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Moto di un satellite intorno alla Terra nel caso Kepleriano

Meccanica orbitale e meccanica d’assetto In generale lo studio del moto di un satellite può essere diviso in due parti:

- la meccanica orbitale, che si occupa del moto centro di massa G del satellite (prima equazione cardinale) → schema del punto materiale

- la meccanica d’assetto, che prende in considerazione il moto attorno al centro di massa del satellite (seconda equazione cardinale → modello di corpo rigido.

Considerando il satellite come un sistema a massa m = costante (il propellente è consumato in tempi lunghi) si ha, in un riferimento inerziale:

(1) prima equazione cardinale: estG Frm

ɺɺ =

(2) seconda equazione cardinale: estGG MKɺ =

dove Gr

rappresenta il vettore posizione del centro di massa e GKɺ

il momento totale della quantità

di moto del satellite rispetto a G. Nell’ipotesi di corpo rigido (equazione (2)) il moto d’assetto risulta indipendente da quello orbitale mentre tale indipendenza cade se si devono prendere in considerazione elementi flessibili (antenne, pannelli solari,….). Si parla di indipendenza cinematica perché le forze esterne applicate sul satellite estF

sono le stesse che generano i momenti esterni

estGM

e quindi i secondi membri delle equazioni (1) e (2) sono, in questo senso, comunque legati.

Sistema di riferimento geocentrico-equatoriale

Nell’ambito della meccanica orbitale, il riferimento che comunemente si utilizza per descrivere il moto dei satelliti è il sistema geocentrico-equatoriale (figura 1), con origine nel centro della Terra. L’asse X (figura 2) è definito dall’intersezione del piano dell’orbita terrestre intorno al Sole (piano dell’eclittica) con il piano equatoriale terrestre; tale direzione è nota come primo Punto d’Ariete o Equinozio Vernale. L’asse Z è diretto verso il Nord terrestre (inclinato di circa 23° rispetto al piano dell’eclittica). L’asse Y è ortogonale a X e Z ed è tale da formare una terna (X,Y,Z) destrorsa. In realtà tale riferimento non è propriamente inerziale e viene infatti definito come pseudo-inerziale. Infatti:

- L’origine (centro della Terra) ruota intorno al Sole nel piano dell’eclittica - L’asse di rotazione terrestre effettua una precessione, con periodo di circa 26000 anni,

intorno al polo dell’eclittica. Tale precessione è dovuta alla forza gravitazionale del Sole che, agendo sul rigonfiamento equatoriale (la Terra non è sferica ma è uno sferoide oblato, sporgente all’equatore) “cerca di riportare” l’equatore terrestre sul piano dell’eclittica.

- L’asse di rotazione terrestre compie una nutazione, con periodo di 18.6 anni (pari al periodo dell’oscillazione, dovuta all’attrazione solare, del piano orbitale lunare), a causa all’attrazione esercitata dalla Luna (figura 3).

Tuttavia nella maggior parte delle applicazioni relative al moto di un satellite intorno alla Terra, tale riferimento può essere considerato come se fosse inerziale.

2

X ≡≡≡≡ γγγγ ≡ ≡ ≡ ≡ Equinozio Vernale

Y

Z ≡ ≡ ≡ ≡ Nord Terrestre

Piano Equatoriale Terrestre

Figura 1

Figura 2

3

Figura 3

Soluzione dell’equazione del moto Consideriamo il sistema isolato di due corpi Terra-satellite trascurando quindi ogni forza esterna agente sul sistema (attrazione della Luna, del Sole e degli altri pianeti, forza aerodinamica, pressione dovuta alla radiazione solare,…). Ipotizzando inoltre che la Terra sia sferica e caratterizzata da una distribuzione di massa a simmetria radiale (e trascurando quindi le forze associate a tale asimmetria) è possibile anche per la Terra adottare lo schema del punto materiale e assumere che tutta la massa M sia concentrata nel suo centro di massa. L’unica forza che agisce sul satellite è quindi la forza di attrazione Newtoniana dovuta alla Terra. Le forze che, nel caso reale, fanno deviare il satellite da quella che sarebbe la sua traiettoria se risentisse della sola attrazione gravitazionale di una Terra sferica e con distribuzione di massa a simmetria radiale (caso ideale Kepleriano) sono chiamate perturbazioni orbitali. Nel caso Kepleriano abbiamo quindi a che fare con un sistema isolato di 2 punti materiali m e M; inoltre, poiché m << M, è possibile trascurare gli effetti che il satellite esercita sulla Terra e considerare il solo moto del satellite rispetto alla Terra (il centro di massa del sistema coincide con il centro di massa della Terra). Dall’equazione (1), assumendo per semplicità Grr

