Optoelettronica Appunti del Corso

Prof. Cutolo

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Indice Richiami alle equazioni di Maxwell1 ..............................................................................Ottica geometrica1 .......................................................................................................Ottica parassiale3 .........................................................................................................Cenni sui fenomeni di aberrazione7 ..............................................................................Stati di polarizzazione7 .................................................................................................Propagazione in un mezzo anisotropo8 ........................................................................Filtri polarizzatori14 .......................................................................................................

Filtri polarizzatori ad assorbimento14 Filtri polarizzatori in riflessione14

Fasci gaussiani16 .........................................................................................................Risuonatori ottici18 .......................................................................................................

Determinazione dei modi in un risonatore22 Perdite in un risonatore23

Sistemi laser 24 Oscillatori24 .................................................................................................................Interazione radiazione-materia24 ..................................................................................Rate equations26 .........................................................................................................

Sistema a due livelli26 Sistema a tre livelli27 Sistema a quattro livelli28

Cenni sulla struttura di un laser e ottimizzazione dell’accoppiamento di uscita29 ..........Tecniche di pompaggio32 ............................................................................................

Pompaggio ottico33 Effetto focale termico33

Sistemi laser pulsati 34 Cavity Dumping34 ........................................................................................................Q-Switching36 .............................................................................................................Mode-Locking38 ..........................................................................................................

Tecniche di selezione modale 41 Selezione del singolo modo trasverso41 Selezione del singolo modo longitudinale41

Modulazione del fascio ottico 43 Effetto acusto-ottico43 .................................................................................................Effetto elettro-ottico45 ..................................................................................................

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Laser a semiconduttore 48 Richiami di fisica dei semiconduttori48 .........................................................................Fotorivelatori: fotodiodi49 .............................................................................................Diodo led53 ..................................................................................................................Diodo Laser55 ..............................................................................................................

Cenni su come usare i semiconduttori come modulatori57 Caratterizzazione di un laser58 .....................................................................................

Fattore di qualità M di un laser58

Fibre ottiche 60 Proprietà propagate in fibra ottica62 .............................................................................

Generazione di seconda armonica 65

Sistemi Fotonici 69 Reticolo di Bregg69......................................................................................................

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Richiami alle equazioni di Maxwell Qualunque fenomeno elettromagnetico viene descritto dalle equazioni di Maxwell:

�

Per risolvere questo sistema di equazioni occorre fissare le relazioni costitutive del mezzo e le condizioni al contorno. Al fine di semplificare la risoluzione delle eq. di Maxwell è opportuno considerare il rapporto

�

Infatti se:

• � , valgono le approssimazioni dell'ottica geometrica

• � , valgono le approssimazioni dell’elettromagnetismo clssicoPertanto dal momento che l'optoelettronica si occupa dello studio dei fenomeni (onde) elettromagnetici aventi lunghezza d'onda (λ) compresa tra 0.4µm e 1.6µm, mentre la dimensione caratteristica delle strutture in esame è dell'ordine delle frazioni di metro (10-1÷10-2m) si ha che � , valgono le approssimazioni dell'ottica geometrica.

Ottica geometrica Introduciamo le due leggi dell'ottica geometricaLegge della riflessione: quando un raggio incide su una superficie riflettente si generano un raggio riflesso complanare con il raggio incidente e con la normale alla superficie; in tal caso l'angolo di incidenza, formato tra il raggio incidente e la normale, è uguale all'angolo di riflessione, formato tra il raggio riflesso e la stessa normale θi=θr.

Legge della rifrazione: quando un raggio incide su una superficie di separazione tra due mezzi con indici di rifrazione n1 e n2 differenti, si generano due raggi: uno riflesso e uno rifratto. Il raggio rifratto forma con la normale all'interfaccia di separazione un angolo θ2 che obbedisce alla seguente legge, detta Legge di Snell

�

Ricordiamo che l'indice di rifrazione n è pari a:

�

∇× E = − ∂B∂t

∇× H = ∂D∂t

+ J

∇⋅D = ρ∇⋅B = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

λd= lunghezza ′d onda

dimensione caratteristica del problema in esame

λ / d ≪1

λ / d ≫ 1

λ / d ≪1

n1sinθ1 = n2sinθ2

n = cv= velocità della luce nel vuoto

velocità della luce nel mezzo

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pertanto si ha:

�

Osserviamo che

�

quindi se n1>n2 può accadere che cioè si ha una completa riflessione del raggio incidente

(riflessione interna totale) senza la generazione di un raggio rifratto. L'angolo θ1 per il quale risulta (nell'ipotesi che n1>n2) prende il nome di angolo critico (θc).

