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IL VOLUME DEI SOLIDI

Conoscenze

1. Completa.

a. Il peso di un corpo dipende dal volume e dalla sostanza di cui è costituito

b. Ogni sostanza ha il suo peso specifico, che è il peso dell’unità di volume di quella sostanza

c. Il peso specifico di una sostanza esprime il rapporto costante tra il suo peso e il suo volume

d. Il peso specifico è una grandezza derivata, la cui unità di misura è data dal rapporto tra

l’unità di misura del peso e l’unità di misura del volume.

2. Con quale di queste formule si esprime il peso specifico di una sostanza?

ps = P V ps = V

P ps =

P

V

3. Collega ciascuna unità di misura di volume con l’unità di misura di peso corrispondente.

4. Scrivi le formule inverse relative al peso specifico.

P = .......... psV V = ......... P/ ps

5. Sotto ciascuna affermazione, relativa al volume dei solidi, scrivi il nome del solido o dei solidi

a cui si riferisce.

.... parallelepipedo... rettangolo... ....... piramide............ cono......

............ sfera.............. .......... cubo.................. ........ prisma..... cilindro.......

kg

t g

cm3

dm

3 m

3

Si eleva al cubo la

misura del suo

spigolo

Si moltiplica l’area della base per la

misura dell’altezza e si divide il

prodotto ottenuto per 3

Si moltiplicano

le sue dimensioni

Si moltiplica l’area

della base per la

misura dell’altezza

Si moltiplica il

cubo del suo

raggio per 4/3

6. Segna i completamenti esatti.

a. Il volume di un parallelepipedo rettangolo si calcola utilizzando le seguenti formule:

hAV b 2:hAV b hCV cbaV

b. Il volume di un prisma si calcola utilizzando la seguente formula:

hPV b hAV b 3

hAV b

c. Il volume di un cubo si calcola utilizzando la seguente formula:

2lV 2

3lV 3lV

d. Il volume di una piramide si calcola utilizzando la seguente formula:

hAV b 2

hAV b

3

hAV b

c. Il volume di un cilindro si calcola utilizzando le seguenti formule:

hAV b hrV 2 2

2 hrV

3

2hrV

d. Il volume di un cono si calcola utilizzando la seguente formula:

2

2 hrV

hrV 2

3

2hrV

e. Il volume di una sfera si calcola utilizzando la seguente formula:

V = 2

3

4r V = 3

3

4r V = 3

4

3r

7. Scrivi le formule inverse del volume di:

a. un prisma: h = ........... bA

V Ab = ..........

h

V

b. un cubo: l = ........... 3 V

c. una piramide: h = ..........bA

V3 Ab = ..........

h

V3

d. un cilindro: r = ........... h

V

h = ...........

2r

V

e. un cono: r = ...........h

V

3 h = ...........

2

3

r

V

f. una sfera: r = ........... 3

4

3

V

Abilità

1. Rispondi.

Se il peso specifico del ferro è 7,5 quanto pesano rispettivamente:

1 cm3 di ferro? ………7,5g 1 dm

3 di ferro? ……… 7,5kg 10 m

3 di ferro? ………75 t

2. Calcola:

a. il peso di un oggetto di porcellana (ps = 2,5), sapendo che il suo volume è di 80 dm3.

[200 kg]

b. il volume di un cubetto di rame (ps= 8,4), sapendo che pesa 2520 g. [300 cm3]

3. Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo in cui la somma dei cateti misura 68 cm e il

cateto maggiore è i 12/5 del minore. Calcola l’area della superficie totale e il volume del prisma,

sapendo che la sua altezza misura 25 cm. [3960cm2; 12000cm

3]

4. Un solido di vetro (ps = 2,5) è formato da quattro cubi equivalenti, posti uno di fianco all’altro.

Sapendo che la superficie totale di ogni cubo è di 294 cm2, determina il volume e il peso del

solido. [1372 cm3; 3430 g]

5. Calcola l’area della superficie totale e il volume di una piramide quadrangolare regolare,

sapendo che lo spigolo di base misura 20 cm e che l’altezza è i 6/5 dello spigolo di base.

