10 – I TRIANGOLI PREREQUISITI - Assiomi della geometria del piano. - Semirette, segmenti, angoli e loro proprietà. OBIETTIVI DIDATTICI - Disegnare figure geometriche in base alla loro descrizione. - Descrivere mediante un linguaggio appropriato e preciso una figura geometrica. - Saper classificare i triangoli. - Saper enunciare e dimostrare i tre criteri di congruenza dei triangoli. - Saper applicare i tre criteri di congruenza dei triangoli. - Saper enunciare e dimostrare proprietà notevoli dei triangoli. - Saper applicare le proprietà notevoli dei triangoli. PARAGRAFI 1. INTRODUZIONE 2. I CRITERI DI CONGRUENZA 3. TEOREMI NOTEVOLI SUGLI ELEMENTI DEL TRIANGOLO

Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

1 INTRODUZIONE Premettiamo il seguente Assioma 20 Dato un angolo convesso ˆAOB e una semiretta s di origine O, se s è interna all'angolo, allora s ha un punto in comune col segmento AB.

A

B

sO

Notiamo che l'implicazione inversa si può dimostrare a partire dalla convessità dell'angolo. Provatelo per esercizio. DEFINIZIONI (triangolo, elementi del triangolo) Dati tre punti A, B, C non allineati

A

B C e considerati i tre angoli convessi ˆABC , ˆBCA , ˆCAB

A

B

C

A

BC

A

B C

(Triangolo) :⇔ (Intersezione dei tre angoli convessi ˆABC , ˆBCA , ˆCAB )

A

BC

Poiché è intersezione di figure convesse, il triangolo è una figura convessa. I punti A, B, C si dicono vertici e i segmenti AB, BC e CA lati, la cui unione forma il contorno o frontiera del triangolo.

I tria

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2

Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

La somma dei tre lati si chiama perimetro, mentre la sua metà semiperimetro.

A

C Inoltre i tre angoli convessi ˆ ˆˆ , ,ABC BCA CAB sono detti angoli interni o, semplicemente, angoli del triangolo. Gli elementi di un triangolo sono sei: i tre angoli e i tre lati. Un angolo esterno ad un triangolo è un angolo adiacente ad uno degli angoli interni

A

BC

In figura sono mostrati in rosso tre angoli esterni. Ogni lato di un triangolo si dice opposto all'angolo del triangolo formato dagli altri due lati e si dice adiacente ai restanti due angoli. Per esempio, in figura, il lato AC è opposto all'angolo β e adiacente ad e γ . Anche un angolo si dice opposto al lato che non gli appartiene e compreso tra altri due. Così β è opposto ad AC e compreso fra AB e BC, o anche α opposto a BC e compreso fra AB e AC e si dice pure che questi lati comprendono α .

A

C Indicheremo un triangolo di vertici A, B, C con "ABC". Chiamiamo interno un punto del triangolo che non appartiene al contorno (come P), mentre un punto non appartenente al triangolo è detto esterno (come Q).

A

C

P

Q

OSSERVAZIONI Molte volte si definisce un triangolo in tale modo

I tria

ngol

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Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

"Dati tre punti A, B, C non allineati, si chiama triangolo la parte di piano limitata racchiusa dai segmenti consecutivi AB, BC, AC". Omettiamo, per brevità, di provare l'equivalenza di tale definizione con quella data precedentemente. Dalla definizione di triangolo come intersezione di tre angoli convessi discende che gli angoli interni di un triangolo sono tutti angoli convessi. ESERCIZIO GUIDATO Dati un triangolo ABC, un punto interno P e uno esterno Q, dimostrare che il segmento PQ interseca il contorno del triangolo in un punto D. Ipotesi Tesi ABC triangolo PQ interseca il contorno del triangolo P punto interno ad ABC Q punto esterno ad ABC Consideriamo un triangolo e prendiamo un punto interno e uno esterno ad esso.

A

C

P

Q

Tracciamo, quindi, tre semirette di origine P e contenenti i tre vertici del triangolo.

A

BC

P

Q

Si formano i tre angoli convessi ....., ..... e ..... . Il punto Q o è interno ad uno degli angoli, oppure appartenere ad uno dei loro lati.

A

BC

P

Q

In quest'ultimo caso la tesi è provata, perché ..... .

I tria

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Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

Se invece Q è interno, consideriamo la semiretta PQ, di origine P, interna all'angolo convesso.

A

BC

PQ

Anche in questo caso la tesi è provata in virtù dell'assioma ......, perché ..... . c.v.d. DEFINIZIONI (triangolo scaleno, isoscele, equilatero) (Triangolo scaleno) :⇔ (Triangolo che ha i lati a due a due non congruenti)

A

B

C (Triangolo isoscele) :⇔ (Triangolo che ha due lati congruenti) I lati congruenti sono detti lati obliqui (AB e AC in figura). Il terzo, nel nostro caso BC, viene chiamato base. Gli angoli adiacenti alla base, B e C in figura, si dicono angoli alla base. L'altro angolo, ossia quello compreso tra i lati congruenti, si dice angolo al vertice (l'angolo A in figura).