= , si ha per il moto del satellite nel sistema geocentrico-

equatoriale:

(3) rr

MmGrm

ɺɺ

2

⋅⋅= rr

rɺɺ

2

µ−=⇒

con µ = GM = costante gravitazionale della Terra = 398600.44 km3/s2 e )(ˆ rversr

= . Come si può notare, il satellite è soggetto a una forza posizionale (dipendente solo dalla sua posizione), quindi conservativa, e centrale (posizione r

e accelerazione rɺɺ

sono paralleli istante per istante). Poiché un

moto centrale è sempre piano (e viene descritto con velocità aerolare costante) possiamo già concludere che il moto di un satellite terrestre, nel caso Kepleriano, è un moto piano lungo il quale l’energia meccanica totale (energia cinetica T – energia potenziale V) si conserva (v = velocità del satellite):

(4) ter

vVT tancos

2

2

=−=−= µξ (per unità di massa):

La (4) può essere ottenuta premoltiplicando la (3) vettorialmente (x) per v

e svolgendo alcuni

passaggi matematici. La (3) è un’equazione vettoriale differenziale del 2° ordine, riconducibile a 3 equazioni scalari del 2° ordine (problema del 6° ordine), che necessita di 6 costanti scalari di integrazione per ottenere una particolare soluzione. Queste potrebbero essere, per esempio, le 3 componenti dei vettori posizione e velocità all’istante iniziale 000 , vvrrtt

==→= (condizioni iniziali). Una volta

assegnate le condizioni iniziali, è possibile integrarla numericamente e ottenere la soluzione, vale a

4

dire la ZtzYtyXtxtr ˆ)(ˆ)(ˆ)()( ++= e la ZtzYtyXtxtv ˆ)(ˆ)(ˆ)()( ɺɺɺ

++= nel sistema geocentrico-equatoriale. Tale soluzione non offre però la possibilità di vedere in modo diretto il moto del satellite. Per ovviare a tale inconveniente si possono utilizzare gli integrali primi del moto del satellite e introdurre i parametri orbitali.

Integrali primi del moto Premoltiplicando l’equazione (3) vettorialmente per r

e

svolgendo alcuni passaggi matematici si ottiene la conservazione del momento della quantità di moto del satellite

(per unità di massa) h

:

(5) 00tancos vxrtevxrh

===

Premoltiplicando l’equazione (3) vettorialmente per h

e svolgendo alcuni passaggi si ottiene invece la conservazione del vettore eccentricità e

:

(6) 00

0tancosˆ vxh

rtevxh

re

µµ−−==−−=

Si noti come la conoscenza di 00 ,vr

equivalga alla conoscenza delle (5), (6).

Dalla (5) si ha che terv tancoscos =β durante il moto, dove β = angolo di volo = angolo tra il vettore velocità e la direzione dell’orizzontale locale (figura 4).

Si può inoltre dimostrare che il vettore h

è legato alla velocità angolare ω del satellite dalla relazione:

(7) ω

2rh = Si noti che mentre il versore tetancosˆ =ω , il modulo della velocità angolare è inversamente proporzionale a r2.

Le (5) e (6) rappresentano 2 integrali primi vettoriali ma poiché sono paralleli ( 0=⋅ eh

) forniscono 5 condizioni scalari indipendenti che possono essere utilizzate per determinare “una parte” della soluzione dell’equazione (3). La (3), come detto, rappresenta un problema di ordine 6:

6-5 (integrali primi scalari) = 1 → ci sarà bisogno di un’altra equazione differenziale scalare del primo ordine per risolvere il problema.

Le condizioni (5), (6) sono infatti sufficienti per determinare la traiettoria del satellite ma non la dipendenza dal tempo del moto del satellite )(ˆ tr , per la quale sarà appunto necessario considerare un’opportuna equazione differenziale. Si noti che la conservazione dell’energia (4) non offre una condizione scalare aggiuntiva alle 5 determinate perché è legata alle (5), (6) dalla relazione:

(8) 2

221

µξ h

e⋅+=

r

ββββ

v m

M

Figura 4

5

Terna inerziale solidale all’orbita e terna intrinseca

Se si considera un versore p perpendicolare sia a e che ad h si

può ottenere una terna destrorsa ( hpe ˆ,ˆ,ˆ ), con origine nel centro di massa della Terra, solidale all’orbita e quindi inerziale (figura 5).

La terna destrorsa non inerziale ( hr ˆ,ˆ,ˆ θ ), sempre con origine nel centro di massa della Terra, definita rispetto alla posizione istantanea del satellite sull’orbita, e quindi in moto con velocità angolare ω (come detto variabile in modulo ma non in

direzione) rispetto alla terna ( hpe ˆ,ˆ,ˆ ), prende il nome di terna intrinseca.