[1440cm2; 3200 cm

3]

6. Calcola il volume di un solido composto, alto 40 cm , formato da un cilindro e un cono aventi le

basi coincidenti, sapendo che la circonferenza di base del cilindro misura 48 cm e che la

differenza tra le altezze del cilindro e del cono è di 4 cm. [ 16128 cm3]

u = 5 cm

r

u = 2 cm

r

O

V

B

7. Calcola il volume di una sfera, sapendo che la sua superficie sferica è di 324 cm2. [972 cm

3]

PER IL RECUPERO

1. Calcola il peso di un oggetto di avorio (ps = 1,86), sapendo che il suo volume è di 45 cm3.

(Attenzione alla corrispondenza tra le unità di misura del volume e del peso!) [83,7 g]

2. Disegna il cilindro che si ottiene dalla rotazione completa del

rettangolo assegnato attorno all’asse di rotazione individuato

dalla retta r.

In base al valore dell’unità di misura indicata, calcolane il volume . (Attenzione: ogni quadratino vale 2 cm!!)

r = ..........3 cm h = ..........10 cm

V = ........... 90 cm3

3. Un prisma retto, alto 40 cm, ha per base un quadrato avente il perimetro lungo 112 cm. Calcola

l’area della superficie totale e il volume del prisma. [6048 cm2; 31360 cm

3]

(Conoscendo il perimetro del poligono di base, che è un quadrato, puoi calcolare facilmente lo spigolo di base. Poi hai tutte le informazioni necessarie per applicare le formule relative al calcolo della superficie totale e del volume

di un prisma.......)

4. Completa la seguente tabella, riferita al cubo.

5. Calcola la superficie totale e il volume di un cono avente il raggio di base lungo 8 cm e

l’apotema di 17 cm. [200 cm2; 320 cm

3]

(Conoscendo il raggio e l’apotema puoi, con il teorema di ..............., calcolare l’altezza. Poi basterà

applicare le formule........).

l Area di una faccia St V

13 cm 169 cm2

1014 cm2

2197 cm3

3 cm 9 cm2

54 cm2

27 cm 3

6. Completa la tabella, riferita ad una piramide quadrangolare regolare.

Spigolo di base Altezza Area di base Volume

15 cm 22 cm 225 cm2 1650 cm

3

20 cm 30 cm 400 cm2 4000 cm

3

7. Un cilindro ha la circonferenza di base lunga 14 cm ed è alto 28 cm. Calcolane il volume. (Conoscendo la misura della circonferenza puoi calcolare il raggio, quindi l’area di base ............)

[1372 cm3 ]

8. Calcola il volume di una sfera avente il raggio di 6 cm. [288 cm3]

PER IL POTENZIAMENTO

1. Completa.

a. La piramide è equivalente a un terzo di un prisma avente la base equivalente e l’altezza

congruente a quella della piramide.

b. Il cono è equivalente a un terzo di un cilindro avente la base e l’altezza congruenti

rispettivamente alla base e all’altezza del cono.

c. La sfera è equivalente a un cono avente per altezza il raggio della sfera e per raggio di base

il diametro della sfera.

2. Ruotando di 360° un triangolo isoscele intorno alla sua base si ottiene un solido formato da

due coni con la base in comune.

Ssolido = Sl cono1 + Sl cono2

V solido = V cono1 + Vcono2

L’altezza dei coni è ....la metà della base...del triangolo

L’apotema dei coni è .....il lato.................. del triangolo

Il raggio di base dei coni è .....l’altezza..... del triangolo

3. Ruotando di 360° un trapezio isoscele intorno alla sua base maggiore si ottiene un solido

formato da un cilindro sormontato da due coni con le basi in comune con quelle del cilindro.

Ssolido = Sl cilindro + 2 Sl cono

V solido = V cilindro + 2 Vcono

I raggi di base sono ........ l’altezza........... del trapezio

L’altezza del cilindro è ...la base minore.. del trapezio

L’altezza di entrambi i coni è ... la proiezione................

... del lato obliquo del trapezio sulla base maggiore....

L’apotema di entrambi i coni è .... il lato obliquo...........

del trapezio

4. Ruotando di 360° un trapezio isoscele intorno alla sua base minore si ottiene un solido formato

da un cilindro e da due coni congruenti, scavati nel cilindro, con le basi in comune con quelle

del cilindro.