A

C (Triangolo equilatero) :⇔ (Triangolo con tutti i lati congruenti)

A

C È ovvio che un triangolo equilatero è anche isoscele.

I tria

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Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

DEFINIZIONI (triangoli congruenti) (Triangoli congruenti):⇔ (Triangoli che hanno i lati e gli angoli ordinatamente congruenti)

A

BC

A'

B'

C' La figura mostra che cosa si intende per ordinatamente congruenti. Partendo da una coppia di elementi congruenti, per esempio gli angoli A e A′ , percorrendo il contorno dei due triangoli nello stesso senso (orario o antiorario) o in senso opposto (come nell'esempio della figura precedente) si incontrano via via elementi congruenti. Per indicare che due triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti, scriviamo ABC A B C′ ′ ′≡ . Assioma 21 Dati due triangoli, se essi hanno due lati e l'angolo fra essi compreso congruenti, allora hanno ordinatamente congruenti anche le altre due coppie di angoli. Riferendosi alle figure seguenti, se abbiamo due triangoli per cui AB A B′ ′≡ , BC B C′ ′≡ e ˆ ˆB B′≡

A

B

C

A'

B'

C'

allora ˆ ˆA A′≡ e ˆ ˆC C′≡

A

B

C B'

C'

A'

Grazie a questo assioma possiamo dimostrare i tre criteri di congruenza dei triangoli, che servono a stabilire se due triangoli sono congruenti senza controllare la congruenza di tutti i sei elementi, ma solo di tre di essi opportunamente scelti. OSSERVAZIONI Una tecnica di dimostrazione che utilizzeremo a partire dal prossimo teorema è quella detta per assurdo. Vediamo in cosa consiste.

I tria

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Volendo dimostrare un certo enunciato p q⇒ , dove p ne è l'ipotesi e q la tesi, supponiamo per assurdo che quest'ultima non sia vera, cioè che sia vera la sua negazione q . Ammessa come vera l'ipotesi, in virtù di assiomi e di eventuali teoremi precedentemente dimostrati, grazie alle regole del buon ragionamento, se si perviene ad una contraddizione, cioè ad una proposizione che risulta sia vera che falsa, l'enunciato è dimostrato. Infatti la contraddizione scaturisce dall'aver supposto falsa la tesi q, che pertanto è vera. 2 I CRITERI DI CONGRUENZA TEOREMA (primo criterio di congruenza dei triangoli) Se due triangoli ABC e A'B'C' hanno due lati e l'angolo tra essi compreso ordinatamente congruenti, allora i due triangoli sono congruenti. Con riferimento alla figura

A

B

C

A'

B'

C'

Ipotesi Tesi AB A B′ ′≡ ABC A B C′ ′ ′≡ BC B C′ ′≡ ˆ ˆB B′≡

Dimostrazione Consideriamo due triangoli aventi due lati e l'angolo tra essi compreso congruenti

A

B C

A'

B' C' Per l'assioma 21 essi hanno ordinatamente congruenti anche i restanti angoli (1).

A

B C

A'

B' C' Per giungere alla tesi basta dimostrare che anche AC è congruente ad A'C'.

I tria

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Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

A tal fine, supponiamo per assurdo che ciò non sia vero, cioè che uno dei due lati sia maggiore dell'altro, per esempio A'C'>AC. Per l'assioma 11 è possibile costruire sulla semiretta di origine A' e contenente C' un segmento A'D congruente ad AC e, siccome A'C'>AC, allora il punto D cade all'interno di A'C'.

A

B C

A'

B' C'D

Congiungiamo D con B' e consideriamo il triangolo A'B'D. Essendo B'D interno all'angolo ˆA B C′ ′ ′ , si ha ˆ ˆA B D A B C′ ′ ′ ′ ′< (2).

A

B C

A'

B' C'D

Confrontiamo, ora, i due triangoli ABC e A'B'D.

A

B C

A'

B' C'D

Essi hanno AB A B′ ′≡ , per ipotesi AC A D′≡ , per costruzione ˆ ˆA A′≡ , come osservato in (1).

Per l'assioma 21 risulta ˆ ˆABC A B D′ ′≡ e ˆ ˆBCA B DA′ ′≡ . Abbiamo quindi

ˆ ˆABC A B C′ ′ ′≡ , per quanto detto in (1) e ˆ ˆABC A B D′ ′≡ . Pertanto ˆ ˆA B D A B C′ ′ ′ ′ ′≡ (3) poiché la congruenza è una relazione di equivalenza. Ma le due affermazioni (2) e (3) sono in contraddizione. Pertanto AC ed A'C' devono essere congruenti e i due triangoli ABC e A'B'C', avendo gli elementi ordinatamente congruenti, sono congruenti. c.v.d. TEOREMA (sugli angoli alla base di un triangolo isoscele) In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti.

