Trasmissione del Calore

Appunti del Corso 


Appunti del corso tenuto dalla professoressa Adriana Greco

Anno 2016/2017

Indice Concetti base 1

Equazioni di bilancio di una proprietà estensiva: bilancio di massa 4 ..............................

I Principio della Termodinamica 6 ..................................................................................

II Principio della Termodinamica 11 ................................................................................

Trasmissione del calore: meccanismi di scambio 15

Conduzione 15 ..............................................................................................................

Convezione 15 ..............................................................................................................

Irraggiamento 17 ...........................................................................................................

Conduzione 19

Conducibilità termica (k) 20 ...........................................................................................

Equazione differenziale della conduzione 20 ..................................................................

Regime stazionario monodimensionale: senza generazione. 28 ....................................

Lastra29

Lastra con K(T)31

Lastre in serie34

Lastre in parallelo36

Guscio cilindrico37

Guscio Sferico40

Raggio critico 42 ...........................................................................................................

Geometria Piana42

Geometria Cilindrica42

Regime stazionario monodimensionale: con generazione. 45 ........................................

Sistemi Alettati 52

Il rendimento delle alette 61 ...........................................................................................

Conduttanza globale per parete alettata 62 ...................................................................

Metodo numerico 65

Metodo alle differenze finite 66 ......................................................................................

Metodo dei volumi finiti 70 .............................................................................................

Regime non stazionario 75

Adimensionalizzazione 76 ..............................................................................................

Sistemi a parametri concentrati 77 ................................................................................

Sistemi a parametri distribuiti 81 ....................................................................................

Regime non stazionario: modello del corpo semi-infinito 85 ...........................................

Regime non stazionario: metodo numerico alle differenze finite 88 .................................

Sistema non stazionario bidimensionale 94 ...................................................................

Irraggiamento termico 96

Modello del corpo nero 102 ...........................................................................................

Caratteristiche radiative delle superfici. Fattore di configurazione geometrica 107 ..........

Scambio termico radiativo in cavità, in condizioni di regime stazionario 109 ...................

Covezione 120

Equazione di continuità della massa 120 .......................................................................

Equazione della quantità di moto 123 ...........................................................................

Equazione dell’energia 127 ............................................................................................

Convezione forzata 133 .................................................................................................

Convezione forzata in regime laminare e in regime turbolento 140 ................................

Convezione forzata: flusso all’esterno di superfici curvilinee 150 ....................................

Moto interno in convezione forzata (condotti) 152 ..........................................................

Convezione naturale 162 ...............................................................................................

Scambiatori di calore 169

Generalità. Tipologia dei più comuni scambiatori di calore 169 .....................................

La media logaritmica delle differenze di temperatura 174 ...............................................

Efficienza di uno scambiatore di calore 179 ...................................................................

Appendice

Soluzione problema non stazionario: Lastra 181 ............................................................

Soluzione problema non stazionario: Cilindro 193 ..........................................................

Soluzione problema non stazionario: Sfera 199 .............................................................

Error Function 205.........................................................................................................

Concetti base

In questo corso ci interesseremo di come l’energia può essere scambiata sotto forma di quello che si chiama calore, ci occuperemo dunque della trasmissione del calore che può avvenire essenzialmente in tre modalità diverse che sono la conduzione, la conversione e l’irraggiamento.

L’approccio che useremo sarà quello macroscopico, cioè considereremo la materia nel suo insieme attribuendole delle proprietà e disinteressandoci di ciò che avviene a livello atomico e molecolare, faremo inoltre l’ipotesi che la materia costituisce un continuo, ipotesi che fallisce per noi solo nel

caso in cui si considera un gas estremamente rarefatto.

Dobbiamo introdurre anche alcuni concetti preliminari che ci accompagneranno durante il corso:

Sistema porzione di materia oggetto del nostro studio;

Ambiente ci riferiamo invece a ciò che è esterno al sistema ma è in grado di interagire con esso;

Superficie di sistema (Sc) una superficie reale o immaginaria che determina il sistema.

Sottolineiamo che non è un terzo elemento, ma semplicemente la divisione tra sistema e ambiente. Inoltre può essere fissa o mobile;

Sistema isolato (SI) non può interagire con l’ambiente né in modalità calore né in modalità

lavoro, né tantomeno sono consentiti flussi di massa, ad esempio Sistema + Ambiente = Sistema Isolato;

Sistema Adiabatico, non è consentito scambio di calore con l’esterno

Un sistema è chiuso quando è in grado di interagire solo nella modalità calore e lavoro, e non

sono consentiti flussi di massa. Un sistema è aperto quando invece sono consentiti flussi di massa. Vediamo alcuni esempi:

# #

Nel nostro corso studieremo principalmente sistemi chiusi, e lo faremo con l’approccio della massa

di controllo MC, si fissa cioè una massa e si fanno i bilanci in base a questa, In alternativa, i sistemi aperti possono essere studiati con l’approccio del volume di controllo VC, si fissa cioè il volume per

fare i bilanci.