Ssolido = Sl cilindro + 2 Sl cono

V solido = V cilindro - 2 Vcono

I raggi di base sono ....... l’altezza........................ del trapezio

L’altezza del cilindro è .....la base maggiore....... del trapezio

L’altezza di entrambi i coni è ...... la proiezione................

del lato obliquo.... sulla base maggiore................. del trapezio

L’apotema di entrambi i coni è ... il lato obliquo...del trapezio

5. L’area della superficie totale di un cubo è 384 cm2. Calcola:

a) il volume del cubo;

b) l’area della superficie totale di un parallelepipedo rettangolo, equivalente al triplo del

cubo e avente l’altezza e una dimensione di base che misurano rispettivamente 12 cm e

16 cm. [512 cm3; 832 cm

2]

6. Un solido è costituito da un prisma esagonale regolare alto 6 cm e

da una piramide esagonale avente la base coincidente con la base

del prisma. Sapendo che il perimetro di base del prisma misura 30

cm e che lo spigolo laterale della piramide misura 13 cm, calcola il

volume del solido. [649,5cm3]

7. Un solido è costituito da un cilindro equilatero e da una semisfera avente il

cerchio massimo coincidente con una base del cilindro. Sapendo che l’area

della superficie semisferica è di 288 cm2, calcola il volume del solido.

[4608 cm3]

8. Un solido, alto 39 cm, è costituito da due coni aventi le basi in comune.

Sapendo che l’apotema del cono più basso misura 25 cm e che l’altezza del

cono più alto misura 32 cm, calcola il volume e l’area della superficie

totale del solido. [7488 cm3; 1560 cm

2]

LA SUPERFICIE DEI SOLIDI DI ROTAZIONE

Conoscenze

1. Completa.

a. Il cilindro è un ....solido... ottenuto dalla ..... rotazione... completa ...di un rettangolo

attorno a un suo lato.....

b. La retta del lato attorno a cui ruota il rettangolo è detta .... asse di rotazione .....

c. L’altezza di un cilindro è il... lato attorno a cui ruota il rettangolo ......

d. Il lato parallelo all’altezza è la generatrice del cilindro

e. Gli altri due lati del rettangolo sono i raggi dei cerchi che formano le basi del cilindro

f. Un cilindro è equilatero se .. la sua altezza è congruente al diametro di base ............................

2. Completa.

a. La superficie laterale di un cilindro è equivalente a un rettangolo che ha come base la

circonferenza di base e come altezza l’altezza del cilindro.

b. La superficie totale di un cilindro è equivalente alla somma della superficie laterale e della

superficie delle due basi del cilindro.


a. L’area della superficie laterale di un cilindro si calcola utilizzando le seguenti formule:

hrSl

2 hrSl 2 2

2 hrS l

hCSl

b. L’area della superficie totale di un cilindro si calcola utilizzando la seguente formula:

blt ASS

2

2 hrSt

blt ASS 2

4. Scrivi le formule inverse relative all’area delle superfici di un cilindro.

r = ......... Sl /(2 h) h = ........... Sl /(2 r) Ab = ............. (St - Sl ):2 Sl =............ St - 2Ab

5. Completa.

a. Il cono è un .... solido... ottenuto dalla ..... rotazione... completa ...di un triangolo rettangolo

attorno a un suo cateto.....

b. La retta del lato attorno a cui ruota il triangolo è detta .... asse di rotazione .....

c. L’altezza del cono è il... cateto attorno a cui ruota il triangolo ......

d. L’ipotenusa del triangolo rettangolo è la generatrice e si chiama apotema del cono

e. L’altro cateto è il raggio del cerchio che forma la base del cono

6. Completa.

a. La superficie laterale di un cono è equivalente a .un settore circolare.................. il cui arco è

congruente alla ... circonferenza di base.. del cono e il raggio congruente all’apotema

b. La superficie totale di un cono è equivalente alla somma della superficie laterale e della

superficie di base del cono.


a. L’area della superficie laterale di un cono si calcola utilizzando le formule:

2:aCSl hAS bl arSl 2:hCSl

b. L’area della superficie totale di un cono si calcola utilizzando le formule:

blt ASS 2

blt ASS 2:hAS bt 2rarSt

8. Scrivi le formule inverse relative all’area delle superfici di un cono.

r = ......... Sl / a a = ........... Sl / r Ab = ........... St - Sl Sl =............ St – Ac

9. Completa.

a. Un cono è equilatero se .. la sua apotema è congruente al diametro di base ....

