Indice:

Introduzione 1

Prima Legge di Kirchhoff 1

Seconda Legge di Kirchhoff 1

Il grafo di una rete e le equazioni indipendenti 2

Metodo dei Potenziali 3

Metodo delle correnti di maglia 3

Teorema di Tellegen (o potenze virtuali) 5

Le proprietà di non amplificazione delle tensioni e correnti 6

Sovrapposizione degli effetti 7

Teorema di Thevenin o del generatore equivalente di tensione 7

Teorema di Norton o del generatore equivalente di corrente 9

Teorema di reciprocità nelle reti elettriche 11

L’n-polo 12

L’N-bipolo o N-porte 16

Potenza nei regimi sinusoidali 22

Il circuito risonante 24

Il problema del rifasamento nelle reti elettriche 27

Accoppiamento Mutuo 28

L’accoppiamento mutuo in regime sinusoidale 29

Il trasformatore reale 32

I sistemi trifase 33

Carico squilibrato 36

La potenza nei sistemi trifase 37

Misura della potenza nei sistemi trifase 38

Metodi sistematici per la risoluzione delle reti 40

Bibliografia: “Elettrotecnica” Luciano De Menna

Introduzione

Chiameremo lato o ramo di una rete l'insieme di quei bipoli che nella rete stessa compaiono fra di loro collegati in serie; chiameremo nodo di una rete un punto in cui convergono più di due lati della rete stessa, infine ogni insieme di lati della rete che forma un anello chiuso prenderà il nome di

maglia della rete.

Prima Legge di Kirchhoff

La prima legge di Kirchhoff o legge di Kirchhoff per le correnti (LKC) afferma:

in ogni nodo la somma algebrica delle correnti entranti o uscenti nel nodo è identicamente nulla.

Con somma algebrica si intende che ogni corrente va presa con il proprio segno se il verso positivo scelto sul ramo corrispondente è quello entrante nel nodo (o uscente se si è scelto di effettuare la somma delle

correnti uscenti dal nodo) o con il segno opposto nel caso contrario. In simboli:

#

[La validità di tale legge è strettamente legata alla definizione di bipolo e precisamente al fatto

che in ogni bipolo è supposto interagire con l'esterno esclusivamente attraverso i suoi morsetti.

Questa legge rispetta il principio di conservazione della carica. La somma algebrica delle correnti entranti nel nodo, infatti, rappresenta la quantità di carica che viene portata nel nodo nell'unità di tempo. In regime stazionario

tale contributo per unità di tempo, resta costantemente nullo. Se ciò non fosse vero si potrebbe portare nel nodo, in un tempo sufficientemente lungo, una carica grande quanto si vuole. Questo è impossibile poiché i portatori di

carica sono dotati di massa non nulla e quindi con la carica crescerebbe anche la massa del nodo. In una rete con n nodi la LKC ci permette di scrivere n relazioni lineari, di cui n-1 sono indipendenti.

Seconda Legge di Kirchhoff

La seconda legge di Kirchhoff o legge di Kirchhoff per le tensioni (LKT):

in una maglia la somma delle tensioni di lato, prese con il proprio segno o con il segno opposto a

seconda che il loro verso coincida o non con un verso di orientazione della maglia in precedenza

scelto, è identicamente nulla.

!

Si può verificare in questo modo: consideriamo una maglia di una rete e supponiamo di percorrerla in uno dei due possibili versi. Sommiamo

algebricamente le tensioni di lato che incontriamo percorrendo la maglia, prendendole con il proprio segno o con il segno opposto a seconda che il suo verso coincida o meno con quello dell’orientamento della maglia scelto

precedentemente. Dato che la tensione su ogni ramo è per definizione l’integrale di linea del

campo E tra i morsetti del bipolo del ramo, la somma algebrica coincide con l’integrale lungo una

linea chiusa del campo E. In regime stazionario, essendo E conservativo, tale integrale è nullo e quindi anche la somma.

Si può verificare anche diversamente: in regime stazionario le tensioni possono essere espressa come differenze di potenziali dei nodi del ramo. [e potrà essere messa sotto la forma Vr - Vs , dove con Vr e Vs si

sono indicati i potenziali nei nodi r ed s] La somma precedente sarà

#

I1+ I

2+ I

3+ .......+ I

k= 0

V12+V

23+ V

34+V

45+ ...........+V

k1= 0

V1−V

2+V

2−V

3+V

3−V

4+ ........+V

k−V

1

#1

I1+ I

2+ I

3− I

4= 0

−V1+V

2+ V

3= 0

Tale somma è nulla poiché ogni potenziale di nodo compare una volta con segno positivo e una volta con segno negativo. [Osserviamo quindi che la validità della LKT può essere anche fatta discendere dalla semplice

definizione di bipolo. in particolare dal fatto che per un bipolo si può, per definizione parlare di una tensione ai suoi morsetti

indipendente dal percorso, cioè di una differenza di potenziale.] La LKT permette di scrivere, per una rete di n nodi e l lati, l-(n-1) equazioni indipendenti.