I tria

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Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

Con riferimento alla figura possiamo scrivere

A A

B BC C Ipotesi Tesi AB AC≡ ˆB C≡ Dimostrazione Sia b la bisettrice dell'angolo al vertice A di un triangolo isoscele ABC.

A

B C

bQ

Per l'assioma 20 essa avrà in comune con BC un punto Q.

A

B C

bQ

Consideriamo i due triangoli BAQ e CAQ. Essi hanno - AQ in comune - AB AC≡ , per ipotesi - ˆ ˆQAB CAQ≡ , perché b è la bisettrice di A . Per il primo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti, quindi lo sono anche B e C . c.v.d.

I tria

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i

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Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

OSSERVAZIONE La congruenza dei triangoli BAQ e CAQ consente di affermare che in un triangolo isoscele la bisettrice dell'angolo al vertice divide la base in due parti congruenti ed è perpendicolare ad essa. ESERCIZIO GUIDATO Sia M il punto medio del lato AB di un triangolo ABC. Congiungete C con M. Sulla retta contenente CM e da parte opposta a C rispetto ad M, costruite il segmento MD congruente a CM.

A

B C

M

D

Dimostrate che DB AC≡ e che AD BC≡ . Esplicitiamo ipotesi e tesi. Ipotesi Tesi M AB∈ BD AC≡ BM MA≡ AD BD≡ CM MD≡ Congiungendo D con B otteniamo i triangoli AMC e DMB.

A

B C

M

D

Essi hanno - ..... - ..... - ..... quindi sono congruenti per il ...... criterio di congruenza dei triangoli, di conseguenza ..... . Consideriamo, ora, i triangoli ..... e ..... . Essi hanno

A

B C

M

D

- ..... - ..... - .....

I tria

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quindi ...... c.v.d. APPLICHIAMO ... 1. Sui lati di un angolo convesso di vertice V prendete due punti A e B tali che AV BV≡ . Sia b la sua bisettrice e Q il punto comune tra essa e il segmento AB. Dimostrate che AQ BQ≡ . 2. Sia ABC un triangolo isoscele, con AB AC≡ . Siano L, M ed N i punti medi rispettivamente dei lati AB, BC ed AC. Dimostrate che il triangolo LMN è isoscele. 3. Sia ABC un triangolo isoscele sulla base BC. Prolungatela di due segmenti BD e CE tali che BD CE≡ . Dimostrate che il triangolo ADE è isoscele. 4. Dimostrate che gli angoli interni di un triangolo equilatero sono congruenti. 5. Sia ABC un triangolo isoscele sulla base BC. Prolungate AB ed AC, dalla parte di A, di due segmenti AE ed AD tra loro congruenti. Dimostrate che BE CD≡ . TEOREMA (secondo criterio di congruenza dei triangoli) Se due triangoli hanno un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, allora essi sono congruenti. Con riferimento alla figura

A

B

C

A'

B'

C'

Ipotesi Tesi ˆ ˆA A′≡ ABC A B C′ ′ ′≡ ˆ ˆB B′≡ AB A B′ ′≡ Dimostrazione Consideriamo due triangoli che hanno un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, ad esempio AB e A'B'.

A

B C

A'

B' C'

I tria

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Per arrivare alla tesi basta dimostrare che uno dei restanti lati del primo triangolo è congruente ad uno dei restanti lati del secondo. In tal caso i due triangoli sono congruenti per il primo criterio. Proviamo allora che AC A C′ ′≡ . Se, per assurdo, ciò non fosse vero, allora uno dei due lati dovrebbe essere maggiore dell'altro, per esempio AC > A'C'. Per l'assioma 11 è possibile costruire sulla retta AC un segmento AD congruente ad A'C', con D interno ad AC.

A

B

C

A'

B' C'D

AD A'C'

I triangoli ABD e A'B'C' hanno

A

B

C

A'

B' C'D

AD A'C'

- AB A B′ ′≡ , per ipotesi - ˆ ˆA A′≡ , per ipotesi - AD A C′ ′≡ , per costruzione. Quindi, per il primo criterio, sono congruenti. Ne segue che gli elementi del primo triangolo sono ordinatamente congruenti a quelli del secondo, in particolare ˆ ˆABD A B C′ ′ ′≡ (1). Poiché BD è interno ad ˆABC , abbiamo che ˆ ˆABD ABC< e ˆ ˆABC A B C′ ′ ′≡ per ipotesi. Segue ˆ ˆABD A B C′ ′ ′< (2). A questo punto le proposizioni (1) e (2) sono in contraddizione, scaturita dall'aver ipotizzato che AC A C′ ′≡/ . Quindi essi devono essere congruenti, pertanto i due triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti per il primo criterio. c.v.d. TEOREMA (inverso del teorema sugli angoli alla base di un triangolo isoscele) Un triangolo con due angoli congruenti è isoscele. Facendo riferimento alla figura

AA

BB CC

I tria

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Ipotesi Tesi ˆˆABC BCA≡ AB AC≡

Dimostrazione Nel triangolo ABC gli angoli di vertici B e C sono congruenti.