In esso la relazione tra apotema e raggio sarà: a = 2r

b. Le formule dirette per determinare la superficie laterale e la superficie totale di un cono

equilatero sono:

Sl = .................. 2 r2 St = .................. 3 r

2

10. Completa.

a. La sfera è un ....... solido ..... ottenuto dalla ..... rotazione... completa ...di un semicerchio

attorno al suo diametro.

b. Il raggio e il centro del semicerchio sono il raggio e il centro della sfera.

c. La superficie sferica è l’insieme di tutti i punti dello spazio che hanno la stessa distanza da un

punto interno della sfera, detto centro.

d. La superficie sferica è equivalente alla superficie laterale del cilindro equilatero circoscritto

ad essa.

11. Segna il completamento esatto.

a. L’area della superficie sferica si calcola utilizzando la seguente formula:

S = 4 r3 S = 2 r

2 S = 4 r

2

c. Il raggio del cerchio massimo della sfera si calcola utilizzando la seguente formula:

2

Sr

4

Sr

Sr

u = 5 cm

r

u = 5 cm

r

u = 2 cm

r

u = 4 cm

r

u = 5 cm

r

r

Abilità

1. Disegna il cilindro che si ottiene dalla rotazione completa dei rettangoli assegnati attorno

all’asse di rotazione individuato dalla retta r.

In base al valore dell’unità di misura indicata, calcolane poi l’area della superficie laterale

e totale.

r = .......... 8 cm h = ..........12 cm

Sl = ...................192 cm2 r = ..........3 cm h = ..........10 cm

St = ................... 320 cm2 Sl = .................. 30 cm

2

St = .................. 78 cm2

2. Completa la seguente tabella riferita al cilindro.

r h C Ab Sl St

6 cm 9 cm 12 cm 36 cm2 108 cm

2 180 cm

2

12 cm 15 cm 24 cm 144 cm2 360 cm

2 648 cm

2

3. L’area di base di un cilindro equilatero misura 361 cm2. Calcola l’altezza del cilindro e l’area

della sua superficie totale. [38 cm; 2166cm2]

4. Disegna il cono che si ottiene dalla rotazione completa dei triangoli rettangoli assegnati attorno

all’asse di rotazione individuato dalla retta r:

O

V

B

r

5. Calcola l’area della superficie laterale e totale del seguente cono, in base ai dati assegnati.

OB = 6 cm Sl = ?......... 111 cm2

VO = 17,5 cm St = ?......... 147 cm2

6. Completa la seguente tabella riferita al cono.

7. Calcola l’area della superficie del solido ottenuto facendo ruotare attorno al suo diametro un

semicerchio limitato da una semicirconferenza lunga 24 cm. [2304 cm2 ]

8. Calcola l’area della superficie di una sfera avente l’area del suo cerchio massimo di 20,25 cm2.

[81 cm2]

PER IL RECUPERO

1. Scrivi i termini del cilindro indicati da ciascuna freccia.

asse di rotazione

rettangolo che .........genera il cilindro

altezza

generatrice

superficie laterale

base raggio

r a C Ab Sl St

5 cm 13 cm 10 cm 2 5 cm2 65 cm

2 90 cm

2

15 cm 25 cm 30 cm 225 cm2 375 cm

2 600 cm

2

u = 5 cm

r

u = 1 cm r

u = 5 cm

r

u = 1 cm

r

r

2. Completa le seguenti formule, dirette e inverse, relative al calcolo della superficie laterale e

totale del cilindro.

Sl = 2 .......rh St = Sl +2 ......Ab. h = Sl : ..... 2 r r = Sl : ..... 2 h

(punti ..../4)

3. Scegli il completamento esatto.

a. Se il raggio di base di un cilindro equilatero è lungo 20 cm, la sua altezza è di:

20 cm 40 cm 10 cm

b. Se il raggio di base di un cilindro, alto 8 cm, è di 5 cm, la sua superficie laterale è di:

40 cm2

80 cm

80 cm

2

c. Se il raggio di base di un cilindro, alto 10 cm, è di 4 cm, la sua superficie totale è di:

120 cm2

156 cm

2 112 cm

2

4. Disegna i cilindri che si ottengono facendo ruotare di 360° i rettangoli assegnati attorno all’asse

di rotazione individuato dalla retta r e, per ciascuno di essi, indica il raggio di base e l’altezza.

5. La circonferenza di base di un cilindro misura 32 cm. Calcola l’area della superficie laterale e

totale del cilindro, sapendo che la sua altezza è i 5/2 del raggio di base.