Un sistema può avere sia proprietà intensive, che non dipendono dalla quantità di materia o dalle dimensioni del campione considerato ma soltanto dalla sua natura e dalle condizioni nelle quali si

trova, sia proprietà estensive che dipendono dalle dimensioni del corpo a cui ci si riferisce.

Interessante è anche il concetto di equilibrio, un sistema infatti può stare in vati tipi di equilibrio come l’equilibrio termico, quello meccanico, quello fisico… a seconda di che tipo di equilibrio

abbiamo questa parola assume un significato specifico. Per avere comunque un concetto generale possiamo riferirci alla definizione matematica rigorosa secondo la quale per un sistema il punto di equilibrio è tale per cui lo stato del sistema non varia nel tempo.

Un sistema chiuso è caratterizzato dall’avere un’unica temperatura (T), pressione (P), massa (m), energia (U o E), entropia (S) e volume (V): approfondiremo in seguito cosa sono queste grandezze

dove sarà necessario.

#1

Possiamo anche dire che temperatura e pressione sono proprietà intensive perché non dipendono dall’estensione del sistema considerato, al contrario sono proprietà estensive la massa, l’energia,

l’entropia e ovviamente il volume: alla luce di questa considerazione, se prendiamo un sistema chiuso caratterizzato da queste 6 proprietà e lo dividiamo in due metà uguali, vediamo che mentre e T e P sono le

stesse in entrambe le metà si ha che massa, energia, entropia e volume dimezzano.

Riguardo alle proprietà estensive diciamo che si può normalizzare la proprietà estensiva alla massa e abbiamo così quella che si chiama proprietà specifica: la proprietà specifica viene indicata con la lettera

corrispondente alla proprietà estensiva, ad esempio se abbiamo l’energia, che sappiamo che si misura in Joule

#

possiamo indicare l’energia per unità di massa come

#

o anche possiamo indicare ad esempio il volume specifico come

#

Cogliamo l’occasione pure per dire che un’altra grandezza che ci interessa è la densità specifica che

non è altro se non l’inverso del volume specifico

#

È importante anche ricordare che i tre stati classici della materia sono solido, liquido e aeriformee e

in particolare un aeriforme può essere considerato un gas ideale se siamo a bassa pressione: in quel caso l’equazione di stato che lo caratterizza è

#

con n numero di moli del gas pari a

# con MM massa molare

L’equazione di stato per il gas ideale lo possiamo scrivere anche introducendo la quantità

#

e questa dunque diventa

#

e ancora, se dividiamo primo e secondo membro per la massa possiamo scrivere

#

E [J ]

e =E

m

J

kg

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

v =V

m

m3

kg

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

ρ =1

v=m

V

kg

m3

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

PV = nRT

n =m

MM

R =R

MM

PV = mRT

Pv = RT

#2

Diciamo che per un gas ideale l’energia interna è funzione soltanto della temperatura

#

Concludiamo chiarendo un aspetto che riguarda l’energia: con riferimento alle energie specifiche possiamo scrivere

#

e cioè l’energia è la somma dell’energia interna U, dell’energia cinetica Ec e dell’energia potenziale Ep:

l’energia interna è un’aliquota di potenza microscopica, nel senso che è energia accumulata a livello atomico all’interno del sistema e per misurarla serve un sistema di riferimento interno al corpo

considerato, al contrario energia cinetica e potenziale costituiscono un’aliquota macroscopica di energia che viene misurata con un sistema di riferimento esterno al corpo che si sta analizzando.

U =U(T )

e = u + ec+ e

p

#3

Equazioni di bilancio di una proprietà estensiva: bilancio di massa

Nell’analisi che faremo assumono un ruolo importante le equazioni di bilancio, cioè equazioni che mettono in relazione ingressi, uscite e variazioni di una grandezza dentro un sistema e da un sistema: l’equazione di bilancio è sempre del tipo

ingresso + generazione = uscita + distribuzione + variazione

Per scrivere più formalmente l’equazione di bilancio diciamo G la grandezza estensiva sulla quale si va a fare il bilancio, con Δθ andremo ad indicare l’intervallo di tempo in cui

agiscono i singoli addendi e poi individuiamo il sistema attraverso una superficie di controllo (Sc), l’equazione sarà

#

In generale conviene operare con quantità istantanee, cioè dobbiamo

prendere in considerazione l’equazione del bilancio e fare

#

così. indicando con # la grandezza estensiva istantanea, abbiamo

#

Facciamo il caso particolare di un bilancio di massa, ricordando che la massa non si crea e non si distrugge iniziamo a considerare un sistema chiuso: siccome non sono permessi flussi di materia nel

bilancio di massa non ci saranno né ingressi né uscite e l’equazione del bilancio è allora

#

cioè abbiamo ottenuto l’equazione

#

che dice che la massa è costante e in particolare è possibile scrivere

#

per cui la massa non varia nel tempo.