La riflessione interna avviene solo se lo spessore del secondo mezzo è infinito. Mentre se il secondo mezzo è molto sottile non può avvenire il fenomeno della rifrazione interna totale e quindi si ha trasmissione di energia nel secondo mezzo (effetto tunnel).

�

Le leggi dell'ottica geometrica valgono solo nell'ipotesi che � ; quando questa ipotesi non è verificata bisogna ricorrere alla teoria della diffrazione (la "diffrazione" è tutto quanto concerne i fenomeni elettromagnetici che non sono spiegabili con la riflessione e la rifrazione).

Esempio: Supponiamo he la superficie riflettente ha uno spigolo, in tal caso l'ottica geometrica viene meno perché le dimensioni dello spigolo sono confrontabili con la lunghezza d'onda. In tal caso la teoria geometrica della diffrazione ci dice che nello spigolo si crea una rosa di raggio riflessi la cui distribuzione di intensità si calcola risolvendo le equazioni di Maxwell. In questo modo si continua ad usare l'ottica geometrica laddove � , mentre per studiare gli effetti di bordo si ricorre alla teoria della diffrazione.

n = εµε0µ0

sinθ2 =n1n2sinθ1

sinθ2 > 1

sinθ2 = 1

λ / d ≪1

λ / d ≪1

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Ottica parassiale Si parla di ottica parassiale quando la propagazione avviene nell'intorno di un asse preferenziale (asse ottico). In tale ipotesi è possibile costruire un "modello matematico" che ci consente di studiare qualsiasi sistema ottico. Per analizzare la propagazione di un raggio è conveniente caratterizzare il raggio in termini della sua distanza x dall'asse ottico e dell’angolo θ formato con l'asse ottico.

� Pertanto il raggio è univocamente definito dal vettore

�

dove se � si ha � (nelle ipotesi di ottica parassiale � ).

Quindi il vettore rappresentativo del raggio può essere scritto come

�

In generale nell’ambito dell’ottica parassiale ogni sistema ottico può essere rappresentato da una matrice 2x2 del tipo

� “Matrice ABCD”

che lega i vettori rappresentativi del raggio all’ingresso e all’uscita del sistema ottico mediante la relazione

�

Con buon approssimazione possiamo ritenere il nostro sistema in ottica parassiale se l’angolo è inferiore di 1/10 di radiante (1 rad = 57°)

x(z)θ(z)

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x(z) = tanθ ⋅ z !x(z) = tanθ " θ θ ≪1⇒ tanθ " θ

x(z)!x(z)

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

M = A BC D

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ru = Mri

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Esempio 1: MATRICE DI PROPAGAZIONE IN SPAZIO LIBERO

� Da banali considerazioni geometriche si ha

�

Esempio 2: MATRICE DI PROPAGAZIONE DI UNA LENTE

Nota: per convezione una lente è convergente se le frecce che la rappresentano sono entranti, altrimenti è divergente

� �

La matrice è:

�

dove f è la distanza focale della lente (f>0 se la lente è convergente, f<0 lente è divergente).

Il vantaggio del formalismo ABCD è legato alla possibilità di analizzare un caso complesso scomponendolo in sotto problemi più semplici; infatti si dimostra che la matrice di propagazione di un sistema ottico è pari al prodotto delle matrici dei singoli sottosistemi che costituiscono il sistema ottico complesso.

x2 = x1 + d tan θ1( )θ2 = θ1

⎧⎨⎪

⎩⎪

θ=xtanθ1!θ1

⇒x2 = x1 + d !x1

!x2 = !x1

⎧⎨⎩

⇒x2

!x2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟= 1 d

0 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

matrice dipropagazione

" #$$$$$

x1

!x1

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

M =1 0

−1 f 1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

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Esempio 3: PROBLEMA COMPOSTOConsideriamo una sorgente S puntiforme (posta nell’origine del sistema di riferimento) che irradia in un sistema come in figura:

� La matrice di propagazione del sistema complesso è pari al prodotto delle matrici dei singoli sotto sistemi presi in verso opposto a quello con cui il raggio attraversa il sistema ottico. Segue:

�

In tal caso il raggio di uscita all’ascissa (x+d) è rappresentato dal vettore

�

dove per xi=0 (la sorgente è posta sull’asse z) si ha:

�

Per trovare la relazione che sussiste tra x, d ed f affinché i raggi convergano in un punto (fuoco) dobbiamo imporre la condizione xu=0 (indipendente da θ ); in tal caso si ha:

�

Otteniamo l’equazione per le lenti sottili

�

Si osserva che se:• x>0 (f<d): tutto è coerente;• x→∞ (f=d): all’uscita della lente tutti i raggi sono paralleli;• x<0 (f>d): la sorgente si trova tra il fuoco e la lente e quindi si presenta la condizione di “fuoco

virtuale” (è come se i raggi provenissero da un punto che però non esiste).

