INTRODUZIONE TEORICA SUL MOTO OSCILLATORIO

Differenze tra il moto armonico semplice e quello smorzato.

Il moto armonico semplice è il moto di un oscillatore nel caso non sia né forzato né smorzato daforze esterne. Tale moto è periodico, in quanto si ripete ad intervalli regolari in maniera identica epuò essere descritto attraverso una funzione sinusoidale di ampiezza A costante nel tempo come adesempio x(t) = A cos(ω0 t + φ), dove x è la posizione in funzione del tempo. I parametri A e φ sono rispettivamente l'ampiezza dell'oscillazione (spostamento massimo rispettoalla posizione di equilibrio) e la fase, che dipendono entrambe dalla posizione e velocità iniziale delmoto, ovvero x(0) e v(0). Caratteristica del moto è il periodo dell'oscillazione (ovvero l'intervallo ditempo che il moto impiega per ripetersi) definito come T = 2π/ω0.In stretto rapporto con il periodo è la frequenza di oscillazione, definita come il numero di cicli dioscillazione nell'unità di tempo. La frequenza ed il periodo sono l'una l'inverso dell'altro: f = 1/T .Il moto armonico è strettamente legato al moto circolare uniforme, in quanto rappresenta laproiezione di tale moto su di un qualsiasi diametro della circonferenza. Alle diverse posizioni P1, P2,..., Pn del punto mobile sulla circonferenza in tempi differenti t1, t2, tn , corrisponderanno leproiezioni sul diametro AB rispettivamente P'1, P'2, ..., P'n la cui distanza dal centro indicheremo conx (vedi Figura 1).

Figura 1

1

Nel caso ideale un esempio di oscillatore armonico semplice può essere una massa m attaccata aduna molla di costante elastica k (vedi Figura 2).

Figura 2

L'equazione del moto è espressa dalla seconda legge della dinamica F = ma, dove la forza è la forzaelastica F = -kx, l'accelerazione è a = dv/dt con v = dx/dt, ovvero a = d2x/dt2.L'equazione del moto diventa quindi m d2x/dt2 + k x = 0 e ha come soluzione la legge oraria delmoto armonico semplice x(t) = A cos( ω0 t + φ ). La pulsazione propria dell'oscillazione è ω0 = (k/m)1/2 ed il periodo (ovvero l'inverso dellafrequenza) sarà T = 2π/ω0 = 2π (m/k)1/2

.

La forza di richiamo esercitata dalla molla, detta forza elastica perché è la forza che esercita unamolla elastica quando viene compressa o allungata rispetto alla sua lunghezza di riposo, sarà:F = m d2x/dt2 = m[ - k/m A cos((k/m)1/2 t + φ)] = - k A cos(ω0 t + φ) = - kx = - mω0

2 xdiretta, come dice il nome, nel verso opposto allo spostamento.Da questa si dimostra che l'accelerazione istantanea di un moto armonico è proporzionale alladistanza x, ovvero a = - ω0

2 x = - (2π/T)2 x .

La velocità e l'accelerazione della massa saranno rispettivamente derivata prima e seconda dellalegge oraria, ovvero:x(t) = A cos(ω0 t + φ) legge oraria lungo l'asse x v(t) = - ω0 A sin(ω0 t + φ) derivata prima della legge oraria (v = dx/dt)a(t) = - ω0

2 A cos(ω0 t + φ) derivata seconda della legge oraria (a = d2x/dt2)

Dall'analisi di questo tipo di moto risulta che la velocità ha intensità variabile nel tempo el'accelerazione è proporzionale allo spostamento x, in quanto a(t) = - ω0

2 x(t); le variazioni divelocità sono sempre di segno opposto allo spostamento. La massima accelerazione si ha nei puntiA e B dove, per un istante, il punto in movimento si arresta prima di invertire il senso del moto edove la velocità, che subito dopo cambia di segno, per quell'istante è nulla. In questo caso ideale sulla massa agisce esclusivamente la forza elastica che è una forzaconservativa è quindi giusto aspettarsi che l'energia meccanica rimanga costante; tuttavia è intuitivostudiare l'evoluzione nel tempo dell'energia meccanica E(t) = ½ m v2(t) + ½ k x2(t) = ½ m ω0

2A2sin2(ω0 t + φ) + ½ k A2cos2(ω0 t + φ) = COSTANTE .

La figura seguente ( Figura 3) mostra che l'energia meccanica dell'oscillatore armonico è la sommadi due termini oscillanti la cui somma è costante nel tempo; questi due termini oscillano inopposizione di fase (uno è massimo quando l'altro è minimo e viceversa). Ad esempio quando ω0 t+ φ = 0 il primo termine, l'energia cinetica, è minimo (il seno vale 0) mentre il secondo, l'energiapotenziale, è massimo ( il coseno vale 1); viceversa quando ω0 t + φ = π/2 il primo termine èmassimo (sin(π/2) = 1) mentre il secondo è minimo (cos(π/2) = 0).

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Figura 3

Considerando per semplicità φ = 0 e osservando che mω02 = k l'espressione dell'energia meccanica

diviene:E(t) = ½ k A2sin2(ω0 t) + ½ k A2cos2(ω0 t) = ½ k A2 [sin2(ω0 t) + cos2(ω0 t)] = ½ k A2 = COSTANTE;ovvero l'energia meccanica dell'oscillatore è uguale in ogni istante all'energia potenziale della mollaal massimo allungamento o alla massima compressione; posizioni in cui l'energia cinetica è nulla.Poiché k = mω0

2 e vmax = ω0 A è la velocità massima che l'oscillatore raggiunge alla posizione diriposo della molla:E(t) = ½ k A2 =½ m vmax

2 = COSTANTE ; ovvero l'energia meccanica dell'oscillatore è anche

uguale in ogni istante all'energia cinetica della molla nella sua posizione d'equilibrio; posizioni incui l'energia potenziale della molla stessa è nulla.

