare la potenza assorbita dal carico equilibrato:

Pe = P1L + P2 = 7.374 kW

Qe = Q1L +Q2 = 6kVAr

La lettura dell’amperometro coincide con il valor efficace della corrente nel carico equilibrato:

Ie =

√P 2e +Q2

e√3Vx

= 13.57A.

Per calcolare la lettura del wattmetro, si osserva che la voltmetrica legge la tensione concatenata V(23)

, mentre

l’amperometrica e attraversata dalla corrente di linea (fase 2) I(2)

.Assumendo che il riferimento per gli angoli sia tale che il primo vettore della terna di tensioni stellate (ai morsetti

1-2-3) abbia argomento nullo, ovvero argE(1) = 0, la tensione concatenata V(23)

e la corrente di fase 2 I(2)

e (orientando

I(2)

e verso destra) si esprimono come segue:

V(23)

x = −jVx

I(2)

e = Ie∠− 2

3π − φe.

La corrente I(2)

s nel carico squilibrato si calcola agevolmente considerando che l’impedenza Z3 = R3 + jX3 (fase 2)

vede la tensione concatenata V(23)

x , quindi (orientando I(2)

s verso il basso):

I(2)

s =V

(23)

x

Z3

= (−20.22− j20.22)A

e, quindi:

I(2)

line = I(2)

e + I(2)

s = (41.3545∠− 2.4908)A.

Da qui, la lettura cercata e:

Wwattmetro = ℜV

(23)

x I(2)∗line

= 10.13 kVA.

4.7 Esercizio S04

La rete in fig. 4.42, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale. Calcolare:

• la lettura Wx del wattmetro;

• la potenza reattiva Qs assorbita dal carico squilibrato;

• i fasori delle correnti di linea.2dalla prova d’esame di Elettrotecnica II per ing. Elettronica del 16 ottobre 2009

20

Per il circuito trifase in figura alimentato da una terna

Figura 4.4:

Dati. lettura dell’amperometro: I0 = 10A;carico 1: P1 = 3kW, Q1 = −1 kVAr;carico 2: R2 = 22Ω;carico 3:R3 = 10Ω, XL3 = 30Ω;carico in linea: RL = XL = 10Ω.

Risultati. Wx=5.34 kVA; Qs=26.73 kVAr; (35.04∠-0.56), (46.86∠3.19), (27.13∠0.89).

4.8 Svolgimento

I valori efficaci delle tensioni stellata e concatenata sul carico 2 sono:

E2 = R2I0 = 220V,

V2 =√3E2 = 381V

La potenza assorbita dal carico equivalente 1-2 e:

P12 = P1 + 3R2I20 = 9.6 kW

Q12 = Q1 = −1.0 kW

da cui si ricava il valor efficace della corrente che fluisce in 1-2 e sulla linea RL −XL:

IL =

√P 212 +Q2

12√3Vx

= 14.62A.

Nel complesso, il carico equilibrato e caratterizzato da:

Pe = P12 + 3RLI2L = 16.12 kW

Qe = Q12 + 3XLI2L = 5.42 kVAr

Ie = IL = 14.62A

φe = arctanQe

Pe= 0.326

Ee =

√P 2e +Q2

e

3Ie= 385.3V

Ve =√3Ee = 667.5V.

La voltmetrica del wattmetro e collegata alla fase 1 (a monte del carico equilibrato) e al centro stella del carico

equilibrato 2. In virtu dell’unicita del centro stella, tale tensione coincide con la E(1)

, fasore della tensione stellata

(fase 1) di alimentazione del carico in figura. Pertanto, detto I(1)

e il fasore della corrente di linea (fase 1) nel caricoequilibrato, si ha:

Wwattmetro = ℜE(1)

I(1)∗e

=

Pe

3= 5.34 kW.

21

Assumendo che il riferimento per gli angoli sia tale che il primo vettore della terna di tensioni stellate di alimen-tazione abbia argomento nullo, i fasori delle tensioni si possono esprimere come:

E(1)

= Ee∠0

V(12)

= Ve∠π

6

V(23)

= −jVe

le correnti nel carico equilibrato (entranti nel carico) saranno, di conseguenza,

I(1)

e = Ie∠− φe

I(2)

e = Ie∠− φe −2

3π

I(3)

e = Ie∠− φe −4

3π

e, definendo Z3 = R3 + jX3, le correnti nel carico squilibrato (entranti nel carico):

I(1)

s =V

(12)

x

Z3

= (15.79− j14.00)A

I(3)

s = −V(23)

x

Z3

= (20.02− j6.67)A

I(2)

s = −I(1)

s − I(3)

s = (−35.82 + j7.33)A

La potenza reattiva assorbita dal carico squilibrato e:

Qs = X3(I(1)s )2 +X3(I

(3)s )2 = 26.73 kVAr

I fasori delle correnti di linea si trovano sommando i fasori componenti:

I(1)

line = I(1)

e + I(1)

s = (35.04∠− 0.56)A.

I(2)

line = I(2)

e + I(2)

s = (46.86∠3.19)A.