A

B C

ED Prolunghiamo i lati AB ed AC di due segmenti fra loro congruenti BD e CE. Tracciamo i due segmenti BE e CD.

A

B C

ED Consideriamo i triangoli BDC e BCE, che hanno

B BC C

ED - BC in comune - BD CE≡ , per costruzione - ˆˆCBD ECB≡ , perché supplementari di angoli congruenti. Quindi i due triangoli sono congruenti per il primo criterio e di conseguenza

ˆ ˆ ˆ ˆ,DCB CBE ADC BEA≡ ≡ e DC BE≡ (1). Confrontiamo ora i triangoli ACD ed ABE. Essi hanno

I tria

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i

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A

B

D

C

A

B C

E - ˆ ˆDCA ABE≡ , perché somma di angoli congruenti - DC BE≡ , per la (1) - ˆ ˆADC BEA≡ , per la (1). Perciò i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio. Segue che i lati AB ed AC sono congruenti. c.v.d. OSSERVAZIONE Questo teorema è l'inverso di quello relativo alla congruenza degli angoli alla base di un triangolo isoscele. Pertanto le due proposizioni "Il triangolo ABC ha due lati congruenti" "Il triangolo ABC ha due angoli congruenti" sono equivalenti e caratterizzano entrambe i triangoli isosceli. Sia ABC un triangolo. Diamo le seguenti DEFINIZIONI (mediana, bisettrice) (AM mediana del triangolo ABC relativa al lato BC) :⇔ (M è punto medio di BC)

A

B CM

Poiché un triangolo ha tre vertici, esso ammette tre mediane. Nelle seguenti figure sono mostrate le mediane relative agli altri due lati.

A

B C

N

A

B C

Q

I tria

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i

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(AL bisettrice del triangolo relativa all'angolo A ):⇔ (La semiretta di origine A che interseca BC in L è bisettrice dell'angolo A )

A

B CL

Poiché un triangolo ha tre vertici, esso ammette tre bisettrici. Nelle seguenti figure sono mostrate le bisettrici relative agli altri due angoli.

A

B C

L'

A

B C

L''

APPLICHIAMO ... 1. Sia ABC un triangolo isoscele di base BC. Siano BD e CE le bisettrici degli angoli alla base. Dimostrate che BD CE≡ . 2. Disegnate un triangolo ABC e la bisettrice AD dell'angolo A . Supponendo che il segmento AD sia perpendicolare a BC, dimostrate che il triangolo ABC è isoscele. 3. Sui lati di un angolo di vertice V considerate due punti A e B tali che AV VB≡ e i punti C e D con VC > VA e AC BD≡ . Dimostrate che AD BC≡ . Sia P il punto di intersezione tra questi due segmenti. Dimostrate che AP PB≡ e CP PD≡ . 4. Siano ABC e A'B'C' due triangoli isosceli aventi ordinatamente congruenti l'angolo al vertice e la sua bisettrice. Dimostrate che i due triangoli sono congruenti. Dimostriamo ora il seguente TEOREMA (terzo criterio di congruenza dei triangoli) Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente congruenti, allora essi sono congruenti. Riferendoci alla figura

A

B

C

A'

B'

C'

I tria

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Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

Ipotesi Tesi AB A B′ ′≡ ABC A B C′ ′ ′≡ BC B C′ ′≡ AC A C′ ′≡ Dimostrazione Consideriamo due triangoli ABC e A'B'C' aventi i lati ordinatamente congruenti.

A

B C

A'

B' C' Costruiamo il triangolo A"BC, congruente ad A'B'C' di base BC nel semipiano di origine BC e non contenente A.

A

A

B C

A'

B' C'

'' Per la transitività della relazione di congruenza, "AB A B≡ e "AC A C≡ (1). Congiungiamo i punti A ed A". Poiché questi si trovano in semipiani opposti rispetto alla retta contenente BC, il segmento AA" la interseca in un punto D. Si possono distinguere tre casi. - Il punto D è interno al segmento BC.

A

A

B C

''

D

- Il punto D coincide con uno degli estremi del segmento BC.

A

A

B C

''

D

I tria

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Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

- Il punto D è esterno al segmento BC.

A

A

B C

''

D

Esaminiamo solo il primo caso, lasciando per esercizio la dimostrazione degli altri due. Consideriamo il triangolo ABA".

A

A

B C

''

D

Essendo "AB A B≡ , esso è isoscele ed ha gli angoli alla base " , "A AB BA A congruenti.