Figura 4

Se un oscillatore armonico è inizialmente a riposo la sua energia totale è nulla. Affinché esso oscillideve ricevere dell'energia dall'esterno, ovvero si deve compiere lavoro su di esso in modo cheaumenti la sua energia totale. Ad esempio se scostiamo la massa dalla posizione di riposoallungando la molla, compiamo un lavoro contro la forza elastica che aumenta l'energia potenziale

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del sistema stesso; quando lasciamo andare la massa questa energia rimane all'oscillatore armonico.Al contrario, se fermiamo la massa, o la freniamo, l'energia totale si annulla o diminuisce.Nell'oscillatore lasciato a se stesso, quando agisce solo la forza elastica della molla, l'energiameccanica si conserva ma questa stessa quantità può variare a causa dell'intervento di forze esterneall'oscillatore. E' necessario infatti osservare che nello studio di fenomeni fisici reali i corpi inmovimento sono in realtà soggetti a forze smorzanti il moto stesso, come ad esempio l' attrito.

Nell'oscillatore armonico semplice non sono considerate le forze d'attrito in quanto tale modello èuna semplificazione della realtà, una sua idealizzazione, che è valida se e solo se le forze d'attritosono trascurabili. Nel caso reale (vedi Figura 5) su di una massa attaccata ad una molla oltre alla forza elasticaagiscono delle forze d'attrito; tali forze vengono prese in esame nel modello dell'oscillatorearmonico smorzato. Solitamente in questo modello le forze d'attrito vengono considerate comeforze d'attrito viscoso direttamente proporzionali alla velocità e di verso ad essa opposto, ovveroFattrito = - βv (maggiore è β maggiore è l'attrito).

Figura 5

L'equazione del moto diviene quindi:md2x/dt2 + βdx/dt + kx = 0 , un'equazione differenziale di secondo grado omogenea la cuisoluzione è caratterizzata da tre diversi regimi dovuti al diverso valore che può assumere la forzad'attrito rispetto alla forza elastica.Sostituendo nell’equazione differenziale la soluzione di prova x(t) = A exp(λt) con le sue rispettivederivate si ottiene l'equazione caratteristica associata :

mλ2 + βλ + k = 0 che ha come soluzioniλ1,2=−β± β2

−4mk2m

.

Prima di dare la legge oraria corrispondente ad ogni regime, osserviamo che la forza d'attritocompie un lavoro strettamente negativo per cui l'energia totale dell'oscillatore diminuirà fino adannullarsi; quindi in un tempo più o meno lungo, a seconda dell'intensità della forza d'attrito,l'oscillatore, se viene perturbato, tornerà nella sua posizione di riposo a causa della dissipazioned'energia.

4

Sottosmorzamento Questo caso si verifica quando β < 2 (mk)1/2, caso in cui lo smorzamento non è particolarmenteintenso in quanto la forza di attrito è debole rispetto alla forza elastica; per questo motivo il sistemariesce a compiere qualche oscillazione attorno alla posizione d'equilibrio x = 0. In questo caso le radici dell'equazione caratteristica associata λ1,2 sono complesse (essendol'argomento della radice negativo); ciò comporta che la soluzione dell'equazione differenzialecontenga un termine con esponenziale complesso, il quale rappresenta per l'appunto un termine"oscillante". Si può dimostrare che ponendo ω = [k/m-(β/2m)2]1/2, l'equazione differenziale ha comesoluzione la seguente legge oraria: x(t) = A1 exp(- β/2m t) cos(ω t + φ ).Notiamo che questa legge oraria descrive delle oscillazioni di frequenza f = ω/2π la cui ampiezzadiminuisce esponenzialmente nel tempo (vedi figura seguente).L'argomento nell'esponenziale è proporzionale al coefficiente d'attrito β quindi maggiore è l'attritopiù velocemente decresce l'ampiezza delle oscillazioni.Notiamo anche che nel caso di piccolo smorzamento la pulsazione ω = [k/m-(β/2m)2]1/2 è inferiorealla pulsazione propria ω0 = (k/m)1/2 (la pulsazione alla quale oscillerebbe lo stesso sistema se nonfosse smorzato, ovvero se non fosse influenzato dall'attrito viscoso). Questo ha un chiaro significatofisico: la presenza di viscosità rallenta il movimento dell'oscillatore.Solo nel caso in cui β << 2 (mk)1/2 ovvero nel caso in cui si abbia un attrito trascurabile (oscillatorearmonico semplice) si ha ω ~ ω0 .

Figura 6

Per un oscillatore smorzato, a differenza dell'oscillatore armonico semplice, l'energia meccanicanon è più costante ma diminuisce nel tempo in modo esponenziale.

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Smorzamento critico

Quando β = 2 (mk)1/2 si dimostrare che la legge oraria è: x(t) = (A1 + A2 t ) exp(- β/2m t ).Le costanti A1 e A2 si determinano imponendo le condizioni iniziali x(0) = A e v(0) = 0 ovveroimponendo che nell'istante t = 0 il sistema si trova nella posizione di elongazione A con velocitànulla.