Il grafo di una rete e le equazioni indipendenti

Consideriamo la struttura di una rete, cioè il modo in cui i bipoli sono collegati tra loro, senza

specificare la natura dei bipoli. Tale struttura è detta grafo della rete in cui possiamo individuare l rami e n nodi. Il grafo è detto orientato se si sceglie un verso di orientamento per ogni ramo.

Chiamiamo albero di una rete l’insieme di rami

che unisce fra di loro tutti i nodi della rete senza formare maglie chiuse (in generale non è unico) e coalbero della rete l’insieme dei rami che restano

esclusi dall’albero.Dall’applicazione della LKC ad ogni singolo nodo possiamo scrivere n equazioni. Supponiamo di

scriverle nella forma che esse assumono quando scegliamo di imporre l’annullamento della somma delle correnti entranti nei nodi. Poiché ogni

corrente compare una volta con segno positivo in un’equazione e

una volta con il segno negativo in un’altra, se andiamo a sommare membro a membro tutte le equazioni del sistema

otteniamo l’identità 0=0.[dato che ogni ramo collega due nodi ed uno stesso orientamento risulterà

entrante per l’uno e uscente per l’altro]

Ciò implica che le n equazioni non sono indipendenti e quindi almeno un'equazione presa a caso potrebbe essere ottenuta combinando linearmente le altre n-1. Le n equazioni, dunque, non sono

tra di loro indipendenti, il che significa, in termini fisici, che l’informazione contenuta in una delle equazioni è già contenuta

nelle altre.

È possibile dimostrare che almeno n-1 sono indipendenti. Dimostrazione: Scegliamo un albero della rete che abbia la caratteristica di non avere più di due rami che confluiscono in ogni singolo nodo, esso sarà

costituito per definizione da n-1 rami e n nodi. Applicando la LKC al primo nodo otteniamo la prima corrente iI in funzione

delle correnti del coalbero. Applicandola al secondo nodo e sostituendo l’equazione della corrente precedente, otteniamo

anche la seconda corrente in funzione delle sole correnti del coalbero. Ripetiamo questo procedimento per tutte le n-1 correnti dei rami dell’albero. Abbiamo ottenuto un sistema di

n-1 equazioni indipendenti in quanto in ogni equazione comparirà una corrente di un ramo dell’albero non presente nelle altre.

Per quanto riguarda la LKT dimostriamo che essa permette di scrivere l-(n-1) equazioni alle maglie indipendenti. Osserviamo che essendo l’albero formato da n-1 rami, il coalbero avrà l-(n-1) rami.

Costruiamo un sistema di l-(n-1) maglie chiuse aggiungendo, di volta in volta, ai rami dell'albero uno solo del coalbero. Le equazioni che si ottengono dalla LKT per tali maglie sono indipendenti, in

#2

− − − − − − − − − = 0

− − − − − − − − − = 0

− − − − − − − − − = 0

− − − − − − − − − = 0

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

0 = 0

I I = f (Ic )

I II = g(Ic )

I III = h(Ic )

I IV = s(Ic )

Albero (destra) e coalbero (sinistra)

quanto in ognuna di esse comparirà una tensione del ramo del coalbero che è servita a formare la maglia, che non compare nelle altre equazioni alle maglie.

In conclusione sommando le n-1 equazioni alle correnti, alle l-(n-1) equazioni alle maglie e alle l relazioni delle caratteristiche dei bipoli della rete, otteniamo un totale di 2l equazioni in 2l incognite. Se le caratteristiche dei bipoli sono lineari, anche le 2l equazioni sono lineari ed ammettono una ed

una sola soluzione. In generale non bisogna trattare l’intero sistema di 2l equazioni. Sostituendo le caratteristiche dei bipoli nelle equazioni ottenute ci riconduciamo a un sistema di l equazioni in l incognite, che possono essere o le correnti nei rami o le tensioni sui rami.