Analogamente, nel triangolo ACA", poiché "AC A C≡ , si ha ""C AA AA C≡ .

A

A

B C

''

D

Siccome somme di angoli congruenti sono congruenti, "ˆCAB BA C≡ (2). Confrontiamo ora i triangoli ABC e A"BC; essi hanno

A A

B BC C'

'

' - "AB A B≡ , per (1) - "AC A C≡ , per (1) - "ˆCAB BA C≡ , per (2). Ne segue che "ABC A BC≡ per il primo criterio e quindi ABC A B C′ ′ ′≡ . c.v.d.

I tria

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Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

ESERCIZIO GUIDATO Siano ABC e A'B'C' due triangoli aventi ordinatamente congruenti due lati e le mediane relative al terzo lato. Dimostrate che i due triangoli sono congruenti. Esplicitiamo ipotesi e tesi. Ipotesi Tesi AB A B′ ′≡ ABC A B C′ ′ ′≡ AC A C′ ′≡ AM mediana relativa a BC A'M' mediana relativa a B'C' AM A M′ ′≡ Disegniamo due triangoli che verifichino le ipotesi.

A

B CM

A

B CM

''

Prolunghiamo AM di un segmento MD congruente ad AM e procediamo analogamente con l'altro triangolo A'B'C'.

A

B CM

A

B CM

''

D D' Consideriamo poi le due coppie di triangoli AMC e BMD, A'M'C' e B'M'D'.

A

B CM

''

D'

A

B CM

D

I tria

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Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

Essi hanno - ..... - ..... - ..... Quindi, per il ..... criterio, ..... e ..... sono congruenti, come pure ..... e ..... . Di conseguenza BD ≡… e B D′ ′ ≡… . Per le ipotesi fatte e per la transitività della congruenza, segue …≡… . Consideriamo, ora, i due triangoli ABD e A'B'D'.

A

B CM

''

D'

A

B CM

D Essi hanno - ..... - ..... - ..... Per il ...... criterio, i due triangoli sono congruenti. In particolare ˆ ˆMAB M A B′ ′ ′≡ . Successivamente consideriamo i triangoli ABM e A'B'M'.

A

B CM

''

A

B CM

Essi hanno - ..... - ..... - ..... Quindi si può concludere che ..... . c.v.d.

I tria

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Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

APPLICHIAMO ... 1. Siano ABC e A'B'C' due triangoli tali che AB A B′ ′≡ e AC A C′ ′≡ . Siano, inoltre, M ed M' i punti medi rispettivamente di AB ed A'B'. Supponendo che CM sia congruente a C'M', dimostrate che i triangoli dati sono congruenti e che tali sono pure triangoli MBC e M'B'C'. 2. Siano ABC un triangolo isoscele ed M il punto medio della base BC. Dimostrate che la mediana AM è bisettrice di A . 3. Sia ABC un triangolo isoscele di angolo al vertice A . Sui lati congruenti AB e AC, esternamente a questi, si costruiscano altri due triangoli isosceli ADB e ACE, fra loro congruenti. Dimostrate che i triangoli DBE e DCE sono congruenti e che, detto O il punto d'intersezione tra CD e BE, i triangoli DOE e OBC sono isosceli. 3 RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO Dimostriamo il seguente TEOREMA (dell'angolo esterno) In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso. Con riferimento alla seguente figura si ha

A

BC D

Ipotesi Tesi

ˆACD angolo esterno ˆ ˆACD ABC> ˆ ˆACD CAB>

Dimostrazione Sia M il punto medio del lato AC del triangolo ABC.

A

BC D

M

Prolunghiamo la mediana BM di un segmento ME in modo che ME sia congruente ad MB.

I tria

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20

Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

A

BC D

ME

Congiungendo C con E, si ha ˆ ˆACE ACD< (1), poiché la semiretta contenente E ed origine C è interna a quest'ultimo angolo.

A

BC D

ME

Confrontiamo i triangoli ABM e CEM ; essi hanno - AM MC≡ , perché M è punto medio di AC - BM MC≡ , per costruzione - ˆ ˆBMA EMC≡ , perché opposti al vertice. Per il primo criterio, i due triangoli AMC e BME sono congruenti e quindi ˆ ˆCAB ACE≡ (2).

A

BC D

ME

Da (1) e (2) discende che ˆ ˆCAB ACD< . Procedendo in modo analogo a quello visto e tenendo presente la figura di seguito riportata, completate la dimostrazione provando che si ha anche ˆˆABC ACD< .

A

BC DN

GF

c.v.d. Sussiste il successivo TEOREMA (secondo criterio di congruenza dei triangoli generalizzato) Se ABC ed A'B'C' sono due triangoli che hanno un lato e due angoli qualunque ordinatamente congruenti, allora essi sono congruenti.