Figura 7

Il sistema, sebbene sia in grado di dare inizio ad un'oscillazione, la vede smorzarsi prima del suocompletamento (ovvero prima che il punto passi per la posizione di equilibrio). Inoltre la posizionedi riposo viene raggiunta nel minor tempo possibile.

Sovrasmorzamento

Consideriamo adesso il caso in cui la forza di attrito è forte rispetto alla forza elastica, ovveroquando β > 2 (mk)1/2.In tal caso si può dimostrare che la soluzione dell'equazione differenziale del moto coincide con laseguente legge oraria: x(t) = A1 exp(-|λ1|t ) + A2 exp(-|λ2|t ).Le costanti A1 e A2 si determinano imponendo che la soluzione soddisfi le condizioni inizialix(0) = A e v(0) = 0, ovvero che all'istante di tempo t = 0 il punto si trovi nella posizione dielongazione A con velocità nulla.

Figura 8

Dal punto di vista fisico questa soluzione indica che lo smorzamento viscoso è tanto alto daimpedire qualunque oscillazione del punto attorno alla posizione di equilibrio x = 0.

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Ricapitolando nel caso in cui si effettui un esperimento in cui l'attrito non rappresenti una forzatrascurabile il fenomeno fisico viene descritto attraverso il moto armonico smorzato.Lo smorzamento nel caso β = 2 (mk)1/2 viene detto smorzamento critico perché rappresenta unvalore di transizione tra smorzamento debole β < 2 (mk)1/2 e smorzamento forte β > 2 (mk)1/2.Lo smorzamento debole viene anche detto smorzamento sottocritico, e quello forte smorzamentosovracritico; oppure si può dire semplicemente che un oscillatore è sottosmorzato, critico oppuresovrasmorzato.Lo smorzamento critico (come mostrato nella figura seguente) è caratterizzato dalla proprietà chel'oscillatore raggiunge la posizione d'equilibrio nel tempo più breve rispetto a tutti gli altrismorzamenti, in quanto il coefficiente d'attrito ha proprio il valore minimo necessario per riportareil sistema all'equilibrio senza oscillare.

Figura 9

Un esperimento che ci permetterà di analizzare i diversi regimi di smorzamento sarà il circuitoelettrico RLC, formato da un resistore (R), da un induttore (L) e da un condensatore (C) collegati inserie.A differenza della massa legata ad una molla l'equazione differenziale non deriverà più dallaseconda legge di Newton ma dalla seconda legge di Kirchhoff riguardante le differenze dipotenziale elettrico:

∆VR + ∆VL + ∆VC = 0;

dove ∆VR= Ri è la differenza di potenziale ai capi della resistenza R,∆VL= L di/dt è la differenza di potenziale ai capi della induttanza L,∆VC= q/C è la differenza di potenziale ai capi del condensatore di capacità CDato che la corrente elettrica i(t) è la derivata prima rispetto al tempo della carica elettrica q(t),ovvero i = dq/dt, la seconda legge di Kirchhoff diventa:

L d2q/dt2 + R dq/dt + q/C = 0

anche essa un'equazione differenziale di secondo grado omogenea la cui soluzione ha tre diversiregimi a seconda del valore della resistenza elettrica R.

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Tra i due diversi oscillatori, quello meccanico e quello elettromagnetico, si possono evidenziare leseguenti analogie:

Oscillatore meccanico

equazione differenziale di secondo gradoomogenea derivante

dalla seconda legge di Newton

m d2x/dt2 + β dx/dt + kx = 0

Oscillatore elettromagnetico

equazione differenziale di secondo gradoomogenea derivante

dalla seconda legge di Kirchhoff

L d2q/dt2 + R dq/dt + q/C = 0

x(t) posizione q(t) carica

β coefficiente d'attrito R resistenza

m massa L induttanza

k costante elastica 1/C inverso della capacità

ω0 = k/m pulsazione propria ω0 = 1/LC pulsazione propria

ω = [k/m-(β/2m)2]1/2 pulsazione del moto sottosmorzato

ω = [1/LC-(R/2L)2]1/2 pulsazione del moto sottosmorzato

fattori di sovrasmorzamentoλ1,2 = -β/2m ± [(β/2m)2 – (k/m)2

]1/2 fattori di sovrasmorzamento

λ1,2 = -R/2L ± [(R/2L)2 – (1/LC)2 ]1/2

Ecco un riepilogo dei tre diversi regimi con i corrispondenti range d'applicazione e leggi orarie:

Oscillatore meccanico Oscillatore elettromagnetico

Sottosmorzamento

β < 2(mk)1/2

x(t) =A1 exp(- β/2m t) cos(ω t + φ )

R < 2(L/C)1/2

q(t) =A1 exp(- R/2L t) cos(ω t + φ )

SmorzamentoCritico

β = 2(mk)1/2

x(t) = (A1 + A2 t ) exp(- β/2m t )

R = 2(L/C)1/2

q(t) = (A1 + A2 t ) exp(- R/2L t )

Sovrasmorzamento

β > 2(mk)1/2

x(t) = A1 exp(-|λ1 |t ) + A2 exp(-|λ2|t )

R > 2(L/C)1/2

q(t) = A1 exp(-|λ1 |t ) + A2 exp(-|λ2|t )

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ESPERIMENTO SULLE OSCILLAZIONI MECCANICHE

Obiettivo : dato un carrello vincolato a muoversi mediante delle molle su di una superficie pianaverificare il diverso smorzamento che si ottiene senza e con un freno magnetico ad esso applicato adiverse distanze dalla rotaia.

