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Fisica generale Modulo 2: Elettromagnetismo

Registrazioni trascritte del corso di fisica 2 di un’ingegneria di “bestie” [cit.]

Autore: A.P. Anno 2011/2012

Questa è un’opera di fantascienza, ogni riferimento a nomi, cose e città è puramente casuale. Non sono responsabile di eventuali errori di battitura e/o argomento, gli appunti sono completi e utilizzabili per sostenere l’esame. Ricordate di spremere il tubetto di dentrificio dal basso e che la forza non è con voi, ma muore come 1 su r.Autore: A.P.

(Fisica 2)

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elettrostatica e legge di coulomb(28/02/2012) Nei prossimi capitoli verranno studiati campi costanti nel tempo generati da una certa distribuzione di

cariche. Prima caratteristica di quest’ultime è che possono respingersi o attrarsi al contrario delle forze

gravitazionali, mentre per quantizzare il tutto è possibile sfruttare uno strumento ideato nel 1780 da

Alessandro Volta: l’elettroscopio a foglie.

La carica indotta dall’asticella, permette alle due foglie di caricarsi e respingersi; il sistema prima o poi trova

un nuovo equilibrio dettato dall’annullamento del momento della forza elettrostatica con quello della forza

peso. Questo strumento permise di calcolare l’effettiva forza agente tra le due lamine, misurata in

Coulomb; quest’ultima si origina grazie alla presenza di particelle elementari quali gli elettroni ed i protoni

(anche se si è dimostrato che quest’ultimo è scomponibile in particelle ancora più semplici). La carica

dell’elettrone è pari a:

In precedenza si è parlato di carica indotta, in particolare l’ induzione elettrostatica, o fenomeno

dell'influenza, è un metodo che consente di utilizzare un oggetto caricato elettricamente per caricare

elettricamente un secondo oggetto, senza contatto tra i due. Quindi l’oggetto caricato ha la capacità di

influenzare la disposizione delle cariche sul secondo corpo:

(Fisica 2)

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variando il baricentro delle cariche negative che tende ad allontanarsi dal corpo dall’oggetto caricato.

Sfruttando il pendolo a torsione, Coulomb fu capace di studiare le caratteristiche fondamentali

dell’elettrostatica, così, conoscendo la costante elastica del classico filo di quarzo e lo spostamento delle

sfere collegate al pendolo, formulò l’omonima legge di Coulomb:

Alcune osservazioni :

1. E’ impressionante come le due leggi di forza muoiono entrambe con il quadrato delle distanze

2. Per la legge di Coulomb il segno è dipendente dalle cariche, e può essere quindi attrattiva o

repulsiva

3. L’intensità è di ordine diversa per le due leggi, infatti la forza di Coulomb è nettamente maggiore

ciò è garantito anche dalla presenza di K che nel CGS varrebbe uno ed è possibile

considerarla come una quantità adimensionale, al contrario nel MKSA si ha:

con definita come costante dielettrica nel vuoto che non è adimensionale.

Misura dell'angolo solido

La misura in steradianti dell'angolo solido Ω è definita come A / R2, dove A è l'area della porzione di superficie

sferica di raggio R vista sotto l'angolo Ω. Tale definizione è indipendente dal particolare valore del raggio scelto, ed è

un'estensione allo spazio tridimensionale della definizione della misura di un angolopiano θ in radianti come s / r,

dove s è la lunghezza dell'arco di cerchio di raggio r sotteso da θ. L'angolo solido sotteso da una superficie generica

rispetto ad un punto P è dunque equivalente a quello sotteso dalla proiezione della stessa superficie su una sfera di

raggio qualsiasi centrata in P. L'angolo solido sotteso dall'intera superficie sferica misura evidentemente 4π. Per avere la

misura in gradi quadrati si moltiplica il valore in steradianti per (180/π)2, ovvero per 3282.8 (circa). Quindi tutta la sfera

corrisponde a circa 41253 gradi quadrati.

(Fisica 2)

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Campo Elettrico(28/02/2012-06/03/2012)

Si prenda in considerazione una carica fissa in un punto, quest’ultima è l’origine della perturbazione

elettromagnetica che induce intorno a se stessa, quindi come una massa disturba lo spazio che ha intorno

così una carica crea un campo di forze. Così, prendendo in considerazione una carica di prova e

collegandola ad un dinamometro , è possibile ottenere informazione sul campo elettrico generato

dividendo la misurazione del dinamometro per il valore della carica di prova stessa (Il campo elettrico è una

grandezza vettoriale):

Più rigorosamente, definito un sistema di riferimento con carica Q nell’origine:

Si definisce campo di una singola carica puntiforme la grandezza:

Le sue caratteristiche principali sono la radialità e la dipendenza dal quadrato delle distanze, inoltre sono

note le direzioni del sue linee di forza definite come curva ideale che ha come tangente in ogni punto la

direzione del vettore del campo stesso inoltre per ogni punto passa una sola linea di campo:

E il valore del campo in componenti è:

z

y

x

q

Q

(Fisica 2)

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Nel caso ci fossero due cariche, si effettuerebbe una somma vettoriale, per più cariche, una sommatoria e

per una distribuzione continua, un integrale. Si analizzi l’ultimo caso:

Si introduce il concetto di densità di carica (simile al concetto di densità di massa) che indica il rapporto tra

la quantità di carica presente in una porzione dello spazio e la regione stessa. È uno strumento che idealizza

una distribuzione continua di cariche, approssimazione utile per gestire le somme di cariche come

semplici integrali, si ha:

Dove è un volumetto approssimabile ad una carica puntiforme, definito anche come , e valore di

una qualsiasi tipo si superficie, che sia lineare, superficiale o volumetrica, (non si usa poiché già usata per

un’altra grandezza).