I tria

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i

21

Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

Riferendoci alla figura

A

B C

A'

B' C' Ipotesi Tesi AB A B′ ′≡ ABC A B C′ ′ ′≡

ˆ ˆCAB C A B′ ′ ′≡ ˆ ˆACB A C B′ ′ ′≡

Dimostrazione Per provare il teorema basta dimostrare che l'angolo in B è congruente all'angolo in B'; in tal caso i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio. Supponiamo per assurdo che ˆ ˆABC A B C′ ′ ′≡/ , ad esempio ˆ ˆABC A B C′ ′ ′> .

A

B C

A'

B' C'

B > B'

Possiamo, quindi, costruire un angolo "ˆ ˆABC A B C′ ′ ′≡ , dove C" è un punto interno ad AB.

A

B C

A'

B' C'

C''

I triangoli ABC" ed A'B'C' hanno - AB A B′ ′≡ , per ipotesi - ˆ ˆCAB C A B′ ′ ′≡ , per ipotesi - ˆ ˆABC A B C′ ′ ′≡ , per costruzione. Per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, "ABC A B C′ ′ ′≡ , pertanto " ˆBC A B C A′ ′ ′≡ .

A

B C

A'

B' C'

C''

I tria

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22

Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

D'altra parte il teorema dell'angolo esterno garantisce che ˆ"BC A BCA> , cosicché ˆ ˆB C A BCA′ ′ ′ > , contro l'ipotesi che i due angoli siano congruenti. L'assurdo è scaturito dall'aver supposto che ˆ ˆABC A B C′ ′ ′≡/ , pertanto i due angoli sono congruenti. c.v.d. ESERCIZIO GUIDATO Dimostrare che la somma di due angoli interni di un triangolo è sempre minore di un angolo piatto. Esplicitando ipotesi e tesi otteniamo Ipotesi Tesi α angolo interno di ABC 180α γ °+ < γ angolo interno di ABC Consideriamo un triangolo ABC.

A

BC

Siano ,α γ due angoli interni. Consideriamo l'angolo esterno ˆACD , che indichiamo con δ .

A

BC D

Poiché γ e δ sono adiacenti, si ha γ δ+ =… . Ma, per il teorema dell'angolo esterno, α δ… . Quindi α δ+…< +…=… . c.v.d. APPLICHIAMO... Dimostrate che 1. in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono sempre acuti; 2. un triangolo non può avere più di un angolo retto n‚ più di un angolo ottuso. Per quanto affermato nel precedente esercizio 2, possiamo dare le seguenti DEFINIZIONI (triangolo acutangolo, rettangolo, ottusangolo) (Triangolo acutangolo) :⇔ (Triangolo con tre angoli acuti)

I tria

ngol

i

23

Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

A

BC

(Triangolo rettangolo) :⇔ (Triangolo con un angolo retto)

A

BC

catetocateto

ipotensa Il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa, gli altri due lati si dicono cateti. (Triangolo ottusangolo) :⇔ (Triangolo con un angolo ottuso)

A

BC

TEOREMA (esistenza e unicità della perpendicolare) Sia r una retta e Q un punto non appartenente ad essa. Esiste una e una sola retta p passante per Q e perpendicolare ad r. Con riferimento alla figura

r

Q

p

Ipotesi Tesi Q non appartiene alla retta r esiste un'unica retta p per Q e perpendicolare ad r Dimostrazione Esistenza Siano dati una retta r e un punto Q esterno ad essa; sia R un punto di r.

r

Q

R

I tria

ngol

i

24

Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

Tracciamo, nel semipiano non contenente Q, il segmento RQ RQ′ ≡ , tale che l'angolo che la semiretta s{R,Q} forma con r sia congruente all'angolo individuato da s{R,Q'} ed r.

r

Q

R

Q' Il segmento QQ' interseca r in un punto H, in quanto Q e Q' si trovano da parti opposte rispetto ad r.

r

Q

R

Q'

H

Consideriamo i triangoli RQH e RHQ'; essi hanno - RQ RQ′≡ , per costruzione - ˆ ˆQRH QRH≡ , per costruzione - RH in comune. Quindi i due triangoli sono congruenti per il primo criterio; in particolare sono congruenti gli angoli in H.

r

Q

R

Q'

H

p

L'angolo piatto ˆQHQ′ è diviso da HR in due angoli congruenti, quindi retti. Pertanto la retta p, passante per Q e Q', è perpendicolare ad r. Unicità Ragionando per assurdo, supponiamo che per Q si possano condurre due rette distinte p' e p", entrambe perpendicolari ad r e che la intersechino rispettivamente nei punti A e B.

r

Q

p' p''A B

I tria

ngol

i

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In tal caso l'angolo esterno $Q\hat{A}D$ sarebbe congruente all'angolo interno ad esso non adiacente ˆQBA .