I(3)

line = I(3)

e + I(3)

s = (27.13∠0.89)A.

4.9 Esercizio S05

il fasori delle correnti di linea

Indicazione voltrmetro V=50V

Figura 4.5:

La rete in fig. 4.53, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale. Calcolare:

3dalla prova d’esame di Elettrotecnica II per ing. Elettronica del 20 gennaio 2009

22

• il valore di XC affinche si abbia pf=0.9;

• la lettura Wx del wattmetro;

• la lettura Ix dell’amperometro;

• i fasori delle correnti di linea.

Dati. lettura del voltmetro: V0 = 50V;carico 1: A1 = 10 kVA, Q1 = 9kVAr;carico 2: R2 = XC2 = 50Ω;carico inlinea: RL = 0.3Ω;carico 3: R3 = XL3 = XC3 = 50Ω.

Risultati. XC= 3.20Ω; Wx= 2.161 kW; Ix = 2.61 A; (33.31∠-0.44), (30.29∠-2.53), (31.98∠1.74).

4.10 Svolgimento

Il valor efficace della corrente nel carico 2 e:

I2 =V0

R2= 1.0A

da cui si puo ricavare il valor efficace delle tensione stellata sui carichi 1 e 2:

E12 =√R2

2 +X2C2I2 = 70.71V.

La potenza assorbita dal carico equivalente 1-2 e data da:

P12 =√A2

1 −Q21 + 3R2I

22 = 4.51 kW

Q12 = Q1 − 3XC2I22 = 8.85 kVAr.

da cui si ricava il valor efficace della corrente che fluisce in 1-2 e sulla linea RL:

IL =

√P 212 +Q2

12

3E12= 46.82A.

Si noti che la voltmetrica del wattmetro e collegata alla fase 1 (a monte del carico 1-2-L) e al centro stella di un caricoequilibrato a stella (non importa che esso si trovi inserito a monte del wattmetro). In virtu dell’unicita del centro

stella, tale tensione coincide con la E(2)

, fasore della tensione stellata (fase 2) di alimentazione del carico. Dato che lacorrente che attraversa l’amperometrica del wattmetro ` proprio la corrente di fase 2 nel carico 1-2-L, si deduce cheWwattmetro = P12L

3 . E sufficiente calcolare la potenza assorbita dal carico 1-2-L:

P12L = P12 + 3RLI2L = 6.48 kW

Q12L = Q12 = 8.85 kVAr,

per cui

Wwattmetro =P12L

3= 2.16 kVA.

Il carico 1-2-L vede ai suoi morsetti la tensione di alimentazione

Ee =

√P 212L +Q2

12L

3IL= 78.10V

Il suo fattore di potenza e

pf12L = cos arctanQ12L

P12L= 0.591.

L’equazione da verificare per rifasare il carico e:

Q12L − 3E2

e

XC= P12L tan arccos 0.9,

23

ovvero:

XC =3E2

e

Q12L − P12L tan arccos 0.9= 3.20Ω,

Nel complesso, il carico equilibrato e caratterizzato da:

Pe = P12 + 3RLI2L = 6.48 kW

Qe = Pe tan arccos 0.9 = 3.14 kVAr

Ie =

√P 2e +Q2

e

3Ee= 30.74A

φe = arccos 0.9 = 0.451

Assumendo che il riferimento per gli angoli sia tale che il primo vettore della terna di tensioni stellate di alimentazioneabbia argomento nullo, i fasori delle tensioni si possono esprimere come:

E(1)

= Ee∠0

E(2)

= Ee∠− 2

3π

E(3)

= Ee∠− 4

3π

le correnti nel carico equilibrato (entranti nel carico) saranno, di conseguenza,

I(1)

e = Ie∠− φe

I(2)

e = Ie∠− φe −2

3π

I(3)

e = Ie∠− φe −4

3π.

Applicando la formula di Millman si ha:

VOO′ =

E(1)

R3+jXL3+ E

(2)

R3+jXL3+ E

(3)

−jXC3

1R3+jXL3

+ 1R3+jXL3

+ 1−jXC3

da cui si possono calcolare le correnti nel carico squilibrato (entranti nel carico):

I(1)

s =E(1) −VOO′

R3 + jXL3= (2.52− j0.68)A

I(2)

s =E(2) −VOO′

R3 + jXL3= (0.68− j0.18)A

I(3)

s =E(3) −VOO′

−jXC3= (−3.20 + j0.86)A

La lettura dell’amperometro e:

Ix = |I(1)s | = 2.61A

mentre i fasori delle correnti di linea si trovano sommando i fasori componenti:

I(1)

line = I(1)

e + I(1)

s = (33.31∠− 0.44)A

I(2)

line = I(2)

e + I(2)

s = (30.29∠− 2.53)A

I(3)

line = I(3)

e + I(3)

s = (31.98∠1.74)A

4.11 Esercizio S06

La rete in fig. 4.64, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale. Calcolare:

• il valore di capacita C affinche si abbia pf=0.9;

• la lettura Wx del wattmetro;

• i fasori delle correnti di linea.4dalla prova d’esame di Elettrotecnica II per ing. Elettronica del 15 settembre 2009

24

Figura 4.6:

Dati. frequenza di rete: f = 50 Hz. lettura dell’amperometro: I0 = 10A;letture dei wattmetri: W1 = 10 kVA,W2 = 5kVA;carico in linea: RL = XL = 0.5Ω;carico squilibrato: R1 = XL1 = XC1 = 50Ω.