M = 1 x0 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 0−1 f 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 d0 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

1− xf

d 1− xf

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ x

−1 f 1− df

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

xuθu

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

xu!xu

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟= M ⋅

xi!xi

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟= M ⋅

xiθi

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

xu = x + d 1− xf

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥θi

θu = 1− df

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥θi

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

x + d 1− xf

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 0 ⇒ x + d − xd

f= 0

1x+ 1d= 1f

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Infine ricordiamo una proprietà della matrice �

�

Tale proprietà può essere dimostrata mediante il seguente esempio:

� Le equazioni che descrivono la propagazione del raggio all’interfaccia sono

�

Nota: La diottria, in ottica, è l'unità di misura (in m-1) del potere di rifrazione di un sistema ottico o di una semplice lente. Esprime la sua capacità di modificare le direzioni dei raggi di luce entranti per focalizzarli e formarne un'immagine, reale o virtuale, ad una certa distanza dal centro del sistema ottico stesso (distanza focale). Il numero di diottrie di una lente o di un sistema ottico è pari all'inverso della distanza focale espressa in metri:

�

M

det M⎡⎣ ⎤⎦ =ninu

= indice di rifrazione del mezzo al ′l ingressoindice di rifrazione del mezzo al ′l uscita

x2 = x1n2 sinθ2 = n1 sinθ1

⎧⎨⎩

⇒sinθ!θ

x2 = x1

θ2 =n1n2θ1

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ M =

1 0

0 n1n2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⇒ det M⎡⎣ ⎤⎦ =n1n2

D = 1f (m)

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Cenni sui fenomeni di aberrazione Qualsiasi comportamento che si discosta dalle aspettative dell’ottica parassiale prende il nome di aberrazione. Per introdurre i vari tipi di aberrazione consideriamo un assurdo ficus conseguenza dell’ipotesi di ottica parassiale.Quando una confluenza di raggi paralleli incide su di una lente, nei limiti dell’ottica parassiale sappiamo che tutti i raggi convergono in un punto detto “fuoco”, siamo nel caso del terzo esempio con x=f; questa approssimazione è un assurdo fisico, perché quando una confluenza di raggi con potenza finita viene fuocheggiata in un punto, in questo punto (insieme di misura nulla) ho una densità di potenza infinita, ovvero un assurdo fisico. Questa soluzione impossibile è dovuta al fatto che le dimensioni del punto sono confrontabili con la lunghezza d’onda e quindi non ha più senso la teoria dell’ottica geometrica. Negli specchi sferici in realtà la convergenza di raggi non porta alla formazione del punto detto fuoco ma di un’area focale, a meno che i raggi come osservato prima siano parassiali.In tal caso parleremo di:• Aberrazione longitudinale quando il fuocheggiamento avviene su di un segmento anziché su di un

punto;• Aberrazione trasversale legata al fatto che ad una determinata ascissa del segmento di

fuocheggiamento non tutti i raggi hanno raggiunto l’asse ottico;• Aberrazione cromatica i raggino diverse lunghezze d’onda vengono focheggiare in punti diversi.

Stati di polarizzazione Una generica radiazione è caratterizzata da campi E ed H.

L’evoluzione nel tempo dell’estremo libero del vettore rappresentativo del campo E definisce lo stato di polarizzazione di una radiazione elettromagnetica

In particolare se l’estremo libero di E si muove sempre lungo la stessa retta (oscillando tra un valore min e max) parleremo di polarizzazione lineare; mentre se l’estremo libero di E descrive una circonferenza (ellisse) parleremo di polarizzazione circolare (ellittica).Caratterizziamo analiticamente tali polarizzazioni: consideriamo un campo E (associato ad un ‘onda piana) avente direzione di propagazione lungo z ( ) e le componenti Ex e Ey che evolvono

nel tempo secondo la seguente legge

�

Allora se

• � e � sono variabili aleatorie correlate l’onda non è polarizzata;

• � l’onda è polarizzata linearmente;

• � e � l’onda è polarizzata circolarmente;

• � l’onda è polarizzata ellitticamente.

k / /z⇒ Ez = 0

Ex = Ex0e j (ωt+ϕx )

Ey = Ey0e j (ωt+ϕy )

⎧⎨⎪

⎩⎪

ϕx ϕy

ϕx =ϕy

ϕx −ϕy = π 2 Ex0= Ey0

ϕx −ϕy = const

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