Metodo dei Potenziali

Questo metodo dei potenziali ai nodi consente di ridurre il numero di equazioni del nostro sistema. Il

metodo consiste nel definire ogni tensione nella forma # dove Vr e Vs sono i potenziali dei nodi

r ed s rispetto ad un riferimento. Come riferimento scegliamo il potenziale di uno dei nodi. Una volta definiti i potenziali di nodo, usando le relazioni caratteristiche, determiniamo le correnti che transitano in ogni ramo. Una volta definite tutte le correnti di ramo in funzione delle tensioni ai nodi,

si applica la legge di Kirchhoff delle correnti ad ogni nodo. L'applicazione sistematica di questo metodo ad un circuito con n nodi porta a scrivere n equazioni. Tuttavia, una delle tensioni di nodo è il potenziale di riferimento ed è perciò già noto e per comodità di solito è posto pari a zero. Così

possiamo scrivere n-1 equazioni indipendenti in n-1 variabili indipendenti (costituite dalle tensioni di nodo). [Per le incognite Vi non occorre scrivere la LKT in quanto le soddisfano per definizione]

Esempio:

#

Metodo delle correnti di maglia

Analogamente si può scegliere un sistema di correnti (l-(n-1) in particolare) che soddisfi automaticamente la LKC ai nodi e che richieda soltanto la scrittura della LKT alle maglie.

Consideriamo un sistema di maglie indipendenti della rete (ad esempio i buchi della rete se essa è piana) e attribuiamo ad ogni maglia una corrente di maglia incognita il cui verso coincide con quello di percorrenza scelto. Poi esprimiamo la corrente in ogni lato come la somma o differenza di correnti

di maglia a seconda dei versi scelti per le correnti di maglia (si sommano se hanno lo stesso verso, si sottraggono se hanno verso opposto). Queste correnti di maglia soddisfano automaticamente le LKC (in quanto la corrente di maglia in ogni nodo si intende una volta entrante ed una volta uscente.),

Vr−V

s

#3

bisogna solo scrivere le LKT alle maglie in funzione delle correnti di maglia. Le equazioni ottenute sono indipendenti e dello stesso numero delle incognite, quindi possiamo risolvere tale sistema.Spesso non si scrive l’equazione di maglia in cui è presente un generatore di corrente, infatti la

corrente di questa risulta uguale a quella del generatore stesso.

Esempio:

!

#4

Teorema di Tellegen (o potenze virtuali)

Consideriamo due reti che abbiano lo stesso grafo, cioè due reti in cui bipoli diversi sono collegati

allo stesso modo. Indicheremo tensioni e correnti nei singoli rami della prima rete con i simboli # e

# e con i simboli # e # le tensioni e le correnti nei singoli rami della seconda rete.

Consideriamo per la prima rete un sistema di tensioni Vk che soddisfi la LKT e per la seconda rete un

sistema di correnti I*k che soddisfi la LKC. Inoltre assumiamo la stessa convenzione, che sia dell’utilizzatore o del generatore, nelle due reti. Allora il teorema di Tellegen afferma che se per ogni ramo del grafo consideriamo il prodotto Vk I*k e sommiamo tali prodotti per tutti i rami della rete,

allora

#

[Notiamo che non si sono dovute fare ipotesi sulla natura dei bipoli, al limite possono essere anche bipoli non lineari. La

proprietà descritta è molto generale e discende soltanto dal fatto che sono soddisfatte le due leggi di Kirchhoff.]

Dimostriamo: Esprimiamo la sommatoria in termini dei nodi r

ed s tra i quali è inserito il ramo generico k. Siccome non tutti i nodi della rete sono collegati da un ramo, possiamo immaginare di inserire tra questi nodi non connessi un bipolo

a vuoto. Tali bipoli non cambia ne la rete, ne la sommatoria essendo in questi rami I*rs=0.Estendiamo la sommatoria a tutti i valori possibili di r e di s ed inoltre moltiplichiamo per un fattore

1/2 altrimenti ogni ramo è preso due volte in considerazione

#

Dato che le Vrs soddisfano la LKT sarà possibile metterle sotto la forma di differenza di potenziale.

Dividiamo la sommatoria

#

Ora nella prima sommatoria Vr può essere portato fuori della sommatoria su s, mentre nella seconda

sommatoria si può fare una cosa analoga per Vs se prima si scambiano le sommatorie su r e su s. Si ha, in conclusione:

#

Le sommatorie # per r fissato e # per s fissato sono nulle poiché rappresentano la somma

delle correnti uscenti dal nodo r o entranti nel nodo s e per ipotesi le I*rs

soddisfano le LKC.