Strumenti e materiali da utilizzare :

Rotaia graduata con carrello

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Freno magnetico (MAGNETIC DAMPING)

con calamite

Masse e molle

Figura 10

Bilancia con sensibilità 0,1g

Interfaccia Explorer GLX con sensore di posizione

Figura 11

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Software da utilizzare :

Data Studio per l’acquisizione dei datisperimentali dall’interfaccia

Wolfram Mathematica 7.0 per l’analisi dei datisperimentali

Figura 12

ESPERIMENTO

Descrizione dell'esperimento

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1. Posizionate sul banco da lavoro la rotaiagraduata, il carrello, il freno magnetico contre calamite (fate attenzione all'attrazioneche c'è tra le calamite!), le molle, le masse,la bilancia e l'interfaccia Explorer GLX.

2. Prima di procedere nell'attuazionedell'esperimento, misurate con la bilancia lamassa delle molle e quella del carrelloverificando che la massa delle molle puo'essere trascurata in quanto mmolla1 + mmolla2 << mcarrello .

3. Dopo aver posizionato il carrello sulla rotaia(garantitevi che non ci sia pendenza!)collegatelo agli estremi della rotaia con duemolle di costante elastica uguale.

4. Misurate la posizione del carrello A0.

5. Collegate Explorer GLX al PC posizionandoil sensore in modo che possa rilevare laposizione del carrello, ovvero posizionate ilsensore all’inizio della rotaia e fissate soprail carrello un oggetto rilevabile dal sensore(nella foto un bicchiere di plastica).

Figura 13

Acquisizione e salvataggio dei dati

1. Create sul Desktop una nuova cartella rinominandola col nome Rotaia seguito dalla vostraclasse (es. Rotaia 5C, oppure Rotaia 5L-1).

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2. Aprite il file Oscillazioni meccaniche presente sul Desktop e realizzato mediante ilprogramma Data Studio.

3. Controllate che la frequenza di campionamento con cui il sensore rileverà la posizione delcarrello sia 40 Hz cliccando su Imposta ==> omino che corre ==> Frequenza dicampionamento: 40 Hz.

Figura 14

4. Contemporaneamente all'azionamento manuale dell'esperimento, per il salvataggio dei dati,è necessario premere Avvio: in questo modo durante il moto del carrello sulla rotaia ilsensore rivelerà la sua posizione in funzione del tempo visualizzando tali dati in un grafico.

5. Prima di avviare l'esperimento misurate la distanza dalla posizione di riposo A1, distanza dacui lascerete andare il carrello sotto l'azione della forza elastica e della forza d'attrito.

6. Dopo aver avviato l'acquisizione dei dati aspettate che il carrello raggiunga la sua posizioned'equilibrio.

7. Per terminare l'acquisizione dei dati premete Arresta.

8. Adattate meglio gli assi ai dati cliccando sul grafico il tasto destro del mouse e selezionandoRidimensiona.

9. Salvate il grafico riguardante la posizione selezionando Visualizza ==> Esporta immagine==> Salva in: Desktop ==> Rotaia 5C ==> Nome file: posizione1 ==> Salva.

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Figura 15

10.Salvate nello stesso modo il grafico della velocità nominandolo velocità1.

11. Salvate i valori acquisiti dall'esperimento riguardanti la posizione, selezionando Visualizza==> Esporta dati ==> Cerca in: Desktop ==> Rotaia 5C ==> Nome file: posizione1.txt.

12. Utilizzando gli stessi comandi per i dati riguardanti la velocità realizzate il file velocità1.txt.

13. Dopo aver verificato di aver effettuato una corretta acquisizione del materiale chiudete ilprogramma.

A questo punto realizzate i files che utilizzerete per l'analisi dell'esperimento mediante WolframMathematica 7.0 facendo attenzione che tale programma richiede un testo contenenteesclusivamente numeri separati da punti senza alcuna intestazione.

1. Aprite il file appena creato posizione1.txt cancellate ogni intestazione facendo attenzione anon lasciar alcun spazio prima della colonna dati; selezionate Modifica ==> Sostituisci...==> Trova: ; ==>Sostituisci con: . ==> Sostituisci tutto.

2. Prima di chiudere il file così ottenuto salvatelo selezionando File ==> Salva con Nome...==> Nome file: posizione1MAT.txt.

3. Effettuate la stessa cosa con il file velocità1.txt realizzando il file velocità1MAT.txt .

Salvare il materiale all'interno della cartella Rotaia 5C in una sottocartella da nominareEsperimento1.

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A questo punto ripetere l'esperimento aggiungendo al carrello il freno magnetico (MAGNETICDAMPING) con tre calamite.Per prima cosa , dopo aver misurato il suo peso, ponetelo a una distanza dalla rotaia di circa 5mm eosservate cosa succede.

Figura 16

A questo punto disponete il freno a una distanza dalla rotaia di circa 1mm e realizzate all'internodella vostra cartella come avete fatto precedentemente i diversi files che racchiuderete tutti nellasottocartella che nominerete Esperimento2.