[1280 cm2; 1792 cm

2]

( Conoscendo la misura della circonferenza puoi calcolare il raggio, quindi l’altezza e poi le due superfici.....)

6. Scrivi i termini del cono indicati da ciascuna freccia.

asse di rotazione

altezza apotema

superficie laterale triangolo rettangolo che ......genera il cono

base raggio

u = 5 cm

r

u = 1 cmr u = 5 cm

r

u = 1 cmr

7. Completa le seguenti formule, dirette e inverse, relative al calcolo della superficie laterale e

totale del cono.

Sl = r .......a St = Sl +.....Ab. a = Sl : ..... r r = Sl : ..... a

8. Scegli il completamento esatto

a. Se il raggio di base di un cono equilatero è lungo 12 cm, la sua apotema è di:

24 cm 12 cm 6 cm

b. Se il raggio di base di un cono, la cui apotema è lunga 10 cm, è di 6 cm, la sua superficie

laterale è di:

16 cm2

30 cm

60 cm

2

c. Se il raggio di base di un cono, la cui apotema è lunga 13cm , è di 5 cm, la sua superficie

totale è di:

65 cm2

90 cm

2 115 cm

2

9. Disegna i coni che si ottengono facendo ruotare di 360° i triangoli rettangoli assegnati attorno

all’asse di rotazione individuato dalla retta r .

10. Calcola l’area della superficie laterale e totale di un cono, sapendo che l’altezza e il raggio di

base misurano rispettivamente 24 cm e 18 cm. [540 cm2; 864 cm

2]

(Disegna la figura e poi rifletti: conoscendo la misura dell’altezza e del raggio puoi, con il teorema di ............

calcolare l’apotema..........)

11. Calcola l’area della superficie di una sfera, sapendo che il suo raggio misura 20 cm.

(Ricorda che la formula per il calcolo della superficie totale di una sfera è: St =..... r2) [1600 cm2]

PER IL POTENZIAMENTO

1. Rifletti , rispondi e giustifica.

a. Un rettangolo avente il perimetro di 24 cm genera, con una rotazione di 360°, un cilindro

equilatero. Quali saranno le misure del raggio di base e dell’altezza del cilindro?

r =........... 4 cm e h =............. 8 cm ; perché ............................ in un cilindro equilatero

l’altezza è congruente al diametro di base

b. E’ vero che lo sviluppo della superficie laterale di un cono è un triangolo isoscele? .. No ,

perché è un settore circolare

c. E’ vero che la sezione assiale di un cono equilatero è un triangolo equilatero? .. Sì, perchè

in un cono equilatero l’apotema è congruente al diametro di base

r

u = 1 cm r

2. Vero o falso?

a. Raddoppiando il raggio di un cono, raddoppia anche la sua superficie laterale ...........V

b. La superficie di una sfera è equivalente alla superficie laterale di un cilindro equilatero

inscritto nella sfera ................ F

c. Lo sviluppo piano della superficie di una sfera è un cerchio ........F

d. La sezione assiale di un cilindro equilatero è un quadrato ...........V

3. Completa.

Una sfera e un piano nello spazio possono essere:

esterni se non hanno ... alcun punto ................... in comune e la distanza del piano dal

centro della sfera è maggiore del raggio: OH ......> r

tangenti se hanno...... un punto ........................ in comune e la distanza del piano dal

centro della sfera è uguale al raggio: OH ......= r

secanti se hanno in comune tutti i punti di un cerchio... la distanza del piano dal centro

della sfera è minore del raggio: OH .....< r

4. Segna il completamento esatto.

a. Un qualsiasi piano secante individua nella sfera :

una circonferenza un piano diametrale un cerchio

b. Un qualsiasi piano secante individua sulla superficie sferica:

un piano diametrale un cerchio una circonferenza

c. Un piano secante che passa per il centro della sfera è detto:

cerchio piano diametrale circonferenza

5. Completa.

a. In ogni sfera, il piano diametrale individua il cerchio massimo e la circonferenza massima,

che hanno lo stesso centro e lo stesso raggio della sfera considerata.

b. Il piano diametrale divide la sfera in ............................ due semisfere (punti ..../2)

6. Disegna i solidi composti che ottieni facendo ruotare un trapezio rettangolo intorno alla base

minore e intorno alla base maggiore:

7. Un solido è costituito da un cilindro equilatero avente il raggio di 20 cm e da

due coni congruenti le cui basi sono coincidenti con quelle del cilindro.