r

Q

DA B

p' p'' Quindi non possono esistere due rette distinte, passanti per uno stesso punto e perpendicolari alla stessa retta. c.v.d. OSSERVAZIONE L'unicità si può anche dimostrare osservando che il triangolo QBA ha due angoli retti interni A e B . Siano r una retta, Q un punto esterno ad essa e p la retta per Q, perpendicolare ad r. DEFINIZIONE (piede di una perpendicolare, distanza punto-retta, altezza) (H piede della perpendicolare p condotta da Q ad r) :⇔ (H è il punto d'intersezione di r con p)

r

Q

p

H

(Distanza di un punto Q da una retta r) :⇔ (La misura del segmento avente per estremi il punto Q e il piede H della perpendicolare condotta da Q ad r) Indichiamo tale distanza con d(Q,r). Sia ABC un triangolo. (AH altezza di ABC relativa al lato BC):⇔ (AH è il segmento avente per estremi il vertice A ed H, piede della perpendicolare condotta da A ad r{B,C})

A

B CH

I tria

ngol

i

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Notiamo che il piede H appartiene alla retta r{B,C}, ma non è necessariamente un punto del segmento BC, come messo in evidenza dalla seguente figura.

A

B C H Poiché un triangolo ha tre vertici, esso ammette tre altezze. Nelle seguenti figure sono mostrate le altezze BH' e CH", relative agli altri due lati.

A

B C

H'

A

B C

H''

APPLICHIAMO ... 1. Dimostrate che in un triangolo isoscele la bisettrice, la mediana e l'altezza relative alla base coincidono. 2. Disegnate un triangolo ottusangolo e le altezze relative ai suoi tre lati. 3. Cosa potete dire delle altezze, bisettrici e mediane di un triangolo equilatero? TEOREMA (relazione tra lati ed angoli di un triangolo) In un triangolo, al lato maggiore si oppone l'angolo maggiore, e viceversa.

A

BC

Dimostrazione Implicazione diretta (⇒ ) Ipotesi Tesi AC > AB β γ> Supponiamo AC > AB. Costruendo su AC un segmento AD congruente ad AB, l'estremo D cade all'interno del segmento AC. Congiungiamo B con D.

I tria

ngol

i

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A

BC

DAB AD

Il triangolo ABD è isoscele, in quanto per costruzione AB AD≡ , segue che ˆ ˆABD ADB≡ (1). Quest'ultimo angolo è esterno al triangolo BDC, quindi, per il relativo teorema, ˆADB γ> e, per la (1), abbiamo ˆABD γ> (2). La semiretta BD è interna all'angolo β , perciò ˆABDβ > e quindi, per la (2), β γ> . Implicazione inversa (⇐ ) Ipotesi Tesi β γ> AC > AB Supponiamo β γ> e dimostriamo che AC > AB.

A

BC

>

Non può essere AB AC≡ , perché altrimenti il triangolo ABC sarebbe isoscele e si avrebbe β γ≡ , contro l'ipotesi. Non si può verificare AC < AB, perché, in base a quanto dimostrato nell'implicazione diretta, si avrebbe β γ< , anche qui contro l'ipotesi. Pertanto deve essere AC > AB. c.v.d. APPLICHIAMO ... 1. Dimostrate che in un triangolo rettangolo l'ipotenusa è maggiore di ognuno dei due cateti. 2. Dimostrate che in un triangolo ottusangolo il lato opposto all'angolo ottuso è maggiore di ognuno dei restanti lati. TEOREMA (disuguaglianza triangolare) In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della differenza tra il maggiore ed il minore di essi. Con riferimento alla figura

A

BC

I tria

ngol

i

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Ipotesi Tesi AC lato del triangolo ABC AC < AB + BC BC > AB AC > BC - AB Dimostrazione Sia AC un lato del triangolo ABC. Dimostriamo che questo è minore della somma degli altri due e maggiore della differenza tra il maggiore ed il minore di essi. Prolunghiamo il lato BC di un segmento BD congruente ad AB.

A

B CD Congiungendo D con A, il triangolo che si viene a formare è isoscele, quindi ˆ ˆBAD BDA≡ e

ˆ ˆBAD CAD< , poiché la semiretta AB è interna a quest'ultimo angolo. Segue che ˆˆBDA CAD< e, per il teorema precedente, AC < CD, ossia AC < BC + BD. Siccome BD≡AB, segue AC < AB + BC. Analogamente si prova che AB < AC + BC e che BC < AB + AC. Per completare la dimostrazione, supponendo BC > AB, partiamo da AB + AC > BC e sottraiamo da entrambi i membri AB, ottenendo AB + AC - AB > BC - AB, da cui AC > BC - AB. Allo stesso modo, supponendo AB < AC < BC, si prova che AB > BC - AC e che BC > AC - AB. c.v.d. ESERCIZIO GUIDATO Siano ABC e A'B'C' due triangoli aventi AB≡A'B', AC≡A'C' e ˆ ˆA A′< . Dimostrate che BC < B'C'. Esplicitiamo ipotesi e tesi.