Riferendoci invece a un sistema aperto possiamo avere una o più entrate e una o più uscite, perciò quello che scriviamo è

#

dove il pedice vc sta ad indicare che quella è la variazione di massa su un verso di controllo con il quale si studia il sistema

aperto; possiamo in particolare avere

#

Scriviamo l’ultima equazione di bilancio come equazione istantanea otteniamo facilmente che

#

Ge +Ggen = Gu +Gdis + ΔG

limΔθ→0

eq.bilancio

Δθ

!G

!Ge +!Ggen =

!Gu +!Gdis +

∂G

∂θ

0 + 0 = 0 + 0 + Δm

Δm = 0

∂m

∂θ= 0

me

e

∑ = muu

∑ + Δmvc

Δmvc> 0 oppure Δm

vc< 0

!me

e

∑ = !muu

∑ +∂m

vc

∂θ

#4

e si dice che la portata massica in ingresso è pari alla portata massica in uscita più la variazione di portata massica nel verso di controllo; la portata massica si misura in [kg m-1].

Si possono distinguere due casi in relazione alla variazione di portata massica: parleremo di regime

stazionario se

#

e al contrario parleremo di regime non stazionario se

#

Un caso di interesse può essere quello di regime stazionario con un solo ingresso e una sola uscita, in questo caso

#

Ora consideriamoci delle grandezze uniformi rispetto alla direzione ortogonale del moto in ogni sezione, cioè se scegliamo un punto x a quella sezione abbiamo un’unica T,

un’unica m… possiamo scrivere il volume occupato dalla massa in ingresso in un tempo finito Δθ come

#

e ricordandoci che

#

possiamo passare al limite per l’intervallo di tempo che tende ad annullarsi e otteniamo:

#

cioè siamo arrivati a scrivere la portata massica in ingresso in termini della portata volumetrica, riguardo la quale tra l’altro è facile capire che si misura in [m3 s-1]. Concludiamo su questo dicendo che i bilanci non si fanno in termini di portata volumetrica ma sempre in termini di portata massica

perché ad esempio se

#

possiamo dire che

#

ma questo non vuol dire che la portata volumetrica si conserva perché non sappiamo se # ,

potremmo dire una cosa del genere solo se siamo sicuri che questo accade e cioè se stiamo considerando il cadi di mezzo incomprimibile. 


∂mvc

∂θ= 0

∂mvc

∂θ≠ 0

!me= !m

u= !m

Ve= A

eω

eΔθ

me= ρ

eVe= (ρ

eAeω

e)Δθ = (ρAω )

eΔθ

limΔθ→∞

me

Δθ= !m

e= ρ

eAeω

e= ρ

e!Ve

!me= !m

u

ρe!Ve= ρ

u!Vu

ρe= ρ

u

#5

I Principio della Termodinamica

Passiamo invece a parlare di bilanci di energia e diamo preliminarmente dei postulati sull’energia interna che valgono sia per sistemi chiusi che aperti:

• Esiste l’energia di un sistema, grandezza estensiva propria di un sistema in equilibrio, ed è indicata da U;

• U è una grandezza conservativa, cioè non si genera e non si distrugge ma può trasformarsi (primo principio della termodinamica)

Questa energia interna può interagire con l’ambiente con due modalità: come calore (Q) o come

lavoro (L), in particolare se la forza spingente in una trasformazione è la variazione di temperatura, cioè se è un certo ΔT a spingere un qualsiasi processo in cui è coinvolta una trasformazione di

energia, allora siamo in modalità calore, al contrario saremmo in modalità lavoro.