Risultati. C= 9.16 µF; Wx=4.41 kVA; (6.28∠-1.91), (34.57∠-1.69), (40.72∠ 1.42).

4.12 Svolgimento

L’inserzione Aron dei wattmetri (le voltmetriche dei wattmetri 1 e 2 leggono, rispettivamente, −V(12)

1 e V(31)

1 ) permettedi calcolare la potenza complessa assorbita dal carico 1 come:

P1 = W1 +W2 = 15 kW

Q1 =√3(W1 −W2) = 8.66 kVAr.

L’indicazione dell’amperometro permette di determinare la corrente della linea RL −XL e del carico 1. Infatti, detto

ZL = RL||XL =RLjXL

RL + jXL= (0.25 + j0.25)Ω

= (0.354∠0.785)Ω

l’impedenza di linea, il valore efficace UL della tensione su ZL si calcola come:

UL = RLI0 = 5V,

da cui e possibile calcolare la corrente di linea e del carico 1:

IL = I1 =UL

|ZL|= 14.14A.

La potenza assorbita dalla linea e:

PL = 3U2L

RL= 0.150 kW

QL = 3U2L

XL= 0.150 kVAr,

e, quindi, la potenza assorbita, il fattore di potenza e il valor efficace della tensione (stellata) di alimentazione delcarico equivalente da rifasare sono:

P1L = P1 + PL = 15.15 kW

Q1L = Q1 +QL = 8.810 kVAr

pf1L = cos arctanQ1L

P1L= 0.864

E =

√P 21L +Q2

1L

3IL= 413.1V.

25

L’equazione da verificare per rifasare il carico e:

Q1L − 3E2

XC= P1L tan arccos 0.9,

da cui si puo ricavare:

XC =3E2

Q1L − P1L tan arccos 0.9= 347.6Ω,

e, quindi:

C =1

ωXC=

1

2πfXC= 9.16µF.

Nel complesso, il carico equilibrato e caratterizzato da:

Pe = P1L = 15.15 kW

Qe = Pe tan arccos 0.9 = 7.34 kVAr

Ie =

√P 2e +Q2

e

3E= 13.58A

φe = arccos 0.9 = 0.451

Assumendo che il riferimento per gli angoli sia tale che il primo vettore della terna di tensioni stellate di alimentazione,

E(1)

, abbia argomento nullo, i fasori delle tensioni si possono esprimere come:

E(1)

= E∠0

E(2)

= E∠− 2

3π

E(3)

= E∠− 4

3π.

Le correnti nel carico equilibrato (entranti nel carico) saranno, di conseguenza:

I(1)

e = Ie∠− φe

I(2)

e = Ie∠− φe −2

3π

I(3)

e = Ie∠− φe −4

3π.

Applicando la formula di Millman si puo calcolare lo spostamento del potenziale del centro stellaO del carico squilibratorispetto al quello del centro stella dei carichi equilibrati O′:

VOO′ =

E(1)

R1+ E

(2)

−jXC1+ E

(3)

jXL1

1R1

+ 1−jXC1

+ 1jXL1

= 1.129 kV

da cui si possono calcolare le correnti nel carico squilibrato (entranti nel carico):

I(1)

s =E(1) −VOO′

R1= (−14.30)A

I(2)

s =E(2) −VOO′

−jXC1= (7.15− j26.70)A

I(3)

s =E(3) −VOO′

jXL1= (7.15 + j26.70)A

mentre i fasori delle correnti di linea si trovano sommando i fasori componenti:

I(1)

line = I(1)

e + I(1)

s = (6.2771∠− 1.9093)A

I(2)

line = I(2)

e + I(2)

s = (34.5711∠− 1.6893)A

I(3)

line = I(3)

e + I(3)

s = (40.7199∠1.4187)A

La lettura del wattmetro e:

Wx = ℜ(E

(1) −VOO′)(−I(3)

line)∗= 4.41 kVA.

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Figura 4.7:

4.13 Esercizio S07

La rete in fig. 4.75, alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni, e a regime sinusoidale. Calcolare:

• la lettura Wx del wattmetro;

• la potenza complessa assorbita dalla serie R2 −X2.

Dati. carico 0: P0 = 20 kW, Q0 = 10 kVAr; lettura dell’amperometro: I0 = 25A; carico 1: R1 = 2Ω, X1 = 3Ω;carico 2: R2 = 3.2 kΩ, X2 = 4.8 kΩ; rapporto di trasformazione: n = N2/N1 = 4.

Risultati. DA DEFINIREPer favore, segnalare eventuali errori all’autore inviando un e-mail all’indirizzo: wzamboni@unisa.it. Grazie.

5dalla prova d’esame di Elettrotecnica II per ing. Elettronica del 9 febbraio 2004

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