Determinazione della traiettoria dagli integrali primi Come detto, le condizioni (5), (6) sono sufficienti alla determinazione della traiettoria del satellite. Infatti, moltiplicando la (6) scalarmente per r

, dopo alcuni passaggi matematici che coinvolgono

l’equazione (5) si può ottenere l’equazione della traiettoria del satellite (figura 5):

(9) φ

φcos1

)(e

pr

+=

La (9) rappresenta l’equazione di una conica in coordinate polari (r, φ). Questo vuol dire il moto Kepleriano ha come traiettoria una conica. Le coniche sono, per definizione, i luoghi dei punti per i quali è costante il rapporto tra le distanze da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice; tale rapporto è pari all’eccentricità. In particolare:

- e = 0: circonferenza - 0 < e < 1: ellisse - e = 1: parabola - e > 1: iperbole.

Dalla (8) risulta evidente che l’orbita è chiusa quando l’energia ξ < 0 (dovendo risultare e < 1). Ne consegue che la traiettoria è ellittica (o circolare) quando l’energia cinetica è sempre minore dell’energia potenziale gravitazionale, è parabolica quando energia cinetica e quella potenziale si eguagliano in ogni istante (ξ = 0) ed è iperbolica quando l’energia cinetica è sempre maggiore di

quella potenziale (ξ > 0, il satellite può indefinitamente allontanarsi dalla Terra). Il nostro studio sarà limitato alle orbite chiuse mentre il caso di orbite aperte è oggetto di interesse delle missioni interplanetarie. Il vettore eccentricità e

ha la direzione della congiungente il centro della Terra con il punto più

vicino all’orbita, chiamato perigeo. Il punto dell’orbita in cui il satellite si trova più lontano dalla Terra è detto invece detto apogeo. Si ha: φ = ω t = anomalia vera del satellite = angolo tra la posizione istantanea del satellite e la direzione di e

, p = semilato retto = raggio vettore del satellite quando φ = π/2:

e

r

Figura 5

p

ωωωωt

θθθθ

M

m

6

(10) )1( 22

eah

p −⋅==µ

Le leggi di Keplero

Newton ha tradotto in termini matematici le tre leggi di Keplero, che quest’ultimo dedusse dall’osservazione del moto dei pianeti (caso Kepleriano Sole-pianeta) fatte dal suo maestro Tycho Brahe:

- L’orbita di un pianeta intorno al Sole è un’ellisse, con il Sole che occupa uno dei fuochi - Il raggio vettore che va dal Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali (la velocità

aerolare Sɺ è costante: teh

rS tancos22

1 2 === φɺɺ )

- Il quadrato del periodo orbitale del pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’ellisse.

I parametri orbitali

Mediante 3 rotazioni è possibile determinare la posizione della terna orbitale ( hpe ˆ,ˆ,ˆ ) rispetto al sistema geocentrico equatoriale:

Figura 6

Piano equatoriale terrestre i

Linea dei Nodi N

ωωωω

φφφφ

X=Equinozio Vernale

Y

Z=Nord

Linea degli absidi

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- prima rotazione, intorno a Z (nel piano equatoriale), di un angolo Ω (ascensione retta del

nodo ascendente) - seconda rotazione, intorno alla linea dei nodi N (è l’intersezione tra il piano orbitale e il

piano equatoriale), di un angolo i = inclinazione

- terza rotazione, intorno ad h (nel piano orbitale), di un angolo ω = argomento del perigeo I 5 elementi (costanti nell’ipotesi di moto Kepleriano) che si usano comunemente per definire l’orbita di un satellite, detti parametri orbitali, sono appunto i seguenti (figura 6): a = semiasse

maggiore dell’ellisse, e, i (0 < i < 180°, angolo tra h e Z o tra il piano orbitale e quello equatoriale), Ω (0< Ω <360°, angolo, misurato nel piano equatoriale, tra X e N, al nodo ascendente) e ω (0 <ω <360°, angolo, misurato nel piano orbitale, tra la direzione del nodo ascendente ed e). Il nodo ascendente è il punto in cui il satellite attraversa il piano equatoriale, andando da Sud a Nord. I parametri a ed e definiscono la forma dell’orbita, l’inclinazione e l’ascensione retta forniscono l’orientamento del piano orbitale nel sistema geocentrico equatoriale, l‘argomento del perigeo dà l’orientamento dell’orbita nel piano orbitale. L’anomalia vera, che definisce invece la posizione del satellite sull’orbita, dipende dal tempo: φ = φ(t). Per determinare la φ(t) sarà necessario, come detto, ricorrere alla soluzione di un’equazione differenziale scalare del primo ordine. L’energia e il periodo orbitale T sono legati al semiasse dalle relazioni:

(11) a2

µξ −= µ

π3

2a

T =

In particolare, per un’orbita circolare di raggio R, dalla (4) e dalla prima delle (11), si ottiene per la velocità:

(12) R

vµ=

Indicando con rp = raggio al perigeo e ra = raggio all’apogeo le distanze tra il centro della Terra e, rispettivamente, il perigeo e l’apogeo, si ha:

(13) pa

pa

rr

rre

+−

= 2

pa rra

+= ( )earp −= 1 ( )eara += 1

Le velocità al perigeo e all’apogeo risultano rispettivamente, dalla (4), la prima delle (11) e le ultime 2 delle (13):

(14) ( )

−−

⋅=aea

vp 212

µµ ( )

−+

⋅=aea

va 212

µµ

Determinazione dei parametri orbitali dagli integrali primi

Per la determinazione dei parametri orbitali (equivale alla conoscenza della traiettoria), dalla

conoscenza di h

ed e

, si può procedere in questo modo:

8

- Dalla (10), noti h ed e, si ottiene )1( 2

2

e

ha

−⋅=

µ

- Dal prodotto scalare iZh cosˆˆ =⋅ si ottiene i

- Dal prodotto vettoriale NhxZ ˆˆˆ = si ottiene il versore della linea dei nodi N

- Dal prodotto scalare Ω=⋅ cosˆˆ XN si ottiene Ω

- Dal prodotto scalare ωcosˆˆ =⋅ eN si ottiene ω

Il problema temporale

Risolvere il problema temporale significa determinare la posizione del satellite in funzione del tempo r = r(t). Dalla (7), tenendo conto della (9), si ottiene l’equazione differenziale da risolvere ( φω ɺ= ):

(15) ( )2

2

cos1 φφ

eh

dpdt

+⋅= ( )∫ +

=−→φ

φφ

02

2

0cos1 e

d

h

ptt

dove t0 è l’istante in cui il satellite passa al perigeo. L’integrale a secondo membro della (15) può essere calcolato analiticamente in termini di funzioni elementari ottenendo una relazione del tipo t = t(φ). Tale relazione è però notevolmente complicata e non può essere esplicitata rispetto a φ. Pertanto, fissato t, dalla (15) non si può ottenere direttamente φ. Per superare questa difficoltà matematica è possibile effettuare un cambiamento di variabile nell’integrale e passare dall’utilizzazione dell’anomalia vera φ alla considerazione della cosiddetta anomalia eccentrica E, definita in figura 7 dall’angolo che il vettore OP forma con la linea degli absidi (F è il fuoco in cui si trova M). P è l’intersezione della normale alla linea degli absidi condotta dalla posizione istantanea del satellite, con la circonferenza con centro (O) nel centro dell’ellisse e raggio pari al semiasse maggiore dell’ellisse stessa. E e φ sono legate dalla relazione:

(16) 21

1

2

φtg

e

eEtg

+−=

L’equazione (9) diventa, in termini di E: (17) )cos1()( EeaEr −⋅=

Il risultato cui si giunge operando tale cambiamento di variabile e risolvendo l’equazione differenziale è il seguente:

(18) EeET

ttsin2 0 −=

−⋅π

E’ possibile, per semplificare l’espressione della (18), introdurre la cosiddetta anomalia media M del satellite. M è pari all’anomalia vera che il satellite avrebbe se descrivesse un’orbita circolare avente lo stesso periodo dell’orbita reale:

a

r

ae

Figura 7

9

(19) )( 00 ttnMM −⋅+=

La conoscenza di una qualsiasi delle anomalie (vera, eccentrica, media) permette il calcolo delle altre due. n è il moto medio del satellite e rappresenta la velocità angolare (costante) nell’orbita circolare appena definita:

(20) 3a

nµ=

M0 = M(t0); se si assume come istante iniziale quello in cui il satellite si trova al perigeo, si ha M0 = t0 = 0 e la (18) diventa: (21) EeEM sin−= che è detta equazione di Keplero. L’importanza della (21) sta nel fatto che, dato t, vale a dire M (essendo noto n), è possibile risalire alla conoscenza di E mediante una relazione semplice (la (21) è integrabile numericamente). Nota E, dalla (16) è possibile trovare la φ e, con la (17), il corrispondente valore di r. Si è quindi ottenuta la dipendenza dal tempo del moto del satellite r(t).