Diciamo anche che, per convenzione, se il calore è entrante nel sistema parliamo di una Q+, cioè il calore è positivo, al contrario se il calore esce abbiamo una Q-; per il lavoro

accade la cosa opposta, il lavoro entrante L- sarà negativo e il lavoro

uscente dal sistema sarà L+ che è positivo. Calore e lavoro sono energie, ma non sono proprietà del sistema perché dipendono dalla trasformazione in atto, al contrario U, che è una proprietà del sistema, non dipende dalla

trasformazione e infatti, se consideriamo due stati del sistema e diverse trasformazioni, vediamo che in ogni caso la variazione di energia è costante

e pari a

#

perché l’energia interna è una funzione di stato del sistema e dipende dunque solo da stato finale ed iniziale, al contrario se andassimo a vedere la quantità di calore ci accorgeremmo che quando

facciamo

#

c’è una dipendenza dalla trasformazione e perciò per il calore usiamo il δ per indicare che non abbiamo un differenziale esatto, mentre per l’energia interna abbiamo usato il d che indica che

stiamo parlando di una differenziale esatto; lo stesso di può dire per il lavoro e quindi Q ed L non

sono funzioni di stato. Diciamo anche che non ha mai senso parlare del modulo di funzioni di stato, si parla invece sempre e solo di variazioni di essere.

Dobbiamo pure ricordare qualche unità di misura, in particolare riferiamoci al calore e ricordiamo che

si misura in Joule, poi si può definire da questo la potenza termica facendo la derivata temporale del calore

#

e particolare rilevanza ha anche la potenza termica per unità di area che va sotto il nome di flusso termico:

#

Laddove la notazione non è equivoca possiamo evitare di mettere il punto sopra il flusso termico e sopra la potenza termica, punto che sta ad indicare che interviene una derivata temporale, e questo

lo faremo nel seguito per semplicità di notazione quindi stiamo sempre attenti agli oggetti di cui

dU1

2

∫ =U2 −U1

δQ1

2

∫ =Q12

!Q [W ]

!q =!Q

A[Wm

−2]

#6

stiamo parlando altrimenti ci potremmo trovare a scrivere formule che sembrano sbagliate, almeno dimensionalmente.

Preso un sistema chiuso e un intervallo di tempo finito Δθ si può vedere che vale il primo principio

della termodinamica che, date le convenzioni fatte sui segni di calore e lavoro, si scrive come

#

Se il sistema è isolato questo non scambia né massa, né calore e né lavoro e dunque ΔU=0 in quel

caso particolare, per cui ci ritroveremo l’eguaglianza tra calore e lavoro.

Possiamo pure derivare temporalmente l’equazione ora scritta e otteniamo

#

dove la derivata dell’energia interna è totale perché in un sistema chiuso U dipende solo da θ.

Passiamo ad un sistema aperto, in questo caso nel sistema avremo uno o più varchi di ingresso e di uscita e si vede che l’energia interna dipende sì dal tempo ma anche dallo spazio; in questo caso dobbiamo considerare

anche un’energia convettiva, indicata con me, legata ai flussi di massa uscenti ed entranti e perciò abbiamo scritto una massa che moltiplica

un’energia per unità di massa (e). 
Iniziamo ad analizzare che succede in ingresso: possiamo vedere che c’è una pressione che si oppone all’ingresso della massa, d’altra parte però c’è

una forza di pressione che la vince, ed è una forza propria del sistema che agisce sull’ambiente; se invece andiamo a vedere che succede in uscita abbiamo la cosa opposta, l’ambiente esercita una forza di pressione sul

sistema e d’altra parte la massa spinge dall’interno del sistema per uscire. Scrivendo in formule quello che abbiamo detto, in ingresso si ha un certo

lavoro di pulsione alla sezione

#

Se in questa formula moltiplichiamo e dividiamo per la densità volumetrica otteniamo

#

Ora vogliamo scrivere il bilancio come abbiamo fatto per il sistema chiuso, in questo caso si parla di

calore netto Q, cioè il calore totale tra quello uscente e quello entrante nel sistema, e poi si parla di lavoro netto L: si scrive

#

Per unità di tempo questa equazione si scrive come

#

in particolare possiamo sviluppare l’energia per unità di massa come

Q − L = ΔU

!Q − !L =dU

dθ

P1A1forza di pressione

!⋅ ω1Δθ

spostamento

!= Lp1

Lp1

=P1A1ω1Δθ

ρ1

ρ1= ρ

1A1ω1( )P1

1

ρ1

Δθ = !m1P1ν1Δθ

Q − L + me( )e

e

∑

en. convettivaentrante

!"# $#

+ %mPv( )e

e

∑ Δθ

lavoro di pulsioneentrante

! "## $##

= me( )u

u

∑

en. convettivauscente

!"# $#

+ %mPv( )u

u

∑ Δθ

lavoro di pulsioneuscente

! "## $##

+ ΔEvc

!Q − !L + !me( )e

e

∑ + !mPv( )ee

∑ = !me( )uu

∑ + !mPv( )uu

∑ +∂E

vc

∂θ

#7