Considerando la distanza utile come , il campo vale:

Per la considerazione , ogni volumetto apporta un suo contributo specifico quindi:

O meglio:

il ^3 si ha per due motivi:

1)Non tornano le unità di

misura

2)Coseno direttori

z

y

x

P

(Fisica 2)

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Si supponga che la sorgente elettrica è distribuita sulla superficie di un oggetto metallico, volendo calcolare

il campo tramite il dinamometro e utilizzando un secondo corpo di prova, può capitare che la troppa

vicinanza alla superficie della carica sorgente, può variarne la distribuzione delle cariche . Ciò avviene in

seguito all’utilizzo di cariche di prova non sufficientemente piccole. Per ovviare a questo problema di

induzione, si riduce il valore della stessa ( ) fino ad ottenere il valore operativo del campo generato

con definita come “buona carica di prova”.

Si prenda in considerazione un filo infinito carico, situazione ideale ma più vicina alla realtà di quanto possa sembrare,

infatti il fenomeno molto simile ad un filo metallico conduttore. Questo modello ci permette anche di apprezzare il

vantaggio della simmetria assiale:

Si definisce la distribuzione di cariche infinitesime come:

Vista la presenza di simmetria assiale, ci si aspetta che le linee di forza rispettino questa caratteristica. E’

possibile trovare la distanza di un corpo di prova P dalla retta, e utilizzando il principio di sovrapposizione è

possibile calcolarne il campo:

Si definisce il vettore campo per una generica carica appartenente al filo:

E per simmetria si ottiene:

Al posto del precedente è stato

inserito x, conseguentemente si

è cambiato il simbolo con .

(Fisica 2)

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Le componenti non ortogonali al filo si annullano, ed è possibile calcolare il modulo del campo

moltiplicando il tutto per il versore , quindi:

Poiché si ha una distribuzione di cariche continua, si effettua un integrale; analizzando la precedente

espressione si può notare subito che la variazione dell’angolo è possibile tra – e , mentre r è una

grandezza variabile di per se. Per ovviare ciò si può esprimere r e dx in funzione dell’angolo tramite

considerazione trigonometriche. Le espressioni precedenti diventa:

Risolvendo l’integrale definito e applicando la simbologia vettoriale si ottiene:

Osservazioni:

1. La simmetria rende calcolabile il campo con maggiore semplicità

2. Come sottolineato dalla simmetria, le linee di forza sono aperte

3. Il campo muore con l’inverso della distanza, (muore meno brutalmente [cit.]) poiché si ha la somma

di contributi di infinite cariche.

Altro caso interessante è una distribuzione di cariche ad anello, con carica di prova su asse, in questo modo

è possibile sfruttare ancora una volta la simmetria e considerando un anello e considerando un anello di

raggio da 0 a sarà possibile studiare il caso del campo di un piano infinito. Quindi si prenda in

considerazione una carica infinitesima di un archetto di circonferenza:

e sempre con il principio di sovrapposizione, l percorre tutti gli archetti:

C

h

e

(Fisica 2)

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E per simmetria si ha:

Integrando:

Ancora una volta è possibile sfruttare la trigonometria e il teorema di Pitagora per semplificare

l’espressione sovrastante:

Osservazioni:

1. Supponendo di spostarsi molto lontano, il raggio al quadrato si semplificherebbe poiché ,

ottenendo:

O

h

e

O

h

e

(Fisica 2)

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2. Se si avesse la carica al centro dell’anello e se il segno fosse concorde si avrebbe una posizione

instabile, mentre con cariche opposte si avrebbe una posizione di equilibrio. Inoltre per piccoli

spostamenti la carica sarebbe vittima di un moto oscillante intorno al punto di equilibrio:

E tornando alla situazione di equilibrio, per si ha:

Per quanto riguarda un piano infinito, si avrebbe una distribuzione di carica superficiale del tipo:

E poiché la superficie è di tipo rettangolare, la sua area, calcolabile come base per altezza, sarebbe:

Sostituendo il tutto nell’equazione vettoriale del campo elettrico, si ha:

Questo risultato ha una grande rilevanza per la futura trattazione dei condensatori che, dal punto di vista di

una carica infinitesima, possono essere visti come piani infiniti:

In virtù delle precedenti esperienza è possibile affermare che il campo elettrico può essere utilizzato per

esercitare forze sulle cariche. Una geometria tipica è quella longitudinale, il cui obbiettivo è accelerare le

cariche elettriche o meglio deviarle. Presi in considerazione due elettrodi, uno positivo e l’altro negativo,

per effetto fotoelettrico (un fotone con la giusta lunghezza d’onda, quindi con la giusta energia,

può essere allontanato dalla superficie di un metallo) o termoionico (aumento della temperatura di un

metallo, incentivando anche il moto delle particelle) si estrae un elettrone dall’elettrodo negativo, in modo

da sfruttare la forza repulsiva per cariche di segno concorde:

Al posto del precedente è stato

inserito S, conseguentemente si è

cambiato il simbolo con .

è l’altezza, mentre è la base.

(Fisica 2)

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L’elettrone è caratterizzato da un moto uniformemente accelerato, infatti:

Quindi partendo con una certa velocità iniziale pari a zero, la particella arriverà all’elettrodo positivo con

una certa velocità finale :

Chiaramente si definisce geometria longitudinale poiché geometria e campo elettrico accelerante sono

paralleli. Applicando un foro al secondo elettrodo, è possibile generare un fascio di elettroni collimato con

velocità parallele (nonostante bisogni tener conto di un certo angolo di dispersione) e tutte con la stessa

energia cinetica pari a

Ponendo tutte nel vuoto, per evitare collisioni con altri atomi dell’aria, è

possibile costruire un cannone elettronico, classico impianto applicato alle vecchie televisioni:

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