Sapendo che l’altezza complessiva del solido è di 82 cm, calcolane l’area

della superficie totale. [2760 cm2]

8. In un triangolo rettangolo la somma dei cateti misura 46 cm e la loro differenza 14 cm. Calcola

l’area della superficie del solido che si ottiene facendo ruotare di 360° il triangolo intorno

all’ipotenusa. ( Approssima i calcoli ai centesimi) [649,52 cm2]

9. Sezionando una sfera con un piano distante 9 cm dal suo centro, si ottiene un cerchio avente

l’area di 144 cm2. Determina la misura dell’area della superficie della sfera. [900 cm

2]

Altri esercizi

SUPERFICIE E VOLUME DEI SOLIDI DI ROTAZIONE

Esercizio 1

Completa la seguente tabella riferita al cilindro

Esercizio 2

Risolvi il seguente problema.

Soluzione:

Esercizio 3


Soluzione:

Esercizio 4


Soluzione:

Esercizio 5


Soluzione:

Esercizio 6


Soluzione:

Esercizio 7


Soluzione:

Esercizio 8

Completa la seguente tabella riferita al cilindro.

Esercizio 9

Completa la seguente tabella riferita alla sfera.

Esercizio 10 Risolvi il seguente problema.

Soluzione:

Esercizio 11

Calcola l’area della superficie laterale, della superficie totale e il volume del cono che si ottiene

facendo ruotare di 360° il triangolo assegnato attorno al cateto maggiore.

Soluzione:

Esercizio 12


Soluzione:

Esercizio 13

Calcola l’area della superficie laterale, della superficie totale e il volume del cono che si ottiene

facendo ruotare di 360° il triangolo assegnato attorno al cateto maggiore.

Soluzione:

Esercizio 14


Soluzione:

Esercizio 15


Soluzione:

SOLIDI SOVRAPPOSTI E CAVI

Esercizio 1

Soluzione:

Esercizio 2

Considera il solido generato dalla rotazione completa del poligono dato attorno alla retta a. Fai

corrispondere ad ogni quadretto 1 cm e calcola l’area della superficie totale e il volume del solido

ottenuto (approssima all’unità ).

Esercizio 3


Soluzione:

Esercizio 4


Soluzione:

Esercizio 5


Soluzione:

Esercizio 6


Soluzione:

Esercizio 7


Soluzione:

Esercizio 8


Soluzione:

Esercizio 9




Esercizio 10


Soluzione:

Esercizio 11


Soluzione:

Esercizio 12




Esercizio 13


Soluzione:

Esercizio 14


Soluzione:

Esercizio 15


Soluzione:

Esercizio 16


Soluzione:

Esercizio 17


Soluzione:

Esercizio 18




Esercizio 19


Soluzione:


Soluzione:

Esercizio 21


Soluzione:

Esercizio 22


Soluzione:

Esercizio 23


Soluzione:

Esercizio 24


Soluzione:

Esercizio 25


Soluzione:

Esercizio 26


Soluzione:

Esercizio 27


Soluzione:

Esercizio 28


Soluzione:

Esercizio 29


corrispondere ad ogni quadretto 1 cm<sup>2</sup> e calcola lâ€™area della superficie totale e il

volume del solido ottenuto (approssima allâ€™unitÃ ).

Esercizio 30


Soluzione:

Esercizio 31




Esercizio 32


Soluzione:

Esercizio 33


Soluzione:

ALTRI SOLIDI DI ROTAZIONE

Esercizio 1

Soluzione:

Esercizio 2

Calcola l’area della superficie e il volume del solido che si ottiene facendo ruotare di 360Â° attorno

alla retta r la figura assegnata.

Soluzione:

3. Ruotare attorno ad r - Trovare superficie totale e volume

Soluzione:

Esercizio 4


Soluzione:

Esercizio 5

Calcola l’area della superficie e il volume del solido che si ottiene facendo ruotare di 360° attorno


Soluzione:

Esercizio 6

Risolvi il seguente problema sui solidi di rotazione in generale.

Soluzione:

Esercizio 7

Calcola l’area della superficie e il volume del solido che si ottiene facendo ruotare di 360° attorno


Soluzione:

Esercizio 8

Risolvi il seguente problema sui solidi di rotazione in generale.

Soluzione:

Esercizio 9


Soluzione:

Esercizio 10


Soluzione:


Soluzione:

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