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Analisi dei dati Per analizzare i vostri dati sperimentali usate dei programmi realizzati con Wolfram Mathematica7.0 racchiusi all'interno della cartella Applet.La prima cosa da fare sarà specificare nel programma che utilizzerete il file dei dati che voleteanalizzare, file da voi precedentemente creato in formato .txt contenente esclusivamente numeriseparati da punti e senza alcuna intestazione. Aprite il programma MotoOscillatorio e cercate di sovrapporre il più possibile la curva rossateorica, che potete modificare cambiando i valori dei diversi parametri, con la curva blu dei vostridati sperimentali relativi alla posizione.

1. Aprite Wolfram Mathematica 7.0 e selezionate File ==> Open... ==> Desktop ==> Applet==> MotoOscillatorio ==> Apri ==> Enable Dynamic.

Figura 17

Vi comparirà la precedente scherma in cui a posto di (*PERCORSO* ) e (*NOME*) specificate leproprietà del vostro file dei dati.

1. Cliccate con il tasto destro del mouse sul file che volete analizzare e selezionate Proprietà,vi comparirà la seguente schermata:

Figura 18

copiate, come indicato, il testo contenuto in Percorso: ... e nascondete l'immagine.

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2. Nel programma a posto di (*PERCORSO* ) incollate il titolo precedentemente copiato eallo stesso modo fate per il nome del file.

Avviate il programma premendo sulla tastiera del vostro PC contemporaneamente Schift e Inviodopo aver posizionato il cursore alla fine del testo del programma.

Dopo aver ottenuto una buona sovrapposizione delle due curve annotate i valori dei diversiparametri.

Ora aprite come precedentemente nel punto 1 il programma Energy contenuto nella cartellaApplet, con il quale analizzerete contemporaneamente i dati della posizione e della velocità. Comeeffettuato nei punti 1,2 e 3 specificate il file dei dati della posizione e della velocità che dovràanalizzare e avviatelo.

1. Dopo aver specificato nel programma i files da analizzare (punti 1,2 e 3 precedenti)avviatelo.

2. Verificate osservando i grafici che x(t) e v(t) sono sfasati di 90° (quando la posizione èmassima la velocità è minima e viceversa).

3. Analizzate il grafico dell'energia meccanica: EM(t) = ½ m v2(t) + ½ k x2(t), verificando chediminuisce esponenzialmente nel tempo.

4. Salvate i valori ottenuti dal fit.5. Salvate il programma nominandolo Energia1.

Effettuate le stesse analisi con i dati sperimentali del secondo esperimento utilizzando i programmiMotoOscillatorio (le proprietà del file potete impostarle anche dopo aver avviato il programma!),Energy, salvando i valori dei parametri e il programma riguardante l'energia nominandoloEnergia2.

Approfondimento: come verifica scaricate un applet che simula il moto di una massa attaccata ad una molla dalseguente sito: http://www.ba.infn.it/~palano/chimica/book/it/Chap_2/sec_19/armonic.html.

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MODULO PER LA RACCOLTA DATI

Oscillatore meccanico

Figura 19 Carrello legato a due molle

Kmolla1 = Kmolla2 = 3,4 N/m costante elastica teorica di ogni singola molla

seconda legge di Newton

ma = - kmolla1 x - kmolla2x - βv = - kx – βv

k = kmolla1 + kmolla2

ma + βv + kx = 0

d2x/dt2 + β/m dx/dt + ω0 2 x = 0

equazione differenziale lineare del II ordine a coefficienti costanti con ω0 2 = K/m

Sostituendo la soluzione di prova x(t) = A exp(λt) con le sue rispettive derivatenell’equazione differenziale si ottiene l' equazione caratteristica associata:

λ2 + β/m λ + ω0 2 = 0

che ha come soluzione λ1,2= -β/2m ± [(β/2m)2 - ω0 2]1/2 .

Nel caso in cui si abbia una “piccola” forza di attrito: • β < 2(mk)1/2 → 2 soluzioni complesse → moto sottosmorzato

la legge oraria è x(t) =A0 + A1 exp(- β/2m t) cos(ω t + Ф )

dove ω = [ω0 2 - (β/2m)2 ]1/2 è la pulsazione del moto.

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ESPERIMENTO

La massa delle molle può essere trascurata in quanto

mcarrello = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) g

mmolla1 = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) g

mmolla2 = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) g

mmolla1 + mmolla2 = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) g

mmolla1 + mmolla2 << mcarrello

K= Kmolla1 + Kmolla2 ≈ . . . . . . . . N/m costante elastica del sistema

ω < ωo pulsazione propria

ωo = [(Kmolla1 + Kmolla2)/ mcarrello]1/2 ≈ . . . . . . . . rad/s

A0= ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) cm posizione d'equilibrio del carrello

A1= ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) cm ampiezza d'oscillazione iniziale

mfreno = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) g

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ANALISI dei DATI SPERIMENTALI

Valori dei diversi parametri ottenuti nell'analisi del PRIMO ESPERIMENTO mediantel'uso dei corrispondenti programmi. m = mcarrello ≈ . . . . . . . . gMotoOscillatorio :

0 < t < . . . . . . . . s scala temporale

A0 ≈ . . . . . . . . cm posizione d'equilibrio del carrello

A1 ≈ . . . . . . . . cm ampiezza d'oscillazione

f ≈ . . . . . . . . . Hz frequenza ==> ω = 2πf ≈ . . . . . . . . rad/s < ω0

Ф ≈ . . . . . . . . gradi sfasamento

C1= β /2m ≈ . . . . . . . . 1/s coefficiente di smorzamento

==> β ≈ . . . . . . . . kg/s < 2(mk)1/2 ≈ . . . . . . . . kg/s

Energy:

A0 ≈ . . . . . . . . cm posizione d'equilibrio del carrello

A1 ≈ . . . . . . . . cm ampiezza d'oscillazione

β/2m ≈ . . . . . . . 1/s coefficiente di smorzamento

Ф ≈ . . . . . . . . gradi sfasamento

f ≈ . . . . . . . . . Hz frequenza

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Valori dei diversi parametri ottenuti nell'analisi del SECONDO ESPERIMENTO mediantel'uso dei corrispondenti programmi. m = mcarrello + mfreno ≈ . . . . . . . . gMotoOscillatorio :

0 < t < . . . . . . . . s scala temporale

A0 ≈ . . . . . . . . cm posizione d'equilibrio del carrello

A1 ≈ . . . . . . . . cm ampiezza d'oscillazione

f ≈ . . . . . . . . . Hz frequenza ==> ω = 2πf ≈ . . . . . . . . rad/s < ω0

Ф ≈ . . . . . . . . gradi fase

C1= β /2m ≈ . . . . . . . . 1/s coefficiente di smorzamento

==> β ≈ . . . . . . . . kg/s < 2(mk)1/2 ≈ . . . . . . . . kg/s

Energy:

A0 ≈ . . . . . . . . cm posizione d'equilibrio del carrello

A1 ≈ . . . . . . . . cm ampiezza d'oscillazione

β/2m ≈ . . . . . . . . 1/s coefficiente di smorzamento

Ф ≈ . . . . . . . . gradi fase

f ≈ . . . . . . . . . Hz frequenza

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ESPERIMENTO SULLE OSCILLAZIONI ELETTROMAGNETICHE

Obiettivo : dato un circuito RLC alimentato in corrente continua, verificare lo smorzamentosottocritico, critico e sovracritico variando la resistenza mediante l’utilizzo di un potenziometro.

Strumenti e Materiali

Generatore di funzione (Function generator GFG-8210 )

Oscilloscopio (Digital storage oscilloscope

60 MHz-1GS a/s )

Cavi cavi BNC (50Ω),cavo USB

Circuito RLC (Pasco)

L = 8,2 mHC = 10 nF

Figura 20

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Potenziometro (0-10 KΩ )

Tester

Figura 21

Software

Programma DSO3000

per l’acquisizione dei datisperimentali dall’interfaccia

Wolfram Mathematica 7.0 per l’analisi dei datisperimentali

Origin 8 per l'analisi dei datisperimentali

Figura 22

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ESPERIMENTO

Descrizione dell'esperimento

1. Posizionate sul banco da lavoro il generatore di funzione, l'oscilloscopio, i cavi dialimentazione, i cavi BNC, il circuito RLC, il potenziometro e il tester;

2. Collegate il generatore di funzione (OUTPUT TTL/CMOS), attraverso un cavo BNC-BNC,all’oscilloscopio (EXIT TRIG) impostando così un trigger esterno all’oscilloscopio che losincronizza con il generatore di funzione in modo da visualizzare un segnale stabile. Sul generatore di funzione impostate una frequenza di 600 Hz e un segnale di tipo ondaquadra, inserite un collettore a T sul generatore (OUTPUT 50 Ω) e collegate, attraverso uncavo BNC-BNC, una delle due uscite al CH1 dell’oscilloscopio per controllare il segnaled'uscita.A questo punto utilizzando un cavo BNC con MORSETTI collegate l'altra uscita delcollettore a T al circuito connettendo il morsetto nero al condensatore e quello rosso alpotenziometro utilizzando un cavo elettrico. Collegate con un altro cavo elettrico ilpotenziometro all'induttore.Prelevate il segnale d'uscita sul condensatore collegando al CH2 dell’oscilloscopio unultimo cavo BNC con MORSETTI, facendo attenzione a connettere il morsetto nero insiemea quello del generatore (vedi figura seguente).

Figura 23

Figura 24

3. Mediante il potenziometro variate il valore della resistenza analizzando cosa succedeall'aumentare di tale grandezza.

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Acquisizione e salvataggio dei dati

1. Create sul Desktop una nuova cartella rinominandola col nome CircuitoRLC seguito dallavostra classe (es. CircuitoRLC 5C , oppure CircuitoRLC 5L-1) .

2. Scollegate il potenziometro dal circuito e impostate una resistenza R1 = 240 Ohm,misurandola con il tester.

3. Ricollegate il potenziometro al circuito, visualizzate sull'oscilloscopio uno smorzamentosottocritico e centrate il segnale sul monitor (vedi figura 25).

4. Interfacciate l’oscilloscopio col PC attraverso il cavo USB e aprite il programma DSO3000facendo doppio click sulla rispettiva icona presente sul desktop.

Figura 25

5. Selezionate Tools ==> Connect to oscilloscope ==> Refresh al fine di acquisire il graficodall’oscilloscopio.

6. Selezionate su DSO Controller Show Virtual Panel per controllare l’oscilloscopiodirettamente dal programma e realizzate un corretto settaggio della scala dei tempi,cliccando su Horizzontal ==> Offset < >.

7. Cliccate su Esport per salvare il grafico all'interno della vostra cartella e nominatelo R1.8. Esportate il file dei dati selezionando Data 0 ==> Refresh e salvatelo anch'esso all'interno

della vostra cartella cliccando Export, nominandolo R1= … Ohm e selezionando il formatoEXCEL .