#

Nel caso particolare in cui le due reti coincidono, cioè stesso grafo e stessi bipoli,

il teorema conferma il teorema della conservazione dell’energia, e quindi della potenza. Allora si può anche dire che il Teorema di Tellegen afferma che in una rete la potenza fornita dai generatori presenti

è pari alla potenza assorbita dai bipolo passivi della rete stessa.

Vk

Ik

V*

kI*

k

Vk Ik

*

k

∑ = 0

Vk Ik

*

k

∑ =1

2Vrs

Irs

*

r , s

∑ =1

2Vrs

Irs

*

s

∑r

∑

1

2(V

r−V

s)Irs

*

s

∑r

∑ =1

2VrIrs

*

s

∑r

∑ −1

2VsIrs

*

s

∑r

∑

1

2(V

r−V

s)Irs

*

s

∑r

∑ =1

2Vr

Irs

*

s

∑r

∑ −1

2Vs

Irs

*

r

∑s

∑

Irs

*

s

∑ Irs

*

r

∑

Vk Ik

*

k

∑ =1

2Vrs

Irs

*

r , s

∑ = 0

#5

Le proprietà di non amplificazione delle tensioni e correnti

Una delle proprietà che valgono in regime continuo è la proprietà di non amplificazione e discende dal fatto che per le reti di bipoli valgono la LKT e la LKC. Tale principio afferma che:

se in una rete di bipoli esiste un solo lato attivo, allora il potenziale dei due nodi a cui il lato si

appoggia sono l'uno il massimo e l'altro il minimo tra tutti i potenziali dei nodi della rete.

Dimostrazione: Prima di dimostrare la proprietà diamo un corollario del Teorema di Tellegen:Se per un nodo r tutti i prodotti VrsIrs delle tensioni e delle correnti che convergono nel nodo

stesso, con le convenzioni implicite nell’ordine dei pedici (cioè Vrs è la tensione da r a s, Irs è la corrente da r a s),

sono maggiori od eguali a zero, il potenziale di tale nodo non può essere né quello massimo né

quello minimo tra i potenziali di tutti i nodi della rete.

Infatti, dato che vale la LKC, si ha che Σs Irs = 0 e quindi vi saranno sia Irs (r

fissato) positive che negative. Dato che # (r fissato) si ha che anche tra le

Vrs ce ne saranno alcune positive ed altre negative. Poiché Vrs è la differenza di

potenziale Vr-Vs , l’affermazione precedente equivale a dire che Vr non è ne il min ne il max tra i potenziali della rete.Ora se abbiamo un solo lato attivo, i suoi nodi sono gli unici per i quali non si

può dire che # per ogni s (per la presenza del generatore), mentre è vero

per i nodi interni [a cui fanno capo solo bipoli passivi].

Se ne deduce quindi che il potenziali massimo e il potenziale minimo sono assunti dai due nodi dell’unico ramo attivo.

Si può dimostrare anche il teorema di non amplificazione delle correntise in una rete di bipoli esiste un solo ramo attivo,allora la corrente che circola in tale ramo è la più

grande in valore assoluto tra tutte le correnti dei rami della rete.

Prendiamo una rete come in figura e poniamo i nodi in ordine decrescente di potenziale ed

orientiamo le correnti dal nodo a potenziale maggiore a quello a potenziale minore. Applicando la LKC al primo nodo:

#

ripetendo otteniamo

#

e poiché

# allora #

iterando il procedimento si trova che la corrente sul generatore è massima.

Tale proprietà in regime dinamico non è più valida per la presenza di capacitori e induttori che sono in grado di immagazzinare e poi restituire energia; l’ipotesi che viene meno è proprio quella che nella

rete ci sia un solo ramo attivo.

VrsIrs≥ 0

VrsIrs≥ 0

I = I1+ I

2+ I

3⇒ I ≥ I

1, I2, I3

I1= I

1'+ I

2' ⇒ I

1≥ I

1', I

2'

I ≥ I1

I ≥ I1', I

2'

#6

Sovrapposizione degli effetti

La sovrapposizione degli effetti è una proprietà dei sistemi lineari. Essa si può esprimere affermando che una particolare combinazione lineare di cause produce la stessa combinazione lineare degli effetti che ognuna delle cause produrrebbe se si trovasse ad agire da sola.