A

B C

A'

B'

C'

Ipotesi Tesi AB≡A'B' BC < B'C' .................... .................... Per ipotesi ˆ ˆA A′< , quindi possiamo condurre una semiretta s di origine A' e interna ad A′ in modo che formi con A'B' un angolo congruente ad A .

I tria

ngol

i

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A

B C

A'

B'

C'

s Su s si prenda il segmento A'D congruente ad AC.

A

B C

A'

B'

C'

sD

Congiungendo D con B', si ottiene il triangolo A'B'D, congruente ad ABC, per ..... .

A

B C

A'

B'

C'

sD

E

Di conseguenza B'D≡… (1). Tracciamo la bisettrice di ˆDA C′ ′ , che interseca C'E in un punto F, per l'assioma ..... .

A

B C

A'

B'

C'

sD

E F

Consideriamo i triangoli A'DF e A'FC'.

A

B C

A'

B'

C'

sD

E F

Essi sono congruenti perché ...... . In particolare, DF≡… e, applicando la disuguaglianza triangolare al triangolo B'DF, si ha B'D < ..... e, poiché DF≡FC', risulta B'D < ..... . Dalla (1) segue ...... . c.v.d. APPLICHIAMO ...

I tria

ngol

i

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1. Dimostrare che il perimetro del triangolo in figura è maggiore di quello del rettangolo ad esso interno.

A

B CE F

GD

2. Siano ABC un triangolo isoscele con base BC e P un punto interno ad AB. Dimostrate che CP > BP. 3. Siano ABC ed A'B'C' due triangoli aventi AB≡A'B', AC≡A'C' e BC > B'C'. Dimostrate che ˆ ˆA A′> .

4. Siano ABC un triangolo e D un punto del prolungamento di BC tale che BD ≡AB. Dimostrate che AD è minore del perimetro del triangolo ABC. 5. Siano ABC un triangolo e P un punto interno ad esso. Dimostrate che ˆˆAPB ACB> .

I tria

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i

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RIEPILOGO ASSIOMI Assioma 20 Dato un angolo convesso ˆAOB e una semiretta s di origine O, si ha che ( s è interna all'angolo)⇒ (s ha un punto in comune col segmento AB) Assioma 21 Dati due triangoli, se essi possiedono due lati e l'angolo fra essi compreso congruenti, allora saranno ordinatamente congruenti anche le altre due coppie di angoli DEFINIZIONI • (Triangolo ABC):⇔ (Intersezione dei tre angoli convessi ˆ ˆˆ , ,ABC ACB BAC ) • (Triangolo scaleno:⇔ (Triangolo che ha i lati a due a due non congruenti) • (Triangolo isoscele) :⇔ (Triangolo che ha due lati congruenti) • (Triangolo equilatero) :⇔ (Triangolo con tutti i lati congruenti) • (Triangoli congruenti) :⇔ ( Triangoli che hanno i lati e gli angoli ordinatamente congruenti) • (AM mediana del triangolo ABC relativa al lato BC) :⇔ (M è punto medio di BC) • (AL bisettrice del triangolo relativa all'angolo A ):⇔ (La semiretta di origine A che interseca

BC in L è bisettrice dell'angolo A ) • (Triangolo acutangolo) :⇔ (Triangolo con tre angoli acuti) • (Triangolo rettangolo) :⇔ (Triangolo con un angolo retto) • (Triangolo ottusangolo) :⇔ (Triangolo con un angolo ottuso) • (H piede della perpendicolare p condotta da Q ad r) :⇔ (H è il punto d'intersezione di r con p) • (Distanza di un punto Q da una retta r) :⇔ (La misura del segmento avente per estremi il punto

Q e il piede H della perpendicolare condotta da Q ad r) • (AH altezza del triangolo ABC relativa al lato BC) :⇔ (AH è il segmento avente per estremi il

vertice A ed H, piede della perpendicolare condotta da A ad r{B,C}) TEOREMI • Se due triangoli ABC e A'B'C' hanno due lati e l'angolo tra essi compreso ordinatamente

congruenti, allora i due triangoli sono congruenti. • In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti. • Se due triangoli hanno un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, allora

essi sono congruenti. • Un triangolo con due angoli congruenti è isoscele. • Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente congruenti, allora essi sono congruenti. • In un triangolo ogni angolo esterno Š maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad

esso. • Se ABC ed A'B'C' sono due triangoli che hanno un lato e due angoli qualunque ordinatamente

congruenti, allora essi sono congruenti. • Sia r una retta e Q un punto non appartenente ad essa. Esiste una e una sola retta p passante per

Q e perpendicolare ad r. • In un triangolo, al lato maggiore si oppone l'angolo maggiore, e viceversa. • In un triangolo ogni lato Š minore della somma degli altri due e maggiore della differenza tra il

maggiore ed il minore di essi

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i

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