9. Verificate di aver effettuato una corretta acquisizione del materiale.10. Chiudete il programma.

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Per analizzare i vostri dati sperimentali usate dei programmi realizzati con Wolfram Mathematica7.0 facendo attenzione che tale programma richiede un testo contenente esclusivamente numeriseparati da punti senza alcuna intestazione.

1. Aprite il file appena creato R1= … Ohm, selezionate per i vostri dati sperimentali unadeguato formato numerico; copiate la colonna dei tempi, aprite Origin 8 e incollatela nellacolonna X. Fate la stessa cosa con i dati del voltaggio nella colonna Y.

2. Per effettuare una verifica della giusta importazione dei dati graficarli semplicementeselezionate entrambe le colonne con il tasto sinistro del mouse, cliccare su Plot ==>Line==> Line (cliccando 2 volte il tasto sinistro del mouse sul disegno vi usciranno delleproprietà grafiche che potrete modificare a vostro piacimento).

3. Cancellare tutti i dati precedenti al massimo valore della tensione, selezionate la colonna deitempi, cliccate il tasto destro del mouse ==> Set Coulomn Values... ==> Col(A) - ..primovalore temporale.. ==> OK; in modo che avrete il valori di tensione massima a partire da t =0.

4. Annotate i valori della tensione massima e minima facendo anche attenzione alla scalatemporale.

5. Salvate a questo punto il lavoro cliccando File ==> Save Project As... ==>Save in: ...==>Nome file: R1.

6. Dopo aver selezionate il Book, in alto a sinistra cliccate su File ==> Export ==> ASCII ==>Salva in : Desktop ==> selezionate la vostra cartella ==> Nome del file: R1.txt. ==>OK.

7. Chiudete Origin.8. Aprite il file R1.txt e cancellate ogni intestazione facendo attenzione a non lasciar alcun

spazio prima della colonna dati; a questo punto selezionate Modifica ==> Sostituisci... ==>Trova: ; ==>Sostituisci con: . ==> Sostituisci tutto.

9. Prima di chiudere il file così ottenuto salvatelo selezionando File => Salva con nome =>Nome file: R1MAT.txt .

In questo modo avrete preparato il file di dati che potrete analizzare con Wolfram Mathematica 7.0. Salvare il materiale all'interno della vostra cartella CircuitoRLC 5C in una sottocartella da nominareOscillazione1.

Ripetere l'esperimento impostando come valore della resistenza R2 ≈ 1750 Ohm che corrispondealla condizione di smorzamento critico. Come in precedenza salvate il materiale all'interno della vostra cartella CircuitoRLC 5C in unasottocartella da nominare Oscillazione2

Ripetere l'esperimento impostando come valore della resistenza R3 ≈ 4000 Ohm che corrispondealla condizione di sovrasmorzamento. Come in precedenza salvate il materiale all'interno della vostra cartella CircuitoRLC 5C in unasottocartella da nominare Oscillazione3

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Analisi dei dati

Aprite il programma MotoOscillatorio per graficare la curva del potenziale misurato ai capi delcondensatore. Dopo aver specificato il file dei dati che volete analizzare cercate di sovrapporre ilpiù possibile la curva teorica rossa, che potete modificare variando i valori dei diversi parametri,con la curva blu dei dati sperimentali. Infine, dopo aver ottenuto una buona sovrapposizione delledue curve, annotate i valori dei diversi parametri.

Aprite il programma EnergyR1, specificate le proprietà del vostro file e lanciatelo. Salvate i valoridei diversi parametri ottenuti dal fit e analizzate bene ciò che accade alle diverse energie.

Utilizzando il programma MotoOscillatorio effettuate la stessa analisi, con i dati sperimentali delsecondo e terzo esperimento salvando i diversi valori dei parametri.

Approfondimento: come verifica consultate la seguente applet, scaricata dal sitohttp://www.walter-fendt.de/ph14i/osccirc_i.htm che simula il circuito oscillante RLC (serie)

Figura 26

All'apertura del sito vi comparirà la pagina precedente; impostate un valore per la capacità e uno perl'induttanza e dopo aver calcolato la corrispondente resistenza “critica”:

RCRITICA = 2(L/C)1/2 ≈ . . . . . . . . Ω,

impostate un valore minore per la resistenza e cliccando Avanti otterrete la simulazione desiderata.Per fare considerazioni energetiche impostate Energia.Premendo il tasto Reset variate il valore della resistenza prendendo così in esame le oscillazioni chesi hanno nel circuito nei tre diversi casi.

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MODULO PER LA RACCOLTA DATI

Oscillatore elettromagnetico

Figura 27 Circuito RLC in serie

L = 8,2 mH induttanza

C = 10nF capacità seconda legge di Kirchhoff

∆VL + ∆VR + ∆VC = 0

L di/dt + Ri + q/C = 0

d2q/dt2 + R/L dq/dt + ω0 2 q = 0

equazione differenziale lineare del II ordine a coefficienti costanti con ω0 2 = 1/LC

Sostituendo la soluzione di prova q(t) = A exp(λt) con le sue rispettive derivatenell’equazione differenziale si ottiene l' equazione caratteristica associata λ2 + R/L λ + ω0

2 = 0 che ha come soluzione λ1,2= -R/2L ± [(R/2L)2 - ω0

2 ]1/2

• R < 2(L/C)1/2 → 2 soluzioni complesse → moto sottosmorzato• R = 2(L/C)1/2 → 2 soluzioni reali coincidenti → smorzamento critico• R > 2(L/C)1/2 → 2 soluzioni reali distinte → moto sovrasmorzato