Se consideriamo i generatori le cause e le correnti o le tensioni sui rami gli effetti, possiamo dire che le correnti o le tensioni sui lati della rete in cui agiscono più generatori, possono essere calcolate come somme delle tensioni e correnti indotte sugli stessi rami dai generatori quando essi agiscono

singolarmente. Un generatore agisce singolarmente, significa annullare l'effetto degli altri generatori presenti. Questo significa che i generatori ideali di f.e.m. vengono sostituiti con un bipolo corto circuito e i generatori ideali di corrente con un bipolo circuito aperto. Nell'utilizzo di tale principio bisogna

tener presente di utilizzare sempre, in ognuna delle reti elementari la stessa orientazione.

Teorema di Thevenin o del generatore equivalente di tensione

Consideriamo una qualsiasi rete lineare attiva e scegliamo su di essa due nodi. [Per sottolineare la generalità, rappresentiamo la rete con una

scatola chiusa. I simboli all'interno della scatola stanno a ricordare che nella rete

sono in generale presenti generatori di tensione, generatori di corrente e bipoli

passivi. I due nodi scelti sono stati “prolungati” fuori dalla scatola mediante

conduttori perfetti che non introducono nessun disturbo, e sono indicati con le

lettere A e B.]

Questa rete vista da due morsetti è certamente un bipolo, quindi vogliamo trovare la caratteristica del bipolo

equivalente alla rete. Per fare ciò inseriamo tra i morsetti A e B un generatore variabile di corrente. Per ogni valore della corrente I è possibile misurare la tensione V e

quindi ricavare la caratteristica del bipolo che sarà del tipo V=f(I). Abbiamo fatto la convenzione del generatore

per il bipolo equivalente della rete e quella dell'utilizzatore per il generatore di corrente. Poiché la rete è una rete di bipoli lineari, la caratteristica nel piano (I,V) è una retta, che non passa per l'origine degli assi per la presenza di bipoli attivi.

Per individuare questa retta consideriamo i due punti (0,E0) e (Icc,0), con E0 tensione a vuoto e Icc corrente di corto circuito. La caratteristica è rappresentata da una retta di questo tipo

#

La caratteristica del bipolo equivalente, è la stessa caratteristica di un bipolo costituito da un generatore di tensione ideale E=E0

con in serie un bipolo passivo #

#

La Ri si può calcolare applicando la sovrapposizione degli effetti alla rete originaria, con il generatore

di corrente tra i morsetti A e B, scomponendola in due reti componenti. [Ricordiamo di conservare le stesse

convenzioni dei segni.]

V = E0−E0

ICC

I

Ri=E0

ICC

V = E0− R

iI

#7

#

Nella prima abbiamo lasciato tutti i generatori della rete e abbiamo aperto il generatore di corrente

esterno; nella seconda invece abbiamo cortocircuitato tutti i generatori di tensione ed abbiamo aperto quelli di corrente presenti nella rete, lasciando agire il solo generatore di corrente esterno da

noi applicato. Il teorema di sovrapposizione ci assicura che ogni grandezza elettrica nella rete di

partenza può essere ottenuta come somma dei valori assunti dalla stessa grandezza nei due circuiti

componenti. Dalla sovrapposizione per le correnti abbiamo:

#

La I’ è nulla in quanto il circuito è aperto. Re è la resistenza equivalente vista dai morsetti A e B della rete resa passiva. Il segno meno è dato dalla convenzione del generatore sul bipolo equivalente. La tensione V ai morsetti della rete originaria è

#

dove V’=E0, perché i morsetti A e B nella seconda rete sono aperti. Questa è la stessa caratteristica

trovata prima ma con # , quindi ora sappiamo che resistenza mettere in serie al generatore

ideale di tensione.

In conclusione il teorema del generatore equivalente di tensione (o Teorema di Thevenin) dice:una qualsiasi rete vista da due suoi morsetti A e B è equivalente ad una rete costituita da un

generatore ideale di f.e.m con in serie un resistore. Il generatore di f.e.m. ha una tensione ai

morsetti pari alla tensione a vuoto E0 tra i morsetti in esame della rete. Il resistore ha una

resistenza pari a quella vista dai morsetti A e B quando la rete è stata resa passiva, cioè

sostituendo tutti i generatori di tensione con bipoli cortocircuito e tutti i generatori di corrente con

bipoli circuito aperto.

Il teorema assicura l’equivalenza tra i due bipoli soltanto ai fini di quello che accade a valle dei

morsetti A e B.

I = I '+ I '' = I '' = −V "

Re

V =V '+V '' = E0+V "= E

0− R

eI

Ri= R

e

#8