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Sottosmorzamento

R1 = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . )Ω

Figura 28 Oscillazioni elettromagnetiche sottosmorzate

q(t) = a1 exp(- R1/2L t) cos(ω t + Ф )

con ω = [ω0 2 - γ 2 ]1/2 pulsazione del moto

ω0 = (1/LC)1/2 ≈ . . . . . . . . rad/s

γ = R1/2L ≈ . . . . . . . . 1/s (fattore di sottosmorzamento)

ω = [ω0 2 - γ 2 ]1/2 ≈ . . . . . . . . rad/s < ω0

pulsazione sottosmorzamento < pulsazione propria del sistema

Sullo schermo dell'oscilloscopio misurate il valore massimo e minimo della tensionemisurata ai capi del condensatore:

Vmax = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . )Volt = q(0) /C = a1 /C = A1 con Ф = 0

Vmin = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . )Volt

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Smorzamento Critico

R2TEORICA = 2(L/C)1/2 ≈ . . . . . . . . Ω

R2 = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) Ω

Figura 29 Oscillazioni elettromagnetiche smorzate in modo critico

q(t) = (a1 + a2 t ) exp(- R2/2L t )

γ = R2/2L ≈ . . . . . . . . 1/s (fattore critico) Sullo schermo dell'oscilloscopio misurate il massimo valore della tensione misurata ai capidel condensatore:

Vmax = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . )Volt = q(0) /C = a1/C = A1

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Sovrasmorzamento

R3 = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) Ω

Figura 30 Oscillazioni elettromagnetiche sovrasmorzate

q(t) = a1 exp(-λ1 t) + a2 exp(-λ2 t)

con λ1,2 = –R3/2L ± [(R3/2L)2 – ω0 2 ]1/2 fattori di sovrasmorzamento

γ = R3/2L ≈ . . . . . . . . 1/s

λ1,2 = – γ ± [ γ 2 - ω0 2 ]1/2 ≈ . . . . . . . . 1/s (fattori di sovrasmorzamento)

Sullo schermo dell'oscilloscopio misurate il massimo valore della tensione prelevata ai capidel condensatore:

Vmax = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . )Volt = q(0) /C = (a1 + a2)/C = A1 + A2

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ANALISI dei DATI SPERIMENTALI

Valori dei diversi parametri ottenuti nell'analisi del PRIMO ESPERIMENTO mediantel'uso dei corrispondenti programmi. R1 ≈ . . . . . . . . Ω < 2(L/C)1/2

OriginGraph :

0 < t < . . . . . . . . s scala temporale

Vmax ≈ . . . . . . . . Volt

Vmin ≈ . . . . . . . . Volt

MotoOscillatorio :

Moto sottosmorzato

0 < t < . . . . . . . . s scala temporale

A0 ≈ . . . . . . . . Volt

A1 ≈ . . . . . . . . Volt ampiezza d'oscillazione

f ≈ . . . . . . . . . Hz frequenza d'oscillazione ==> ω = 2πf ≈ . . . . . . . . rad/s

Ф ≈ 0 gradi fase

C1 ≈ . . . . . . . kg/s fattore di sottosmorzamento C1TEORICO = γ = R1/2L ≈ . . . . . . . 1/s

EnergyR1:

a0 ≈ . . . . . . . . Volt

a1 ≈ . . . . . . . . Volt ampiezza d'oscillazione

R/2L ≈ . . . . . . kg/s coefficiente di smorzamento

Ф ≈ . . . . . . . . gradi fase

f ≈ . . . . . . . . . Hz frequenza

Valori dei diversi parametri ottenuti nell'analisi del SECONDO ESPERIMENTO mediantel'uso dei corrispondenti programmi. R2TEORICA = 2(L/C)1/2 ≈ . . . . . . . . Ω R2 ≈ . . . . . . . . Ω

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OriginGraph :

0 < t < . . . . . . . . s scala temporale

Vmax ≈ . . . . . . . . Volt

MotoOscillatorio :

Moto smorzato critico

0 < t < . . . . . . . . s scala temporale

A1 ≈ . . . . . . . . Volt ampiezza d'oscillazione

A2 ≈ . . . . . . . . Volt ampiezza d'oscillazione

C1 ≈ . . . . . . . 1/s fattore critico C1TEORICO = γ = R2/2L ≈ . . . . . . . 1/s

Valori dei diversi parametri ottenuti nell'analisi del TERZO ESPERIMENTO mediantel'uso dei corrispondenti programmi. R3 ≈ . . . . . . . . Ω > 2(L/C)1/2

OriginGraph :

0 < t < . . . . . . . . s scala temporale

Vmax ≈ . . . . . . . . Volt

MotoOscillatorio :

Moto sovrasmorzato

0 < t < . . . . . . . . s scala temporale

A1 ≈ . . . . . . . . Volt ampiezza d'oscillazione

A2 ≈ . . . . . . . . Volt ampiezza d'oscillazione

C1 ≈ . . . . . . . kg/s fattori di sovrasmorzamentoC2 ≈ . . . . . . . kg/s

C1TEORICO = λ1 = – γ + [ γ 2 - ω0

2 ]1/2 ≈ . . . . . . . kg/s

C2TEORICO = λ2 = – γ – [ γ 2 - ω0

2 ]1/2 ≈ . . . . . . . kg/s

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